Ինչպես բազմապատկել երկու կոտորակ միևնույն հայտարարներով: Կոտորակները թվով բազմապատկելու կանոններ
Դասի բովանդակությունըՆույն հայտարարներով կոտորակների գումարում
Կոտորակներ ավելացնելը երկու տեսակի է.
- Կոտորակների գումարում հետ նույն հայտարարները
- Տարբեր հայտարարներով կոտորակների գումարում
Սկսենք նույն հայտարարներով կոտորակների գումարումից: Այստեղ ամեն ինչ պարզ է. Նույն հայտարարով կոտորակները ավելացնելու համար անհրաժեշտ է ավելացնել նրանց համարիչները, իսկ հայտարարը թողնել անփոփոխ: Օրինակ՝ գումարենք կոտորակները և . Մենք ավելացնում ենք համարիչները, իսկ հայտարարը թողնում ենք անփոփոխ.
Այս օրինակը կարելի է հեշտությամբ հասկանալ, եթե մտածենք պիցցայի մասին, որը բաժանված է չորս մասի։ Եթե պիցցային ավելացնեք պիցցա, կստանաք պիցցա.
Օրինակ 2Ավելացնել կոտորակներ և.
Պատասխանը ոչ պատշաճ կոտորակ է: Եթե առաջադրանքի ավարտը գալիս է, ապա ընդունված է ազատվել ոչ պատշաճ կոտորակներից։ Անպատշաճ կոտորակից ազատվելու համար հարկավոր է դրա մեջ ընտրել ամբողջ մասը։ Մեր դեպքում, ամբողջական մասը հեշտությամբ հատկացվում է. երկուսը բաժանված երկու հավասար է մեկի.
Այս օրինակը կարելի է հեշտությամբ հասկանալ, եթե մտածենք պիցցայի մասին, որը բաժանված է երկու մասի։ Եթե պիցցային ավելացնեք ավելի շատ պիցցաներ, կստանաք մեկ ամբողջական պիցցա.
Օրինակ 3. Ավելացնել կոտորակներ և.
Կրկին ավելացրեք համարիչները և թողեք հայտարարը անփոփոխ.
Այս օրինակը կարելի է հեշտությամբ հասկանալ, եթե մտածենք պիցցայի մասին, որը բաժանված է երեք մասի։ Եթե պիցցային ավելի շատ պիցցաներ ավելացնեք, ապա կստանաք պիցցաներ.
Օրինակ 4Գտեք արտահայտության արժեքը 
Այս օրինակը լուծվում է ճիշտ այնպես, ինչպես նախորդները։ Համարիչները պետք է ավելացնել, իսկ հայտարարը թողնել անփոփոխ.
Փորձենք պատկերել մեր լուծումը՝ օգտագործելով նկարը։ Եթե պիցցայի մեջ պիցցա ավելացնեք և ավելացնեք ավելի շատ պիցցա, կստանաք 1 ամբողջական պիցցա և ավելի շատ պիցցա:
Ինչպես տեսնում եք, նույն հայտարարներով կոտորակներ ավելացնելը դժվար չէ։ Բավական է հասկանալ հետևյալ կանոնները.
- Նույն հայտարարով կոտորակներ ավելացնելու համար անհրաժեշտ է ավելացնել նրանց համարիչները, իսկ հայտարարը թողնել անփոփոխ.
Տարբեր հայտարարներով կոտորակների գումարում
Այժմ մենք կսովորենք, թե ինչպես կարելի է գումարել տարբեր հայտարարներով կոտորակներ: Կոտորակներ գումարելիս այդ կոտորակների հայտարարները պետք է նույնը լինեն։ Բայց նրանք միշտ չէ, որ նույնն են:
Օրինակ, կոտորակները կարող են գումարվել, քանի որ նրանք ունեն նույն հայտարարները:
Բայց կոտորակները չեն կարող անմիջապես գումարվել, քանի որ այդ կոտորակները ունեն տարբեր հայտարարներ. Նման դեպքերում կոտորակները պետք է կրճատվեն նույն (ընդհանուր) հայտարարով:
Կոտորակները նույն հայտարարին կրճատելու մի քանի եղանակ կա: Այսօր մենք կքննարկենք դրանցից միայն մեկը, քանի որ մնացած մեթոդները կարող են բարդ թվալ սկսնակների համար:
Այս մեթոդի էությունը կայանում է նրանում, որ երկու կոտորակների հայտարարներից առաջինը (LCM) է որոնվում: Այնուհետև LCM-ն բաժանվում է առաջին կոտորակի հայտարարի վրա և ստացվում է առաջին լրացուցիչ գործակիցը։ Նույնն անում են երկրորդ կոտորակի հետ՝ LCM-ն բաժանվում է երկրորդ կոտորակի հայտարարի վրա և ստացվում է երկրորդ լրացուցիչ գործակիցը։
Այնուհետև կոտորակների համարիչները և հայտարարները բազմապատկվում են նրանց լրացուցիչ գործակիցներով։ Այս գործողությունների արդյունքում այն կոտորակները, որոնք ունեին տարբեր հայտարարներ, վերածվում են կոտորակների, որոնք ունեն նույն հայտարարները: Եվ մենք արդեն գիտենք, թե ինչպես կարելի է ավելացնել նման կոտորակները:
Օրինակ 1. Ավելացնել կոտորակներ և
Առաջին հերթին մենք գտնում ենք երկու կոտորակների հայտարարների ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը: Առաջին կոտորակի հայտարարը 3 թիվն է, իսկ երկրորդ կոտորակի հայտարարը 2 թիվը։ Այս թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը 6-ն է։
LCM (2 և 3) = 6
Այժմ վերադառնանք կոտորակներին և . Նախ LCM-ն բաժանում ենք առաջին կոտորակի հայտարարի վրա և ստանում առաջին լրացուցիչ գործակիցը։ LCM-ն 6 թիվն է, իսկ առաջին կոտորակի հայտարարը՝ 3 թիվը։6-ը բաժանենք 3-ի, կստանանք 2։
Ստացված թիվ 2-ը առաջին լրացուցիչ գործոնն է: Գրում ենք այն մինչև առաջին կոտորակը: Դա անելու համար մենք կոտորակի վերևում մի փոքր թեք գիծ ենք կազմում և դրա վերևում գրում ենք գտնված լրացուցիչ գործակիցը.
Նույնն անում ենք երկրորդ կոտորակի հետ։ LCM-ը բաժանում ենք երկրորդ կոտորակի հայտարարի վրա և ստանում երկրորդ լրացուցիչ գործակիցը։ LCM-ն 6 թիվն է, իսկ երկրորդ կոտորակի հայտարարը՝ 2 թիվը։6-ը բաժանենք 2-ի, կստանանք 3։
Ստացված թիվ 3-ը երկրորդ լրացուցիչ գործոնն է։ Գրում ենք երկրորդ կոտորակի վրա։ Կրկին, մենք երկրորդ կոտորակի վերևում մի փոքր թեք գիծ ենք կազմում և դրա վերևում գրում ենք գտնված լրացուցիչ գործակիցը.
Այժմ մենք բոլորս պատրաստ ենք ավելացնելու: Մնում է կոտորակների համարիչները և հայտարարները բազմապատկել նրանց լրացուցիչ գործոններով.
Ուշադիր նայեք, թե ինչի ենք հասել։ Մենք եկանք այն եզրակացության, որ այն կոտորակները, որոնք ունեին տարբեր հայտարարներ, վերածվում են կոտորակների, որոնք ունեն նույն հայտարարները: Եվ մենք արդեն գիտենք, թե ինչպես կարելի է ավելացնել նման կոտորակները: Ավարտենք այս օրինակը մինչև վերջ.
Այսպիսով օրինակն ավարտվում է. Ավելացնենք, պարզվում է.
Փորձենք պատկերել մեր լուծումը՝ օգտագործելով նկարը։ Եթե պիցցային պիցցա ավելացնեք, կստանաք մեկ ամբողջական պիցցա և ևս մեկ պիցցայի վեցերորդ մասը.
Կոտորակների կրճատումը նույն (ընդհանուր) հայտարարի վրա կարելի է պատկերել նաև նկարի միջոցով: Բերելով կոտորակները և Ընդհանուր հայտարար, ստացանք կոտորակներ և . Այս երկու ֆրակցիաները կներկայացվեն պիցցայի նույն կտորներով: Միակ տարբերությունն այն կլինի, որ այս անգամ դրանք կբաժանվեն հավասար բաժնետոմսերի (նվազեցված են նույն հայտարարի):
Առաջին գծագրում կոտորակ է (վեցից չորս կտոր), իսկ երկրորդ նկարում՝ կոտորակ (վեցից երեքը): Այս կտորները միասին դնելով մենք ստանում ենք (վեցից յոթ կտոր): Այս կոտորակը սխալ է, ուստի մենք առանձնացրել ենք դրա ամբողջական մասը։ Արդյունքը եղավ (մեկ ամբողջական պիցցա և ևս վեցերորդ պիցցա):
Նկատի ունեցեք, որ մենք այս օրինակը չափազանց մանրամասն ենք նկարել: IN ուսումնական հաստատություններընդունված չէ այդքան մանրամասն գրել։ Դուք պետք է կարողանաք արագ գտնել ինչպես հայտարարների, այնպես էլ նրանց լրացուցիչ գործոնների LCM-ն, ինչպես նաև արագորեն բազմապատկել ձեր համարիչների և հայտարարների կողմից հայտնաբերված լրացուցիչ գործոնները: Դպրոցում սովորելու ընթացքում մենք պետք է այս օրինակը գրենք հետևյալ կերպ.
