A mund të jetë vlera negative e modulit. Moduli i një numri (vlera absolute e një numri), përkufizime, shembuj, veti
Moduli i një numri është distanca nga ky numër në zero në vijën koordinative.
Një modul tregohet me simbolin: | |.
- Hyrja |6| lexohet si "moduli i numrit 6", ose "moduli i gjashtë".
- Hyrja |8| lexohet si "moduli 8".
Për një kuptim më të mirë të temës: "moduli i numrave", ne sugjerojmë përdorimin e metodës së shoqërimit.
Le të imagjinojmë që moduli i numrit është një banjë, dhe shenja minus është papastërtia.
Duke e gjetur veten nën shenjën e modulit (d.m.th., në "banjë"), numri negativ "lahet" dhe del pa shenjën "minus" - i pastër.
Në banjë, numrat negativë dhe pozitivë, dhe numri zero mund të "lahen" (d.m.th., të qëndrojnë nën shenjën e modulit). Sidoqoftë, duke qenë "të pastër", numrat pozitivë dhe zero nuk e ndryshojnë shenjën e tyre kur largohen nga "banjë" (d.m.th., nga nën shenjën e modulit)!
Historia e modulit të numrave ose 6 fakte interesante rreth modulit të numrave
1. Fjala "modul" vjen nga Emri latin modulus, që përkthehet do të thotë fjala "masë".
2. Ky term u krijua nga studenti i Isaac Njutonit, matematikani dhe filozofi anglez Roger Cotes (1682 – 1716).
3. Fizikani, shpikësi, matematikani dhe filozofi i madh gjerman Gottfried Leibniz në veprat dhe veprat e tij përdori funksionin e modulit, të cilin ai e caktoi mod x.
4. Shënimi i modulit u prezantua në 1841 nga një matematikan gjerman
Karl Weierstrass (1815 - 1897).
5. Kur shkruani, një modul shënohet duke përdorur simbolin: | |.
6. Një version tjetër i termit "modul" u prezantua në 1806 nga francezët
matematikan me emrin Jean Robert Argan (1768 - 1822). Por nuk është kështu.
Në fillim të shekullit të nëntëmbëdhjetë, matematikani Jean Robert Argan (1768 - 1822)
dhe Augustin Louis Cauchy (1789 - 1857) prezantoi konceptin e "modulit të një numri kompleks".
që studiohet në lëndën e matematikës së lartë.
Zgjidhja e problemeve me temën "Moduli i numrave"
Detyra nr. 1. Radhiti shprehjet: -|12|, 0, 54, |-(-2)|, -17 në rend rritës.
— | 12 | = — 12
| — (— 2) | = 2
17 < -12 < 0 < 2 < 54, что будет равносильно:
-17 < -|12| < 0 < | — (— 2) | < 54.
Përgjigje: -17< -|12| < 0 < | — (— 2) | < 54.
Detyra nr. 2. Duhet të renditni shprehjet: -|-14|, -|30|, |-16|, -21, | -(-9) |
në rend zbritës.
Së pari, le të zgjerojmë kllapat dhe modulet:
— | — 14| = — 14
— |30| = -30
|-16| = 16
| -(-9) | = 9
16 > 9 > -14 > - 21 > - 30 që do të jetë ekuivalente me:
|-16| > | -(-9) | > — | — 14| > — 21 > — |30|.
Përgjigje: |-16| > | -(-9) | > - | — 14| > - 21 > - |30|
Objektivat e mësimit
Të prezantojë nxënësit e shkollës me një koncept të tillë matematikor si moduli i një numri;
T'u mësojë nxënësve të shkollës aftësitë e gjetjes së moduleve të numrave;
Përforconi materialin e mësuar duke kryer detyra të ndryshme;
Detyrat
Forconi njohuritë e fëmijëve për modulin e numrave;
Duke përdorur zgjidhjen detyrat e testimit kontrolloni se si studentët e kanë përvetësuar materialin e studiuar;
Vazhdoni të ngjallni interes për mësimet e matematikës;
Edukoni nxënësit e shkollave të menduarit logjik, kureshtje dhe këmbëngulje.
Plani i mësimit
1. Koncepte të përgjithshme dhe përcaktimi i modulit të një numri.
2. Kuptimi gjeometrik i modulit.
3. Moduli i një numri dhe vetitë e tij.
4. Zgjidhja e ekuacioneve dhe inekuacioneve që përmbajnë modulin e një numri.
5. Referencë historike në lidhje me termin "moduli i një numri".
6. Detyrë për të konsoliduar njohuritë për temën e trajtuar.
7. Detyrë shtëpie.
Koncepte të përgjithshme për modulin e një numri
Moduli i një numri zakonisht quhet vetë numri nëse nuk ka vlerë negative, ose i njëjti numër është negativ, por me shenjë të kundërt.
Kjo është, moduli i jonegativit numër real a është vetë numri:
Dhe, moduli i një numri real negativ x është numri i kundërt:
Në regjistrim do të duket kështu:
Për një kuptim më të arritshëm, le të japim një shembull. Kështu, për shembull, moduli i numrit 3 është 3, dhe gjithashtu moduli i numrit -3 është 3.
Nga kjo rezulton se me modulin e një numri nënkuptojmë vlere absolute, pra vlerën absolute të saj, por pa marrë parasysh shenjën e saj. Për ta thënë edhe më thjesht, është e nevojshme të hiqni shenjën nga numri.
Moduli i një numri mund të caktohet dhe të duket kështu: |3|, |x|, |a| etj.
Kështu, për shembull, moduli i numrit 3 shënohet |3|.
Gjithashtu, duhet mbajtur mend se moduli i një numri nuk është kurrë negativ: |a|≥ 0.
|5| = 5, |-6| = 6, |-12,45| = 12.45, etj.
Kuptimi gjeometrik i modulit
Moduli i një numri është distanca që matet në segmente njësi nga origjina në pikë. Ky përkufizim zbulon modulin nga një këndvështrim gjeometrik.
Le të marrim një vijë koordinative dhe të caktojmë dy pika në të. Le të korrespondojnë këto pika me numra të tillë si -4 dhe 2.
Tani le t'i kushtojmë vëmendje kësaj figure. Shohim që pika A, e treguar në vijën e koordinatave, korrespondon me numrin -4, dhe nëse shikoni me kujdes, do të shihni se kjo pikë ndodhet në një distancë prej 4 segmentesh njësi nga pika e referencës 0. Nga kjo rrjedh se gjatësia e segmentit OA është e barabartë me katër njësi. Në këtë rast, gjatësia e segmentit OA, domethënë numri 4, do të jetë moduli i numrit -4.
Në këtë rast, moduli i një numri shënohet dhe shkruhet në këtë mënyrë: |−4| = 4.
Tani le të marrim dhe caktojmë pikën B në vijën koordinative.
Kjo pikë B do të korrespondojë me numrin +2 dhe, siç e shohim, ndodhet në një distancë prej dy segmente njësi nga origjina. Nga kjo rrjedh se gjatësia e segmentit OB është e barabartë me dy njësi. Në këtë rast, numri 2 do të jetë moduli i numrit +2.
