≡×ՄԵՆՈՒ

• Ինտերիեր
• Այգի
• Կահույք
• Շինանյութեր
• Տանիք

Կտրված գնդի մակերեսի հաշվարկ: Գնեք բարձրագույն կրթության դիպլոմ էժան

Գնդակը կոչվում է տարածության բոլոր կետերի մեծ մասը, որոնք տարածվում են R կետ-կենտրոնից որոշակի շառավղով հեռավորության վրա: Շառավիղն իր հերթին կենտրոնը միացնող հատված է: գնդակիր մակերեսի յուրաքանչյուր կետով:

Ձեզ անհրաժեշտ կլինի

• գնդերի մակերեսի բանաձևն է.
• գնդիկի ծավալի բանաձևն է.
• - Թվաբանական հմտություններ.

Հրահանգ

1. IN Առօրյա կյանքհաճախ հաշվարկելու անհրաժեշտություն է առաջանում քառակուսիգնդաձեւ մակերեսը կամ դրա մի մասը, որպեսզի հաշվարկվի, ասենք, նյութի սպառումը։ Ծավալը հաշվարկելով գնդակ, դուք կարող եք անցնել տեսակարար կշիռըհաշվարկել այն նյութի զանգվածը, որը կազմում է ոլորտի պարունակությունը. Բացահայտելու համար քառակուսիև ծավալը գնդակ, բավական է իմանալ դրա շառավիղը կամ տրամագիծը։ Համաձայն այն բանաձևերի, որոնք այսօրվա դպրոցականները բխում են հանրակրթական դպրոցի 11-րդ դասարանում, կարելի է հեշտությամբ հաշվարկել այս պարամետրերը։

2. Ենթադրենք, ֆուտբոլի գնդակի տրամագիծը, ըստ ՖԻՖԱ-ի յուրաքանչյուր պահանջի, պետք է լինի 21,8-22,2 սմ միջակայքում, հաշվարկի հեշտության համար՝ միջինը մինչև 22 սմ, հետևաբար, շառավիղը (R) հավասար կլինի (22): :2) - 11 սմ Թեյ հետաքրքիր է իմանալ, թե ինչ քառակուսիֆուտբոլի գնդակի մակերեսը.

3. Ստացեք մակերեսի մակերեսի բանաձևը գնդակ:Ս գնդակ\u003d 4тR2 Վերոհիշյալ բանաձևում փոխարինեք ֆուտբոլի գնդակի շառավիղի արժեքը՝ 11 սմ S \u003d 4 x 3.14 x 11x11:

4. Պարզ մաթեմատիկական գործողություններ կատարելուց հետո ստացվում է արդյունքը՝ 1519.76։ Այսպիսով, քառակուսիՖուտբոլի գնդակի մակերեսը 1519,76 քառակուսի սանտիմետր է։

5. Այժմ հաշվարկեք գնդակի ծավալը: Վերցրեք ծավալը հաշվարկելու բանաձևը գնդակ V \u003d 4 / 3tR3 Կրկին փոխարինեք ֆուտբոլի գնդակի շառավիղի արժեքը՝ 11 սմ: V \u003d 4/3 x 3.14 x 11 x 11 x 11:

6. Հետագայում հաշվարկները, ենթադրենք հաշվիչի վրա դուք ստանում եք՝ 5576,89 Ստացվում է, որ օդի ծավալը ֆուտբոլի գնդակկազմում է 5576,89 խորանարդ սանտիմետր։

Գնդակը ամենապարզ եռաչափ երկրաչափական պատկերն է, որի չափերը նշելու համար բավարար է յուրաքանչյուր պարամետրը։ Այս գործչի սահմանները սովորաբար կոչվում են գունդ։ Գնդով սահմանափակված տարածության ծավալը կարելի է հաշվարկել և՛ համապատասխանի աջակցությամբ եռանկյունաչափական բանաձևեր, և իմպրովիզացված միջոցներ։

Հրահանգ

1. Օգտագործեք գնդիկի ծավալի (V) դասական բանաձևը, եթե դրա շառավիղը (r) հայտնի է պայմաններից. Այս բանաձևը կարող եք գրել այսպես՝ V=4*?*r?/3:

2. Եթե ​​հնարավոր է չափել գնդիկի տրամագիծը (դ), ապա բաժանեք այն կիսով չափ և օգտագործեք որպես շառավիղ նախորդ քայլի բանաձևում։ Կամ գտե՛ք խորանարդի տրամագծի վեցերորդը՝ բազմապատկված Pi-ով. V=?*d?/6:

3. Եթե ​​մենք պահում ենք մխոցի ծավալը (v), որի վրա մակագրված է գունդը, ապա դրա ծավալը գտնելու համար որոշենք, թե մխոցի հայտնի ծավալի երկու երրորդը որին է հավասար՝ V \u003d? * v.

4. Եթե ​​հայտնի է միջին խտությունը(ժ) այն նյութը, որից բաղկացած է գունդը, և դրա զանգվածը (մ), ապա դա նույնպես բավական է ծավալը որոշելու համար. բաժանեք երկրորդը առաջինի վրա. V = m / p.

5. Օգտագործեք որոշ չափիչ բեռնարկղեր որպես ինքնաշեն միջոցներ գնդաձև անոթի ծավալը չափելու համար: Ասենք՝ լցնենք ջրով, չափիչ տարայի օգնությամբ չափելով լցնող հեղուկի քանակը։ Ստացված արժեքը լիտրերով փոխարկեք Խորանարդ մետր- այս միավորը ընդունված է ծավալի չափման միջազգային SI համակարգում: Որպես լիտրից խորանարդ մետրի վերածելու ցուցիչ օգտագործեք 1000 թիվը, քանի որ մեկ լիտրը հավասար է մեկ խորանարդ դեցիմետրի, և դրանցից ուղիղ հազարը տեղավորվում է յուրաքանչյուր խորանարդ մետրի մեջ։

