≡×ՄԵՆՈՒ

• Ինտերիեր
• Պատուհան
• Պատեր
• Նախագծեր
• Շենքերը

Թվի լոգարիթմի սահմանումը հիմնական լոգարիթմական ինքնությունն է: Լոգարիթմներ. օրինակներ և լուծումներ

Այս հոդվածի ուշադրության կենտրոնում է լոգարիթմ. Այստեղ կտանք լոգարիթմի սահմանումը, ցույց կտանք ընդունված նշումը, բերենք լոգարիթմների օրինակներ և կխոսենք բնական և տասնորդական լոգարիթմների մասին։ Դրանից հետո մենք կքննարկենք հիմնական լոգարիթմական ինքնությունը:

Էջի նավարկություն.

Լոգարիթմի սահմանում

Լոգարիթմի հայեցակարգն առաջանում է որոշակի իմաստով խնդիր լուծելիս, երբ անհրաժեշտ է գտնել ցուցիչ հայտնի արժեքաստիճան և հայտնի հիմք:

Բայց բավական նախաբաններ, ժամանակն է պատասխանել «ինչ է լոգարիթմը» հարցին: Տանք համապատասխան սահմանումը.

Սահմանում.

Բ-ի լոգարիթմը a հիմքից, որտեղ a>0, a≠1 և b>0 այն ցուցանիշն է, որի վրա պետք է բարձրացնել a թիվը՝ արդյունքում b ստանալու համար:

Այս փուլում մենք նշում ենք, որ «լոգարիթմ» ասված բառը պետք է անմիջապես առաջացնի երկու հաջորդական հարց՝ «ինչ թիվ» և «ինչի հիման վրա»: Այլ կերպ ասած, պարզապես չկա լոգարիթմ, այլ կա միայն թվի լոգարիթմ ինչ-որ բազայի նկատմամբ:

Միանգամից մտնենք լոգարիթմի նշում b թվի լոգարիթմը a հիմքի վրա սովորաբար նշվում է որպես log a b: B թվի լոգարիթմը e հիմքի վրա և լոգարիթմը 10 հիմքի վրա ունեն համապատասխանաբար իրենց հատուկ նշանակումները lnb և logb, այսինքն՝ գրում են ոչ թե log e b, այլ lnb, և ոչ թե log 10 b, այլ lgb։

Այժմ մենք կարող ենք տալ.
Եվ գրառումները իմաստ չունի, քանի որ դրանցից առաջինում լոգարիթմի նշանի տակ կա բացասական թիվ, երկրորդում հիմքում բացասական թիվ է, իսկ երրորդում՝ լոգարիթմի նշանի տակ բացասական թիվ, իսկ հիմքում՝ միավոր։

Հիմա անդրադառնանք լոգարիթմների ընթերցման կանոններ. Log a b-ն ընթերցվում է որպես «b-ի լոգարիթմը a հիմքին»: Օրինակ, log 2 3-ը երեքի լոգարիթմն է 2-րդ հիմքի, և երկու կետի լոգարիթմն է երկու երրորդից մինչև 2-րդ հիմքը: Քառակուսի արմատհինգից. E հիմքի լոգարիթմը կոչվում է բնական լոգարիթմ, իսկ lnb նշումը կարդում է «բ-ի բնական լոգարիթմ»։ Օրինակ, ln7-ը յոթի բնական լոգարիթմն է, և մենք այն կկարդանք որպես pi-ի բնական լոգարիթմ: Բազային 10 լոգարիթմը ունի նաև հատուկ անուն. տասնորդական լոգարիթմ, իսկ lgb-ն կարդացվում է որպես «b-ի տասնորդական լոգարիթմ»։ Օրինակ՝ lg1-ը մեկի տասնորդական լոգարիթմն է, իսկ lg2.75-ը՝ յոթ հինգ հարյուրերորդական երկու կետի տասնորդական լոգարիթմը։

Առանձին-առանձին արժե անդրադառնալ a>0, a≠1 և b>0 պայմաններին, որոնց տակ տրված է լոգարիթմի սահմանումը։ Եկեք բացատրենք, թե որտեղից են գալիս այդ սահմանափակումները։ Այս կոչվող ձևի հավասարությունը, որն ուղղակիորեն բխում է վերևում տրված լոգարիթմի սահմանումից, կօգնի մեզ դա անել:

Սկսենք a≠1-ից: Քանի որ մեկը ցանկացած հզորության հավասար է մեկի, հավասարությունը կարող է ճշմարիտ լինել միայն b=1, բայց log 1 1 կարող է լինել ցանկացած իրական թիվ. Այս երկիմաստությունից խուսափելու համար ենթադրվում է a≠1:

Հիմնավորենք ա>0 պայմանի նպատակահարմարությունը։ a=0-ի դեպքում լոգարիթմի սահմանմամբ կունենայինք հավասարություն, որը հնարավոր է միայն b=0-ով։ Բայց այդ դեպքում log 0 0-ը կարող է լինել ցանկացած ոչ զրոյական իրական թիվ, քանի որ զրոյական ցանկացած ոչ զրոյական հզորության զրոյական է: a≠0 պայմանը թույլ է տալիս խուսափել այս երկիմաստությունից: Իսկ երբ Ա<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

Վերջապես, b>0 պայմանը բխում է a>0 անհավասարությունից, քանի որ , և a դրական հիմք ունեցող հզորության արժեքը միշտ դրական է:

