پاد مشتق تابع 2x 5 3x 2 را پیدا کنید. ضد مشتق تابع و شکل کلی
یکی از عملیات تمایز یافتن مشتق (دیفرانسیل) و به کار بردن آن در مطالعه توابع است.
مسئله معکوس هم کم اهمیت نیست. اگر رفتار یک تابع در مجاورت هر نقطه از تعریف آن مشخص باشد، چگونه می توان آن تابع را به عنوان یک کل بازسازی کرد. در کل محدوده تعریف آن. این مسئله موضوع مطالعه حساب انتگرال است.
ادغام عمل معکوس تمایز است. یا بازیابی تابع f(x) از مشتق مفروض f`(x). کلمه لاتین "integro" به معنای بازسازی است.
مثال شماره 1.
اجازه دهید (f(x)) = 3x 2. بیایید f(x) را پیدا کنیم.
راه حل:
بر اساس قاعده تمایز، حدس زدن f(x) = x 3 دشوار نیست، زیرا
(x 3)’ = 3x 2 با این حال، به راحتی می توانید متوجه شوید که f(x) به طور منحصر به فرد یافت نمی شود. به عنوان f(x)، می توانید f(x)= x 3 +1 f(x)= x 3 +2 f(x)= x 3 -3 و غیره را بگیرید.
زیرا مشتق هر یک از آنها 3x2 است. (مشتق یک ثابت 0 است). همه این توابع با یک جمله ثابت با یکدیگر تفاوت دارند. از همین رو تصمیم مشترکمسئله را می توان به شکل f(x)= x 3 +C نوشت، که در آن C هر عدد واقعی ثابت است.
هر یک از توابع یافت شده f(x) فراخوانی می شود ضد مشتقبرای تابع F`(x)= 3x 2
تعریف.
یک تابع F(x) برای تابع f(x) در بازه J معین، پاد مشتق نامیده می شود، اگر برای تمام x از این بازه F`(x)= f(x). بنابراین تابع F(x)=x 3 برای f(x)=3x 2 در (-∞ ; ∞) ضد مشتق است. از آنجایی که برای همه x ~R برابری درست است: F`(x)=(x 3)`=3x 2
همانطور که قبلاً اشاره کردیم، این تابع دارای تعداد بی نهایت ضد مشتق است.
مثال شماره 2.
تابع برای همه در بازه (0؛ +∞) ضد مشتق است، زیرا برای تمام h از این بازه، برابری برقرار است.
مشکل ادغام این است که عملکرد داده شدهتمام ضد مشتقات آن را پیدا کنید. هنگام حل این مشکل نقش مهمعبارت زیر پخش می شود:
نشانه ثبات عملکرد. اگر F"(x) = 0 در یک بازه I، تابع F در این بازه ثابت است.
اثبات
اجازه دهید مقداری x 0 را از بازه I ثابت کنیم. سپس برای هر عدد x از چنین بازه ای، با استفاده از فرمول لاگرانژ، می توانیم عدد c را بین x و x 0 نشان دهیم به طوری که
F(x) - F(x 0) = F"(c)(x-x 0).
با شرط، F' (c) = 0، زیرا c∈1، بنابراین،
F(x) - F(x 0) = 0.
بنابراین، برای تمام x از بازه I
یعنی تابع F مقدار ثابتی را حفظ می کند.
تمام توابع ضد مشتق f را می توان با استفاده از یک فرمول نوشت که نامیده می شود شکل کلی ضد مشتقات برای تابع f. قضیه زیر درست است ( ویژگی اصلی ضد مشتقات):
قضیه. هر پاد مشتق برای تابع f در بازه I می تواند به شکل نوشته شود
F(x) + C، (1) که در آن F (x) یکی از پاد مشتق‌های تابع f (x) در بازه I است و C یک ثابت دلخواه است.
اجازه دهید این بیانیه را توضیح دهیم که در آن دو ویژگی ضد مشتق به طور خلاصه فرموله شده است:
- هر عددی که به جای C در عبارت (1) قرار دهیم، پاد مشتق f را در بازه I بدست می آوریم.
- مهم نیست که چه پاد مشتق Ф برای f در بازه I گرفته می شود، می توان عدد C را طوری انتخاب کرد که برای همه x از بازه I برابری داشته باشد.
اثبات
- طبق شرط، تابع F برای f در بازه I ضد مشتق است. در نتیجه، F"(x)= f (x) برای هر x∈1، بنابراین (F(x) + C)" = F"(x) + C"= f(x)+0=f(x)، یعنی F(x) + C ضد مشتق برای تابع f است.
- فرض کنید Ф (x) یکی از پاد مشتق‌های تابع f در همان بازه I باشد، یعنی Ф "(x) = f (х) برای همه x∈I.
سپس (Ф(x) - F (x))" = Ф"(x)-F' (x) = f(x)-f(x)=0.
از اینجا به شرح زیر است. قدرت علامت ثبات تابع، که تفاوت Ф(х) - F(х) تابعی است که مقداری ثابت C را در بازه I می گیرد.
بنابراین، برای تمام x از بازه I برابری Ф(x) - F(x)=С صادق است، که باید ثابت شود. ویژگی اصلی ضد مشتق را می توان معنای هندسی داد: نمودارهای هر دو ضد مشتق برای تابع f با ترجمه موازی در امتداد محور Oy از یکدیگر به دست می آیند.