Բայց կա նաև հետևի կողմըմեդալներ։ Եթե մաթեմատիկայի ուսումնասիրության առաջին փուլերում մանրամասն նշումներ չեն արվում, ապա այդպիսի հարցեր «Որտեղի՞ց է այդ թիվը», «Ինչու՞ են կոտորակները հանկարծ վերածվում բոլորովին այլ կոտորակների։ «.
Տարբեր հայտարարներով կոտորակներ ավելացնելը հեշտացնելու համար կարող եք օգտագործել հետևյալ քայլ առ քայլ հրահանգները.
- Գտե՛ք կոտորակների հայտարարների LCM;
- LCM-ն բաժանեք յուրաքանչյուր կոտորակի հայտարարի վրա և ստացեք լրացուցիչ բազմապատկիչ յուրաքանչյուր կոտորակի համար.
- Բազմապատկել կոտորակների համարիչները և հայտարարները նրանց լրացուցիչ գործակիցներով.
- Ավելացնել կոտորակներ, որոնք ունեն նույն հայտարարները;
- Եթե պատասխանը ոչ պատշաճ կոտորակ է, ապա ընտրեք դրա ամբողջ մասը.
Օրինակ 2Գտեք արտահայտության արժեքը 
.
Եկեք օգտագործենք վերը նշված հրահանգները:
Քայլ 1. Գտե՛ք կոտորակների հայտարարների LCM-ն
Գտե՛ք երկու կոտորակների հայտարարների LCM-ն: Կոտորակների հայտարարներն են 2, 3 և 4 թվերը
Քայլ 2. LCM-ն բաժանեք յուրաքանչյուր կոտորակի հայտարարի վրա և ստացեք լրացուցիչ բազմապատկիչ յուրաքանչյուր կոտորակի համար
LCM-ն բաժանեք առաջին կոտորակի հայտարարի վրա: LCM-ն 12 թիվն է, իսկ առաջին կոտորակի հայտարարը 2 թիվը։ 12-ը բաժանենք 2-ի, ստանում ենք 6։ Ստացանք առաջին լրացուցիչ գործակիցը 6։ Առաջին կոտորակի վրա գրում ենք.
Այժմ LCM-ն բաժանում ենք երկրորդ կոտորակի հայտարարի վրա։ LCM-ը 12 թիվն է, իսկ երկրորդ կոտորակի հայտարարը 3 թիվը։ 12-ը բաժանենք 3-ի, կստանանք 4։ Ստացանք երկրորդ լրացուցիչ գործակիցը 4։ Երկրորդ կոտորակի վրա գրում ենք.
Այժմ LCM-ն բաժանում ենք երրորդ կոտորակի հայտարարի վրա։ LCM-ն 12 թիվն է, իսկ երրորդ կոտորակի հայտարարը 4 թիվը։ 12-ը բաժանենք 4-ի, կստանանք 3։ Ստացանք երրորդ լրացուցիչ գործակիցը 3։ Այն գրում ենք երրորդ կոտորակի վրա.
Քայլ 3. Կոտորակների համարիչները և հայտարարները բազմապատկեք ձեր լրացուցիչ գործակիցներով
Մենք համարիչները և հայտարարները բազմապատկում ենք մեր լրացուցիչ գործոններով.
Քայլ 4. Ավելացնել կոտորակներ, որոնք ունեն նույն հայտարարները
Մենք եկանք այն եզրակացության, որ այն կոտորակները, որոնք ունեին տարբեր հայտարարներ, վերածվեցին կոտորակների, որոնք ունեն նույն (ընդհանուր) հայտարարները: Մնում է ավելացնել այս կոտորակները։ Ավելացնել:
Հավելումը չէր տեղավորվում մեկ տողի վրա, ուստի մնացած արտահայտությունը տեղափոխեցինք հաջորդ տող: Մաթեմատիկայում դա թույլատրված է։ Երբ արտահայտությունը չի տեղավորվում մի տողի վրա, այն տեղափոխվում է հաջորդ տող, և անհրաժեշտ է առաջին տողի վերջում և նոր տողի սկզբում դնել հավասար նշան (=): Երկրորդ տողի հավասար նշանը ցույց է տալիս, որ սա առաջին տողում եղած արտահայտության շարունակությունն է։
Քայլ 5. Եթե պատասխանը սխալ կոտորակ է, ապա դրա մեջ ընտրեք ամբողջ մասը
Մեր պատասխանը ոչ պատշաճ կոտորակ է: Պետք է առանձնացնենք դրա ամբողջ մասը։ Մենք կարևորում ենք.
Պատասխան ստացա
Նույն հայտարարներով կոտորակների հանում
Կոտորակի հանման երկու տեսակ կա.
- Նույն հայտարարներով կոտորակների հանում
- Տարբեր հայտարարներով կոտորակների հանում
Նախ, եկեք սովորենք, թե ինչպես հանել նույն հայտարարներով կոտորակները: Այստեղ ամեն ինչ պարզ է. Մեկ կոտորակից մյուսը հանելու համար պետք է առաջին կոտորակի համարիչից հանել երկրորդ կոտորակի համարիչը, իսկ հայտարարը թողնել նույնը:
Օրինակ, եկեք գտնենք արտահայտության արժեքը: Այս օրինակը լուծելու համար անհրաժեշտ է առաջին կոտորակի համարիչից հանել երկրորդ կոտորակի համարիչը, իսկ հայտարարը թողնել անփոփոխ։ Եկեք սա անենք.
Այս օրինակը կարելի է հեշտությամբ հասկանալ, եթե մտածենք պիցցայի մասին, որը բաժանված է չորս մասի։ Եթե պիցցայից պիցցան կտրեք, ապա պիցցաներ կստանաք.
Օրինակ 2Գտեք արտահայտության արժեքը:
Կրկին առաջին կոտորակի համարիչից հանեք երկրորդ կոտորակի համարիչը և թողեք հայտարարը անփոփոխ.
Այս օրինակը կարելի է հեշտությամբ հասկանալ, եթե մտածենք պիցցայի մասին, որը բաժանված է երեք մասի։ Եթե պիցցայից պիցցան կտրեք, ապա պիցցաներ կստանաք.
Օրինակ 3Գտեք արտահայտության արժեքը 
Այս օրինակը լուծվում է ճիշտ այնպես, ինչպես նախորդները։ Առաջին կոտորակի համարիչից պետք է հանել մնացած կոտորակների համարիչները.
Ինչպես տեսնում եք, ոչ մի բարդ բան չկա նույն հայտարարներով կոտորակները հանելու մեջ: Բավական է հասկանալ հետևյալ կանոնները.
- Մեկ կոտորակից մյուսը հանելու համար անհրաժեշտ է երկրորդ կոտորակի համարիչը հանել առաջին կոտորակի համարիչից, իսկ հայտարարը թողնել անփոփոխ.
- Եթե պատասխանը սխալ կոտորակ է, ապա դրա մեջ պետք է ընտրել ամբողջ մասը:
Տարբեր հայտարարներով կոտորակների հանում
Օրինակ, կոտորակը կարելի է հանել կոտորակից, քանի որ այս կոտորակներն ունեն նույն հայտարարները: Բայց կոտորակը չի կարելի հանել կոտորակից, քանի որ այս կոտորակներն ունեն տարբեր հայտարարներ: Նման դեպքերում կոտորակները պետք է կրճատվեն նույն (ընդհանուր) հայտարարով:
Ընդհանուր հայտարարը գտնում ենք նույն սկզբունքով, որը մենք օգտագործում էինք տարբեր հայտարարներով կոտորակներ գումարելիս։ Նախ գտե՛ք երկու կոտորակների հայտարարների LCM-ն: Այնուհետև LCM-ն բաժանվում է առաջին կոտորակի հայտարարի վրա և ստացվում է առաջին լրացուցիչ գործակիցը, որը գրվում է առաջին կոտորակի վրա։ Նմանապես, LCM-ն բաժանվում է երկրորդ կոտորակի հայտարարի վրա և ստացվում է երկրորդ լրացուցիչ գործակից, որը գրվում է երկրորդ կոտորակի վրա:
Այնուհետև կոտորակները բազմապատկվում են իրենց լրացուցիչ գործակիցներով: Այս գործողությունների արդյունքում այն կոտորակները, որոնք ունեին տարբեր հայտարարներ, վերածվում են կոտորակների, որոնք ունեն նույն հայտարարները: Եվ մենք արդեն գիտենք, թե ինչպես հանել նման կոտորակները։
Օրինակ 1Գտեք արտահայտության արժեքը.
