Përkufizimi i termave të ngjashëm. Terma të ngjashëm – Hipermarketi i njohurive
Është . Në këtë artikull do të përcaktojmë terma të ngjashëm, le të kuptojmë se çfarë quhet reduktimi i termave të ngjashëm, të shqyrtojmë rregullat me të cilat kryhet ky veprim dhe të japim shembuj të reduktimit të termave të ngjashëm me përshkrim i detajuar zgjidhjet.
Navigimi i faqes.
Përkufizimi dhe shembuj të termave të ngjashëm.
Një bisedë për terma të tillë lind pasi njiheni me shprehjet fjalë për fjalë, kur lind nevoja për të kryer transformime me to. Bazuar në tekstet e matematikës nga N. Ya përkufizimi i termave të ngjashëm jepet në klasën e 6-të dhe ka këtë formulim:
Përkufizimi.
Terma të ngjashëm- këto janë terma që kanë të njëjtën pjesë shkronjash.
Vlen të shikohet me kujdes ky përkufizim. Së pari, ne po flasim për terma, dhe, siç e dini, termat janë elementet përbërës shumat Kjo do të thotë se terma të tillë mund të jenë të pranishëm vetëm në shprehje që përfaqësojnë shuma. Së dyti, në përkufizimin e deklaruar të termave të tillë ekziston një koncept i panjohur i "pjesës së shkronjës". Çfarë nënkuptohet me pjesën e shkronjës? Kur ky përkufizim jepet në klasën e gjashtë, pjesa e shkronjave kuptohet si një shkronjë (ndryshore) ose prodhim i disa shkronjave. Së treti, pyetja mbetet: “Cilat janë këto terma me pjesën e shkronjës”? Këto janë terma që janë prodhim i një numri të caktuar, të ashtuquajturit koeficient numerik dhe pjesës së shkronjës.
Tani mund të sillni shembuj të termave të ngjashëm. Shqyrtoni shumën e dy termave 3·a dhe 2·a të formës 3·a+2·a. Termat në këtë shumë kanë të njëjtën pjesë shkronjash, e cila përfaqësohet me shkronjën a, prandaj, sipas përkufizimit, këto terma janë të ngjashëm. Koeficientët numerikë të këtyre termave të ngjashëm janë numrat 3 dhe 2.
Një shembull tjetër: në total 5 x y 3 z+12 x y 3 z+1 termat 5·x·y 3 ·z dhe 12·x·y 3 ·z me të njëjtën shkronjë pjesë x·y 3 ·z janë të ngjashme. Vini re se y 3 është i pranishëm në pjesën e shkronjës, prania e tij nuk cenon përkufizimin e pjesës së shkronjës të dhënë më sipër, pasi në fakt është produkt i y·y·y.
Më vete, vërejmë se koeficientët numerikë 1 dhe −1 për terma të tillë shpesh nuk janë shkruar në mënyrë eksplicite. Për shembull, në shumën 3 z 5 +z 5 −z 5 të tre termat 3 z 5, z 5 dhe −z 5 janë të ngjashëm, ata kanë të njëjtën shkronjë pjesë z 5 dhe koeficientët 3, 1 dhe −1, përkatësisht, nga të cilat 1 dhe −1 nuk duken qartë.
Bazuar në këtë, në shumën 5+7·x−4+2·x+y terma të ngjashëm nuk janë vetëm 7·x dhe 2·x, por edhe termat pa shkronjën pjesa 5 dhe −4.
Më vonë, koncepti i një pjese të shkronjave zgjerohet - unë filloj të konsideroj si një pjesë shkronjash jo vetëm produktin e shkronjave, por një arbitrar shprehje fjalë për fjalë. Për shembull, në një libër shkollor të algjebrës për klasën 8 nga autorët Yu N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorov, të redaktuar nga S. A. Telyakovsky, jepet një shumë e formës dhe thuhet se përbërësit e saj janë termat. janë të ngjashme. Pjesa e shkronjave të përbashkëta të këtyre termave të ngjashëm është shprehja me rrënjën e formës.
Në mënyrë të ngjashme, terma të ngjashëm në shprehje 4·(x 2 +x−1/x)−0,5·(x 2 +x−1/x)−1 mund të konsiderojmë termat 4·(x 2 +x−1/x) dhe −0,5·(x 2 +x−1/x) pasi kanë të njëjtën pjesë shkronjash (x 2 +x−1/x).