Այս կետը եզրափակելու համար ասենք, որ լոգարիթմի նշված սահմանումը թույլ է տալիս անմիջապես նշել լոգարիթմի արժեքը, երբ լոգարիթմի նշանի տակ գտնվող թիվը հիմքի որոշակի հզորություն է: Իրոք, լոգարիթմի սահմանումը մեզ թույլ է տալիս պնդել, որ եթե b=a p, ապա a հիմքի վրա b թվի լոգարիթմը հավասար է p-ի: Այսինքն, հավասարության գրանցամատյանը a a p =p ճիշտ է: Օրինակ, մենք գիտենք, որ 2 3 =8, ապա log 2 8=3: Այս մասին ավելի շատ կխոսենք հոդվածում:

Քանի որ հասարակությունը զարգանում էր, իսկ արտադրությունը դառնում էր ավելի բարդ, մաթեմատիկան նույնպես զարգանում էր: Շարժում պարզից բարդ: Սովորական հաշվառումից՝ օգտագործելով գումարման և հանման մեթոդը, դրանց կրկնվող կրկնությամբ մենք հասանք բազմապատկման և բաժանման հայեցակարգին։ Բազմապատկման կրկնվող գործողության կրճատումը դարձավ հզորության հայեցակարգ: Հիմքից թվերի կախվածության և հզորության թվի առաջին աղյուսակները կազմվել են դեռևս 8-րդ դարում հնդիկ մաթեմատիկոս Վարասենայի կողմից։ Դրանցից կարելի է հաշվել լոգարիթմների առաջացման ժամանակը։

Պատմական ուրվագիծ

16-րդ դարում Եվրոպայի վերածնունդը խթանեց նաև մեխանիկայի զարգացումը։ Տ պահանջվում էր մեծ քանակությամբ հաշվարկկապված բազմանիշ թվերի բազմապատկման և բաժանման հետ. Հնագույն սեղանները մեծ ծառայություն էին մատուցում: Նրանք թույլ տվեցին փոխարինել բարդ գործողություններավելի պարզներին՝ գումարում և հանում: Մեծ քայլ առաջ էր 1544 թվականին հրատարակված մաթեմատիկոս Միքայել Շտիֆելի աշխատանքը, որտեղ նա իրագործեց բազմաթիվ մաթեմատիկոսների գաղափարը։ Սա հնարավորություն տվեց օգտագործել աղյուսակները ոչ միայն պարզ թվերի տեսքով հզորությունների, այլև կամայական ռացիոնալների համար։

1614 թվականին շոտլանդացի Ջոն Նապիերը, զարգացնելով այս գաղափարները, առաջին անգամ ներկայացրեց «թվի լոգարիթմ» նոր տերմինը։ Կազմվել են նոր բարդ աղյուսակներ՝ սինուսների և կոսինուսների լոգարիթմները, ինչպես նաև շոշափողները հաշվելու համար։ Սա մեծապես նվազեցրեց աստղագետների աշխատանքը:

Սկսեցին հայտնվել նոր աղյուսակներ, որոնք հաջողությամբ օգտագործվեցին գիտնականների կողմից երեք դար շարունակ։ Շատ ժամանակ անցավ, մինչև հանրահաշվի նոր գործողությունը ձեռք բերեց իր ավարտուն ձևը: Տրվեց լոգարիթմի սահմանումը և ուսումնասիրվեցին նրա հատկությունները։

Միայն 20-րդ դարում, երբ հայտնվեցին հաշվիչը և համակարգիչը, մարդկությունը հրաժարվեց հնագույն աղյուսակներից, որոնք հաջողությամբ աշխատել էին 13-րդ դարում:

Այսօր մենք կոչում ենք b-ի լոգարիթմը a-ի հիմքում x թիվը, որը a-ի հզորությունն է b դարձնելու համար: Սա գրված է որպես բանաձև՝ x = log a(b):

Օրինակ, log 3(9)-ը հավասար կլինի 2-ի: Սա ակնհայտ է, եթե հետևեք սահմանմանը: Եթե ​​3-ը հասցնենք 2-ի, կստանանք 9:

Այսպիսով, ձևակերպված սահմանումը սահմանում է միայն մեկ սահմանափակում՝ a և b թվերը պետք է իրական լինեն։

Լոգարիթմների տեսակները

Դասական սահմանումը կոչվում է իրական լոգարիթմ և իրականում a x = b հավասարման լուծումն է: a = 1 տարբերակը սահմանային է և չի հետաքրքրում: Ուշադրություն՝ 1-ը ցանկացած հզորության հավասար է 1-ի:

Լոգարիթմի իրական արժեքըսահմանվում է միայն այն դեպքում, երբ հիմքը և արգումենտը մեծ են 0-ից, և հիմքը չպետք է հավասար լինի 1-ի:

Հատուկ տեղ մաթեմատիկայի ոլորտումխաղալ լոգարիթմներ, որոնք կանվանվեն՝ կախված դրանց հիմքի չափից.

Կանոններ և սահմանափակումներ

Լոգարիթմների հիմնական հատկությունը կանոնն է՝ արտադրյալի լոգարիթմը հավասար է լոգարիթմական գումարին։ log abp = log a(b) + log a(p):

Որպես այս հայտարարության տարբերակ կլինի՝ log c(b/p) = log c(b) - log c(p), քանորդ ֆունկցիան հավասար է ֆունկցիաների տարբերությանը։

Նախորդ երկու կանոններից հեշտ է տեսնել, որ log a(b p) = p * log a(b):

Այլ հատկությունները ներառում են.

