• Ինտերիեր
• Պատուհան
• Պատեր
• Նախագծեր
• Շենքերը

Դաս «Լոգարիթմական անհավասարություններ. Բաց դաս լոգարիթմական անհավասարությունների լուծմամբ

Դիտարկենք լոգարիթմական ֆունկցիայի գրաֆիկը և ուղիղ համեմատականության գրաֆիկը

Նկատի ունեցեք, որ ֆունկցիան մեծանում է սահմանման տիրույթում առանց գրաֆիկի, դա կարող է որոշվել լոգարիթմի հիմքով: Այնտեղ, որտեղ x>0, եթե լոգարիթմի հիմքը զրոյից մեծ է, բայց մեկից փոքր է, ապա ֆունկցիան նվազում է, եթե լոգարիթմի հիմքը մեկից մեծ է, ապա ֆունկցիան մեծանում է.

Կարևոր է նշել, որ լոգարիթմական ֆունկցիան ընդունում է դրական արժեքներՄեկից մեծ թվերի բազմության վրա մենք գրում ենք այս հայտարարությունը` օգտագործելով նշաններ զ(x)ժամըx

Ուղղակի համաչափություն y=xայս դեպքում, մեկից մինչև գումարած անսահմանության միջակայքում, այն նաև դրական արժեքներ է վերցնում մեկից մեծ: Սա պատահականությո՞ւն է, թե՞ օրինաչափություն։ Առաջին բաները:

Ձևի անհավասարությունները կոչվում են լոգարիթմական, որտեղ a-ն դրական թիվ է, որը տարբերվում է 1-ից և >0,)>0-ից:

Փոխակերպենք անհավասարությունը ձևի։ Անհավասարության մի մասից մյուսը տերմիններ փոխանցելիս տերմինի նշանը փոխվում է հակառակի։ Ըստ լոգարիթմի հատկության՝ նույն հիմքով լոգարիթմների տարբերությունը կարող է փոխարինվել գործակիցի լոգարիթմով, ուստի մեր անհավասարությունը կձևավորվի։

Նշենք արտահայտությունը տ, Հետոանհավասարությունը կձևավորվի

Դիտարկենք այս անհավասարությունը հիմքի նկատմամբ Ա,մեկից մեծ, իսկ a հիմքի համեմատ՝ զրոյից մեծ և մեկից փոքր։

Եթե ​​լոգարիթմի հիմքը Ա,մեկից մեծ է, ապա ֆունկցիան մեծանում է սահմանման տիրույթում և դրական արժեքներ է ընդունում, երբ t-ը մեկից մեծ է: Եկեք վերադառնանք հակառակ փոխարինմանը: Սա նշանակում է, որ կոտորակը պետք է մեկից մեծ լինի: Սա նշանակում է, որ f(x)>g(x):

Եթե ​​լոգարիթմի հիմքը զրոյից մեծ է և մեկից փոքր, ապա ֆունկցիան նվազում է սահմանման տիրույթում և ընդունում է դրական արժեքներ, երբ t-ը զրոյից մեծ է և մեկից փոքր: Հակադարձ փոխարինման դեպքում անհավասարությունը համարժեք է անհավասարության, և այն գործում է f(x)

Եզրակացնենք.

Եթե)>0 իսկ a>1-ի համար լոգարիթմական անհավասարությունը

համարժեք է նույն նշանակության անհավասարությանը)>),

և 0-ում

Համարժեք է հակառակ իմաստով անհավասարությանը)<)

Դիտարկենք լոգարիթմական անհավասարությունների լուծման օրինակներ։

Լուծել անհավասարությունը.

Անհավասարություններ >0 և մակերես ընդունելի արժեքներփոփոխական տվյալ լոգարիթմական անհավասարության համար: Լոգարիթմի հիմքը հինգն է և այն մեկից մեծ է, ինչը նշանակում է, որ սկզբնական անհավասարությունը համարժեք է անհավասարության: Եկեք լուծենք ստացված անհավասարությունների համակարգը՝ մեկուսացնելով դրա համար փոփոխականը: Առաջին անհավասարության մեջ չորսը տեղափոխում ենք անհավասարության աջ կողմ՝ մինուս նշանը փոխելով գումարածի։ Մենք կստանանք այն:

Երկրորդ անհավասարության մեջ մեկը տեղափոխում ենք աջ կողմ և գրում մինուս մեկ։ Ստանում ենք անհավասարությունը Երրորդ անհավասարության մեջ մինուս չորսը տեղափոխում ենք աջ կողմ, գրում ենք որպես գումարած չորս և Xտեղափոխեք այն ձախ կողմ և գրեք մինուս x: Մենք ստանում ենք անհավասարություն. Այն կարող է պարունակել նմանատիպ տերմիններ անհավասարության ձախ և աջ կողմերում: Մենք ստանում ենք անհավասարություն. Առաջին անհավասարության մեջ անհավասարության ձախ և աջ կողմերը բաժանում ենք 2-ի։ Ստանում ենք անհավասարությունը։ Լուծման ընթացքում ստացված համակարգը նման դեպքերում ունի մեկ ուղղության նշան, ակնհայտ է, որ այս համակարգը բավարարվում է հինգից մեծ թվերով. Հեշտ է նկատել, որ հինգը նույնպես բավարարում է անհավասարությունների համակարգին։ Հակառակ դեպքում, դուք կարող եք կառուցել այս համակարգի երկրաչափական մոդելը և տեսնել լուծումը:

Կոորդինատային տողի վրա նշենք մինուս մեկ, երկու և հինգ թվերը։ Ընդ որում, -1 և 2 թվերը կհամապատասխանեն բաց կետի, իսկ հինգ թիվը՝ մուգ կետի։ Առաջին անհավասարության համար 2-ից աջ, երկրորդ անհավասարության համար 1-ից աջ, երրորդ անհավասարության համար հինգից աջ գծենք «ստվերում»: Լյուկների խաչմերուկը ցույց է տալիս հինգից մեծ և հավասար թվերի հավաքածու։ Պատասխանը գրենք արտահայտության տեսքով

Օրինակ 2. Լուծել անհավասարությունը

Ստեղծենք անհավասարությունների համակարգ։ >0 և >0 անհավասարությունները սահմանում են անհավասարության ընդունելի արժեքների միջակայքը: Լոգարիթմի հիմքը 0,3 է, այն մեծ է զրոյից, բայց փոքր է մեկից, ինչը նշանակում է, որ լոգարիթմական անհավասարությունը համարժեք է հակառակ նշանով անհավասարությանը.

Ստացված համակարգը դժվար է զուգահեռաբար լուծել անհավասարությունները: Եկեք լուծենք դրանցից յուրաքանչյուրը առանձին և դիտարկենք ընդհանուր լուծումը՝ օգտագործելով երկրաչափական մոդելը։

Անհավասարությունը քառակուսային է և այն կարող է լուծվել՝ օգտագործելով քառակուսի ֆունկցիայի հատկությունները, որի գրաֆիկը պարաբոլա է՝ վերև ճյուղերով։ Դա անելու համար գտնենք այս ֆունկցիայի զրոները, նրա աջ կողմը հավասարեցնում ենք զրոյի և ստացված հավասարումը լուծում ենք ֆակտորիզացիայի միջոցով։ Դա անելու համար փակագծերից հանենք x ընդհանուր գործակիցը, այն, ինչ կմնա փակագծերում, վեցն է առաջին անդամից, իսկ հանած x երկրորդ անդամից: Արտադրյալը հավասար է զրոյի, երբ գործոններից մեկը հավասար է զրոյի, իսկ մյուսը չի կորցնում իր նշանակությունը։ Այսպիսով, x-ի առաջին գործակիցը հավասար է զրոյի կամ վեց հանած x-ի երկրորդ գործակիցը հավասար է զրոյի: Այնուհետև հավասարման արմատները զրո և վեց են: Եկեք դրանք նշենք կոորդինատային գծի վրա որպես լուսային կետեր, քանի որ լուծվող քառակուսի անհավասարությունը խիստ է, և գծենք պարաբոլա՝ այս կետերով անցնող ներքև ճյուղերով։ Քառակուսային ֆունկցիադրական արժեքներ է ընդունում զրոյից մինչև վեց միջակայքում, ինչը նշանակում է, որ անհավասարության լուծումը թվերի հավաքածու է x

Անհավասարությունը գծային է։ Հարմարության համար այն պարունակում է բացասական տերմիններ, մենք անհավասարության երկու կողմերը բազմապատկում ենք մինուս մեկով: Այս դեպքում անհավասարության նշանը կփոխվի հակառակը։ Մենք ստանում ենք անհավասարություն.

Տեղափոխենք ութը անհավասարության աջ կողմ և այն գրենք մինուս ութ: Այսպիսով, անհավասարության լուծումը մինուս անսահմանությունից մինչև մինուս ութ թվերի բազմությունն է։ Անհավասարության լուծումը գրենք արտահայտության տեսքով x.

