≡× MENU

• داخلی
• ویندوز
• دیوارها
• پروژه ها
• ساختمان ها

کاهش کسرهای مخلوط ماشین حساب آنلاین برای کاهش کسرهای جبری با یک راه حل دقیق به شما امکان می دهد کسر را کاهش دهید و کسر نامناسب را به کسر مناسب تبدیل کنید.

بیایید بفهمیم کاهش کسرها چیست، چرا و چگونه کسرها را کاهش دهیم، قانون کاهش کسرها و نمونه هایی از کاربرد آن را خواهیم گفت.

Yandex.RTB R-A-339285-1

"کسرهای کاهنده" چیست؟

کسری را کاهش دهید

کاهش کسری به معنای تقسیم صورت و مخرج آن است مقسوم علیه مشترک، مثبت و متفاوت از وحدت.

در نتیجه این عمل کسری با صورت و مخرج جدید برابر با کسر اصلی به دست می آید.

به عنوان مثال، کسری مشترک 6 را 24 در نظر می گیریم و آن را کاهش می دهیم. صورت و مخرج را بر 2 تقسیم کنید، به 6 24 = 6 ÷ 2 24 ÷ 2 = 3 12 می رسد. در این مثال، کسر اصلی را 2 کاهش دادیم.

تقلیل کسرها به شکل غیر قابل تقلیل

در مثال قبل، کسر 6 24 را به 2 کاهش دادیم و در نتیجه کسر 3 12 به دست آمد. به راحتی می توان فهمید که این کسر می تواند بیشتر کاهش یابد. به طور معمول، هدف از کاهش کسر این است که به کسر غیر قابل تقلیل ختم شود. چگونه یک کسری را به شکل غیر قابل تقلیل آن کاهش دهیم؟

این را می توان با کاهش صورت و مخرج توسط بزرگترین عامل مشترک آنها (GCD) انجام داد. سپس با خاصیت بزرگترین مقسوم علیه مشترک، صورت و مخرج دارای اعداد اول خواهند بود و کسر تقلیل ناپذیر خواهد بود.

a b = a ÷ N O D (a , b) b ÷ N O D (a , b)

تقلیل کسری به شکل غیر قابل تقلیل

برای کاهش یک کسر به شکل غیر قابل تقلیل، باید صورت و مخرج آن را بر gcd تقسیم کنید.

بیایید به کسر 6 24 از مثال اول برگردیم و آن را به شکل تقلیل ناپذیر آن برسانیم. بزرگترین مقسوم علیه مشترک اعداد 6 و 24 6 است. بیایید کسر را کاهش دهیم:

6 24 = 6 ÷ 6 24 ÷ 6 = 1 4

کسر کسر برای استفاده راحت است تا با اعداد زیاد کار نکند. به طور کلی، یک قانون ناگفته در ریاضیات وجود دارد: اگر می توانید هر عبارتی را ساده کنید، پس باید آن را انجام دهید. کاهش کسری اغلب به معنای تقلیل آن به شکلی غیرقابل تقلیل است و نه صرفاً کاهش آن توسط مقسوم علیه مشترک صورت و مخرج.

قانون کاهش کسرها

برای کاهش کسری، فقط قانون را به خاطر بسپارید که شامل دو مرحله است.

قانون کاهش کسرها

برای کاهش کسری نیاز دارید:

1. gcd صورت و مخرج را پیدا کنید.
2. صورت و مخرج را بر gcd آنها تقسیم کنید.

بیایید به مثال های عملی نگاه کنیم.

مثال 1. بیایید کسر را کاهش دهیم.

با توجه به کسری 182 195. کوتاهش کنیم

بیایید gcd صورت و مخرج را پیدا کنیم. برای انجام این کار، در این مورد استفاده از الگوریتم اقلیدسی راحت تر است.

195 = 182 1 + 13 182 = 13 14 N O D (182، 195) = 13

صورت و مخرج را بر 13 تقسیم کنید. دریافت می کنیم:

182 195 = 182 ÷ 13 195 ÷ 13 = 14 15

آماده است. کسری تقلیل ناپذیر به دست آورده ایم که برابر با کسر اصلی است.

چگونه می توانید کسرها را کاهش دهید؟ در برخی موارد راحت است که صورت و مخرج را در ضرایب اول قرار دهیم و سپس همه عوامل مشترک را از قسمت های بالایی و پایینی کسر حذف کنیم.