Duke përmbledhur të gjithë informacionin e paraqitur, mund të japim përkufizimin e mëposhtëm të termave të ngjashëm.
Përkufizimi.
Terma të ngjashëm quhen termat në një shprehje fjalëpërfjalore që kanë të njëjtën pjesë shkronjëse, si dhe termat që nuk kanë pjesë fjalëpërfjalore, ku pjesa shkronjëse kuptohet si çdo shprehje shkronjëse.
Më vete, do të themi se termat e ngjashëm mund të jenë të njëjtë (kur koeficientët e tyre numerikë janë të barabartë), ose mund të jenë të ndryshëm (kur koeficientët e tyre numerikë janë të ndryshëm).
Në fund të këtij paragrafi, ne do të diskutojmë një pikë shumë delikate. Merrni parasysh shprehjen 2·x·y+3·y·x. A janë të ngjashëm termat 2 x y dhe 3 y x? Kjo pyetje mund të formulohet edhe në këtë mënyrë: “A janë të njëjta pjesët e shkronjave x·y dhe y·x të termave të treguar”? Rendi i faktorëve të shkronjave në to është i ndryshëm, kështu që në fakt ata nuk janë të njëjtë, prandaj, termat 2 x y dhe 3 y x në dritën e përkufizimit të paraqitur më sipër nuk janë të ngjashëm.
Sidoqoftë, mjaft shpesh terma të tillë quhen të ngjashëm (por për hir të ashpërsisë është më mirë të mos e bëni këtë). Në këtë rast, ata udhëhiqen nga kjo: sipas rirregullimit të faktorëve në produkt nuk ndikon në rezultat, prandaj shprehja origjinale 2·x·y+3·y·x mund të rishkruhet si 2·x·y+. 3·x·y, termat e të cilit janë të ngjashëm. Kjo do të thotë, kur ata flasin për terma të ngjashëm 2 x y dhe 3 y x në shprehjen 2 x y + 3 y x, nënkuptojnë termat 2 x y dhe 3 x y në shprehje të transformuar të formës 2·x·y+3·x·y.
Duke sjellë terma, rregulla, shembuj të ngjashëm
Konvertimi i shprehjeve që përmbajnë terma të ngjashëm nënkupton kryerjen e shtimit të këtyre termave. Ky veprim mori një emër të veçantë - reduktimi i termave të ngjashëm.
Reduktimi i termave të ngjashëm kryhet në tre faza:
- Së pari, termat janë riorganizuar në mënyrë që termat e ngjashëm të jenë pranë njëri-tjetrit;
- pas kësaj, pjesa e mirëfilltë e termave të ngjashëm hiqet nga kllapat;
- në fund, llogaritet vlera e shprehjes numerike të formuar në kllapa.
Le të shohim hapat e regjistruar duke përdorur një shembull. Le të paraqesim terma të ngjashëm në shprehjen 3·x·y+1+5·x·y. Së pari, ne i riorganizojmë termat në mënyrë që termat e ngjashëm 3 x y dhe 5 x x y të jenë pranë njëri-tjetrit: 3 x y+1+5 x y=3 x y+5 x y+1. Së dyti, nxjerrim pjesën e drejtëpërdrejtë nga kllapa dhe marrim shprehjen x·y·(3+5)+1. Së treti, llogarisim vlerën e shprehjes që është formuar në kllapa: x·y·(3+5)+1=x·y·8+1. Meqenëse është zakon të shkruhet koeficienti numerik përpara pjesës së shkronjës, do ta zhvendosim në këtë vend: x·y·8+1=8·x·y+1. Kjo plotëson reduktimin e termave të ngjashëm.
Për lehtësi, tre hapat e listuar më sipër kombinohen në rregull për reduktimin e termave të ngjashëm: për të sjellë terma të ngjashëm, duhet të shtoni koeficientët e tyre dhe të shumëzoni rezultatin që rezulton me pjesën e shkronjës (nëse ka një).
Zgjidhja e shembullit të mëparshëm duke përdorur rregullin për reduktimin e termave të ngjashëm do të jetë më e shkurtër. Le ta sjellim atë. Koeficientët e termave të ngjashëm 3·x·y dhe 5·x·y në shprehjen 3·x·y+1+5·x·y janë numrat 3 dhe 5, shuma e tyre është 8, duke e shumëzuar me pjesën e shkronjës x·y, marrim rezultatin e sjelljes së këtyre termave 8·x·y. Mbetet të mos harrojmë termin 1 në shprehjen origjinale, si rezultat kemi 3 x x y+1+5 x x y=8 x x y+1.