سوالات برای یادداشت
تابع F(x) پاد مشتق تابع f(x) است. F(1) را پیدا کنید اگر f(x)=9x2 - 6x + 1 و F(-1) = 2.
همه ضد مشتقات تابع را پیدا کنید
برای تابع (x) = cos2 * sin2x، اگر F(0) = 0 باشد، پاد مشتق F(x) را پیدا کنید.
برای یک تابع، یک پاد مشتق را پیدا کنید که نمودار آن از نقطه عبور کند
ما دیدیم که مشتق کاربردهای متعددی دارد: مشتق سرعت حرکت (یا به طور کلی، سرعت هر فرآیند) است. مشتق شیب مماس بر نمودار تابع است. با استفاده از مشتق، می توانید تابع را برای یکنواختی و افراط بررسی کنید. مشتق به حل مسائل بهینه سازی کمک می کند.
ولی در زندگی واقعیمسائل معکوس نیز باید حل شوند: به عنوان مثال، در کنار مشکل یافتن سرعت طبق قانون شناخته شده حرکت، با مشکل بازگرداندن قانون حرکت مطابق با سرعت شناخته شده. بیایید یکی از این مشکلات را در نظر بگیریم.
مثال 1.یک نقطه مادی در یک خط مستقیم حرکت می کند، سرعت آن در زمان t با فرمول u = tg داده می شود. قانون حرکت را پیدا کنید.
راه حل.اجازه دهید s = s(t) قانون حرکت مورد نظر باشد. معلوم است که s"(t) = u"(t). این بدان معنی است که برای حل مشکل باید انتخاب کنید تابع s = s(t)، که مشتق آن برابر با tg است. حدس زدن آن کار سختی نیست
بیایید بلافاصله توجه کنیم که مثال به درستی حل شده است، اما ناقص است. ما متوجه شدیم که در واقع، مشکل بی نهایت راه حل دارد: هر تابعی از فرم 
یک ثابت دلخواه می تواند به عنوان قانون حرکت عمل کند، زیرا
برای مشخص‌تر کردن کار، باید وضعیت اولیه را درست کنیم: مختصات یک نقطه متحرک را در نقطه‌ای از زمان نشان دهیم، به عنوان مثال، t=0. اگر مثلاً s(0) = s 0، از برابری s(0) = 0 + C به دست می آوریم، یعنی S 0 = C. اکنون قانون حرکت به طور منحصر به فرد تعریف می شود:
در ریاضیات، به عملیات معکوس متقابل نام‌های مختلفی داده می‌شود و نمادهای خاصی ابداع می‌شوند: به عنوان مثال، مربع کردن (x 2) و استخراج ریشه دومسینوسی (sinх) و آرکسین(arcsin x) و غیره فرآیند یافتن مشتق با توجه به یک تابع معین، تمایز نامیده می شود و عمل معکوس، یعنی. فرآیند یافتن یک تابع از یک مشتق داده شده - یکپارچه سازی.
خود اصطلاح "مشتق" را می توان "در زندگی روزمره" توجیه کرد: تابع y - f(x) به یک تابع جدید y" = f" (x) عمل می کند یک "والد"، اما ریاضیدانان، به طور طبیعی، آن را "والد" یا "تولیدکننده" نمی نامند، آنها می گویند که این، در رابطه با تابع y"=f"(x)، تصویر اصلی است خلاصه، ضد مشتق.
تعریف 1.تابع y = F(x) برای تابع y = f(x) در یک بازه معین X، پاد مشتق نامیده می شود اگر برای تمام x از X برابری F"(x)=f(x) برقرار باشد.
در عمل، بازه X معمولاً مشخص نمی شود، اما ضمنی (به عنوان دامنه طبیعی تعریف تابع).
در اینجا چند نمونه آورده شده است:
1) تابع y = x 2 برای تابع y = 2x پاد مشتق است، زیرا برای همه x برابری (x 2)" = 2x درست است.
2) تابع y - x 3 برای تابع y-3x 2 ضد مشتق است، زیرا برای همه x برابری (x 3)" = 3x 2 درست است.
3) تابع y-sinх یک پاد مشتق برای تابع y = cosx است، زیرا برای همه x برابری (sinx)" = cosx صادق است.
4) تابع برای تابعی در بازه پاد مشتق است زیرا برای همه x > 0 برابری درست است
به طور کلی با دانستن فرمول های یافتن مشتقات، تهیه جدولی از فرمول ها برای یافتن پاد مشتق ها کار سختی نیست.
امیدواریم نحوه کامپایل شدن این جدول را متوجه شده باشید: مشتق تابعی که در ستون دوم نوشته شده برابر است با تابعی که در ردیف مربوط به ستون اول نوشته شده است (بررسی کنید، تنبل نباشید، خیلی مفید). به عنوان مثال، برای تابع y = x 5، ضد مشتق، همانطور که خواهید دید، تابع است (رجوع کنید به ردیف چهارم جدول).
یادداشت: 1. در زیر این قضیه را اثبات خواهیم کرد که اگر y = F(x) یک پاد مشتق برای تابع y = f(x) باشد، تابع y = f(x) بی نهایت دارای پاد مشتق است و همه آنها شکل y = دارند. F(x) + C. بنابراین، صحیح تر است که عبارت C را در هر جای ستون دوم جدول اضافه کنیم، جایی که C یک عدد واقعی دلخواه است.
