≡× MENU

• Brendshme
• Dritaret
• Muret
• Projektet
• Ndërtesat

Funksioni origjinal dhe vetitë e tij. Vetitë e funksionit

Janë paraqitur vetitë dhe grafikët e funksioneve të fuqisë për kuptime të ndryshme eksponent. Formulat bazë, domenet e përkufizimit dhe grupet e vlerave, barazia, monotonia, rritëse dhe zvogëluese, ekstremet, konveksiteti, lakimet, pikat e kryqëzimit me boshtet koordinative, kufijtë, vlerat e veçanta.

Formula me funksione fuqie

Në fushën e përcaktimit të funksionit të fuqisë y = x p vlejnë formulat e mëposhtme:
; ;
;
; ;
; ;
; .

Vetitë e funksioneve të fuqisë dhe grafikët e tyre

Funksioni i fuqisë me eksponent të barabartë me zero, p = 0

Nëse eksponenti i funksionit të fuqisë y = x p është i barabartë me zero, p = 0, atëherë funksioni i fuqisë përcaktohet për të gjitha x ≠ 0 dhe është një konstante e barabartë me një:
y = x p = x 0 = 1, x ≠ 0.

Funksioni i fuqisë me eksponent natyror tek, p = n = 1, 3, 5, ...

Konsideroni një funksion fuqie y = x p = x n me një eksponent natyror tek n = 1, 3, 5, ... .

Ky tregues mund të shkruhet edhe në formën: n = 2k + 1, ku k = 0, 1, 2, 3, ... është një numër i plotë jo negativ. Më poshtë janë vetitë dhe grafikët e funksioneve të tilla.

Grafiku i një funksioni fuqie y = x n me një eksponent natyror tek për vlera të ndryshme të eksponentit n = 1, 3, 5, .... -∞ < x < ∞
Fushëveprimi: -∞ < y < ∞
Kuptime të shumta: Barazi:
tek, y(-x) = - y(x) Monotone:
rritet në mënyrë monotone Ekstremet:
Nr
Konveks:< x < 0 выпукла вверх
në -∞< x < ∞ выпукла вниз
në 0 Pikat e lakimit:
Pikat e lakimit:
x = 0, y = 0
;
Kufijtë:
Vlerat private:
në x = -1,
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
në x = 0, y(0) = 0 n = 0
për x = 1, y(1) = 1 n = 1
Funksioni i kundërt:
për n = 1, funksioni është i anasjelltë i tij: x = y

për n ≠ 1, funksioni i anasjelltë është rrënja e shkallës n:

Funksioni i fuqisë me eksponent natyror çift, p = n = 2, 4, 6, ...

Konsideroni një funksion fuqie y = x p = x n me një eksponent natyror çift n = 2, 4, 6, ... .

Grafiku i një funksioni fuqie y = x n me një eksponent natyror tek për vlera të ndryshme të eksponentit n = 1, 3, 5, .... -∞ < x < ∞
Fushëveprimi: Ky tregues mund të shkruhet edhe në formën: n = 2k, ku k = 1, 2, 3, ... - natyrore. Vetitë dhe grafikët e funksioneve të tilla janë dhënë më poshtë.< ∞
Kuptime të shumta: Grafiku i një funksioni fuqie y = x n me një eksponent natyror çift për vlera të ndryshme të eksponentit n = 2, 4, 6, ....
tek, y(-x) = - y(x)
0 ≤ y
çift, y(-x) = y(x)
rritet në mënyrë monotone për x ≤ 0 zvogëlohet në mënyrë monotonike
Nr për x ≥ 0 rritet në mënyrë monotone
në 0 Ekstremet:
minimale, x = 0, y = 0 Pikat e lakimit:
x = 0, y = 0
;
Kufijtë:
konveks poshtë Pikat e kryqëzimit me boshtet koordinative:
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
në x = 0, y(0) = 0 n = 0
për x = 1, y(1) = 1 n = 1
në x = -1, y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k = 1:
për n = 2,

Funksioni i fuqisë me eksponent negativ të numrit të plotë, p = n = -1, -2, -3, ...

Konsideroni një funksion fuqie y = x p = x n me një eksponent negativ numër të plotë n = -1, -2, -3, ... .

Nëse vendosim n = -k, ku k = 1, 2, 3, ... është një numër natyror, atëherë ai mund të përfaqësohet si:

Grafiku i një funksioni fuqie y = x n me një eksponent negativ të numrit të plotë për vlera të ndryshme të eksponentit n = -1, -2, -3, ... .

Eksponenti tek, n ​​= -1, -3, -5, ...

Grafiku i një funksioni fuqie y = x n me një eksponent natyror tek për vlera të ndryshme të eksponentit n = 1, 3, 5, .... Më poshtë janë vetitë e funksionit y = x n me një eksponent negativ të rastësishëm n = -1, -3, -5, ....
Fushëveprimi: x ≠ 0
Kuptime të shumta: Barazi:
tek, y(-x) = - y(x) y ≠ 0
rritet në mënyrë monotone Ekstremet:
Nr
zvogëlohet në mënyrë monotone< 0 : выпукла вверх
në x
në 0 Ekstremet:
minimale, x = 0, y = 0 Ekstremet:
për x > 0: konveks poshtë
zvogëlohet në mënyrë monotone< 0, y < 0
Shenja:
x = 0, y = 0
; ; ;
Kufijtë:
në x = 0, y(0) = 0 n = 0
për x = 1, y(1) = 1 n = 1
për x > 0, y > 0
kur n = -1,< -2 ,

në n

Eksponenti çift, n = -2, -4, -6, ...

