Ekuacioni karakteristik. Rrënjët e ekuacionit karakteristik. Konstantet e kohës. Koha e tranzicionit. Ekuacioni karakteristik dhe eigjenvektori i një operatori linear Përkufizimi i ekuacionit karakteristik
Mënyra e lirë e qarkut nuk varet nga burimet e energjisë, ajo përcaktohet vetëm nga struktura e qarkut dhe parametrat e elementeve të tij. Nga kjo rezulton se rrënjët e ekuacionit karakteristik p1, p2,..., pn do të jenë të njëjta për të gjitha funksionet e ndryshueshme (rrymat dhe tensionet).
Mund të shkruhet ekuacioni karakteristik metoda të ndryshme. Metoda e parë është klasike, kur ekuacioni karakteristik përpilohet në mënyrë rigoroze në përputhje me ekuacionin diferencial sipas skemës klasike. Gjatë llogaritjes së proceseve kalimtare në skema komplekse një sistem ekuacionesh diferenciale "m" përpilohet sipas ligjeve të Kirchhoff për diagramin e qarkut pas ndërrimit. Meqenëse rrënjët e ekuacionit karakteristik janë të përbashkëta për të gjitha variablat, zgjidhja e sistemit të ekuacioneve diferenciale kryhet në lidhje me çdo ndryshore (opsionale). Si rezultat i zgjidhjes, fitohet një ekuacion diferencial johomogjen me një ndryshore. Hartoni një ekuacion karakteristik në përputhje me ekuacionin diferencial që rezulton dhe përcaktoni rrënjët e tij.
Shembull. Hartoni një ekuacion karakteristik dhe përcaktoni rrënjët e tij për variablat në diagramin në Fig. 59.1. Parametrat e elementeve janë specifikuar në një formë të përgjithshme.
Sistemi i ekuacioneve diferenciale sipas ligjeve të Kirchhoff:
Le të zgjidhim sistemin e ekuacioneve për ndryshoren i3, si rezultat fitojmë një ekuacion diferencial johomogjen:
Mënyra e dytë për të përpiluar një ekuacion karakteristik është të barazojmë me zero përcaktuesin kryesor të sistemit të ekuacioneve Kirchhoff për variablat e komponentëve të lirë.
Lëreni përbërësin e lirë të një rryme arbitrare të ketë formën iksv = Аkept, atëherë:
Sistemi i ekuacioneve për komponentët e lirë është marrë nga sistemi i ekuacioneve diferenciale Kirchhoff duke zëvendësuar derivatet e variablave me faktorin p, dhe integralet me 1/p. Për shembullin në shqyrtim, sistemi i ekuacioneve për komponentët e lirë ka formën:
Ekuacioni karakteristik dhe rrënja e tij:
Mënyra e tretë për të përpiluar një ekuacion karakteristik (inxhinierik) është barazimi i rezistencës së operatorit hyrës të qarkut me zero në lidhje me ndonjë nga degët e tij.
Rezistenca e operatorit të një elementi merret nga rezistenca e tij komplekse duke zëvendësuar thjesht faktorin jω me p, prandaj
Për shembullin në fjalë:
Metoda e tretë është më e thjeshta dhe më ekonomike, prandaj përdoret më shpesh gjatë llogaritjes së proceseve kalimtare në qarqet elektrike.
Rrënjët e ekuacionit karakteristik karakterizojnë procesin e lirë kalimtar në një qark pa burime energjie. Ky proces ndodh me humbje të energjisë dhe për këtë arsye prishet me kalimin e kohës.
Nga kjo rrjedh se rrënjët e ekuacionit karakteristik duhet të jenë negative ose të kenë një pjesë reale negative. NË rast i përgjithshëm
rendi i ekuacionit diferencial që përshkruan procesin kalimtar në qark dhe, rrjedhimisht, shkalla e ekuacionit karakteristik dhe numri i rrënjëve të tij janë të barabartë me numrin e kushteve fillestare të pavarura, ose numrin e pajisjeve të pavarura të ruajtjes së energjisë ( mbështjelljet L dhe kondensatorët C). Nëse diagrami i qarkut përmban kondensatorë të lidhur paralelisht C1, C2,... ose bobina të lidhura në seri L1, L2,..., atëherë gjatë llogaritjes së proceseve kalimtare ato duhet të zëvendësohen me një element ekuivalent SE = C1 + C2+... ose LE = L1 + L2+... Kështu,
pamje e përgjithshme
zgjidhjet për çdo ndryshore gjatë llogaritjes së një procesi kalimtar mund të përpilohen vetëm nga një analizë e diagramit të qarkut, pa përpiluar dhe zgjidhur një sistem ekuacionesh diferenciale.
Për shembullin e diskutuar më sipër. Ekuacioni karakteristik ka formën: Për të përcaktuar llojin e komponentit të lirë, është e nevojshme të hartohet dhe të zgjidhet ekuacioni karakteristik: z(p) = 0. Për të shkruar ekuacionin karakteristik, është e nevojshme të vizatoni një diagram në të cilin duhet të zëvendësohen të gjitha burimet e emf dhe rrymës. nga të brendshmet e tyre
rezistencë, dhe rezistencë
marrim induktivitetin dhe kapacitetin përkatësisht të barabartë me Pl dhe , atëherë është e nevojshme të thyhet çdo degë e këtij qarku, të shënohet rezistenca e tij fillestare në raport me pikat e thyerjes, të barazohet me zero, të zgjidhen dhe të përcaktohen rrënjët e p, nëse rrënjët rezultojnë të jenë reale negative, atëherë komponenti i lirë i funksionit të dëshiruar:
,ku m është numri i rrënjëve të ekuacionit;
Rrënjët; - të integruara përgjithmonë.
Nëse rrënjët e ekuacionit të karakterit rezultojnë të jenë të konjuguara komplekse, atëherë gjendja e lirë do të ketë formën:
ku është frekuenca e dridhjeve të lira;
Koha e procesit kalimtar varet nga koeficienti i zbutjes Vlera e kundërt quhet konstante kohore dhe është kohë, gjatë e cila vlera e komponentit të lirë të procesit kalimtar do të ulet për e=2.72 herë. Vlera varet nga qarku dhe parametrat Pra, për një qark me një lidhje seri r dhe L =, dhe për një lidhje seri
Përfundimi 95% i procesit të tranzicionit 3.
Mënyra më e lehtë për të ndërtuar kurbat e përbërësve të lirë të procesit kalimtar është vendosja e vlerave të kohës t në 0, ,2.....Nëse ka disa rrënjë reale, atëherë kurba që rezulton fitohet duke përmbledhur ordinatat e termave individualë (Fig. 1.)
Figura 1:
9.10,Proces kalimtar në r, C – qarqet kur lidhen me një burim tensioni konstant. Kryen analizën duke përdorur metodën klasike; japin shprehje analitike për U C (t); iC(t); grafike. (Metodë klasike).
Ekuacioni i gjendjes së qarkut rC pas ndërrimit është si më poshtë:
(1) ose rC (2)
Zgjidhja e tij: 
Kapaciteti C pas mbylljes së çelësit në t do të ngarkohet në një vlerë të qëndrueshme
Meqenëse kushtet fillestare janë zero, sipas ligjit të komutimit 
në t=0, ose 0=A, prej nga A=-E.
Zgjidhja e ekuacionit (2) do të marrë formën:
Rryma e qarkut i(t)=C
Figura 1.
Figura 2.
Grafikët e ndryshimeve të tensionit dhe rrymës i(t) janë paraqitur në figurat 1 dhe 2. Nga figurat shihet se tensioni në kondensator rritet në mënyrë eksponenciale nga 0 në E, ndërsa forca e rrymës në momentin e ndërrimit arrin papritur vlera E/r, dhe më pas zvogëlohet në zero.
11.12.Procesi kalimtar në qarqet r, C – kur lidhet me një burim tensioni sinusoidal. Kryen analizën duke përdorur metodën klasike; japin shprehje analitike për U C (t); iC(t); grafike. (Metodë klasike).
Ekuacioni i gjendjes së qarkut rC në modalitetin kalimtar është si më poshtë
rC 
.
Zgjidhja e këtij ekuacioni:
Komponent falas
ku =rC
Meqenëse qarku është linear, atëherë me efekt sinusoidal dhe në gjendje të qëndrueshme, tensioni në kondensator do të ndryshojë gjithashtu sipas një ligji sinusoidal me frekuencën e efektit të hyrjes, prandaj, për të përcaktuar = do të përdorim metodën e amplitudave komplekse :
; 
Duke marrë parasysh se j=, marrim:
Konstanta e integrimit A e komponentit të lirë
Le të gjejmë nga kushtet fillestare në qark duke marrë parasysh ligjin e komutimit:
.Në t=0 shprehja e fundit ka formën
ku A=-
Duke shtuar komponentët dhe , ne marrim shprehjen përfundimtare për tensionin nëpër kondensator në modalitetin kalimtar:
= + = 
- (1)
Analiza e shprehjes (1) tregon se procesi kalimtar në qarkun rC nën ndikimin sinusoidal varet nga faza fillestare Burimi EMF në momentin e kyçjes dhe në konstanten kohore të qarkut rC.
Nëse , atëherë =0 dhe një gjendje e qëndrueshme do të ndodhë në qark menjëherë pas ndërrimit, d.m.th.
Kur voltazhi = - , d.m.th. Tensioni në të gjithë kondensatorin menjëherë pas ndërrimit mund të arrijë pothuajse dyfishin e vlerës së shenjës pozitive, dhe pastaj gradualisht afrohet =.
Diferenca fazore do ta çojë ekuacionin (1) në formën:
Dallimi midis kësaj mënyre dhe asaj të mëparshme është se voltazhi në të gjithë kondensatorin menjëherë pas ndërrimit mund të arrijë pothuajse dyfishin e vlerës negative.
Për qarkun e konsideruar Rc me një burim të rrymës sinusoidale në gjendje të qëndrueshme, faza fillestare e tensionit të hyrjes nuk luan ndonjë rol, por në procesin kalimtar ndikimi i saj është i rëndësishëm.
13. Procesi kalimtar në qarqet r, L, C kur lidhet me një burim tensioni konstant. Procesi i grumbullit. Shprehje analitike për i(t), grafikë. (Metodë klasike).
Rrënjët janë reale, negative, të ndryshme.
I(t)=I goja +A1e p 1 t +A2e p 2 t
Procesi është periodik:
t=0 (i(0)=A1+A2; A1=-A2
{ 
t=0 i l (0)*r+L +Uc(0)=E A1=-A2= ()
i l (t) = ( 
)
14.Proces kalimtar në r, L, C – qarqet kur lidhen me një burim tensioni konstant. Procesi kritik. Shprehje analitike për i(t), grafikë. (Metodë klasike).
i l (t)=i buzët +(B1+B2*t)*
t=0: i l (0)=β1=0
Nëse rrënjët rezultojnë të jenë reale, negative, të barabarta, atëherë procesi është kritik.
15. Procesi kalimtar në qarqet r, L, C kur lidhet me një burim tensioni konstant. Procesi oscilues. Shprehje analitike për i(t), grafikë. (Metodë klasike).
P t = -δ±j*ω St ω St=
Rrënjët janë reale negative, disa konjugate komplekse.
i l (t)=i goja A1e - δt *sin(ω St t+ψ)
i l (t)=i gojë +(M*cos ω dritë t+N*sin ω dritë t)*
i l (t)= * 
= *
16. Procesi kalimtar në r, L, C – qarqet kur lidhen me një burim tensioni sinusoidal. Procesi periodik. Shprehje analitike për i(t), grafikë. (Metodë klasike).
R(t)=E max *sin(ωt+ψ)
2. 
Në numrin klasik të ekuacioneve në këtë rast është i barabartë me numrin e degëve të qarkut
Metoda gjen një zgjidhje në formën e shumës së një zgjidhjeje të përgjithshme dhe të veçantë. Llogaritja e procesit kalimtar përshkruhet nga një sistem ekuacionesh diferenciale të zakonshme të përpiluara nga një nga metodat e llogaritjes për vlerat e menjëhershme të funksioneve kohore. Zgjidhja për çdo ndryshore të këtij sistemi gjendet në formën e shumës së zgjidhjeve të përgjithshme dhe të veçanta. Për të përpiluar një ekuacion, mund të përdoret: një metodë e bazuar në zbatimin e ligjeve të Kirchhoff-it, metoda e potencialeve nodale, metoda e rrymave të lakut, etj. Për shembull, një sistem ekuacionesh diferenciale i përpiluar pas komutimit sipas ligjeve të parë dhe të dytë të Kirchhoff ka formën:
Për shembull,
Numri i ekuacioneve në këtë rast është i barabartë me numrin e degëve të qarkut. Le të jetë e nevojshme të gjendet rryma i k në një degë me numër K. Duke eleminuar rrymat e degëve në sekuencë, si rezultat marrim rrymën i k dhe derivatet e saj deri në rendin n:
Rendi i ekuacionit diferencial n përcaktohet nga numri i elementeve reaktive të pavarura të qarkut (m). Zakonisht n=m, por në varësi të mënyrës së lidhjes mund të jetë që n Elementet kapacitorë të lidhur me seri mund të zëvendësohen me një element, ashtu si elementët induktivë të lidhur paralelisht mund të zëvendësohen nga një ekuivalent. Figura 9.5 tregon zëvendësimin e 2 kondensatorëve të lidhur në seri me një ekuivalent. Në përgjithësi, rendi i ekuacionit diferencial n është i barabartë me: n=n lc -n ce -n lj, ku n lc është numri i elementeve reaktive (L dhe C) në qark, n ce është numri i kapacitivëve qarqeve, n lj është numri i nyjeve ose seksioneve induktive. Me kapacitiv nënkuptohet një qark i përbërë nga elementë kapacitiv ose elementë kapacitiv dhe burime ideale emf, Fig. 9.6.a Me induktiv nënkuptohet një nyje në të cilën konvergojnë degët induktive ose degët induktive dhe burimet e rrymës (Fig. 9.6.b). seksione që kryqëzohen vetëm degët induktive ose degët induktive dhe burimet aktuale. Vini re se faza e hartimit të një ekuacioni diferencial nuk është e detyrueshme dhe rryma ose voltazhi i tranzicionit mund të gjenden pa hartuar një ekuacion. Siç u tregua, në metodën klasike të llogaritjes së proceseve kalimtare zgjidhen ekuacionet Një zgjidhje e veçantë përshkruan një regjim të quajtur të detyruar. Zgjidhja e një ekuacioni homogjen (ana e djathtë është zero) përshkruan procesin në mungesë të EMF të jashtëm dhe burimeve aktuale dhe quhet i lirë. Rrymat, tensionet dhe ngarkesat e lira dhe të detyruara merren parasysh në përputhje me rrethanat. Kështu, rryma në degën me numër K paraqitet si shumë. ) A = ||një ik||n 1 duke zbritur vlerën λ nga elementet diagonale. Ky përcaktues është një polinom në lidhje me X - një polinom karakteristik. Kur u hap, X. u. është shkruar kështu: Ku S 1 = një 11 + një 22 +...
ann- të ashtuquajturat gjurmë matrice, S 2- shuma e të gjitha minoreve kryesore të rendit të dytë, d.m.th të miturve të formës i k), etj., dhe S n- përcaktor i matricës A. Rrënjët e H. u. λ 1 , λ 2 ,..., λ n quhen eigenvlerat e matricës A. Për një matricë reale simetrike, si dhe për një matricë hermitiane, të gjitha λ k janë reale, një matricë reale anore-simetrike ka të gjitha λ k numra thjesht imagjinarë; në rastin e një matrice reale ortogonale, si dhe një matrice unitare, të gjitha |λ k| = 1. H.u. gjendet në një gamë të gjerë fushash të matematikës, mekanikës, fizikës dhe teknologjisë. Në astronomi, kur përcaktohen shqetësimet laike të planetëve, ato vijnë edhe te ekuacionet kimike; prandaj emri i dytë për X. u. - një ekuacion i vjetër. 2) H. u. ekuacion diferencial linear me koeficientë konstante a 0λ y (n) + një 1 vjeç (n-1) +... + një n-1 vjet" + një n y = 0 Ekuacioni algjebrik që fitohet nga një ekuacion diferencial i dhënë pas ndryshimit të funksionit në dhe derivatet e tij nga fuqitë përkatëse të λ, pra ekuacioni a 0λ n + a 1λ n-1 +
... +
një n-1 y" + një n y = 0. Ky ekuacion arrihet duke gjetur një zgjidhje të veçantë të formës në = se λ X për një ekuacion diferencial të dhënë. Për një sistem ekuacionesh diferenciale lineare H.u. shkruar duke përdorur një përcaktor H.u. matricat A = Enciklopedia e Madhe Sovjetike. - M.: Enciklopedia Sovjetike.
1969-1978
.
Në shumë raste, proceset fizike që ndodhin në sisteme përshkruhen nga një sistem ekuacionesh diferenciale lineare të zakonshme me koeficientë konstantë, të cilët në një rast mjaft të përgjithshëm mund të reduktohen në ekuacionin diferencial ... Enciklopedia e teknologjisë Një ekuacion algjebrik i formës: Përcaktori në këtë formulë merret nga përcaktorja e matricës duke zbritur vlerën x nga elementët diagonale; përfaqëson një polinom në x dhe quhet polinom karakteristik... Fjalori i madh enciklopedik ekuacioni karakteristik- - [V.A. Semenov. Fjalori anglisht-rusisht i mbrojtjes rele] Temat mbrojtja e stafetës EN ekuacioni karakteristik ... Udhëzues teknik i përkthyesit Ekuacioni algjebrik i formës. Përcaktori në këtë formulë merret nga përcaktorja e matricës x të elementeve diagonale; është një polinom në x dhe quhet polinom karakteristik. * * * KARAKTERISTIKE…… Fjalor Enciklopedik ekuacioni karakteristik- būdingoji lygtis statusas T sritis automatika atitikmenys: engl. ekuacioni karakteristik; ekuacioni i performancës vok. charakteristische Gleichung, f; Stammgleichung, f rus. ekuacion karakteristik, n pranc. ékuacioni karakteristik, f … Përfundimi automatik i plotë ekuacioni karakteristik- būdingoji lygtis statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. ekuacioni karakteristik; ekuacioni i performancës vok. Charakteristische Gleichung, f rus. ekuacion karakteristik, n pranc. ékuation caractéristique, f … Fizikos terminų žodynas ekuacioni karakteristik Enciklopedia "Aviacioni" ekuacioni karakteristik- ekuacioni karakteristik. Në shumë raste, proceset fizike që ndodhin në sisteme përshkruhen nga një sistem ekuacionesh diferenciale lineare të zakonshme me koeficientë konstantë, të cilët në një rast mjaft të përgjithshëm mund të reduktohen... Enciklopedia "Aviacioni" Ekuacioni laik, shih Art. Polinom karakteristik... Enciklopedia matematikore Një polinom karakteristik është një polinom që përcakton eigenvlerat e një matrice. Një kuptim tjetër: Polinomi karakteristik i një rekurente lineare është një polinom. Përmbajtja 1 Përkufizimi ... Wikipedia
paraqitet si shuma e zgjidhjeve të përgjithshme dhe të veçanta.
Shihni se çfarë është një "Ekuacion karakteristik" në fjalorë të tjerë:
librat