Në regjistrim do të duket kështu: |+2| = 2 ose |2| = 2.
Tani le të përmbledhim. Nëse marrim një numër të panjohur a dhe e caktojmë atë në vijën koordinative si pikën A, atëherë në këtë rast distanca nga pika A në origjinë, domethënë gjatësia e segmentit OA, është pikërisht moduli i numrit "a “.
Në shkrim do të duket kështu: |a| = OA.
Moduli i një numri dhe vetitë e tij
Tani le të përpiqemi të nxjerrim në pah vetitë e modulit, të shqyrtojmë të gjitha rastet e mundshme dhe t'i shkruajmë ato duke përdorur shprehje fjalë për fjalë:
Së pari, moduli i një numri është një numër jo negativ, që do të thotë se moduli i një numri pozitiv është i barabartë me vetë numrin: |a| = a, nëse a > 0;
Së dyti, modulet që përbëhen nga numra të kundërt janë të barabartë: |a| = |–a|. Kjo do të thotë, kjo veti na tregon se numrat e kundërt kanë gjithmonë module të barabarta, ashtu si në një vijë koordinative, megjithëse kanë numra të kundërt, ata janë në të njëjtën distancë nga pika e referencës. Nga kjo rezulton se modulet e këtyre numrave të kundërt janë të barabartë.
Së treti, moduli i zeros është i barabartë me zero nëse ky numër është zero: |0| = 0 nëse a = 0. Këtu mund të themi me siguri se moduli i zeros është zero sipas definicionit, pasi korrespondon me origjinën e vijës së koordinatave.
Vetia e katërt e një moduli është se moduli i prodhimit të dy numrave është i barabartë me produktin e modulit të këtyre numrave. Tani le të hedhim një vështrim më të afërt se çfarë do të thotë kjo. Nëse ndjekim përkufizimin, atëherë ju dhe unë e dimë se moduli i prodhimit të numrave a dhe b do të jetë i barabartë me a b, ose −(a b), nëse a b ≥ 0, ose – (a b), nëse a b është më i madh se 0. B regjistrimi do të duket kështu: |a b| = |a| |b|.
Vetia e pestë është se moduli i herësit të numrave është i barabartë me raportin e moduleve të këtyre numrave: |a: b| = |a| : |b|.
Dhe vetitë e mëposhtme të modulit të numrave:
Zgjidhja e ekuacioneve dhe inekuacioneve që përfshijnë modulin e një numri
Kur filloni të zgjidhni problemet që kanë një modul numerik, duhet të mbani mend se për të zgjidhur një detyrë të tillë, është e nevojshme të zbuloni shenjën e modulit duke përdorur njohuritë e vetive me të cilat korrespondon ky problem.
Ushtrimi 1
Kështu, për shembull, nëse nën shenjën e modulit ka një shprehje që varet nga një ndryshore, atëherë moduli duhet të zgjerohet në përputhje me përkufizimin:
Sigurisht, gjatë zgjidhjes së problemeve, ka raste kur moduli zbulohet në mënyrë unike. Nëse, për shembull, marrim
, këtu shohim se një shprehje e tillë nën shenjën e modulit është jonegative për çdo vlerë të x dhe y.
Ose, për shembull, le të marrim
, shohim se kjo shprehje e modulit nuk është pozitive për asnjë vlerë të z.
Detyra 2
Një vijë koordinative shfaqet para jush. Në këtë rresht është e nevojshme të shënohen numrat, moduli i të cilëve do të jetë i barabartë me 2.
Zgjidhje
Para së gjithash, ne duhet të vizatojmë një vijë koordinative. Ju tashmë e dini se për ta bërë këtë, së pari në vijën e drejtë duhet të zgjidhni origjinën, drejtimin dhe segmentin e njësisë. Më pas, duhet të vendosim pika nga origjina që janë të barabarta me distancën e dy segmenteve njësi.
Siç mund ta shihni, ka dy pika të tilla në vijën koordinative, njëra prej të cilave korrespondon me numrin -2 dhe tjetra me numrin 2.
Informacion historik për modulin e numrave
Termi "modul" vjen nga emri latin modulus, që do të thotë "masë". Ky term u krijua nga matematikani anglez Roger Cotes. Por shenja e modulit u prezantua falë matematikanit gjerman Karl Weierstrass. Kur shkruhet, një modul shënohet duke përdorur simbolin e mëposhtëm: | |.
Pyetje për të konsoliduar njohuritë për materialin
Në mësimin e sotëm, ne u njohëm me një koncept të tillë si moduli i një numri, dhe tani le të kontrollojmë se si e keni zotëruar këtë temë duke iu përgjigjur pyetjeve të parashtruara:
1. Si quhet numri që është i kundërt i një numri pozitiv?
2. Si quhet numri që është përballë numër negativ?
3. Emërtoni numrin që është i kundërt i zeros. A ekziston një numër i tillë?
4. Emërtoni një numër që nuk mund të jetë modul i një numri.
5. Përcaktoni modulin e një numri.
Detyre shtepie
1. Para jush janë numrat që duhet t'i renditni në rend zbritës të moduleve. Nëse e përfundoni saktë detyrën, do të zbuloni emrin e personit që futi për herë të parë termin "modul" në matematikë.
2. Vizatoni një vijë koordinative dhe gjeni distancën nga M (-5) dhe K (8) deri në origjinë.
Vlera absolute e një numri aështë distanca nga origjina në pikën A(a).
Për të kuptuar këtë përkufizim, le të zëvendësojmë variablin açdo numër, për shembull 3 dhe përpiquni ta lexoni përsëri:
Vlera absolute e një numri 3 është distanca nga origjina në pikën A(3 ).
Bëhet e qartë se moduli nuk është asgjë më shumë se një distancë e zakonshme. Le të përpiqemi të shohim distancën nga origjina në pikën A( 3 )
Largësia nga origjina në pikën A ( 3 ) është e barabartë me 3 (tre njësi ose tre hapa).
Moduli i një numri tregohet nga dy vija vertikale, për shembull:
Moduli i numrit 3 shënohet si më poshtë: |3|
Moduli i numrit 4 shënohet si më poshtë: |4|
Moduli i numrit 5 shënohet si më poshtë: |5|
Ne kërkuam modulin e numrit 3 dhe zbuluam se është i barabartë me 3. Kështu e shkruajmë atë:
Lexohet si: "Moduli i numrit tre është tre"
Tani le të përpiqemi të gjejmë modulin e numrit -3. Përsëri, ne kthehemi te përkufizimi dhe zëvendësojmë numrin -3 në të. Vetëm në vend të një pike A përdorni një pikë të re B. Ndalesa e plotë A kemi përdorur tashmë në shembullin e parë.
Moduli i numrit - 3 është distanca nga origjina në një pikë B(—3 ).