Grafiku i një funksioni fuqie y = x n me një eksponent natyror tek për vlera të ndryshme të eksponentit n = 1, 3, 5, .... Më poshtë janë vetitë e funksionit y = x n me një eksponent negativ të rastësishëm n = -1, -3, -5, ....
Fushëveprimi: Më poshtë janë vetitë e funksionit y = x n me një eksponent negativ çift n = -2, -4, -6, ....
Kuptime të shumta: Grafiku i një funksioni fuqie y = x n me një eksponent natyror çift për vlera të ndryshme të eksponentit n = 2, 4, 6, ....
tek, y(-x) = - y(x)
zvogëlohet në mënyrë monotone< 0 : монотонно возрастает
y > 0
rritet në mënyrë monotone Ekstremet:
Nr për x ≥ 0 rritet në mënyrë monotone
në 0 Ekstremet:
minimale, x = 0, y = 0 Ekstremet:
për x > 0: konveks poshtë Më poshtë janë vetitë e funksionit y = x n me një eksponent negativ çift n = -2, -4, -6, ....
x = 0, y = 0
; ; ;
Kufijtë:
në x = 0, y(0) = 0 n = 0
për x = 1, y(1) = 1 n = 1
për x > 0: zvogëlohet në mënyrë monotone
kur n = -1,< -2 ,

në n = -2,

Funksioni i fuqisë me eksponent racional (fraksional). Konsideroni një funksion fuqie y = x p me një eksponent racional (fraksional), ku n është një numër i plotë, m > 1 është një numër natyror. Për më tepër, n, m nuk kanë.

pjesëtuesit e përbashkët

Emëruesi i treguesit thyesor është tek Emëruesi i eksponentit thyesor le të jetë tek: m = 3, 5, 7, ... . Në këtë rast, funksioni i fuqisë x p përcaktohet si për pozitive ashtu edhe për vlerat negative

argumenti x.< 0

Le të shqyrtojmë vetitë e funksioneve të tilla të fuqisë kur eksponenti p është brenda kufijve të caktuar.

P-vlera është negative, p

Le të jetë eksponenti racional (me emërues tek m = 3, 5, 7, ...) më i vogël se zero: .

Grafikët e funksioneve të fuqisë me një eksponent negativ racional për vlera të ndryshme të eksponentit, ku m = 3, 5, 7, ... - tek.

Grafiku i një funksioni fuqie y = x n me një eksponent natyror tek për vlera të ndryshme të eksponentit n = 1, 3, 5, .... Më poshtë janë vetitë e funksionit y = x n me një eksponent negativ të rastësishëm n = -1, -3, -5, ....
Fushëveprimi: x ≠ 0
Kuptime të shumta: Barazi:
tek, y(-x) = - y(x) y ≠ 0
rritet në mënyrë monotone Ekstremet:
Nr
zvogëlohet në mënyrë monotone< 0 : выпукла вверх
në x
në 0 Ekstremet:
minimale, x = 0, y = 0 Ekstremet:
për x > 0: konveks poshtë
zvogëlohet në mënyrë monotone< 0, y < 0
Shenja:
x = 0, y = 0
; ; ;
Kufijtë:
Numëruesi tek, n ​​= -1, -3, -5, ...
në x = 0, y(0) = 0 n = 0
për x = 1, y(1) = 1 n = 1

Ne i paraqesim vetitë e funksionit të fuqisë y = x p me një eksponent negativ racional, ku n = -1, -3, -5, ... është një numër i plotë negativ tek, m = 3, 5, 7 ... është një numër i plotë natyror tek.

në x = -1, y(-1) = (-1) n = -1

Grafiku i një funksioni fuqie y = x n me një eksponent natyror tek për vlera të ndryshme të eksponentit n = 1, 3, 5, .... Më poshtë janë vetitë e funksionit y = x n me një eksponent negativ të rastësishëm n = -1, -3, -5, ....
Fushëveprimi: Më poshtë janë vetitë e funksionit y = x n me një eksponent negativ çift n = -2, -4, -6, ....
Kuptime të shumta: Grafiku i një funksioni fuqie y = x n me një eksponent natyror çift për vlera të ndryshme të eksponentit n = 2, 4, 6, ....
tek, y(-x) = - y(x)
zvogëlohet në mënyrë monotone< 0 : монотонно возрастает
y > 0
rritet në mënyrë monotone Ekstremet:
Nr për x ≥ 0 rritet në mënyrë monotone
në 0 Ekstremet:
minimale, x = 0, y = 0 Ekstremet:
për x > 0: konveks poshtë Më poshtë janë vetitë e funksionit y = x n me një eksponent negativ çift n = -2, -4, -6, ....
x = 0, y = 0
; ; ;
Kufijtë:
Numëruesi çift, n = -2, -4, -6, ...
në x = 0, y(0) = 0 n = 0
për x = 1, y(1) = 1 n = 1

Vetitë e funksionit të fuqisë y = x p me një eksponent negativ racional, ku n = -2, -4, -6, ... është një numër i plotë negativ çift, m = 3, 5, 7 ... është një numër i plotë natyror tek .< p < 1

në x = -1, y(-1) = (-1) n = 1< p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

Vlera p është pozitive, më pak se një, 0

< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Grafiku i një funksioni fuqie y = x n me një eksponent natyror tek për vlera të ndryshme të eksponentit n = 1, 3, 5, .... -∞ < x < +∞
Fushëveprimi: -∞ < y < +∞
Kuptime të shumta: Barazi:
tek, y(-x) = - y(x) Monotone:
rritet në mënyrë monotone Ekstremet:
Nr
zvogëlohet në mënyrë monotone< 0 : выпукла вниз
Grafiku i një funksioni fuqie me eksponent racional (0
në 0 Pikat e lakimit:
minimale, x = 0, y = 0 Pikat e lakimit:
për x > 0: konveks poshtë
zvogëlohet në mënyrë monotone< 0, y < 0
Shenja:
x = 0, y = 0
;
Kufijtë:
Numëruesi tek, n ​​= 1, 3, 5, ...
për x > 0: konveks lart
në x = -1, y(-1) = -1
për x = 1, y(1) = 1 n = 1