2. برای اختصار، گاهی اوقات به جای عبارت «تابع y = F(x) پاد مشتق تابع y = f(x) است، می گویند F(x) ضد مشتق f(x) است. "
2. قوانین برای یافتن ضد مشتقات
هنگام یافتن ضد مشتقات، و همچنین هنگام یافتن مشتقات، نه تنها از فرمول ها استفاده می شود (آنها در جدول در صفحه 196 فهرست شده اند)، بلکه از برخی قوانین نیز استفاده می شود. آنها به طور مستقیم با قوانین مربوطه برای محاسبه مشتقات مرتبط هستند.
می دانیم که مشتق یک جمع برابر است با مشتقات آن. این قانون قانون مربوطه را برای یافتن ضد مشتقات ایجاد می کند.
قانون 1.ضد مشتق یک جمع برابر است با مجموع ضد مشتقات.
ما توجه شما را به "سبک بودن" این فرمول جلب می کنیم. در واقع، باید این قضیه را فرموله کرد: اگر توابع y = f(x) و y = g(x) دارای پاد مشتق در بازه X، به ترتیب y-F(x) و y-G(x) باشند، مجموع توابع y = f(x)+g(x) دارای یک پاد مشتق در بازه X است و این ضد مشتق تابع y = F(x)+G(x) است. اما معمولاً هنگام تدوین قواعد (و نه قضایا) فقط آنها را ترک می کنند کلید واژه ها- این باعث می شود که این قانون در عمل راحت تر باشد
مثال 2.پاد مشتق تابع y = 2x + cos x را پیدا کنید.
راه حل.ضد مشتق برای 2x x است"؛ ضد مشتق برای cox sin x است. این بدان معنی است که ضد مشتق برای تابع y = 2x + cos x تابع y = x 2 + sin x خواهد بود (و به طور کلی هر تابعی از شکل Y = x 1 + sinx + C) .
می دانیم که عامل ثابت را می توان از علامت مشتق خارج کرد. این قانون قانون مربوطه را برای یافتن ضد مشتقات ایجاد می کند.
قانون 2.عامل ثابت را می توان از علامت ضد مشتق خارج کرد.
مثال 3.
راه حل.الف) ضد مشتق برای sin x -soz x است. این بدان معنی است که برای تابع y = 5 sin x تابع ضد مشتق تابع y = -5 cos x خواهد بود.
ب) ضد مشتق برای cos x، sin x است. این بدان معنی است که ضد مشتق یک تابع تابع است
ج) ضد مشتق برای x 3 ضد مشتق برای x است، ضد مشتق برای تابع y = 1 تابع y = x است. با استفاده از قوانین اول و دوم برای یافتن ضد مشتق ها، متوجه می شویم که ضد مشتق برای تابع y = 12x 3 + 8x-1 تابع است.
اظهار نظر.همانطور که مشخص است، مشتق یک محصول با حاصل ضرب مشتقات برابر نیست (قاعده تمایز یک محصول پیچیده تر است) و مشتق یک محصول برابر با مشتقات نیست. بنابراین هیچ قاعده ای برای یافتن پاد مشتق محصول یا ضد مشتق ضریب دو تابع وجود ندارد. مراقب باش!
اجازه دهید قانون دیگری را برای یافتن ضد مشتقات به دست آوریم. می دانیم که مشتق تابع y = f(kx+m) با فرمول محاسبه می شود
این قانون قانون مربوطه را برای یافتن ضد مشتقات ایجاد می کند.
قانون 3.اگر y = F(x) یک پاد مشتق برای تابع y = f(x) باشد، آنگاه ضد مشتق برای تابع y=f(kx+m) تابع است.
در واقع،
این بدان معنی است که یک پاد مشتق برای تابع y = f(kx+m) است.
معنای قاعده سوم به شرح زیر است. اگر می دانید که ضد مشتق تابع y = f(x) تابع y = F(x) است، و باید پاد مشتق تابع y = f(kx+m) را پیدا کنید، به این ترتیب عمل کنید: بگیر همان تابع F، اما به جای آرگومان x، عبارت kx+m را جایگزین کنید. علاوه بر این، فراموش نکنید که قبل از علامت تابع، "ضریب تصحیح" را بنویسید
مثال 4.آنتی مشتق ها را برای توابع داده شده پیدا کنید:
راه حلالف) ضد مشتق sin x -soz x است. این بدان معنی است که برای تابع y = sin2x ضد مشتق تابع خواهد بود
ب) ضد مشتق برای cos x، sin x است. این بدان معنی است که ضد مشتق یک تابع تابع است
ج) ضد مشتق برای x 7 به این معنی است که برای تابع y = (4-5x) 7 ضد مشتق تابع خواهد بود.
3. انتگرال نامعین
قبلاً در بالا اشاره کردیم که مسئله یافتن یک پاد مشتق برای یک تابع معین y = f(x) بیش از یک راه حل دارد. بیایید این موضوع را با جزئیات بیشتری مورد بحث قرار دهیم.
اثبات 1. فرض کنید y = F(x) پاد مشتق برای تابع y = f(x) در بازه X باشد. این بدان معنی است که برای همه x از X برابری x"(x) = f(x) برقرار است. مشتق هر تابعی به شکل y = F(x)+C را پیدا کنید:
(F(x) +C) = F"(x) +C = f(x) +0 = f(x).
بنابراین، (F(x)+C) = f(x). این بدان معنی است که y = F(x) + C یک پاد مشتق برای تابع y = f(x) است.