6. Օգտագործեք նախորդ քայլում նկարագրվածին հակառակ չափման կանոնը, եթե գնդաձև մարմինը չի կարող լցվել հեղուկով, բայց թույլատրվում է ընկղմվել դրա մեջ: Չափիչ անոթը լցրեք ջրով, ավլեք շերտը, չափված գնդաձև մարմինը ընկղմեք հեղուկի մեջ և շերտերի տարբերությունից որոշեք տեղահանված ջրի քանակը։ Դրանից հետո ստացված գումարը լիտրից վերածեք խորանարդ մետրի նույն կերպ, ինչպես նկարագրված է նախորդ քայլում:

Առնչվող տեսանյութեր

Վերանորոգել, տեղափոխել, նկարել օբյեկտը - այս ամենը կպահանջի տարածքի հաշվարկ: Դպրոցական ծրագիրը հետ կանչելը զանցանք չէ։

Հրահանգ

1. Հիշենք, թե ինչ տարածք է. Մակերեսը հարթ գործչի չափն է ստանդարտ գործչի նկատմամբ: Կամ ճիշտ արժեք, որի թվային արժեքն ունի հետևյալ հատկությունները. Եթե պատկերը կարելի է բաժանել մասերի, որոնք կլինեն պարզունակ թվեր, ապա նման գործչի մակերեսը հավասար կլինի տարածքների գումարին։ դրա մասերի մակերեսը, որի կողմը հավասար է չափման միավորին, հավասար է մեկին Հավասար թվերն ունեն հավասար մակերեսներ Այս կանոններից հետևում է, որ մակերեսը որոշակի արժեք չէ, այսինքն՝ մակերեսը. տալիս է միայն պայմանական համադրում ինչ-որ գործչի։ Երբ պետք է գտնել կամայական գործչի մակերեսը, ապա պետք է հաշվարկել, թե քանի քառակուսի կողմով (որը հավասար է մեկին), այս ցուցանիշը կարող է պարունակել իր մեջ:

2. Օրինակ. Վերցնենք մի պատկեր՝ ուղղանկյուն, որի մեջ քառակուսի սանտիմետրը տեղավորվում է վեց անգամ: Այնուհետև նման ուղղանկյունի մակերեսը կլինի - 6 սմ 2: Եթե ​​վերցնենք ավելի բարդ պատկեր, ասենք, տրապիզոն, ապա ստացվում է, որ եթե տրապիզն այնպիսի չափի է, որ քառակուսի սանտիմետրը տեղավորվում է դրա մեջ ընդամենը երկու անգամ, իսկ երրորդ մասը ամբողջությամբ չի տեղավորվում, և մնում է փոքր եռանկյուն: . Այս մնացած եռանկյան մակերեսը չափելու համար անհրաժեշտ է դրա վրա կոտորակներ կիրառել քառակուսի սանտիմետր, թույլատրվում է վերցնել միլիմետր։ Ճիշտ է, այս մեթոդը այնքան էլ հարմար չէ բարդ գործիչների համար։ Հետևաբար, կան տարբեր թվերի տարածքը հաշվարկելու տարբեր բանաձևեր: Եթե ​​Ձեզ անհրաժեշտ է հաշվարկել որոշակի գործչի տարածքը, ապա կարող եք վերցնել երկրաչափության դասագիրք և հիշել այն նյութը, որը ժամանակին սովորել եք դպրոցում: 6*ա2

Առնչվող տեսանյութեր

Հստակ համակարգի բոլոր մոլորակներն ունեն ձև գնդակ. Բացի այդ, մարդու կողմից պատրաստված բազմաթիվ առարկաներ, ներառյալ մանրամասները տեխնիկական սարքեր. Գնդակը, ինչպես հեղափոխության ցանկացած մարմին, ունի առանցք, որը համընկնում է տրամագծի հետ: Այնուամենայնիվ, սա բացառիկ որակ չէ։ գնդակ. Ստորև ներկայացված են այս երկրաչափական պատկերի հիմնական հատկությունները և դրա տարածքը գտնելու եղանակը:

Հրահանգ

1. Եթե ​​վերցնում եք կիսաշրջան կամ շրջան և շրջում այն ​​իր առանցքի շուրջ, ապա կստանաք մի մարմին, որը կոչվում է գնդակ: Այլ կերպ ասած, գնդով սահմանափակված մարմինը կոչվում է գնդակ: Ոլորտը խեցի է գնդակ, իսկ նրա խաչմերուկը շրջանագիծ է։ Սկսած գնդակայն տարբերվում է նրանով, որ խոռոչ է։ Առանցքի նման գնդակ, իսկ գունդը համընկնում է տրամագծին ու անցնում կենտրոնով։ Շառավիղ գնդակկոչվում է հատված իր կենտրոնից մինչև ցանկացած արտաքին կետ: Ի տարբերություն ոլորտի, հատվածներ գնդակշրջանակներ են։ Գնդաձևին մոտ ձևն ունի բազմաթիվ մոլորակներ և երկնային մարմիններ: Տարբեր կետերում գնդակկան նույնական ձևով, բայց չափերով անհավասար, այսպես կոչված, հատվածներ՝ տարբեր տարածքների շրջանակներ։

2. Գնդակը և գունդը փոխարինելի մարմիններ են, ի տարբերություն կոնի, չնայած այն հանգամանքին, որ կոնը նաև հեղափոխության մարմին է։ Գնդաձև մակերեսներն իրենց հատվածում անընդհատ շրջան են կազմում՝ անկախ նրանից, թե ինչպես է այն պտտվում՝ հորիզոնական թե ուղղահայաց: Կոնաձեւ մակերեսը ստացվում է միայն հիմքին ուղղահայաց իր առանցքի երկայնքով եռանկյունին պտտելով։ Հետեւաբար, կոնը, ի տարբերություն գնդակ, և չի համարվում հեղափոխության փոխարինելի մարմին։

3. Թույլատրելի շրջանակներից ամենամեծը ստացվում է կտրելով գնդակ O կենտրոնով անցնող հարթություն: O կենտրոնով անցնող բոլոր շրջանագծերը հատվում են միմյանց հետ նույն տրամագծով: Շառավիղը միշտ տրամագծի կեսն է: Երկու A և B կետերի միջոցով, որոնք գտնվում են մակերեսի ցանկացած կետում գնդակ, կարող է անցնել անսահմանափակ թվով շրջանակներ կամ շրջանակներ: Հենց այս պատճառով է, որ անսահմանափակ թվով միջօրեականներ կարելի է գծել Երկրի բևեռներով։