Shembulli 1. Le të hapim kllapat në shprehjen - 3*(a - 2b).
Zgjidhje. Le të shumëzojmë - 3 me secilin nga termat a dhe - 2b. Marrim - 3*(a - 2b)= - 3*a + (- 3)*(- 2b)= - 3a + 6b.
Shembulli 2. Le të thjeshtojmë shprehjen 2m - 7m + 3m.
Zgjidhje. Në këtë shprehje, të gjithë termat kanë një faktor të përbashkët m. Kjo do të thotë, sipas vetive të shpërndarjes së shumëzimit, 2m - 7m + Зm = m (2 - 7 + 3). Shuma shkruhet në kllapa koeficientët të gjitha kushtet. Është e barabartë me -2. Prandaj 2m - 7m + 3m = -2m.
Në shprehjen 2 m - 7 m + 3m, të gjithë termat kanë një pjesë të përbashkët të shkronjave dhe ndryshojnë nga njëri-tjetri vetëm nga koeficientët. Terma të tillë quhen të ngjashme.
Termat që kanë të njëjtën pjesë shkronjash quhen terma të ngjashëm.
Terma të ngjashëm mund të ndryshojnë vetëm në koeficientë.
Për të shtuar (ose për të thënë: sill) terma të ngjashëm, duhet të shtoni koeficientët e tyre dhe të shumëzoni rezultatin me pjesën e shkronjës së përbashkët.
Shembulli 3. Le të paraqesim terma të ngjashëm në shprehjen 5a+a -2a.
Zgjidhje. Në këtë shumë, të gjithë termat janë të ngjashëm, pasi kanë të njëjtën shkronjë pjesën a. Le të shtojmë koeficientët: 5 + 1 - 2 = 4. Pra, 5a + a - 2a = 4a.
Cilat terma quhen të ngjashëm? Si mund të ndryshojnë termat e ngjashëm nga njëri-tjetri? Në bazë të cilës veti të shumëzimit kryhet zvogëlimi (mbledhja) e termave të ngjashëm?
1265. Hapni kllapat:
a) (a-b+c)*8; e) (3m-2k + 1)*(-3);
b) -5*(m - n - k); e) - 2a*(b+2c-3m);
c) a*(b - m + n); g) (-2a + 3b+5c)*4m;
d) - a*(6b - Зс + 4); h) - a*(3m + k - n).
1266. Bëni hapat duke zbatuar vetinë shpërndarëse shumëzimi:
1267. Shto terma të ngjashëm:
Shprehjet e formës 7x-3x+6x-4x lexohen kështu:
- shuma e shtatë x, minus tre x, gjashtë x dhe minus katër x
- shtatë x minus tre x plus gjashtë x minus katër x
1268. Zvogëlo termat e ngjashëm:
1269. Hapni kllapat dhe jepni terma të ngjashëm:
1270. Gjeni kuptimin e shprehjes:
1271. Vendos ekuacioni:
a) 3*(2x + 8)-(5x+2)=0; c) 8*(3-2x)+5*(3x + 5)=9.
b) - 3*(3y + 4)+4*(2y -1)=0;
1272. Një kilogram patate kushton 20 kopekë, kurse një kilogram lakër kushton 14 kopekë. Ne kemi paguar 1 rubla për gjithçka. 62 k Sa kilogramë patate dhe sa lakër keni blerë?
1273. Turisti eci 3 orë dhe hipi në biçikletë për 4 orë. Në total ai udhëtoi 62 km. Me çfarë shpejtësie ka ecur nëse ka ecur 5 km/h më ngadalë se sa ka ecur me biçikletë?
1274. Njehsoni me gojë:
1275. Sa është shuma e njëmijë termash, secili prej të cilëve është i barabartë me -1? Sa është prodhimi i një mijë faktorëve, secili prej të cilëve është i barabartë me -1?
1276. Gjeni vlerën e shprehjes
1-3 + 5-7 + 9-11+ ... + 97-99.
1277. Zgjidhe me gojë barazimin:
a) x + 4=0; c) m + m + m = 3m;
b) a+3=a -1; d) (y-3) (y + 1)=0.