Մեկնաբանություն. Սովորական սխալ մի թույլ տվեք՝ գումարի լոգարիթմը չէ գումարին հավասարլոգարիթմներ.

Շատ դարեր շարունակ լոգարիթմ գտնելու գործողությունը բավականին ժամանակատար խնդիր էր։ Մաթեմատիկոսներն օգտագործել են բազմանդամների ընդլայնման լոգարիթմական տեսության հայտնի բանաձևը.

ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n), որտեղ n - բնական թիվ 1-ից մեծ, որը որոշում է հաշվարկի ճշգրտությունը:

Այլ հիմքերով լոգարիթմները հաշվարկվել են՝ օգտագործելով մի հիմքից մյուսին անցնելու թեորեմը և արտադրյալի լոգարիթմի հատկությունը։

Քանի որ այս մեթոդը շատ աշխատատար է և գործնական խնդիրներ լուծելիսդժվար է իրականացնել, մենք օգտագործել ենք նախապես կազմված լոգարիթմների աղյուսակներ, որոնք զգալիորեն արագացրել են ամբողջ աշխատանքը։

Որոշ դեպքերում օգտագործվել են հատուկ նախագծված լոգարիթմային գրաֆիկներ, որոնք ավելի քիչ ճշգրտություն են տվել, բայց զգալիորեն արագացրել են որոնումը։ ցանկալի արժեք. y = log a(x) ֆունկցիայի կորը, որը կառուցված է մի քանի կետերի վրա, թույլ է տալիս օգտագործել կանոնավոր քանոն՝ ցանկացած այլ կետում ֆունկցիայի արժեքը գտնելու համար։ Ինժեներներ երկար ժամանակԱյդ նպատակների համար օգտագործվել է այսպես կոչված գրաֆիկական թուղթ։

17-րդ դարում ի հայտ եկան առաջին օժանդակ անալոգային հաշվողական պայմանները, որոնք 19 - րդ դարձեռք բերեց ավարտուն տեսք: Ամենահաջող սարքը կոչվում էր սլայդի կանոն: Չնայած սարքի պարզությանը, նրա տեսքը զգալիորեն արագացրեց բոլոր ինժեներական հաշվարկների գործընթացը, և դա դժվար է գերագնահատել: Ներկայումս քչերն են ծանոթ այս սարքին։

Հաշվիչների և համակարգիչների հայտնվելը անիմաստ դարձրեց ցանկացած այլ սարքի օգտագործումը:

Հավասարումներ և անհավասարություններ

Լոգարիթմների միջոցով տարբեր հավասարումներ և անհավասարումներ լուծելու համար օգտագործվում են հետևյալ բանաձևերը.

• Տեղափոխվելով մի բազայից մյուսը՝ log a(b) = log c(b) / log c(a);
• Նախորդ տարբերակի արդյունքում՝ log a(b) = 1 / log b(a):

Անհավասարությունները լուծելու համար օգտակար է իմանալ.

• Լոգարիթմի արժեքը դրական կլինի միայն այն դեպքում, եթե հիմքը և արգումենտը մեկից մեծ կամ փոքր են. եթե առնվազն մեկ պայման խախտվի, ապա լոգարիթմի արժեքը բացասական կլինի:
• Եթե ​​լոգարիթմի ֆունկցիան կիրառվում է անհավասարության աջ և ձախ կողմերի վրա, իսկ լոգարիթմի հիմքը մեկից մեծ է, ապա անհավասարության նշանը պահպանվում է. հակառակ դեպքում այն ​​փոխվում է:

Նմուշի խնդիրներ

Դիտարկենք լոգարիթմների և դրանց հատկությունների օգտագործման մի քանի տարբերակ: Հավասարումների լուծման օրինակներ.

Դիտարկենք լոգարիթմը հզորության մեջ դնելու տարբերակը.

• Խնդիր 3. Հաշվի՛ր 25^log 5(3): Լուծում. խնդրի պայմաններում մուտքը նման է հետևյալին (5^2)^log5(3) կամ 5^(2 * log 5(3)): Գրենք այլ կերպ՝ 5^log 5(3*2), կամ թվի քառակուսին որպես ֆունկցիայի արգումենտ կարելի է գրել որպես բուն ֆունկցիայի քառակուսի (5^log 5(3))^2։ Օգտագործելով լոգարիթմների հատկությունները՝ այս արտահայտությունը հավասար է 3^2։ Պատասխան՝ հաշվարկի արդյունքում ստանում ենք 9։

Գործնական օգտագործում

Լինելով զուտ մաթեմատիկական գործիք՝ այն հեռու է թվում իրական կյանքոր լոգարիթմը հանկարծ ձեռք բերեց մեծ նշանակություննկարագրել իրական աշխարհի օբյեկտները. Դժվար է գտնել գիտություն, որտեղ այն չի օգտագործվում։ Սա լիովին վերաբերում է ոչ միայն բնական, այլեւ հումանիտար գիտելիքի ոլորտներին։

Լոգարիթմական կախվածություններ

Ահա թվային կախվածության մի քանի օրինակ.

Մեխանիկա և ֆիզիկա

Պատմականորեն, մեխանիկան և ֆիզիկան միշտ զարգացել են մաթեմատիկական հետազոտության մեթոդների կիրառմամբ և միևնույն ժամանակ ծառայել են որպես մաթեմատիկայի, այդ թվում՝ լոգարիթմների զարգացման խթան։ Ֆիզիկայի օրենքների մեծ մասի տեսությունը գրված է մաթեմատիկայի լեզվով։ Եկեք միայն երկու օրինակ բերենք ֆիզիկական օրենքները լոգարիթմի միջոցով նկարագրելու համար:

Հրթիռի արագության նման բարդ քանակի հաշվարկման խնդիրը կարելի է լուծել Ցիոլկովսկու բանաձևի միջոցով, որը հիմք դրեց տիեզերական հետազոտության տեսությանը.

V = I * ln (M1 / M2), որտեղ

• V-ն օդանավի վերջնական արագությունն է։
• I - շարժիչի հատուկ իմպուլս:
• M 1 - հրթիռի սկզբնական զանգված:
• M 2 - վերջնական զանգված:

Մեկ այլ կարևոր օրինակ- սա օգտագործվում է մեկ այլ մեծ գիտնական Մաքս Պլանկի բանաձևում, որը ծառայում է թերմոդինամիկայի հավասարակշռության վիճակը գնահատելու համար:

S = k * ln (Ω), որտեղ

• S - թերմոդինամիկական հատկություն:
• k – Բոլցմանի հաստատուն.
• Ω-ն տարբեր վիճակների վիճակագրական կշիռն է:

Քիմիա

Ավելի քիչ ակնհայտ է քիմիայի մեջ լոգարիթմների հարաբերակցություն պարունակող բանաձևերի օգտագործումը: Բերենք ընդամենը երկու օրինակ.

• Ներնստի հավասարումը, միջավայրի ռեդոքսային ներուժի պայմանը նյութերի ակտիվության և հավասարակշռության հաստատունի նկատմամբ։
• Այնպիսի հաստատունների հաշվարկը, ինչպիսին են ավտոլիզի ինդեքսը և լուծույթի թթվայնությունը, նույնպես չի կարող կատարվել առանց մեր ֆունկցիայի։

Հոգեբանություն և կենսաբանություն

Եվ ամենևին էլ պարզ չէ, թե ինչ կապ ունի դրա հետ հոգեբանությունը: Պարզվում է, որ սենսացիայի ուժգնությունը լավ նկարագրվում է այս ֆունկցիայով որպես գրգռիչի ինտենսիվության արժեքի հակադարձ հարաբերակցություն ավելի ցածր ինտենսիվության արժեքին:

Վերոնշյալ օրինակներից հետո այլեւս զարմանալի չէ, որ լոգարիթմների թեման լայնորեն կիրառվում է կենսաբանության մեջ։ Ամբողջ հատորներ կարելի էր գրել լոգարիթմական պարույրներին համապատասխան կենսաբանական ձևերի մասին։

Այլ ոլորտներ

Թվում է, թե աշխարհի գոյությունն անհնար է առանց այդ ֆունկցիայի հետ կապի, և այն կառավարում է բոլոր օրենքները։ Հատկապես, երբ բնության օրենքները կապված են երկրաչափական առաջընթաց. Արժե դիմել MatProfi կայքին, և կան բազմաթիվ նման օրինակներ գործունեության հետևյալ ոլորտներում.

Ցուցակը կարող է անվերջ լինել։ Այս ֆունկցիայի հիմնական սկզբունքներին տիրապետելով՝ կարող եք սուզվել անսահման իմաստության աշխարհ:

Մենք շարունակում ենք ուսումնասիրել լոգարիթմները: Այս հոդվածում մենք կխոսենք լոգարիթմների հաշվարկ, այս գործընթացը կոչվում է լոգարիթմ. Նախ մենք կհասկանանք լոգարիթմների հաշվարկը ըստ սահմանման: Հաջորդը, եկեք տեսնենք, թե ինչպես են լոգարիթմների արժեքները գտնվել՝ օգտագործելով դրանց հատկությունները: Դրանից հետո մենք կկենտրոնանանք լոգարիթմների հաշվարկման վրա այլ լոգարիթմների ի սկզբանե նշված արժեքների միջոցով: Ի վերջո, եկեք սովորենք, թե ինչպես օգտագործել լոգարիթմային աղյուսակները: Ամբողջ տեսությունը ներկայացված է օրինակներով՝ մանրամասն լուծումներով։

Էջի նավարկություն.

Լոգարիթմների հաշվարկն ըստ սահմանման

Ամենապարզ դեպքերում հնարավոր է կատարել բավականին արագ և հեշտությամբ գտնել լոգարիթմը ըստ սահմանման. Եկեք ավելի սերտ նայենք, թե ինչպես է այս գործընթացը տեղի ունենում:

Դրա էությունը b թիվը a c ձևով ներկայացնելն է, որից, ըստ լոգարիթմի սահմանման, c թիվը լոգարիթմի արժեքն է։ Այսինքն, ըստ սահմանման, լոգարիթմը գտնելուն համապատասխանում է հավասարումների հետևյալ շղթան՝ log a b=log a a c =c։

Այսպիսով, ըստ սահմանման լոգարիթմի հաշվարկը հանգում է նրան, որ գտնենք c թիվ, որպեսզի a c = b, իսկ c թիվը ինքնին լոգարիթմի ցանկալի արժեքն է:

Հաշվի առնելով նախորդ պարբերությունների տեղեկատվությունը, երբ լոգարիթմի նշանի տակ թիվը տրվում է լոգարիթմի հիմքի որոշակի հզորությամբ, կարող եք անմիջապես նշել, թե ինչի է հավասար լոգարիթմը. այն հավասար է ցուցիչին: Եկեք ցույց տանք օրինակների լուծումներ:

Օրինակ։

Գտե՛ք log 2 2 −3, ինչպես նաև հաշվարկե՛ք e 5,3 թվի բնական լոգարիթմը։

Լուծում.