4. Տարածքը գտնելիս գնդակհաշվի առած որևէ մեկի առաջ, քառակուսիգնդաձեւ մակերես.Քառակուսի գնդակ, ավելի ճիշտ՝ իր մակերեսը կազմող գունդը կարելի է հաշվարկել՝ հիմնվելով նույն R շառավղով շրջանագծի մակերեսի վրա։ քառակուսիշրջանագիծը կիսաշրջանի և շառավիղի արտադրյալն է, այն կարելի է հետագայում հաշվարկել՝ S = ?R^2Քանի որ կենտրոնով գնդականցեք չորս հիմնական հսկայական շրջանակներ, ապա, համապատասխանաբար քառակուսի գնդակ(գնդիկներ) հավասար է՝ S = 4 ?R^2

5. Այս բանաձևը կարող է օգտագործվել, եթե պահպանենք կամ տրամագիծը կամ շառավիղը գնդակկամ ոլորտներ։ Այնուամենայնիվ, այս պարամետրերը չեն տրվում որպես պայմաններ բոլոր երկրաչափական խնդիրներում: Կան նաև խնդիրներ, որոնց դեպքում գնդակը մակագրված է գլանով: Այս դեպքում պետք է օգտագործել Արքիմեդի թեորեմը, որի էությունն այն է քառակուսիմակերեսներ գնդակմեկուկես անգամ պակաս, քան մխոցի ընդհանուր մակերեսը. S = 2/3 S գլան., որտեղ S գլան. - քառակուսիմխոցի ամբողջ մակերեսը:

Առնչվող տեսանյութեր

Գնդակը կոչվում է երկրաչափականորեն դրական ձևի ամենապարզ եռաչափ պատկերը, որի սահմանների ներսում գտնվող տարածության բոլոր կետերը հեռացված են կենտրոնից շառավղից չգերազանցող հեռավորությամբ: Կենտրոնից ամենահեռավոր կետերով առաջացած մակերեսը կոչվում է գնդիկ։ Ոլորտի ներսում պարունակվող տարածության չափման քանակական արտահայտման համար տրվում է պարամետր, որը կոչվում է գնդակի ծավալ։

Հրահանգ

1. Եթե ​​պահանջվում է գնդակի ծավալը չափել ոչ թե տեսականորեն, այլ միայն իմպրովիզացված միջոցներով, ապա դա կարելի է անել, ասենք, դրանով տեղաշարժվող ջրի ծավալը որոշելով։ Այս մեթոդը կիրառելի է այն դեպքում, երբ հնարավոր է գնդակը տեղադրել դրան համաչափ ինչ-որ տարայի մեջ՝ գավաթ, բաժակ, բանկա, դույլ, տակառ, լողավազան և այլն։ Այս դեպքում, նախքան գնդակը դնելը, ավլեք ջրի շերտը, դա արեք երկրորդ անգամ այն ​​ամբողջովին ընկղմվելուց հետո, այնուհետև գտեք նշանների տարբերությունը: Ավանդաբար, գործարանում պատրաստված չափված հզորությունը ունի բաժանումներ, որոնք ցույց են տալիս ծավալը լիտրով և դրանից ստացված միավորներով՝ միլիլիտր, դեկալիտր և այլն: Եթե ​​ստացված արժեքը պետք է վերածվի խորանարդ մետրի և ծավալի մի քանի միավորի, ապա ելնել նրանից, որ մեկ լիտրը համապատասխանում է մեկ խորանարդ դեցիմետրին կամ խորանարդ մետրի հազարերորդականին։

2. Եթե ​​նյութը, որից պատրաստված է գնդակը, հայտնի է, և այդ նյութի խտությունը կարելի է գտնել, ասենք, տեղեկատու գրքույկից, ապա հնարավոր է չափը որոշել՝ կշռելով այս առարկան։ Կշռման արդյունքը պրիմիտիվորեն բաժանեք արտադրվող նյութի հղման խտության վրա՝ V=m/p:

3. Եթե ​​խնդրի պայմաններից հայտնի է գնդակի շառավիղը կամ այն ​​կարելի է չափել, ապա ծավալը հաշվարկելու համար կարելի է օգտագործել համապատասխան մաթեմատիկական բանաձեւը։ Չորսապատիկ Pi-ը բազմապատկեք շառավիղի երրորդ ուժով և ստացվածը բաժանեք երեքի՝ V=4*?*r?/3։ Ասենք, 40 սմ շառավղով, գնդակի ծավալը կլինի 4 * 3.14 * 40? / 3 \u003d 267946.67 սմ: ? 0,268 մ.

4. Հաճախ ավելի հեշտ է չափել տրամագիծը, քան շառավիղը: Այս դեպքում կարիք չկա այն կիսել կիսով չափ՝ նախորդ քայլի բանաձևով կիրառելու համար. ավելի լավ է պարզեցնել բանաձևը: Փոխարկված բանաձևի համաձայն, Pi թիվը բազմապատկեք տրամագծով երրորդ ուժի վրա և ընդհանուրը բաժանեք վեցի ՝ V =? * d? / 6: Ենթադրենք, 50 սմ տրամագծով գնդակը պետք է ունենա 3,14 * 50? / 6 \u003d 65416,67 սմ ծավալ: ? 0,654 մ.