Distanca nga një pikë në tjetrën nuk mund të jetë negative. Prandaj, moduli i çdo numri negativ, duke qenë një distancë, gjithashtu nuk do të jetë negativ. Moduli i numrit -3 do të jetë numri 3. Largësia nga origjina deri në pikën B(-3) është gjithashtu e barabartë me tre njësi:
Lexohet si: "Moduli i minus tre është tre."
Moduli i numrit 0 është i barabartë me 0, pasi pika me koordinatë 0 përkon me origjinën, d.m.th. distanca nga origjina në pikë O(0) barazohet me zero:
"Moduli i zeros është zero"
Ne nxjerrim përfundime:
- Moduli i një numri nuk mund të jetë negativ;
- Për një numër pozitiv dhe zero, moduli është i barabartë me vetë numrin, dhe për një numër negativ - numri i kundërt;
- Numrat e kundërt kanë module të barabarta.
Numra të kundërt
Numrat që ndryshojnë vetëm në shenja quhen e kundërt. Për shembull, numrat −2 dhe 2 janë të kundërt. Ato ndryshojnë vetëm në shenja. Numri -2 ka një shenjë minus, dhe 2 ka një shenjë plus, por ne nuk e shohim atë, sepse plus, siç thamë më parë, tradicionalisht nuk shkruhet.
Më shumë shembuj të numrave të kundërt:
Numrat e kundërt kanë module të barabarta. Për shembull, le të gjejmë modulet për −2 dhe 2
Figura tregon se distanca nga origjina në pikat A(-2) Dhe B(2) njësoj e barabartë me dy hapa.
Ju pëlqeu mësimi?
Bashkohuni me grupin tonë të ri VKontakte dhe filloni të merrni njoftime për mësime të reja
Termi (modul) i përkthyer fjalë për fjalë nga latinishtja do të thotë "masë". Ky koncept u fut në matematikë nga shkencëtari anglez R. Cotes. Dhe matematikani gjerman K. Weierstrass prezantoi shenjën e modulit - një simbol që tregon këtë koncept kur shkruani.
Së pari këtë koncept studiohet në matematikë sipas planprogramit të klasës së 6-të të shkollës së mesme. Sipas një përkufizimi, moduli është vlera absolute e një numri real. Me fjalë të tjera, për të zbuluar modulin e një numri real, duhet të hidhni poshtë shenjën e tij.
Vlera grafike absolute A shënohet si |a|.
Kryesor tipar dallues Ky koncept është se është gjithmonë një sasi jo negative.
Numrat që ndryshojnë nga njëri-tjetri vetëm në shenjë quhen numra të kundërt. Nëse një vlerë është pozitive, atëherë e kundërta e saj është negative, dhe zero është e kundërta e saj.
Kuptimi gjeometrik
Nëse marrim parasysh konceptin e një moduli nga këndvështrimi i gjeometrisë, atëherë ai do të tregojë distancën që matet në segmente njësi nga origjina e koordinatave në një pikë të caktuar. Ky përkufizim zbulon plotësisht kuptimin gjeometrik të termit që studiohet.
Grafikisht kjo mund të shprehet si më poshtë: |a| = OA.
Vetitë me vlerë absolute
Më poshtë do të shqyrtojmë të gjitha vetitë matematikore të këtij koncepti dhe mënyrat e shkrimit të tij në formën e shprehjeve fjalë për fjalë:
Veçoritë e zgjidhjes së ekuacioneve me modul
Nëse flasim për zgjidhjen e ekuacioneve dhe pabarazive matematikore që përmbajnë modul, atëherë duhet të kujtojmë se për t'i zgjidhur ato do t'ju duhet të hapni këtë shenjë.
Për shembull, nëse shenja e një vlere absolute përmban një shprehje matematikore, atëherë para se të hapni modulin, është e nevojshme të merren parasysh përkufizimet aktuale matematikore.
|A + 5| = A + 5, nëse, A është më i madh ose i barabartë me zero.
5-A, nëse, një vlerë është më e vogël se zero.
Në disa raste, shenja mund të zbulohet pa mëdyshje për çdo vlerë të ndryshores.
Le të shohim një shembull tjetër. Le të ndërtojmë një vijë koordinative në të cilën shënojmë gjithçka vlerat numerike vlera absolute e së cilës do të jetë 5.
Së pari ju duhet të vizatoni një vijë koordinative, të shënoni origjinën e koordinatave në të dhe të vendosni madhësinë e një segmenti njësi. Përveç kësaj, vija e drejtë duhet të ketë një drejtim. Tani në këtë linjë është e nevojshme të aplikohen shenja që do të jenë të barabarta me madhësinë e një segmenti njësi.
Kështu, mund të shohim se në këtë linjë koordinative do të ketë dy pika me interes për ne me vlera 5 dhe -5.
Moduli është një nga ato gjëra që të gjithë duket se kanë dëgjuar, por në realitet askush nuk e kupton vërtet. Prandaj, sot do të ketë një mësim të madh kushtuar zgjidhjes së ekuacioneve me module.
Unë do të them menjëherë: mësimi nuk do të jetë i vështirë. Dhe në përgjithësi, modulet janë një temë relativisht e thjeshtë. “Po, sigurisht, nuk është e komplikuar! Më merr mendjen!” - do të thonë shumë studentë, por të gjitha këto prishje të trurit ndodhin për faktin se shumica e njerëzve nuk kanë njohuri në kokën e tyre, por një lloj katrahure. Dhe qëllimi i këtij mësimi është të kthejë katrahurën në njohuri.
Pak teori
Pra, le të shkojmë. Le të fillojmë me gjënë më të rëndësishme: çfarë është një modul? Më lejoni t'ju kujtoj se moduli i një numri është thjesht i njëjti numër, por merret pa shenjën minus. Kjo është, për shembull, $\left| -5 \djathtas|=5$. Ose $\majtas| -129,5 \djathtas|=129,5$.
A është kaq e thjeshtë? Po, e thjeshtë. Cila është atëherë vlera absolute e një numri pozitiv? Këtu është edhe më e thjeshtë: moduli i një numri pozitiv është i barabartë me vetë këtë numër: $\left| 5 \djathtas|=5$; $\majtas| 129,5 \djathtas|=129,5$, etj.
Rezulton një gjë kurioze: numra të ndryshëm mund të ketë të njëjtin modul. Për shembull: $\left| -5 \djathtas|=\majtas| 5 \djathtas|=5$; $\majtas| -129.5 \djathtas|=\majtas| 129,5\djathtas|=129,5$. Është e lehtë të shihet se çfarë lloj numrash janë këta që kanë të njëjtat module: këta numra janë të kundërt. Kështu, vërejmë vetë se modulet e numrave të kundërt janë të barabarta:
\[\majtas| -a \djathtas|=\majtas| a\drejtë|\]
Një tjetër fakt i rëndësishëm: moduli nuk është kurrë negativ. Çfarëdo numri që marrim - qoftë pozitiv apo negativ - moduli i tij gjithmonë rezulton pozitiv (ose, në raste ekstreme, zero). Kjo është arsyeja pse moduli shpesh quhet vlerë absolute e një numri.