Անհավասարությունը կրճատվում է դեպի քառակուսի անհավասարություն, որպեսզի դա անենք, մենք տեղափոխում ենք մինուս ութ և մինուս x անհավասարության ձախ կողմը: Ստացնենք անհավասարություն և տանք համանման 6x և x Ստանում ենք 7x, հավասարումը կընդունի ձևը: Այն լուծվում է՝ օգտագործելով քառակուսի ֆունկցիայի հատկությունները, որի գրաֆիկը պարաբոլա է՝ ներքև ճյուղերով։ Գտնենք ֆունկցիայի զրոները.0 =0-ում և լուծենք արդյունքը քառակուսի հավասարումտարբերակիչ բանաձեւի միջոցով Քանի որ գործակիցը բհավասար է մինուս յոթի, գործակից Ահավասար է մինուս մեկ, և Հետհավասար է 8-ի, ապա հավասարման դիսկրիմինանտը հավասար է 81-ի: Բանաձևով գտնենք առաջին արմատը, այն հավասար է -1-ի, երկրորդ արմատը հավասար է 8-ի:

Ստացված արժեքները կոորդինատային գծի վրա նշենք մուգ կետերով, ուստի դիտարկվող քառակուսի անհավասարությունը վերաբերում է ոչ խիստ անհավասարություններին։ Եկեք կոորդինատային գծի վրա գծենք պարաբոլա, որի ճյուղերը դեպի ներքև են: Քառակուսի ֆունկցիան ավելի փոքր և զրոյի արժեքներ է վերցնում թվերի բազմության վրա՝ մինուս անվերջությունից մինչև ներառելը և 8-ից մինչև գումարած անսահմանությունը, ներառյալ 8-ը: Այս անհավասարության լուծումը գրում ենք որպես արտահայտություն]

Այսպիսով, բոլոր երեք անհավասարությունները լուծված են նույն կոորդինատային գծի վրա: Չկան փոփոխականի արժեքներ, որոնք կբավարարեն բոլոր երեք անհավասարությունները միաժամանակ, ինչը նշանակում է, որ սկզբնական լոգարիթմական անհավասարությունը լուծումներ չունի: Պատասխան՝ լուծումներ չկան։

Այս փաստը կարելի էր նկատել գծային անհավասարությունը լուծելուց հետո, քանի որ առաջին քառակուսային անհավասարության լուծումը մեկից վեց դրական թվերն են, իսկ երկրորդ անհավասարության լուծումը՝ բացասական թվերը, ապա այս երկու անհավասարությունների համար այլևս չկա։ ընդհանուր լուծումներԵվ

սկզբնական լոգարիթմական անհավասարությունը լուծումներ չունի:

Լոգարիթմներն ունեն հետաքրքիր հատկություններ, պարզեցնելով հաշվարկներն ու արտահայտությունները՝ հիշենք դրանցից մի քանիսը

1. Երկուսի արտադրյալի լոգարիթմ դրական թվեր գումարին հավասարայս թվերի լոգարիթմները:
2. Ցանկացած թիվ կարող է ներկայացվել որպես լոգարիթմ: Օրինակ, 2-ը կարող է գրվել որպես չորսի լոգարիթմ երկու հիմքի վրա կամ 25-ի լոգարիթմը 5-ի հիմքի վրա, մինուս մեկը կարող է գրվել որպես 0,2-ի լոգարիթմ հինգի հիմքի վրա կամ տասնորդական լոգարիթմը 0,1:

Օրինակ 3. Լուծել անհավասարությունը.

Անհավասարությունը պետք է վերածվի ձևի:

Դա անելու համար մենք գրում ենք միավորը որպես 2-ի լոգարիթմ երկու հիմքի վրա: Իսկ անհավասարության ձախ կողմում լոգարիթմների գումարն ըստ հատկության փոխարինում ենք դրան նույնական հավասար արտահայտությամբ՝ արտադրյալի լոգարիթմով։ Մենք ստանում ենք ձևի անհավասարություն

Ստեղծենք անհավասարությունների համակարգ։ Անհավասարությունները, որոնք սահմանում են անհավասարության ընդունելի արժեքների միջակայքը, որոշվում են սկզբնական անհավասարությամբ, հետևաբար >0 և >0 կլինեն համակարգի առաջին երկու անհավասարությունները: Քանի որ լոգարիթմն ունի 2 հիմք, այն մեկից մեծ է, ապա անհավասարությունը
Համարժեք է (x-3)(x-2)2 անհավասարությանը:

Առաջին անհավասարության մեջ մինուս երեքը շարժվում ենք դեպի աջ կողմ, ստանում ենք x>3 անհավասարություն, երկրորդում մինուս երկու շարժվում ենք դեպի աջ կողմ, ստանում ենք անհավասարություն x>2։

Երրորդում բացում ենք անհավասարության ձախ կողմի փակագծերը՝ բազմապատկելով առաջին բազմանդամի յուրաքանչյուր անդամ երկրորդ բազմանդամի յուրաքանչյուր անդամով։ Մենք ստանում ենք անհավասարություն.

Երրորդ անհավասարությունը լուծենք առանձին՝ երկուսը տեղափոխեք անհավասարության ձախ կողմ և գրեք մինուսով։

Եկեք պարզեցնենք արդյունքում առաջացած բարոյականությունը մի ձևի: Այս հավասարման գործակիցների գումարը հավասար է զրոյի, այնուհետև, ըստ գործակիցների հատկությունների, առաջին արմատը հավասար է մեկի, իսկ երկրորդը հավասար է ից-ի գործակցին. Աև այս դեպքում հավասար է 4-ի: Այս հավասարումները կարող են լուծվել նաև տարբերակիչ բանաձևի միջոցով, արմատները կախված չեն լուծման մեթոդից.

Եկեք կոորդինատային գծի վրա նշենք այս արմատները մուգ կետերի տեսքով և դրանց միջով պարաբոլա գծենք՝ ճյուղերը վերև։ Անհավասարություն

կատարվում է 1-ից 4 թվերի հավաքածուի վրա՝ ներառյալ 1-ը և 4-ը:

Մի կոորդինատային գծի վրա նշենք առաջին և երկրորդ անհավասարությունների լուծումը, առաջին անհավասարության համար երեքից աջ և երկրորդ անհավասարության համար երկուսի աջ, իսկ 1-ից՝ բացվածք. 4-ին երկրորդ անհավասարության համար: Երեք անհավասարություններ միաժամանակ բավարարվում են միայն 3-ից 4 թվերի բազմության վրա, ներառյալ 4-ը: Սա նշանակում է, որ սա կլինի սկզբնական լոգարիթմական անհավասարության լուծումը:

Եզրակացություն. Լոգարիթմական անհավասարություններ լուծելիս

Եթե ​​a>1, ապա մենք անցնում ենք անհավասարությունների համակարգի լուծմանը, որը սահմանում է անհավասարության թույլատրելի արժեքների միջակայքը և նույն նշանի ենթալոգարիթմական արտահայտությունների անհավասարությունները:

Եթե ​​0

MBOU Ստարոգորոդկովսկայայի միջնակարգ դպրոց

Դասի պլան թեմայի շուրջ.

Լոգարիթմական անհավասարություններ

Էրաշկովա Նատալյա Ալեքսանդրովնա, մաթեմատիկայի ուսուցիչ ՄԲՈՒ Ստարոգորոդկովսկայայի միջնակարգ դպրոց

2015 թ

ԲՈՎԱՆԴԱԿՈՒԹՅՈՒՆ

1. Ներածություն էջ 3-5

2. Հիմնական մաս էջ 6-20

3. Եզրակացություն էջ 21-22

4. Դիմումներ էջ 23-24

5. Հղումներ էջ 25

ՆԵՐԱԾՈՒԹՅՈՒՆ

Մաթեմատիկայի դասերին մտավոր ծանրաբեռնվածության ավելացումը ստիպում է մեզ մտածել, թե ինչպես պահպանել ուսանողների հետաքրքրությունը ուսումնասիրվող նյութի և նրանց գործունեության նկատմամբ ամբողջ դասի ընթացքում: Այս առումով, որոնում են նոր արդյունավետ դասավանդման մեթոդներ և մեթոդական մեթոդներ, որոնք կակտիվացնեն դպրոցականների մտքերը և կխթանեն նրանց ինքնուրույն գիտելիքներ ձեռք բերելու համար:

Զգալի թվով դպրոցականների շրջանում մաթեմատիկայի նկատմամբ հետաքրքրության առաջացումը մեծապես կախված է դրա ուսուցման մեթոդաբանությունից, նրանից, թե որքան հմտորեն է կառուցված ուսումնական աշխատանքը։ Անմիջապես դպրոցականների ուշադրությունը հրավիրելով այն փաստի վրա, որ մաթեմատիկան ուսումնասիրում է շրջակա աշխարհի առարկաների և երևույթների ընդհանուր հատկությունները և գործ ունի ոչ թե առարկաների, այլ վերացական վերացական հասկացությունների հետ, կարելի է հասկանալ, որ մաթեմատիկան չի խզում կապը։ իրականությունը, բայց, ընդհակառակը, հնարավորություն է տալիս ուսումնասիրել այն ավելի խորը, կատարել ընդհանրացված տեսական եզրակացություններ, որոնք լայնորեն կիրառվում են գործնականում։