Լոգարիթմի սահմանումը թույլ է տալիս անմիջապես ասել, որ log 2 2 −3 =−3: Իրոք, լոգարիթմի նշանի տակ գտնվող թիվը հավասար է 2-ից −3 հզորությանը:

Նմանապես, մենք գտնում ենք երկրորդ լոգարիթմը՝ lne 5.3 =5.3:

Պատասխան.

log 2 2 −3 =−3 և lne 5,3 =5,3:

Եթե ​​լոգարիթմի նշանի տակ b թիվը նշված չէ որպես լոգարիթմի հիմքի հզորություն, ապա դուք պետք է ուշադիր նայեք՝ տեսնելու համար, թե արդյոք հնարավոր է b թվի ներկայացումը a c ձևով: Հաճախ այս ներկայացումը բավականին ակնհայտ է, հատկապես, երբ լոգարիթմի նշանի տակ գտնվող թիվը հավասար է բազային 1, կամ 2, կամ 3, ...

Օրինակ։

Հաշվե՛ք լոգարիթմների log 5 25, և.

Լուծում.

Հեշտ է տեսնել, որ 25=5 2, սա թույլ է տալիս հաշվարկել առաջին լոգարիթմը՝ log 5 25=log 5 5 2 =2:

Անցնենք երկրորդ լոգարիթմի հաշվարկին։ Թիվը կարող է ներկայացվել որպես 7-ի ուժ. (տես անհրաժեշտության դեպքում): Հետևաբար, .

Եկեք վերագրենք երրորդ լոգարիթմը հետևյալ ձևը. Այժմ դուք կարող եք դա տեսնել , որից եզրակացնում ենք, որ . Հետեւաբար, լոգարիթմի սահմանմամբ .

Հակիրճ, լուծումը կարելի է գրել հետևյալ կերպ.

Պատասխան.

մատյան 5 25=2, Եվ .

Երբ լոգարիթմի նշանի տակ բավականաչափ մեծ բնական թիվ կա, այն պարզ գործոնների վերածելը չի ​​խանգարի: Այն հաճախ օգնում է ներկայացնել այնպիսի թիվը, ինչպիսին է լոգարիթմի հիմքի որոշ հզորություն, և, հետևաբար, հաշվարկել այս լոգարիթմը ըստ սահմանման:

Օրինակ։

Գտեք լոգարիթմի արժեքը:

Լուծում.

Լոգարիթմների որոշ հատկություններ թույլ են տալիս անմիջապես նշել լոգարիթմների արժեքը: Այս հատկությունները ներառում են մեկի լոգարիթմի հատկությունը և հիմքին հավասար թվի լոգարիթմի հատկությունը՝ log 1 1=log a a 0 =0 և log a a=log a 1 =1։ Այսինքն, երբ լոգարիթմի նշանի տակ կա 1 կամ լոգարիթմի հիմքին հավասար թիվ a, ապա այս դեպքերում լոգարիթմները համապատասխանաբար հավասար են 0-ի և 1-ի։

Օրինակ։

Ինչի՞ են հավասար լոգարիթմները և log10-ը:

Լուծում.

Քանի որ , ապա լոգարիթմի սահմանումից բխում է .

Երկրորդ օրինակում լոգարիթմի նշանի տակ գտնվող 10 թիվը համընկնում է դրա հիմքի հետ, ուստի տասնորդական լոգարիթմը մեկին հավասար, այսինքն՝ log10=lg10 1 =1։

Պատասխան.

ԵՎ lg10=1.

Նկատի ունեցեք, որ ըստ սահմանման լոգարիթմների հաշվարկը (որը մենք քննարկել ենք նախորդ պարբերությունում) ենթադրում է հավասարության log a a p =p օգտագործումը, որը լոգարիթմների հատկություններից մեկն է։

Գործնականում, երբ լոգարիթմի նշանի տակ գտնվող թիվը և լոգարիթմի հիմքը հեշտությամբ ներկայացված են որպես որոշակի թվի ուժ, շատ հարմար է օգտագործել բանաձևը. , որը համապատասխանում է լոգարիթմների հատկություններից մեկին։ Դիտարկենք լոգարիթմի հայտնաբերման օրինակ, որը ցույց է տալիս այս բանաձևի օգտագործումը:

Օրինակ։

Հաշվիր լոգարիթմը։

Լուծում.

Պատասխան.

.