Այս կոտորակներն ունեն տարբեր հայտարարներ, ուստի պետք է դրանք բերել նույն (ընդհանուր) հայտարարի:
Նախ, մենք գտնում ենք երկու կոտորակների հայտարարների LCM-ն: Առաջին կոտորակի հայտարարը 3 թիվն է, իսկ երկրորդ կոտորակի հայտարարը 4 թիվը։ Այս թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը 12-ն է։
LCM (3 և 4) = 12
Այժմ վերադառնանք կոտորակներին և
Գտնենք լրացուցիչ գործակից առաջին կոտորակի համար։ Դա անելու համար մենք LCM-ն բաժանում ենք առաջին կոտորակի հայտարարի վրա: LCM-ն 12 թիվն է, իսկ առաջին կոտորակի հայտարարը 3 թիվը։ 12-ը բաժանենք 3-ի, ստանում ենք 4։ Առաջին կոտորակի վրա գրում ենք չորսը.
Նույնն անում ենք երկրորդ կոտորակի հետ։ LCM-ը բաժանում ենք երկրորդ կոտորակի հայտարարի վրա։ LCM-ը 12 թիվն է, իսկ երկրորդ կոտորակի հայտարարը 4 թիվը։ 12-ը բաժանենք 4-ի, ստանում ենք 3։ Երկրորդ կոտորակի վրա գրի՛ր եռապատիկ.
Այժմ մենք բոլորս պատրաստ ենք հանման: Մնում է կոտորակները բազմապատկել իրենց լրացուցիչ գործակիցներով.
Մենք եկանք այն եզրակացության, որ այն կոտորակները, որոնք ունեին տարբեր հայտարարներ, վերածվում են կոտորակների, որոնք ունեն նույն հայտարարները: Եվ մենք արդեն գիտենք, թե ինչպես հանել նման կոտորակները։ Ավարտենք այս օրինակը մինչև վերջ.
Պատասխան ստացա
Փորձենք պատկերել մեր լուծումը՝ օգտագործելով նկարը։ Եթե պիցցայից պիցցան կտրես, պիցցա կստանաս:
Սա լուծման մանրամասն տարբերակն է։ Դպրոցում լինելով՝ այս օրինակը պետք է ավելի կարճ լուծեինք։ Նման լուծումը կունենա հետևյալ տեսքը.
Կոտորակների և ընդհանուր հայտարարի կրճատումը կարող է պատկերվել նաև նկարի միջոցով: Այս կոտորակները բերելով ընդհանուր հայտարարի, ստանում ենք կոտորակները և . Այս կոտորակները կներկայացվեն նույն պիցցայի կտորներով, բայց այս անգամ դրանք կբաժանվեն նույն կոտորակների (կրճատված են նույն հայտարարով).
Առաջին գծագրում կոտորակ է (տասներկուից ութ կտոր), իսկ երկրորդ նկարում կոտորակ է (երեք կտոր տասներկուից): Ութ կտորից երեք կտոր կտրելով՝ տասներկուից հինգ կտոր ենք ստանում։ Կոտորակը նկարագրում է այս հինգ կտորները:
Օրինակ 2Գտեք արտահայտության արժեքը 
Այս կոտորակներն ունեն տարբեր հայտարարներ, ուստի նախ պետք է դրանք բերել նույն (ընդհանուր) հայտարարի:
Գտե՛ք այս կոտորակների հայտարարների LCM-ը:
Կոտորակների հայտարարներն են 10, 3 և 5 թվերը։ Այս թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը 30-ն է։
LCM(10, 3, 5) = 30
Այժմ մենք գտնում ենք լրացուցիչ գործոններ յուրաքանչյուր կոտորակի համար: Դա անելու համար մենք LCM-ն բաժանում ենք յուրաքանչյուր կոտորակի հայտարարի վրա:
Գտնենք լրացուցիչ գործակից առաջին կոտորակի համար։ LCM-ը 30 թիվն է, իսկ առաջին կոտորակի հայտարարը 10 թիվը։ 30-ը բաժանեք 10-ի, ստանում ենք առաջին լրացուցիչ գործակիցը 3։ Առաջին կոտորակի վրա գրում ենք.
Այժմ մենք լրացուցիչ գործոն ենք գտնում երկրորդ կոտորակի համար: LCM-ը բաժանեք երկրորդ կոտորակի հայտարարի վրա: LCM-ը 30 թիվն է, իսկ երկրորդ կոտորակի հայտարարը 3 թիվը։ 30-ը բաժանեք 3-ի, ստանում ենք երկրորդ լրացուցիչ գործակիցը՝ 10։ Երկրորդ կոտորակի վրա գրում ենք.
Այժմ մենք լրացուցիչ գործոն ենք գտնում երրորդ կոտորակի համար: LCM-ն բաժանեք երրորդ կոտորակի հայտարարի վրա: LCM-ն 30 թիվն է, իսկ երրորդ կոտորակի հայտարարը 5 թիվը։ 30-ը բաժանեք 5-ի, ստանում ենք երրորդ լրացուցիչ գործակիցը 6։ Երրորդ կոտորակի վրա գրում ենք.
Այժմ ամեն ինչ պատրաստ է հանման։ Մնում է կոտորակները բազմապատկել իրենց լրացուցիչ գործակիցներով.
Մենք եկանք այն եզրակացության, որ այն կոտորակները, որոնք ունեին տարբեր հայտարարներ, վերածվեցին կոտորակների, որոնք ունեն նույն (ընդհանուր) հայտարարները: Եվ մենք արդեն գիտենք, թե ինչպես հանել նման կոտորակները։ Եկեք ավարտենք այս օրինակը:
Օրինակի շարունակությունը չի տեղավորվի մի տողի վրա, ուստի շարունակությունը տեղափոխում ենք հաջորդ տող։ Մի մոռացեք նոր տողում հավասարության նշանի (=) մասին.
Պատասխանը ճիշտ կոտորակ է, և թվում է, թե մեզ ամեն ինչ սազում է, բայց դա չափազանց ծանր ու տգեղ է։ Մենք պետք է հեշտացնենք այն: Ի՞նչ կարելի է անել: Դուք կարող եք կրճատել այս մասնաբաժինը:
Կոտորակը փոքրացնելու համար հարկավոր է նրա համարիչը և հայտարարը բաժանել (gcd) 20 և 30 թվերի վրա։
Այսպիսով, մենք գտնում ենք 20 և 30 թվերի GCD.
Այժմ մենք վերադառնում ենք մեր օրինակին և կոտորակի համարիչն ու հայտարարը բաժանում ենք գտնված GCD-ի, այսինքն՝ 10-ի։
Պատասխան ստացա
Կոտորակը թվով բազմապատկելը
Կոտորակը թվով բազմապատկելու համար պետք է տրված կոտորակի համարիչը բազմապատկել այս թվով, իսկ հայտարարը թողնել նույնը։
Օրինակ 1. Բազմապատկեք կոտորակը 1 թվով:
Կոտորակի համարիչը բազմապատկեք 1 թվով
Մուտքը կարելի է հասկանալ որպես կես 1 անգամ վերցնել: Օրինակ, եթե դուք 1 անգամ պիցցա եք ընդունում, ապա ստանում եք պիցցա
Բազմապատկման օրենքներից մենք գիտենք, որ եթե բազմապատկիչը և բազմապատկիչը փոխարկվեն, ապա արտադրյալը չի փոխվի: Եթե արտահայտությունը գրված է որպես , ապա արտադրյալը դեռ հավասար կլինի . Կրկին գործում է ամբողջ թվի և կոտորակի բազմապատկման կանոնը.
Այս գրառումը կարելի է հասկանալ որպես միավորի կեսը վերցնելը: Օրինակ, եթե կա 1 ամբողջական պիցցա և վերցնենք դրա կեսը, ապա կունենանք պիցցա.
Օրինակ 2. Գտեք արտահայտության արժեքը
Կոտորակի համարիչը բազմապատկեք 4-ով
Պատասխանը ոչ պատշաճ կոտորակ է: Վերցնենք դրա մի ամբողջ մասը.
Արտահայտությունը կարելի է հասկանալ որպես երկու քառորդ 4 անգամ վերցնել։ Օրինակ, եթե դուք 4 անգամ պիցցա եք ընդունում, ապա ստանում եք երկու ամբողջական պիցցա:
Իսկ եթե բազմապատկիչն ու բազմապատկիչը տեղերով փոխանակենք, կստանանք արտահայտությունը. Այն նույնպես հավասար կլինի 2-ի: Այս արտահայտությունը կարելի է հասկանալ որպես չորս ամբողջական պիցցայից երկու պիցցա վերցնել.
Կոտորակների բազմապատկում
Կոտորակները բազմապատկելու համար անհրաժեշտ է բազմապատկել դրանց համարիչները և հայտարարները: Եթե պատասխանը ոչ պատշաճ կոտորակ է, ապա պետք է դրա մեջ ընտրել ամբողջ մասը:
Օրինակ 1Գտեք արտահայտության արժեքը:
Պատասխան ստացա. Ցանկալի է նվազեցնել այս մասնաբաժինը։ Կոտորակը կարող է կրճատվել 2-ով: Այնուհետև վերջնական լուծումը կստանա հետևյալ ձևը.