Լոգարիթմը հունարեն բառ է, որը բաղկացած է 2 բառից՝ «լոգոս»՝ հարաբերակցություն, «արիթմոս»՝ թիվ։ Սա նշանակում է, որ լոգարիթմը այն թիվն է, որը չափում է հարաբերակցությունը:

Այս տերմինը ներմուծել է 1594 թվականին շոտլանդացի մաթեմատիկոս Ջոն Նապիերը, ով մասնագիտությամբ մաթեմատիկոս չէր, ուներ կալվածք, զբաղվում էր գյուղատնտեսությամբ և գործիքներ հորինելով։

Այս անվան ընտրությունը բացատրվում է նրանով, որ, իրոք, լոգարիթմներն առաջացել են 2 թվերի համեմատությամբ, որոնցից մեկը թվաբանական պրոգրեսիայի անդամ է, իսկ երկրորդը՝ երկրաչափական պրոգրեսիայի։

Լոգարիթմների ներդրումը հնարավորություն տվեց արագ կատարել բարդ հաշվարկներ։ Ստեղծվել են լոգարիթմների առաջին աղյուսակները։ Սկզբում դրանք 14 նիշանոց էին, աստիճանաբար կատարելագործվեցին, այժմ կան լոգարիթմների 6 նիշանոց աղյուսակներ։

Հարկավոր էր պարզեցնել հաշվարկները։ Ինչպես գիտեք, գործողության երեք փուլ կա.

1. գումարում և հանում.

2.բազմապատկում և բաժանում.

3. էքսպոենտացիա.

Այսպիսով, լոգարիթմները հնարավորություն տվեցին երրորդ փուլի բարդ գործողություններից անցնել երկրորդ, իսկ հետո առաջին փուլի գործողություններին: Նրանք. հզորացումից՝ բազմապատկում, բազմապատկումից՝ գումարում, բաժանումից՝ հանում։ Այսպիսով, լոգարիթմները չափազանց հեշտացնում են հաշվարկները: Նրանք հնարավորություն են տալիս անմիջապես գտնել ցանկացած թվով գործոնների արտադրյալը, այն բարձրացնել ցանկացած հզորության և արմատներ հանել ցանկացած ցուցիչով:

«Լոգարիթմներ» թեման ավանդական է ավագ դպրոցի հանրահաշվի և վաղ վերլուծության դասընթացներում, սակայն շատ դժվար է ուսանողների համար՝ նյութի բարդության և ներկայացման կենտրոնացվածության պատճառով: Համաձայն գործող ավագ դպրոցի մաթեմատիկայի ծրագրերի՝ էքսպոնենցիալ և լոգարիթմական ֆունկցիաների ուսումնասիրությունը նախատեսվում է հանրահաշվի դասընթացի վերջում և 11-րդ դասարանի վերլուծության սկզբում, ուստի շատ քիչ ժամանակ է հատկացվում այս նյութի ուսումնասիրությանը:

Մաթեմատիկայի միասնական պետական ​​քննության ժամանակ կան 6-ից 7 առաջադրանքներ լոգարիթմների և դրանց հատկությունների օգտագործման վերաբերյալ: Համապատասխանաբար, լոգարիթմական ֆունկցիայի մասին ուսանողների իմացությունը շատ ավելի ցածր է, քան գծային, քառակուսի և այլ ֆունկցիաների հատկությունների իմացությունը, որը նրանք ուսումնասիրում են մի քանի տարի, հետևաբար, ուսանողների գիտելիքները այս ֆունկցիաների հատկությունների վերաբերյալ պաշտոնական են, և բոլորը: սա դրսևորվում է համապատասխան հավասարումների, անհավասարությունների և հավասարումների համակարգերի լուծման ժամանակ։ Ուսանողները, ովքեր ցանկանում են իրենց ուսումը շարունակել բուհերում և քոլեջներում, պետք է ունենան այս թեմայի ամբողջական և խորը գիտելիքներ:

Այս առումով անհրաժեշտություն առաջացավ գրելու այս աշխատանքը։ Որի նպատակն էր մշակել լոգարիթմական անհավասարությունների ուսումնասիրության մեթոդաբանություն։

Փորձեք կարճ ժամանակահատվածում երեխաներին սովորեցնել քննադատաբար մտածել և մտածել շրջապատող աշխարհի մասին (դասագրքի տեքստի քննադատական ​​վերլուծությունից, խնդրի լուծումից մինչև քննարկվող ցանկացած հարցի վերաբերյալ սեփական կարծիքի ձևավորում): Ոչ միայն նոր նյութ տալ՝ «պարտադրելով» այն ուսանողներին, այլ տրամադրել անհրաժեշտ մոտիվացիա՝ օգտագործելով խնդրահարույց իրավիճակները, ներառելով ուսանողների կյանքի փորձը և պատմական տեղեկատվություն:

ԼՈԳԱՐԻԹՄԱԿԱՆ ԱՆՀԱՎԱՍԱՐՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԻ ԼՈՒԾՄԱՆ ՄԵԹՈԴ

Լոգարիթմի նշանի տակ փոփոխական պարունակող անհավասարությունները կոչվում են լոգարիթմական:

Օրինակ:

Լոգարիթմական անհավասարությունները լուծելիս պետք է հիշել.

1) անհավասարությունների ընդհանուր հատկությունները.

2) լոգարիթմական ֆունկցիայի միապաղաղության հատկությունը.

3) լոգարիթմական ֆունկցիայի սահմանման տիրույթը.

Լոգարիթմական անհավասարությունների լուծման հիմնական մեթոդները

Լոգարիթմական անհավասարությունների լուծման մեթոդներ.

Օրինակ 1. Լուծել անհավասարությունը < 1.

Լուծում. Թող = . Հաջորդիվ լուծում ենք անհավասարությունը < 1.

Մենք ստանում ենք.

( – 1)( + 1) < 0 -1< < 1.

Մնում է լուծել կրկնակի անհավասարությունը.

— 1 < < 1 < 2 > x > 0,5.

Պատասխան. .

Օրինակ 2. Լուծե՛ք անհավասարությունը > 2 x.

Լուծում. Եկեք վերագրենք անհավասարությունը հետևյալ կերպ.

> > 8 8 .

Թող , ստանում ենք.

Մնում է լուծել անհավասարությունը 9.

Պատասխան. (2; +∞).

Օրինակ 3. Լուծել անհավասարություն 2 ≥ 1.

Լուծում. Եկեք վերագրենք անհավասարությունը հետևյալ կերպ.

— ≥ 1 — ≥ 1.

Թողա = , Հետո

– ա ≥ 1 ≥ 0 ≥ 0 ≤ 0.

Մնում է լուծել անհավասարությունների բազմությունը.

Պատասխանել : ; .

Օրինակ 4. Լուծե՛ք անհավասարությունը

Լուծում. Հաջորդաբար օգտագործենք հետևյալ պնդումները.

Կրկնակի անհավասարությունը համարժեք է համակարգին.

Պատասխան. (7; + ∞).

Օրինակ 5. Լուծե՛ք անհավասարությունը

Լուծում. Դիտարկենք դեպքերը.

2

Բայց երբx անհավասարություն35 – x սխալ. Լուծումներ չկան։

Պատասխանել : (2; 3).

Բազմապատկիչի փոխարինման մեթոդ

Էքսպոնենցիալ և լոգարիթմական անհավասարություններ լուծելիս կարելի է կիրառել նաև գործակիցների փոխարինման մեթոդը։

Հայտարարություն 1. Տարբերության նշան ( ա – 1) ( զ ( x ) – է ( x )) ժամը x ՕՁ.

Կամ գծապատկերների տեսքով.

(1)

Հայտարարություն 2. Տարբերության նշան համընկնում է ապրանքի նշանի հետ( հ ( x ) – 1)( զ ( x ) – է ( x )) ժամըx ՕՁ.

(2)

Օրինակ 1. Լուծե՛ք անհավասարությունը

Լուծում Օգտագործենք հայտարարությունը (1): Մենք ստանում ենք տարբերության նշանը

համընկնում է տարբերության նշանի հետ(3 պայմանով, որx ՕՁ. Հետևաբար, այս անհավասարությունը համարժեք է համակարգին.

Պատասխանել : ; .

Դասի թեման՝ Լոգարիթմական անհավասարություններ։

Դասի նպատակը.