1278. Kryeni shumëzimin: 
1279. Sa është koeficienti në secilën prej shprehjeve:
1280. Largësia nga Moska në Nizhny Novgorod 440 km. Çfarë shkalle duhet të jetë harta që kjo distancë të jetë 8.8 cm e gjatë?
1285. Zgjidh problemin:
1) Kombinati e ka tejkaluar planin me 15% dhe ka korrur grurë në një sipërfaqe prej 230 hektarësh. Sa hektarë pritet të korrë autokombajna?
2) Një ekip marangozësh përdori 4.2 m3 dërrasa për të riparuar ndërtesën. Në të njëjtën kohë, ajo kurseu 16% të bordeve të ndara për riparim. Sa shumë metra kub janë ndarë bordet për rinovimin e objektit?
1286. Gjeni kuptimin e shprehjes:
1) - 3,4 7,1 - 3,6 6,8 + 9,7 8,6; 2) -4,1 8,34+2,5 7,9-3,9 4,2.
1287. Me anë të grafikut zgjidh problemin: “Marina, Larisa, Zhanna dhe Katya munden luaj në instrumente të ndryshme(piano, violonçel, kitarë, violinë), por secili vetëm në një. Ata dinë gjuhë të huaja (anglisht, frëngjisht, gjermanisht, spanjisht), por secila vetëm një. E njohur:
1) vajza që i bie kitarës flet spanjisht;
2) Larisa nuk luan violinë ose violonçel dhe nuk di gjuha angleze;
3) Marina nuk luan violinë apo violonçel dhe nuk di as gjermanisht, as anglisht;
4) një vajzë që flet gjermanisht nuk luan violonçel;
5) Zhanna di frëngjisht, por nuk i bie violinës. Kush luan në cilin instrument dhe cilin? gjuhë e huaj e di?
1288. Hapni kllapat:
a) (x+y-z)*3; d) (2x-y+3)*(-2);
b) 4*(m-n-р); e) (8m-2n+p)*(-1);
c) - 8 * (a - b-c); e) (a+5- b-c)*m.
1289. Gjeni vlerën e shprehjes duke zbatuar vetinë shpërndarëse të shumëzimit:
1290. Jepni terma të ngjashëm:
1291. Hapni kllapat dhe jepni terma të ngjashëm:
1292. Zgjidhe ekuacionin:
1293. Bleva një tavolinë dhe 6 karrige për 67 rubla. Një karrige është 18 rubla më e lirë se një tavolinë. Sa kushton një karrige dhe sa kushton një tavolinë?
1294. Janë 119 nxënës në tri paralele. Në klasën e parë ka 4 nxënës më shumë se në klasën e dytë dhe 3 nxënës më pak se në klasën e tretë. Sa nxënës janë në çdo klasë?
1295. Përcaktoni shkallën e hartës nëse largësia ndërmjet dy pikave në tokë është 750 m, kurse në hartë është 25 mm.
1296. Sa e gjatë është distanca 6,5 km e paraqitur në hartë nëse shkalla e hartës është 1: 25.000?
1297. Në hartë segmenti ka gjatësinë 12,6 cm Sa është gjatësia e këtij segmenti në tokë nëse shkalla e hartës është 1: 150.000?
N.Ya.Vilenkin, A.S. Chesnokov, S.I. Shvartsburd, V.I Zhokhov, Matematika për klasën e 6-të, Libër mësuesi për shkollën e mesme
Matematika për klasën e 6-të shkarko falas, plane mësimi, përgatitje për shkollë online
"Terma të ngjashme" - Libër mësuesi i matematikës, klasa 6 (Vilenkin)
Përshkrimi i shkurtër:
Në këtë seksion do të mësoni se çfarë do të thotë shprehja "terme të ngjashme" dhe si t'i gjeni ato.
Ju keni mësuar tashmë se si të hapni kllapa, keni mësuar vetinë shpërndarëse të shumëzimit dhe e dini se çfarë do të thotë një shprehje me shkronja numerike (mos harroni, kjo është një shprehje si 5a, 6ac). Tani le të shohim një shprehje si 8a+8c. A keni vënë re se termi i parë dhe termi i dytë kanë të njëjtin koeficient - numrin 8? Në këtë rast, numri 8 mund të hiqet nga kllapat dhe të paraqitet si një nga faktorët e produktit, domethënë 8 * (a + c). Rezulton se 8 është faktori i përbashkët i termave të parë dhe të dytë.