بنابراین، ما ثابت کردیم که اگر تابع y = f(x) دارای یک پاد مشتق y=F(x) باشد، تابع (f = f(x) دارای بی نهایت پاد مشتق است، برای مثال، هر تابعی به شکل y = F(x) +C یک پاد مشتق است.
2. اجازه دهید اکنون ثابت کنیم که نوع توابع مشخص شده، کل مجموعه ضد مشتقات را خسته می کند.
فرض کنید y=F 1 (x) و y=F(x) دو ضد مشتق برای تابع Y = f(x) در بازه X باشند. این بدان معنی است که برای تمام x از بازه X روابط زیر برقرار است: F^ ( x) = f (X); F"(x) = f(x).
بیایید تابع y = F 1 (x) -.F(x) را در نظر بگیریم و مشتق آن را پیدا کنیم: (F, (x) -F(x))" = F[(x)-F(x) = f(x ) - f(x) = 0.
مشخص است که اگر مشتق یک تابع در بازه X به طور یکسان برابر با صفر باشد، آنگاه تابع در بازه X ثابت است (به قضیه 3 از § 35 مراجعه کنید). این بدان معنی است که F 1 (x) - F (x) = C، یعنی. Fx) = F(x)+C.
قضیه ثابت شده است.
مثال 5.قانون تغییر سرعت با زمان داده شده است: v = -5sin2t. قانون حرکت s = s(t) را بیابید، اگر بدانیم که در زمان t=0 مختصات نقطه برابر با عدد 1.5 بود (یعنی s(t) = 1.5).
راه حل.از آنجایی که سرعت یک مشتق از مختصات به عنوان تابعی از زمان است، ابتدا باید ضد مشتق سرعت را پیدا کنیم، یعنی. ضد مشتق برای تابع v = -5sin2t. یکی از این ضد مشتقات تابع است و مجموعه همه پاد مشتق ها به شکل زیر است:
برای یافتن مقدار خاص ثابت C از شرایط اولیه استفاده می کنیم که بر اساس آن s(0) = 1.5 است. با جایگزینی مقادیر t=0، S = 1.5 به فرمول (1)، دریافت می کنیم:
با جایگزینی مقدار یافت شده C به فرمول (1)، قانون حرکت مورد علاقه ما را بدست می آوریم:
تعریف 2.اگر یک تابع y = f(x) دارای یک پاد مشتق y = F(x) در بازه X باشد، آنگاه مجموعه همه پاد مشتق ها، یعنی. مجموعه ای از توابع به شکل y = F(x) + C را انتگرال نامعین تابع y = f(x) می نامند و با:
(خواندن: " انتگرال نامعین ef از x de x").
در پاراگراف بعدی خواهیم فهمید که معنای پنهان این نام چیست.
بر اساس جدول ضد مشتقات موجود در این بخش، جدولی از انتگرال های نامعین اصلی تهیه می کنیم:
بر اساس سه قانون فوق برای یافتن ضد مشتقات، می‌توانیم قوانین ادغام مربوطه را فرموله کنیم.
قانون 1.انتگرال مجموع توابع برابر با مجموعانتگرال های این توابع:
قانون 2.عامل ثابت را می توان از علامت انتگرال خارج کرد:
قانون 3.اگر
مثال 6.یافتن انتگرال های نامعین:
راه حلالف) با استفاده از قوانین اول و دوم ادغام، به دست می آوریم:
حالا بیایید از فرمول های ادغام 3 و 4 استفاده کنیم:
در نتیجه دریافت می کنیم:
ب) با استفاده از قانون سوم ادغام و فرمول 8 به دست می آوریم:
ج) برای یافتن مستقیم یک انتگرال معین، نه فرمول متناظر و نه قانون متناظر را داریم. در چنین مواردی، تغییر شکل‌های یکسان عبارت موجود در زیر علامت انتگرال، که قبلا انجام شده است، گاهی کمک می‌کند.
بهره ببریم فرمول مثلثاتیکاهش مدرک تحصیلی:
سپس به ترتیب می یابیم:
A.G. موردکوویچ جبر کلاس دهم
برنامه ریزی تقویمی- موضوعی در ریاضیات، ویدئودر ریاضیات آنلاین، ریاضیات در مدرسه
پیش از این، با توجه به یک تابع معین، با فرمول ها و قوانین مختلف، مشتق آن را پیدا کردیم. این مشتق کاربردهای متعددی دارد: سرعت حرکت (یا به طور کلی، سرعت هر فرآیند) است. ضریب زاویه ای مماس بر نمودار تابع؛ با استفاده از مشتق، می توانید تابع را برای یکنواختی و افراط بررسی کنید. به حل مسائل بهینه سازی کمک می کند.
اما در کنار مشکل یافتن سرعت طبق قانون شناخته شده حرکت، یک مشکل معکوس نیز وجود دارد - مشکل بازگرداندن قانون حرکت بر اساس سرعت شناخته شده. بیایید یکی از این مشکلات را در نظر بگیریم.
مثال 1.یک نقطه مادی در یک خط مستقیم حرکت می کند، سرعت حرکت آن در زمان t با فرمول v=gt به دست می آید. قانون حرکت را پیدا کنید.
راه حل. اجازه دهید s = s(t) قانون حرکت مورد نظر باشد. مشخص است که s"(t) = v(t). این بدان معنی است که برای حل مشکل باید تابع s = s(t) را انتخاب کنید که مشتق آن برابر با gt است. حدس زدن آن دشوار نیست. که \(s(t) = \frac(gt^ 2)(2)\).