1. Լոգարիթմների և լոգարիթմական ֆունկցիաների հատկությունները համակարգելու և ընդհանրացնելու կարողության զարգացում. կիրառել դրանք լոգարիթմական անհավասարություններ լուծելիս. կարողանալ դիմել տարբեր մեթոդներլոգարիթմական անհավասարությունների լուծումներ:

2. Գիտակից ընկալման զարգացում ուսումնական նյութ, տեսողական հիշողության զարգացում, սովորողների մաթեմատիկական խոսքի զարգացում, ինքնուսուցման, ինքնակազմակերպման և ինքնագնահատականի հմտությունների ձևավորում։ Նպաստել զարգացմանը ստեղծագործական գործունեությունուսանողները։

3. Խթանել ճանաչողական գործունեությունը, աշակերտների մեջ սերմանել առարկայի նկատմամբ սեր և հարգանք, սովորեցնել նրանց մեջ տեսնել ոչ միայն խստություն և բարդություն, այլև տրամաբանություն, պարզություն և գեղեցկություն:

Դասի նպատակները.

1. Մաթեմատիկա առարկայի նկատմամբ հետաքրքրության բարձրացում.

2. Նոր գիտելիքների և հմտությունների համախմբում «Լոգարիթմական անհավասարություններ» թեմայով.

Դասի տեսակը. գիտելիքների ընդհանրացման և համակարգման դաս.

Դասերի ընթացքում.

1. Կազմակերպման ժամանակ.

Ողջույններ, ուսանողներին դասի նախապատրաստում: Դասի նպատակների սահմանում. (Սլայդ թիվ 2):

2. Ուսանողների սուբյեկտիվ փորձի թարմացում.

(Սլայդ թիվ 3):

— Ուսուցիչ. Այսօրվա դասի համար որպես խորհրդանիշ վերցրեցի կեղևը, իսկ որպես էպիգրաֆ՝ բառերը.

«Աշխարհն այնքան մեծ է,

Կյանքը բավարար չէ ամեն ինչ իմանալու համար։

Բայց շատ նմանություններ կան

Դուք կարող եք գտնել այն ամեն ինչում ... »:

- Ուսուցիչ: Ի՞նչ եք կարծում, ի՞նչ են նշանակում այս բառերը: Իսկ ինչո՞ւ է դասի խորհրդանիշը՝ պատյանը, պարույր։

— Ուսանողներ. Աշխարհում շատ տարբեր բաներ և երևույթներ կան, բայց միշտ կարելի է գտնել նման, իրար նման մի բան: Այս «նմանությունը» օգնում է ավելի լավ հասկանալ մի երևույթ կամ նոր փաստ։

— Ուսուցիչ. Էպիգրաֆի խոսքերը պետք է առնչվեն մեր այսօրվա դասին: Ըստ Ձեզ՝ ի՞նչ կապ կա էպիգրաֆի և դասի միջև։

Ուսանողներ- Երևում է, այսօր մենք կսովորենք նոր թեմա, որի նյութը նման է նախկինում ուսումնասիրված նյութին։ Բայց քանի որ դասի խորհրդանիշը պարույր է, դասի նյութն ավելի բարդ կլինի, քան նախկինում ուսումնասիրվածը:

3. Մոտիվացիա. Ընկալման կազմակերպում.

— Ուսուցիչ. Խնդրում եմ բացեք ձեր նոթատետրերը և գրեք դասի թեման «Լոգարիթմական անհավասարությունների հատկությունները»։

(Աշակերտները թեման գրում են իրենց տետրերում):

— Ուսուցիչ. Լոգարիթմներն ուսումնասիրելիս հենց առաջին դասին խոսեցինք այն մասին, որ համակարգիչների հայտնվելով լոգարիթմները նախկինի պես արդիական չեն դարձել: Այդ դեպքում ինչո՞ւ ենք մենք ուսումնասիրում դրանք:

Ուսանողներ. Այս թեման ծրագրում է, լոգարիթմները կլինեն քննություններին, միասնական պետական ​​քննությանը:

Այսօր դասին մենք կօգտագործենք համեմատության, վերլուծության և ընդհանրացման տեխնիկան: Եվ թեև կյանքում լոգարիթմներ ձեզ հարկավոր չեն, բայց որևէ մեկին պետք է ինչ-որ բան համեմատելու, վերլուծելու և ընդհանրացնելու ունակությունը: ժամանակակից մարդունով ցանկանում է հաջողությամբ կառուցել իր մասնագիտական ​​կարիերա. Եվ կա ևս մեկը կարևոր կետ, բացատրելով լոգարիթմների նշանակությունը մարդկության համար։ Այդ մասին կպատմեմ դասի վերջում։

— Ուսուցիչ. Եկեք դիտարկենք տարբեր լոգարիթմական անհավասարություններ, բայց դրա համար մենք կրկնում ենք լոգարիթմական ֆունկցիայի հատկությունները: (Սլայդ թիվ 4):

— Ուսուցիչ. Կապել ֆունկցիաների գրաֆիկները: (Սլայդ թիվ 5):

Ուսանողներ՝ 1) 2) 3)

— Ուսուցիչ. Լուծելով ամենապարզ լոգարիթմական անհավասարությունները:

, .

ա , բ - իրական թվեր,ա . (Սլայդներ թիվ 6, 7, 10):

— ավելանում է

Պատասխան. ;

— Ուսուցիչ. Եկեք լուծենք լոգարիթմական անհավասարությունները՝ փոխարինելով գործոնները (Սլայդ թիվ 12):

Կրկնենք բանաձեւերը՝ (Սլայդ թիվ 13):

(Սլայդ թիվ 14):

(Սլայդ թիվ 17):

(Սլայդ թիվ 19):

4. Դասի ամփոփում

— Ուսուցիչ. Եվ հիմա ես ձեզ կասեմ ողջ մարդկության համար լոգարիթմական ֆունկցիայի կարևորության մասին: Հին ժամանակներից մաթեմատիկայի նպատակն էր օգնել մարդկանց ավելին իմանալ շրջապատող աշխարհի մասին, հասկանալ դրա օրինաչափություններն ու գաղտնիքները: Մաթեմատիկոսները սովորել են ստեղծել տարբեր բնական երևույթների մաթեմատիկական մոդելներ։ Նման մոդելների ուսումնասիրությունը թույլ է տալիս ավելին իմանալ դրա մասին բնական երևույթներ. Բնական մի շարք երևույթներ կարելի է նկարագրել լոգարիթմական կախվածությամբ։ Այլ կերպ ասած, մաթեմատիկոսները, երբ փորձում են ստեղծել կոնկրետ երեւույթի մաթեմատիկական մոդել, բավականին հաճախ դիմում են լոգարիթմական ֆունկցիային։ (Սլայդ թիվ 21): Մեկը պատկերավոր օրինակներԱյս ինվերսիան լոգարիթմական պարույր է, որի հավասարումը հետևյալն է.= լոկա . Իսկ պարույրը (պատյանը) ինքնին մեր այսօրվա դասի խորհրդանիշն է։

— Ուսուցիչ. Ուրեմն ինչու՞ նրանք ընտրեցին լոգարիթմական պարույրը որպես բնության մեջ լոգարիթմական կախվածության օրինակ: Հայտնի է, որ կենդանի էակները սովորաբար աճում են՝ պահպանելով իրենց ձևի ընդհանուր ուրվագիծը։ Ավելին, ամենից հաճախ նրանք աճում են բոլոր ուղղություններով. չափահաս արարածն ավելի բարձր է և հաստ, քան երեխան: Բայց ծովային կենդանիների պատյանները կարող են աճել միայն մեկ ուղղությամբ: Երկարությամբ շատ չձգվելու համար դրանք պետք է ոլորվեն, իսկ աճը տեղի է ունենում այնպես, որ կեղևի նմանությունն իր սկզբնական ձևի հետ պահպանվի։ Եվ նման աճը կարող է տեղի ունենալ միայն լոգարիթմական պարույրով: (Սլայդ թիվ 22): Հետևաբար, շատ փափկամարմինների, խխունջների կեղևները և կաթնասունների եղջյուրները, ինչպիսիք են արգալին (լեռնային այծերը), ոլորված են լոգարիթմական պարույրով: Գերմանացի մեծ բանաստեղծ Յոհան-Վոլֆգանգ Գյոթեն այն նույնիսկ համարում էր կյանքի և հոգևոր զարգացման մաթեմատիկական խորհրդանիշ։

Լոգարիթմական պարույրով ուրվագծվում են ոչ միայն խեցիները: Օրինակ, Epeira սարդը ցանց հյուսելիս թելերը պտտում է կենտրոնի շուրջը լոգարիթմական պարույրներով։ Արևածաղկի մեջ սերմերը դասավորված են աղեղներով, որոնք մոտ են լոգարիթմական պարույրին. սոճու կոնի ընկույզները նույնպես դասավորված են լոգարիթմական պարույրով. Շատ գալակտիկաներ ոլորված են լոգարիթմական պարույրներով, մասնավորապես Գալակտիկա, որին պատկանում է Արեգակնային համակարգը։

- Ուսանողները:Խոսում է լոգարիթմական պարույրի մասին:

Լոգարիթմական պարույր.