Përveç kësaj, nëse kombinojmë përkufizimin e modulit për një numër pozitiv dhe negativ, marrim një përkufizim global të modulit për të gjithë numrat. Domethënë: moduli i një numri është i barabartë me vetë numrin nëse numri është pozitiv (ose zero), ose i barabartë me numrin e kundërt nëse numri është negativ. Ju mund ta shkruani këtë si formulë:
Ekziston edhe një modul zero, por ai është gjithmonë i barabartë me zero. Përveç kësaj, zero është i vetmi numër që nuk ka një të kundërt.
Kështu, nëse marrim parasysh funksionin $y=\left| x \right|$ dhe përpiquni të vizatoni grafikun e tij, do të merrni diçka të tillë:
Grafiku i modulit dhe shembulli i zgjidhjes së ekuacionit
Nga kjo foto është menjëherë e qartë se $\left| -m \djathtas|=\majtas| m \right|$, dhe grafiku i modulit nuk bie kurrë nën boshtin x. Por kjo nuk është e gjitha: vija e kuqe shënon vijën e drejtë $y=a$, e cila, për $a$ pozitive, na jep dy rrënjë njëherësh: $((x)_(1))$ dhe $((x) _(2)) $, por ne do të flasim për këtë më vonë.
Përveç përkufizimit thjesht algjebrik, ekziston edhe një përkufizim gjeometrik. Le të themi se ka dy pika në vijën numerike: $((x)_(1))$ dhe $((x)_(2))$. Në këtë rast, shprehja $\left| ((x)_(1))-((x)_(2)) \right|$ është thjesht distanca ndërmjet pikave të specifikuara. Ose, nëse preferoni, gjatësia e segmentit që lidh këto pika:
Moduli është distanca midis pikave në një vijë numerike Ky përkufizim gjithashtu nënkupton që moduli është gjithmonë jo negativ. Por mjaft përkufizime dhe teori - le të kalojmë në ekuacione reale.
Formula bazë
Mirë, ne e kemi rregulluar përkufizimin. Por kjo nuk e bëri më të lehtë. Si të zgjidhen ekuacionet që përmbajnë pikërisht këtë modul?
Qetë, vetëm qetësi. Le të fillojmë me gjërat më të thjeshta. Konsideroni diçka si kjo:
\[\majtas| x\djathtas|=3\]
Pra, moduli i $x$ është 3. Me çfarë mund të jetë i barabartë $x$? Epo, duke gjykuar nga përkufizimi, ne jemi mjaft të kënaqur me $x=3$. Vërtet:
\[\majtas| 3\djathtas|=3\]
A ka numra të tjerë? Cap duket se është duke lënë të kuptohet se ka. Për shembull, $x=-3$ është gjithashtu $\left| -3 \djathtas|=3$, d.m.th. plotësohet barazia e kërkuar.
Pra, ndoshta nëse kërkojmë dhe mendojmë, do të gjejmë më shumë numra? Por shkëputeni: më shumë numra Nr. Ekuacioni $\majtas| x \right|=3$ ka vetëm dy rrënjë: $x=3$ dhe $x=-3$.
Tani le ta komplikojmë pak detyrën. Lëreni funksionin $f\left(x \djathtas)$ të varet nën shenjën e modulit në vend të ndryshores $x$ dhe vendosni një numër arbitrar $a$ në vend të treshes në të djathtë. Ne marrim ekuacionin:
\[\majtas| f\majtas(x \djathtas) \djathtas|=a\]
Pra, si mund ta zgjidhim këtë? Më lejoni t'ju kujtoj: $f\left(x \right)$ është një funksion arbitrar, $a$ është çdo numër. Ato. Gjithçka fare! Për shembull:
\[\majtas| 2x+1 \djathtas|=5\]
\[\majtas| 10x-5 \djathtas|=-65\]
Le t'i kushtojmë vëmendje ekuacionit të dytë. Mund të thuash menjëherë për të: ai nuk ka rrënjë. Pse? Gjithçka është e saktë: sepse kërkon që moduli të jetë i barabartë me një numër negativ, gjë që nuk ndodh kurrë, pasi ne tashmë e dimë që moduli është gjithmonë një numër pozitiv ose, në raste ekstreme, zero.
Por me ekuacionin e parë gjithçka është më argëtuese. Ka dy opsione: ose ka një shprehje pozitive nën shenjën e modulit, dhe më pas $\left| 2x+1 \right|=2x+1$, ose kjo shprehje është ende negative, dhe më pas $\left| 2x+1 \djathtas|=-\majtas(2x+1 \djathtas)=-2x-1$. Në rastin e parë, ekuacioni ynë do të rishkruhet si më poshtë:
\[\majtas| 2x+1 \djathtas|=5\Djathtas 2x+1=5\]
Dhe befas rezulton se shprehja submodulare $2x+1$ është vërtet pozitive - është e barabartë me numrin 5. Kjo është ne mund ta zgjidhim me siguri këtë ekuacion - rrënja që rezulton do të jetë një pjesë e përgjigjes:
Ata që janë veçanërisht mosbesues mund të përpiqen të zëvendësojnë rrënjën e gjetur në ekuacionin origjinal dhe të sigurohen që moduli në të vërtetë do të jetë numër pozitiv.
Tani le të shohim rastin e një shprehje negative submodulare:
\[\majtas\( \fillimi(rreshtoj)& \majtas| 2x+1 \djathtas|=5 \\& 2x+1 \lt 0 \\\fund (rreshtoj) \djathtas.\Rightarrow -2x-1=5 \Shigjeta djathtas 2x+1=-5\]
Oops! Përsëri, gjithçka është e qartë: ne supozuam se $2x+1 \lt 0$, dhe si rezultat morëm atë $2x+1=-5$ - në të vërtetë, kjo shprehje është më pak se zero. Ne zgjidhim ekuacionin që rezulton, ndërsa tashmë e dimë me siguri se rrënja e gjetur do të na përshtatet:
Në total, përsëri morëm dy përgjigje: $x=2$ dhe $x=3$. Po, sasia e llogaritjeve doli të jetë pak më e madhe se në ekuacionin shumë të thjeshtë $\left| x \right|=3$, por asgjë në thelb nuk ka ndryshuar. Pra, ndoshta ekziston një lloj algoritmi universal?
Po, ekziston një algoritëm i tillë. Dhe tani do ta analizojmë.