\(s"(t) = \left(\frac(gt^2)(2) \راست)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t = gt\)
پاسخ: \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \)
بیایید بلافاصله توجه کنیم که مثال به درستی حل شده است، اما ناقص است. ما \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \) دریافت کردیم. در واقع، مسئله بی نهایت راه حل دارد: هر تابعی از شکل \(s(t) = \frac(gt^2)(2) + C\)، که در آن C یک ثابت دلخواه است، می تواند به عنوان قانون عمل کند. حرکت، از آنجایی که \(\ چپ (\frac(gt^2)(2) +C \راست)" = gt \)
برای مشخص‌تر کردن مسئله، باید وضعیت اولیه را برطرف می‌کردیم: مختصات یک نقطه متحرک را در نقطه‌ای از زمان مشخص کنید، برای مثال در t = 0. اگر، مثلا، s(0) = s 0، آنگاه از برابری s(t) = (gt 2)/2 + C دریافت می کنیم: s(0) = 0 + C، یعنی C = s 0. اکنون قانون حرکت به طور منحصر به فردی تعریف شده است: s(t) = (gt 2)/2 + s 0.
در ریاضیات، به عملیات معکوس متقابل نام‌های مختلفی داده می‌شود، نمادهای خاصی اختراع می‌شوند، به عنوان مثال: مربع (x 2) و ریشه دوم (\(\sqrt(x) \))، سینوس (sin x) و arcsine (arcsin x) و غیره فرآیند یافتن مشتق یک تابع داده شده نامیده می شود تفکیکو عمل معکوس، یعنی فرآیند یافتن تابع از یک مشتق معین، است ادغام.
خود اصطلاح «مشتق» را می‌توان «در شرایط روزمره» توجیه کرد: تابع y = f(x) به یک تابع جدید y» = f» (x) «به دنیا می‌آورد». تابع y = f(x) به گونه ای عمل می کند که گویی یک "والد" است، اما ریاضیدانان، به طور طبیعی، آن را "والد" یا "تولیدکننده" نمی گویند، در رابطه با تابع y" = f"(x)، تصویر اولیه یا ابتدایی.
تعریف.تابع y = F(x) برای تابع y = f(x) در بازه X اگر برابری F"(x) = f(x) برای \(x \در X\) پاد مشتق نامیده می شود.
در عمل، بازه X معمولاً مشخص نمی شود، اما ضمنی (به عنوان دامنه طبیعی تعریف تابع).
بیایید مثال بزنیم.
1) تابع y = x 2 برای تابع y = 2x پاد مشتق است، زیرا برای هر x برابری (x 2)" = 2x درست است
2) تابع y = x 3 برای تابع y = 3x 2 ضد مشتق است، زیرا برای هر x برابری (x 3)" = 3x 2 درست است
3) تابع y = sin(x) برای تابع y = cos(x) پاد مشتق است، زیرا برای هر x برابری (sin(x))" = cos(x) صادق است.
هنگام یافتن ضد مشتقات، و همچنین مشتقات، نه تنها از فرمول ها استفاده می شود، بلکه از برخی قوانین نیز استفاده می شود. آنها به طور مستقیم با قوانین مربوطه برای محاسبه مشتقات مرتبط هستند.
می دانیم که مشتق یک جمع برابر است با مشتقات آن. این قانون قانون مربوطه را برای یافتن ضد مشتقات ایجاد می کند.
قانون 1.ضد مشتق یک جمع برابر است با مجموع ضد مشتقات.
می دانیم که عامل ثابت را می توان از علامت مشتق خارج کرد. این قانون قانون مربوطه را برای یافتن ضد مشتقات ایجاد می کند.
قانون 2.اگر F(x) یک پاد مشتق برای f(x) باشد، پس kF(x) یک پاد مشتق برای kf(x) است.
قضیه 1.اگر y = F(x) یک پاد مشتق برای تابع y = f(x) باشد، آنگاه ضد مشتق برای تابع y = f(kx + m) تابع \(y=\frac(1)(k)F است. (kx+m) \)
قضیه 2.اگر y = F(x) یک پاد مشتق برای تابع y = f(x) در بازه X باشد، تابع y = f(x) دارای بی نهایت پاد مشتق است و همه آنها به شکل y = F(x) هستند. + سی.
روش های یکپارچه سازی
روش جایگزینی متغیر (روش جایگزینی)
روش ادغام با جایگزینی شامل معرفی یک متغیر ادغام جدید (یعنی جایگزینی) است. در این حالت، انتگرال داده شده به یک انتگرال جدید کاهش می یابد که به صورت جدولی یا قابل تقلیل به آن است. روش های رایجهیچ گزینه ای برای تعویض وجود ندارد. توانایی تعیین صحیح جایگزینی از طریق تمرین به دست می آید.
اجازه دهید محاسبه انتگرال \(\textstyle \int F(x)dx \) ضروری باشد. بیایید جایگزین \(x= \varphi(t) \) را انجام دهیم که در آن \(\varphi(t) \) تابعی است که مشتق پیوسته دارد.