Շրջանակի տարածքը հաշվարկելու խնդիրներ հաճախ հանդիպում են դպրոցական երկրաչափության դասընթացում: Բացահայտել քառակուսիշրջան, դուք պետք է իմանաք երկարությունը տրամագիծըկամ այն ​​շրջանագծի շառավիղը, որում այն ​​պարփակված է։

Ձեզ անհրաժեշտ կլինի

• շրջանագծի տրամագծի երկարությունն է։

Հրահանգ

1. Շրջանակը հարթության վրա գտնվող պատկեր է, որը բաղկացած է մի շարք կետերից, որոնք գտնվում են նույն հեռավորության վրա մեկ այլ կետից, որը կոչվում է կենտրոն: Շրջան - հարթ երկրաչափական պատկեր, շատ կետեր են, որոնք պարփակված են շրջանագծի մեջ, որը շրջանագծի սահմանն է: Տրամագիծը գծային հատված է, որը միացնում է շրջանագծի երկու կետերը և անցնում նրա կենտրոնով։ Շառավիղը գծային հատված է, որը շրջանագծի մի կետը միացնում է իր կենտրոնին: ? - «pi» թիվը, մաթեմատիկական հաստատուն, շարունակական արժեք: Այն ցույց է տալիս շրջանագծի շրջագծի և նրա երկարության հարաբերությունը: տրամագիծը. Հաշվիր ճշգրիտ արժեքթվեր? անհնարին. Երկրաչափության մեջ օգտագործվում է այս թվի մոտավոր արժեքը. ? 3.14

2. Շրջանակի մակերեսը հավասար է շառավիղի քառակուսու և թվի արտադրյալին և հաշվարկվում է S=?R^2 բանաձևով, որտեղ S է. քառակուսիշրջան, R - շրջանագծի շառավիղի երկարությունը:

3. Շառավիղի սահմանումից հետևում է, որ այն հավասար է կեսին տրամագիծը. Հետևաբար բանաձևը ստանում է ձև՝ S=?(D/2)^2, որտեղ D երկարությունն է։ տրամագիծըշրջանակներ. Փոխարինեք արժեքը բանաձևում տրամագիծը, հաշվարկել քառակուսիշրջան։

4. Շրջանակի մակերեսը չափվում է տարածքի միավորներով՝ մմ2, սմ2, մ2 և այլն։ Ինչ միավորներով է ստացված քառակուսիշրջան, կախված է այն միավորներից, որոնցում տրվել է շրջանագծի տրամագիծը:

5. Եթե ​​Ձեզ անհրաժեշտ է հաշվարկել քառակուսիօղակներ, օգտագործեք S=?(R-r)^2 բանաձևը, որտեղ R, r օղակի արտաքին և ներքին շրջանների շառավիղներն են համապատասխանաբար։

Օգտակար խորհուրդ
Պիու միջազգային օրն է, որը նշվում է մարտի 14-ին։ Ճշգրիտ ժամանակհաղթական ամսաթվի սկիզբը՝ 1 ժամ 59 րոպե 26 վայրկյան, ըստ թվանշանների՝ 3,1415926 ...

Առնչվող տեսանյութեր

Նշում!
Հետաքրքրաշարժ. մեկ այլ գնդակի տրամագծի երեք անգամ մեծ տրամագծով գնդակի ծավալը 9 անգամ մեծ է 3 նման գնդակների ընդհանուր ծավալից:

Օգտակար խորհուրդ
Երեխաների մոտ մաթեմատիկական հաշվարկների հանդեպ կիրք զարգացնելու համար որպես հաշվարկի օրինակ առաջարկեք շրջապատող առարկաներ՝ գնդիկ, ձմերուկ, տատիկի մանվածքի գնդիկ: Այն տեսողական է և, հետևաբար, հետաքրքրաշարժ:

Եթե ​​հայտնի է շառավղի (r) երկարությունը, ապա քառակուսիմակերեսներ ոլորտները(S) քառապատիկ կլինի քառակուսի շառավիղի և Pi (π) արտադրյալը՝ S=4∗π∗r²: Օրինակ՝ շառավղով երկարությամբ ոլորտներըերեք մետր քառակուսիկկազմի 4∗3.14∗3²=113.04 քառ.

Եթե ​​գիտեք (V) գնդով սահմանափակված տարածությունը, ապա նախ կարող եք գտնել դրա տրամագիծը (d), ապա օգտագործել առաջին քայլում տրված բանաձևը։ Քանի որ տրամագծի մեկ խորանարդ երկարության համար pi-ի վեցերորդ մասը ոլորտները(V=π∗d³/6), ապա տրամագիծը կարելի է տալ որպես վեց հատորների խորանարդ արմատ՝ բաժանված Pi-ով. d=³√(6∗V/π): Այս արժեքը փոխարինելով բանաձևով առաջին քայլից՝ մենք ստանում ենք՝ S=π∗(³√ (6∗V/π))²: Օրինակ, 500 խորանարդ մետրով հավասար գնդով սահմանափակված տարածության դեպքում դրա մակերեսի հաշվարկը կունենա հետևյալ տեսքը. քառակուսի մետր.

Այս բոլոր հաշվարկները մտքում կատարելը բավականին դժվար է, ուստի ստիպված կլինեք օգտագործել հաշվիչներից մեկը։ Օրինակ, դա կարող է լինել Google կամ Nigma որոնողական համակարգերում ներկառուցված հաշվիչ: Google-ը տարբերվում է ավելի լավ կողմԱյն փաստը, որ նա գիտի, թե ինչպես ինքնուրույն որոշել գործողությունների հերթականությունը, և Nigma-ն ձեզանից կպահանջի ուշադիր ուսումնասիրել բոլոր փակագծերը: Տարածքը հաշվարկելու համար ոլորտներըտվյալների համաձայն, օրինակ, երկրորդ քայլից Google-ում մուտքագրվող որոնման հարցումը կունենա հետևյալ տեսքը՝ «4*pi*3^2»։ Իսկ խորանարդի արմատը հաշվարկելու և երրորդ քայլից քառակուսի դարձնելու ամենադժվար դեպքի համար հարցումը կլինի՝ «pi*(6*500/pi)^(2/3)»։

Բոլոր մոլորակները Արեգակնային համակարգունենալ ձևը գնդակ. Բացի այդ, մարդու կողմից ստեղծված շատ առարկաներ, ներառյալ տեխնիկական սարքերի մանրամասները, ունեն գնդաձև կամ մոտ նման ձև: Գնդակը, ինչպես հեղափոխության ցանկացած մարմին, ունի առանցք, որը համընկնում է տրամագծի հետ: Սակայն սա միակը չէ կարևոր գույք գնդակ. Ստորև ներկայացված են այս երկրաչափական պատկերի հիմնական հատկությունները և դրա տարածքը գտնելու եղանակը:

Հրահանգ

Եթե ​​վերցնեք կամ շրջանագիծ և պտտեք այն իր առանցքի շուրջ, կստանաք մի մարմին, որը կոչվում է գնդակ: Այսինքն՝ գունդը գնդով սահմանափակված մարմին է։ Ոլորտը խեցի է գնդակև դրա շրջագիծը։ Սկսած գնդակայն տարբերվում է նրանով, որ խոռոչ է։ Առանցքի նման գնդակ, իսկ գունդը համընկնում է տրամագծին ու անցնում կենտրոնով։ Շառավիղ գնդակկոչվում է հատված իր կենտրոնից մինչև ցանկացած արտաքին կետ: Ի տարբերություն ոլորտի, հատվածներ գնդակշրջանակներ են։ Գնդաձևին մոտ ձևն ունի երկնային մարմինների մեծ մասը: Տարբեր կետերում գնդակկան նույնական ձևով, բայց չափերով անհավասար, այսպես կոչված, հատվածներ՝ տարբեր տարածքների շրջանակներ։

Գնդակը և գունդը փոխարինելի մարմիններ են, ի տարբերություն կոնի, չնայած որ դրանք նաև հեղափոխության մարմին են: Գնդաձև մակերեսները իրենց հատվածում միշտ շրջան են կազմում՝ անկախ նրանից, թե ինչպես է այն՝ հորիզոնական կամ ուղղահայաց։ Կոնաձեւ մակերեսը ստացվում է միայն եռանկյունը պտտելով իր առանցքի երկայնքով՝ հիմքին ուղղահայաց։ Հետեւաբար, կոնը, ի տարբերություն գնդակ, և չի համարվում հեղափոխության փոխարինելի մարմին։

Հնարավոր ամենամեծ շրջանակը ստացվում է կտրելով գնդականցնելով O կենտրոնով. O կենտրոնով անցնող բոլոր շրջանակները հատվում են միմյանց հետ նույն տրամագծով: Շառավիղը միշտ տրամագծի կեսն է: Երկու A և B կետերի միջոցով, որոնք գտնվում են մակերեսի ցանկացած կետում գնդակ, կարող է անցնել անսահման թվով շրջանակների կամ շրջանակների միջով: Այս պատճառով է, որ անսահմանափակ թվով միջօրեականներ կարող են գծվել Երկրի միջով:

Տարածքը գտնելիս գնդակհաշվի առնելով, առաջին հերթին, քառակուսիգնդաձեւ մակերես.Քառակուսի գնդակ, ավելի ճիշտ՝ իր մակերեսը կազմող գունդը կարելի է հաշվարկել նույն R շառավղով բազայի վրա։ քառակուսիշրջանագիծը կիսաշրջանի և շառավղի արտադրյալն է, այն կարելի է հաշվարկել հետևյալ կերպ. S = ?R^2Քանի որ կենտրոնով գնդականցեք չորս հիմնական մեծ շրջանակներ, ապա, համապատասխանաբար քառակուսի գնդակ(գնդիկներ) հավասար է՝ S = 4 ?R^2

Սա կարող է օգտակար լինել, եթե հայտնի է կամ տրամագիծը կամ շառավիղը: գնդակկամ ոլորտներ։ Այնուամենայնիվ, այս պարամետրերը չեն տրվում որպես պայմաններ բոլոր երկրաչափական խնդիրներում: Կան նաև խնդիրներ, որոնց դեպքում գնդակը մակագրված է գլանով: Այս դեպքում պետք է օգտագործել Արքիմեդի թեորեմը, որի էությունն այն է քառակուսիմակերեսներ գնդակմեկուկես անգամ պակաս, քան մխոցի ամբողջ մակերեսը. S \u003d 2/3 S գլան, որտեղ S գլան. - քառակուսիմխոցի ամբողջ մակերեսը:

Առնչվող տեսանյութեր

Իմանալով միայն երկարությունը տրամագիծըշրջանակներ, դուք կարող եք հաշվարկել ոչ միայն քառակուսիշրջան, այլ նաև որոշ այլ երկրաչափական ձևերի տարածք: Սա բխում է այն փաստից, որ նման պատկերների շուրջ մակագրված կամ նկարագրված շրջանակների տրամագծերը համընկնում են դրանց կողմերի կամ անկյունագծերի երկարությունների հետ։

Հրահանգ

Եթե ​​Ձեզ անհրաժեշտ է գտնել քառակուսի(S) ըստ դրա հայտնի երկարության տրամագիծը(D), բազմապատկեք pi (π) թիվը երկարությամբ տրամագիծը, և ստացվածը բաժանեք չորսի` S=π ² * D² / 4: Օրինակ,

Մենք այստեղ տալիս ենք գնդաձև մակերևույթի տարածքի բանաձևի շատ պարզ, թեև ոչ ամբողջովին խիստ ձևավորում. իր գաղափարով այն շատ մոտ է ինտեգրալ հաշվարկի մեթոդներին։ Այսպիսով, թող տրվի R շառավղով մի գնդիկ, որի մակերեսի վրա առանձնացնենք մի քանիսը փոքր տարածք(նկ. 412) և դիտարկենք բուրգ կամ կոն, որի գագաթը գտնվում է O գնդակի կենտրոնում՝ ունենալով այս տարածքը որպես հիմք; խստորեն, մենք միայն պայմանականորեն ենք խոսում կոնի կամ բուրգի մասին, քանի որ հիմքը հարթ չէ, այլ գնդաձև: Բայց գնդակի շառավղի համեմատ փոքր հիմքի դեպքում այն ​​շատ քիչ կտարբերվի հարթից (օրինակ՝ ոչ շատ մեծ հողամասանտեսեք այն փաստը, որ այն ընկած է ոչ թե հարթության վրա, այլ հարթության վրա):

Այնուհետև, այս հատվածի տարածքով նշելով «բուրգի» հիմքը, մենք գտնում ենք դրա ծավալը որպես բարձրության մեկ երրորդի արտադրյալ և հիմքի մակերեսը (շառավիղը. գնդակը ծառայում է որպես բարձրություն):

Եթե ​​մենք հիմա քայքայենք ոլորտի ողջ մակերեսը շատ մեծ թիվ N նման փոքր տարածքներ, այդպիսով, գնդակի ծավալը «բուրգերի» N ծավալների մեջ, որոնց հիմքում այս տարածքներն են, ապա ամբողջ ծավալը կներկայացվի գումարով.