Վերևում չնշված լոգարիթմների հատկությունները նույնպես օգտագործվում են հաշվարկներում, բայց այս մասին կխոսենք հաջորդ պարբերություններում:

Այլ հայտնի լոգարիթմների միջոցով գտնել լոգարիթմներ

Այս պարբերության տեղեկատվությունը շարունակում է լոգարիթմների հատկությունները հաշվարկելիս օգտագործելու թեման: Բայց այստեղ հիմնական տարբերությունն այն է, որ լոգարիթմների հատկությունները օգտագործվում են սկզբնական լոգարիթմը մեկ այլ լոգարիթմի տեսքով արտահայտելու համար, որի արժեքը հայտնի է։ Պարզաբանման համար բերենք օրինակ. Ենթադրենք, մենք գիտենք, որ log 2 3≈1.584963, ապա մենք կարող ենք գտնել, օրինակ, log 2 6՝ կատարելով մի փոքր փոխակերպում՝ օգտագործելով լոգարիթմի հատկությունները. log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

Վերոնշյալ օրինակում մեզ համար բավական էր օգտագործել արտադրանքի լոգարիթմի հատկությունը։ Այնուամենայնիվ, շատ ավելի հաճախ անհրաժեշտ է օգտագործել լոգարիթմների հատկությունների ավելի լայն զինանոց՝ սկզբնական լոգարիթմը տրվածների միջոցով հաշվարկելու համար։

Օրինակ։

Հաշվիր 27-ի լոգարիթմը մինչև 60 հիմքը, եթե գիտես, որ log 60 2=a և log 60 5=b:

Լուծում.

Այսպիսով, մենք պետք է գտնենք տեղեկամատյան 60 27: Հեշտ է տեսնել, որ 27 = 3 3, իսկ սկզբնական լոգարիթմը, հզորության լոգարիթմի հատկության շնորհիվ, կարող է վերագրվել որպես 3·log 60 3:

Այժմ տեսնենք, թե ինչպես կարելի է արտահայտել log 60 3-ը հայտնի լոգարիթմներով: Հիմքին հավասար թվի լոգարիթմի հատկությունը թույլ է տալիս գրել հավասարության լոգ 60 60=1։ Մյուս կողմից՝ log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2·log 60 2+log 60 3+log 60 5 . Այսպիսով, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Հետևաբար, log 60 3=1−2·log 60 2−log 60 5=1−2·a−b.

Ի վերջո, մենք հաշվարկում ենք սկզբնական լոգարիթմը՝ log 60 27=3 log 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Պատասխան.

log 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Առանձին-առանձին հարկ է նշել ձևի լոգարիթմի նոր հիմքին անցնելու բանաձևի իմաստը. . Այն թույլ է տալիս ցանկացած հիմքով լոգարիթմներից տեղափոխվել կոնկրետ հիմքով լոգարիթմներ, որոնց արժեքները հայտնի են կամ հնարավոր է գտնել դրանք: Սովորաբար, սկզբնական լոգարիթմից, օգտագործելով անցումային բանաձևը, նրանք տեղափոխվում են լոգարիթմներ 2, e կամ 10 հիմքերից մեկում, քանի որ այդ հիմքերի համար կան լոգարիթմների աղյուսակներ, որոնք թույլ են տալիս դրանց արժեքները հաշվարկել որոշակի աստիճանով: ճշգրտություն. Հաջորդ պարբերությունում մենք ցույց կտանք, թե ինչպես է դա արվում:

Լոգարիթմային աղյուսակներ և դրանց օգտագործումը

Լոգարիթմի արժեքների մոտավոր հաշվարկման համար կարող են օգտագործվել լոգարիթմի աղյուսակներ. Առավել հաճախ օգտագործվող բազային 2 լոգարիթմային աղյուսակը, բնական լոգարիթմի աղյուսակը և տասնորդական լոգարիթմի աղյուսակը: Տասնորդական թվային համակարգում աշխատելիս հարմար է օգտագործել լոգարիթմների աղյուսակը՝ հիմնված տասը հիմքի վրա։ Նրա օգնությամբ մենք կսովորենք գտնել լոգարիթմների արժեքները:

Ներկայացված աղյուսակը թույլ է տալիս գտնել 1000-ից մինչև 9999 թվերի տասնորդական լոգարիթմների արժեքները (երեք տասնորդական թվերով) մեկ տասը հազարերորդական ճշգրտությամբ: Մենք կվերլուծենք լոգարիթմի արժեքը գտնելու սկզբունքը՝ օգտագործելով տասնորդական լոգարիթմների աղյուսակը կոնկրետ օրինակ-Այդպես ավելի պարզ է: Եկեք գտնենք log1.256.

Տասնորդական լոգարիթմների աղյուսակի ձախ սյունակում գտնում ենք 1,256 թվի առաջին երկու թվանշանները, այսինքն՝ գտնում ենք 1,2-ը (պարզության համար այս թիվը շրջագծված է կապույտով): 1.256 թվի երրորդ նիշը (նիշ 5) գտնվում է կրկնակի տողի ձախ կողմում գտնվող առաջին կամ վերջին տողում (այս թիվը շրջված է կարմիրով): Բնօրինակ 1.256 թվի չորրորդ նիշը (նիշ 6) գտնվում է կրկնակի աջ կողմում գտնվող առաջին կամ վերջին տողում (այս թիվը պտտվում է կանաչ գծով): Այժմ մենք գտնում ենք թվերը լոգարիթմների աղյուսակի բջիջներում նշված տողի և նշված սյունակների հատման կետում (այս թվերը ընդգծված են նարնջագույն): Նշված թվերի գումարը տալիս է տասնորդական լոգարիթմի ցանկալի արժեքը մինչև չորրորդ տասնորդական տեղը, այսինքն. log1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.