مثال 2. کسر را کاهش دهید

با توجه به کسر 360 2940. کوتاهش کنیم

برای انجام این کار، کسر اصلی را به شکل زیر تصور کنید:

360 2940 = 2 2 2 3 3 5 2 2 2 3 5 7 7

بیایید از شر عوامل مشترک در صورت و مخرج خلاص شویم و در نتیجه:

360 2940 = 2 2 2 3 3 5 2 2 3 5 7 7 = 2 3 7 7 = 6 49

در نهایت، اجازه دهید راه دیگری برای کاهش کسرها بررسی کنیم. این به اصطلاح کاهش متوالی است. با استفاده از این روش، کاهش در چندین مرحله انجام می شود که در هر یک از آنها کسر توسط یک عامل مشترک آشکار کاهش می یابد.

مثال 3. کسر را کاهش دهید

بیایید کسر 2000 4400 را کاهش دهیم.

بلافاصله مشخص می شود که صورت و مخرج ضریب مشترک 100 دارند. کسر را 100 کاهش می دهیم و به دست می آوریم:

2000 4400 = 2000 ÷ 100 4400 ÷ 100 = 20 44

20 44 = 20 ÷ 2 44 ÷ 2 = 10 22

نتیجه حاصل را دوباره 2 کاهش می دهیم و کسری غیر قابل تقلیل به دست می آوریم:

10 22 = 10 ÷ 2 22 ÷ 2 = 5 11

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

بر اساس ویژگی اصلی آنها است: اگر صورت و مخرج کسری به همان چند جمله ای غیر صفر تقسیم شود، کسری مساوی به دست می آید.

شما فقط می توانید چند برابر را کاهش دهید!

اعضای چند جمله ای را نمی توان به اختصار نام برد!

برای کاهش یک کسر جبری، ابتدا باید چندجمله ای های صورت و مخرج را فاکتورسازی کرد.

بیایید نمونه هایی از کسرهای کسر را بررسی کنیم.

صورت و مخرج کسری دارای تک جمله است. نمایندگی می کنند کار کردن(اعداد، متغیرها و توان آنها)، ضرب کننده هامی توانیم کاهش دهیم

ما اعداد را با بزرگترین مقسوم علیه مشترک آنها کاهش می دهیم بزرگترین عدد، که هر یک از این اعداد تقسیم می شوند. برای 24 و 36 این 12 است. پس از کاهش، 2 از 24 و 3 از 36 باقی می ماند.

درجه ها را با کمترین شاخص کاهش می دهیم. کاهش کسری به این معنی است که صورت و مخرج را بر یک مقسوم‌گیرنده تقسیم می‌کنیم و توان‌ها را کم می‌کنیم.

a2 و a7 به a2 کاهش می یابد. در این حالت، یک در صورت‌گر a² باقی می‌ماند (1 را فقط در صورتی می‌نویسیم که پس از کاهش، هیچ عامل دیگری باقی نماند. از 24، 2 باقی می‌ماند، بنابراین 1 باقی مانده از a2 را نمی‌نویسیم). از a7، پس از کاهش، a5 باقی می ماند.

b و b با b کاهش می یابند.

c³º و c5 به c5 کوتاه می شوند. از c³º چیزی که باقی می ماند c25 است، از c5 یک است (ما آن را نمی نویسیم). بنابراین،

صورت و مخرج این کسر جبری چند جمله ای هستند. شما نمی توانید شرایط چند جمله ای ها را لغو کنید! (برای مثال نمی توانید 8x² و 2x را کاهش دهید!). برای کاهش این کسر، شما نیاز دارید. عدد ضریب مشترک 4 برابر است. بیایید آن را از پرانتز خارج کنیم:

هم صورت و هم مخرج ضریب یکسانی دارند (2x-3). کسر را با این ضریب کاهش می دهیم. در صورت 4x، در مخرج - 1. برای 1 خاصیت کسرهای جبری، کسر 4x است.

شما فقط می توانید عوامل را کاهش دهید (شما نمی توانید این کسر را 25x2 کاهش دهید!). بنابراین، چند جمله‌ای در صورت و مخرج کسر باید فاکتورسازی شوند.

صورت، مجذور کامل مجموع، مخرج اختلاف مجذورات است. پس از تجزیه با استفاده از فرمول های ضرب اختصاری، به دست می آوریم:

کسر را با (5x+1) کاهش می‌دهیم (برای انجام این کار، این دو را در صورت‌حساب به‌عنوان توان خط بکشید و (5x+1)² (5x+1) را ترک کنید):

عدد ضریب مشترک 2 دارد، بیایید آن را از پرانتز خارج کنیم. مخرج فرمول تفاضل مکعب هاست:

در نتیجه بسط، صورت و مخرج عامل یکسانی (9+3a+a2) را دریافت کردند. کسر را با آن کاهش می دهیم:

چند جمله ای در صورتگر از 4 جمله تشکیل شده است. جمله اول با دوم، سوم با چهارم، و عامل مشترک x² را از اولین براکت حذف کنید. مخرج را با استفاده از فرمول مجموع مکعب ها تجزیه می کنیم:

در صورت‌حساب، ضریب مشترک (x+2) را از پرانتز خارج می‌کنیم:

کسر را با (x+2) کاهش دهید:

اگر ما نیاز به تقسیم 497 بر 4 داشته باشیم، آنگاه هنگام تقسیم خواهیم دید که 497 به طور مساوی بر 4 بخش پذیر نیست، یعنی. باقی مانده تقسیم باقی می ماند. در چنین مواردی گفته می شود که تکمیل شده است تقسیم با باقی ماندهو راه حل به صورت زیر نوشته می شود:
497: 4 = 124 (1 باقیمانده).

اجزای تقسیم در سمت چپ تساوی مانند تقسیم بدون باقی مانده نامیده می شوند: 497 - سود سهام, 4 - تقسیم کننده. نتیجه تقسیم وقتی با باقیمانده تقسیم می شود نامیده می شود خصوصی ناقص. در مورد ما این عدد 124 است و در نهایت آخرین جزء که در تقسیم معمولی نیست باقی مانده. در مواردی که باقیمانده ای وجود ندارد، یک عدد بر عدد دیگر تقسیم می شود بدون هیچ اثری یا به طور کامل. اعتقاد بر این است که با چنین تقسیمی، باقیمانده صفر است. در مورد ما، باقیمانده 1 است.

باقیمانده همیشه کمتر از مقسوم علیه است.

تقسیم را می توان با ضرب بررسی کرد. برای مثال، اگر برابری 64: 32 = 2 وجود داشته باشد، بررسی را می توان به این صورت انجام داد: 64 = 32 * 2.

اغلب در مواردی که تقسیم با باقی مانده انجام می شود، استفاده از برابری راحت است
a = b * n + r،
که در آن a سود سهام، b مقسوم علیه، n سهم جزئی، r باقیمانده است.

ضریب اعداد طبیعی را می توان به صورت کسری نوشت.

صورت کسری سود تقسیمی است و مخرج آن مقسوم علیه است.

از آنجایی که صورت کسری سود تقسیمی و مخرج آن تقسیم کننده است، معتقدند که خط کسری به معنای عمل تقسیم است. گاهی اوقات نوشتن تقسیم به صورت کسری بدون استفاده از علامت ":" راحت است.

ضریب تقسیم اعداد طبیعی m و n را می توان به صورت کسری \(\frac(m)(n) \ نوشت، که در آن صورت m سود تقسیمی و مخرج n تقسیم کننده است:
\(m:n = \frac(m)(n)\)

قوانین زیر درست است:

برای بدست آوردن کسری \(\frac(m)(n)\)، باید واحد را به n قسمت مساوی (سهم) تقسیم کنید و m از این قسمت ها را بگیرید.

برای بدست آوردن کسری \(\frac(m)(n)\)، باید عدد m را بر عدد n تقسیم کنید.

برای یافتن بخشی از یک کل، باید عدد مربوط به کل را بر مخرج تقسیم کرده و حاصل را در عدد کسری که این جزء را بیان می کند ضرب کنید.

برای یافتن یک کل از قسمت آن، باید عدد مربوط به این قسمت را بر صورتگر تقسیم کنید و حاصل را در مخرج کسری که این جزء را بیان می کند ضرب کنید.

اگر هم صورت و هم مخرج کسری در یک عدد ضرب شوند (به جز صفر)، مقدار کسری تغییر نمی کند:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)

اگر هم صورت و هم مخرج کسری بر یک عدد تقسیم شوند (به جز صفر)، مقدار کسری تغییر نمی کند:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) \)
این خاصیت نامیده می شود ویژگی اصلی کسری.

دو تبدیل آخر نامیده می شوند کاهش کسری.

اگر لازم باشد کسرها به صورت کسری با مخرج یکسان نمایش داده شوند، این عمل نامیده می شود. تقلیل کسرها به مخرج مشترک.

کسرهای مناسب و نامناسب. اعداد مختلط

قبلاً می دانید که با تقسیم یک کل به قطعات مساوی و گرفتن چندین قسمت از این قبیل، یک کسری به دست می آید. برای مثال، کسری \(\frac(3)(4)\) به معنای سه چهارم یک است. در بسیاری از مشکلات پاراگراف قبل کسرهای رایجبرای نشان دادن بخشی از یک کل استفاده می شود. عقل سلیم حکم می کند که جزء باید همیشه کوچکتر از کل باشد، اما در مورد کسرهایی مانند \(\frac(5)(5)\) یا \(\frac(8)(5)\) چطور؟ واضح است که این دیگر بخشی از واحد نیست. احتمالاً به همین دلیل است که کسری که صورت آن بزرگتر یا مساوی با مخرج است نامیده می شود کسرهای نامناسب. کسرهای باقیمانده یعنی کسری که صورت آن کوچکتر از مخرج است نامیده می شود. کسرهای صحیح.

همانطور که می دانید، هر کسر مشترک، اعم از مناسب و نامناسب، را می توان نتیجه تقسیم صورت بر مخرج در نظر گرفت. بنابراین، در ریاضیات، بر خلاف زبان معمولی، اصطلاح «کسری نامناسب» به این معنا نیست که ما کار اشتباهی انجام داده‌ایم، بلکه فقط به این معناست که صورت این کسر بزرگتر یا مساوی با مخرج است.

اگر عددی از یک جزء صحیح و یک کسری تشکیل شده باشد، چنین است کسرها را مختلط می گویند.

به عنوان مثال:
\(5:3 = 1\frac(2)(3) \) : 1 قسمت صحیح و \(\frac(2)(3) \) قسمت کسری است.

اگر عدد کسری \(\frac(a)(b)\) بر عدد طبیعی n، سپس برای تقسیم این کسر بر n، باید عدد آن را بر این عدد تقسیم کنید:
\(\large \frac(a)(b): n = \frac(a:n)(b) \)

اگر صورت کسری \(\frac(a)(b)\) بر یک عدد طبیعی n بخش پذیر نیست، برای تقسیم این کسر بر n، باید مخرج آن را در این عدد ضرب کنید:
\(\large \frac(a)(b): n = \frac(a)(bn) \)

توجه داشته باشید که قاعده دوم زمانی نیز صادق است که صورت بر n بخش پذیر باشد. بنابراین، زمانی می توانیم از آن استفاده کنیم که در نگاه اول تشخیص اینکه آیا عدد کسری بر n بخش پذیر است یا خیر، دشوار است.

اعمال با کسر. جمع کردن کسرها

شما می توانید عملیات حسابی را با اعداد کسری درست مانند اعداد طبیعی انجام دهید. بیایید ابتدا به جمع کسرها نگاه کنیم. به راحتی کسرها را با مخرج های مشابه. اجازه دهید، برای مثال، مجموع \(\frac(2)(7)\) و \(\frac(3)(7)\) را پیدا کنیم. به راحتی می توان فهمید که \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \)

برای جمع کردن کسرهایی با مخرج یکسان، باید اعداد آنها را جمع کنید و مخرج را ثابت نگه دارید.

با استفاده از حروف، قانون جمع کسری با مخرج مشابه را می توان به صورت زیر نوشت:
\(\large \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)

اگر نیاز به اضافه کردن کسر با مخرج های مختلف، سپس ابتدا باید آنها را به یک مخرج مشترک آورد. به عنوان مثال:
\(\large \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3 ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)

برای کسرها، مانند اعداد طبیعی، خواص جابجایی و انجمنی جمع معتبر است.

افزودن کسرهای مخلوط

نمادهایی مانند \(2\frac(2)(3)\) فراخوانی می شوند کسرهای مخلوط. در این حالت عدد 2 نامیده می شود کل بخشکسر مختلط، و عدد \(\frac(2)(3)\) آن است قسمت کسری. ورودی \(2\frac(2)(3)\) به صورت زیر خوانده می شود: "دو و دو سوم".

هنگام تقسیم عدد 8 بر عدد 3، می توانید دو پاسخ دریافت کنید: \(\frac(8)(3)\) و \(2\frac(2)(3)\). آنها همان عدد کسری را بیان می کنند، یعنی \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3)\)

بنابراین، کسر نامناسب \(\frac(8)(3)\) به عنوان یک کسر مختلط \(2\frac(2)(3)\ نمایش داده می شود. در چنین مواردی می گویند که از کسری نامناسب تمام قسمت را برجسته کرد.

تفریق کسرها (اعداد کسری)

تفریق اعداد کسری، مانند اعداد طبیعی، بر اساس عمل جمع تعیین می شود: تفریق عددی دیگر از یک عدد به معنای یافتن عددی است که وقتی به عدد دوم اضافه شود، عدد اول به دست می آید. به عنوان مثال:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \) از \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9) = \frac(8)(9)\)

قانون تفریق کسری با مخرج مشابه مشابه قانون جمع کردن این کسرها است:
برای پیدا کردن تفاوت بین کسری با مخرج یکسان، باید عدد دوم را از صورت کسر اول کم کنید و مخرج را ثابت نگه دارید.

با استفاده از حروف، این قانون به صورت زیر نوشته می شود:
\(\large \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)

ضرب کسرها

برای ضرب کسری در کسری باید صورت و مخرج آنها را ضرب کنید و حاصل ضرب اول را به عنوان صورت و دومی را به عنوان مخرج بنویسید.

با استفاده از حروف، قانون ضرب کسر را می توان به صورت زیر نوشت:
\(\large \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)

با استفاده از قانون فرموله شده، می توانید یک کسری را در یک عدد طبیعی، در یک کسر مختلط و همچنین کسرهای مختلط را ضرب کنید. برای انجام این کار، شما باید یک عدد طبیعی را به صورت کسری با مخرج 1، یک کسر مختلط - به عنوان یک کسر نامناسب بنویسید.

نتیجه ضرب را باید (در صورت امکان) با کاهش کسر و جداسازی کل قسمت کسر نامناسب ساده کرد.

برای کسرها، مانند اعداد طبیعی، خواص جابجایی و ترکیبی ضرب و همچنین خاصیت توزیعی ضرب نسبت به جمع معتبر است.

تقسیم کسرها

بیایید کسری \(\frac(2)(3)\) را برداریم و آن را "تغییر" کنیم و صورت و مخرج را عوض کنیم. کسر \(\frac(3)(2)\) را بدست می آوریم. این کسر نامیده می شود معکوسکسری \(\frac(2)(3)\).

اگر اکنون کسر \(\frac(3)(2)\ را "برعکس" کنیم، کسر اصلی \(\frac(2)(3)\ را دریافت خواهیم کرد). بنابراین، کسری مانند \(\frac(2)(3)\) و \(\frac(3)(2)\) نامیده می شوند. متقابل معکوس.

به عنوان مثال، کسرهای \(\frac(6)(5) \) و \(\frac(5)(6) \)، \(\frac(7)(18) \) و \(\frac (18) )(7)\).

با استفاده از حروف، کسرهای متقابل را می توان به صورت زیر نوشت: \(\frac(a)(b) \) و \(\frac(b)(a) \)

واضح است که حاصل ضرب کسرهای متقابل برابر با 1 است. به عنوان مثال: \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)

با استفاده از کسرهای متقابل، می توانید تقسیم کسرها را به ضرب کاهش دهید.

قانون تقسیم کسری بر کسری به این صورت است:
برای تقسیم یک کسر بر کسر دیگر، باید سود تقسیمی را در متقابل تقسیم کننده ضرب کنید.

با استفاده از حروف، قانون تقسیم کسری را می توان به صورت زیر نوشت:
\(\large \frac(a)(b): \frac(c)(d) = \frac(a)(b) \cdot \frac(d)(c) \)

اگر تقسیم کننده یا مقسوم علیه یک عدد طبیعی یا یک کسر مختلط باشد، برای استفاده از قانون تقسیم کسرها، ابتدا باید به صورت کسر نامناسب نمایش داده شود.

این مقاله در ادامه مبحث تبدیل کسرهای جبری می باشد: چنین عملی را کاهش کسرهای جبری در نظر بگیرید. بیایید خود اصطلاح را تعریف کنیم، قانون کاهش را تدوین کنیم و مثال های عملی را تجزیه و تحلیل کنیم.

Yandex.RTB R-A-339285-1

معنی کاهش کسر جبری

در مطالب مربوط به کسرهای مشترک، به کاهش آن نگاه کردیم. ما تقلیل کسری را به صورت تقسیم صورت و مخرج آن بر یک عامل مشترک تعریف کردیم.

کاهش یک کسر جبری نیز عملیات مشابهی است.

تعریف 1

کاهش کسری جبریتقسیم صورت و مخرج آن بر یک عامل مشترک است. در این حالت، بر خلاف کاهش یک کسر معمولی (مخرج مشترک فقط می تواند یک عدد باشد)، عامل مشترک صورت و مخرج کسری جبری می تواند یک چند جمله ای، به ویژه، یک تک جمله یا یک عدد باشد.

به عنوان مثال، کسر جبری 3 x 2 + 6 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 را می توان با عدد 3 کاهش داد و به این نتیجه رسید: x 2 + 2 x y 6 x 3 · y + 12 · x 2 · y 2 . می‌توانیم همان کسر را با متغیر x کاهش دهیم، و این عبارت 3 x + 6 y 6 x 2 y + 12 x y 2 را به ما می‌دهد. همچنین می توان یک کسر معین را با یک تک جمله کاهش داد 3 xیا هر یک از چند جمله ای ها x + 2 y، 3 x + 6 y ، x 2 + 2 x y یا 3 x 2 + 6 x y.

هدف نهایی از کاهش کسر جبری کسری بزرگتر از نوع سادهدر بهترین حالت، کسری غیر قابل تقلیل است.

آیا همه کسرهای جبری در معرض کاهش هستند؟

باز هم از مواد روی کسرهای معمولی می دانیم که کسرهای تقلیل پذیر و غیر قابل تقلیل وجود دارد. کسرهای تقلیل ناپذیر به کسری گفته می شود که فاکتورهای صورت و مخرج مشترکی غیر از 1 ندارند.

در مورد کسرهای جبری هم همینطور است: ممکن است فاکتورهای مشترکی در صورت و مخرج داشته باشند، یا ممکن است نداشته باشند. وجود عوامل مشترک به شما امکان می دهد کسر اصلی را از طریق کاهش ساده کنید. وقتی فاکتورهای مشترکی وجود نداشته باشد، بهینه سازی یک کسر معین با استفاده از روش کاهش غیرممکن است.

در موارد کلیبرای یک نوع معین از کسر، درک اینکه آیا می توان آن را کاهش داد بسیار دشوار است. البته در برخی موارد وجود عامل مشترک بین صورت و مخرج مشهود است. به عنوان مثال، در کسر جبری 3 x 2 3 y کاملاً مشخص است که عامل مشترک عدد 3 است.

در کسر - x · y 5 · x · y · z 3 ما همچنین بلافاصله متوجه می شویم که می توان آن را با x، یا y، یا x · y کاهش داد. و با این حال، اغلب نمونه هایی از کسرهای جبری وجود دارد، زمانی که فاکتور مشترک صورت و مخرج چندان آسان نیست و حتی بیشتر اوقات، به سادگی وجود ندارد.

به عنوان مثال، ما می توانیم کسری x 3 - 1 x 2 - 1 را به x - 1 کاهش دهیم، در حالی که عامل مشترک مشخص شده در ورودی وجود ندارد. اما کسر x 3 - x 2 + x - 1 x 3 + x 2 + 4 · x + 4 قابل کاهش نیست، زیرا صورت و مخرج عامل مشترکی ندارند.

بنابراین، مسئله تعیین تقلیل پذیری یک کسر جبری چندان ساده نیست، و اغلب کار با کسری از یک شکل معین آسان تر از تلاش برای یافتن این است که آیا کسر قابل تقلیل است یا خیر. در این حالت، چنین تبدیل هایی صورت می گیرد که در موارد خاص، تعیین ضریب مشترک صورت و مخرج یا نتیجه گیری در مورد تقلیل ناپذیری کسری را ممکن می سازد. در پاراگراف بعدی مقاله این موضوع را به تفصیل بررسی خواهیم کرد.

قانون کاهش کسرهای جبری

قانون کاهش کسرهای جبریشامل دو عمل متوالی است:

• یافتن عوامل مشترک صورت و مخرج؛
• اگر موردی یافت شود، عمل کاهش کسر به طور مستقیم انجام می شود.

راحت‌ترین روش برای یافتن مخرج مشترک، فاکتور کردن چندجمله‌ای موجود در صورت و مخرج کسر جبری معین است. این به شما امکان می دهد بلافاصله وجود یا عدم وجود عوامل مشترک را به وضوح مشاهده کنید.

عمل کاهش یک کسر جبری بر اساس ویژگی اصلی یک کسری جبری است که با برابری تعریف نشده بیان می شود، که در آن a، b، c چند جمله ای هستند و b و c غیر صفر هستند. اولین مرحله کاهش کسر به شکل a · c b · c است که در آن بلافاصله متوجه عامل مشترک c می شویم. مرحله دوم انجام یک کاهش است، یعنی. انتقال به کسری از شکل a b.

نمونه های معمولی

علیرغم برخی بدیهیات، اجازه دهید حالت خاصی را روشن کنیم که صورت و مخرج یک کسر جبری برابر است. کسرهای مشابه به طور یکسان برابر با 1 در کل ODZ متغیرهای این کسری هستند:

5 5 = 1 ; - 2 3 - 2 3 = 1 ; x x = 1 ; - 3، 2 x 3 - 3، 2 x 3 = 1; 1 2 · x - x 2 · y 1 2 · x - x 2 · y ;

از آنجایی که کسرهای معمولی مورد خاصی از کسرهای جبری هستند، اجازه دهید به یاد بیاوریم که چگونه آنها کاهش می یابند. اعداد طبیعی که در صورت و مخرج نوشته می‌شوند در ضرایب اول قرار می‌گیرند، سپس عوامل مشترک لغو می‌شوند (در صورت وجود).

به عنوان مثال، 24 1260 = 2 2 2 3 2 2 3 3 5 7 = 2 3 5 7 = 2 105

حاصل ضرب ضرایب ساده یکسان را می توان به صورت توان نوشت و در فرآیند کاهش کسری از خاصیت تقسیم توان با پایه های یکسان استفاده کرد. سپس راه حل فوق این خواهد بود:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 - 2 3 2 - 1 5 7 = 2 105

(صورت و مخرج تقسیم بر یک عامل مشترک 2 2 3). یا برای وضوح، بر اساس خواص ضرب و تقسیم، جواب را به شکل زیر می‌دهیم:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 2 2 3 3 2 1 5 7 = 2 1 1 3 1 35 = 2 105

بر اساس قیاس، کاهش کسرهای جبری انجام می شود که در آن صورت و مخرج دارای تک جمله هایی با ضرایب صحیح هستند.

مثال 1

کسر جبری داده شده است - 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z. باید کاهش یابد.

راه حل

می توان صورت و مخرج یک کسر معین را به عنوان حاصل ضرب عوامل و متغیرهای ساده نوشت و سپس کاهش را انجام داد:

27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 · 3 · 3 · a · a · a · a · a · b · b · c · z 2 · 3 · a · a · b · b · c · c · c · c · c · c · c · z = = - 3 · 3 · a · a · a 2 · c · c · c · c · c · c · c = - 9 a 3 2 c 6

با این حال، یک راه منطقی تر نوشتن راه حل به عنوان یک عبارت با قدرت است:

27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 3 · a 5 · b 2 · c · z 2 · 3 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 3 2 · 3 · a 5 a 2 · b 2 b 2 · c c 7 · z z = = - 3 3 - 1 2 · a 5 - 2 1 · 1 · 1 c 7 - 1 · 1 = · - 3 2 · a 3 2 · c 6 = · - 9 · a 3 2 · c 6 .

پاسخ:- 27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 9 a 3 2 c 6

هنگامی که صورت و مخرج یک کسر جبری حاوی ضرایب عددی کسری باشد، دو راه ممکن برای اقدام بعدی وجود دارد: یا این ضرایب کسری را به طور جداگانه تقسیم کنید، یا ابتدا با ضرب صورت و مخرج در یک عدد طبیعی، از شر ضرایب کسری خلاص شوید. آخرین تبدیل به دلیل ویژگی اساسی یک کسری جبری انجام می شود (می توانید در مورد آن در مقاله "کاهش کسری جبری به مخرج جدید" بخوانید).

مثال 2

کسر داده شده 2 5 x 0، 3 x 3 است. باید کاهش یابد.

راه حل

کاهش کسر به این صورت امکان پذیر است:

2 5 x 0، 3 x 3 = 2 5 3 10 x x 3 = 4 3 1 x 2 = 4 3 x 2

بیایید سعی کنیم با خلاص شدن از شر ضرایب کسری مشکل را متفاوت حل کنیم - صورت و مخرج را در کمترین مضرب مشترک مخرج های این ضرایب ضرب کنیم. در LCM (5، 10) = 10. سپس دریافت می کنیم:

2 5 x 0، 3 x 3 = 10 2 5 x 10 0، 3 x 3 = 4 x 3 x 3 = 4 3 x 2.

پاسخ: 2 5 x 0، 3 x 3 = 4 3 x 2

وقتی کسرهای جبری را کاهش می دهیم نمای کلی، که در آن صورت‌ها و مخرج‌ها می‌توانند تک‌جمله‌ای یا چندجمله‌ای باشند، زمانی که عامل مشترک همیشه بلافاصله قابل مشاهده نباشد، ممکن است مشکلی وجود داشته باشد. یا علاوه بر این، به سادگی وجود ندارد. سپس برای تعیین عامل مشترک یا ثبت واقعیت عدم وجود آن، صورت و مخرج کسری جبری را فاکتور می گیرند.

مثال 3

کسر گویا 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3 داده شده است. باید کاهش یابد.

راه حل

اجازه دهید چند جمله ای ها را در صورت و مخرج فاکتور بگیریم. بیایید آن را خارج از پرانتز قرار دهیم:

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49)

می بینیم که عبارت داخل پرانتز را می توان با استفاده از فرمول های ضرب اختصاری تبدیل کرد:

2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7)

به وضوح مشاهده می شود که می توان یک کسری را با یک عامل مشترک کاهش داد b 2 (a + 7). بیایید کاهش دهیم:

2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b

اجازه دهید یک راه حل کوتاه بدون توضیح به عنوان زنجیره ای از برابری ها بنویسیم:

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b

پاسخ: 2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 a + 14 a b - 7 b.

این اتفاق می افتد که عوامل مشترک با ضرایب عددی پنهان می شوند. سپس، هنگام کاهش کسر، بهینه است که عوامل عددی را در توان های بالاتر صورت و مخرج خارج از پرانتز قرار دهیم.