Largimi i shenjës së modulit
Le të na jepet ekuacioni $\left| f\left(x \right) \right|=a$, dhe $a\ge 0$ (përndryshe, siç e dimë tashmë, nuk ka rrënjë). Pastaj mund të heqësh qafe shenjën e modulit duke përdorur rregullin e mëposhtëm:
\[\majtas| f\majtas(x \djathtas) \djathtas|=a\Shigjeta djathtas f\majtas(x \djathtas)=\pm a\]
Kështu, ekuacioni ynë me një modul ndahet në dy, por pa një modul. Kjo është e gjitha teknologjia! Le të përpiqemi të zgjidhim disa ekuacione. Le të fillojmë me këtë
\[\majtas| 5x+4 \djathtas|=10\Djathtas shigjetë 5x+4=\pm 10\]
Le të shqyrtojmë veçmas kur ka një dhjetë plus në të djathtë, dhe veçmas kur ka një minus. Ne kemi:
\[\fillim(rreshtoj)& 5x+4=10\Djathtas shigjetë 5x=6\Djathtas shigjetë x=\frac(6)(5)=1,2; \\& 5x+4=-10\Djathtas 5x=-14\Djathtas x=-\frac(14)(5)=-2.8. \\\fund (radhis)\]
Kjo eshte e gjitha! Ne morëm dy rrënjë: $x=1.2$ dhe $x=-2.8$. E gjithë zgjidhja mori fjalë për fjalë dy rreshta.
Ok, pa dyshim, le të shohim diçka pak më serioze:
\[\majtas| 7-5x\djathtas|=13\]
Përsëri hapim modulin me plus dhe minus:
\[\fillim(rreshtoj)& 7-5x=13\Djathtas -5x=6\Djathtas x=-\frac(6)(5)=-1,2; \\& 7-5x=-13\Djathtas -5x=-20\Rightarrow x=4. \\\fund (radhis)\]
Përsëri disa rreshta - dhe përgjigja është gati! Siç thashë, nuk ka asgjë të komplikuar në lidhje me modulet. Thjesht duhet të mbani mend disa rregulla. Prandaj, ne vazhdojmë dhe fillojmë me detyra vërtet më komplekse.
Rasti i një ndryshoreje në anën e djathtë
Tani merrni parasysh këtë ekuacion:
\[\majtas| 3x-2 \djathtas|=2x\]
Ky ekuacion është thelbësisht i ndryshëm nga të gjitha ato të mëparshme. Si? Dhe fakti që në të djathtë të shenjës së barazimit është shprehja $2x$ - dhe nuk mund ta dimë paraprakisht nëse është pozitive apo negative.
Çfarë duhet bërë në këtë rast? Së pari, duhet ta kuptojmë një herë e përgjithmonë nëse ana e djathtë e ekuacionit rezulton negative, atëherë ekuacioni nuk do të ketë rrënjë- ne tashmë e dimë se moduli nuk mund të jetë i barabartë me një numër negativ.
Dhe së dyti, nëse pjesa e djathtë është ende pozitive (ose e barabartë me zero), atëherë mund të veproni saktësisht në të njëjtën mënyrë si më parë: thjesht hapni modulin veçmas me një shenjë plus dhe veçmas me një shenjë minus.
Kështu, ne formulojmë një rregull për funksionet arbitrare $f\left(x \right)$ dhe $g\left(x \right)$:
\[\majtas| f\ majtas(x \djathtas) \djathtas|=g\majtas(x \djathtas)\Djathtas shigjeta \majtas\( \fillimi(rreshtoj)& f\majtë(x \djathtas)=\pm g\majtas (x \djathtas ), \\& g\majtas(x \djathtas)\ge 0. \\\fund (rreshtoj) \djathtas.\]
Në lidhje me ekuacionin tonë marrim:
\[\majtas| 3x-2 \djathtas|=2x\Djathtas shigjeta \majtas\( \fillimi(radhis)& 3x-2=\pm 2x, \\& 2x\ge 0. \\\fund (rreshtoj) \djathtas.\]
Epo, ne do të përballojmë disi kërkesën $2x\ge 0$. Në fund, ne mund të zëvendësojmë marrëzi rrënjët që marrim nga ekuacioni i parë dhe të kontrollojmë nëse pabarazia vlen apo jo.
Pra, le të zgjidhim vetë ekuacionin:
\[\fillim(lidh)& 3x-2=2\Djathtas shigjetë 3x=4\Djathtas x=\frac(4)(3); \\& 3x-2=-2\Djathtas shigjetë 3x=0\Djathtas x=0. \\\fund (radhis)\]
Epo, cila nga këto dy rrënjë plotëson kërkesën $2x\ge 0$? Po të dyja! Prandaj, përgjigja do të jetë dy numra: $x=(4)/(3)\;$ dhe $x=0$. Kjo është zgjidhja.
Dyshoj se disa nga studentët tashmë kanë filluar të mërziten? Epo, le të shohim një ekuacion edhe më kompleks:
\[\majtas| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \djathtas|=x-((x)^(3))\]
Edhe pse duket e keqe, në fakt është ende i njëjti ekuacion i formës "moduli është i barabartë me funksionin":
\[\majtas| f\majtas(x \djathtas) \djathtas|=g\majtas(x \djathtas)\]
Dhe zgjidhet saktësisht në të njëjtën mënyrë:
\[\majtas| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \djathtas|=x-((x)^(3))\Djathtas shigjeta \majtas\( \fillimi(rreshtoj)& ( (x)^(3))-3((x)^(2))+x=\pm \majtas(x-((x)^(3)) \djathtas), \\& x-((x )^(3))\ge 0. \\\fund (rreshtoj) \djathtas.\]
Ne do të merremi me pabarazinë më vonë - ajo është disi shumë e keqe (në fakt, është e thjeshtë, por ne nuk do ta zgjidhim atë). Tani për tani, është më mirë të merremi me ekuacionet që rezultojnë. Le të shqyrtojmë rastin e parë - kjo është kur moduli zgjerohet me një shenjë plus:
\[((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3))\]
Epo, është e kotë që ju duhet të mbledhni gjithçka nga e majta, të sillni të ngjashme dhe të shihni se çfarë ndodh. Dhe kjo është ajo që ndodh:
\[\filloj(rreshtoj)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3)); \\& 2((x)^(3))-3((x)^(2))=0; \\\fund (radhis)\]
Ne nxjerrim faktorin e përbashkët $((x)^(2))$ nga kllapat dhe marrim një ekuacion shumë të thjeshtë:
\[((x)^(2))\majtas(2x-3 \djathtas)=0\Djathtas shigjeta \majtas[ \fillimi(rreshtoj)& ((x)^(2))=0 \\& 2x-3 =0 \\\fund (rreshtoj) \djathtas.\]
\[((x)_(1))=0;\katër ((x)_(2))=\frac(3)(2)=1,5.\]
Këtu kemi përdorur pronë e rëndësishme produkti, për hir të të cilit faktorizuam polinomin origjinal: prodhimi është i barabartë me zero kur të paktën njëri prej faktorëve është i barabartë me zero.