Հնարավո՞ր է, օգտագործելով վերը նշված աղյուսակը, գտնել այն թվերի տասնորդական լոգարիթմների արժեքները, որոնք տասնորդական կետից հետո ունեն ավելի քան երեք նիշ, ինչպես նաև այն թվերը, որոնք դուրս են գալիս 1-ից 9,999 միջակայքից: Այո, դու կարող ես։ Եկեք ցույց տանք, թե ինչպես է դա արվում օրինակով:

Եկեք հաշվարկենք lg102.76332: Նախ պետք է գրել համարը ստանդարտ ձևով 102.76332=1.0276332·10 2. Դրանից հետո մանտիսան պետք է կլորացվի մինչև երրորդ տասնորդական տեղը, մենք ունենք 1.0276332 10 2 ≈1.028 10 2, մինչդեռ սկզբնական տասնորդական լոգարիթմը մոտավորապես հավասար է ստացված թվի լոգարիթմին, այսինքն՝ վերցնում ենք log102.76332≈lg1.028·10 2։ Այժմ մենք կիրառում ենք լոգարիթմի հատկությունները. lg1.028 10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. Վերջապես տասնորդական լոգարիթմների աղյուսակից գտնում ենք lg1.028 լոգարիթմի արժեքը lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012։ Արդյունքում, լոգարիթմի հաշվարկման ամբողջ գործընթացը հետևյալն է. log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = log1.028+lg10 2 =log1.028+2≈0.012+2=2.012.

Եզրափակելով, հարկ է նշել, որ օգտագործելով տասնորդական լոգարիթմների աղյուսակը, կարող եք հաշվարկել ցանկացած լոգարիթմի մոտավոր արժեքը: Դա անելու համար բավական է օգտագործել անցումային բանաձևը՝ գնալ տասնորդական լոգարիթմների, գտնել դրանց արժեքները աղյուսակում և կատարել մնացած հաշվարկները:

Օրինակ, եկեք հաշվարկենք log 2 3: Ըստ լոգարիթմի նոր հիմքի անցնելու բանաձևի՝ մենք ունենք . Տասնորդական լոգարիթմների աղյուսակից մենք գտնում ենք log3≈0.4771 և log2≈0.3010: Այսպիսով, .

Մատենագիտություն.

• Կոլմոգորով Ա.Ն., Աբրամով Ա.Մ., Դուդնիցին Յու.Պ. Հանրահաշիվ և վերլուծության սկիզբ. Դասագիրք հանրակրթական հաստատությունների 10-11-րդ դասարանների համար:
• Գուսև Վ.Ա., Մորդկովիչ Ա.Գ. Մաթեմատիկա (ձեռնարկ տեխնիկում ընդունողների համար).

Այսօր մենք կխոսենք լոգարիթմի բանաձևերև տալ ցուցիչ լուծման օրինակներ.

Նրանք իրենք են ենթադրում լուծման օրինաչափություններ՝ ըստ լոգարիթմների հիմնական հատկությունների։ Նախքան լուծելու համար լոգարիթմի բանաձևեր կիրառելը, եկեք հիշեցնենք ձեզ բոլոր հատկությունների մասին.

Այժմ, այս բանաձեւերի (հատկությունների) հիման վրա մենք ցույց կտանք լոգարիթմների լուծման օրինակներ.

Բանաձևերի հիման վրա լոգարիթմների լուծման օրինակներ.

Լոգարիթմ a-ի հիմքի վրա դրական b թիվը (նշվում է log a b-ով) այն ցուցանիշն է, որին պետք է բարձրացվի a-ն, որպեսզի ստացվի b՝ b > 0, a > 0 և 1:

Ըստ սահմանման՝ log a b = x, որը համարժեք է a x = b-ին, հետևաբար log a a x = x:

Լոգարիթմներ, օրինակներ:

log 2 8 = 3, քանի որ 2 3 = 8

log 7 49 = 2, քանի որ 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1, քանի որ 5 -1 = 1/5

Տասնորդական լոգարիթմ- սա սովորական լոգարիթմ է, որի հիմքը 10 է: Այն նշվում է որպես lg:

log 10 100 = 2, քանի որ 10 2 = 100

Բնական լոգարիթմ- նաև սովորական լոգարիթմ, լոգարիթմ, բայց e հիմքով (e = 2,71828... - իռացիոնալ թիվ): Նշվում է որպես ln.

Ցանկալի է անգիր անել լոգարիթմների բանաձևերը կամ հատկությունները, քանի որ դրանք մեզ ավելի ուշ պետք կգան լոգարիթմներ, լոգարիթմական հավասարումներ և անհավասարումներ լուծելիս։ Եկեք կրկին աշխատենք յուրաքանչյուր բանաձևի միջոցով օրինակներով:

• Հիմնական լոգարիթմական ինքնությունը
  a log a b = b

  8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9

• Արտադրանքի լոգարիթմը հավասար է լոգարիթմների գումարին
  log a (bc) = log a b + log a c

  log 3 8.1 + log 3 10 = log 3 (8.1*10) = log 3 81 = 4

• Քաղորդի լոգարիթմը հավասար է լոգարիթմների տարբերությանը
  log a (b/c) = log a b - log a c

  9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81

• Լոգարիթմական թվի և լոգարիթմի հիմքի հզորության հատկությունները

  Լոգարիթմական թվի ցուցիչ log a b m = mlog a b

  Լոգարիթմի հիմքի ցուցիչ log a n b =1/n*log a b

  log a n b m = m/n*log a b,

  եթե m = n, մենք ստանում ենք log a n b n = log a b

  log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3

• Անցում դեպի նոր հիմք
  log a b = log c b/log c a,

  եթե c = b, մենք ստանում ենք log b b = 1

  ապա log a b = 1/log b a

  log 0.8 3*log 3 1.25 = log 0.8 3*log 0.8 1.25/log 0.8 3 = log 0.8 1.25 = log 4/5 5/4 = -1

Ինչպես տեսնում եք, լոգարիթմների բանաձևերը այնքան էլ բարդ չեն, որքան թվում է: Այժմ, նայելով լոգարիթմների լուծման օրինակներին, մենք կարող ենք անցնել լոգարիթմական հավասարումների: Մենք ավելի մանրամասն կանդրադառնանք լոգարիթմական հավասարումների լուծման օրինակներին՝ «»: Բաց մի թողեք!