Լոգարիթմական պարույրը կամ իզոգոնալ պարույրը պարույրի հատուկ տեսակ է, որը հաճախ հանդիպում է բնության մեջ: Լոգարիթմական պարույրը սկզբում նկարագրվել է Դեկարտի կողմից, իսկ ավելի ուշ ինտենսիվորեն ուսումնասիրվել է Բեռնուլիի կողմից, ով այն անվանել է Spira mirabilis՝ «զարմանալի պարույր»:

Դասի զարգացում

Տոմսկի թիվ 42 դպրոցի մաթեմատիկայի ուսուցչուհի Պոլուեկտովա Տ.Ե.

Թեմա՝ «Լոգարիթմական հավասարումների լուծում» թեման ուսումնասիրելիս ուսանողներին նախապատրաստել միասնական պետական ​​քննությանը.».

«Լոգարիթմների գյուտ, կրճատում

Աստղագետի աշխատանքը երկարացրեց նրա կյանքը»:

P.S. Laplace

Դասի նպատակները.

1. Ներկայացրե՛ք հասկացությունը՝ պարզ լոգարիթմական հավասարումներ
2. Դիտարկենք լոգարիթմական հավասարումների հիմնական տեսակների լուծման հիմնական մեթոդները:

Ուսանողների գիտելիքներին և հմտություններին ներկայացվող պահանջները.

1. Իմացեք ամենապարզ լոգարիթմական հավասարումների ձևը
2. Կարողանալ կիրառել տարբեր մեթոդներ լոգարիթմական հավասարումներ լուծելիս:

Դասի պլան

ԴԱՍ 1

Ի. Կազմակերպման ժամանակը.դասարանում աշխատելու մոտիվացիայի և ցանկության ձևավորում.

II. Տեսական տաքացում.թեմայի վերաբերյալ անհրաժեշտ տեսական տեղեկատվության կրկնում,խոսելու և լսելու հմտությունների զարգացում. Աշխատանքը տրվում է հարցերի պատասխանների ձևով.

1. Սահմանե՛ք թվի լոգարիթմը տրված հիմքում:
2. Գրեք հիմնական կետերը լոգարիթմական ինքնություն(պայմաններ a ≠ 1, a > 0, b > 0)
3. Լոգարիթմների հիմնական հատկությունները (ա ≠ 1, a > 0, b > 0, x > 0, y > 0) Ձևակերպումներ և բանաձևեր.

1. Միավորի լոգարիթմ.
2. Բուն հիմքի լոգարիթմը.
3. Արտադրանքի լոգարիթմ.
4. Քաղորդի լոգարիթմը.
5. Աստիճանի լոգարիթմ.
6. Արմատի լոգարիթմ.

1. Մի բազայից մյուսը լոգարիթմական անցման բանաձևը
2. Ո՞ր լոգարիթմներն են կոչվում տասնորդական, բնական և ինչպե՞ս են դրանք նշանակվում: Ինչի՞ն են դրանք հավասար։ lg 100 և lg 0.001?
3. Տվեք լոգարիթմական ֆունկցիայի սահմանումը:
4. Որո՞նք են ֆունկցիայի տիրույթը և տիրույթը y = log a x և դրանց անվանումները.
5. Միապաղաղության հատկությունները. ո՞ր դեպքում է գործում y = loq a x ավելանում է. ո՞ր դեպքում նվազումը.
6. Գտեք իմաստալից արտահայտություններ.մատյան 3 5; մատյան 5 0; տեղեկամատյան 2 (-4) ; մատյան 5 1; մատյան 5 5.

III. Նոր նյութի ներկայացում

Իռացիոնալ հավասարման մեջ անհայտը պարունակվում է տարբեր աստիճանի արմատային նշանի տակ:

Իսկ եթե հավասարման մեջ անհայտը պարունակվում է լոգարիթմի նշանի տակ, ինչպե՞ս կոչել այն։

(լոգարիթմական):Խնդրեք ուսանողներին սահմանել լոգարիթմական հավասարում:

Սահմանում Լոգարիթմական հավասարումը այն հավասարումն է, որը պարունակում է

Անհայտը լոգարիթմի նշանի տակ:

Ո՞ր փոխակերպումն է կոչվում լոգարիթմ:

(Թվի լոգարիթմը գտնելու գործողությունը կոչվում է լոգարիթմացում):

Ո՞ր փոխակերպումն է կոչվում հզորացում:

(Տրված լոգարիթմից թիվ գտնելու գործողությունը կոչվում է հզորացում):

Լոգարիթմական հավասարումներ լուծելիս հաճախ պետք է այդ փոխակերպումները կատարել:

Պետք է հաշվի առնել, որ այս գործողությունները կարող են հանգեցնել հավասարումների, որոնք համարժեք չեն տվյալներին:

Լոգարիթմը վտանգավոր գործողություն է, քանի որ... դա կարող է հանգեցնել արմատների կորստի:

Օրինակ՝ x 2 = 25; վերցրեք երկու կողմերի լոգարիթմները log 5 x 2 = log 5 25;

X 1.2 = ± 5. հիմք 5 հավասարումներ՝ 2մատյան 5 x = 2;

մատյան 5 x = 1;

X = 5 արմատային կորուստ x = - 5

ODZ-ի հավասարումը գտնելը կօգնի ձեզ խուսափել այս սխալից:

Հզորացման ընթացքում արմատների կորուստ չի առաջանում, բայց կարող են ձեռք բերել կողմնակի արմատներ, որոնք հեշտությամբ հայտնաբերվում են, երբ դրանք փոխարինվում են սկզբնական հավասարման մեջ:

Եթե ​​լոգարիթմի նշանի տակ գտնվող հավասարման մեջ որևէ արմատ փոխարինելիս արդյունքը կլինի բացասական թիվկամ զրո, ապա այս արմատը պետք է անտեսվի որպես կողմնակի:

Օրինակ՝ log 2 (x +1) + log 2 x = 2 մենք օգտագործում ենք արտադրանքի լոգարիթմի հատկությունները

մատյան 2 ((x +1)x)= 2 օգտագործել լոգարիթմի սահմանումը

X(x+1) = 2 2

x 2 + x - 4 = 0, մենք ստանում ենք x 1 = 1 և x 2 = -2 մատյան 2 (-2)

Արտահայտությունը իմաստ չունի.

Հաշվի առնելով վերը նշվածը, լոգարիթմական հավասարումներ լուծելիս առաջնահերթությունը ստուգումն է, քան ODZ-ը:

Լոգարիթմական հավասարումների լուծման մեթոդներ.

Լոգարիթմական հավասարումների լուծման հիմնական մեթոդները.

1. Հզորացման մեթոդը, այսինքն. անցում հավասարումից log a f (x) = log a φ(x) հավասարման հետևանքով

f (x) = φ (x);

1. Նոր փոփոխականների ներդրման մեթոդ;
2. Լոգարիթմի մեթոդ, այսինքն. անցում հավասարումիցզ (x) = φ(x) հավասարմանը

log a f (x) = log a φ(x)

1) . Log a x = b ձևի հավասարումը, որտեղ a ≠ 1, a > 0, x > 0, կոչվում է ամենապարզ լոգարիթմական հավասարումը, այն համարժեք է x = a հավասարմանը:Վ , և ոչ ստուգում է պահանջվում, ոչ էլ ODZ, i.e.

1. գրանցամատյան a x = b,

A ≠ 1, a > 0; x = a բ

Այս տեսակի հավասարումներ լուծելիս կարելի է առանձնացնել ևս երկու տեսակ.

1. log a f (x) = b, f (x) > 0, f (x) = a b .

A ≠ 1, a > 0; f (x) = a in ;

1. log a f (x) = log a φ(x),

A ≠ 1, a > 0, f (x) = φ(x)

զ (x) = > 0, φ(x) > 0, φ(x) > 0.,

ԴԱՍ 2

Դիտարկենք տարբեր լոգարիթմական լոգարիթմական հավասարումների լուծումների օրինակներ.

1) Լոգարիթմը որոշելու համար հավասարումների լուծում.

Օրինակ 1 . Գտեք հավասարման բոլոր լուծումներըմատյան 2 (3 x 2 – x) = 1, որը պատկանում է y = √2 – 5x ֆունկցիայի սահմանման տիրույթին:

Լուծում. Հավասարման մատյան 2 (3 x 2 – x) = 1-ը համարժեք է 3x հավասարմանը 2 - x = 2. արմատներ ունեցող x 1 = 1,

x 2 = -2/3 x = 1-ի համար y = √2 – 5x ֆունկցիան սահմանված չէ, բայց x = -2/3-ի համար սահմանված է:Պատասխան՝ -2/3

Օրինակ 2. Լուծե՛ք հավասարումը log 3 (4  3 x -1 – 1) = 2x – 1:

Լուծում: Լոգարիթմի սահմանմամբ ունենք 4  3 x -1 – 1 = 3 2x – 1, 4/3  3 x – 1 + 3 2x  1/3։ Նշենք

3 x = y, ապա 4/3 y – 1 = 1/3 y 2, y 2 – 4y + 3 = 0, y 1 = 1, y 2 = 3. հետագա. եթե 3 x = 1. x = 0, իսկ եթե 3 x = 3, ապա x = 1:

Նշենք, որ x-ի հայտնաբերված արժեքների համար լոգարիթմի նշանի տակ արտահայտությունը դրական է:

Պատասխան՝  0;1 

Օրինակ 3. Լուծե՛ք հավասարումը log 3 (0.5 + x) = log 3 0.5 - log 3 x.