مثال 4

با توجه به کسر جبری 1 5 · x - 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2 . در صورت امکان کاهش آن ضروری است.

راه حل

در نگاه اول، صورت و مخرج وجود ندارد مخرج مشترک. با این حال، بیایید سعی کنیم کسر داده شده را تبدیل کنیم. بیایید ضریب x را از صورتگر خارج کنیم:

1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2

اکنون می توانید شباهت هایی بین عبارت داخل پرانتز و عبارت در مخرج به دلیل x 2 y مشاهده کنید. . اجازه دهید ضرایب عددی توان های بالاتر این چند جمله ای ها را برداریم:

x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x - 2 7 - 7 2 1 5 + x 2 y 5 x 2 y - 1 5 3 1 2 = = - 2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10

اکنون عامل مشترک قابل مشاهده است، کاهش را انجام می دهیم:

2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10 = - 2 7 x 5 = - 2 35 x

پاسخ: 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = - 2 35 x .

اجازه دهید تأکید کنیم که مهارت کاهش کسرهای گویا به توانایی عامل چندجمله‌ای بستگی دارد.

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

در این درس ویژگی اصلی یک کسری را مطالعه می کنیم، متوجه می شویم که کدام کسری با هم برابر است. ما یاد می گیریم که کسرها را کاهش دهیم، تعیین کنیم که آیا کسر قابل کاهش است یا نه، کاهش کسرها را تمرین می کنیم، و یاد می گیریم که چه زمانی از انقباض استفاده کنیم و چه زمانی نه.

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate، ex id minima quam rem sint vitae؟ Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

این اطلاعات در دسترس کاربران ثبت نام شده است

خاصیت اصلی کسری

این وضعیت را تصور کنید.

سر میز 3 شخص و 5 سیب به اشتراک بگذارید 5 سیب برای سه. همه سیب های \(\mathbf(\frac(5)(3))\) می گیرند.

و سر میز بعدی 3 شخص و همچنین 5 سیب هر کدام دوباره \(\mathbf(\frac(5)(3))\)

در کل 10 سیب 6 انسان. هر \(\mathbf(\frac(10)(6))\)

اما این همان چیزی است.

\(\mathbf(\frac(5)(3) = \frac(10)(6))\)

این کسرها معادل هستند.

می توانید تعداد افراد را دو برابر کنید و تعداد سیب ها را دو برابر کنید. نتیجه یکسان خواهد بود.

در ریاضیات به این صورت است:

اگر صورت و مخرج کسری در یک عدد ضرب یا تقسیم شوند (نه برابر 0)، کسر جدید برابر با کسر اصلی خواهد بود..

این ویژگی گاهی اوقات " ویژگی اصلی کسری ».

$$\mathbf(\frac(a)(b) = \frac(a\cdot c)(b\cdot c) = \frac(a:d)(b:d))$$

به عنوان مثال، مسیر شهر به روستا - 14 کیلومتر

در طول جاده قدم می زنیم و مسافت طی شده را با نشانگرهای کیلومتر مشخص می کنیم. پس از طی کردن شش ستون، شش کیلومتر، متوجه می شویم که \(\mathbf(\frac(6)(14))\) مسافت را طی کرده ایم.

اما اگر تیرها را نبینیم (شاید نصب نشده باشند)، می‌توانیم مسیر را با استفاده از تیرهای برق کنار جاده محاسبه کنیم. آنها 40 قطعات برای هر کیلومتر یعنی در کل 560 تمام راه شش کیلومتر - ستون \(\mathbf(6\cdot40 = 240)\). یعنی گذشتیم 240 از 560 pillars-\(\mathbf(\frac(240)(560))\)

\(\mathbf(\frac(6)(14) = \frac(240)(560))\)

مثال 1

یک نقطه را با مختصات مشخص کنید ( 5; 7 ) در هواپیمای مختصات XOY. با کسری مطابقت دارد \(\mathbf(\frac(5)(7))\)

مبدا مختصات را به نقطه حاصل وصل کنید. یک نقطه دیگر بسازید که دو برابر مختصات قبلی داشته باشد. چه کسری گرفتی؟ آیا آنها برابر خواهند بود؟

راه حل

کسری در صفحه مختصات را می توان با یک نقطه مشخص کرد. برای نمایش کسری \(\mathbf(\frac(5)(7))\)، نقطه را با مختصات علامت گذاری کنید 5 در امتداد محور Yو 7 در امتداد محور X. بیایید از طریق نقطه خود یک خط مستقیم از مبدا رسم کنیم.

نقطه مربوط به کسری \(\mathbf(\frac(10)(14))\) نیز روی همان خط قرار خواهد گرفت.

آنها معادل هستند: \(\mathbf(\frac(5)(7) = \frac(10)(14))\)