Արտահայտությունը կարելի է հասկանալ որպես պիցցա վերցնել կես պիցցայից։ Ենթադրենք, մենք ունենք կես պիցցա.
Ինչպե՞ս վերցնել այս կեսից երկու երրորդը: Նախ անհրաժեշտ է այս կեսը բաժանել երեք հավասար մասերի.
Եվ այս երեք կտորից վերցրեք երկուսը.
Պիցցա կբերենք: Հիշեք, թե ինչ տեսք ունի պիցցան, որը բաժանված է երեք մասի.
Այս պիցցայից մեկ կտոր և մեր վերցրած երկու կտորները կունենան նույն չափերը.
Այսինքն՝ խոսքը նույն չափսի պիցցայի մասին է։ Հետևաբար, արտահայտության արժեքն է
Օրինակ 2. Գտեք արտահայտության արժեքը
Առաջին կոտորակի համարիչը բազմապատկեք երկրորդ կոտորակի համարիչով, իսկ առաջին կոտորակի հայտարարը երկրորդ կոտորակի հայտարարով.
Պատասխանը ոչ պատշաճ կոտորակ է: Վերցնենք դրա մի ամբողջ մասը.
Օրինակ 3Գտեք արտահայտության արժեքը
Առաջին կոտորակի համարիչը բազմապատկեք երկրորդ կոտորակի համարիչով, իսկ առաջին կոտորակի հայտարարը երկրորդ կոտորակի հայտարարով.
Պատասխանը ճիշտ կոտորակ է ստացվել, բայց լավ կլինի, որ կրճատվի։ Այս կոտորակը փոքրացնելու համար պետք է այս կոտորակի համարիչն ու հայտարարը բաժանել ամենամեծի վրա. ընդհանուր բաժանարար(gcd) 105 և 450 համարներ։
Այսպիսով, եկեք գտնենք 105 և 450 թվերի GCD-ն.
Այժմ մենք այժմ գտած GCD-ին մեր պատասխանի համարիչն ու հայտարարը բաժանում ենք, այսինքն՝ 15-ի:
Ամբողջ թիվը որպես կոտորակ ներկայացնելը
Ցանկացած ամբողջ թիվ կարելի է ներկայացնել որպես կոտորակ: Օրինակ, 5 թիվը կարող է ներկայացվել որպես . Սրանից հինգը չի փոխի իր իմաստը, քանի որ արտահայտությունը նշանակում է «հինգ թիվը բաժանված մեկին», և սա, ինչպես գիտեք, հավասար է հինգի.
Հակադարձ թվեր
Այժմ մենք կծանոթանանք հետաքրքիր թեմամաթեմատիկայի մեջ։ Այն կոչվում է «հակառակ թվեր»:
Սահմանում. Հակադարձ թվինա այն թիվն է, որը բազմապատկելիսա տալիս է միավոր.
Եկեք այս սահմանման մեջ փոխարինենք փոփոխականի փոխարեն աթիվ 5 և փորձեք կարդալ սահմանումը.
Հակադարձ թվին 5 այն թիվն է, որը բազմապատկելիս 5 տալիս է միավոր.
Հնարավո՞ր է գտնել մի թիվ, որը 5-ով բազմապատկելով տալիս է մեկը: Պարզվում է՝ կարող ես։ Ներկայացնենք հինգը որպես կոտորակ.
Այնուհետև այս կոտորակը բազմապատկեք ինքն իրեն, պարզապես փոխեք համարիչը և հայտարարը: Այլ կերպ ասած, եկեք բազմապատկենք կոտորակն ինքն իրենով, միայն շրջված.
Ի՞նչ արդյունք կունենա սա։ Եթե շարունակենք լուծել այս օրինակը, կստանանք մեկը.
Սա նշանակում է, որ 5 թվի հակադարձը թիվն է, քանի որ երբ 5-ը բազմապատկվում է մեկով, ստացվում է մեկը։
Փոխադարձը կարելի է գտնել նաև ցանկացած այլ ամբողջ թվի համար:
Դուք կարող եք նաև գտնել փոխադարձը ցանկացած այլ կոտորակի համար: Դա անելու համար բավական է այն շրջել։
Կոտորակի բաժանումը թվի վրա
Ենթադրենք, մենք ունենք կես պիցցա.
Եկեք այն հավասարապես բաժանենք երկուսի մեջ։ Քանի՞ պիցցա կստանա յուրաքանչյուրը:
Երևում է, որ պիցցայի կեսը բաժանելուց հետո ստացվել է երկու հավասար կտոր, որոնցից յուրաքանչյուրը կազմում է պիցցա։ Այսպիսով, բոլորը ստանում են պիցցա:
Կոտորակների բաժանումը կատարվում է փոխադարձների միջոցով: Փոխադարձները թույլ են տալիս փոխարինել բաժանումը բազմապատկմամբ:
Կոտորակը թվի վրա բաժանելու համար հարկավոր է այս կոտորակը բազմապատկել բաժանարարի փոխադարձով:
Օգտագործելով այս կանոնը՝ մենք կգրենք պիցցայի մեր կեսի բաժանումը երկու մասի։
Այսպիսով, դուք պետք է բաժանեք կոտորակը 2 թվի վրա: Այստեղ շահաբաժինը կոտորակ է, իսկ բաժանարարը՝ 2։
Կոտորակը 2 թվի վրա բաժանելու համար պետք է այս կոտորակը բազմապատկել 2-ի բաժանարարի փոխադարձով: 2-ի փոխադարձը կոտորակ է: Այսպիսով, դուք պետք է բազմապատկեք
Կոտորակների բազմապատկում և բաժանում.
Ուշադրություն.
Կան լրացուցիչ
Նյութը 555-րդ հատուկ բաժնում:
Նրանց համար, ովքեր խիստ «ոչ շատ ...»:
Իսկ նրանց համար, ովքեր «շատ...»)
Այս գործողությունը շատ ավելի գեղեցիկ է, քան գումարում-հանումը: Քանի որ դա ավելի հեշտ է: Հիշեցնում եմ ձեզ՝ կոտորակը կոտորակով բազմապատկելու համար պետք է բազմապատկել համարիչները (սա կլինի արդյունքի համարիչը) և հայտարարները (սա կլինի հայտարարը): Այն է:
Օրինակ:
Ամեն ինչ չափազանց պարզ է. Եվ խնդրում եմ ընդհանուր հայտարար մի փնտրեք։ Այստեղ դա պետք չէ...
Կոտորակը կոտորակի վրա բաժանելու համար հարկավոր է շրջել երկրորդ(սա կարևոր է) կոտորակ և բազմապատկեք դրանք, այսինքն.
Օրինակ:
Եթե ամբողջ թվերով և կոտորակներով բազմապատկելը կամ բաժանելը բռնվում է, լավ է: Ինչպես գումարման դեպքում, մենք ամբողջ թվից կոտորակ ենք կազմում, որի միավորը հայտարարի մեջ է, և գնացեք: Օրինակ:
Ավագ դպրոցում հաճախ պետք է գործ ունենալ եռահարկ (կամ նույնիսկ չորսհարկանի) կոտորակների հետ: Օրինակ:
Ինչպե՞ս այս կոտորակը բերել պատշաճ ձևի: Այո, շատ հեշտ! Օգտագործեք բաժանումը երկու կետով.
Բայց մի մոռացեք բաժանման կարգի մասին: Ի տարբերություն բազմապատկման, սա շատ կարևոր է այստեղ: Իհարկե, մենք չենք շփոթի 4:2 կամ 2:4: Բայց եռահարկ ֆրակցիայում հեշտ է սխալվել։ Խնդրում ենք նկատի ունենալ, օրինակ.
Առաջին դեպքում (արտահայտությունը ձախ կողմում).
Երկրորդում (արտահայտությունը աջ կողմում).
Զգո՞ւմ եք տարբերությունը: 4 և 1/9
Ո՞րն է բաժանման կարգը: Կամ փակագծեր, կամ (ինչպես այստեղ) հորիզոնական գծիկների երկարությունը: Զարգացնել աչքը. Իսկ եթե փակագծեր կամ գծիկներ չկան, օրինակ՝
ապա բաժանել-բազմապատկել հերթականությամբ, ձախից աջ!
Եվ ևս մեկ շատ պարզ և կարևոր հնարք. Դիպլոմներով գործողություններում դա ձեզ հարմար կլինի: Բաժանենք միավորը ցանկացած կոտորակի վրա, օրինակ՝ 13/15-ի.
Կրակոցը շրջվել է։ Եվ դա միշտ էլ լինում է։ 1-ը որևէ կոտորակի վրա բաժանելիս ստացվում է նույն կոտորակը, միայն շրջված:
Դա բոլոր գործողություններն են կոտորակների հետ: Բանը բավականին պարզ է, բայց տալիս է ավելի քան բավարար սխալներ: Նշում գործնական խորհուրդներ, և դրանք (սխալները) ավելի քիչ կլինեն:
Գործնական խորհուրդներ.
1. Կոտորակային արտահայտությունների հետ աշխատելիս ամենակարևորը ճշգրտությունն ու ուշադիր լինելն է: Սրանք սովորական բառեր չեն, բարի ցանկություններ չեն: Սա խիստ անհրաժեշտություն է։ Կատարեք բոլոր հաշվարկները քննության վրա որպես լիարժեք առաջադրանք, կենտրոնացվածությամբ և հստակությամբ: Ավելի լավ է սևագրում երկու հավելյալ տող գրել, քան գլխի մեջ հաշվելիս խառնաշփոթ անել։
2. Հետ օրինակներում տարբեր տեսակներկոտորակներ - գնալ սովորական կոտորակների:
3. Մենք կրճատում ենք բոլոր կոտորակները մինչև կանգառը:
4. Բազմաստիճան կոտորակային արտահայտությունները կրճատում ենք սովորականների՝ օգտագործելով բաժանումը երկու կետով (հետևում ենք բաժանման կարգին):
5. Մենք մեր մտքում միավորը բաժանում ենք կոտորակի՝ պարզապես կոտորակը շուռ տալով։
Ահա այն առաջադրանքները, որոնք դուք պետք է կատարեք: Պատասխանները տրվում են բոլոր առաջադրանքներից հետո: Օգտագործեք այս թեմայի նյութերը և գործնական խորհուրդները: Գնահատեք, թե քանի օրինակ կարող եք ճիշտ լուծել: Առաջին անգամ! Առանց հաշվիչի! Եվ ճիշտ եզրակացություններ արեք...
Հիշեք ճիշտ պատասխանը ստացված երկրորդ (հատկապես երրորդ) անգամից - չի հաշվում:Այդպիսին է դաժան կյանքը։
Այսպիսով, լուծել քննական ռեժիմով ! Սա, ի դեպ, քննության նախապատրաստություն է։ Մենք լուծում ենք օրինակ, ստուգում ենք, լուծում ենք հետևյալը. Մենք ամեն ինչ որոշեցինք՝ նորից ստուգեցինք առաջինից մինչև վերջինը։ Բայց միայն Հետոնայեք պատասխաններին.
Հաշվարկել.
Դուք որոշեցի՞ք։
Փնտրում եք ձեր պատասխաններին համապատասխանող պատասխաններ: Կոնկրետ ես դրանք գրել եմ խառնաշփոթ, այսպես ասած, գայթակղությունից հեռու... Ահա դրանք, պատասխանները՝ գրված ստորակետով։
0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.
Եվ հիմա մենք եզրակացություններ ենք անում. Եթե ամեն ինչ ստացվեց, ուրախ եմ ձեզ համար: Կոտորակներով տարրական հաշվարկները ձեր խնդիրը չեն: Դուք կարող եք ավելի լուրջ բաներ անել։ Եթե ոչ...
Այսպիսով, դուք ունեք երկու խնդիրներից մեկը: Կամ երկուսն էլ միանգամից։) Գիտելիքի պակաս և (կամ) անուշադրություն։ Բայց սա լուծելի Խնդիրներ.
Եթե Ձեզ դուր է գալիս այս կայքը...
Ի դեպ, ես ձեզ համար ևս մի քանի հետաքրքիր կայք ունեմ։)
Դուք կարող եք զբաղվել օրինակներ լուծելով և պարզել ձեր մակարդակը: Փորձարկում ակնթարթային ստուգմամբ: Սովորում - հետաքրքրությամբ!)
կարող եք ծանոթանալ ֆունկցիաներին և ածանցյալներին։
Սովորական կոտորակների բազմապատկում
Դիտարկենք մի օրինակ։
Թող ափսեի վրա լինի $\frac(1)(3)$ խնձորի մի մասը: Մենք պետք է գտնենք դրա $\frac(1)(2)$ մասը։ Պահանջվող մասը $\frac(1)(3)$ և $\frac(1)(2)$ կոտորակների բազմապատկման արդյունք է։ Երկու ընդհանուր կոտորակների բազմապատկման արդյունքը սովորական կոտորակն է:
Երկու ընդհանուր կոտորակների բազմապատկում
Սովորական կոտորակները բազմապատկելու կանոն.
Կոտորակը կոտորակի վրա բազմապատկելու արդյունքն այն կոտորակն է, որի համարիչը հավասար է բազմապատկած կոտորակների համարիչների արտադրյալին, իսկ հայտարարը հավասար է հայտարարների արտադրյալին.
Օրինակ 1
Բազմապատկել սովորական կոտորակները $\frac(3)(7)$ և $\frac(5)(11)$:
Լուծում.
Օգտագործենք սովորական կոտորակների բազմապատկման կանոնը.
\[\frac(3)(7)\cdot \frac(5)(11)=\frac(3\cdot 5)(7\cdot 11)=\frac(15)(77)\]
Պատասխան.$\frac(15)(77)$
Եթե կոտորակների բազմապատկման արդյունքում ստացվում է չեղյալ կամ ոչ պատշաճ կոտորակ, ապա անհրաժեշտ է այն պարզեցնել։
Օրինակ 2
Բազմապատկել $\frac(3)(8)$ և $\frac(1)(9)$ կոտորակները:
Լուծում.
Սովորական կոտորակները բազմապատկելու կանոնն ենք օգտագործում.
\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)\]
Արդյունքում ստացանք կրճատվող կոտորակ ($3$-ով բաժանելու հիման վրա: Կոտորակի համարիչն ու հայտարարը բաժանեք $3$-ի, կստանանք.
\[\frac(3)(72)=\frac(3:3)(72:3)=\frac(1)(24)\]
Կարճ լուծում.
\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)=\frac(1) (24) \]
Պատասխան.$\frac(1)(24).$
Կոտորակները բազմապատկելիս կարող եք կրճատել համարիչները և հայտարարները՝ գտնելու դրանց արտադրյալը: Այս դեպքում կոտորակի համարիչն ու հայտարարը տարրալուծվում են պարզ գործակիցների, որից հետո կրկնվող գործակիցները կրճատվում են և ստացվում է արդյունքը։
Օրինակ 3
Հաշվե՛ք $\frac(6)(75)$ և $\frac(15)(24)$ կոտորակների արտադրյալը։
Լուծում.
Եկեք օգտագործենք սովորական կոտորակները բազմապատկելու բանաձևը.
\[\frac(6)(75)\cdot \frac(15)(24)=\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)\]
Ակնհայտ է, որ համարիչն ու հայտարարը պարունակում են թվեր, որոնք կարող են զույգերով կրճատվել $2$, $3$ և $5$ թվերով։ Մենք համարիչն ու հայտարարը բաժանում ենք պարզ գործոնների և կատարում ենք կրճատումը.
\[\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)=\frac(2\cdot 3\cdot 3\cdot 5)(3\cdot 5\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3)=\frac(1)(5\cdot 2\cdot 2)=\frac(1)(20)\]
Պատասխան.$\frac(1)(20).$
Կոտորակները բազմապատկելիս կարող է կիրառվել կոմուտատիվ օրենքը.
Կոտորակի բազմապատկում բնական թվով
բազմապատկման կանոն ընդհանուր կոտորակվրա բնական թիվ:
Կոտորակը բնական թվով բազմապատկելու արդյունքը այն կոտորակն է, որի համարիչը հավասար է բազմապատկված կոտորակի համարիչի արտադրյալին բնական թվով, իսկ հայտարարը հավասար է բազմապատկված կոտորակի հայտարարին.
որտեղ $\frac(a)(b)$-ը սովորական կոտորակ է, $n$-ը բնական թիվ է:
Օրինակ 4
$\frac(3)(17)$ կոտորակը բազմապատկեք $4$-ով:
Լուծում.
Օգտագործենք սովորական կոտորակը բնական թվով բազմապատկելու կանոնը.
\[\frac(3)(17)\cdot 4=\frac(3\cdot 4)(17)=\frac(12)(17)\]
Պատասխան.$\frac(12)(17).$
Մի մոռացեք բազմապատկման արդյունքը ստուգելու կոտորակի կծկման կամ համարի համար ոչ պատշաճ կոտորակ.
Օրինակ 5
$\frac(7)(15)$ կոտորակը բազմապատկեք $3$-ով:
Լուծում.
Եկեք օգտագործենք կոտորակը բնական թվով բազմապատկելու բանաձևը.
\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)\]
$3$ թվով բաժանելու չափանիշով կարելի է որոշել, որ ստացված կոտորակը կարող է կրճատվել.
\[\frac(21)(15)=\frac(21:3)(15:3)=\frac(7)(5)\]
Արդյունքը ոչ պատշաճ կոտորակ է: Եկեք ամբողջությամբ վերցնենք.
\[\frac(7)(5)=1\frac(2)(5)\]
Կարճ լուծում.
\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)=\frac(7)(5)=1\frac(2) (5)\]
Կարելի էր նաև կրճատել կոտորակները՝ փոխարինելով համարիչի և հայտարարի թվերը դրանց ընդարձակումներով պարզ գործակիցների: Այս դեպքում լուծումը կարելի է գրել հետևյալ կերպ.
\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(7\cdot 3)(3\cdot 5)=\frac(7)(5)= 1\frac(2)(5)\]
Պատասխան.$1\frac(2)(5).$
Կոտորակը բնական թվով բազմապատկելիս կարող եք օգտագործել կոմուտատիվ օրենքը.
Սովորական կոտորակների բաժանում
Բաժանման գործողությունը բազմապատկման հակադարձ գործողությունն է, և դրա արդյունքը կոտորակ է, որով պետք է բազմապատկել հայտնի կոտորակը երկու կոտորակի հայտնի արտադրյալ ստանալու համար:
Երկու ընդհանուր կոտորակների բաժանում
Սովորական կոտորակների բաժանման կանոնը.Ակնհայտ է, որ ստացված կոտորակի համարիչն ու հայտարարը կարելի է բաժանել պարզ գործոնների և նվազեցնել.
\[\frac(8\cdot 35)(15\cdot 12)=\frac(2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\cdot 7)(3\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 3)= \frac(2\cdot 7)(3\cdot 3)=\frac(14)(9)\]
Արդյունքում ստացանք ոչ պատշաճ կոտորակ, որից ընտրում ենք ամբողջական մասը.
\[\frac(14)(9)=1\frac(5)(9)\]
Պատասխան.$1\frac(5)(9).$
Հին հույն փիլիսոփա Զենոն Էլեյացին մ. Ահա թե ինչպես է այն հնչում.Ենթադրենք, Աքիլլեսը վազում է տաս անգամ ավելի արագ, քան կրիան և հազար քայլ հետ է մնում նրանից։ Այն ժամանակահատվածում, որի ընթացքում Աքիլլեսը վազում է այս տարածությունը, կրիան հարյուր քայլ է սողում նույն ուղղությամբ: Երբ Աքիլեսը հարյուր քայլ վազի, կրիան կսողա ևս տասը քայլ և այլն։ Գործընթացը անվերջ կշարունակվի, Աքիլլեսը երբեք չի հասնի կրիային։
Այս պատճառաբանությունը տրամաբանական ցնցում դարձավ հետագա բոլոր սերունդների համար։ Արիստոտելը, Դիոգենեսը, Կանտը, Հեգելը, Գիլբերտը... Բոլորն էլ այս կամ այն կերպ համարում էին Զենոնի ապորիաները։ Ցնցումն այնքան ուժեղ էր, որ « Քննարկումները ներկայումս շարունակվում են, գիտական հանրությունը դեռ չի հասցրել ընդհանուր կարծիքի գալ պարադոքսների էության մասին... հարցի ուսումնասիրության մեջ ներգրավվել են մաթեմատիկական վերլուծություն, բազմությունների տեսություն, ֆիզիկական և փիլիսոփայական նոր մոտեցումներ։ ; դրանցից ոչ մեկը չդարձավ խնդրի համընդհանուր ընդունված լուծում…«[Wikipedia», Zeno's Aporias]: Բոլորը հասկանում են, որ իրենց խաբում են, բայց ոչ ոք չի հասկանում, թե որն է խաբեությունը:
Մաթեմատիկայի տեսանկյունից Զենոնն իր ապորիայում հստակ ցույց տվեց անցումը արժեքից դեպի. Այս անցումը ենթադրում է հաստատունների փոխարեն կիրառել: Որքան հասկանում եմ, չափման փոփոխական միավորների կիրառման մաթեմատիկական ապարատը կամ դեռ չի մշակվել, կամ չի կիրառվել Զենոնի ապորիայի վրա։ Մեր սովորական տրամաբանության կիրառումը մեզ տանում է ծուղակի մեջ։ Մենք, մտածողության իներցիայով, փոխադարձին կիրառում ենք ժամանակի հաստատուն միավորներ։ Ֆիզիկական տեսանկյունից թվում է, որ ժամանակը դանդաղում է մինչև լրիվ կանգառ այն պահին, երբ Աքիլեսը հասնում է կրիային: Եթե ժամանակը կանգ առնի, Աքիլլեսն այլևս չի կարող շրջանցել կրիային:
Եթե շրջենք այն տրամաբանությունը, որին սովոր ենք, ամեն ինչ իր տեղը կընկնի։ Աքիլեսը վազում է հետ հաստատուն արագություն. Նրա ճանապարհի յուրաքանչյուր հաջորդ հատվածը տասն անգամ ավելի կարճ է, քան նախորդը: Ըստ այդմ, դրա հաղթահարման վրա ծախսված ժամանակը տասն անգամ պակաս է նախորդից։ Եթե այս իրավիճակում կիրառենք «անսահմանություն» հասկացությունը, ապա ճիշտ կլինի ասել՝ «Աքիլլեսը անսահման արագ կանցնի կրիային»։
Ինչպե՞ս խուսափել այս տրամաբանական թակարդից։ Մնացեք ժամանակի հաստատուն միավորներում և մի անցեք փոխադարձ արժեքների: Զենոնի լեզվով դա հետևյալն է.
Այն ժամանակ, ինչ Աքիլեսից պահանջվում է հազար քայլ վազել, կրիան հարյուր քայլ է սողում նույն ուղղությամբ: Հաջորդ ժամանակային միջակայքում, որը հավասար է առաջինին, Աքիլլեսը կվազի ևս հազար քայլ, իսկ կրիան կսողա հարյուր քայլ: Այժմ Աքիլլեսը ութ հարյուր քայլ առաջ է կրիայից։
Այս մոտեցումը ադեկվատ կերպով նկարագրում է իրականությունը՝ առանց որևէ տրամաբանական պարադոքսների։ Բայց դա այդպես չէ ամբողջական լուծումԽնդիրներ. Լույսի արագության անհաղթահարելիության մասին Էյնշտեյնի հայտարարությունը շատ նման է Զենոնի «Աքիլլեսը և կրիան» ապորիային։ Մենք դեռ պետք է ուսումնասիրենք, վերանայենք և լուծենք այս խնդիրը։ Իսկ լուծումը պետք է փնտրել ոչ թե անսահման մեծ թվով, այլ չափման միավորներով։
Զենոնի մեկ այլ հետաքրքիր ապորիա պատմում է թռչող նետի մասին.
Թռչող նետը անշարժ է, քանի որ ժամանակի յուրաքանչյուր պահին այն գտնվում է հանգստի վիճակում, և քանի որ այն հանգստանում է ժամանակի յուրաքանչյուր պահին, այն միշտ հանգստանում է:
Այս ապորիայում տրամաբանական պարադոքսը հաղթահարվում է շատ պարզ. բավական է պարզաբանել, որ ժամանակի յուրաքանչյուր պահին թռչող սլաքը հենվում է տարածության տարբեր կետերում, ինչը, ըստ էության, շարժում է։ Այստեղ հարկ է նշել ևս մեկ կետ. Ճանապարհին մեքենայի մեկ լուսանկարից անհնար է որոշել ոչ նրա շարժման փաստը, ոչ էլ հեռավորությունը: Մեքենայի շարժման փաստը որոշելու համար անհրաժեշտ է երկու լուսանկար՝ արված նույն կետից ժամանակի տարբեր կետերում, սակայն դրանք չեն կարող օգտագործվել հեռավորությունը որոշելու համար։ Ավտոմեքենայի հեռավորությունը որոշելու համար ձեզ հարկավոր է միաժամանակ երկու լուսանկար՝ արված տիեզերքի տարբեր կետերից, բայց դրանցից շարժման փաստը չես կարող որոշել (բնականաբար, հաշվարկների համար դեռ լրացուցիչ տվյալներ են պետք, եռանկյունաչափությունը կօգնի քեզ): Այն, ինչ ուզում եմ մասնավորապես նշել, այն է, որ ժամանակի երկու կետը և տարածության երկու կետը երկու տարբեր բաներ են, որոնք չպետք է շփոթել, քանի որ դրանք ապահովում են. տարբեր հնարավորություններհետազոտության համար։
Չորեքշաբթի, 4 հուլիսի, 2018 թ
Շատ լավ է, որ տարբերությունները set-ի և multiset-ի միջև նկարագրված են Վիքիպեդիայում: Մենք նայում ենք.
Ինչպես տեսնում եք, «կոմպլեկտը չի կարող ունենալ երկու միանման տարրեր», բայց եթե հավաքածուում կան նույնական տարրեր, ապա այդպիսի հավաքածուն կոչվում է «բազմաթիվ»։ Խելամիտ էակները երբեք չեն հասկանա աբսուրդի նման տրամաբանությունը։ Սա խոսող թութակների և վարժեցված կապիկների մակարդակն է, որում միտքը բացակայում է «ամբողջովին» բառից։ Մաթեմատիկոսները հանդես են գալիս որպես սովորական մարզիչներ՝ մեզ քարոզելով իրենց անհեթեթ գաղափարները։
Ժամանակին կամուրջը կառուցած ինժեներները կամրջի փորձարկումների ժամանակ նավակի մեջ էին կամրջի տակ։ Եթե կամուրջը փլվեր, միջակ ինժեները մահացավ իր ստեղծագործության փլատակների տակ։ Եթե կամուրջը կարող էր դիմակայել ծանրաբեռնվածությանը, տաղանդավոր ինժեները կառուցեց այլ կամուրջներ:
Անկախ նրանից, թե ինչպես են մաթեմատիկոսները թաքնվում «իմացիր ինձ, ես տանն եմ» արտահայտության հետևում, ավելի ճիշտ՝ «մաթեմատիկան ուսումնասիրում է վերացական հասկացությունները», կա մեկ պորտալար, որն անքակտելիորեն կապում է դրանք իրականության հետ։ Այս պորտալարը փող է։ Եկեք կիրառենք մաթեմատիկական բազմությունների տեսությունը հենց մաթեմատիկոսների վրա:
Շատ լավ ենք սովորել մաթեմատիկա, հիմա էլ նստած ենք դրամարկղի մոտ, աշխատավարձ ենք տալիս։ Այստեղ մի մաթեմատիկոս գալիս է մեզ մոտ իր փողի համար։ Մենք նրան հաշվում ենք ամբողջ գումարը և դնում մեր սեղանի վրա տարբեր կույտերի մեջ, որոնց մեջ դնում ենք նույն անվանական թղթադրամներ։ Հետո յուրաքանչյուր կույտից վերցնում ենք մեկական թղթադրամ և տալիս մաթեմատիկոսին իր «մաթեմատիկական աշխատավարձի հավաքածուն»։ Մաթեմատիկան բացատրում ենք, որ մնացած հաշիվները նա կստանա միայն այն ժամանակ, երբ ապացուցի, որ առանց նույնական տարրերի բազմությունը հավասար չէ նույն տարրերով բազմությանը։ Այստեղից է սկսվում զվարճանքը:
Առաջին հերթին կաշխատի պատգամավորների տրամաբանությունը՝ «դուք կարող եք դա կիրառել ուրիշների վրա, իսկ ինձ՝ ոչ»։ Այնուհետև, կսկսվեն հավաստիացումները, որ նույն անվանական արժեքի թղթադրամների վրա կան տարբեր թղթադրամների համարներ, ինչը նշանակում է, որ դրանք չեն կարող համարվել նույնական տարրեր: Դե, մենք աշխատավարձը հաշվում ենք մետաղադրամներով - մետաղադրամների վրա թվեր չկան: Այստեղ մաթեմատիկոսը կսկսի ջղաձգորեն հիշել ֆիզիկան. տարբեր մետաղադրամների վրա կա տարբեր քանակությամբՅուրաքանչյուր մետաղադրամի կեղտը, բյուրեղային կառուցվածքը և ատոմային դասավորությունը յուրահատուկ է...
Եվ հիմա ինձ մոտ ամենահետաքրքիր հարցն է՝ որտեղ է այն սահմանը, որից այն կողմ բազմաբնույթ տարրերը վերածվում են բազմության տարրերի և հակառակը: Նման գիծ գոյություն չունի՝ ամեն ինչ որոշում են շամանները, գիտությունն այստեղ նույնիսկ մոտ չէ։
Նայեք այստեղ։ Մենք ընտրում ենք նույն դաշտի տարածքով ֆուտբոլային մարզադաշտեր: Դաշտերի տարածքը նույնն է, ինչը նշանակում է, որ մենք ունենք բազմաբնույթ: Բայց եթե հաշվի առնենք նույն մարզադաշտերի անունները, շատ բան ենք ստանում, քանի որ անունները տարբեր են։ Ինչպես տեսնում եք, տարրերի նույն հավաքածուն միաժամանակ և՛ բազմախումբ է, և՛ բազմաբնույթ: Որքանո՞վ է ճիշտ: Եվ ահա մաթեմատիկոս-շաման-շալլերը իր թևից հանում է հաղթաթուղթ և սկսում պատմել մեզ կա՛մ կոմպլեկտի, կա՛մ բազմահավաքի մասին: Ամեն դեպքում նա մեզ կհամոզի, որ ճիշտ է։
Հասկանալու համար, թե ինչպես են ժամանակակից շամանները գործում բազմությունների տեսության հետ՝ կապելով այն իրականության հետ, բավական է պատասխանել մի հարցի՝ ինչո՞վ են մի բազմության տարրերը տարբերվում մյուս բազմության տարրերից։ Ես ձեզ ցույց կտամ՝ առանց որևէ «պատկերացնելի որպես ոչ մի ամբողջություն» կամ «անընկալելի որպես մեկ ամբողջություն»։
կիրակի, 18 մարտի, 2018 թ
Թվի թվանշանների գումարը դափի հետ շամանների պար է, որը ոչ մի կապ չունի մաթեմատիկայի հետ։ Այո, մաթեմատիկայի դասերին մեզ սովորեցնում են գտնել թվերի թվանշանների գումարը և օգտագործել այն, բայց նրանք դրա համար շամաններ են, իրենց ժառանգներին սովորեցնել իրենց հմտություններն ու իմաստությունը, այլապես շամանները պարզապես կմահանան։
Դուք ապացույցի կարիք ունե՞ք։ Բացեք Վիքիպեդիան և փորձեք գտնել «Թվի թվանշանների գումարը» էջը։ Նա գոյություն չունի: Մաթեմատիկայում չկա որևէ բանաձև, որով կարող ես գտնել որևէ թվի թվանշանների գումարը։ Ի վերջո, թվերը գրաֆիկական նշաններ են, որոնցով մենք գրում ենք թվեր, իսկ մաթեմատիկայի լեզվով առաջադրանքը հնչում է այսպես՝ «Գտե՛ք ցանկացած թիվ ներկայացնող գրաֆիկական նշանների գումարը»։ Մաթեմատիկոսները չեն կարող լուծել այս խնդիրը, բայց շամանները կարող են դա անել տարրական կարգով:
Եկեք պարզենք, թե ինչ և ինչպես ենք անում, որպեսզի գտնենք տվյալ թվի թվանշանների գումարը: Եվ այսպես, ենթադրենք ունենք 12345 թիվը։ Ի՞նչ է պետք անել այս թվի թվանշանների գումարը գտնելու համար։ Դիտարկենք բոլոր քայլերը հերթականությամբ։
1. Թղթի վրա գրի՛ր թիվը: Ի՞նչ ենք մենք արել։ Մենք թիվը վերածել ենք թվային գրաֆիկական նշանի։ Սա մաթեմատիկական գործողություն չէ։
2. Ստացված մեկ նկարը կտրեցինք առանձին թվեր պարունակող մի քանի նկարների։ Նկար կտրելը մաթեմատիկական գործողություն չէ։
3. Անհատական գրաֆիկական նիշերը վերածել թվերի: Սա մաթեմատիկական գործողություն չէ։
4. Գումարի՛ր ստացված թվերը։ Հիմա դա մաթեմատիկան է:
12345 թվի թվանշանների գումարը 15 է։ Սրանք մաթեմատիկոսների կողմից օգտագործվող շամանների «կտրելու և կարելու դասընթացներն» են։ Բայց սա դեռ ամենը չէ։
Մաթեմատիկայի տեսանկյունից նշանակություն չունի, թե որ թվային համակարգում ենք մենք գրում թիվը։ Այսպիսով, ներս տարբեր համակարգերհաշվի առնելով՝ նույն թվի թվանշանների գումարը տարբեր կլինի։ Մաթեմատիկայի մեջ թվային համակարգը նշվում է որպես թվի աջ կողմում գտնվող բաժանորդ: ՀԵՏ մեծ թվով 12345 Չեմ ուզում գլուխս խաբել, հաշվի առեք 26 թիվը հոդվածի մասին։ Գրենք այս թիվը երկուական, օկտալ, տասնորդական և տասնվեցական թվային համակարգերով։ Մենք յուրաքանչյուր քայլ մանրադիտակի տակ չենք դիտարկելու, մենք դա արդեն արել ենք։ Եկեք նայենք արդյունքին:
Ինչպես տեսնում եք, տարբեր թվային համակարգերում նույն թվի թվանշանների գումարը տարբեր է։ Այս արդյունքը ոչ մի կապ չունի մաթեմատիկայի հետ։ Դա նման է ուղղանկյունի մակերեսը մետրերով և սանտիմետրերով գտնելը ձեզ բոլորովին այլ արդյունքներ կտա:
Զրոն բոլոր թվային համակարգերում նույն տեսքն ունի և չունի թվանշանների գումար: Սա ևս մեկ փաստարկ է այն փաստի օգտին, որ . Հարց մաթեմատիկոսներին. ինչպե՞ս է մաթեմատիկայում նշանակվում այն, ինչը թիվ չէ: Ի՞նչ է, մաթեմատիկոսների համար, բացի թվերից, ոչինչ գոյություն չունի: Շամանների համար ես կարող եմ դա թույլ տալ, իսկ գիտնականների համար՝ ոչ։ Իրականությունը միայն թվերով չէ:
Ստացված արդյունքը պետք է համարել որպես ապացույց, որ թվային համակարգերը թվերի չափման միավորներ են։ Ի վերջո, մենք չենք կարող թվերը համեմատել տարբեր չափման միավորների հետ։ Եթե նույն մեծության չափման տարբեր միավորներով նույն գործողությունները դրանք համեմատելուց հետո հանգեցնում են տարբեր արդյունքների, ապա դա ոչ մի կապ չունի մաթեմատիկայի հետ։
Ի՞նչ է իրական մաթեմատիկան: Սա այն դեպքում, երբ մաթեմատիկական գործողության արդյունքը կախված չէ թվի արժեքից, օգտագործված չափման միավորից և նրանից, թե ով է կատարում այս գործողությունը։
Օ՜ Սա կանանց զուգարանը չէ՞։
- Երիտասարդ կին! Սա լաբորատորիա է երկինք համբարձվելիս հոգիների անորոշ սրբությունն ուսումնասիրելու համար: Նիմբուս վերևում և վերև սլաք: Էլ ի՞նչ զուգարան:
Իգական... Վերևում լուսապսակ և ներքև սլաքը արական է:
Եթե դուք ունեք դիզայներական արվեստի նման ստեղծագործություն, որը ձեր աչքի առաջ օրական մի քանի անգամ փայլում է,
Այնուհետև զարմանալի չէ, որ հանկարծ ձեր մեքենայում տարօրինակ պատկերակ եք գտնում.
Անձամբ ես ինքս ինձ վրա ջանք եմ գործադրում թուխ մարդու մեջ տեսնել մինուս չորս աստիճան (մեկ նկար) (մի քանի նկարների կազմություն. մինուս նշան, թիվ չորս, աստիճանների նշանակում): Իսկ այս աղջկան ես հիմար չեմ համարում, ով ֆիզիկա չգիտի։ Նա պարզապես ունի գրաֆիկական պատկերների ընկալման աղեղային կարծրատիպ: Եվ մաթեմատիկոսները դա մեզ անընդհատ սովորեցնում են: Ահա մի օրինակ.
1A-ն «մինուս չորս աստիճան» կամ «մեկ ա» չէ: Սա «թափող մարդ» է կամ տասնվեցական թվային համակարգում «քսանվեց» թիվը: Այն մարդիկ, ովքեր անընդհատ աշխատում են այս թվային համակարգում, ավտոմատ կերպով ընկալում են թիվը և տառը որպես մեկ գրաֆիկական խորհրդանիշ։
Անցյալ անգամ սովորեցինք կոտորակներ գումարել և հանել (տե՛ս «Կոտորակների գումարում և հանում» դասը): Այդ գործողությունների ամենադժվար պահը կոտորակներին ընդհանուր հայտարարի բերելն էր։
Հիմա ժամանակն է զբաղվել բազմապատկման և բաժանման հարցերով: Լավ նորությունն այն է, որ այս գործողությունները նույնիսկ ավելի հեշտ են, քան գումարումն ու հանումը: Սկզբից դիտարկենք ամենապարզ դեպքը, երբ կան երկու դրական կոտորակներ՝ առանց առանձնացված ամբողջ թվի մասի։
Երկու կոտորակները բազմապատկելու համար անհրաժեշտ է նրանց համարիչներն ու հայտարարները առանձին-առանձին բազմապատկել։ Առաջին թիվը կլինի նոր կոտորակի համարիչը, իսկ երկրորդը՝ հայտարարը։
Երկու կոտորակ բաժանելու համար անհրաժեշտ է առաջին կոտորակը բազմապատկել «շրջված» վայրկյանով։
Նշանակում:
Սահմանումից հետևում է, որ կոտորակների բաժանումը կրճատվում է բազմապատկման։ Կոտորակը շրջելու համար պարզապես փոխեք համարիչը և հայտարարը: Հետևաբար, ամբողջ դասը մենք կքննարկենք հիմնականում բազմապատկում:
Բազմապատկման արդյունքում կարող է առաջանալ կրճատված կոտորակ (և հաճախ առաջանում է) - իհարկե, այն պետք է կրճատվի: Եթե բոլոր կրճատումներից հետո կոտորակը սխալ է ստացվել, ապա դրա մեջ պետք է առանձնացնել ամբողջ մասը։ Բայց այն, ինչ իրականում տեղի չի ունենա բազմապատկման դեպքում, կրճատումն է ընդհանուր հայտարարի. չկան խաչաձև մեթոդներ, առավելագույն գործակիցներ և նվազագույն ընդհանուր բազմապատիկներ:
Ըստ սահմանման մենք ունենք.
Կոտորակների բազմապատկումը ամբողջ թվով և բացասական կոտորակներով
Եթե կոտորակներում կա ամբողջ թիվ, ապա դրանք պետք է վերածվեն ոչ պատշաճների, և միայն դրանից հետո բազմապատկվեն վերը նշված սխեմաների համաձայն:
Եթե կոտորակի համարիչում, հայտարարում կամ դրա դիմաց մինուս կա, այն կարելի է դուրս բերել բազմապատկման սահմաններից կամ ընդհանրապես հեռացնել՝ համաձայն հետևյալ կանոնների.
- Գումարած անգամ մինուսը տալիս է մինուս;
- Երկու բացասական կողմը հաստատում է:
Առայժմ այս կանոններին հանդիպել են միայն գումարում և հանում: բացասական կոտորակներերբ պահանջվում էր ազատվել ամբողջ մասից։ Ապրանքի համար դրանք կարող են ընդհանրացվել՝ միանգամից մի քանի մինուսներ «այրելու» համար.
- Մինուսները զույգ-զույգ հատում ենք, մինչև դրանք լրիվ անհետանան։ Ծայրահեղ դեպքում կարող է գոյատևել մեկ մինուս՝ նա, ով համընկնում չի գտել.
- Եթե մինուսներ չեն մնացել, գործողությունն ավարտված է, կարող եք սկսել բազմապատկել: Եթե վերջին մինուսը չի հատվում, քանի որ այն զույգ չի գտել, դուրս ենք բերում բազմապատկման սահմաններից։ Դուք ստանում եք բացասական կոտորակ:
Առաջադրանք. Գտեք արտահայտության արժեքը.
Բոլոր կոտորակները թարգմանում ենք ոչ պատշաճների, իսկ հետո հանում ենք մինուսները բազմապատկման սահմաններից դուրս։ Մնացածը բազմապատկվում է սովորական կանոններով։ Մենք ստանում ենք.
Եվս մեկ անգամ հիշեցնեմ, որ մինուսը, որը գալիս է ընդգծված ամբողջ մասով կոտորակի առաջ, վերաբերում է կոնկրետ ամբողջ կոտորակին, և ոչ միայն նրա ամբողջ մասին (սա վերաբերում է վերջին երկու օրինակներին):
Նաև ուշադրություն դարձրեք բացասական թվերԵրբ բազմապատկվում են, դրանք փակցվում են փակագծերում: Դա արվում է մինուսները բազմապատկման նշաններից առանձնացնելու և ամբողջ նշումն ավելի ճշգրիտ դարձնելու համար։
Թռիչքի ընթացքում ֆրակցիաների կրճատում
Բազմապատկումը շատ աշխատատար գործողություն է։ Այստեղ թվերը բավականին մեծ են, և առաջադրանքը պարզեցնելու համար կարող եք փորձել ավելի փոքրացնել կոտորակը բազմապատկելուց առաջ. Իրոք, ըստ էության, կոտորակների համարիչները և հայտարարները սովորական գործակիցներ են, և, հետևաբար, դրանք կարող են կրճատվել՝ օգտագործելով կոտորակի հիմնական հատկությունը։ Նայեք օրինակներին.
Առաջադրանք. Գտեք արտահայտության արժեքը.
Ըստ սահմանման մենք ունենք.
Բոլոր օրինակներում կարմիրով նշված են կրճատված թվերը և դրանցից մնացածը։
Խնդրում ենք նկատի ունենալ. առաջին դեպքում բազմապատկիչները ամբողջությամբ կրճատվել են: Իրենց տեղում մնացին միավորներ, որոնք, ընդհանուր առմամբ, կարելի է բաց թողնել։ Երկրորդ օրինակում հնարավոր չեղավ հասնել ամբողջական նվազման, սակայն հաշվարկների ընդհանուր ծավալը, այնուամենայնիվ, նվազել է։
Այնուամենայնիվ, ոչ մի դեպքում մի օգտագործեք այս տեխնիկան կոտորակներ գումարելիս և հանելիս: Այո, երբեմն լինում են նմանատիպ թվեր, որոնք դուք պարզապես ցանկանում եք նվազեցնել: Ահա, նայեք.
Դուք չեք կարող դա անել!
Սխալն առաջանում է այն պատճառով, որ կոտորակ գումարելիս գումարը հայտնվում է կոտորակի համարիչում, և ոչ թե թվերի արտադրյալը։ Հետևաբար, կոտորակի հիմնական հատկությունը կիրառելն անհնար է, քանի որ այս հատկությունը կոնկրետ վերաբերում է թվերի բազմապատկմանը։
Կոտորակները կրճատելու այլ պատճառ պարզապես չկա, ուստի ճիշտ լուծումնախորդ առաջադրանքն այսպիսի տեսք ունի.
Ճիշտ լուծում.
Ինչպես տեսնում եք, ճիշտ պատասխանը ոչ այնքան գեղեցիկ է ստացվել։ Ընդհանուր առմամբ, զգույշ եղեք.