Tani le të merremi me ekuacionin e dytë në të njëjtën mënyrë, i cili përftohet duke zgjeruar modulin me një shenjë minus:
\[\filloj(rreshtoj)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-\majtas(x-((x)^(3)) \djathtas); \\& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-x+((x)^(3)); \\& -3((x)^(2))+2x=0; \\& x\ majtas(-3x+2 \djathtas)=0. \\\fund (radhis)\]
Përsëri e njëjta gjë: produkti është i barabartë me zero kur të paktën një nga faktorët është i barabartë me zero. Ne kemi:
\[\majtas[ \fillimi(rreshtoj)& x=0 \\& -3x+2=0 \\\fund (rreshtoj) \djathtas.\]
Epo, ne morëm tre rrënjë: $x=0$, $x=1.5$ dhe $x=(2)/(3)\;$. Epo, cili nga ky grup do të hyjë në përgjigjen përfundimtare? Për ta bërë këtë, mbani mend se kemi një kufizim shtesë në formën e pabarazisë:
Si të merret parasysh kjo kërkesë? Le të zëvendësojmë vetëm rrënjët e gjetura dhe të kontrollojmë nëse pabarazia vlen për këto $x$ apo jo. Ne kemi:
\[\fillimi(rreshtoj)& x=0\Shigjeta djathtas x-((x)^(3))=0-0=0\ge 0; \\& x=1,5\Shigjeta djathtas x-((x)^(3))=1,5-((1,5)^(3)) \lt 0; \\& x=\frac(2)(3)\Shigjeta djathtas x-((x)^(3))=\frac(2)(3)-\frac(8)(27)=\frac(10) (27)\ge 0; \\\fund (radhis)\]
Kështu, rrënja $x=1.5$ nuk na përshtatet. Dhe si përgjigje do të ketë vetëm dy rrënjë:
\[((x)_(1))=0;\katër ((x)_(2))=\frac(2)(3).\]
Siç mund ta shihni, edhe në këtë rast nuk kishte asgjë të komplikuar - ekuacionet me module zgjidhen gjithmonë duke përdorur një algoritëm. Ju vetëm duhet të keni një kuptim të mirë të polinomeve dhe pabarazive. Prandaj, ne kalojmë në detyra më komplekse - tashmë nuk do të ketë një, por dy module.
Ekuacionet me dy module
Deri tani kemi studiuar vetëm më së shumti ekuacione të thjeshta— kishte një modul dhe diçka tjetër. E dërguam këtë “diçka tjetër” në një pjesë tjetër të pabarazisë, larg modulit, në mënyrë që në fund gjithçka të reduktohej në një ekuacion të formës $\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \djathtas)$ ose edhe më e thjeshtë $\majtas| f\left(x \djathtas) \djathtas|=a$.
Por kopshti i fëmijëve përfundoi - është koha të shqyrtojmë diçka më serioze. Le të fillojmë me ekuacione si kjo:
\[\majtas| f\majtas(x \djathtas) \djathtas|=\majtas| g\left(x \djathtas) \djathtas|\]
Ky është një ekuacion i formës "moduli është i barabartë me modulin". Në thelb pikë e rëndësishmeështë mungesa e termave dhe faktorëve të tjerë: vetëm një modul në të majtë, një modul më shumë në të djathtë - dhe asgjë më shumë.
Dikush tani do të mendojë se ekuacione të tilla janë më të vështira për t'u zgjidhur sesa ato që kemi studiuar deri tani. Por jo: këto ekuacione janë edhe më të lehta për t'u zgjidhur. Këtu është formula:
\[\majtas| f\left(x \djathtas) \djathtas|=\majtas| g\majtas(x \djathtas) \djathtas|\Djathtas f\ majtas(x \djathtas)=\pm g\majtas(x \djathtas)\]
Të gjitha! Ne thjesht barazojmë shprehjet nënmodulare duke vendosur një shenjë plus ose minus përpara njërës prej tyre. Dhe pastaj ne zgjidhim dy ekuacionet që rezultojnë - dhe rrënjët janë gati! Asnjë kufizim shtesë, pa pabarazi, etj. Gjithçka është shumë e thjeshtë.
Le të përpiqemi ta zgjidhim këtë problem:
\[\majtas| 2x+3 \djathtas|=\majtas| 2x-7 \djathtas|\]
Watson elementar! Zgjerimi i moduleve:
\[\majtas| 2x+3 \djathtas|=\majtas| 2x-7 \djathtas|\Djathtas 2x+3=\pm \majtas(2x-7 \djathtas)\]
Le të shqyrtojmë secilin rast veç e veç:
\[\fillim(lidh)& 2x+3=2x-7\Rightarrow 3=-7\Rightarrow \emptyset ; \\& 2x+3=-\majtas(2x-7 \djathtas)\Djathtas shigjetë 2x+3=-2x+7. \\\fund (radhis)\]
Ekuacioni i parë nuk ka rrënjë. Sepse kur është $3=-7$? Në çfarë vlerash prej $x$? “Çfarë dreqin është $x$? Jeni të vrarë me gurë? Nuk ka fare $x$ atje, "thoni ju. Dhe do të kesh të drejtë. Ne kemi marrë një barazi që nuk varet nga ndryshorja $x$, dhe në të njëjtën kohë barazia në vetvete është e pasaktë. Kjo është arsyeja pse nuk ka rrënjë :)
Me ekuacionin e dytë, gjithçka është pak më interesante, por edhe shumë, shumë e thjeshtë:
Siç mund ta shihni, gjithçka u zgjidh fjalë për fjalë në disa rreshta - ne nuk prisnim asgjë tjetër nga një ekuacion linear.
Si rezultat, përgjigja përfundimtare është: $x=1$.
Pra, si? E veshtire? Sigurisht që jo. Le të provojmë diçka tjetër:
\[\majtas| x-1 \djathtas|=\majtas| ((x)^(2))-3x+2 \djathtas|\]
Përsëri kemi një ekuacion të formës $\left| f\majtas(x \djathtas) \djathtas|=\majtas| g\left(x \djathtas) \djathtas|$. Prandaj, ne e rishkruajmë menjëherë, duke zbuluar shenjën e modulit:
\[((x)^(2))-3x+2=\pm \majtas(x-1 \djathtas)\]
Ndoshta dikush do të pyesë tani: “Hej, çfarë marrëzie? Pse shfaqet "plus-minus" në shprehjen e djathtë dhe jo në të majtë?" Qetësohu, do të shpjegoj gjithçka tani. Në të vërtetë, në një mënyrë të mirë duhet ta kishim rishkruar ekuacionin tonë si më poshtë:
Pastaj duhet të hapni kllapat, të zhvendosni të gjithë termat në njërën anë të shenjës së barabartë (pasi ekuacioni, padyshim, do të jetë kuadratik në të dyja rastet) dhe më pas gjeni rrënjët. Por duhet ta pranoni: kur "plus-minus" shfaqet para tre termave (veçanërisht kur njëri prej këtyre termave është një shprehje kuadratike), duket disi më e ndërlikuar sesa situata kur "plus-minus" shfaqet vetëm para dy termave.
Por asgjë nuk na pengon të rishkruajmë ekuacionin origjinal si më poshtë:
\[\majtas| x-1 \djathtas|=\majtas| ((x)^(2))-3x+2 \djathtas|\Djathtas shigjeta \majtas| ((x)^(2))-3x+2 \djathtas|=\majtas| x-1 \djathtas|\]
Cfare ndodhi? Asgjë e veçantë: ata thjesht këmbyen anën e majtë dhe të djathtë. Një gjë e vogël që përfundimisht do ta bëjë jetën tonë pak më të lehtë :)
Në përgjithësi, ne e zgjidhim këtë ekuacion, duke marrë parasysh opsionet me një plus dhe një minus:
\[\fillo(rreshtoj)& ((x)^(2))-3x+2=x-1\Shigjeta djathtas ((x)^(2))-4x+3=0; \\& ((x)^(2))-3x+2=-\majtas(x-1 \djathtas)\Shigjeta djathtas ((x)^(2))-2x+1=0. \\\fund (radhis)\]
Ekuacioni i parë ka rrënjë $x=3$ dhe $x=1$. E dyta është përgjithësisht një katror i saktë:
\[((x)^(2))-2x+1=((\majtas(x-1 \djathtas))^(2))\]
Prandaj, ajo ka vetëm një rrënjë: $x=1$. Por ne e kemi marrë tashmë këtë rrënjë më herët. Kështu, vetëm dy numra do të hyjnë në përgjigjen përfundimtare:
\[((x)_(1))=3;\katër ((x)_(2))=1.\]
Misioni u kompletua! Mund të merrni një byrek nga rafti dhe ta hani. Janë 2 prej tyre, e juaja është e mesme.
Shënim i rëndësishëm. Disponueshmëria rrënjë të njëjta në opsione të ndryshme zgjerimi i modulit do të thotë që polinomet origjinale janë të faktorizuar, dhe midis këtyre faktorëve do të ketë patjetër një të përbashkët. Vërtet:
\[\filloj(rreshtoj)& \majtas| x-1 \djathtas|=\majtas| ((x)^(2))-3x+2 \djathtas|; \\& \majtas| x-1 \djathtas|=\majtas| \majtas(x-1 \djathtas)\majtas(x-2 \djathtas) \djathtas|. \\\fund (radhis)\]
Një nga vetitë e modulit: $\left| a\cdot b \djathtas|=\majtas| a \djathtas|\cdot \majtas| b \right|$ (d.m.th. moduli i produktit është i barabartë me produktin e modulit), kështu që ekuacioni origjinal mund të rishkruhet si më poshtë:
\[\majtas| x-1 \djathtas|=\majtas| x-1 \djathtas|\cdot \majtas| x-2 \djathtas|\]
Siç mund ta shihni, ne kemi vërtet një faktor të përbashkët. Tani, nëse mblidhni të gjitha modulet në njërën anë, mund ta hiqni këtë faktor nga kllapa:
\[\filloj(rreshtoj)& \majtas| x-1 \djathtas|=\majtas| x-1 \djathtas|\cdot \majtas| x-2 \djathtas|; \\& \majtas| x-1 \djathtas|-\majtas| x-1 \djathtas|\cdot \majtas| x-2 \djathtas|=0; \\& \majtas| x-1 \djathtas|\cdot \majtas(1-\majtas| x-2 \djathtas| \djathtas)=0. \\\fund (radhis)\]
Epo, tani mbani mend se produkti është i barabartë me zero kur të paktën një nga faktorët është i barabartë me zero:
\[\majtas[ \filloj(rreshtoj)& \majtas| x-1 \djathtas|=0, \\& \majtas| x-2 \djathtas|=1. \\\fund (rreshtoj) \djathtas.\]
Kështu, ekuacioni origjinal me dy module është reduktuar në dy ekuacionet më të thjeshta për të cilat folëm që në fillim të mësimit. Ekuacione të tilla mund të zgjidhen fjalë për fjalë në disa rreshta.
Kjo vërejtje mund të duket e panevojshme komplekse dhe e pazbatueshme në praktikë. Megjithatë, në realitet mund të hasni shumë më tepër detyra komplekse, sesa ato që po analizojmë sot. Në to modulet mund të kombinohen me polinome, rrënjë aritmetike, logaritme etj. Dhe në situata të tilla, aftësia për të ulur shkallën e përgjithshme të ekuacionit duke hequr diçka nga kllapat mund të jetë shumë, shumë e dobishme.
Tani do të doja të analizoja një ekuacion tjetër, i cili në pamje të parë mund të duket i çmendur. Shumë studentë ngecin në të, edhe ata që mendojnë se i kuptojnë mirë modulet.
Sidoqoftë, ky ekuacion është edhe më i lehtë për t'u zgjidhur sesa ai që pamë më parë. Dhe nëse e kuptoni pse, do të merrni një mashtrim tjetër për zgjidhjen e shpejtë të ekuacioneve me modul.
Pra, ekuacioni është:
\[\majtas| x-((x)^(3)) \djathtas|+\majtas| ((x)^(2))+x-2 \djathtas|=0\]
Jo, kjo nuk është një gabim shtypi: ka një plus midis moduleve. Dhe ne duhet të gjejmë në çfarë $x$ shuma e dy moduleve është e barabartë me zero.
Cili është problemi gjithsesi? Por problemi është se çdo modul është një numër pozitiv, ose, në raste ekstreme, zero. Çfarë ndodh nëse shtoni dy numra pozitivë? Natyrisht një numër pozitiv përsëri:
\[\fillim(lidh)& 5+7=12 \gt 0; \\& 0,004+0,0001=0,0041 \gt 0; \\& 5+0=5 \gt 0. \\\fund (rreshtoj)\]
Rreshti i fundit mund t'ju japë një ide: e vetmja herë kur shuma e moduleve është zero është nëse secili modul është zero:
\[\majtas| x-((x)^(3)) \djathtas|+\majtas| ((x)^(2))+x-2 \djathtas|=0\Djathtas shigjeta \majtas\( \fillimi(rreshtoj)& \majtas| x-((x)^(3)) \djathtas|=0, \\& \majtas| ((x)^(2)+x-2 \djathtas|=0.
Dhe kur moduli është i barabartë me zero? Vetëm në një rast - kur shprehja nënmodulare është e barabartë me zero:
\[((x)^(2))+x-2=0\Djathtas shigjeta \majtas(x+2 \djathtas)\majtas(x-1 \djathtas)=0\Shigjeta djathtas \majtas[ \fillimi(radhis)& x=-2 \\& x=1 \\\fund (rreshtoj) \djathtas.\]
Kështu, kemi tre pika në të cilat moduli i parë rivendoset në zero: 0, 1 dhe −1; si dhe dy pika në të cilat moduli i dytë rivendoset në zero: −2 dhe 1. Megjithatë, ne kemi nevojë që të dy modulet të rivendosen në zero në të njëjtën kohë, kështu që midis numrave të gjetur duhet të zgjedhim ata që përfshihen në të dy grupet. Natyrisht, ekziston vetëm një numër i tillë: $x=1$ - kjo do të jetë përgjigja përfundimtare.
Metoda e ndarjes
Epo, ne kemi mbuluar tashmë një mori problemesh dhe kemi mësuar shumë teknika. A mendoni se kjo është e gjitha? Por jo! Tani do të shikojmë teknikën përfundimtare - dhe në të njëjtën kohë më të rëndësishmen. Do të flasim për ndarjen e ekuacioneve me modul. Për çfarë do të flasim madje? Le të kthehemi pak prapa dhe të shohim një ekuacion të thjeshtë. Për shembull kjo:
\[\majtas| 3x-5 \djathtas|=5-3x\]
Në parim, ne tashmë dimë se si ta zgjidhim një ekuacion të tillë, sepse është një ndërtim standard i formës $\left| f\left(x \djathtas) \djathtas|=g\left(x \djathtas)$. Por le të përpiqemi ta shikojmë këtë ekuacion nga një kënd pak më ndryshe. Më saktësisht, merrni parasysh shprehjen nën shenjën e modulit. Më lejoni t'ju kujtoj se moduli i çdo numri mund të jetë i barabartë me vetë numrin, ose mund të jetë i kundërt me këtë numër:
\[\majtas| a \djathtas|=\majtas\( \fillimi(rreshtoj)& a,\katër a\ge 0, \\& -a,\katër a \lt 0. \\\fund (rreshtoj) \djathtas.\]
Në fakt, kjo paqartësi është i gjithë problemi: meqenëse numri nën modul ndryshon (kjo varet nga ndryshorja), nuk është e qartë për ne nëse është pozitiv apo negativ.
Por, çka nëse fillimisht kërkon që ky numër të jetë pozitiv? Për shembull, le të kërkojmë që $3x-5 \gt 0$ - në këtë rast ne jemi të garantuar të marrim një numër pozitiv nën shenjën e modulit, dhe ne mund ta heqim plotësisht këtë modul:
Kështu, ekuacioni ynë do të kthehet në një linear, i cili mund të zgjidhet lehtësisht:
Vërtetë, të gjitha këto mendime kanë kuptim vetëm nën kushtin $3x-5 \gt 0$ - ne vetë e prezantuam këtë kërkesë në mënyrë që të zbulojmë pa mëdyshje modulin. Prandaj, le të zëvendësojmë $x=\frac(5)(3)$ të gjetur në këtë gjendje dhe kontrollojmë:
Rezulton se për vlerën e specifikuar prej $x$ kërkesa jonë nuk është përmbushur, sepse shprehja doli të jetë e barabartë me zero, dhe ne kemi nevojë që ajo të jetë rreptësisht më e madhe se zero. E trishtueshme :(
Por është në rregull! Në fund të fundit, ekziston një opsion tjetër $3x-5 \lt 0$. Për më tepër: ekziston edhe rasti $3x-5=0$ - kjo gjithashtu duhet të merret parasysh, përndryshe zgjidhja do të jetë e paplotë. Pra, merrni parasysh rastin $3x-5 \lt 0$:
Natyrisht, moduli do të hapet me një shenjë minus. Por atëherë lind një situatë e çuditshme: si në të majtë ashtu edhe në të djathtë në ekuacionin origjinal do të dalë e njëjta shprehje:
Pyes veten se në çfarë $x$ shprehja $5-3x$ do të jetë e barabartë me shprehjen $5-3x$? Edhe kapiteni Obviousness do të mbytej në pështymën e tij nga ekuacione të tilla, por ne e dimë: ky ekuacion është një identitet, d.m.th. është e vërtetë për çdo vlerë të ndryshores!
Kjo do të thotë se çdo $x$ do të na përshtatet. Megjithatë, ne kemi një kufizim:
Me fjalë të tjera, përgjigja nuk do të jetë një numër i vetëm, por një interval i tërë:
Së fundi, ka mbetur edhe një rast për t'u marrë parasysh: $3x-5=0$. Gjithçka është e thjeshtë këtu: nën modulin do të ketë zero, dhe moduli i zeros është gjithashtu i barabartë me zero (kjo rrjedh drejtpërdrejt nga përkufizimi):
Por pastaj ekuacioni origjinal $\left| 3x-5 \right|=5-3x$ do të rishkruhet si më poshtë:
Ne e kemi marrë tashmë këtë rrënjë më lart, kur kemi marrë parasysh rastin e $3x-5 \gt 0$. Për më tepër, kjo rrënjë është një zgjidhje për ekuacionin $3x-5=0$ - ky është kufizimi që ne vetë kemi prezantuar për të rivendosur modulin.
Kështu, përveç intervalit, do të jemi të kënaqur edhe me numrin që shtrihet në fund të këtij intervali:
Kombinimi i rrënjëve në ekuacionet e modulit Përgjigja përfundimtare totale: $x\in \left(-\infty ;\frac(5)(3) \djathtas]$ Nuk është shumë e zakonshme të shohësh një mut në përgjigjen e një ekuacioni mjaft të thjeshtë (në thelb linear) me modulin , Me të vërtetë, mësohu me të: vështirësia e modulit është se përgjigjet në ekuacione të tilla mund të jenë plotësisht të paparashikueshme.
Diçka tjetër është shumë më e rëndësishme: ne sapo kemi analizuar një algoritëm universal për zgjidhjen e një ekuacioni me një modul! Dhe ky algoritëm përbëhet nga hapat e mëposhtëm:
- Barazoni çdo modul në ekuacion me zero. Marrim disa ekuacione;
- Zgjidhini të gjitha këto ekuacione dhe shënoni rrënjët në vijën numerike. Si rezultat, vija e drejtë do të ndahet në disa intervale, në secilën prej të cilave të gjitha modulet zbulohen në mënyrë unike;
- Zgjidheni ekuacionin origjinal për çdo interval dhe kombinoni përgjigjet tuaja.
Kjo eshte e gjitha! Mbetet vetëm një pyetje: çfarë të bëjmë me rrënjët e marra në hapin 1? Le të themi se kemi dy rrënjë: $x=1$ dhe $x=5$. Ata do ta ndajnë vijën numerike në 3 pjesë:
Ndarja e vijës numerike në intervale duke përdorur pika Pra, cilat janë intervalet? Është e qartë se janë tre prej tyre:
- E majta: $x \lt 1$ — vetë njësia nuk përfshihet në interval;
- Qendrore: $1\le x \lt 5$ - këtu një përfshihet në interval, por pesë nuk përfshihen;
- E drejta: $x\ge 5$ - pesë përfshihen vetëm këtu!
Unë mendoj se ju tashmë e kuptoni modelin. Çdo interval përfshin skajin e majtë dhe nuk përfshin të djathtën.
Në pamje të parë, një hyrje e tillë mund të duket e papërshtatshme, e palogjikshme dhe në përgjithësi një lloj e çmendur. Por më besoni: pas një praktike të vogël, do të zbuloni se kjo qasje është më e besueshme dhe nuk ndërhyn në hapjen e paqartë të moduleve. Është më mirë të përdorësh një skemë të tillë sesa të mendosh çdo herë: jepni fundin majtas/djathtas në intervalin aktual ose "hedhe" atë në tjetrin.