سپس \(dx = \varphi " (t) \cdot dt \) و بر اساس ویژگی عدم تغییر فرمول یکپارچه سازی برای انتگرال نامعین، فرمول انتگرال را با جایگزینی بدست می آوریم:
\(\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt \)
ادغام عبارات شکل \(\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx \)
اگر m فرد باشد، m > 0، آنگاه راحت تر است که جایگزینی sin x = t را انجام دهیم.
اگر n فرد باشد، n> 0، آنگاه راحت تر است که جایگزینی cos x = t را ایجاد کنیم.
اگر n و m زوج باشند، بهتر است جایگزینی tg x = t را انجام دهیم.
یکپارچه سازی توسط قطعات
ادغام بر اساس قطعات - با استفاده از فرمول زیر برای ادغام:
\(\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du \)
یا:
\(\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx \)
جدول انتگرال های نامعین (ضد مشتق) برخی از توابع
$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch ) x +C $$درس و ارائه با موضوع: "یک تابع ضد مشتق. نمودار یک تابع"
مواد اضافی
کاربران عزیز، فراموش نکنید که نظرات، نظرات، خواسته های خود را بنویسید! تمام مواد توسط یک برنامه ضد ویروس بررسی شده است.
وسایل کمک آموزشی و شبیه ساز در فروشگاه اینترنتی انتگرال پایه یازدهم
مسائل جبری با پارامترها، نمرات 9-11
"وظایف تعاملی ساختمان در فضا برای کلاس های 10 و 11"
تابع ضد مشتق. معرفی
بچه ها، شما می دانید که چگونه مشتقات توابع را با استفاده از فرمول ها و قوانین مختلف پیدا کنید. امروز عمل معکوس محاسبه مشتق را مطالعه خواهیم کرد. مفهوم مشتق اغلب در زندگی واقعی استفاده می شود. یادآوری کنم: مشتق نرخ تغییر یک تابع در یک نقطه خاص است. فرآیندهای مربوط به حرکت و سرعت در این اصطلاحات به خوبی توضیح داده شده است.بیایید به این مشکل نگاه کنیم: «سرعت حرکت یک جسم در یک خط مستقیم با فرمول $V=gt$ برای بازگرداندن قانون حرکت مورد نیاز است.
راه حل.
ما فرمول را به خوبی می دانیم: $S"=v(t)$، که در آن S قانون حرکت است.
وظیفه ما یافتن تابع $S=S(t)$ است که مشتق آن برابر با $gt$ است. با دقت نگاه کنید، می توانید حدس بزنید که $S(t)=\frac(g*t^2)(2)$.
بیایید صحت راه حل این مشکل را بررسی کنیم: $S"(t)=(\frac(g*t^2)(2))"=\frac(g)(2)*2t=g*t$.
با دانستن مشتق تابع، خود تابع را پیدا کردیم، یعنی عمل معکوس را انجام دادیم.
اما ارزش توجه به این لحظه را دارد. راه حل مشکل ما نیاز به شفاف سازی دارد، اگر هر عددی (ثابت) را به تابع پیدا شده اضافه کنیم، مقدار مشتق تغییر نخواهد کرد: $S(t)=\frac(g*t^2)(2)+. c,c=const$.
$S"(t)=(\frac(g*t^2)(2))"+c"=g*t+0=g*t$.
بچه ها توجه کنید: مشکل ما بی نهایت راه حل دارد!
اگر مشکل یک شرط اولیه یا شرایط دیگر را مشخص نمی کند، فراموش نکنید که یک ثابت به راه حل اضافه کنید. به عنوان مثال، وظیفه ما ممکن است موقعیت بدن ما را در همان ابتدای حرکت مشخص کند. سپس محاسبه ثابت با جایگزینی صفر در معادله حاصل، دشوار نیست.
اسم این عملیات چیست؟
عمل معکوس تمایز را یکپارچه سازی می نامند.
یافتن یک تابع از یک مشتق داده شده - یکپارچه سازی.
خود تابع یک پاد مشتق نامیده می شود، یعنی تصویری که مشتق تابع از آن به دست آمده است.
مرسوم است که ضد مشتق را با حرف بزرگ $y=F"(x)=f(x)$ بنویسیم.
تعریف. تابع $y=F(x)$ پاد مشتق تابع $у=f(x)$ در بازه X نامیده می شود اگر برای هر $хϵХ$ برابری $F'(x)=f(x)$ برقرار باشد. .
بیایید جدولی از ضد مشتقات برای توابع مختلف بسازیم. باید به عنوان یادآوری چاپ شود و حفظ شود.
در جدول ما هیچ شرایط اولیه مشخص نشده است. این بدان معناست که باید یک ثابت به هر عبارت در سمت راست جدول اضافه شود. بعداً این قانون را روشن خواهیم کرد.
قوانینی برای یافتن آنتی مشتقات
بیایید چند قانون را بنویسیم که به ما در یافتن ضد مشتقات کمک می کند. همه آنها شبیه قوانین تمایز هستند.قانون 1. ضد مشتق یک جمع برابر است با مجموع ضد مشتقات. $F(x+y)=F(x)+F(y)$.
مثال.
ضد مشتق تابع $y=4x^3+cos(x)$ را پیدا کنید.
راه حل.
ضد مشتق مجموع برابر است با مجموع ضد مشتق ها، سپس باید برای هر یک از توابع ارائه شده، ضد مشتق را پیدا کنیم.
$f(x)=4x^3$ => $F(x)=x^4$.
$f(x)=cos(x)$ => $F(x)=sin(x)$.
سپس ضد مشتق تابع اصلی خواهد بود: $y=x^4+sin(x)$ یا هر تابعی به شکل $y=x^4+sin(x)+C$.
قانون 2. اگر $F(x)$ یک پاد مشتق برای $f(x)$ باشد، پس $k*F(x)$ یک ضد مشتق برای تابع $k*f(x)$ است.(به راحتی می توانیم ضریب را به عنوان یک تابع در نظر بگیریم).
مثال.
پاد مشتق توابع را پیدا کنید:
الف) $y=8sin(x)$.
ب) $y=-\frac(2)(3)cos(x)$.
ج) $y=(3x)^2+4x+5$.
راه حل.
الف) ضد مشتق $sin(x)$ منهای $cos(x)$ است. سپس ضد مشتق تابع اصلی به شکل $y=-8cos(x)$ خواهد بود.
ب) ضد مشتق $cos(x)$ $sin(x)$ است. سپس ضد مشتق تابع اصلی به شکل $y=-\frac(2)(3)sin(x)$ خواهد بود.
ج) ضد مشتق برای $x^2$ $\frac(x^3)(3)$ است. ضد مشتق برای x $\frac(x^2)(2)$ است. پاد مشتق 1 x است. سپس پاد مشتق تابع اصلی به شکل زیر خواهد بود: $y=3*\frac(x^3)(3)+4*\frac(x^2)(2)+5*x=x^3+2x ^2+5x$.
قانون 3. اگر $у=F(x)$ یک پاد مشتق برای تابع $y=f(x)$ باشد، آنگاه ضد مشتق برای تابع $y=f(kx+m)$ تابع $y=\frac(1) است. )(k)* F(kx+m)$.
مثال.
پاد مشتق توابع زیر را بیابید:
الف) $y=cos(7x)$.
ب) $y=sin(\frac(x)(2))$.
ج) $y=(-2x+3)^3$.
د) $y=e^(\frac(2x+1)(5))$.
راه حل.
الف) ضد مشتق $cos(x)$ $sin(x)$ است. سپس ضد مشتق برای تابع $y=cos(7x)$ تابع $y=\frac(1)(7)*sin(7x)=\frac(sin(7x))(7)$ خواهد بود.
ب) ضد مشتق $sin(x)$ منهای $cos(x)$ است. سپس ضد مشتق برای تابع $y=sin(\frac(x)(2))$ تابع $y=-\frac(1)(\frac(1)(2))cos(\frac(x) خواهد بود. )(2) =-2cos(\frac(x)(2))$.
ج) ضد مشتق برای $x^3$ $\frac(x^4)(4)$ است، سپس ضد مشتق تابع اصلی $y=-\frac(1)(2)*\frac(((-- 2x+3) ^4)(4)=-\frac((-2x+3))^4)(8)$.
د) کمی عبارت را به توان $\frac(2x+1)(5)=\frac(2)(5)x+\frac(1)(5)$ ساده کنید.
ضد مشتق تابع نمایی، خود تابع نمایی است. ضد مشتق تابع اصلی $y=\frac(1)(\frac(2)(5))e^(\frac(2)(5)x+\frac(1)(5))=\frac خواهد بود (5)(2)*e^(\frac(2x+1)(5))$.
قضیه. اگر $y=F(x)$ یک پاد مشتق برای تابع $y=f(x)$ در بازه X باشد، تابع $y=f(x)$ بی نهایت ضد مشتق دارد و همه آنها دارای فرم $y=F( x)+С$.
اگر در تمام مثال‌هایی که در بالا بحث شد، یافتن مجموعه‌ای از همه پاد مشتق‌ها ضروری بود، باید ثابت C را در همه جا اضافه کرد.
برای تابع $y=cos(7x)$ همه پاد مشتق‌ها به شکل: $y=\frac(sin(7x))(7)+C$ هستند.
برای تابع $y=(-2x+3)^3$ همه آنتی مشتق‌ها به شکل $y=-\frac(((-2x+3))^4)(8)+C$ هستند.
مثال.
با توجه به قانون داده شده تغییر سرعت یک جسم در طول زمان $v=-3sin(4t)$، قانون حرکت $S=S(t)$ را بیابید اگر در لحظه ابتدایی جسم دارای مختصاتی بود. برابر با 1.75.
راه حل.
از آنجایی که $v=S’(t)$، باید آنتی مشتق را برای یک سرعت معین پیدا کنیم.
$S=-3*\frac(1)(4)(-cos(4t))+C=\frac(3)(4)cos(4t)+C$.
در این مشکل داده شده است شرط اضافی- لحظه اولیه زمان این بدان معنی است که $t=0$.
$S(0)=\frac(3)(4)cos(4*0)+C=\frac(7)(4)$.
$\frac(3)(4)cos(0)+C=\frac(7)(4)$.
$\frac(3)(4)*1+C=\frac(7)(4)$.
$C=1$.
سپس قانون حرکت با فرمول توضیح داده می شود: $S=\frac(3)(4)cos(4t)+1$.
مشکلاتی که باید به طور مستقل حل شوند
1. پاد مشتق توابع را پیدا کنید:الف) $y=-10sin(x)$.
ب) $y=\frac(5)(6)cos(x)$.
ج) $y=(4x)^5+(3x)^2+5x$.
2. ضد مشتقات توابع زیر را بیابید:
الف) $y=cos(\frac(3)(4)x)$.
ب) $y=sin(8x)$.