Tani le të shohim këtë shembull: 10a+15a-20a. Secili prej termave (10a, 15a, -20a) ka të njëjtën pjesë të shkronjës (a), por koeficientët janë të ndryshëm (10, 15 dhe -20). Terma të tillë quhen të ngjashëm (d.m.th., të ngjashëm me njëri-tjetrin). Kjo shprehje mund të rishkruhet ndryshe duke hequr si faktor shprehjen fjalë për fjalë (d.m.th. a) dhe në kllapa nga çdo term do të mbetet vetëm një numër (koeficient): a*(10+15-20)= a*5=5a. Kështu, ne thjeshtuam shprehjen me shkronja numerike duke gjetur terma të ngjashëm. Kjo do të thotë, termat e ngjashëm janë shprehje me shkronja numerike që kanë të njëjtën pjesë shkronjash. Shtimi që kemi kryer në shembull quhet reduktim (ose shtim) i termave të ngjashëm (d.m.th., koeficientët e tyre përmblidhen dhe rezultati që rezulton shumëzohet me një shkronjë).
Shembuj:
monome \(2\) \(x\) dhe \(5\) \(x\)- janë të ngjashme, pasi edhe aty edhe atje shkronjat janë të njëjta: x;
monomët \(x^2y\) dhe \(-2x^2y\) janë të ngjashëm, pasi në të dyja rastet shkronjat janë të njëjta: x në katror shumëzuar me y. Fakti që ka një shenjë minus përpara monomit të dytë nuk ka rëndësi, ai thjesht ka një faktor numerik negativ ();
monomët \(3xy\) dhe \(5x\) nuk janë të ngjashëm, pasi në monomin e parë ka faktorë shkronja x dhe y, dhe në të dytin ka vetëm x;
monomët \(xy3yz\) dhe \(y^2 z7x\) janë të ngjashëm. Megjithatë, për ta parë këtë, është e nevojshme të reduktohen monomët në . Pastaj monomi i parë do të duket si \(3xy^2z\), dhe i dyti si \(7xy^2z\) - dhe ngjashmëria e tyre do të bëhet e dukshme;
monomët \(7x^2\) dhe \(2x\) nuk janë të ngjashëm, pasi në monomin e parë faktorët literal janë x në katror (d.m.th. \(x·x\)), dhe në të dytin ka thjesht një x.
Nuk ka nevojë të mësosh përmendësh se si përkufizohen terma të tillë, është më mirë të kuptosh thjesht. Pse \(2x\) dhe \(5x\) quhen të ngjashme? Vetëm mendoni për këtë: \(2x\) është e njëjtë me \(x+x\), dhe \(5x\) është e njëjtë me \(x+x+x+x+x\). Kjo do të thotë, \(2x\) është "dy xes", dhe \(5x\) është "pesë xes". Të dyja atje dhe atje janë në thelb të njëjta (të ngjashme): x. Vetëm një "sasi" e ndryshme e të njëjtëve X.
Një tjetër gjë është, për shembull, \(5x\) dhe \(3xy\). Këtu monomi i parë është në thelb "pesë X", por i dyti është "tre X\(·\)lojëra" (\(3xy=xy+xy+xy\)). Në thelb - jo i njëjtë, jo i ngjashëm.
Reduktimi i termave të ngjashëm
Procesi i zëvendësimit të shumës ose ndryshimit të termave të ngjashëm me një monom quhet " reduktimi i termave të ngjashëm».
Le të theksojmë se nëse kushtet nuk janë të ngjashme, atëherë nuk do të jetë e mundur t'i sjellësh ato. Për shembull, shtimi i \(2x^2\) dhe \(3x\) është i pamundur, ato janë të ndryshme!
Kupto, palos Jo Terma të tillë janë të njëjtë me shtimin e rublave dhe kilogramëve: rezulton të jetë absurditet i plotë.
Sjellja e termave të ngjashëm është një hap shumë i zakonshëm në thjeshtimin e shprehjeve dhe , si dhe gjatë zgjidhjes dhe . Le të shohim shembull konkret aplikimi i njohurive të marra.