Եթե ​​դեռ հարցեր ունեք լուծման վերաբերյալ, գրեք դրանք հոդվածի մեկնաբանություններում:

Նշում. մենք որոշեցինք ստանալ այլ դասի կրթություն և սովորել արտերկրում որպես տարբերակ:

Պարզունակ մակարդակի հանրահաշվի տարրերից մեկը լոգարիթմն է։ Անունը գալիս է Հունարեն լեզու«թիվ» կամ «հզորություն» բառից և նշանակում է այն աստիճանը, որով պետք է բարձրացվի բազայի թիվը վերջնական թիվը գտնելու համար:

Լոգարիթմների տեսակները

• log a b – b թվի լոգարիթմը a հիմքի վրա (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
• log b – տասնորդական լոգարիթմ (լոգարիթմ մինչև 10 հիմք, a = 10);
• ln b – բնական լոգարիթմ (լոգարիթմից մինչև e հիմք, a = e):

Ինչպե՞ս լուծել լոգարիթմները:

b-ի լոգարիթմը a հիմքի վրա ցուցիչ է, որը պահանջում է, որ b-ը բարձրացվի a հիմքի վրա: Ստացված արդյունքն արտասանվում է այսպես՝ «b-ի լոգարիթմը a հիմքից»։ Լոգարիթմական խնդիրների լուծումն այն է, որ դուք պետք է որոշեք տրված հզորությունը թվերով նշված թվերից։ Կան մի քանի հիմնական կանոններ լոգարիթմը որոշելու կամ լուծելու, ինչպես նաև ինքնին նշումը փոխակերպելու համար: Դրանց կիրառմամբ լուծվում են լոգարիթմական հավասարումներ, գտնվում են ածանցյալներ, լուծվում են ինտեգրալներ և բազմաթիվ այլ գործողություններ։ Հիմնականում լոգարիթմի լուծումն ինքնին նրա պարզեցված նշումն է: Ստորև բերված են հիմնական բանաձևերը և հատկությունները.

Ցանկացած ա ; a > 0; a ≠ 1 և ցանկացած x-ի համար; y > 0.

• a log a b = b – հիմնական լոգարիթմական ինքնությունը
• գրանցվեք 1 = 0
• լոգա a = 1
• log a (x y) = log a x + log a y
• log a x/ y = log a x – log a y
• log a 1/x = -log a x
• log a x p = p log a x
• log a k x = 1/k log a x, k ≠ 0-ի համար
• log a x = log a c x c
• log a x = log b x/ log b a – նոր բազա տեղափոխվելու բանաձև
• log a x = 1/log x a

Ինչպես լուծել լոգարիթմները՝ լուծման քայլ առ քայլ հրահանգներ

• Նախ, գրեք պահանջվող հավասարումը:

Խնդրում ենք նկատի ունենալ. եթե հիմնական լոգարիթմը 10 է, ապա մուտքը կրճատվում է, ինչի արդյունքում ստացվում է տասնորդական լոգարիթմ: Եթե ​​կա e բնական թիվ, ապա այն գրում ենք՝ վերածելով բնական լոգարիթմի։ Սա նշանակում է, որ բոլոր լոգարիթմների արդյունքը այն հզորությունն է, որով բազային թիվը բարձրացվում է b թիվը ստանալու համար:

Ուղղակիորեն, լուծումը կայանում է այս աստիճանի հաշվարկման մեջ: Արտահայտությունը լոգարիթմով լուծելուց առաջ այն պետք է պարզեցվի կանոնի համաձայն, այսինքն՝ օգտագործելով բանաձևեր։ Դուք կարող եք գտնել հիմնական ինքնությունները՝ հոդվածում մի փոքր հետ գնալով։

Երկու տարբեր թվերով, բայց միևնույն հիմքերով լոգարիթմներ գումարելիս և հանելիս փոխարինեք մեկ լոգարիթմով b և c թվերի արտադրյալով կամ բաժանելով համապատասխանաբար: Այս դեպքում կարող եք կիրառել մեկ այլ բազա տեղափոխելու բանաձևը (տես վերևում):

Եթե ​​դուք օգտագործում եք արտահայտություններ լոգարիթմը պարզեցնելու համար, կան որոշ սահմանափակումներ, որոնք պետք է հաշվի առնել: Եվ դա այն է. a լոգարիթմի հիմքը միայն դրական թիվ, բայց չէ մեկին հավասար. b թիվը, ինչպես a-ն, պետք է լինի զրոյից մեծ:

Կան դեպքեր, երբ պարզեցնելով արտահայտությունը, դուք չեք կարողանա թվային հաշվարկել լոգարիթմը: Պատահում է, որ նման արտահայտությունը իմաստ չունի, քանի որ շատ ուժեր իռացիոնալ թվեր են։ Այս պայմանով թողեք թվի հզորությունը որպես լոգարիթմ: