Çfarë do të thotë këndi më i madh i një paralelogrami? Teoremat e paralelogramit
Një paralelogram është një katërkëndësh, anët e kundërta të të cilit janë paralele, domethënë shtrihen në drejtëza paralele (Fig. 1).
Teorema 1. Mbi vetitë e brinjëve dhe këndeve të një paralelogrami. Në një paralelogram, brinjët e kundërta janë të barabarta, këndet e kundërta janë të barabarta dhe shuma e këndeve ngjitur me njërën anë të paralelogramit është 180°.
Dëshmi. Në këtë paralelogram ABCD vizatojmë një AC diagonale dhe marrim dy trekëndësha ABC dhe ADC (Fig. 2).
Këta trekëndësha janë të barabartë, meqenëse ∠ 1 = ∠ 4, ∠ 2 = ∠ 3 (kënde tërthore për drejtëzat paralele), dhe ana AC është e zakonshme. Nga barazia Δ ABC = Δ ADC rrjedh se AB = CD, BC = AD, ∠ B = ∠ D. Shuma e këndeve ngjitur me njërën anë, për shembull këndet A dhe D, është e barabartë me 180° si të njëanshme. për vijat paralele. Teorema është vërtetuar.
Koment. Barazia e anëve të kundërta të një paralelogrami do të thotë që segmentet e paraleleve të prera nga ato paralele janë të barabarta.
Përfundim 1. Nëse dy drejtëza janë paralele, atëherë të gjitha pikat në një drejtëz janë në të njëjtën distancë nga drejtëza tjetër.
Dëshmi. Në të vërtetë, le një || b (Fig. 3).
Le të vizatojmë pingulet BA dhe CD në drejtëzën a nga dy pika B dhe C të drejtëzës b. Që nga AB || CD, atëherë figura ABCD është një paralelogram, dhe për këtë arsye AB = CD.
Distanca midis dy vijave paralele është distanca nga një pikë arbitrare në njërën prej vijave në vijën tjetër.
Sipas asaj që është vërtetuar, është e barabartë me gjatësinë e pingules së tërhequr nga një pikë e njërës prej drejtëzave paralele në drejtëzën tjetër.
Shembulli 1. Perimetri i një paralelogrami është 122 cm njëra anë e saj është 25 cm më e madhe se tjetra brinjëve paralelogramë.
Zgjidhje. Nga teorema 1, anët e kundërta të një paralelogrami janë të barabarta. Le të shënojmë njërën anë të paralelogramit me x dhe tjetrën me y. Pastaj, sipas kushtit $$\left\(\begin(matrica) 2x + 2y = 122 \\x - y = 25 \end(matrica)\right.$$ Duke zgjidhur këtë sistem, marrim x = 43, y = 18 Kështu, brinjët e paralelogramit janë 18, 43, 18 dhe 43 cm.
Shembulli 2.
Zgjidhje. Le të plotësojë Figura 4 kushtet e problemit.
Le të shënojmë AB me x dhe BC me y. Sipas kushtit, perimetri i paralelogramit është 10 cm, pra 2(x + y) = 10, ose x + y = 5. Perimetri i trekëndëshit ABD është 8 cm Dhe meqë AB + AD = x + y = 5 pastaj BD = 8 - 5 = 3. Pra BD = 3 cm.
Shembulli 3. Gjeni këndet e paralelogramit, duke ditur se njëri prej tyre është 50° më i madh se tjetri.
Zgjidhje. Le të plotësojë Figura 5 kushtet e problemit.
Le të shënojmë masën e shkallës së këndit A me x. Atëherë masa e shkallës së këndit D është x + 50°.
Këndet BAD dhe ADC janë kënde të brendshme të njëanshme me drejtëza paralele AB dhe DC dhe sekante AD. Atëherë shuma e këtyre këndeve të emërtuara do të jetë 180°, d.m.th.
x + x + 50° = 180°, ose x = 65°. Kështu, ∠ A = ∠ C = 65°, a ∠ B = ∠ D = 115°.
Shembulli 4. Brinjët e paralelogramit janë 4,5 dm dhe 1,2 dm. Një përgjysmues është tërhequr nga kulmi i një këndi akut. Në cilat pjesë ndahet? anën e madhe paralelogram?
Zgjidhje. Le të plotësojë Figura 6 kushtet e problemit.
AE është përgjysmues i një këndi akut të një paralelogrami. Prandaj, ∠ 1 = ∠ 2.
Një paralelogram është një katërkëndësh në të cilin anët e kundërta janë paralele në çifte.
Një paralelogram ka të gjitha vetitë e katërkëndëshave, por përveç kësaj ai ka edhe të vetat tipare dalluese. Duke i ditur ato, ne mund të gjejmë lehtësisht si brinjët ashtu edhe këndet e një paralelogrami.
Vetitë e një paralelogrami
- Shuma e këndeve në çdo paralelogram, si në çdo katërkëndësh, është 360°.
- Vijat e mesme të një paralelogrami dhe diagonalet e tij kryqëzohen në një pikë dhe përgjysmohen prej tij. Kjo pikë zakonisht quhet qendra e simetrisë së paralelogramit.
- Brinjët e kundërta të një paralelogrami janë gjithmonë të barabarta.
- Gjithashtu, kjo shifër ka gjithmonë kënde të kundërta të barabarta.
- Shuma e këndeve që janë ngjitur me secilën nga brinjët e një paralelogrami është gjithmonë 180°.
- Shuma e katrorëve të diagonaleve të një paralelogrami është e barabartë me dyfishin e shumës së katrorëve të dy brinjëve të tij ngjitur. Kjo shprehet me formulën:
- d 1 2 + d 2 2 = 2 (a 2 + b 2), ku d 1 dhe d 2 janë diagonale, a dhe b janë anët ngjitur.
- Kosinusi i një këndi të mpirë është gjithmonë më i vogël se zero.
Si të gjejmë këndet e një paralelogrami të caktuar duke përdorur këto veti në praktikë? Dhe cilat formula të tjera mund të na ndihmojnë me këtë? Le të shohim detyrat specifike që kërkojnë: të gjejmë këndet e një paralelogrami.
Gjetja e këndeve të një paralelogrami
Rasti 1. Dihet masa e një këndi të mpirë;
Shembull: Në paralelogramin ABCD, këndi A është 120°. Gjeni masën e këndeve të mbetura.
Zgjidhja: Duke përdorur vetinë nr. 5, mund të gjejmë masën e këndit B ngjitur me këndin e dhënë në detyrë. Do të jetë e barabartë me:
- 180°-120°= 60°
Dhe tani, duke përdorur vetinë nr. 4, përcaktojmë se dy këndet e mbetura C dhe D janë të kundërta me këndet që kemi gjetur tashmë. Këndi C është i kundërt me këndin A, këndi D është i kundërt me këndin B. Prandaj, ato janë të barabarta në çifte.
- Përgjigje: B = 60°, C = 120°, D=60°
Rasti 2. Dihen gjatësitë e brinjëve dhe diagonaleve
Në këtë rast, duhet të përdorim teoremën e kosinusit.
Së pari mund të përdorim formulën për të llogaritur kosinusin e këndit që na nevojitet, dhe më pas të përdorim një tabelë të veçantë për të gjetur se me çfarë është i barabartë vetë këndi.
Për një kënd akut formula është: 
- cosa = (A² + B² - d²) / (2 * A * B), ku
- a është këndi akut i dëshiruar,
- A dhe B janë brinjët e paralelogramit,
- d - diagonale më e vogël
Për një kënd të mpirë, formula ndryshon paksa:
- cosß = (A² + B² - D²) / (2 * A * B), ku
- ß është një kënd i mpirë,
- A dhe B janë anët
- D - diagonale e madhe
Shembull: ju duhet të gjeni një kënd të mprehtë të një paralelogrami, anët e të cilit janë 6 cm dhe 3 cm, dhe diagonalja më e vogël është 5,2 cm
Zëvendësoni vlerat në formulë për të gjetur një kënd akut:
- cosa = (6 2 + 3 2 - 5,2 2) / (2 * 6 * 3) = (36 + 9 - 27,04) / (2 * 18) = 17,96/36 ~ 18/36 ~ 1/2
- cosa = 1/2. Nga tabela zbulojmë se këndi i dëshiruar është 60°.
Një paralelogram është një katërkëndësh, anët e kundërta të të cilit janë paralele në çifte. Gjithashtu, një paralelogram ka këto veti: anët e kundërta janë të barabarta, këndet e kundërta janë të barabarta dhe shuma e të gjithë këndeve është 360 gradë.
Do t'ju duhet
- Njohuri për gjeometrinë.
Udhëzimet
1. Le të imagjinojmë se një nga këndet e paralelogramit është dhënë dhe është i barabartë me A. Le të gjejmë vlerat e 3-shit të mbetur. Sipas vetive të një paralelogrami, këndet e kundërta janë të barabarta. Kjo do të thotë që këndi përballë atij të dhënë është i barabartë me atë të dhënë dhe vlera e tij është e barabartë me A.
2. Le të gjejmë dy qoshet e mbetura. Për shkak se shuma e të gjithë këndeve në një paralelogram është e barabartë me 360 gradë, dhe këndet e kundërta janë të barabarta me njëri-tjetrin, rezulton se këndi që i përket së njëjtës brinjë me atë të dhënë është i barabartë me (360 - 2A)/2. Epo, ose pas reformës marrim 180 - A. Kështu, në një paralelogram, dy kënde janë të barabarta me A, dhe dy këndet e tjera janë të barabarta me 180 - A.
Kushtojini vëmendje!
Vlera e një këndi nuk mund të kalojë 180 gradë. Vlerat e marra të këndit mund të verifikohen lehtësisht. Për ta bërë këtë, mblidhni ato dhe, nëse shuma është 360, gjithçka llogaritet saktë.
Këshilla të dobishme
Një drejtkëndësh dhe një romb janë raste të veçanta të një paralelogrami, prandaj, të gjitha vetitë dhe metodat për llogaritjen e këndeve zbatohen për to.
Problemi 1. Një nga këndet e paralelogramit është 65°. Gjeni këndet e mbetura të paralelogramit.
∠C =∠A = 65° si kënde të kundërta të një paralelogrami.
∠A +∠B = 180° si kënde ngjitur me njërën anë të një paralelogrami.
∠B = 180° - ∠A = 180° - 65° = 115°.
∠D =∠B = 115° si këndet e kundërta të një paralelogrami.
Përgjigje: ∠A =∠C = 65°; ∠B =∠D = 115°.
Detyra 2. Shuma e dy këndeve të një paralelogrami është 220°. Gjeni këndet e paralelogramit.
Meqenëse një paralelogram ka 2 të barabartë kënde akute dhe 2 kënde të barabarta, atëherë na jepet shuma e dy këndeve të mpirë, d.m.th. ∠B +∠D = 220°. Atëherë ∠B =∠D = 220° :
2 = 110°.
∠A + ∠B = 180° si kënde ngjitur me njërën anë të një paralelogrami, pra ∠A = 180° - ∠B = 180° - 110° = 70°. Pastaj ∠C =∠A = 70°.
Përgjigje: ∠A =∠C = 70°; ∠B =∠D = 110°.
Detyra 3. Njëri nga këndet e një paralelogrami është 3 herë më i madh se tjetri. Gjeni këndet e paralelogramit.
Le të jetë ∠A =x. Atëherë ∠B = 3x. Duke ditur se shuma e këndeve të një paralelogrami ngjitur me njërën nga brinjët e tij është e barabartë me 180°, do të krijojmë një ekuacion.
x = 180 : 4;
Marrim: ∠A = x = 45°, dhe ∠B = 3x = 3 ∙ 45° = 135°.
Këndet e kundërta të një paralelogrami janë të barabartë, pra,
∠A =∠C = 45°; ∠B =∠D = 135°.
Përgjigje: ∠A =∠C = 45°; ∠B =∠D = 135°.
Detyra 4. Vërtetoni se nëse një katërkëndësh ka dy brinjë paralele dhe të barabarta, atëherë ky katërkëndësh është paralelogram.
Dëshmi.
Le të vizatojmë diagonalen BD dhe të marrim parasysh Δ ADB dhe Δ CBD.
AD = BC sipas kushtit. Ana BD është e zakonshme. ∠1 = ∠2 si të brendshme të shtrirë në mënyrë tërthore me drejtëza paralele (sipas kushtit) AD dhe BC dhe sekante BD. Prandaj, Δ ADB = Δ CBD në dy anët dhe këndi ndërmjet tyre (shenja e parë e barazisë së trekëndëshave). Në trekëndëshat kongruentë, këndet përkatëse janë të barabarta, që do të thotë ∠3 =∠4. Dhe këto kënde janë kënde të brendshme që shtrihen në mënyrë tërthore me vija të drejta AB dhe CD dhe sekante BD. Kjo nënkupton që drejtëzat AB dhe CD janë paralele. Kështu, në këtë katërkëndësh ABCD, anët e kundërta janë paralele në çifte, prandaj, sipas përkufizimit, ABCD është një paralelogram, gjë që duhej vërtetuar.
Detyra 5. Dy brinjët e një paralelogrami janë në raportin 2 : 5, dhe perimetri është 3,5 m Gjeni brinjët e paralelogramit.
∙ (AB + AD).
Le të shënojmë një pjesë me x. atëherë AB = 2x, AD = 5x metra. Duke ditur që perimetri i paralelogramit është 3.5 m, krijojmë ekuacionin:
2 ∙ (2x + 5x) = 3,5;
2 ∙ 7x = 3,5;
x = 3,5 : 14;
Një pjesë është 0,25 m, atëherë AB = 2 ∙ 0,25 = 0,5 m; pas Krishtit = 5 ∙ 0,25 = 1,25 m.
Ekzaminimi.
Perimetri i paralelogramit P ABCD = 2 ∙ (AB + AD) = 2 ∙ (0,25 + 1,25) = 2 ∙ 1,75 = 3,5 (m).
Meqenëse anët e kundërta të paralelogramit janë të barabarta, atëherë CD = AB = 0,25 m; BC = AD = 1,25 m.
Përgjigje: CD = AB = 0,25 m; BC = AD = 1,25 m.
Një paralelogram është një katërkëndësh, anët e kundërta të të cilit janë paralele, d.m.th. shtrihen në drejtëza paralele
Vetitë e një paralelogrami: 
Teorema 22.
Brinjët e kundërta të një paralelogrami janë të barabarta.
Dëshmi. Në paralelogramin ABCD vizatojmë një AC diagonale. Trekëndëshat ACD dhe ACB janë të barabartë, sikur të kenë anën e përbashkët AC dhe dy palë kënde të barabarta. ngjitur me të: ∠ CAB=∠ ACD, ∠ ACB=∠ DAC (si kënde tërthore me drejtëza paralele AD dhe BC). Kjo do të thotë se AB = CD dhe BC = AD, si brinjë përkatëse të trekëndëshave të barabartë, etj. Nga barazia e këtyre trekëndëshave del gjithashtu se këndet përkatëse të trekëndëshave janë të barabartë:
Teorema 23.
Këndet e kundërta të paralelogramit janë të barabartë: ∠ A=∠ C dhe ∠ B=∠ D.
Barazia e çiftit të parë vjen nga barazia e trekëndëshave ABD dhe CBD, dhe e dyta - ABC dhe ACD.
Teorema 24.
Këndet ngjitur të një paralelogrami, d.m.th. këndet ngjitur me njërën anë shtohen deri në 180 gradë.
Kjo është kështu sepse ato janë kënde të brendshme të njëanshme.
Teorema 25.
Diagonalet e një paralelogrami përgjysmojnë njëra-tjetrën në pikën e tyre të kryqëzimit.
Dëshmi. Merrni parasysh trekëndëshat BOC dhe AOD. Sipas vetive të parë AD=BC ∠ OAD=∠ OCB dhe ∠ ODA=∠ OBC shtrirë në mënyrë tërthore për drejtëzat paralele AD dhe BC. Prandaj, trekëndëshat BOC dhe AOD janë të barabartë në kënde anësore dhe të afërta. Kjo do të thotë BO=OD dhe AO=OS, si brinjët përkatëse të trekëndëshave të barabartë, etj.
Shenjat e një paralelogrami
Teorema 26.
Nëse anët e kundërta të një katërkëndëshi janë të barabarta në çifte, atëherë ai është një paralelogram.
Dëshmi. Le të ketë katërkëndëshi ABCD brinjët AD dhe BC, përkatësisht AB dhe CD të barabarta (Fig. 2). Le të vizatojmë diagonalen AC. Trekëndëshat ABC dhe ACD janë të barabartë në tre anët. Atëherë këndet BAC dhe DCA janë të barabarta dhe, për rrjedhojë, AB është paralel me CD. Paralelizmi i brinjëve BC dhe AD rrjedh nga barazia e këndeve CAD dhe ACB.
Teorema 27.
Nëse këndet e kundërta të një katërkëndëshi janë të barabartë në çifte, atëherë ai është një paralelogram.
Le të ∠ A=∠ C dhe ∠ B=∠ D. Sepse ∠ A+∠ B+∠ C+∠ D=360 o, pastaj ∠ A+∠ B=180 o dhe brinjët AD dhe BC janë paralele (në bazë të paralelizmit të drejtëzave). Do të vërtetojmë gjithashtu paralelizmin e brinjëve AB dhe CD dhe do të konkludojmë se ABCD është një paralelogram sipas përkufizimit.
Teorema 28.
Nëse këndet ngjitur të një katërkëndëshi, d.m.th. Këndet ngjitur me njërën anë shtohen deri në 180 gradë, atëherë është një paralelogram.
Nëse këndet e brendshme të njëanshme shtohen deri në 180 gradë, atëherë vijat e drejta janë paralele. Pra, AB është paralel me CD dhe BC është paralel me AD. Një katërkëndësh rezulton të jetë një paralelogram sipas përkufizimit.
Teorema 29.
Nëse diagonalet e një katërkëndëshi përgjysmojnë njëra-tjetrën në pikën e kryqëzimit, atëherë katërkëndëshi është një paralelogram.
Dëshmi. Nëse AO = OC, BO = OD, atëherë trekëndëshat AOD dhe BOC janë të barabartë, pasi kanë kënde të barabarta (vertikale) në kulmin O, të mbyllur midis çifteve brinjësh të barabarta. Nga barazia e trekëndëshave arrijmë në përfundimin se AD dhe BC janë të barabartë. Brinjët AB dhe CD janë gjithashtu të barabarta, dhe katërkëndëshi rezulton të jetë paralelogram sipas kriterit 1.
Teorema 30.
Nëse një katërkëndësh ka një palë brinjë të barabarta, paralele, atëherë ai është një paralelogram.
Le të jenë paralele dhe të barabarta brinjët AB dhe CD të katërkëndëshit ABCD. Le të vizatojmë diagonalet AC dhe BD. Nga paralelizmi i këtyre drejtëzave del se këndet kryq ABO = CDO dhe BAO = OCD janë të barabartë. Trekëndëshat ABO dhe CDO janë të barabartë në kënde anësore dhe të afërta. Prandaj AO=OS, VO=ОD, d.m.th. Diagonalet ndahen në gjysmë nga pika e kryqëzimit dhe katërkëndëshi rezulton të jetë paralelogram sipas kriterit 4.
Në gjeometri merren parasysh raste të veçanta të paralelogrameve.