Լուծում Վերադասավորիր հավասարման տերմինները log 3 (0.5 + x) + log 3 x = log 3 0.5.

x  0, x  0,

0,5 + x  0 x  0, x = -1 x = 0,5

log 3 (0,5x + x 2) = log 3 0,5 x + 2x 2 = 1 x = ½

Պատասխան՝ 0,5:

Օրինակ 4 . Լուծե՛ք հավասարումը log 2 (x +2) = log 2 (x 2 + x - 7):

Լուծում: Լոգարիթմների հավասարությունից հետևում է լոգարիթմի նշանի տակ գտնվող արտահայտությունների հավասարությունը.

X + 2 = x 2 + x – 7. Այսպիսով, x 2 = 9. x = - 3 կամ x = 3:

Ստուգումը ցույց է տալիս, որ x = -3-ը չի բավարարում սկզբնական հավասարմանը, x = 3-ը դրա լուծումն է:Պատասխան՝ 3

Օրինակ 5. Լուծե՛ք հավասարումը log x – 6 (x - 4) = 2.

Լուծում: հավասարման սահմանման տիրույթ log x – 6 (x - 4) = 2-ը x  6, x – 6  1 . այս x արժեքների համար հավասարումը համարժեք է. (x – 6) 2 = x – 4. Լուծելով այն՝ ստանում ենք x 1 = 8 և x 2 = 5. Հաշվի առնելով սահմանափակումները՝ գրում ենք պատասխանը՝ x = 8։Պատասխան՝ 8

2). Հավասարման երկու կողմերը նույն հիմքով լոգարիթմի վերածելու մեթոդ:

Օրինակ 6. Գտեք 5-րդ հավասարման բոլոր արմատները x  2 2+x/x = 40։

Լուծում Վերցնենք հավասարման երկու կողմերի լոգարիթմը 2-րդ հիմքի վրա և, օգտագործելով լոգարիթմների հատկությունները, ստանում ենք՝ 2+x / x + x.մատյան 2 5 = 3 + մատյան 2 5, կամ 2 – 2x /x + (x – 1)մատյան 2 5 = 0,. կամ

(x – 1) (log 2 5 – 2/x) = 0, որտեղից x = 1 կամ x = 2/ log 2 5 = 2 log 5 2 = log 5 4.

Պատասխան՝  1; մատյան 5 4  .

Օրինակ 7. Լուծեք x հավասարումը lg x – 1 = 100:

Լուծում. Հաշվի առնելով ՕՁՀ՝ x  0, մենք վերցնում ենք հավասարման երկու կողմերի լոգարիթմը 10 հիմքում. log x log x – 1 = log 100. Կիրառելով հիմնական լոգարիթմական ինքնությունը՝ ստանում ենք. log x (log x – 1) = 2. Եկեք log x = a, ապա a 2 – ա – 2 = 0: Լուծելով այն, մենք ստանում ենք a = 2 կամ a = -1:

Եկեք վերադառնանք փոփոխականի փոխարինմանը lg x = 2 կամ lg x = -1, ապա x = 100, x = 1/10

3). Մենք արդեն կիրառել ենք նախորդ հավասարումը և օրինակ 2-ի հավասարումը լուծելիս նոր փոփոխականի ներդրման մեթոդը։

Օրինակ 8: Լուծել հավասարումներ log 2 (10x) + log (10x) = 6 – 3 log 1/10.

Լուծում՝ ՕՁ՝ x  0

Մենք օգտագործում ենք լոգարիթմի հատկությունները և ստանում ենք ( lg 10 + lg x) 2 + lg 10 + lg x = 6 +3 lg x.

(1 + lg x) 2 + 1 + lg x = 6 +3 lg x.

Թող log x = a, (1 + a) 2 + 1 + a = 6 + 3a, a 2 = 4, a = 2;

A = -2.

lg x = 2, x = 100; log x = - 2, x = 1/100: Պատասխան՝ 100 ; 0.01

Նաև լոգարիթմական հավասարումներ լուծելիս պետք է հիշել, որ լոգարիթմի նշանի տակ զույգ հզորություն դնելիս մենք ստանում ենք ֆունկցիայի մոդուլը.

log a f (x) 2 n = 2 n log a | f(x) |

Օրինակ 8: y = 2 ֆունկցիայի գրաֆիկի վրա գտե՛ք այդ կետերի աբսցիսանմատյան 2 (3x +5) + մատյան 2 x 2 , ընկած է վերին կիսահարթության մեջ, որից մինչև աբսցիսային առանցքը հեռավորությունը հավասար է 2-ի։

Լուծում: Վերին կիսահարթության կետի համար աբսցիսայի առանցքի հեռավորությունը հավասար է նրա օրդինատին: Այսպիսով, խնդրի պայմանները բավարարելու համար անհրաժեշտ և բավարար է հավասարությունը

2 log 2 (3x +5) + log 2 x 2 = 2:

Եկեք լուծենք այս հավասարումը. 2 log 2 (3x +5) + log 2  x  = 2. Օգտագործելով լոգարիթմների հատկությունները, մենք ստանում ենք.

log 2 ((3x +5)   x  ) = 1, (3x + 5)   x  = 2:

Ընդլայնելով մոդուլը, մենք ստանում ենք երկու դեպք.

1. (3x + 5) x = 2, 3x 2 +5x – 2= 0, x 1 = -2  0, x 2 = 1/3:

X  0.

1. (3x + 5) (-x) = 2, 3x2 + 5x + 2 = 0, x 1 = -1, x 2 = -2/3:

X  0.

Պատասխան. այդպիսի երեք կետեր կան, դրանց աբսցիսները՝ -1; -2/3; 1/3.

II. Ուսումնասիրված նյութի համախմբում.

Լուծել հավասարումներ.

1. log 3 2 x + log 3 x = 6;

1. (log 2 2 x – 1) (log 2 2 x + 1)= 15;

1. log 2 x – log x =0;.

1. log 3 x  log 4 x  log 5 x = log 3 x  log 4 x + log 3 x  log 5 x + log 4 x  log 5 X; (ուժեղ ուսանողների համար):

Վերջին օրինակի լուծումՆկատի ունեցեք, որ x = 1 հավասարման արմատն է:

Թող x  1, ապա հավասարման երկու կողմերը կարելի է բաժանել

log 3 x  log 4 x  log 5 x արտադրյալը:

Ստանում ենք 1= 1/  log 5 x + 1/ log 4 x + 1/ log 3 x։

Օգտագործելով լոգարիթմի հատկությունները log а в = 1/ log в а, մենք ստանում ենք

log x 5 + log x 4 + log x 3 = 1, log x 60 = 1 և x = 60:

Պատասխան՝ 1; 60.

III. Տնային առաջադրանք՝ § 44, թիվ 44.1- 44.17(տարբերակ 1 – ա, գ; տարբերակ 2 – բ, դ):

Դասի նախապատրաստման համար օգտագործվել է հետևյալ գրականությունը.

1. «Հանրահաշիվը և վերլուծության սկիզբը» 10-11 դասարաններ. Ա.Գ.Մորդկովիչ

(դասագիրք և խնդրագիրք); 10-րդ հրատարակություն – M: Mnemosyne 2009:

1. «Սովորում ենք լուծել հավասարումներ և անհավասարություններ» 10-11 դասարաններ.

Դենիշչևա Լ.Օ., Կարյուխինա Ն.Վ. , Միխեևա Թ.Ֆ. – Մ.: Ինտելեկտ – Կենտրոն, 1999:

3 «Հանրահաշիվ և վերլուծության սկիզբ» 10 – 11 դասարաններ Շ.Ա

(դասագիրք Մ: - կրթություն, 2008 թ.);

Մաթեմատիկայի ուսուցիչ, թիվ 42 դպրոց, Տոմսկ՝ Պոլուեկտովա Տ.Ե.

Դասի ամփոփում «Լոգարիթմական անհավասարությունների լուծում». 11-րդ դասարան

Մշակել և վարել է առաջին կարգի ուսուցիչ Գ.Ս. Շայդուլինան:

Մեր կարգախոսն է՝ «Քայլողը կարող է տիրապետել ճանապարհին, բայց մտածողը կարող է տիրապետել մաթեմատիկային»։

Շատ ֆիզիկոսներ կատակում են, որ «Մաթեմատիկան՝ գիտությունների թագուհի, բայց ֆիզիկայի աղախին»։ Սա կարող են ասել նաև քիմիկոսները, աստղագետները և նույնիսկ երաժիշտները։ Իրոք, մաթեմատիկան ծառայում է որպես գիտությունների մեծ մասի հիմքը և 16-րդ դարի անգլիացի փիլիսոփա Ռոջեր Բեկոնի խոսքերը. արդիական է նաև այսօր

Մեր դասի թեման է «Լոգարիթմական անհավասարություններ»:

Դասի նպատակը.

1) ամփոփել գիտելիքները թեմայի վերաբերյալ

«Լոգարիթմական անհավասարություններ»

2) հաշվի առնել բնորոշ դժվարությունները, որոնք հանդիպում են լոգարիթմական անհավասարությունների լուծման ժամանակ.

3) ամրապնդել այս թեմայի գործնական կողմնորոշումը որակյալ ուսուցումմիասնական պետական ​​քննությանը։

Առաջադրանքներ.

Ուսումնական:թեմատիկ նյութի կրկնություն, ընդհանրացում և համակարգում, գիտելիքների և հմտությունների ձեռքբերման մոնիտորինգ:

Ուսումնական:մաթեմատիկական և ընդհանուր հորիզոնների, մտածողության, խոսքի, ուշադրության և հիշողության զարգացում։

Ուսումնական:զարգացնել հետաքրքրությունը մաթեմատիկայի, գործունեության, հաղորդակցման հմտությունների և ընդհանուր մշակույթի նկատմամբ:

Սարքավորումներ: համակարգիչ, մուլտիմեդիա պրոյեկտոր, էկրան, առաջադրանքներով քարտեր, լոգարիթմների բանաձեւերով։

Դասի կառուցվածքը.

Կազմակերպման ժամանակ.

Նյութի կրկնություն. Բանավոր աշխատանք.

Պատմական անդրադարձ.

Նյութի վրա աշխատելը.

Տնային առաջադրանքներ.

Դասի ամփոփում.

Լոգարիթմական անհավասարություններ Մաթեմատիկայի միասնական պետական ​​քննությանը նվիրված է խնդիր C3 . Յուրաքանչյուր ուսանող պետք է սովորի լուծել C3 առաջադրանքները մաթեմատիկայի միասնական պետական ​​քննությունից, եթե նա ցանկանում է առաջիկա քննությունը հանձնել «լավ» կամ «գերազանց»:

Պատմական անդրադարձ.

Ջոն Նապիերին է պատկանում «լոգարիթմ» տերմինը, որը նա թարգմանել է որպես « արհեստական ​​համարը« Ջոն Նապիերը շոտլանդացի է: 16 տարեկանում մեկնել է մայրցամաք, որտեղ հինգ տարի սովորել է մաթեմատիկա և այլ գիտություններ Եվրոպայի տարբեր համալսարաններում։ Այնուհետեւ նա լրջորեն ուսումնասիրել է աստղագիտություն եւ մաթեմատիկա։ Նապիերը լոգարիթմական հաշվարկների գաղափարին եկել է դեռևս 16-րդ դարի 80-ական թվականներին, բայց իր աղյուսակները հրապարակել է միայն 1614 թվականին՝ 25 տարվա հաշվարկներից հետո։ Դրանք հրատարակվել են «Հրաշալի լոգարիթմական աղյուսակների նկարագրությունը» վերնագրով։

Դասը սկսենք բանավոր տաքացումով։ Պատրա՞ստ եք:

Աշխատեք տախտակում:

Դասարանի հետ բանավոր աշխատանքի ընթացքում երկու աշակերտ գրատախտակին քարտերով լուծում են օրինակներ:

1.Լուծել անհավասարությունը

2.Լուծել անհավասարությունը

(Խորհրդում առաջադրանքները կատարած ուսանողները մեկնաբանում են իրենց լուծումները՝ հղում կատարելով համապատասխան տեսական նյութին, իսկ մնացածները անհրաժեշտության դեպքում կատարում են ճշգրտումներ):

1) Նշեք սխալ հավասարություն: Ինչ կանոն պետք է օգտագործվի դրա համար:

ա) մատյան 3 27 = 3
բ) լոգ 2 0,125 = – 3
ա) լոգ 0,5 0,5 = 1
ա) lg 10000 = 5.

2) Համեմատեք լոգարիթմի արժեքները զրոյի հետ:Ինչ կանոն պետք է օգտագործվի դրա համար:

Ա)lg 7

բ)գերան 0,4 3

V)գերան 6 0,2

ե)գերան ⅓ 0,6

3) Ես ուզում եմ քեզառաջարկել խաղալ ծովային ճակատամարտ. Անվանում եմ տողի տառը և սյունակի համարը, իսկ դուք՝ պատասխանը և աղյուսակում փնտրեք համապատասխան տառը։

4) Թվարկված լոգարիթմական ֆունկցիաներից որո՞նք են ավելանում, որոնք՝ նվազում։ Ինչից է սա կախված:

5) Ո՞րն է լոգարիթմական ֆունկցիայի սահմանման տիրույթը: Գտեք ֆունկցիայի տիրույթը.

Վերանայեք լուծումը գրատախտակին:

Ինչպե՞ս են լուծվում լոգարիթմական անհավասարությունները:

Ո՞րն է լոգարիթմական անհավասարությունների լուծման հիմքը:

Ինչպիսի՞ անհավասարությունների նման է սա:

(Լոգարիթմական անհավասարությունների լուծումը հիմնված է լոգարիթմական ֆունկցիայի միապաղաղության վրա՝ հաշվի առնելով լոգարիթմական ֆունկցիայի սահմանման տիրույթը և ընդհանուր հատկություններանհավասարություններ)

Լոգարիթմական անհավասարությունների լուծման ալգորիթմ.

Ա) Գտե՛ք անհավասարության սահմանման տիրույթը (ենթալոգարիթմական արտահայտությունը զրոյից մեծ է):
Բ) Անհավասարության ձախ և աջ կողմերը (եթե հնարավոր է) ներկայացրե՛ք որպես լոգարիթմներ նույն հիմքի վրա:
Գ) Որոշեք՝ լոգարիթմական ֆունկցիան աճում է, թե նվազում. եթե t>1, ապա մեծանում է. եթե 01, ապա նվազում:
Դ) Գնացեք ավելին պարզ անհավասարություն(ենթալոգարիթմական արտահայտություններ), հաշվի առնելով, որ ֆունկցիայի մեծացման դեպքում անհավասարության նշանը կմնա, իսկ փոքրանալու դեպքում կփոխվի։

Ստուգելով դ.զ.

1. գերան 8 (5x-10)< գերան 8 (14-րդ):

2. գերան 3 (x+2) +գերան 3 x =< 1.

3. գերան 0,5 (3x+1)< գերան 0,5 (2)

Եկեք դասեր քաղենք ուրիշների սխալներից!!!

Ո՞վ առաջինը կգտնի սխալը։

1. Գտեք անհավասարությունը լուծելու սխալը.

Ա)գերան 8 (5x-10)< գերան 8 (14-րդ),

5 x-10 < 14- x,

6 x < 24,

x < 4.

Պատասխան՝ x € (-∞; 4):

Սխալ. անհավասարության սահմանման շրջանակը հաշվի չի առնվում:

Մեկնաբանեք լուծումը

Ճիշտ որոշում.

գերան 8 (5x-10)< գերան 8 (14-րդ)

  2< x <4.

Պատասխան՝ x € (2;4):

2. Գտե՛ք անհավասարությունը լուծելիս սխալը.

Սխալ. սկզբնական անհավասարության սահմանման տիրույթը հաշվի չի առնվում:Ճիշտ որոշում

Պատասխան՝ x .

3. Գտե՛ք անհավասարությունը լուծելիս սխալը.

գերան 0,5 (3x+1)< գերան 0,5 (2)

Պատասխան՝ x €

Սխալ. լոգարիթմի հիմքը հաշվի չի առնվել:

Ճիշտ որոշում.

գերան 0,5 (3x+1)< գերան 0,5 (2) 

Պատասխան՝ x €

Վերլուծելով մաթեմատիկայի ընդունելության քննությունների տարբերակները՝ կարելի է նկատել, որ քննությունների լոգարիթմների տեսությունից հաճախ հանդիպում են լոգարիթմական անհավասարություններ, որոնք փոփոխական են պարունակում լոգարիթմի տակ և լոգարիթմի հիմքում։

Գտեք անհավասարությունը լուծելու սխալը.

4 .

Այլապես ինչպե՞ս կարող եք լուծել թիվ 4 անհավասարությունը:

Ո՞վ լուծեց այն այլ մեթոդով:

Այսպիսով, տղերք, լոգարիթմական անհավասարությունները լուծելիս շատ թակարդներ կան:

Ինչի՞ վրա պետք է հատուկ ուշադրություն դարձնենք լոգարիթմական անհավասարությունները լուծելիս: Ինչպես եք կարծում?

Այսպիսով, ինչ է ձեզ հարկավոր որոշել:լոգարիթմական հավասարումներ և անհավասարություններ?

Նախ,ուշադրություն. Սխալներ մի արեք ձեր փոխակերպումների մեջ: Համոզվեք, որ ձեր գործողություններից յուրաքանչյուրը չի ընդլայնում կամ նեղացնում անհավասարության ընդունելի արժեքների շրջանակը, այսինքն՝ չի հանգեցնում կողմնակի լուծումների կորստի կամ ձեռքբերման:

Երկրորդ,տրամաբանորեն մտածելու ունակություն. Մաթեմատիկայի միասնական պետական ​​քննությունը C3 առաջադրանքներով կազմողները ստուգում են ուսանողների կարողությունը գործելու այնպիսի հասկացություններով, ինչպիսիք են անհավասարությունների համակարգ (բազմությունների հատում), անհավասարությունների մի շարք (բազմությունների միություն) և ընտրել անհավասարության լուծումներ, առաջնորդվելով իր թույլատրելի արժեքների տիրույթով:

Երրորդ, պարզգիտելիքՄաթեմատիկայի դպրոցական դասընթացում ուսումնասիրված բոլոր տարրական ֆունկցիաների (ուժային, ռացիոնալ, էքսպոնենցիալ, լոգարիթմական, եռանկյունաչափական) հատկությունները ևըմբռնումըդրանց նշանակությունը։

ՈՒՇԱԴՐՈՒԹՅՈՒՆ.

1. Սկզբնական անհավասարության ՕՁ.

2. Լոգարիթմի հիմքը.

Լուծե՛ք հավասարումը.

Լուծում. Հավասարման ընդունելի արժեքների միջակայքը որոշվում է անհավասարությունների համակարգով.

ՄԲՈՒ թիվ 1 միջնակարգ դպրոց Նովոբելոկատայ գյուղ

Աշխատանքային թեմա.

«Իմ լավագույն դասը»

Մաթեմատիկայի ուսուցիչ.

Մուխամետովա Ֆաուզիա Կարամատովնա

Դասավանդվող առարկա՝ մաթեմատիկա

2014

Դասի թեման.

«Լոգարիթմական անհավասարությունների լուծման ոչ ստանդարտ եղանակ»

Դաս 11 ( պրոֆիլի մակարդակ)

Դասի ձև համակցված

Դասի նպատակները.

Լոգարիթմական անհավասարությունների լուծման նոր մեթոդի յուրացում և մաթեմատիկայի 2015 թվականի միասնական պետական ​​քննության C3 (17) առաջադրանքները լուծելիս այս մեթոդը կիրառելու կարողությունը:

Դասի նպատակները.

- Ուսումնական:համակարգել, ընդհանրացնել, ընդլայնել լոգարիթմական անհավասարությունների լուծման մեթոդների կիրառման հետ կապված հմտություններն ու գիտելիքները. Մաթեմատիկայում USE 2015 առաջադրանքները լուծելիս գիտելիքները կիրառելու կարողություն։

Զարգացնող զարգացնել ինքնակրթության, ինքնակազմակերպման հմտություններ, վերլուծելու, համեմատելու, ընդհանրացնելու և եզրակացություններ անելու կարողություն. Տրամաբանական մտածողության, ուշադրության, հիշողության, հորիզոնների զարգացում:

Ուսումնական: զարգացնել անկախությունը, ուրիշներին լսելու կարողությունը և խմբում շփվելու կարողությունը: Խնդիրների լուծման նկատմամբ հետաքրքրության մեծացում, ինքնատիրապետման զարգացում և մտավոր գործունեության ակտիվացում առաջադրանքների կատարման գործընթացում:

Մեթոդական հիմք.

Առողջապահական տեխնոլոգիա՝ ըստ V.F Բազարնի;

Բազմաստիճան ուսուցման տեխնոլոգիա;

Խմբային վերապատրաստման տեխնոլոգիա;

Տեղեկատվական տեխնոլոգիաներ (դասի ուղեկցությամբ ներկայացում),

Ուսումնական գործունեության կազմակերպման ձևերը՝ ճակատային, խմբակային, անհատական, ինքնուրույն:

Սարքավորումներ: Աշխատավայրում սովորողները ունեն գնահատման թերթիկներ, ինքնուրույն աշխատանքով բացիկներ, դասի ներկայացում, համակարգիչ, մուլտիմեդիա պրոյեկտոր:

Դասի քայլեր.

1. Կազմակերպչական պահ

Ուսուցիչ Բարև տղաներ:

Ուրախ եմ բոլորիդ տեսնել դասարանում և հույս ունեմ միասին արդյունավետ աշխատանքի:

2. Մոտիվացիոն պահը` գրված է ներկայացման մեջՏՀՏ տեխնոլոգիա

Թող մեր դասի էպիգրաֆը լինի բառերը.

«Սովորելու միակ միջոցը զվարճանալն է...

Գիտելիքը մարսելու համար հարկավոր է այն ախորժակով ներծծել»։Անատոլ Ֆրանց.

Այսպիսով, եկեք լինենք ակտիվ և ուշադիր, քանի որ մեր գիտելիքները օգտակար կլինեն միասնական պետական ​​քննություն հանձնելիս։

3. Դասի սահմանման փուլը և նպատակները.

Այսօր դասարանում կուսումնասիրենք լոգարիթմական անհավասարությունների լուծումը ոչ ստանդարտ մեթոդով։ Քանի որ ամբողջ տարբերակը լուծելու համար հատկացված է 235 րոպե, C3 առաջադրանքին անհրաժեշտ է մոտ 30 րոպե, այնպես որ դուք պետք է գտնեք լուծման տարբերակ, որպեսզի կարողանաք ավելի քիչ ժամանակ ծախսել: Առաջադրանքները վերցված են 2015 թվականի մաթեմատիկայի միասնական պետական ​​քննության ձեռնարկներից։

4. Գիտելիքների թարմացման փուլ.

Կրթական հաջողությունը գնահատելու տեխնոլոգիա.

Ձեր սեղանների վրա ունեք գնահատման թերթիկներ, որոնք սովորողները լրացնում են դասի ընթացքում և վերջում հանձնում ուսուցչին: Ուսուցիչը բացատրում է, թե ինչպես լրացնել գնահատման թերթիկը:

Առաջադրանքի հաջողությունը նշվում է խորհրդանիշով.

«!» - Ես սահուն եմ խոսում

«+» - Ես կարող եմ որոշել, երբեմն սխալվում եմ

«-»- դեռ պետք է աշխատել

4. Ճակատային աշխատանք

Կրկնվում է լոգարիթմական անհավասարությունների սահմանումը։ Լուծման հայտնի մեթոդները և դրանց ալգորիթմը՝ օգտագործելով կոնկրետ օրինակներ:

Ուսուցիչ։

Տղերք, նայեք էկրանին, եկեք բանավոր որոշենք.

1) Լուծե՛ք հավասարումը

2) Հաշվել

ա Բ Գ)

Պատասխանում տրված աղյուսակում յուրաքանչյուր տառի տակ մուտքագրեք համապատասխան թիվը:

Պատասխան.

Փուլ 5 Նոր նյութ սովորելը

Խնդրի վրա հիմնված ուսուցման տեխնոլոգիա

Ուսուցիչ

Եկեք նայենք սլայդին: Այս անհավասարությունը պետք է լուծվի։ Ինչպե՞ս կարելի է լուծել այս անհավասարությունը: Տեսություն ուսուցչի համար.

Քայքայման մեթոդ

Քայքայման մեթոդը բաղկացած է F(x) բարդ արտահայտության փոխարինումից ավելի պարզ G(x արտահայտությամբ), որտեղ G(x)^0 անհավասարությունը համարժեք է F(x)^0 անհավասարությանը F-ի սահմանման տիրույթում։ (x).

Կան մի քանի արտահայտություններ F և համապատասխան տարրալուծում G, որտեղ k, g, h, p, q փոփոխականով արտահայտություններ են: X (h>0; h≠1; f>0, k>0), a – հաստատուն թիվ (a>0, a≠1):

Որոշ հետևություններ կարելի է եզրակացնել այս արտահայտություններից (հաշվի առնելով սահմանման տիրույթը).

0 ⬄ 0

Նշված համարժեք անցումներում ^ նշանը փոխարինում է անհավասարության նշաններից մեկին՝ >,

Սլայդի վրա առաջադրանք է, որը վերլուծվում է ուսուցչի կողմից:

Դիտարկենք լոգարիթմական անհավասարության լուծման օրինակ երկու եղանակով

1. Ինտերվալ մեթոդ

Օ.Դ.Զ.

ա) բ)

Պատասխան՝ (;

Ուսուցիչ

Այս անհավասարությունը կարելի է լուծել այլ կերպ.

2. Քայքայման մեթոդ

Պատասխանել

Այս անհավասարությունը լուծելու օրինակով համոզվեցինք, որ ավելի նպատակահարմար է օգտագործել տարրալուծման մեթոդը։

Դիտարկենք այս մեթոդի կիրառումը մի քանի անհավասարությունների վրա

Վարժություն 1

Պատասխան՝ (-1.5; -1) U (-1; 0) U (0;3)

Առաջադրանք 2