≡× MENU

• Brendshme
• Dritaret
• Muret
• Projektet
• Ndërtesat

Zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve me mbledhje në internet. Ekuacionet lineare. Zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve lineare. Metoda e shtimit

Metoda shtimi algjebrik

Ju mund të zgjidhni një sistem ekuacionesh me dy të panjohura në mënyra të ndryshme- metoda grafike ose metoda e zëvendësimit të variablave.

Në këtë mësim do të njihemi me një metodë tjetër të zgjidhjes së sistemeve që ndoshta do t'ju pëlqejë - kjo është metoda e mbledhjes algjebrike.

Nga lindi ideja për të vendosur diçka në sisteme? Gjatë zgjidhjes së sistemeve problemi kryesorështë prania e dy variablave, sepse ne nuk dimë të zgjidhim ekuacionet me dy ndryshore. Kjo do të thotë se njëri prej tyre duhet të përjashtohet në një mënyrë ligjore. Dhe si kjo me mjete ligjore janë rregulla dhe veti matematikore.

Një nga këto veti është: shuma e numrave të kundërt është zero. Kjo do të thotë se nëse një nga variablat ka koeficientë të kundërt, atëherë shuma e tyre do të jetë e barabartë me zero dhe ne do të mund ta përjashtojmë këtë variabël nga ekuacioni. Është e qartë se ne nuk kemi të drejtë të shtojmë vetëm terma me variablin që na nevojitet. Ju duhet të shtoni të gjitha ekuacionet, d.m.th. të palosur veçmas terma të ngjashëm në anën e majtë, pastaj në të djathtë. Si rezultat, marrim një ekuacion të ri që përmban vetëm një ndryshore. Le të shohim se çfarë është thënë me shembuj specifik.

Shohim që në ekuacionin e parë ka një variabël y, dhe në të dytin numër i kundërt-y. Kjo do të thotë se ky ekuacion mund të zgjidhet me mbledhje.

Një nga ekuacionet lihet ashtu siç është. Kushdo që ju pëlqen më shumë.

Por ekuacioni i dytë do të merret duke shtuar këto dy ekuacione term pas termi. ato. Shtojmë 3x me 2x, shtojmë y me -y, shtojmë 8 me 7.

Ne marrim një sistem ekuacionesh

Ekuacioni i dytë i këtij sistemi është një ekuacion i thjeshtë me një ndryshore. Prej tij gjejmë x = 3. Duke zëvendësuar vlerën e gjetur në ekuacionin e parë, gjejmë y = -1.

Përgjigje: (3; - 1).

Modeli i dizajnit:

Zgjidh një sistem ekuacionesh duke përdorur metodën e mbledhjes algjebrike

Në këtë sistem nuk ka variabla me koeficientë të kundërt. Por ne e dimë se të dy anët e ekuacionit mund të shumëzohen me të njëjtin numër. Le të shumëzojmë ekuacionin e parë të sistemit me 2.

Atëherë ekuacioni i parë do të marrë formën:

Tani shohim se ndryshorja x ka koeficientë të kundërt. Kjo do të thotë se do të bëjmë njësoj si në shembullin e parë: do të lëmë një nga ekuacionet të pandryshuar. Për shembull, 2y + 2x = 10. Dhe ne marrim të dytën me mbledhje.

Tani kemi një sistem ekuacionesh:

Ne gjejmë lehtësisht nga ekuacioni i dytë y = 1, dhe më pas nga ekuacioni i parë x = 4.

Modeli i dizajnit:

Le të përmbledhim:

Mësuam të zgjidhim sisteme me dy ekuacionet lineare me dy të panjohura duke përdorur metodën e mbledhjes algjebrike. Kështu, ne tani njohim tre metoda kryesore për zgjidhjen e sistemeve të tilla: grafike, metoda e zëvendësimit të ndryshueshme dhe metoda e shtimit. Pothuajse çdo sistem mund të zgjidhet duke përdorur këto metoda. Në raste më komplekse, përdoret një kombinim i këtyre teknikave.

Lista e literaturës së përdorur:

1. Mordkovich A.G., Algjebra klasa e 7-të në 2 pjesë, Pjesa 1, Libër mësuesi për institucionet e arsimit të përgjithshëm / A.G. Mordkoviç. - Botimi i 10-të, i rishikuar - Moskë, "Mnemosyne", 2007.
2. Mordkovich A.G., Algjebra klasa e 7-të në 2 pjesë, Pjesa 2, Libër me probleme për institucionet arsimore / [A.G. Mordkovich dhe të tjerët]; redaktuar nga A.G. Mordkovich - botimi i 10-të, i rishikuar - Moskë, "Mnemosyne", 2007.
3. SAJ. Tulchinskaya, Algjebra klasa e 7-të. Sondazhi i Blitz: një manual për studentët e institucioneve të arsimit të përgjithshëm, botimi i 4-të, i rishikuar dhe zgjeruar, Moskë, Mnemosyne, 2008.
4. Alexandrova L.A., Algjebra klasa e 7-të. Tematike punë testuese në një formë të re për studentët e institucioneve të arsimit të përgjithshëm, redaktuar nga A.G. Mordkovich, Moskë, "Mnemosyne", 2011.
5. Alexandrova L.A. Algjebër klasa e 7-të. Punë e pavarur për studentët e institucioneve të arsimit të përgjithshëm, redaktuar nga A.G. Mordkovich - botimi i 6-të, stereotip, Moskë, "Mnemosyne", 2010.

Një sistem ekuacionesh lineare me dy të panjohura është dy ose më shumë ekuacione lineare për të cilat është e nevojshme të gjenden të gjitha. zgjidhjet e përgjithshme. Ne do të shqyrtojmë sistemet e dy ekuacioneve lineare në dy të panjohura. Pamje e përgjithshme Një sistem prej dy ekuacionesh lineare me dy të panjohura është paraqitur në figurën më poshtë:

(a1*x + b1*y = c1,
( a2*x + b2*y = c2

Këtu x dhe y janë ndryshore të panjohura, a1,a2,b1,b2,c1,c2 janë disa numra realë. Zgjidhja e një sistemi me dy ekuacione lineare në dy të panjohura është një çift numrash (x,y) të tillë që nëse i zëvendësojmë këta numra në ekuacionet e sistemit, atëherë secili prej ekuacioneve të sistemit kthehet në një barazi të vërtetë. Ka disa mënyra për të zgjidhur një sistem ekuacionesh lineare. Le të shqyrtojmë një nga mënyrat për të zgjidhur një sistem ekuacionesh lineare, përkatësisht metodën e mbledhjes.

Algoritmi për zgjidhjen me metodën e mbledhjes

Një algoritëm për zgjidhjen e një sistemi ekuacionesh lineare me dy të panjohura duke përdorur metodën e mbledhjes.

1. Nëse kërkohet, nga transformimet ekuivalente barazojnë koeficientët e njërës prej variablave të panjohur në të dy ekuacionet.

2. Duke mbledhur ose zbritur ekuacionet që rezultojnë, merrni një ekuacion linear me një të panjohur

3. Zgjidheni ekuacionin që rezulton me një të panjohur dhe gjeni një nga variablat.

4. Zëvendësoni shprehjen që rezulton në cilindo nga dy ekuacionet e sistemit dhe zgjidhni këtë ekuacion, duke përftuar kështu variablin e dytë.

5. Kontrolloni zgjidhjen.

Një shembull i një zgjidhjeje duke përdorur metodën e shtimit

Për qartësi më të madhe, le të zgjidhim sistemin e mëposhtëm të ekuacioneve lineare me dy të panjohura duke përdorur metodën e mbledhjes:

(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;

Meqenëse asnjë nga variablat nuk ka koeficientë identikë, ne barazojmë koeficientët e ndryshores y. Për ta bërë këtë, shumëzojeni ekuacionin e parë me tre, dhe ekuacionin e dytë me dy.

(3*x+2*y=10 |*3
(5*x + 3*y = 12 |*2

marrim sistemi i mëposhtëm i ekuacioneve:

(9*x+6*y = 30;
(10*x+6*y=24;

Tani e zbresim të parën nga ekuacioni i dytë. Ne paraqesim terma të ngjashëm dhe zgjidhim ekuacionin linear që rezulton.

10*x+6*y - (9*x+6*y) = 24-30; x=-6;

Ne e zëvendësojmë vlerën që rezulton në ekuacionin e parë nga tonë sistemi origjinal dhe zgjidhni ekuacionin që rezulton.

(3*(-6) + 2*y =10;
(2*y=28; y =14;

Rezultati është një çift numrash x=6 dhe y=14. Ne jemi duke kontrolluar. Le të bëjmë një zëvendësim.

(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;

{3*(-6) + 2*(14) = 10;
{5*(-6) + 3*(14) = 12;

{10 = 10;
{12=12;

Siç mund ta shihni, morëm dy barazi të sakta, prandaj gjetëm zgjidhjen e duhur.

Përdorimi i ekuacioneve është i përhapur në jetën tonë. Ato përdoren në shumë llogaritje, ndërtime strukturash dhe madje edhe sporte. Njeriu përdorte ekuacione në kohët e lashta, dhe që atëherë përdorimi i tyre vetëm është rritur. Vetëm duke zgjidhur vetë sistemet e ekuacioneve me kompleksitet të ndryshëm do të mësoni të përcaktoni shpejt metodat për zgjidhjen e çdo sistemi. Ndonjëherë mund të jetë mjaft e vështirë për të zgjidhur sistemin ekuacionet kuadratike.

Megjithatë, metoda më e përdorur për zgjidhjen e këtyre ekuacioneve është metoda e zëvendësimit/shtimit.

Supozoni se na është dhënë sistemi i mëposhtëm i ekuacioneve:

\[\majtas\(\fillimi(matrica) x^2-xy = 3, \\ y^2-xy = -2 \fund(matrica)\djathtas.\]

Le të shtojmë ekuacionet e sistemit:

\[\majtas\(\fillimi(matrica) x^2 - xy = 3, \\ x^2 - 2xy + y = 1. \fund(matrica)\djathtas.\]

Le të zgjidhim sistemin që rezulton:

\[\majtas\(\fillimi(matrica) x(x -y) = 3, \\ (x - y)^2= 1; \fund(matrica)\djathtas.\]

\[(x - y) = -1 \] ose \[(x - y) = 1\] - marrim nga 2 ekuacione

Le të zëvendësojmë 1 ose -1 në 1:

\ ose \

Meqenëse tani e dimë vlerën e një të panjohure, mund të gjejmë të dytën:

Le të zëvendësojmë 1 ose -1 në 1:

\[-3 - y= -1\] ose \

Nëse keni nevojë të zgjidhni një sistem prej 2 gradësh dhe 1 linear, atëherë mund të shprehni 1 nga variablat nga lineare dhe ta zëvendësoni këtë ekuacion në atë kuadratik.

Ku mund të zgjidh një sistem ekuacionesh kuadratike në internet me një makinë llogaritëse?

Ju mund të zgjidhni sistemin e ekuacioneve në internet në faqen tonë të internetit https://site. Zgjidhësi falas në internet do t'ju lejojë të zgjidhni ekuacionet në internet të çdo kompleksiteti në disa sekonda. E tëra çfarë ju duhet të bëni është thjesht të futni të dhënat tuaja në zgjidhës. Ju gjithashtu mund të shikoni udhëzime video dhe të mësoni se si ta zgjidhni ekuacionin në faqen tonë të internetit. Dhe nëse keni ende pyetje, mund t'i bëni ato në grupin tonë VKontakte http://vk.com/pocketteacher. Bashkohuni me grupin tonë, ne jemi gjithmonë të lumtur t'ju ndihmojmë.

Duke përdorur metodën e mbledhjes, ekuacionet e një sistemi shtohen term pas termi dhe një ose të dyja (disa) ekuacione mund të shumëzohen me çdo numër. Si rezultat, ato vijnë në një SLE ekuivalente, ku në një nga ekuacionet ka vetëm një ndryshore.

Për të zgjidhur sistemin metoda e mbledhjes term-pas-term (zbritje) ndiqni këto hapa:

1. Zgjidhni një variabël për të cilin do të bëhen të njëjtët koeficientë.

2. Tani ju duhet të shtoni ose zbritni ekuacionet dhe të merrni një ekuacion me një ndryshore.

Zgjidhja e sistemit- këto janë pikat e kryqëzimit të grafikëve të funksionit.

Le të shohim shembuj.

Shembulli 1.

Sistemi i dhënë:

Pasi të keni analizuar këtë sistem, mund të vini re se koeficientët e ndryshores janë të barabartë në madhësi dhe të ndryshëm në shenjë (-1 dhe 1). Në këtë rast, ekuacionet mund të shtohen lehtësisht term pas termi:

Ne kryejmë veprimet e rrethuara me të kuqe në mendjet tona.

Rezultati i shtimit term pas termi ishte zhdukja e ndryshores y. Ky është pikërisht kuptimi i metodës - për të hequr qafe një nga variablat.

-4 - y + 5 = 0 → y = 1,

Në formën e sistemit, zgjidhja duket diçka si kjo:

Përgjigje: x = -4 , y = 1.

Shembulli 2.

Sistemi i dhënë:

Në këtë shembull, ju mund të përdorni metodën "shkollë", por ajo ka një disavantazh mjaft të madh - kur shprehni ndonjë ndryshore nga çdo ekuacion, do të merrni një zgjidhje në fraksione të zakonshme. Por zgjidhja e thyesave kërkon shumë kohë dhe gjasat për të bërë gabime rriten.

Prandaj, është më mirë të përdoret mbledhja (zbritja) term-pas-term e ekuacioneve. Le të analizojmë koeficientët e variablave përkatës:

Ju duhet të gjeni një numër që mund të ndahet me 3 dhe me radhë 4 , dhe është e nevojshme që ky numër të jetë minimumi i mundshëm. Kjo shumëfishi më pak i zakonshëm. Nëse e keni të vështirë të gjeni një numër të përshtatshëm, mund të shumëzoni koeficientët: .

Hapi tjetër:

Ne e shumëzojmë ekuacionin e parë me,

Ne e shumëzojmë ekuacionin e tretë me,

Le të analizojmë dy lloje zgjidhjesh për sistemet e ekuacioneve:

1. Zgjidhja e sistemit duke përdorur metodën e zëvendësimit.
2. Zgjidhja e sistemit me mbledhje (zbritje) term pas termi të ekuacioneve të sistemit.

Për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve me metodën e zëvendësimit ju duhet të ndiqni një algoritëm të thjeshtë:
1. Shprehni. Nga çdo ekuacion ne shprehim një ndryshore.
2. Zëvendësues. Ne e zëvendësojmë vlerën që rezulton në një ekuacion tjetër në vend të ndryshores së shprehur.
3. Zgjidheni ekuacionin që rezulton me një ndryshore. Ne gjejmë një zgjidhje për sistemin.

Për të vendosur sistem me metodën e mbledhjes (zbritjes) term-pas-term duhet:
1. Zgjidhni një variabël për të cilën do të bëjmë koeficientë identikë.
2. Shtojmë ose zbresim ekuacione, duke rezultuar në një ekuacion me një ndryshore.
3. Zgjidheni ekuacionin linear që rezulton. Ne gjejmë një zgjidhje për sistemin.

Zgjidhja e sistemit janë pikat e kryqëzimit të grafikëve të funksionit.

Le të shqyrtojmë në detaje zgjidhjen e sistemeve duke përdorur shembuj.

Shembulli #1:

Le të zgjidhim me metodën e zëvendësimit

Zgjidhja e një sistemi ekuacionesh duke përdorur metodën e zëvendësimit

2x+5y=1 (1 ekuacion)
x-10y=3 (ekuacioni i 2-të)

1. Shprehni
Mund të shihet se në ekuacionin e dytë ka një ndryshore x me koeficient 1, që do të thotë se është më e lehtë të shprehet ndryshorja x nga ekuacioni i dytë.
x=3+10y

2. Pasi e kemi shprehur, zëvendësojmë 3+10y në ekuacionin e parë në vend të ndryshores x.
2(3+10y)+5y=1

3. Zgjidheni ekuacionin që rezulton me një ndryshore.
2(3+10y)+5y=1 (hapni kllapat)
6+20v+5y=1
25v=1-6
25v=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0.2

Zgjidhja e sistemit të ekuacioneve janë pikat e kryqëzimit të grafikëve, prandaj duhet të gjejmë x dhe y, sepse pika e kryqëzimit përbëhet nga x dhe y Le të gjejmë x, në pikën e parë ku e shprehëm, e zëvendësojmë y-në .
x=3+10y
x=3+10*(-0.2)=1

Është zakon të shkruajmë pikë në radhë të parë shkruajmë variablin x, dhe në radhë të dytë ndryshoren y.
Përgjigje: (1; -0.2)

Shembulli #2:

Le të zgjidhim duke përdorur metodën e mbledhjes (zbritjes) term-pas-term.

Zgjidhja e një sistemi ekuacionesh duke përdorur metodën e mbledhjes

3x-2y=1 (1 ekuacion)
2x-3y=-10 (ekuacioni i dytë)

1. Ne zgjedhim një ndryshore, le të themi se zgjedhim x. Në ekuacionin e parë, ndryshorja x ka një koeficient 3, në të dytin - 2. Ne duhet t'i bëjmë koeficientët të njëjtë, për këtë kemi të drejtë të shumëzojmë ekuacionet ose të pjesëtojmë me çdo numër. Ekuacionin e parë e shumëzojmë me 2, të dytin me 3 dhe marrim një koeficient total prej 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. Zbrisni të dytën nga ekuacioni i parë për të hequr qafe variablin x.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6.4

3. Gjeni x. Ne e zëvendësojmë y-në e gjetur në cilindo nga ekuacionet, le të themi në ekuacionin e parë.
3x-2y=1
3x-2*6.4=1
3x-12.8=1
3x=1+12.8
3x=13.8 |:3
x=4.6

Pika e kryqëzimit do të jetë x=4.6; y=6.4
Përgjigje: (4.6; 6.4)

Dëshironi të përgatiteni për provime falas? Tutor në internet falas. Pa shaka.