në x = 0, y (0) = 0

Paraqiten vetitë e funksionit të fuqisë y = x p me një eksponent racional brenda 0< p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Grafiku i një funksioni fuqie y = x n me një eksponent natyror tek për vlera të ndryshme të eksponentit n = 1, 3, 5, .... -∞ < x < +∞
Fushëveprimi: Ky tregues mund të shkruhet edhe në formën: n = 2k, ku k = 1, 2, 3, ... - natyrore. Vetitë dhe grafikët e funksioneve të tilla janë dhënë më poshtë.< +∞
Kuptime të shumta: Grafiku i një funksioni fuqie y = x n me një eksponent natyror çift për vlera të ndryshme të eksponentit n = 2, 4, 6, ....
tek, y(-x) = - y(x)
zvogëlohet në mënyrë monotone< 0 : монотонно убывает
për x > 0: rritet në mënyrë monotone
rritet në mënyrë monotone minimale në x = 0, y = 0
Nr konveks lart për x ≠ 0
në 0 Ekstremet:
minimale, x = 0, y = 0 Pikat e lakimit:
për x > 0: konveks poshtë për x ≠ 0, y > 0
x = 0, y = 0
;
Kufijtë:
në x = -1, y(-1) = 1
për x > 0: konveks lart
në x = -1, y(-1) = -1
për x = 1, y(1) = 1 n = 1

Indeksi p është më i madh se një, p > 1

Grafiku i një funksioni fuqie me një eksponent racional (p > 1) për vlera të ndryshme të eksponentit, ku m = 3, 5, 7, ... - tek.

Numëruesi tek, n ​​= 5, 7, 9, ...

Vetitë e funksionit të fuqisë y = x p me eksponent racional më të madh se një: .

Grafiku i një funksioni fuqie y = x n me një eksponent natyror tek për vlera të ndryshme të eksponentit n = 1, 3, 5, .... -∞ < x < ∞
Fushëveprimi: -∞ < y < ∞
Kuptime të shumta: Barazi:
tek, y(-x) = - y(x) Monotone:
rritet në mënyrë monotone Ekstremet:
Nr
Konveks:< x < 0 выпукла вверх
në -∞< x < ∞ выпукла вниз
në 0 Pikat e lakimit:
minimale, x = 0, y = 0 Pikat e lakimit:
x = 0, y = 0
;
Kufijtë:
Numëruesi tek, n ​​= 1, 3, 5, ...
për x > 0: konveks lart
në x = -1, y(-1) = -1
për x = 1, y(1) = 1 n = 1

Ku n = 5, 7, 9, ... - tek natyral, m = 3, 5, 7 ... - tek natyral.

Numëruesi çift, n = 4, 6, 8, ...

Grafiku i një funksioni fuqie y = x n me një eksponent natyror tek për vlera të ndryshme të eksponentit n = 1, 3, 5, .... -∞ < x < ∞
Fushëveprimi: Ky tregues mund të shkruhet edhe në formën: n = 2k, ku k = 1, 2, 3, ... - natyrore. Vetitë dhe grafikët e funksioneve të tilla janë dhënë më poshtë.< ∞
Kuptime të shumta: Grafiku i një funksioni fuqie y = x n me një eksponent natyror çift për vlera të ndryshme të eksponentit n = 2, 4, 6, ....
tek, y(-x) = - y(x)
zvogëlohet në mënyrë monotone< 0 монотонно убывает
Vetitë e funksionit të fuqisë y = x p me eksponent racional më të madh se një: .
rritet në mënyrë monotone minimale në x = 0, y = 0
Nr për x ≥ 0 rritet në mënyrë monotone
në 0 Ekstremet:
minimale, x = 0, y = 0 Pikat e lakimit:
x = 0, y = 0
;
Kufijtë:
në x = -1, y(-1) = 1
për x > 0: konveks lart
në x = -1, y(-1) = -1
për x = 1, y(1) = 1 n = 1

Ku n = 4, 6, 8, ... - çift natyral, m = 3, 5, 7 ... - te natyrshme.

për x > 0 rritet në mënyrë monotone

Emëruesi i treguesit thyesor është çift

Emëruesi i eksponentit thyesor le të jetë çift: m = 2, 4, 6, ... . Në këtë rast, funksioni i fuqisë x p nuk përcaktohet për vlerat negative të argumentit. Vetitë e tij përkojnë me vetitë e një funksioni fuqie me një eksponent irracional (shih pjesën tjetër).

Funksioni i fuqisë me eksponent irracional

Konsideroni një funksion fuqie y = x p me një eksponent irracional p.< 0

Grafiku i një funksioni fuqie y = x n me një eksponent natyror tek për vlera të ndryshme të eksponentit n = 1, 3, 5, .... Vetitë e funksioneve të tilla ndryshojnë nga ato të diskutuara më sipër në atë që ato nuk janë të përcaktuara për vlerat negative të argumentit x.
Fushëveprimi: Më poshtë janë vetitë e funksionit y = x n me një eksponent negativ çift n = -2, -4, -6, ....
tek, y(-x) = - y(x) y ≠ 0
Nr për x ≥ 0 rritet në mënyrë monotone
në 0 Ekstremet:
minimale, x = 0, y = 0 Ekstremet:
x = 0, y = 0 ;
Për vlerat pozitive të argumentit, vetitë varen vetëm nga vlera e eksponentit p dhe nuk varen nga fakti nëse p është numër i plotë, racional ose irracional. y = x p për vlera të ndryshme të eksponentit p.