ج) $y=((7x+4))^4$.
د) $y=e^(\frac(3x+1)(6))$.
3. با توجه به قانون داده شده تغییر در سرعت یک جسم در طول زمان $v=4cos(6t)$، قانون حرکت $S=S(t)$ را بیابید اگر در لحظه اولیه زمانی جسم دارای یک مختصات برابر با 2
انتگرال نامعین
وظیفه اصلی حساب دیفرانسیل محاسبه مشتق یا دیفرانسیل یک تابع معین بود. حساب انتگرال که اکنون در حال مطالعه آن هستیم، حل می کند مشکل معکوس، یعنی یافتن خود تابع توسط مشتق یا دیفرانسیل آن. یعنی داشتن dF(x)= f(x)d (7.1) یا F ′(x)= f(x),
جایی که f(x)- تابع شناخته شده، نیاز به پیدا کردن تابع F(x).
تعریف:تابع F(x) فراخوانی می شود ضد مشتقاگر تساوی در تمام نقاط این بخش برقرار باشد، تابع f(x) روی قطعه: F′(x) = f(x)یا dF(x)= f(x)d.
مثلا، یکی از توابع ضد مشتق برای تابع f(x)=3x2اراده F(x)= x 3، زیرا ( x 3)′= 3x 2. اما یک نمونه اولیه برای عملکرد f(x)=3x2همچنین وجود خواهد داشت توابع و، از آنجا که 
.
بنابراین این تابع f(x)=3x2دارای بی نهایت عدد اولیه است که هر کدام فقط با یک جمله ثابت تفاوت دارند. اجازه دهید نشان دهیم که این نتیجه در حالت کلی نیز صادق است.
قضیه دو پاد مشتق مختلف از یک تابع که در یک بازه زمانی مشخص تعریف شده اند، در این بازه با یک جمله ثابت با یکدیگر متفاوت هستند.
اثبات
اجازه دهید تابع f(x) در بازه تعریف شده است (a¸b)و F 1 (x) و F 2 (x) - ضد مشتقات، یعنی. F 1 ′(x)= f(x) و F 2′(x)= f(x).
سپس F 1 ′(x)=F 2 ′(x)Þ F 1 ′(x) - F 2 ′(x) = (F 1 ′(x) - F 2 (x))′= 0. Þ F 1 (x) - F 2 (x) = C
از اینجا، F 2 (x) = F 1 (x) + C
جایی که با - ثابت (در اینجا نتیجه ای از قضیه لاگرانژ استفاده شده است).
به این ترتیب قضیه ثابت می شود.
تصویر هندسی. اگر در = F 1 (x) و در = F 2 (x) - ضد مشتقات یک تابع f(x)، سپس مماس بر نمودارهای آنها در نقاطی با آبسیسا مشترک ایکسموازی با یکدیگر (شکل 7.1).
در این حالت فاصله بین این منحنی ها در امتداد محور OUثابت باقی می ماند F 2 (x) - F 1 (x) = C ، یعنی این منحنی ها در مقداری درک"موازی" با یکدیگر.
نتیجه .
افزودن به مقداری ضد مشتق F(x) برای این تابع f(x)، در بازه تعریف شده است ایکس، تمام ثابت های ممکن با، ما همه ضد مشتقات ممکن برای تابع را دریافت می کنیم f(x).پس بیان F(x)+C ، کجا ، و F(x) - برخی ضد مشتقات یک تابع f(x)شامل تمام آنتی مشتقات ممکن برای f(x).
مثال 1.بررسی کنید که آیا توابع هستند ضد مشتقات تابع
راه حل:
پاسخ: ضد مشتقات برای یک تابع توابع وجود خواهد داشت و
تعریف: اگر تابع F(x) پاد مشتق تابع f(x) باشد، مجموعه تمام پاد مشتق‌ها F(x)+ C نامیده می‌شود. انتگرال نامعین از f(x) و نشان دهید:
🔻f(х)dх.
الف مقدماتی:
f(x) - تابع انتگرال،
f(х)dх - انتگرال
از این نتیجه می شود که انتگرال نامعین تابعی از شکل کلی است که دیفرانسیل آن برابر با انتگرال و مشتق آن نسبت به متغیر است. ایکسدر تمام نقاط با انتگرال برابر است.
از دیدگاه هندسیانتگرال نامعین خانواده ای از منحنی ها است که هر یک از منحنی ها با جابجایی یکی از منحنی ها به موازات خود به سمت بالا یا پایین، یعنی در امتداد محور به دست می آیند. OU(شکل 7.2).
عمل محاسبه انتگرال نامعین یک تابع معین نامیده می شود ادغام این تابع
توجه داشته باشید که اگر مشتق از عملکرد ابتداییهمیشه یک تابع ابتدایی است، پس ضد مشتق یک تابع ابتدایی ممکن است با تعداد محدودی از توابع ابتدایی نشان داده نشود.
حال بیایید در نظر بگیریم ویژگی های انتگرال نامعین.
از تعریف 2 چنین است:
1. مشتق انتگرال نامعین برابر انتگرال است یعنی اگر F′(x) = f(x) ، آن
2. دیفرانسیل انتگرال نامعین برابر با انتگرال است
. (7.4)
از تعریف دیفرانسیل و خاصیت (7.3)
3. انتگرال نامعین دیفرانسیل فلان تابع با این تابع تا یک جمله ثابت برابر است، یعنی 
(7.5)