որտեղ վերջին գումարը հավասար է գնդակի ամբողջ մակերեսին.

Այսպիսով, գնդիկի ծավալը հավասար է նրա շառավիղի և մակերեսի արտադրյալի մեկ երրորդին։ Այսպիսով, մակերեսի համար մենք ունենք բանաձև

Վերջին արդյունքը ձևակերպված է հետևյալ կերպ.

Գնդի մակերեսը հավասար է նրա մեծ շրջանի մակերեսին չորս անգամ։

Վերոնշյալ եզրակացությունը հարմար է նաև գնդակի հատվածի մակերեսի համար (նկատի ունենք միայն հիմքը, այսինքն՝ գնդաձև մակերեսը կամ «գլխարկները», տես Նկար 409): Եվ այս դեպքում հատվածի ծավալը հավասար է գնդակի շառավիղի և նրա գնդաձև հիմքի մակերեսի արտադրյալի մեկ երրորդին.

որտեղ մենք գտնում ենք գլխարկի տարածքի բանաձևը

Գնդաձեւ գոտին (տես նկ. 408) կոչվում է գնդաձեւ շերտի գնդաձեւ մակերես։ Գնդաձև գոտու մակերեսը հաշվարկելու համար մենք գտնում ենք երկու գնդաձև գլխարկների մակերևույթների տարբերությունը.

որտեղ է շերտի բարձրությունը: Այսպիսով, տվյալ գնդակի համար գնդաձև գոտու մակերեսը կախված է միայն համապատասխան շերտի բարձրությունից, բայց ոչ գնդակի վրա նրա դիրքից:

Առաջադրանք. Գնդակի շուրջը շրջափակված կոնի կողային մակերեսը ունի գնդակի մակերեսի մեկուկեսին հավասար մակերես: Գտե՛ք կոնի բարձրությունը, եթե գնդի շառավիղը .

Լուծում. Հարմարության համար մենք ներկայացնում ենք a անկյունը բարձրության և կոնի գեներատորի միջև (նկ. 413): Հիմքի բարձրության, շառավիղի և կոնի ծագման համար մենք գտնում ենք արտահայտությունները

Սահմանում.

Ոլորտ (գնդակի մակերեսը) եռաչափ տարածության բոլոր կետերի հավաքածուն է, որոնք նույն հեռավորության վրա են գտնվում մեկ կետից, որը կոչվում է ոլորտի կենտրոնը(ՄԱՍԻՆ).

Ոլորտը կարելի է բնութագրել այսպես ծավալային գործիչ, որը ձևավորվում է իր տրամագծի շուրջ շրջանը պտտելով 180 °–ով կամ կիսաշրջանը իր տրամագծի շուրջ 360 °–ով։

Սահմանում.

Գնդակեռաչափ տարածության բոլոր կետերի հավաքածուն է, որոնցից հեռավորությունը չի գերազանցում որոշակի հեռավորությունը մինչև մի կետ, որը կոչվում է. գնդակի կենտրոն(O) (գնդով սահմանափակված եռաչափ տարածության բոլոր կետերի հավաքածու):

Գնդակը կարելի է բնութագրել որպես եռաչափ պատկեր, որը ձևավորվում է իր տրամագծի շուրջ շրջանագիծը 180 ° կամ 360 ° տրամագծով կիսաշրջան պտտելով:

Սահմանում. Գնդի (գնդիկի) շառավիղ(R) գնդակի (գնդակի) կենտրոնից հեռավորությունն է Օդեպի ոլորտի ցանկացած կետ (գնդակի մակերես):

Սահմանում. Գնդի (գնդիկի) տրամագիծը(D) ոլորտի երկու կետերը (գնդիկի մակերեսը) միացնող և դրա կենտրոնով անցնող հատվածն է։

Բանաձև. Գնդակի ծավալը:

V =	4	π R 3 =	1	π D 3
	3		6

Բանաձև. Գնդի մակերեսըշառավղով կամ տրամագծով.

S = 4π R 2 = π D 2

Ոլորտի հավասարում

1. R շառավղով և կենտրոնով գնդի հավասարումը դեկարտյան կոորդինատային համակարգի սկզբնակետում:

x 2 + y 2 + z 2 = R 2

2. R շառավղով և կենտրոնով մի կետի հավասարումը կոորդինատներով (x 0 , y 0 , z 0) դեկարտյան կոորդինատային համակարգում:

(x - x 0) 2 + (y - y 0) 2 + (z - z 0) 2 = R 2

Սահմանում. տրամագծորեն հակառակ կետերըգնդակի (գնդիկի) մակերեսի ցանկացած երկու կետ են, որոնք միացված են տրամագծով:

Գնդի և գնդակի հիմնական հատկությունները

1. Ոլորտի բոլոր կետերը հավասարապես հեռու են կենտրոնից։

2. Գնդի ցանկացած հատված հարթության վրա շրջանագիծ է:

3. Գնդի ցանկացած հատված հարթության վրա շրջանագիծ է:

4. Ոլորտն ամենամեծ ծավալն ունի նույն մակերեսով բոլոր տարածական պատկերների մեջ։

5. Ցանկացած երկու տրամագծորեն հակառակ կետերի միջով կարող եք շատ մեծ շրջանակներ նկարել գնդիկի համար կամ շրջանակներ՝ գնդակի համար:

6. Ցանկացած երկու կետի միջով, բացառությամբ տրամագծորեն հակառակ կետերի, կարելի է գծել միայն մեկ մեծ շրջան՝ գնդիկի համար, կամ մեծ շրջան՝ գնդակի համար։

7. Մեկ գնդակի ցանկացած երկու մեծ շրջան հատվում են գնդակի կենտրոնով անցնող ուղիղ գծի երկայնքով, իսկ շրջանակները հատվում են երկու տրամագծորեն հակառակ կետերում:

8. Եթե ցանկացած երկու գնդակի կենտրոնների միջև հեռավորությունը փոքր է նրանց շառավիղների գումարից և մեծ է նրանց շառավիղների տարբերության մոդուլից, ապա այդպիսի գնդիկները. հատվում են, և հատման հարթությունում ձևավորվում է շրջան։

Ոլորտի հատվածը, ակորդը, սեկանտային հարթությունը և դրանց հատկությունները

Սահմանում. Ոլորտների հատվածըուղիղ գիծ է, որը հատում է գունդը երկու կետով։ հատման կետերը կոչվում են ծակող կետերմակերեսը կամ մուտքի և ելքի կետերը մակերեսի վրա.

Սահմանում. Գնդի ակորդ (գնդակ)Գնդի երկու կետերը (գնդիկի մակերեսը) միացնող հատված է։

Սահմանում. կտրող ինքնաթիռայն հարթությունն է, որը հատում է գունդը։

Սահմանում. Տրամագծային հարթություն- սա հատվածային հարթություն է, որն անցնում է գնդիկի կամ գնդակի կենտրոնով, համապատասխանաբար ձևավորվում է հատվածը մեծ շրջանԵվ մեծ շրջան. Մեծ շրջանագիծը և մեծ շրջանագիծը ունեն կենտրոն, որը համընկնում է ոլորտի (գնդակի) կենտրոնի հետ:

Գնդի (գնդիկի) կենտրոնով անցնող ցանկացած ակորդ տրամագիծ է։

Ակորդը հատվածային տողի հատված է։

Գնդի կենտրոնից մինչև սեկանտը d հեռավորությունը միշտ փոքր է ոլորտի շառավղից.

դ< R

Կտրող հարթության և ոլորտի կենտրոնի միջև m հեռավորությունը միշտ փոքր է R շառավղից.

մ< R

Գնդի վրա կտրող հարթության հատվածը միշտ կլինի փոքր շրջան, իսկ գնդակի վրա հատվածը կլինի փոքր շրջան. Փոքր շրջանն ու փոքր շրջանն ունեն իրենց կենտրոնները, որոնք չեն համընկնում ոլորտի (գնդակի) կենտրոնի հետ։ Նման շրջանագծի r շառավիղը կարելի է գտնել բանաձևով.

r \u003d √ R 2 - մ2,

Այնտեղ, որտեղ R-ը գնդիկի (գնդակի) շառավիղն է, m-ը գնդակի կենտրոնից մինչև կտրող հարթություն ընկած հեռավորությունն է:

Սահմանում. Կիսագունդ (կիսագունդ)- սա գնդիկի (գնդակի) կեսն է, որը ձևավորվում է տրամագծային հարթությամբ կտրելիս:

Շոշափող, ոլորտին շոշափող հարթություն և դրանց հատկությունները

Սահմանում. Գնդին շոշափողուղիղ գիծ է, որը դիպչում է ոլորտին միայն մեկ կետում:

Սահմանում. Գնդին շոշափող հարթությունհարթություն է, որը դիպչում է ոլորտին միայն մեկ կետում:

Շոշափող գիծը (հարթությունը) միշտ ուղղահայաց է շփման կետին գծված ոլորտի շառավղին.

Գնդի կենտրոնից մինչև շոշափող գիծը (հարթությունը) հեռավորությունը հավասար է ոլորտի շառավղին։

Սահմանում. գնդակի հատված- սա գնդակի այն հատվածն է, որը կտրող հարթությամբ կտրված է գնդակից: Հատվածի ողնաշարըզանգահարել այն շրջանակը, որը ձևավորվել է հատվածի տեղում: հատվածի բարձրությունը h-ը հատվածի հիմքի կեսից մինչև հատվածի մակերեսը գծված ուղղահայաց երկարությունն է:

Բանաձև. Գնդային հատվածի արտաքին մակերեսը h բարձրությամբ՝ ըստ գնդերի շառավղի՝ R.

S = 2π Rh

Ունենալով միայն մեկ բանաձև և ի սկզբանե իմանալով, թե որն է տրամագիծը կամ շառավիղը, կարող եք հեշտությամբ հաշվարկել գնդակի մակերեսը: Բանաձևը նման կլինի S=4πR2, որտեղ «pi» թիվը բազմապատկվում է 4-ով, այնուհետև գնդակի շառավղով մինչև քառակուսի ուժ։ Բայց նախքան ուղղակի հաշվարկները, դուք պետք է անմիջապես հասկանաք պայմանները:

Սա պետք է հայտնի լինի.

• Գնդակ- երկրաչափական օբյեկտ, որը առաջանում է կենտրոնի շուրջ պտտվող կիսաշրջանաձև շարժումներից: Գնդի մակերևույթի ցանկացած կետ գտնվում է կենտրոնից նույն հեռավորության վրա։
• Ոլորտ- նույնը չէ, ինչ գնդակը: Եթե ​​դա եռաչափ օբյեկտ է եւ ներառում է ներքին տարածություն, ապա գունդը միայն տվյալ օբյեկտի մակերեսն է և ունի միայն իր տարածքը։ Այսինքն՝ չի կարելի ասել, որ գունդն ունի այսքան ծավալ՝ ի տարբերություն գնդակի։
• Պի»հաստատուն թիվ է, որը հավասար է շրջանագծի շրջագծի և տրամագծի հարաբերությանը: Համառոտ ձևով այն սովորաբար նշվում է 3,14-ի հավասար թվով։ Բայց իրականում երեքից հետո հազարից ավելի թվանշան կա:
• Գնդի շառավիղը նրա տրամագծի ½-ն է։. Ճշգրիտ տրամագիծը կարելի է հաշվարկել՝ օգտագործելով մի քանի հարթ և հարթ առարկաներ: Պարզապես պետք է սեղմել գնդակը այս առարկաների միջև, որոնք սեղմում են գնդակը և գտնվում են միմյանց ուղղահայաց, այնուհետև չափեք ստացված տրամագիծը:
• Քառակուսի աստիճաննշվում է որպես երկու և նշանակում է, որ այս թիվը պետք է բազմապատկվի մեկ անգամ: Եթե ​​թվի հզորությունը լիներ եռակի ձևով, ապա անհրաժեշտ կլիներ ինքն իրենով կրկնապատկել։ Արտահայտությունը թղթի վրա գրելով՝ կարող ես հասկանալ, թե ինչու են օգտագործվում հենց երկու և երեք, և ոչ թե մեկ և երկու:
• Ծավալը- արժեք, որը ցույց է տալիս օբյեկտը զբաղեցնող տարածության չափը: Գնդի ծավալը կախված է տրամագծից։ Բանաձևը հավասար կլինի չորս երրորդի՝ բազմապատկելով «pi» թվով և կրկին բազմապատկելով դրա շառավղով խորանարդով:
• Քառակուսի- արժեք, որը ցույց է տալիս օբյեկտի մակերեսի չափը, բայց ոչ ներքին տարածությունը:

Հետաքրքիր փաստեր

Սա հետաքրքիր է.

1. Pi-ն ունի իր երկրպագուների ակումբներն ամբողջ աշխարհում: Հասարակության անդամները փորձում են հիշել որքան հնարավոր է շատ կերպարներ այս թվից, ինչպես նաև փորձում են բացահայտել թվի մեջ թաքնված համընդհանուր գաղտնիքները։
2. Երկրի ցամաքային մակերեսը կազմում է նրա ընդհանուր մակերեսի ընդամենը 29,2%-ը։ Տարածքի ճշգրիտ թիվը դժվար է նշել Երկրի անհավասար տեղագրության պատճառով, ինչպիսիք են իջվածքները և լեռները:
3. Ոլորտի մակերեսի բանաձևի իմացությունը կարող է կիրառվել առօրյա կյանքում։ Բացի այդ, այս գիտելիքը կարող է ճնշել հակառակորդին վեճի մեջ:

Ցույց տալով երկրաչափության ոլորտում ձեր գիտելիքների չափը, դուք կարող եք սկզբում հարգել ձեզ, և կարող եք հասկացնել վերանորոգողներին և վաճառողներին, որ ձեզ պարզապես չեն կարող խաբել:

Բանաձևի կիրառում

Եկեք նայենք մի օրինակ, ինչպես հաշվարկել կլոր գնդիկի մակերեսը, որի տրամագիծը 50 սմ է։Հետևելով բանաձևին՝ պետք է 50-ը բաժանել երկուսի (շառավիղը ստանալու համար), ստացված թիվը քառակուսի դնել և ամբողջը բազմապատկել նախ 4-ով, ապա՝ 3,14-ով։ Արդյունքում ստանում ենք 7850 քառակուսի սանտիմետր թիվ։

Տարածքի բանաձևըկիրառվում է ոչ միայն դպրոցի ուսուցիչների և լաբորատորիայի հետազոտողների շրջանում: Այս բանաձեւը կարող է օգտակար լինել սովորական նկարչին։ Ի վերջո, եթե գնդակը մեծ է, իսկ ներկը փոքր է, ապա հարց է առաջանում՝ արդյոք այս խառնուրդը կբավարարի նրան ամբողջ առարկան նկարելու համար: Եվ սա հեռու է միակ ամենօրյա դեպքից, երբ բանաձևը կարող է օգտակար լինել:

Ծավալի բանաձեւկարող է օգտակար լինել և շինարարական թիմորը վերանորոգում է. Կարեւոր չէ, թե դա ինչ օբյեկտ է։ արդյունաբերական շենք, փոքր տունկամ սովորական բնակարան. Ահա թե ինչն է առանձնացնում մասնագետներին՝ նրանք գիտեն, թե ինչպես կիրառել իրենց գիտելիքները գործնականում:

Բայց ինչպես լինել եթե հնարավոր չէ չափել օբյեկտը.Նման հարց կարող է առաջանալ օբյեկտի հսկայական չափերի կամ դրա անհասանելիության դեպքում։ Այս դեպքում կարող են օգնել էլեկտրոնային տեխնոլոգիաները՝ հիմնված տարածության սկանավորման վրա որոշակի հաճախականություններով և լազերներով։ ՀԵՏ ժամանակակից տեխնոլոգիաներՊարտադիր չէ բոլոր բանաձեւերն անգիր իմանալ։ Բավական է ունենալ ինտերնետ կապ և գնալ ցանկացած առցանց հաշվիչի։

Ընդհանրապես ընդունված է, որ առաջինը, ով գտել և եզրակացրել է գնդակի ծավալի և մակերեսի բանաձևը. , էր Արքիմեդ. Սա հին հույն մեծագույն գիտնականն է, ով ապրել է մեր դարաշրջանից 300 տարի առաջ: Նա ոչ միայն մաթեմատիկոս էր, այլեւ ֆիզիկոս ու ինժեներ։ Նա առաջին մարդկանցից է, ով փորձել է «թվայնացնել» մեզ շրջապատող աշխարհը։ Նրա թեորեմներն ու գրվածքները օգտագործվում են մինչ օրս։

Արքիմեդն էր, ով սահմանեց «pi» թվի սահմանները.և պիտակավորել դրանք՝ չունենալով ժամանակակից գաջեթներ: Ինքը՝ Արքիմեդը, շատ հպարտ էր գտնված բանաձեւով, որի օգնությամբ հաշվարկվում է գնդակի ծավալը։ Նրա հետնորդները, ի պատիվ դրա, նրա գերեզմանաքարի վրա պատկերել են գլան և գնդակ:

Եթե ​​նա ինչ-որ հրաշքով վերածնվեր մեր ժամանակներում, ապա նա անմիջապես կկարողանար վերափոխել այս աշխարհը և բերել այն նոր մակարդակ.

Տեսանյութ

Օգտագործելով այս տեսանյութը որպես օրինակ՝ ձեզ համար հեշտ կլինի հասկանալ, թե ինչպես գտնել գնդակի մակերեսը: