Դաս «Լոգարիթմական անհավասարություններ. Բաց դաս լոգարիթմական անհավասարությունների լուծմամբ
Դիտարկենք լոգարիթմական ֆունկցիայի գրաֆիկը և ուղիղ համեմատականության գրաֆիկը
Նկատի ունեցեք, որ ֆունկցիան մեծանում է տիրույթում: Առանց գրաֆիկի դա կարելի է որոշել լոգարիթմի հիմքից: Այն դեպքում, որտեղ x>0, եթե լոգարիթմի հիմքը մեծ է զրոյից, բայց փոքր է մեկից, ապա ֆունկցիան նվազում է, եթե լոգարիթմի հիմքը մեկից մեծ է, ապա ֆունկցիան մեծանում է:
Կարևոր է նշել, որ լոգարիթմական ֆունկցիան ընդունում է դրական արժեքներՄեկից մեծ թվերի բազմության վրա մենք գրում ենք այս հայտարարությունը օգտագործելով նշանները զ(x)ժամըx
Ուղղակի համաչափություն y=xայս դեպքում, մեկից մինչև գումարած անսահմանության միջակայքում, այն նաև դրական արժեքներ է վերցնում մեկից մեծ: Սա պատահականությո՞ւն է, թե՞ օրինաչափություն։ Ամեն ինչի մասին կարգով.
Ձևի անհավասարությունները կոչվում են լոգարիթմական, որտեղ a-ն 1-ից տարբեր դրական թիվ է և >0,)>0:
Փոխակերպենք անհավասարությունը ձևի։ Երբ տերմինները տեղափոխվում են անհավասարության մի մասից մյուսը, տերմինի նշանը փոխվում է հակառակի։ Լոգարիթմի հատկությամբ նույն հիմքով լոգարիթմների տարբերությունը կարող է փոխարինվել քանորդի լոգարիթմով, ուստի մեր անհավասարությունը ձև կընդունի։
Նշեք արտահայտությունը տ, Հետոանհավասարությունը կձևավորվի.
Դիտարկենք այս անհավասարությունը հիմքի նկատմամբ Ա,մեկից մեծ, իսկ a հիմքի համեմատ՝ զրոյից մեծ և մեկից փոքր։
Եթե լոգարիթմի հիմքը Ա,մեկից մեծ, այնուհետև ֆունկցիան մեծանում է սահմանման տիրույթում և դրական արժեքներ է ընդունում մեկից մեծ t-ի համար: Եկեք վերադառնանք փոխարինմանը: Այսպիսով, կոտորակը պետք է մեկից մեծ լինի: Սա նշանակում է, որ f(x)>g(x):
Եթե լոգարիթմի հիմքը զրոյից մեծ է և մեկից փոքր, ապա ֆունկցիան նվազում է սահմանման տիրույթում և ստանում դրական արժեքներ, երբ t-ը զրոյից մեծ է և մեկից փոքր: Հակադարձ փոխարինման դեպքում անհավասարությունը համարժեք է անհավասարությանը, և այն պահպանվում է f(x)-ի համար։ Եզրակացնենք. Եթե)>0 իսկ a>1-ի համար լոգարիթմական անհավասարությունը համարժեք է նույն նշանակության անհավասարությանը)>), և 0-ում Համարժեք է հակառակ նշանակության անհավասարությանը)<) Դիտարկենք լոգարիթմական անհավասարությունների լուծման օրինակներ: Լուծե՛ք անհավասարությունը. Անհավասարություններ >0 և մակերես թույլատրելի արժեքներփոփոխական տվյալ լոգարիթմական անհավասարության համար։ Լոգարիթմի հիմքը հինգն է և այն մեկից մեծ է, ուստի սկզբնական անհավասարությունը համարժեք է անհավասարությանը։ Ստացված անհավասարությունների համակարգը լուծում ենք դրա համար փոփոխականն առանձնացնելով։ Առաջին անհավասարության մեջ չորսը տեղափոխում ենք անհավասարության աջ կողմ՝ մինուս նշանը պլյուսի փոխելով։ Մենք կստանանք. Երկրորդ անհավասարության դեպքում միավորը տեղափոխում ենք աջ կողմ և այն գրում մինուս մեկ: Ստանում ենք անհավասարությունը Երրորդ անհավասարության մեջ մինուս չորսը տեղափոխում ենք աջ կողմ, գրում ենք որպես գումարած չորս և Xտեղափոխեք ձախ կողմ և գրեք մինուս x: Մենք ստանում ենք անհավասարություն. Դրանում դուք կարող եք բերել նմանատիպ տերմիններ անհավասարության ձախ և աջ կողմերում: Մենք ստանում ենք անհավասարություն. Առաջին անհավասարության մեջ անհավասարության ձախ և աջ մասերը բաժանում ենք 2-ի, ստանում ենք անհավասարությունը։ Լուծման ժամանակ ստացված համակարգը ունի մեկ ուղղության նշան, նման դեպքերում ակնհայտ է, որ հինգից մեծ թվերի բազմությունը բավարարում է այս համակարգին։ Հեշտ է նկատել, որ հինգը նույնպես բավարարում է անհավասարությունների համակարգին։ Հակառակ դեպքում, դուք կարող եք կառուցել այս համակարգի երկրաչափական մոդելը և տեսնել լուծումը: Կոորդինատային գծի վրա նշի՛ր մինուս մեկ, երկու և հինգ թվերը։ Ընդ որում, -1 և 2 թվերը կհամապատասխանեն բաց կետի, իսկ հինգը` մուգ կետի։ Առաջին անհավասարության համար 2-ի աջ, երկրորդ անհավասարության դեպքում 1-ի աջ, երրորդ անհավասարության դեպքում հինգի աջից կիրառենք «հյութում»: Լյուկների խաչմերուկը ցույց է տալիս հինգից մեծ և հավասար թվերի հավաքածու։ Պատասխանը գրում ենք որպես արտահայտություն Օրինակ 2. Լուծե՛ք անհավասարությունը Կազմենք անհավասարությունների համակարգ. >0 և >0 անհավասարությունները սահմանում են անհավասարության ընդունելի արժեքների միջակայքը: Լոգարիթմի հիմքը 0,3 է, այն մեծ է զրոյից, բայց փոքր է մեկից, ինչը նշանակում է, որ լոգարիթմական անհավասարությունը համարժեք է հակառակ նշանով անհավասարությանը. Ստացված համակարգը դժվար է զուգահեռաբար լուծել անհավասարությունները: Մենք կլուծենք դրանցից յուրաքանչյուրը առանձին և կդիտարկենք ընդհանուր լուծումը երկրաչափական մոդելի վրա: Անհավասարությունը քառակուսային է և լուծվում է քառակուսային ֆունկցիայի հատկություններով, որի գրաֆիկը պարաբոլա է՝ դեպի վեր ճյուղավորումներով։ Մենք գտնում ենք այս ֆունկցիայի զրոները, դրա համար նրա աջ կողմը հավասարեցնում ենք զրոյի և ստացված հավասարումը լուծում ենք ֆակտորիզացիայի միջոցով։ Դրա համար փակագծերից հանում ենք x ընդհանուր գործակիցը, փակագծերում այն մնում է առաջին անդամից՝ վեց, երկրորդ անդամից՝ հանած x։ Արտադրյալը հավասար է զրոյի, երբ գործոններից մեկը հավասար է զրոյի, իսկ մյուսը չի կորցնում իր նշանակությունը։ Այսպիսով, x-ի առաջին գործոնը զրո է, կամ երկրորդ գործոնը վեց հանած x-ը զրո է: Այնուհետև հավասարման արմատները զրո և վեց են: Կոորդինատային գծի վրա դրանք նշում ենք լուսային կետերի տեսքով, քանի որ լուծվող քառակուսի անհավասարությունը խիստ է, և այս կետերով անցնելով ներքև գծում ենք պարաբոլա՝ ճյուղերով։ քառակուսի ֆունկցիաընդունում է դրական արժեքներ զրոյից մինչև վեց միջակայքում, ուստի անհավասարության լուծումը թվերի բազմությունն է x Անհավասարությունը գծային է։ Այն պարունակում է բացասական տերմիններ, հարմարության համար մենք անհավասարության երկու մասերը բազմապատկում ենք մինուս մեկով։ Այս դեպքում անհավասարության նշանը կփոխվի: Մենք ստանում ենք անհավասարություն. Եկեք ութը տեղափոխենք անհավասարության աջ կողմ և այն գրենք մինուս ութ: Այսպիսով, անհավասարության լուծումը մինուս անսահմանությունից մինչև մինուս ութ թվերի բազմությունն է։ Անհավասարության լուծումը գրում ենք արտահայտության տեսքով x.
Անհավասարությունը վերածվում է քառակուսի անհավասարության, դրա համար մենք մինուս ութ և մինուս x ենք փոխանցում անհավասարության ձախ կողմին: Ստանում ենք անհավասարությունը և բերում համանման 6x և x, ստանում ենք 7x, հավասարումը ստանում է ձև: Այն լուծվում է քառակուսի ֆունկցիայի հատկություններով, որի գրաֆիկը պարաբոլա է՝ ներքև ճյուղերով։ Գտե՛ք ֆունկցիայի զրոները.0 =0-ում և լուծե՛ք ստացվածը քառակուսի հավասարումտարբերակիչ բանաձեւի միջոցով Քանի որ գործակիցը բհավասար է մինուս յոթ գործակից Ահավասար է մինուս մեկ, և Հետ 8 է, ապա հավասարման դիսկրիմինանտը 81 է։ Բանաձևով գտնում ենք առաջին արմատը՝ -1 է, երկրորդ արմատը՝ 8։ Ստացված արժեքները կոորդինատային գծի վրա նշում ենք մուգ կետերով, ուստի դիտարկվող քառակուսի անհավասարությունը վերաբերում է ոչ խիստ անհավասարություններին։ Կոորդինատային գծի վրա գծե՛ք պարաբոլա՝ ներքև ճյուղերով: Քառակուսի ֆունկցիան վերցնում է ավելի փոքր և զրոյի արժեքներ թվերի բազմության վրա՝ մինուս անվերջությունից մինչև ներառելը և 8-ից մինչև գումարած անսահմանությունը, ներառյալ 8-ը: Այս անհավասարության լուծումը գրում ենք որպես արտահայտություն: Այսպիսով, բոլոր երեք անհավասարությունները լուծված են, մենք նշում ենք դրանց լուծումները մեկ կոորդինատային տողի վրա: Չկա փոփոխական արժեք, որը բավարարի բոլոր երեք անհավասարությունները միաժամանակ, ինչը նշանակում է, որ սկզբնական լոգարիթմական անհավասարությունը լուծումներ չունի։ Պատասխան. Լուծումներ չկան։ Այս փաստը կարելի էր նկատել գծային անհավասարությունը լուծելուց հետո, քանի որ առաջին քառակուսային անհավասարության լուծումը դրական թվերն են մեկից մինչև վեցը, իսկ երկրորդ անհավասարության լուծումը՝ բացասական թվերը, ապա այս երկու անհավասարությունների համար այլևս չկան։ ընդհանուր լուծումներԵվ սկզբնական լոգարիթմական անհավասարությունը լուծումներ չունի: Լոգարիթմներն ունեն հետաքրքիր հատկություններ, պարզեցնելով հաշվարկներն ու արտահայտությունները, վերհիշենք դրանցից մի քանիսը Օրինակ 3. Լուծե՛ք անհավասարությունը. Անհավասարությունը պետք է վերածվի ձևի: Դա անելու համար մենք միավորը գրում ենք որպես լոգարիթմ 2-ից երկու հիմքի վրա: Իսկ անհավասարության ձախ կողմում լոգարիթմների գումարն ըստ հատկության փոխարինում ենք դրան նույնական հավասար արտահայտությամբ՝ արտադրյալի լոգարիթմով։ Մենք ստանում ենք ձևի անհավասարություն Կազմենք անհավասարությունների համակարգ. Անհավասարությունները, որոնք սահմանում են անհավասարության ընդունելի արժեքների միջակայքը, որոշվում են սկզբնական անհավասարությամբ, ուստի >0 և >0 կլինեն համակարգի առաջին երկու անհավասարությունները: Քանի որ լոգարիթմն ունի 2 հիմք, այն մեկից մեծ է, ապա անհավասարությունը Առաջին անհավասարության մեջ մինուս երեքը փոխանցում ենք աջ կողմ, ստանում ենք x> 3 անհավասարություն, երկրորդում՝ մինուս երկու փոխանցում ենք աջ կողմ, ստանում ենք անհավասարություն x > 2: Երրորդում մենք ընդլայնում ենք անհավասարության ձախ կողմի փակագծերը՝ բազմապատկելով առաջին բազմանդամի յուրաքանչյուր անդամ երկրորդ բազմանդամի յուրաքանչյուր անդամով։ Մենք ստանում ենք անհավասարություն. Երրորդ անհավասարությունը լուծում ենք առանձին՝ երկուսը տեղափոխում ենք անհավասարության ձախ կողմ և գրում մինուսով։ Եկեք պարզեցնենք ստացված բարոյականությունը ձևին: Այս հավասարման գործակիցների գումարը հավասար է զրոյի, ապա գործակիցների հատկությամբ առաջին արմատը հավասար է մեկի, իսկ երկրորդը հավասար է c-ից սկսած գործակիցին։ Աև այս դեպքում հավասար է 4-ի։ Այս հավասարումները կարող են լուծվել նաև դիսկրիմինանտ բանաձևի միջոցով, արմատները կախված չեն լուծման եղանակից։ Այս արմատները կոորդինատային գծի վրա նշում ենք մուգ կետերի տեսքով, դրանց միջով պարաբոլա ենք գծում՝ ճյուղերով դեպի վեր։ Անհավասարություն աշխատում է 1-ից 4 թվերի վրա՝ ներառյալ 1-ը և 4-ը: Մեկ կոորդինատային գծի վրա նշում ենք առաջին և երկրորդ անհավասարությունների լուծումը, դրա համար առաջին անհավասարության համար կատարում ենք երեքի աջ և երկրորդ անհավասարության համար երկուսի աջ, իսկ երկրորդի համար 1-ից 4-ից դուրս գալը: անհավասարություն. Երեք անհավասարությունները միաժամանակ պահպանվում են միայն 3-ից 4 թվերի բազմության վրա, ներառյալ 4-ը: Սա նշանակում է, որ սա կլինի սկզբնական լոգարիթմական անհավասարության լուծումը: Եզրակացություն. Լոգարիթմական անհավասարությունները լուծելիս Եթե a>1, ապա անցեք անհավասարությունների համակարգի լուծմանը, որը որոշում է անհավասարության թույլատրելի արժեքների միջակայքը և նույն նշանի ենթլոգարիթմական արտահայտությունների անհավասարությունները: Եթե 0 MBOU Ստարոգորոդկովսկայայի միջնակարգ դպրոց Դասի ուրվագիծը թեմայի շուրջ. Լոգարիթմական անհավասարություններ Էրաշկովա Նատալյա Ալեքսանդրովնա, մաթեմատիկայի ուսուցիչ, MBOU Ստարոգորոդկովսկայայի միջնակարգ դպրոց 2015թ ԲՈՎԱՆԴԱԿՈՒԹՅՈՒՆ
1. Ներածություն էջ 3-5 2. Հիմնական էջ 6-20 3. Եզրակացություն էջ 21-22 4. Դիմումներ էջ 23-24 5. Հղումներ էջ 25 ՆԵՐԱԾՈՒԹՅՈՒՆ
Մաթեմատիկայի դասերին մտավոր ծանրաբեռնվածության ավելացումը ստիպում է մտածել, թե ինչպես պահպանել դպրոցականների հետաքրքրությունը ուսումնասիրվող նյութի նկատմամբ, նրանց ակտիվությունը ամբողջ դասի ընթացքում։ Այս առումով, որոնումներ են իրականացվում ուսուցման նոր արդյունավետ մեթոդների և այնպիսի մեթոդական մեթոդների համար, որոնք կակտիվացնեն դպրոցականների միտքը և կխրախուսեն նրանց ինքնուրույն գիտելիքներ ձեռք բերել: Զգալի թվով դպրոցականների շրջանում մաթեմատիկայի նկատմամբ հետաքրքրության առաջացումը մեծապես կախված է դրա ուսուցման մեթոդաբանությունից, նրանից, թե որքան հմտորեն կկառուցվի ուսումնական աշխատանքը։ Ժամանակին դպրոցականների ուշադրությունը հրավիրելով այն փաստի վրա, որ մաթեմատիկան ուսումնասիրում է շրջակա աշխարհի առարկաների և երևույթների ընդհանուր հատկությունները, գործ ունի ոչ թե առարկաների, այլ վերացական աբստրակտ հասկացությունների հետ, կարելի է հասկանալ, որ մաթեմատիկան չի խզում կապը։ իրականությունը, բայց, ընդհակառակը, հնարավորություն է տալիս ուսումնասիրել այն ավելի խորը, կատարել ընդհանրացված տեսական եզրակացություններ, որոնք լայնորեն կիրառվում են գործնականում։ Լոգարիթմը հունարեն բառ է, որը բաղկացած է 2 բառից՝ «լոգոս»՝ հարաբերակցություն, «արիթմոս»՝ թիվ։ Այսպիսով, լոգարիթմը այն թիվն է, որը չափում է հարաբերակցությունը: Այս տերմինը ներմուծել է 1594 թվականին շոտլանդացի մաթեմատիկոս Ջոն Նապիերը, ով մասնագիտությամբ մաթեմատիկոս չէր, ուներ կալվածք, զբաղվում էր գյուղատնտեսությամբ և սարքերի գյուտով։ Նման անվան ընտրությունը բացատրվում է նրանով, որ իսկապես լոգարիթմներ են առաջացել 2 թվեր համեմատելիս, որոնցից մեկը թվաբանական պրոգրեսիայի անդամ է, իսկ երկրորդը՝ երկրաչափական պրոգրեսիայի։ Լոգարիթմների ներդրումը թույլ տվեց արագ կատարել բարդ հաշվարկներ։ Ստեղծվել են լոգարիթմների առաջին աղյուսակները։ Սկզբում դրանք 14 նիշանոց աղյուսակներ էին, աստիճանաբար բարելավվեցին, հիմա կան լոգարիթմների 6 նիշանոց աղյուսակներ։ Հարկավոր էր պարզեցնել հաշվարկները։ Ինչպես գիտեք, գործողության երեք փուլ կա. 1. գումարում և հանում. 2.բազմապատկում և բաժանում. 3. աստիճանավորում. Այսպիսով, լոգարիթմները հնարավորություն տվեցին երրորդ փուլի բարդ գործողություններից անցնել երկրորդ, իսկ հետո առաջին փուլի գործողություններին: Նրանք. հզորացումից՝ բազմապատկում, բազմապատկումից՝ գումարում, բաժանումից՝ հանում։ Այսպիսով, լոգարիթմները չափազանց հեշտացնում են հաշվարկները: Դրանք հնարավորություն են տալիս անմիջապես գտնել ցանկացած թվով գործոնների արդյունք, բարձրացնել ցանկացած աստիճանի և ցանկացած ցուցանիշով արմատներ հանել։ «Լոգարիթմներ» թեման ավանդական է հանրահաշվի դասընթացում և ավագ դպրոցի վերլուծության սկզբում, բայց աշակերտների համար շատ դժվար է նյութի բարդության, ներկայացման կենտրոնացվածության պատճառով: Ավագ դպրոցի ընթացիկ մաթեմատիկայի ծրագրերի համաձայն՝ էքսպոնենցիալ և լոգարիթմական ֆունկցիաների ուսումնասիրությունը նախատեսվում է հանրահաշվի դասընթացի ավարտին և 11-րդ դասարանի վերլուծության սկզբում, ուստի շատ քիչ ժամանակ է հատկացվում այս նյութի ուսումնասիրությանը։ Մաթեմատիկայի քննության ժամանակ 6-ից 7 առաջադրանք՝ լոգարիթմների օգտագործման և դրանց հատկությունների վերաբերյալ: Ըստ այդմ, լոգարիթմական ֆունկցիայի մասին ուսանողների գիտելիքները շատ ավելի ցածր են, քան գծային, քառակուսի և այլ ֆունկցիաների հատկությունների իմացությունը, որոնք նրանք ուսումնասիրում են արդեն մի քանի տարի, հետևաբար, ուսանողների գիտելիքները այդ ֆունկցիաների հատկությունների վերաբերյալ ֆորմալ են, և այս ամենն արտահայտվում է համապատասխան հավասարումներ, անհավասարություններ, հավասարումների համակարգեր լուծելիս։ Ուսանողները, ովքեր ցանկանում են իրենց ուսումը շարունակել բուհերում և քոլեջներում, պետք է լիարժեք և խորը գիտելիքներ ունենան այս թեմայի վերաբերյալ: Արդյունքում անհրաժեշտություն առաջացավ գրել այս թուղթը։ Որի նպատակն էր մշակել լոգարիթմական անհավասարությունների ուսումնասիրության մեթոդաբանություն։ Փորձեք երեխաներին սովորեցնել մտածել կարճ ժամանակահատվածում, քննադատաբար ընկալել շրջապատող աշխարհը (դասագրքի տեքստի քննադատական վերլուծությունից, խնդրի լուծումից մինչև քննարկվող ցանկացած հարցի վերաբերյալ սեփական կարծիքի ձևավորում): Ոչ թե պարզապես նոր նյութ տալ՝ «պարտադրելով» ուսանողներին, այլ ապահովել անհրաժեշտ մոտիվացիա՝ օգտագործելով խնդրահարույց իրավիճակներ, ներգրավելով ուսանողների կենսափորձը, պատմական տեղեկատվություն։ ԼՈԳԱՐԻԹՄԱԿԱՆ ԱՆՀԱՎԱՍԱՐՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԻ ԼՈՒԾՄԱՆ ՄԵԹՈԴ
Լոգարիթմի նշանի տակ փոփոխական պարունակող անհավասարությունները կոչվում են լոգարիթմական։ Օրինակ: Լոգարիթմական անհավասարությունները լուծելիս պետք է հիշել. 1) անհավասարությունների ընդհանուր հատկությունները. 2) լոգարիթմական ֆունկցիայի միապաղաղության հատկությունը. 3) լոգարիթմական ֆունկցիայի սահմանման տիրույթը. Լոգարիթմական անհավասարությունների լուծման հիմնական մեթոդները Լոգարիթմական անհավասարությունների լուծման մեթոդներ. Օրինակ 1. Լուծե՛ք անհավասարությունը < 1.
Լուծում. Թող = . Հաջորդը, մենք լուծում ենք անհավասարությունը < 1.
Մենք ստանում ենք. (
– 1)(
+ 1) < 0
-1<
< 1.
Մնում է լուծել կրկնակի անհավասարությունը. — 1 <
< 1
<
2 >
x > 0,5.
Պատասխան.
.
Օրինակ 2
Լուծե՛ք անհավասարությունը > 2
x.
Լուծում.
Անհավասարությունը վերաշարադրենք ձևով. >
>
8
8
.
Թող , ստանում ենք. Մնում է լուծել անհավասարությունը 9.
Պատասխան.
(2; +∞).
Օրինակ 3
Լուծել անհավասարություն 2 ≥ 1.
Լուծում.
Եկեք վերագրենք անհավասարությունը հետևյալ կերպ. —
≥ 1
Թողա
=
,
Հետո – ա
≥ 1
≥ 0
≥ 0
≤ 0.
Մնում է լուծել անհավասարությունների բազմությունը. Պատասխանել
:
;
.
Օրինակ 4
Լուծե՛ք անհավասարությունը Լուծում.
Եկեք մեկ առ մեկ օգտագործենք հայտարարությունները. Կրկնակի անհավասարությունը համարժեք է համակարգին. Պատասխան.
(7; + ∞).
Օրինակ 5
Լուծե՛ք անհավասարությունը Լուծում.
Դիտարկենք դեպքերը. Բայց ժամըx
անհավասարություն35 –
x
սխալ. Լուծումներ չկան։ Պատասխանել
: (2; 3).
Բազմապատկիչի փոխարինման մեթոդ Էքսպոնենցիալ և լոգարիթմական անհավասարություններ լուծելիս կարելի է կիրառել նաև գործակիցների փոխարինման մեթոդը։ Հայտարարություն 1.
տարբերության նշան (
ա
– 1) (
զ
(
x
) –
է
(
x
))
ժամը
x
ՕՁ. Կամ դիագրամի ձևով. Հայտարարություն 2.
տարբերության նշան համընկնում է ապրանքի նշանի հետ(
հ
(
x
) – 1)(
զ
(
x
) –
է
(
x
))
ժամըx
ՕՁ. Օրինակ 1
Լուծե՛ք անհավասարությունը Լուծում
Օգտագործենք (1) հայտարարությունը։ Մենք ստանում ենք տարբերության նշանը համընկնում է տարբերության նշանի հետ(3
պայմանով, որx
ՕՁ. Հետևաբար, այս անհավասարությունը համարժեք է համակարգին. Դասի թեման՝ Լոգարիթմական անհավասարություններ։
Դասի նպատակը.
1. Լոգարիթմների, լոգարիթմական ֆունկցիաների հատկությունները համակարգելու, ընդհանրացնելու հմտությունների զարգացում; կիրառել դրանք լոգարիթմական անհավասարություններ լուծելիս. կարողանալ դիմել տարբեր մեթոդներլոգարիթմական անհավասարությունների լուծումներ. 2. Գիտակից ընկալման զարգացում ուսումնական նյութ, տեսողական հիշողության զարգացում, ուսանողների մաթեմատիկական խոսքի զարգացում, ինքնուսուցման, ինքնակազմակերպման և ինքնագնահատականի հմտություններ ձևավորելու համար։ Նպաստել զարգացմանը ստեղծագործական գործունեությունուսանողները. 3. Ճանաչողական գործունեության կրթություն, ուսանողների մեջ սերմանել առարկայի նկատմամբ սեր և հարգանք, սովորեցնել նրանց տեսնել ոչ միայն խստություն, բարդություն, այլև տրամաբանություն, պարզություն և գեղեցկություն: Դասի նպատակները.
1. Մաթեմատիկա առարկայի նկատմամբ հետաքրքրության բարձրացում. 2. Նոր գիտելիքների և հմտությունների համախմբում «Լոգարիթմական անհավասարություններ» թեմայով. Դասի տեսակը.
գիտելիքների ընդհանրացման և համակարգման դաս. Դասերի ընթացքում.
Ողջույն, ուսանողներին դասի նախապատրաստում. Դասի նպատակների սահմանում. (Սլայդ թիվ 2): 2. Ուսանողների սուբյեկտիվ փորձի ակտուալացում.
(Սլայդ թիվ 3): - Ուսուցիչ. Որպես այսօրվա դասի խորհրդանիշ՝ ես վերցրեցի խեցի, իսկ որպես էպիգրաֆ՝ բառերը. «Աշխարհն այնքան մեծ է Կյանքը բավարար չէ ամեն ինչ իմանալու համար։ Բայց նման շատերը կան Դուք կարող եք գտնել այն ամենուր…” Ուսուցիչ: Ի՞նչ եք կարծում, ինչի՞ մասին են այս խոսքերը: Իսկ ինչո՞ւ է դասի խորհրդանիշը՝ պատյանը, պարույր։ - Ուսանողներ.- Աշխարհում շատ տարբեր բաներ, երեւույթներ կան, բայց միշտ կարելի է գտնել նման, իրար նման: Այս «նմանությունը» օգնում է ավելի լավ հասկանալ ինչ-որ երեւույթ կամ ինչ-որ նոր փաստ։ - Ուսուցիչ. Էպիգրաֆի բառերը պետք է կապված լինեն մեր այսօրվա դասի հետ: Ըստ Ձեզ՝ ի՞նչ կապ կա էպիգրաֆի և դասի միջև։ Ուսանողներ- Երևում է, այսօր մենք կսովորենք նոր թեմա, որի նյութը նման է նախկինում ուսումնասիրված նյութին։ Բայց քանի որ դասի խորհրդանիշը պարույր է, դասի նյութն ավելի բարդ կլինի, քան նախկինում ուսումնասիրվածը։ 3. Մոտիվացիա. ընկալման կազմակերպում.
- Ուսուցիչ. Խնդրում եմ բացեք ձեր տետրերը և գրեք դասի թեման «Լոգարիթմական անհավասարությունների հատկությունները»: (Աշակերտները թեման գրում են իրենց տետրերում): - Ուսուցիչ. Լոգարիթմներն ուսումնասիրելիս հենց առաջին դասին մենք խոսեցինք այն մասին, որ համակարգիչների հայտնվելով լոգարիթմներն այնքան արդիական չեն, որքան նախկինում: Այդ դեպքում ինչո՞ւ ենք մենք ուսումնասիրում դրանք: Ուսանողներ. Այս թեման ծրագրում է, լոգարիթմները կլինեն քննությունների վրա, քննության վրա: Այսօր դասին կօգտագործենք համեմատության, վերլուծության, ընդհանրացման մեթոդները։ Ու թեև կյանքում գուցե լոգարիթմներ պետք չեն, բայց ինչ-որ բան համեմատելու, վերլուծելու, ընդհանրացնելու ունակությունը անհրաժեշտ է ցանկացածին։ ժամանակակից մարդովքեր ցանկանում են հաջողությամբ կառուցել իրենց մասնագիտական կարիերա. Եվ կա ևս մեկը կարևոր կետ, բացատրելով լոգարիթմների նշանակությունը մարդկության համար։ Այդ մասին կխոսեմ դասի վերջում։ - Ուսուցիչ. Դիտարկենք տարբեր լոգարիթմական անհավասարություններ, բայց դրա համար մենք կրկնում ենք լոգարիթմական ֆունկցիայի հատկությունները: (Սլայդ թիվ 4): - Ուսուցիչ. Կապել ֆունկցիայի գրաֆիկները: (Սլայդ թիվ 5): Ուսանողներ՝ 1) 2) 3) — Ուսուցիչ. Լուծելով ամենապարզ լոգարիթմական անհավասարությունները: ,
.
ա
,
բ
իրական թվեր են,ա
. (Սլայդներ No 6, 7, 10): Սովորողներ. լուծել տետրերում, ապա ստուգել լուծումը գրատախտակին: (Սլայդ թիվ 8): y =
- ավելանում է x
Պատասխան՝ (8; + (Սլայդ թիվ 9): - նվազում է x
Պատասխան: ( (Սլայդ թիվ 11): —
ավելանում է Պատասխան. ;
- Ուսուցիչ. Եկեք լուծենք լոգարիթմական անհավասարությունները՝ փոխարինելով գործակիցները (Սլայդ թիվ 12): Կրկնենք բանաձեւերը՝ (Սլայդ թիվ 13): (Սլայդ թիվ 14): (Սլայդ թիվ 17): (Սլայդ թիվ 19): 4. Դասի ընդհանրացում
- Ուսուցիչ. Եվ հիմա ես ձեզ կասեմ ողջ մարդկության համար լոգարիթմական ֆունկցիայի կարևորության մասին: Հին ժամանակներից մաթեմատիկայի նպատակն է եղել օգնել մարդկանց ավելին իմանալ շրջապատող աշխարհի մասին, սովորել նրա օրենքներն ու գաղտնիքները: Մաթեմատիկոսները սովորել են ստեղծել տարբեր բնական երևույթների մաթեմատիկական մոդելներ։ Նման մոդելների ուսումնասիրությունը թույլ է տալիս ավելին իմանալ բնական երևույթներ. Բնական մի շարք երևույթներ կարելի է նկարագրել լոգարիթմական կախվածությամբ։ Այլ կերպ ասած, մաթեմատիկոսները, փորձելով կազմել կոնկրետ երեւույթի մաթեմատիկական մոդելը, բավականին հաճախ դիմում են լոգարիթմական ֆունկցիային։ (Սլայդ թիվ 21): Մեկը լավ օրինակներնման հակադարձումը լոգարիթմական պարույր է, որի հավասարումը հետևյալն է.= լոկա . Իսկ պարույրը (պատյանը) ինքնին մեր այսօրվա դասի խորհրդանիշն է։ — Ուսուցիչ. Այսպիսով, ինչու՞ ընտրվեց լոգարիթմական պարույրը որպես բնության մեջ լոգարիթմական կախվածության օրինակ: Հայտնի է, որ կենդանի էակները սովորաբար աճում են՝ պահպանելով իրենց ձևի ընդհանուր ուրվագիծը։ Ավելին, ամենից հաճախ նրանք աճում են բոլոր ուղղություններով. չափահաս արարածը և՛ ավելի բարձր է, և՛ հաստ, քան ձագը: Սակայն ծովային կենդանիների պատյանները կարող են աճել միայն մեկ ուղղությամբ: Երկարությամբ շատ չձգվելու համար դրանք պետք է ոլորվեն, իսկ աճն այնպես է արվում, որ կեղևի տեսքն իր սկզբնական ձևով պահպանվի։ Իսկ նման աճը կարող է տեղի ունենալ միայն լոգարիթմական պարույրով։ (Սլայդ թիվ 22): Հետևաբար, շատ փափկամարմինների, խխունջների կեղևները և կաթնասունների եղջյուրները, ինչպիսիք են արգալին (լեռնային այծերը), ոլորված են լոգարիթմական պարույրով: Գերմանացի մեծ բանաստեղծ Յոհան Վոլֆգանգ Գյոթեն այն համարում էր նույնիսկ կյանքի և հոգևոր զարգացման մաթեմատիկական խորհրդանիշ։ Ոչ միայն պատյաններն են ուրվագծվում լոգարիթմական պարույրի երկայնքով: Օրինակ՝ Էպեյրա սարդը, ցանց հյուսելով, թելերը պտտում է կենտրոնի շուրջը լոգարիթմական պարույրներով։ Արևածաղկի մեջ սերմերը դասավորված են աղեղներով, որոնք մոտ են լոգարիթմական պարույրին. սոճու կոնի ընկույզները նույնպես գտնվում են լոգարիթմական պարույրով. շատ գալակտիկաներ ոլորված են լոգարիթմական պարույրներով, մասնավորապես, Գալակտիկա, որին պատկանում է Արեգակնային համակարգը: - Ուսանողները:Նկարագրում է լոգարիթմական պարույրը: Լոգարիթմական պարույր. Լոգարիթմական պարույրը կամ իզոգոնալ պարույրը բնության մեջ հաճախ հանդիպող պարույրի հատուկ տեսակ է: Լոգարիթմական պարույրը սկզբում նկարագրվել է Դեկարտի կողմից, իսկ ավելի ուշ լայնորեն ուսումնասիրվել է Բեռնուլիի կողմից, ով այն անվանել է Spira mirabilis՝ «հրաշալի պարույր»։ - Ուսուցիչ: Անկախ աշխատանքնոթատետրում։ Աշակերտները հանձնում են նոթատետրերը: Տնային աշխատանքԼուծեք երկու անհավասարություն (Սլայդ թիվ 24): 5. Անդրադարձ.
Ուսուցիչ. Եվ հիմա ես յուրաքանչյուր շարքին փոխանցում եմ լոգարիթմական պարույրի պատկերներով թերթիկ: Որպես դասի սկզբի ելակետ մենք կդիտարկենք պարույրի սկիզբը։ Խնդրում ենք այսօրվա դասի վերջում դնել մի կետ (յուրաքանչյուրը պարույրներից մեկի վրա), որն արտացոլում է ձեր գիտելիքները: Որոշեք, թե որքան առաջընթաց եք գրանցել ձեր զարգացման մեջ 45 րոպեում: (Ուսանողները կատարում են այն աշխատանքը, որին խնդրում են անել): Ուսուցիչ: Նայեք այս նկարներին: Այսօր դուք բոլորդ նոր բան սովորեցիք դասարանում: Եվ այս տեղեկատվությունը, դրա իմացության ուղիները նպաստեցին ձեր զարգացմանը։ Նայելով այս պատկերներին՝ դուք կարող եք տեսնել, թե ինչպես է ձեզանից յուրաքանչյուրը առաջադիմել այս դասում, համեմատեք ձեզ այլ ուսանողների հետ: Եվ ես տեսնում եմ, որ դասն իզուր չէր, որ ես օգնեցի քեզ գնալ գիտելիքի ճանապարհով, իսկ դու օգնեցիր ինձ, քանի որ ես տեսա քո հետաքրքրությունը դասի նկատմամբ։ Շնորհակալություն, տղաներ, դրա համար: (Սլայդ թիվ 25): ԵԶՐԱԿԱՑՈՒԹՅՈՒՆ
Այս դասը լոգարիթմական անհավասարություններ թեմայի չորրորդ դասն է։ Դաս նոր գիտելիքների և գործունեության մեթոդների ուսումնասիրության և առաջնային համախմբման վերաբերյալ: Դասը անցկացվեց միջին և բարձր զարգացվածության մակարդակ ունեցող սովորողների խմբում։ Ուստի դասի ողջ կառուցվածքը, նոր նյութի ներկայացումը մշակվել է՝ հաշվի առնելով սովորողների հնարավորություններն ու կարողությունները։ Ելնելով այն հանգամանքից, որ դասին պատրաստվելու համար ես օգտագործել եմ լրացուցիչ տեղեկատվություն՝ կապված լոգարիթմական պարույր հասկացության հետ (հայեցակարգ, որը չկա դպրոցական մաթեմատիկայի դասընթացում), ապա. առաջնահերթությունայս դասում զարգացման խնդիր է: Ես չեմ նսեմացնում նաև կրթական առաջադրանքի դերը։ Դասի առաջին փուլում, օգտագործելով էպիգրաֆը և «պատյան» նշանը, նպաստեցի սովորողների մտավոր գործունեության զարգացմանը՝ ուղղված դասի թեմայի ձևակերպմանը: «Լոգարիթմական ֆունկցիայի հատկությունները» նյութը կրկնելիս սովորողները ինքնուրույն հիշում էին նյութը, լոգարիթմական անհավասարությունների հատկությունները։ Սովորողների խոսքի զարգացմանը նպաստել է կանոնների բարձրաձայն ձևակերպումը։ Դասի հաջորդ փուլը՝ ընկալման կազմակերպում։ Օգտագործելով անալոգիայի, համեմատության տեխնիկան՝ ես ուսանողներին հրավիրեցի լուծել լոգարիթմական անհավասարություններ տարբեր ճանապարհներ. Լոգարիթմների հատկությունների բարձրաձայն ձևակերպումը նպաստեց ուսանողների խոսքի զարգացմանը։ Որպեսզի սովորողները դժվարություններ չունենան անհավասարությունների լուծման հարցում, այս փուլում ընդգրկված է նախորդ դասերի նյութի կրկնության աշխատանք (ուղղակի «Լոգարիթմներ» թեմայով): Ուսանողները գիտեն գնահատման չափանիշները: Բացի այդ, նրանք գիտեն, որ այստեղ շատ բարդ առաջադրանքներ չկան։ Օգտագործելով փոքր քանակությամբ առաջադրանքներ, մեծանալով բարդության մեջ, ես այս փուլում հաջողության իրավիճակ ստեղծեցի յուրաքանչյուր ուսանողի համար: Ինքնազննում սլայդների միջոցով. Մոտիվացիա՝ թեմայի օգտագործումը լոգարիթմական հավասարումներ լուծելու, քննություն հանձնելու, մտածողությունը զարգացնելու համար: Ընդհանրացման փուլում այս թեմայի վերաբերյալ օգտագործել եմ լրացուցիչ տեղեկատվություն, որը նպաստել է սովորողների ճանաչողական հետաքրքրության զարգացմանը՝ ընդլայնելով նրանց մտահորիզոնը։ Մտածողության փուլում իրենք՝ աշակերտները, օգտագործելով լոգարիթմական պարույրի գծագրումը, կարողացան դասի սկզբում և վերջում որոշել իրենց գիտելիքների մակարդակը, տեսնել իրենց զարգացումը մյուս ուսանողների նկատմամբ: Եզրակացություն՝ ընդհանուր առմամբ դասը հասավ իր նպատակներին: ՀԱՎԵԼՎԱԾՆԵՐ
Հավելված 1 Լոգարիթմական պարույր ՄԱՏԵՆԱԳՐՈՒԹՅՈՒՆ
1. Կոլեսնիկովա Ս.Ի. Մաթեմատիկա. Ինտենսիվ նախապատրաստական դասընթաց մեկ քննության համար. - Մ.: Իրիս մամուլ, 2006: 2. Լոկոտ Վ.Վ. Պարամետրերով առաջադրանքներ. Էքսպոնենցիալ և լոգարիթմական հավասարումներ, անհավասարումներ, համակարգեր: – Մ.: Արկտի, 2004: Դասի զարգացում Տոմսկի Պոլուեկտովայի թիվ 42 դպրոցի մաթեմատիկայի ուսուցիչ Տ.Ե. Թեմա՝ «Լոգարիթմական հավասարումների լուծում» թեման ուսումնասիրելիս ուսանողներին քննությանը նախապատրաստելը.».
«Լոգարիթմների գյուտ, կրճատում Աստղագետի աշխատանքը երկարացրեց նրա կյանքը» P.S.Laplace Դասի նպատակները. Ուսանողների գիտելիքներին և հմտություններին ներկայացվող պահանջները. Դասի պլան դասի համարը Դասի կառուցվածքը Դասի փուլ Կազմակերպչական պահ (1 րոպե) Տեսական տաքացում (9 րոպե) Նոր նյութի ուսուցում (35 րոպե) Ուսումնասիրված նյութի համախմբում (7 րոպե) Տնային աշխատանք (3 րոպե) ԴԱՍ 1 Ի. Կազմակերպման ժամանակը.մոտիվացիայի ձևավորում, դասին աշխատելու ցանկություն: II. Տեսական տաքացում.թեմայի վերաբերյալ անհրաժեշտ տեսական տեղեկատվության կրկնում,խոսելու և լսելու հմտությունների զարգացում. Աշխատանքը տեղի է ունենում հարցերի պատասխանների տեսքով. III. Նոր նյութի ներկայացում Իռացիոնալ հավասարման մեջ անհայտը պարունակվում է տարբեր աստիճանի արմատի նշանի տակ: Իսկ եթե անհայտը պարունակվում է հավասարման մեջ լոգարիթմի նշանի տակ, ինչպե՞ս անվանել այն։ (լոգարիթմական):Հրավիրեք ուսանողներին տալ լոգարիթմական հավասարման սահմանումը: Սահմանում Լոգարիթմական հավասարումը այն հավասարումն է, որը պարունակում է Անհայտ լոգարիթմի նշանի տակ: Ո՞ր փոխակերպումն է կոչվում լոգարիթմ: (Թվի լոգարիթմը գտնելու գործողությունը կոչվում է լոգարիթմ): Ո՞ր փոխակերպումն է կոչվում հզորացում: (Գործողությունը, որը բաղկացած է տվյալ լոգարիթմի համաձայն թիվ գտնելուց, կոչվում է հզորացում): Լոգարիթմական հավասարումներ լուծելիս հաճախ պետք է կատարել այդ փոխակերպումները: Պետք է նկատի ունենալ, որ այս գործողությունները կարող են հանգեցնել հավասարումների, որոնք համարժեք չեն տվյալների: Լոգարիթմը վտանգավոր գործողություն է, քանի որ դա կարող է հանգեցնել արմատների կորստի: Օրինակ՝ x 2 = 25; երկու կողմերի լոգարիթմ log 5 x 2 = log 5 25; X 1.2 = ± 5. հավասարումներ 5 հիմքում: 2մատյան 5 x = 2; մատյան 5 x = 1; x = 5 արմատային կորուստ x = - 5 ODZ-ի հավասարումը գտնելը կօգնի խուսափել այս սխալից: Հզորացնելիս արմատների կորուստը տեղի չի ունենում, բայց կարող են ձեռք բերել կողմնակի արմատներ, որոնք հեշտությամբ հայտնաբերվում են, երբ դրանք փոխարինվում են սկզբնական հավասարման մեջ: Եթե որևէ արմատ լոգարիթմի նշանի տակ հավասարման մեջ փոխարինելիս ստացվում է բացասական թիվկամ զրո, ապա այս արմատը պետք է դեն նետվի որպես օտար: Օրինակ՝ log 2 (x + 1) + log 2 x = 2 օգտագործել արտադրանքի լոգարիթմի հատկությունները մատյան 2 ((x +1)x)= 2 օգտագործեք լոգարիթմի սահմանումը X(x+1) = 2 2 x 2 + x - 4 \u003d 0, մենք ստանում ենք x 1 = 1 և x 2 = -2 մատյան 2 (-2) Արտահայտությունն իմաստ չունի. Հաշվի առնելով վերը նշվածը, լոգարիթմական հավասարումներ լուծելիս առաջնահերթություն է ստուգումը, և ոչ թե ODZ-ը: Լոգարիթմական հավասարումների լուծման մեթոդներ. Լոգարիթմական հավասարումների լուծման հիմնական մեթոդները. f(x) = φ(x); log a f (x) = log a φ (x) 1) . Log a x \u003d b ձևի հավասարում, որտեղ a ≠ 1, a > 0, x > 0, կոչվում է ամենապարզ լոգարիթմական հավասարումը, այն համարժեք է x = a հավասարմանը:Վ , և ոչ ստուգում է պահանջվում, ոչ էլ ODZ, i.e. A ≠ 1, a > 0; x = a in Այս տեսակի հավասարումներ լուծելիս կարելի է առանձնացնել ևս երկու տեսակ. A ≠ 1, a > 0; f (x) \u003d a in; A ≠ 1, a > 0, f (x) = φ (x) զ (х) = > 0, φ(х) > 0, φ(х) > 0., U R O K 2 Դիտարկենք տարբեր լոգարիթմական լոգարիթմական հավասարումների լուծումների օրինակներ. 1) Հավասարումների լուծում լոգարիթմի սահմանմամբ. Օրինակ 1 . Գտեք հավասարման բոլոր լուծումներըմատյան 2 (3 x 2 – x) = 1, որը պատկանում է y = √2 – 5x ֆունկցիայի տիրույթին: Լուծում. Log 2 հավասարում (3 x 2 – x) = 1-ը համարժեք է 3x հավասարմանը 2
- x \u003d 2. արմատավորված x 1
= 1,
x 2 = -2/3 Երբ x = 1, y = √2 - 5x ֆունկցիան սահմանված չէ, իսկ երբ սահմանվում է x = -2/3:Պատասխան՝ -2/3 Օրինակ 2 լուծել հավասարումը log 3 (4 3 x -1 - 1) = 2x - 1: Լուծում: Լոգարիթմի սահմանմամբ ունենք 4 3 x -1 - 1 \u003d 3 2x - 1, 4/3 3 x - 1 + 3 2x 1/3: Նշանակել 3 x \u003d y, ապա 4/3 y - 1 \u003d 1/3 y 2, y 2 - 4y + 3 \u003d 0, y 1 \u003d 1, y 2 \u003d 3. հետագա. եթե 3 x = 1. x = 0, իսկ եթե 3 x = 3, ապա x = 1: Նկատի ունեցեք, որ x-ի հայտնաբերված արժեքների համար լոգարիթմի նշանի տակ արտահայտությունը դրական է: Պատասխան՝ 0; 1 Օրինակ 3 լուծել հավասարումը log 3 (0.5 + x) = log 3 0.5 - log 3 x. Լուծում Վերադասավորիր հավասարման տերմինները log 3 (0.5 + x) + log 3 x = log 3 0.5 . x 0, x 0, 0,5 + x 0 x 0, x = -1 x = 0,5 մատյան 3 (0,5x + x 2) \u003d մատյան 3 0,5 x + 2x 2 \u003d 1 x \u003d ½ Պատասխան՝ 0,5: Օրինակ 4 . լուծել հավասարումը log 2 (x + 2) = log 2 (x 2 + x - 7): Լուծում: Լոգարիթմների հավասարությունից հետևում է լոգարիթմի նշանի տակ արտահայտությունների հավասարությունը. X + 2 \u003d x 2 + x - 7: Այսպիսով, x 2 = 9. x \u003d - 3 կամ x \u003d 3. Ստուգումը ցույց է տալիս, որ x = -3-ը չի բավարարում սկզբնական հավասարմանը, x = 3-ը դրա լուծումն է:Պատասխան: 3 Օրինակ 5 լուծել հավասարումըմատյան x - 6 (x - 4) \u003d 2. Լուծում: հավասարման տիրույթը log x - 6 (x - 4) = 2 է x 6, x - 6 1 . x-ի այս արժեքների համար հավասարումը համարժեք է հետևյալին. (x - 6) 2
\u003d x - 4. Լուծելով այն՝ ստանում ենք x 1 = 8 և x 2 = 5. Հաշվի առնելով սահմանափակումները՝ գրում ենք պատասխանը՝ x = 8։Պատասխան՝ 8 2). Հավասարման երկու կողմերը նույն հիմքով լոգարիթմի վերածելու մեթոդ: Օրինակ 6. Գտեք 5-րդ հավասարման բոլոր արմատները x 2 2+x/x = 40։ Լուծում Վերցնում ենք հավասարման երկու կողմերի լոգարիթմը 2-րդ հիմքում և, կիրառելով լոգարիթմների հատկությունները, ստանում ենք՝ 2 + x / x + x.մատյան 2 5 = 3 + մատյան 2 5, կամ 2 - 2x / x + (x - 1) log 2 5 = 0 ,. կամ (x – 1) (log 2 5 - 2/x) = 0, որտեղից x = 1 կամ x = 2/ log 2 5 = 2 log 5 2 = log 5 4. Պատասխան՝ 1; մատյան 5 4 . Օրինակ 7. Լուծեք x հավասարումը lg x - 1 \u003d 100. Որոշում. Հաշվի առնելով ODZ՝ x 0, մենք վերցնում ենք հավասարման երկու կողմերի լոգարիթմը 10 հիմքում. lg x lg x - 1 = lg 100. Կիրառելով հիմնական լոգարիթմական ինքնությունը՝ ստանում ենք. lg x (lg x - 1) \u003d 2. Թող lg x = a, ապա a 2 - a - 2 \u003d 0. Լուծելով այն, մենք ստանում ենք \u003d 2 կամ \u003d -1: Վերադառնալով փոփոխականի փոփոխությանը lg x \u003d 2 կամ lg x \u003d -1, ապա x \u003d 100, x \u003d 1/10 3). Մենք արդեն կիրառել ենք նախորդ հավասարումը և օրինակ 2-ի հավասարումը լուծելիս նոր փոփոխական ներմուծելու մեթոդը։ Օրինակ 8: Լուծել հավասարումներ lg 2 (10x) + lg (10x) \u003d 6 - 3 lg 1/10: Լուծում` ՕՁ` x 0 Մենք օգտագործում ենք լոգարիթմի հատկությունները և ստանում ենք ( lg 10 + lg x) 2 + lg 10 + lg x \u003d 6 +3 lg x. (1 + lg x) 2 + 1 + lg x \u003d 6 +3 lg x. Թող lg x \u003d a, (1 + a) 2 + 1 + a \u003d 6 + 3a, a 2 \u003d 4, a \u003d 2; A = -2: lg x \u003d 2, x \u003d 100; lg x \u003d - 2, x \u003d 1/100: Պատասխան՝ 100; 0.01 Նաև լոգարիթմական հավասարումներ լուծելիս պետք է հիշել, որ լոգարիթմի նշանի տակ հավասար աստիճան վերցնելիս ստանում ենք ֆունկցիայի մոդուլը. log a f (x) 2 n = 2 n log a | f(x) | Օրինակ 8: Գտեք y \u003d 2 ֆունկցիայի գրաֆիկի այդ կետերի աբսցիսներըմատյան 2 (3x +5) + մատյան 2 x 2 , ընկած է վերին կիսահարթության մեջ, որից մինչև x առանցքը հեռավորությունը հավասար է 2-ի։ Լուծում: Վերին կիսահարթության կետի համար աբսցիսայի առանցքի հեռավորությունը հավասար է նրա օրդինատին: Այսպիսով, խնդրի պայմանը կատարելու համար անհրաժեշտ և բավարար է, որ հավասարությունը 2 log 2 (3x +5) + log 2 x 2 = 2: Եկեք լուծենք այս հավասարումը. 2 log 2 (3x +5) + log 2 x = 2. Օգտագործելով լոգարիթմների հատկությունները, ստանում ենք. log 2 ((3x +5) x ) = 1, (3x + 5) x = 2: Ընդլայնելով մոդուլը, մենք ստանում ենք երկու դեպք. X 0. X 0. Պատասխան. այդպիսի երեք կետեր կան, դրանց աբսցիսները՝ -1; -2/3; 1/3. II. Ուսումնասիրված նյութի համախմբում. Լուծել հավասարումներ. Վերջին օրինակի լուծումըՆկատի ունեցեք, որ x = 1 հավասարման արմատն է: Թող x 1, ապա հավասարման երկու կողմերը կարելի է բաժանել log 3 x log 4 x log 5 x արտադրյալը: Ստանում ենք 1= 1/ log 5 x + 1/ log 4 x + 1/ log 3 x։ Օգտագործելով լոգարիթմի հատկությունները log a in = 1/ log in a, ստանում ենք log x 5 + log x 4 + log x 3 = 1, log x 60 = 1 և x = 60: Պատասխան՝ 1; 60. III. Տնային առաջադրանք՝ § 44, թիվ 44.1-44.17(տարբերակ 1 - ա, գ; տարբերակ 2 - բ, դ): Դասին նախապատրաստվելիս օգտագործվել է հետևյալ գրականությունը. (դասագիրք և խնդրագիրք); 10-րդ հրատարակություն - M: Mnemosyne 2009 թ. Դենիշչևա Լ.Օ., Կարյուխինա Ն.Վ. , Միխեևա Թ.Ֆ. - Մ.: Ինտելեկտ - կենտրոն, 1999 թ. 3 «Հանրահաշիվ և վերլուծության սկիզբ» 10 - 11 դաս. Շ.Ա.Ալիմով (դասագիրք); Մ: - կրթություն, 2008 թ Տոմսկի թիվ 42 դպրոցի մաթեմատիկայի ուսուցչուհի՝ Պոլուեկտովա Տ.Ե. Դասի ամփոփում «Լոգարիթմական անհավասարությունների լուծում». 11-րդ դասարան Մշակել և վարել է առաջին կարգի ուսուցչուհի Շայդուլինա Գ.Ս. Մեր կարգախոսն է՝ «Ճանապարհին կտիրապետի քայլողը, իսկ մաթեմատիկային՝ մտածողը»։ Շատ ֆիզիկոսներ կատակում են, որ «Մաթեմատիկան՝ գիտությունների թագուհի, բայց ֆիզիկայի ծառա»։ Այդպես կարող են քիմիկոսները, աստղագետները և նույնիսկ երաժիշտները: Իրոք, մաթեմատիկան գիտությունների մեծ մասի հիմքն է և 16-րդ դարի անգլիացի փիլիսոփա Ռոջեր Բեկոնի խոսքերը. արդիական Մեր դասի թեման է «Լոգարիթմական անհավասարություններ»։ Դասի նպատակը. 1) ընդհանրացնել գիտելիքները թեմայի վերաբերյալ «Լոգարիթմական անհավասարություններ» 2) դիտարկել լոգարիթմական անհավասարությունների լուծման ժամանակ հանդիպող բնորոշ դժվարությունները. 3)
ամրապնդել թեմայի գործնական ուշադրությունը որակյալ վերապատրաստումքննությանը։ Առաջադրանքներ. Ձեռնարկներ:թեմայի նյութի կրկնություն, ընդհանրացում և համակարգում, գիտելիքների և հմտությունների յուրացման վերահսկում. Զարգացող:մաթեմատիկական և ընդհանուր հայացքների, մտածողության, խոսքի, ուշադրության և հիշողության զարգացում: Ուսումնական:զարգացնել հետաքրքրությունը մաթեմատիկայի, գործունեության, հաղորդակցման հմտությունների, ընդհանուր մշակույթի նկատմամբ: Սարքավորումներ:
համակարգիչ, մուլտիմեդիա պրոյեկտոր, էկրան, առաջադրանքների քարտեր, լոգարիթմի բանաձևերով։ Դասի կառուցվածքը. Կազմակերպման ժամանակ. Նյութի կրկնություն. բանավոր աշխատանք. Պատմական անդրադարձ. Աշխատեք նյութի վրա. Տնային աշխատանք. Դասի ամփոփում. լոգարիթմական անհավասարություններ
մաթեմատիկայի USE տարբերակներում նվիրված է
առաջադրանք C3
. Յուրաքանչյուր ուսանող պետք է սովորի, թե ինչպես լուծել C3 առաջադրանքները մաթեմատիկայի միասնական պետական քննությունից, եթե նա ցանկանում է առաջիկա քննությունը հանձնել որպես «լավ» կամ «գերազանց»: Պատմական անդրադարձ. Ջոն Նապիերին է պատկանում «լոգարիթմ» տերմինը, որը նա թարգմանել է որպես « արհեստական համարը«. Ջոն Նապիերը շոտլանդացի է: 16 տարեկանում մեկնել է մայրցամաք, որտեղ հինգ տարի սովորել է մաթեմատիկա և այլ գիտություններ Եվրոպայի տարբեր համալսարաններում։ Այնուհետեւ նա լրջորեն ուսումնասիրել է աստղագիտություն եւ մաթեմատիկա։ Նապիերը լոգարիթմական հաշվարկների գաղափարին եկել է դեռևս 16-րդ դարի 80-ական թվականներին, բայց իր աղյուսակները հրապարակել է միայն 1614 թվականին՝ 25 տարվա հաշվարկներից հետո։ Նրանք դուրս են եկել «Հրաշալի լոգարիթմական աղյուսակների նկարագրություն» խորագրի ներքո։ Դասը սկսենք բանավոր տաքացումով։ Պատրա՞ստ եք: Գրատախտակի աշխատանք.
Դասարանի հետ բանավոր աշխատանքի ընթացքում երկու աշակերտ գրատախտակին դրված քարտերի վրա օրինակներ են լուծում: 1. Լուծե՛ք անհավասարությունը 2. Լուծի՛ր անհավասարությունը (Գրատախտակում առաջադրանքները կատարած ուսանողները մեկնաբանում են իրենց որոշումները՝ հղում կատարելով համապատասխան տեսական նյութին, իսկ մնացածները անհրաժեշտության դեպքում կատարում են ճշգրտումներ): 1) Նշեք սխալ հավասարությունը: Ինչ կանոն պետք է օգտագործվի դրա համար: ա) մատյան 3 27 = 3 2) Համեմատեք լոգարիթմի արժեքները զրոյի հետ:Ինչ կանոն պետք է օգտագործվի դրա համար: Ա)lg 7
բ)գերան 0,4
3
V)գերան 6
0,2
ե)գերան ⅓
0,6
3) Ես ուզում եմ քեզառաջարկել խաղալ ծովային ճակատամարտ. Անվանում եմ տողի տառը և սյունակի համարը, իսկ դու՝ պատասխանը և աղյուսակում փնտրիր համապատասխան տառը։ 4) Թվարկված լոգարիթմական ֆունկցիաներից որո՞նք են ավելանում, որոնք՝ նվազում։ Ինչի՞ց է դա կախված։ 5) Ո՞րն է լոգարիթմական ֆունկցիայի տիրույթը: Գտեք գործառույթի շրջանակը. Քննարկեք լուծումը գրատախտակին: Ինչպե՞ս են լուծվում լոգարիթմական անհավասարությունները: Ո՞րն է լոգարիթմական անհավասարությունների լուծման հիմքը: Ինչպիսի՞ անհավասարությունների տեսք ունի: (Լոգարիթմական անհավասարությունների լուծումը հիմնված է լոգարիթմական ֆունկցիայի միապաղաղության վրա՝ հաշվի առնելով լոգարիթմական ֆունկցիայի տիրույթը և ընդհանուր հատկություններանհավասարություններ) Լոգարիթմական անհավասարությունների լուծման ալգորիթմ. Ա) Գտե՛ք անհավասարության սահմանման տիրույթը (ենթալոգարիթմական արտահայտությունը զրոյից մեծ է): Ստուգելով դ.զ. 1.
գերան 8
(5x-10)<
գերան 8
(14-րդ): 2.
գերան 3
(x+2) +գերան 3
x =< 1.
3.
գերան 0,5
(3x+1)<
գերան 0,5
(2-x) Սովորելով ուրիշների սխալներից!!! Ով առաջինը կգտնի սխալը. 1. Գտեք սխալ անհավասարությունը լուծելիս. Ա)գերան 8
(5x-10)<
գերան 8
(14-րդ), 5
x-10 < 14-
x,
6
x < 24,
x < 4.
Պատասխան՝ x € (-∞; 4): Սխալ. անհավասարության շրջանակը հաշվի չի առնվել: Մեկնաբանեք որոշումը Ճիշտ որոշում. գերան 8
(5x-10)<
գերան 8
(14-րդ)
Պատասխան՝ x € (2; 4): 2. Գտեք սխալ անհավասարությունը լուծելիս. Սխալ. սկզբնական անհավասարության սահմանման տիրույթը հաշվի չի առնվել:Ճիշտ որոշում Պատասխան՝ x
.
3. Գտեք սխալ անհավասարությունը լուծելիս. գերան 0,5
(3x+1)<
գերան 0,5
(2-x)
Պատասխան՝ x € Սխալ. լոգարիթմի հիմքը հաշվի չի առնվել: Ճիշտ որոշում. գերան 0,5
(3x+1)<
գերան 0,5
(2-x)
Պատասխան՝ x € Վերլուծելով մաթեմատիկայի ընդունելության քննությունների տարբերակները, դուք կարող եք տեսնել, որ քննությունների լոգարիթմների տեսությունից հաճախ առաջանում են լոգարիթմական անհավասարություններ, որոնք պարունակում են փոփոխական լոգարիթմի տակ և լոգարիթմի հիմքում: Գտեք անհավասարությունը լուծելու սխալը. 4
.
Այլապես ինչպե՞ս կարող եք լուծել թիվ 4 անհավասարությունը: Ո՞վ լուծեց այլ կերպ. Այնպես որ, տղերք, լոգարիթմական անհավասարությունները լուծելիս շատ թակարդներ կան: Ինչի՞ վրա պետք է հատուկ ուշադրություն դարձնենք լոգարիթմական անհավասարությունները լուծելիս: Ինչպես եք կարծում? Այսպիսով, ինչ պետք է որոշեքլոգարիթմական հավասարումներ և անհավասարություններ?
Նախ,ուշադրություն. Սխալներ մի արեք ձեր փոխակերպումների մեջ: Համոզվեք, որ ձեր յուրաքանչյուր գործողություն չի ընդլայնում կամ նեղացնում անհավասարության թույլատրելի արժեքների տարածքը, այսինքն՝ չի հանգեցնում ոչ կորստի, ոչ էլ կողմնակի լուծումների ձեռքբերման: Երկրորդ,տրամաբանորեն մտածելու ունակություն. Մաթեմատիկայի USE-ի կազմողները C3 առաջադրանքներով ստուգում են ուսանողների կարողությունը գործելու այնպիսի հասկացություններով, ինչպիսիք են անհավասարությունների համակարգ (բազմությունների խաչմերուկ), անհավասարությունների մի շարք (բազմությունների միավորում), ընտրել անհավասարության լուծումներ՝ առաջնորդվելով դրա ընդունելի արժեքների շրջանակը: Երրորդ, պարզգիտելիքՄաթեմատիկայի դպրոցական դասընթացում ուսումնասիրված բոլոր տարրական ֆունկցիաների (ուժային, ռացիոնալ, էքսպոնենցիալ, լոգարիթմական, եռանկյունաչափական) հատկությունները ևըմբռնումդրանց նշանակությունը։ ՈՒՇԱԴՐՈՒԹՅՈՒՆ. 1. Սկզբնական անհավասարության ՕՁ. 2. Լոգարիթմի հիմքը. Լուծե՛ք հավասարումը. Լուծում.
Հավասարման թույլատրելի արժեքների միջակայքը որոշվում է անհավասարությունների համակարգով. ՄԲՈՒ թիվ 1 միջնակարգ դպրոց Նովոբելոկատայ գյուղ «Իմ լավագույն դասը» Մաթեմատիկայի ուսուցիչ. Մուխամետովա Ֆաուզիա Կարամատովնա Մաթեմատիկա դասավանդվող առարկան Դասի թեման. «Լոգարիթմական անհավասարությունների լուծման ոչ ստանդարտ եղանակ» Դաս 11 ( պրոֆիլի մակարդակ) Դասի ձև համակցված Դասի նպատակները. Լոգարիթմական անհավասարությունների լուծման նոր եղանակի տիրապետում և մաթեմատիկայի USE 2015-ի C3 (17) առաջադրանքները լուծելիս այս մեթոդը կիրառելու կարողությունը: Դասի նպատակները. -
Ուսումնական:համակարգել, ընդհանրացնել, ընդլայնել լոգարիթմական անհավասարությունների լուծման մեթոդների կիրառման հետ կապված հմտություններն ու գիտելիքները. Մաթեմատիկայում USE 2015 առաջադրանքների լուծման մեջ գիտելիքները կիրառելու կարողություն։ Ուսումնական ձևավորել ինքնակրթության, ինքնակազմակերպման հմտություններ, վերլուծելու, համեմատելու, ընդհանրացնելու, եզրակացություններ անելու կարողություն. Տրամաբանական մտածողության, ուշադրության, հիշողության զարգացում, հայացք. Ուսումնական: դաստիարակել անկախություն, ուրիշներին լսելու կարողություն, խմբում շփվելու կարողություն: Խնդիրների լուծման նկատմամբ հետաքրքրության մեծացում, առաջադրանքների կատարման գործընթացում ինքնատիրապետման ձևավորում և մտավոր գործունեության ակտիվացում: Մեթոդական բազա. Առողջապահական տեխնոլոգիա՝ ըստ V.F. Բազարնի; Բազմաստիճան կրթության տեխնոլոգիա; Խմբային ուսուցման տեխնոլոգիա; Տեղեկատվական տեխնոլոգիաներ (դասը ուղեկցվում է շնորհանդեսով), Ուսումնական գործունեության կազմակերպման ձևերը՝ ճակատային, խմբակային, անհատական, ինքնուրույն: Սարքավորումներ: Աշխատավայրում սովորողները ունեն գնահատման թերթիկներ, ինքնուրույն աշխատանքով բացիկներ, դասի ներկայացում,
համակարգիչ, մուլտիմեդիա պրոյեկտոր։ Դասի քայլեր. 1. Կազմակերպչական պահ Ուսուցիչ Բարև տղաներ: Ուրախ եմ բոլորիդ տեսնել դասի ժամանակ և հույս ունեմ համատեղ արդյունավետ աշխատանքի: 2. Մոտիվացիոն պահ՝ գրված է ներկայացման մեջՏՀՏ տեխնոլոգիա Թող մեր դասի էպիգրաֆը լինի բառերը. «Սովորելը կարող է միայն զվարճալի լինել... Գիտելիքը մարսելու համար պետք է ախորժակով կլանել այն։Անատոլ Ֆրանց. Ուստի եկեք լինենք ակտիվ և ուշադիր, քանի որ գիտելիքը մեզ օգտակար կլինի քննությունը հանձնելիս։ 3. Դասի սահմանման փուլը և նպատակները. Այսօր դասին մենք կուսումնասիրենք լոգարիթմական անհավասարությունների լուծումը ոչ ստանդարտ մեթոդով։ Քանի որ ամբողջ տարբերակի լուծումը տևում է 235 րոպե, C3 առաջադրանքին անհրաժեշտ է մոտ 30 րոպե, ուստի պետք է գտնել այնպիսի լուծում, որպեսզի կարողանաք ավելի քիչ ժամանակ ծախսել: Առաջադրանքները վերցված են մաթեմատիկայի USE 2015 դասագրքերից։ 4. Գիտելիքների թարմացման փուլը. Կրթական հաջողությունը գնահատելու տեխնոլոգիա. Սեղանների վրա ունեք գնահատման թերթիկներ, որոնք սովորողները լրացնում են դասի ընթացքում, վերջում հանձնում են ուսուցչին։ Ուսուցիչը բացատրում է, թե ինչպես լրացնել գնահատման թերթիկը: Առաջադրանքի հաջողությունը նշվում է խորհրդանիշով. «!», - ես ազատ եմ խոսում «+» - Ես կարող եմ որոշել, երբեմն սխալվում եմ «-»- դեռ պետք է աշխատել Լոգարիթմական անհավասարությունների սահմանում Պարզ լոգարիթմական անհավասարումներ լուծելու ունակություն Լոգարիթմների հատկություններն օգտագործելու ունակություն Քայքայման մեթոդի կիրառման ունակություն Աշխատանք զույգերով Ես ինքս կարող եմ ընդհանուր 4. Ճակատային աշխատանք Կրկնվում է լոգարիթմական անհավասարությունների սահմանումը։ Լուծման հայտնի մեթոդները և դրանց ալգորիթմը կոնկրետ օրինակների վրա: Ուսուցիչ. Տղերք, եկեք էկրանին նայենք, բանավոր որոշենք. 1) Լուծե՛ք հավասարումը 2) Հաշվել ա Բ Գ) Պատասխանում տրված աղյուսակում յուրաքանչյուր տառի տակ մուտքագրեք համապատասխան թիվը: Պատասխան. Փուլ 5 Նոր նյութ սովորելը Խնդիր ուսուցման տեխնոլոգիա Ուսուցիչ Եկեք նայենք սլայդին: Մենք պետք է լուծենք այս անհավասարությունը։ Ինչպե՞ս կարելի է լուծել այս անհավասարությունը: Տեսություն ուսուցչի համար. Քայքայման մեթոդ Քայքայման մեթոդը բաղկացած է F(x) բարդ արտահայտության փոխարինումից ավելի պարզ G(x արտահայտությամբ), որտեղ G(x)^0 անհավասարությունը համարժեք է F(x)^0 անհավասարությանը F(x) տիրույթում: ) Կան մի քանի F արտահայտություններ և համապատասխան տարրալուծման G-եր, որտեղ k, g, h, p, q փոփոխականով արտահայտություններ են. X (h>0; h≠1; f>0, k>0), a-ն հաստատուն թիվ է (a>0, a≠1): Արտահայտությունը Ֆ G արտահայտություն (a-1) (f-k) (ա-1) (զ-ա) (a-1) (f-1) (h-1) (f-k) (h-1) (զ-ժ) (h-1) (f-1) (k≠1, f≠1) (f-1)(k-1)(h-1)(k-f) (h-1) (f-k) (h-1)f (f>0; k>0) (զ-կ)հ |զ| - |կ| (f-k)(f+k) Որոշ հետևանքներ կարելի է եզրակացնել այս արտահայտություններից (հաշվի առնելով սահմանման տիրույթը). 0
⬄
0
Նշված համարժեք անցումներում ^ նշանը փոխարինում է անհավասարության նշաններից մեկին՝ >, Սլայդի վրա դրված է այն առաջադրանքը, որը ուսուցիչը հասկանում է: Դիտարկենք լոգարիթմական անհավասարությունը երկու եղանակով լուծելու օրինակ Օ.Դ.Զ. ա) բ) Պատասխան՝ (; Ուսուցիչ Այս անհավասարությունը կարելի է լուծել այլ կերպ. 2. Քայքայման մեթոդ Պատասխանել Այս անհավասարությունը լուծելու օրինակով մենք տեսանք, որ ավելի նպատակահարմար է օգտագործել տարրալուծման մեթոդը։ Դիտարկենք այս մեթոդի կիրառումը մի քանի անհավասարությունների վրա Վարժություն 1 Պատասխան՝ (-1.5; -1) U (-1; 0) U (0; 3) Առաջադրանք 2
Համարժեք է (x-3)(x-2)2 անհավասարությանը:
—
≥ 1.
2
(1)
(2)
Պատասխանել
:
;
.
բ) լոգ 2 0,125 = - 3
ա) լոգ 0,5 0,5 = 1
ա) լոգ 10000 = 5.
Բ) Անհավասարության ձախ և աջ մասերը (եթե հնարավոր է) ներկայացրեք որպես լոգարիթմներ նույն հիմքում:
Գ) Որոշեք՝ լոգարիթմական ֆունկցիան աճում է, թե նվազում. եթե t>1, ապա մեծանում է. եթե 01, ապա նվազում է:
Դ) Գնացեք ավելին պարզ անհավասարություն(ենթալոգարիթմական արտահայտություններ), հաշվի առնելով, որ անհավասարության նշանը կպահպանվի, եթե ֆունկցիան մեծանում է, և կփոխվի, եթե այն նվազում է:
2<
x <4.
Աշխատանքային թեմա.
2014
1. Ինտերվալների մեթոդ