Shembull. Zgjidheni ekuacionin \(7x^2+3x-7x^2-x=6\)
Përgjigje: \(3\)
Nuk është aspak e nevojshme të rishkruash ekuacionin çdo herë në mënyrë që të ngjashme të qëndrojnë pranë njëri-tjetrit. Kjo është bërë këtu për qartësinë e transformimeve të mëtejshme.
Le të jepet një shprehje që është prodhim i një numri dhe shkronjash. Numri në këtë shprehje quhet koeficienti. Për shembull:
në shprehje koeficienti është numri 2;
në shprehjen - numri 1;
në shprehjen ky është numri -1;
në shprehje, koeficienti është prodhimi i numrave 2 dhe 3, domethënë numri 6.
Petya kishte 3 karamele dhe 5 kajsi. Mami i dha Petya 2 karamele të tjera dhe 4 kajsi (shih Fig. 1). Sa ëmbëlsira dhe kajsi ka Petya gjithsej?
Oriz. 1. Ilustrim për problemin
Zgjidhje
Le të shkruajmë kushtin e problemit në formën e mëposhtme:
1) Kishte 3 karamele dhe 5 kajsi:
2) Mami dha 2 karamele dhe 4 kajsi:
3) Kjo është, totali i Petya:
4) Shtoni karamele me karamele, kajsi me kajsi:
Për rrjedhojë, totali u bë 5 karamele dhe 9 kajsi.
Përgjigje: 5 karamele dhe 9 kajsi.
Në problemin 1, në hapin e katërt, trajtuam reduktimin e termave të ngjashëm.
Termat që kanë të njëjtën pjesë shkronjash quhen terma të ngjashëm. Terma të ngjashëm mund të ndryshojnë vetëm në koeficientët e tyre numerikë.
Për të shtuar (zvogëluar) terma të ngjashëm, duhet të shtoni koeficientët e tyre dhe të shumëzoni rezultatin me pjesën e shkronjës së përbashkët.
Duke shtuar terma të ngjashëm ne thjeshtojmë shprehjen.
Ata janë terma të ngjashëm sepse kanë të njëjtën pjesë të shkronjave. Prandaj, për t'i zvogëluar ato, është e nevojshme të mblidhen të gjithë koeficientët e tyre - këta janë 5, 3 dhe -1 dhe të shumëzohen me pjesën e shkronjës së përbashkët - kjo është a.
2)
Kjo shprehje përmban terma të ngjashëm. Pjesa e përbashkët e shkronjave është xy, dhe koeficientët janë 2, 1 dhe -3. Le të shohim këto terma të ngjashëm:
3)
Në këtë shprehje, terma të ngjashëm janë dhe le t'i rendisim ato:
4)
Le ta thjeshtojmë këtë shprehje. Për ta bërë këtë, ne gjejmë terma të ngjashëm. Në këtë shprehje ka dy palë termash të ngjashëm - këto janë dhe , dhe .
Le ta thjeshtojmë këtë shprehje. Për ta bërë këtë, le të hapim kllapat duke përdorur ligjin e shpërndarjes:
Ka terma të ngjashëm në shprehje - këto janë dhe , le t'i japim ato:
Në këtë mësim, u njohëm me konceptin e koeficientit, mësuam se cilët terma quhen të ngjashëm dhe formuluam një rregull për sjelljen e termave të ngjashëm, si dhe zgjidhëm disa shembuj në të cilët kemi përdorur këtë rregull.
Referencat
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematika 6. M.: Mnemosyne, 2012.
- Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematikë klasa e 6-të. M.: Gjimnazi, 2006.
- Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Pas faqeve të një teksti matematike. M.: Arsimi, 1989.
- Rurukin A.N., Tchaikovsky I.V. Detyrat për lëndën e matematikës për klasat 5-6. M.: ZSh MEPhI, 2011.
- Rurukin A.N., Sochilov S.V., Tchaikovsky K.G. Matematika 5-6. Një manual për nxënësit e klasave të 6-ta në shkollën me korrespondencë MEPhI. - M.: ZSh MEPhI, 2011.
- Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Matematika: Libër mësuesi-bashkëbisedues për klasat 5-6 të shkollës së mesme. M.: Edukimi, Biblioteka e mësuesve të matematikës, 1989.
Detyrë shtëpie
- Portali i internetit Youtube.com ( ).
- Portali i Internetit For6cl.uznateshe.ru ().
- Portali i Internetit Festival.1september.ru ().
- Portali në internet Cleverstudents.ru ().