Funksioni i fuqisë me eksponent negativ p

x > 0< p < 1

Grafiku i një funksioni fuqie y = x n me një eksponent natyror tek për vlera të ndryshme të eksponentit n = 1, 3, 5, .... Kuptimi privat:
Fushëveprimi: Për x = 1, y (1) = 1 p = 1
tek, y(-x) = - y(x) Monotone:
Nr Funksioni i fuqisë me eksponent pozitiv p > 0
në 0 Ekstremet:
minimale, x = 0, y = 0 Pikat e lakimit:
x = 0, y = 0
Kufijtë: Treguesi më pak se një 0
y = x p për vlera të ndryshme të eksponentit p.

x ≥ 0

Grafiku i një funksioni fuqie y = x n me një eksponent natyror tek për vlera të ndryshme të eksponentit n = 1, 3, 5, .... Kuptimi privat:
Fushëveprimi: Për x = 1, y (1) = 1 p = 1
tek, y(-x) = - y(x) Monotone:
Nr për x ≥ 0 rritet në mënyrë monotone
në 0 Ekstremet:
minimale, x = 0, y = 0 Pikat e lakimit:
x = 0, y = 0
Kufijtë: Treguesi më pak se një 0
y = x p për vlera të ndryshme të eksponentit p.

y ≥ 0
konveks lart

Për x = 0, y(0) = 0 p = 0 .

Treguesi është më i madh se një p> 1

Informacioni personal i referohet të dhënave që mund të përdoren për të identifikuar ose kontaktuar një person specifik.

Mund t'ju kërkohet të jepni informacionin tuaj personal në çdo kohë kur na kontaktoni.

Më poshtë janë disa shembuj të llojeve të informacionit personal që mund të mbledhim dhe se si mund ta përdorim këtë informacion.

Çfarë informacioni personal mbledhim:

• Kur paraqisni një aplikim në faqe, ne mund të mbledhim informacione të ndryshme, duke përfshirë emrin, numrin e telefonit, adresën tuaj email etj.

Si i përdorim të dhënat tuaja personale:

• Mbledhur nga ne informacion personal na lejon t'ju kontaktojmë dhe t'ju informojmë për ofertat unike, promovimet dhe ngjarjet e tjera dhe ngjarjet e ardhshme.
• Herë pas here, ne mund të përdorim të dhënat tuaja personale për të dërguar njoftime dhe komunikime të rëndësishme.
• Ne gjithashtu mund të përdorim informacionin personal për qëllime të brendshme si auditimi, analiza e të dhënave dhe studime të ndryshme në mënyrë që të përmirësojmë shërbimet që ofrojmë dhe t'ju ofrojmë rekomandime në lidhje me shërbimet tona.
• Nëse merrni pjesë në një tërheqje çmimesh, konkurs ose promovim të ngjashëm, ne mund të përdorim informacionin që ju jepni për të administruar programe të tilla.

Zbulimi i informacionit palëve të treta

Ne nuk ua zbulojmë informacionin e marrë nga ju palëve të treta.

Përjashtimet:

• Nëse është e nevojshme - në përputhje me ligjin, procedurën gjyqësore, në gjyq, dhe/ose në bazë të kërkesave apo kërkesave publike nga agjencive qeveritare në territorin e Federatës Ruse - zbuloni informacionin tuaj personal. Ne gjithashtu mund të zbulojmë informacione rreth jush nëse përcaktojmë se një zbulim i tillë është i nevojshëm ose i përshtatshëm për qëllime sigurie, zbatimi të ligjit ose qëllime të tjera me rëndësi publike.
• Në rast të një riorganizimi, bashkimi ose shitjeje, ne mund t'i transferojmë informacionet personale që mbledhim tek pala e tretë pasardhëse e aplikueshme.

Mbrojtja e informacionit personal

Ne marrim masa paraprake - duke përfshirë administrative, teknike dhe fizike - për të mbrojtur informacionin tuaj personal nga humbja, vjedhja dhe keqpërdorimi, si dhe qasja, zbulimi, ndryshimi dhe shkatërrimi i paautorizuar.

Respektimi i privatësisë suaj në nivel kompanie

Për t'u siguruar që informacioni juaj personal është i sigurt, ne i komunikojmë punonjësve tanë standardet e privatësisë dhe sigurisë dhe zbatojmë në mënyrë rigoroze praktikat e privatësisë.

Funksioni zero
Zero e një funksioni është vlera X, në të cilën funksioni kthehet në 0, pra f(x)=0.

Zerot janë pikat e prerjes së grafikut të funksionit me boshtin Oh.

Barazia e funksionit
Një funksion thirret edhe nëse për ndonjë X nga fusha e përkufizimit vlen barazia f(-x) = f(x).

Një funksion i barabartë është simetrik rreth boshtit Oh

Funksioni i barazisë tek
Një funksion quhet tek nëse për ndonjë X nga fusha e përkufizimit vlen barazia f(-x) = -f(x).

Një funksion tek është simetrik në lidhje me origjinën.
Një funksion që nuk është as çift dhe as tek quhet funksion i përgjithshëm.

Funksioni në rritje
Një funksion f(x) thuhet se është në rritje nëse një vlerë më e madhe e argumentit korrespondon me një vlerë më të madhe të funksionit, d.m.th.

Funksioni zbritës
Një funksion f(x) quhet zvogëlues nëse një vlerë më e madhe e argumentit i korrespondon një vlere më të vogël të funksionit, d.m.th.

Quhen intervalet në të cilat funksioni ose zvogëlohet ose vetëm rritet intervalet e monotonisë. Funksioni f(x) ka 3 intervale të monotonitetit:

Gjeni intervalet e monotonitetit duke përdorur shërbimin Intervalet e funksionit të rritjes dhe zvogëlimit

Maksimumi lokal
Pika x 0 quhet pikë maksimale lokale nëse ka ndonjë X nga afërsia e një pike x 0 vlen pabarazia: f(x 0) > f(x)

Minimumi lokal
Pika x 0 quhet pikë minimale lokale nëse ka ndonjë X nga afërsia e një pike x 0 pabarazia vlen: f(x 0)< f(x).

Pikat maksimale lokale dhe pikat minimale lokale quhen pika ekstreme lokale.

pikat ekstreme lokale.

Frekuenca e funksionit
Funksioni f(x) quhet periodik, me pikë T, nëse për ndonjë X vlen barazia f(x+T) = f(x).

Intervalet e qëndrueshmërisë së shenjave
Intervalet në të cilat funksioni është ose vetëm pozitiv ose vetëm negativ quhen intervale të shenjës konstante.

Vazhdimësia e funksionit
Një funksion f(x) quhet i vazhdueshëm në një pikë x 0 nëse kufiri i funksionit si x → x 0 është i barabartë me vlerën e funksionit në këtë pikë, d.m.th. .

Pikat e pushimit
Pikat në të cilat cenohet kushti i vazhdimësisë quhen pika të ndërprerjes së funksionit.

x 0- pika e thyerjes.

Skema e përgjithshme për vizatimin e funksioneve

1. Gjeni domenin e përkufizimit të funksionit D(y).

2. Gjeni pikat e prerjes së grafikut të funksioneve me boshtet koordinative.

3. Shqyrtoni funksionin për çift ose tek.

4. Shqyrtoni funksionin për periodicitet.

5. Gjeni intervalet e monotonitetit dhe pikat ekstreme të funksionit.

6. Gjeni intervalet e konveksitetit dhe pikat e lakimit të funksionit.

7. Gjeni asimptotat e funksionit.

8. Bazuar në rezultatet e hulumtimit, ndërtoni një grafik.

Shembull: Eksploroni funksionin dhe vizatoni atë: y = x 3 – 3x

1) Funksioni është përcaktuar në të gjithë boshtin numerik, d.m.th. domeni i përkufizimit të tij është D(y) = (-∞; +∞).

2) Gjeni pikat e kryqëzimit me boshtet e koordinatave:

me boshtin OX: zgjidhni ekuacionin x 3 – 3x = 0

me bosht OY: y(0) = 0 3 – 3*0 = 0

3) Gjeni nëse funksioni është çift apo tek:

y(-x) = (-x) 3 – 3(-x) = -x 3 + 3x = - (x 3 – 3x) = -y(x)

Nga kjo rrjedh se funksioni është tek.

4) Funksioni është jo periodik.

5) Le të gjejmë intervalet e monotonitetit dhe pikat ekstreme të funksionit: y’ = 3x 2 - 3.

Pikat kritike: 3x 2 – 3 = 0, x 2 =1, x= ±1.

y(-1) = (-1) 3 – 3(-1) = 2

y(1) = 1 3 – 3*1 = -2

6) Gjeni intervalet e konveksitetit dhe pikat e lakimit të funksionit: y’’ = 6x

Pikat kritike: 6x = 0, x = 0.

y(0) = 0 3 – 3*0 = 0

7) Funksioni është i vazhdueshëm, nuk ka asimptota.

8) Bazuar në rezultatet e studimit, ne do të ndërtojmë një grafik të funksionit.

E dhënë material metodologjikështë vetëm për referencë dhe vlen për një gamë të gjerë temash. Artikulli ofron një përmbledhje të grafikëve të funksioneve themelore elementare dhe trajton çështjen më të rëndësishme - si të ndërtohet një grafik saktë dhe SHPEJT. Në kursin e studimit të matematikës së lartë pa njohuri të grafikëve bazë funksionet elementare Do të jetë e vështirë, ndaj është shumë e rëndësishme të mbani mend se si duken grafikët e një parabole, hiperbole, sinusi, kosinusi etj. dhe të mbani mend disa nga vlerat e funksionit. Gjithashtu do flasim për disa veti të funksioneve bazë.

Unë nuk pretendoj plotësinë dhe tërësinë shkencore të materialeve theksi do të vihet, para së gjithash, në praktikë - ato gjëra me të cilat ndeshet fjalë për fjalë në çdo hap, në çdo temë të matematikës së lartë. Listat për dummies? Mund të thuash edhe këtë.

Për shkak të kërkesave të shumta të lexuesve tabela e përmbajtjes e klikueshme:

Përveç kësaj, ekziston një përmbledhje ultra e shkurtër mbi temën
– zotëroni 16 lloje tabelash duke studiuar GJASHTË faqe!

Seriozisht, gjashtë, edhe unë u habita. Kjo përmbledhje përmban grafikë të përmirësuar dhe është në dispozicion për një tarifë nominale. Është i përshtatshëm për të printuar skedarin në mënyrë që grafikët të jenë gjithmonë pranë. Faleminderit për mbështetjen e projektit!

Dhe le të fillojmë menjëherë:

Si të ndërtojmë saktë boshtet e koordinatave?

Në praktikë, pothuajse gjithmonë testet plotësohen nga nxënësit në fletore të veçanta, të rreshtuara në katror. Pse keni nevojë për shenja me kuadrate? Në fund të fundit, puna, në parim, mund të bëhet në fletë A4. Dhe kafazi është i nevojshëm vetëm për dizajn me cilësi të lartë dhe të saktë të vizatimeve.

Çdo vizatim i një grafik funksioni fillon me boshtet koordinative.

Vizatimet mund të jenë dy-dimensionale ose tre-dimensionale.

Le të shqyrtojmë së pari rastin dydimensional Sistemi koordinativ drejtkëndor kartezian:

1) Vizatoni boshtet e koordinatave. Boshti quhet boshti x , dhe boshti është boshti y . Ne gjithmonë përpiqemi t'i vizatojmë ato i zoti dhe jo i shtrembër. Shigjetat gjithashtu nuk duhet t'i ngjajnë mjekrës së Papa Carlo.

2) Ne i nënshkruajmë boshtet me shkronja të mëdha "X" dhe "Y". Mos harroni të etiketoni sëpatat.

3) Vendosni shkallën përgjatë boshteve: vizatoni një zero dhe dy njëshe. Kur bëni një vizatim, shkalla më e përshtatshme dhe e përdorur shpesh është: 1 njësi = 2 qeliza (vizatimi në të majtë) - nëse është e mundur, ngjituni në të. Sidoqoftë, herë pas here ndodh që vizatimi të mos përshtatet në fletën e fletores - atëherë zvogëlojmë shkallën: 1 njësi = 1 qelizë (vizatimi në të djathtë). Është e rrallë, por ndodh që shkalla e vizatimit duhet të zvogëlohet (ose të rritet) edhe më shumë

NUK KA NEVOJË për "mitraloz" …-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,…. Për rrafshi koordinativ nuk është një monument i Dekartit dhe studenti nuk është një pëllumb. Ne kemi vënë zero Dhe dy njësi përgjatë akseve. Ndonjëherë në vend të njësitë, është e përshtatshme të "shënoni" vlera të tjera, për shembull, "dy" në boshtin e abshisës dhe "tre" në boshtin e ordinatave - dhe ky sistem (0, 2 dhe 3) gjithashtu do të përcaktojë në mënyrë unike rrjetin e koordinatave.

Është më mirë të vlerësohen dimensionet e vlerësuara të vizatimit PARA se të ndërtohet vizatimi. Kështu, për shembull, nëse detyra kërkon vizatimin e një trekëndëshi me kulme , , , atëherë është plotësisht e qartë se shkalla popullore prej 1 njësi = 2 qeliza nuk do të funksionojë. Pse? Le të shohim pikën - këtu do të duhet të matni pesëmbëdhjetë centimetra poshtë, dhe, padyshim, vizatimi nuk do të përshtatet (ose mezi përshtatet) në një fletë fletoreje. Prandaj, ne zgjedhim menjëherë një shkallë më të vogël: 1 njësi = 1 qelizë.

Nga rruga, rreth centimetra dhe qeliza fletore. A është e vërtetë që 30 qeliza fletoresh përmbajnë 15 centimetra? Për argëtim, matni 15 centimetra në fletoren tuaj me një vizore. Në BRSS, kjo mund të ketë qenë e vërtetë... Është interesante të theksohet se nëse matni të njëjtat centimetra horizontalisht dhe vertikalisht, rezultatet (në qeliza) do të jenë të ndryshme! Në mënyrë të rreptë, fletoret moderne nuk janë me kuadrate, por drejtkëndëshe. Kjo mund të duket e pakuptimtë, por vizatimi, për shembull, një rreth me busull në situata të tilla është shumë i papërshtatshëm. Për të qenë i sinqertë, në momente të tilla filloni të mendoni për korrektësinë e shokut Stalin, i cili u dërgua në kampe për punë haker në prodhim, për të mos përmendur industrinë vendase të automobilave, rënien e avionëve ose shpërthimin e termocentraleve.

Duke folur për cilësinë, ose rekomandim i shkurtër për artikuj shkrimi. Sot, pjesa më e madhe e fletoreve në shitje janë, për të mos thënë më pak, mut. Për arsye se lagen, dhe jo vetëm nga stilolapsat xhel, por edhe nga stilolapsat! Ata kursejnë para në letër. Për regjistrim testet Unë rekomandoj përdorimin e fletoreve nga Arkhangelsk Pulp and Paper Mill (18 fletë, rrjet) ose "Pyaterochka", megjithëse është më e shtrenjtë. Është e këshillueshme që të zgjidhni një stilolaps xhel, madje edhe rimbushja më e lirë me xhel kinez është shumë më e mirë se një stilolaps, i cili ose njolloset ose gris letrën. E vetmja "konkurruese" stilolaps me top në kujtesën time është "Erich Krause". Ajo shkruan qartë, bukur dhe vazhdimisht - po bosht i plotë, që me praktikisht bosh.

Për më tepër: Vizioni i një sistemi koordinativ drejtkëndor përmes syve të gjeometrisë analitike është mbuluar në artikull Varësia lineare (jo) e vektorëve. Baza e vektorëve, informacion të detajuar rreth tremujorët koordinativ mund të gjendet në paragrafin e dytë të mësimit Pabarazitë lineare.

kasë 3D

Është pothuajse e njëjta gjë këtu.

1) Vizatoni boshtet e koordinatave. Standard: aks aplikojnë - i drejtuar lart, boshti - i drejtuar djathtas, boshti - i drejtuar poshtë në të majtë në mënyrë rigoroze në një kënd prej 45 gradë.

2) Etiketoni sëpatat.

3) Vendosni shkallën përgjatë boshteve. Shkalla përgjatë boshtit është dy herë më e vogël se shkalla përgjatë boshteve të tjera. Vini re gjithashtu se në vizatimin e duhur kam përdorur një "notch" jo standarde përgjatë boshtit (kjo mundësi është përmendur tashmë më lart). Nga këndvështrimi im, kjo është më e saktë, më e shpejtë dhe më e këndshme nga ana estetike - nuk ka nevojë të kërkoni mesin e qelizës nën një mikroskop dhe të "skalitni" një njësi afër origjinës së koordinatave.

Kur bëni një vizatim 3D, përsëri, jepni përparësi shkallës
1 njësi = 2 qeliza (vizatimi në të majtë).

Për çfarë janë të gjitha këto rregulla? Rregullat janë bërë për t'u thyer. Kjo është ajo që do të bëj tani. Fakti është se vizatimet e mëvonshme të artikullit do të bëhen nga unë në Excel, dhe boshtet e koordinatave do të duken të pasakta nga pikëpamja dizajn i saktë. Mund t'i vizatoja të gjithë grafikët me dorë, por është në të vërtetë e frikshme t'i vizatosh pasi Excel ngurron t'i vizatojë shumë më saktë.

Grafikët dhe vetitë themelore të funksioneve elementare

Një funksion linear jepet nga ekuacioni. Grafiku i funksioneve lineare është e drejtpërdrejtë. Për të ndërtuar një vijë të drejtë, mjafton të njihni dy pika.

Shembulli 1

Ndërtoni një grafik të funksionit. Le të gjejmë dy pika. Është e dobishme të zgjidhni zero si një nga pikat.

Nëse, atëherë

Le të marrim një pikë tjetër, për shembull, 1.

Nëse, atëherë

Kur plotësoni detyrat, koordinatat e pikave zakonisht përmblidhen në një tabelë:

Dhe vetë vlerat llogariten me gojë ose në një draft, një kalkulator.

Janë gjetur dy pika, le të bëjmë vizatimin:

Kur përgatitim një vizatim, ne gjithmonë nënshkruajmë grafikën.

Do të ishte e dobishme të kujtoheshin raste të veçanta të një funksioni linear:

Vini re se si i vendosa nënshkrimet, nënshkrimet nuk duhet të lejojnë mospërputhje gjatë studimit të vizatimit. Në këtë rast, ishte jashtëzakonisht e padëshirueshme të vendosni një nënshkrim pranë pikës së kryqëzimit të linjave, ose në fund të djathtë midis grafikëve.

1) Një funksion linear i formës () quhet proporcionalitet i drejtpërdrejtë. Për shembull,. Një grafik proporcionaliteti i drejtpërdrejtë kalon gjithmonë përmes origjinës. Kështu, ndërtimi i një vije të drejtë është thjeshtuar - mjafton të gjesh vetëm një pikë.

2) Një ekuacion i formës specifikon një vijë të drejtë paralele me boshtin, në veçanti, vetë boshti jepet nga ekuacioni. Grafiku i funksionit vizatohet menjëherë, pa gjetur asnjë pikë. Kjo do të thotë, hyrja duhet të kuptohet si vijon: "y është gjithmonë i barabartë me -4, për çdo vlerë të x".

3) Një ekuacion i formës specifikon një vijë të drejtë paralele me boshtin, në veçanti, vetë boshti jepet nga ekuacioni. Grafiku i funksionit gjithashtu vizatohet menjëherë. Hyrja duhet të kuptohet si më poshtë: "x është gjithmonë, për çdo vlerë të y, e barabartë me 1."

Disa do të pyesin, pse e mbani mend klasën e 6-të?! Kështu është, ndoshta është kështu, por gjatë viteve të praktikës kam takuar një duzinë të mirë studentësh që ishin të hutuar nga detyra për të ndërtuar një grafik si ose.

Ndërtimi i një vije të drejtë është veprimi më i zakonshëm kur bëni vizatime.

Vija e drejtë diskutohet në detaje në kursin e gjeometrisë analitike dhe të interesuarit mund t'i referohen artikullit Ekuacioni i një vije të drejtë në një plan.

Grafiku i një funksioni kuadratik, kub, grafiku i një polinomi

Parabola. Orari funksion kuadratik () përfaqëson një parabolë. Konsideroni rastin e famshëm:

Le të kujtojmë disa veti të funksionit.

Pra, zgjidhja e ekuacionit tonë: – pikërisht në këtë pikë ndodhet kulmi i parabolës. Pse është kështu, mund të mësohet nga artikulli teorik mbi derivatin dhe mësimi mbi ekstremet e funksionit. Ndërkohë, le të llogarisim vlerën përkatëse "Y":

Kështu, kulmi është në pikën

Tani gjejmë pika të tjera, ndërsa përdorim paturpësisht simetrinë e parabolës. Duhet theksuar se funksioni – nuk është madje, por, megjithatë, askush nuk e anuloi simetrinë e parabolës.

Në çfarë rendi për të gjetur pikat e mbetura, mendoj se do të jetë e qartë nga tabela përfundimtare:

Ky algoritëm ndërtimi në mënyrë figurative mund të quhet "shuttle" ose parimi "para dhe mbrapa" me Anfisa Chekhova.

Le të bëjmë vizatimin:

Nga grafikët e ekzaminuar, një tjetër veçori e dobishme vjen në mendje:

Për një funksion kuadratik () sa vijon është e vërtetë:

Nëse , atëherë degët e parabolës janë të drejtuara lart.

Nëse , atëherë degët e parabolës janë të drejtuara poshtë.

Njohuri të thella për kurbën mund të merren në mësimin Hiperbola dhe parabola.

Një parabolë kubike jepet nga funksioni. Këtu është një vizatim i njohur nga shkolla:

Le të rendisim vetitë kryesore të funksionit

Grafiku i një funksioni

Ai përfaqëson një nga degët e një parabole. Le të bëjmë vizatimin:

Karakteristikat kryesore të funksionit:

Në këtë rast, boshti është asimptotë vertikale për grafikun e një hiperbole në .

Do të ishte një gabim i rëndë nëse, gjatë hartimit të një vizatimi, e lejoni pa kujdes grafikun të kryqëzohet me një asimptotë.

Gjithashtu kufijtë e njëanshëm na tregojnë se hiperbola nuk kufizohet nga lart Dhe nuk kufizohet nga poshtë.

Le të shqyrtojmë funksionin në pafundësi: , domethënë, nëse fillojmë të lëvizim përgjatë boshtit majtas (ose djathtas) deri në pafundësi, atëherë "lojërat" do të jenë në një hap të rregullt pafundësisht afër afrohen zero, dhe, në përputhje me rrethanat, degët e hiperbolës pafundësisht afër afrohen boshtit.

Pra, boshti është asimptotë horizontale për grafikun e një funksioni, nëse "x" tenton në pafundësi plus ose minus.

Funksioni është i çuditshëm, dhe, për rrjedhojë, hiperbola është simetrike në lidhje me origjinën. Ky fakt është i dukshëm nga vizatimi, përveç kësaj, verifikohet lehtësisht në mënyrë analitike: .

Grafiku i një funksioni të formës () paraqet dy degë të një hiperbole.

Nëse , atëherë hiperbola ndodhet në tremujorin e parë dhe të tretë të koordinatave(shih foton më lart).

Nëse , atëherë hiperbola ndodhet në tremujorin e dytë dhe të katërt të koordinatave.

Modeli i treguar i qëndrimit të hiperbolës është i lehtë për t'u analizuar nga pikëpamja e transformimeve gjeometrike të grafikëve.

Shembulli 3

Ndërtoni degën e djathtë të hiperbolës

Ne përdorim metodën e ndërtimit me pikë dhe është e dobishme të zgjedhim vlerat në mënyrë që ato të ndahen me një të tërë:

Le të bëjmë vizatimin:

Nuk do të jetë e vështirë të ndërtohet dega e majtë e hiperbolës, çuditshmëria e funksionit do të ndihmojë këtu. Në mënyrë të përafërt, në tabelën e ndërtimit me pikë, ne çdo numër i shtojmë mendërisht një minus, vendosim pikat përkatëse dhe vizatojmë degën e dytë.

Informacione të detajuara gjeometrike rreth vijës së konsideruar mund të gjenden në artikullin Hiperbola dhe parabola.

Grafiku i një funksioni eksponencial

Në këtë pjesë, unë do të shqyrtoj menjëherë funksionin eksponencial, pasi në problemet e matematikës së lartë në 95% të rasteve është eksponenciali ai që shfaqet.

Më lejoni t'ju kujtoj se ky është një numër irracional: , kjo do të kërkohet kur ndërtoj një grafik, të cilin, në fakt, do ta ndërtoj pa ceremoni. Tre pika janë ndoshta të mjaftueshme:

Le ta lëmë grafikun e funksionit vetëm për momentin, më shumë për të më vonë.

Karakteristikat kryesore të funksionit:

Grafikët e funksioneve, etj., duken në thelb të njëjtë.

Duhet të them që rasti i dytë ndodh më rrallë në praktikë, por ndodh, ndaj e pashë të nevojshme ta përfshija në këtë artikull.

Grafiku i një funksioni logaritmik

Konsideroni një funksion me një logaritëm natyror.
Le të bëjmë një vizatim pikë për pikë:

Nëse keni harruar se çfarë është logaritmi, ju lutemi referojuni teksteve shkollore.

Karakteristikat kryesore të funksionit:

Domeni i përkufizimit:

Gama e vlerave: .

Funksioni nuk është i kufizuar nga lart: , megjithëse ngadalë, por dega e logaritmit shkon deri në pafundësi.
Le të shqyrtojmë sjelljen e funksionit afër zeros në të djathtë: . Pra, boshti është asimptotë vertikale sepse grafiku i një funksioni si “x” priret në zero nga e djathta.

Është e domosdoshme të dihet dhe të mbahet mend vlera tipike e logaritmit: .

Në parim, grafiku i logaritmit ndaj bazës duket i njëjtë: , , (logaritmi dhjetor në bazën 10), etj. Për më tepër, sa më e madhe të jetë baza, aq më i sheshtë do të jetë grafiku.

Ne nuk do ta shqyrtojmë rastin, nuk mbaj mend kur herën e fundit Unë ndërtova një grafik mbi këtë bazë. Dhe logaritmi duket të jetë një mysafir shumë i rrallë në problemet e matematikës së lartë.

Në fund të këtij paragrafi do të them edhe një fakt: Funksioni eksponencial dhe funksioni logaritmik– këto janë dy funksione reciprokisht të anasjellta. Nëse shikoni nga afër grafikun e logaritmit, mund të shihni se ky është i njëjti eksponent, thjesht ndodhet pak më ndryshe.

Grafikët e funksioneve trigonometrike

Ku fillon mundimi trigonometrik në shkollë? E drejta. Nga sinusi

Le të vizatojmë funksionin

Kjo linjë quhet sinusoid.

Më lejoni t'ju kujtoj se "pi" është një numër irracional: , dhe në trigonometri ju bën sytë të verbojnë.

Karakteristikat kryesore të funksionit:

Ky funksion është periodike me periudhë. Çfarë do të thotë? Le të shohim segmentin. Në të majtë dhe në të djathtë të tij, saktësisht e njëjta pjesë e grafikut përsëritet pafundësisht.

Domeni i përkufizimit: , domethënë, për çdo vlerë të "x" ka një vlerë sinus.

Gama e vlerave: . Funksioni është kufizuar: , domethënë, të gjitha "lojërat" qëndrojnë rreptësisht në segmentin .
Kjo nuk ndodh: ose, më saktë, ndodh, por këto ekuacione nuk kanë zgjidhje.

Funksioni y=x^2 quhet funksion kuadratik. Grafiku i një funksioni kuadratik është një parabolë. Pamje e përgjithshme Parabola është paraqitur në figurën më poshtë.

Funksioni kuadratik

Fig 1. Pamje e përgjithshme e parabolës

Siç mund të shihet nga grafiku, ai është simetrik në lidhje me boshtin Oy. Boshti Oy quhet boshti i simetrisë së parabolës. Kjo do të thotë se nëse vizatoni një vijë të drejtë në grafik paralel me boshtin Ox mbi këtë bosht. Pastaj do të presë parabolën në dy pika. Distanca nga këto pika në boshtin Oy do të jetë e njëjtë.

Boshti i simetrisë e ndan grafikun e një parabole në dy pjesë. Këto pjesë quhen degë të parabolës. Dhe pika e një parabole që shtrihet në boshtin e simetrisë quhet kulm i parabolës. Domethënë, boshti i simetrisë kalon nëpër kulmin e parabolës. Koordinatat e kësaj pike janë (0;0).

Vetitë themelore të një funksioni kuadratik

1. Në x =0, y=0 dhe y>0 në x0

2. Funksioni kuadratik e arrin vlerën minimale në kulmin e tij. Ymin në x=0; Duhet të theksohet gjithashtu se funksioni nuk ka një vlerë maksimale.

3. Funksioni zvogëlohet në intervalin (-∞;0] dhe rritet në interval)