مثال هایی برای توصیف ویژگی های توابع با استفاده از نمودار. توابع ابتدایی پایه و خواص آنها

عملکرد کاهشی-اگر برای هر کدام x 1و x 2،به گونه ای که x 1 < x 2، نابرابری برقرار است f( x 1 )> f( x 2 )

روش های تعیین یک تابع

¨ برای تعریف یک تابع، باید راهی را مشخص کنید که برای هر مقدار آرگومان، مقدار تابع مربوطه را بتوان پیدا کرد. رایج ترین روش برای تعیین یک تابع استفاده از فرمول است در =f(x)، کجا f(x)-بیان با یک متغیر X. در این حالت می گویند تابع با فرمول داده می شود یا تابع داده می شود به صورت تحلیلی

¨ در عمل اغلب استفاده می شود جدولیروشی برای تعیین یک تابع با این روش، جدولی ارائه می شود که مقادیر تابع برای مقادیر آرگومان موجود در جدول را نشان می دهد. نمونه هایی از توابع جدول جدول مربع ها و جدول مکعب ها هستند.

انواع توابع و خواص آنها

1) تابع ثابت -تابع داده شده با فرمول y= ب , کجا ب-تعدادی عدد نمودار تابع ثابت y=b یک خط مستقیم موازی با محور آبسیسا است و از نقطه (0;b) در محور مختصات می گذرد.

2) تناسب مستقیم -تابع داده شده با فرمول y= kx , جایی که k¹0. شماره کتماس گرفت عامل تناسب .

ویژگی های عملکرد y=kx :

1. دامنه یک تابع مجموعه تمام اعداد حقیقی است

2. y=kx- تابع فرد

3. هنگامی که k>0 تابع افزایش می یابد، و زمانی که k<0 убывает на всей числовой прямой

3)تابع خطی-تابع، که با فرمول داده می شود y=kx+b، کجا کو ب - اعداد واقعی اگر به طور خاص k=0، سپس یک تابع ثابت می گیریم y=b; اگر b=0، سپس نسبت مستقیم بدست می آوریم y=kx .

ویژگی های عملکرد y=kx+b :

1. دامنه - مجموعه ای از تمام اعداد واقعی

2. عملکرد y=kx+bشکل کلی، یعنی نه زوج و نه فرد

3. هنگامی که k>0 تابع افزایش می یابد، و زمانی که k<0 убывает на всей числовой прямой

نمودار تابع است مستقیم .

4)نسبت معکوس-تابع داده شده با فرمول y=k /X،جایی که k¹0 عدد کتماس گرفت ضریب تناسب معکوس

ویژگی های عملکرد y=k / x:

1. دامنه - مجموعه تمام اعداد واقعی به جز صفر

2. y=k / x - تابع فرد

3. اگر k>0 باشد، تابع در بازه (0;+¥) و در بازه (-¥;0) کاهش می یابد. اگر ک<0, то функция возрастает на промежутке (-¥;0) и на промежутке (0;+¥).

نمودار تابع است هذلولی .

5)تابع y=x2

ویژگی های عملکرد y=x2:

2. y=x2 - حتی عملکرد

3. در فاصله زمانی تابع کاهش می یابد

نمودار تابع است سهمی .

6)تابع y=x 3

ویژگی های عملکرد y=x 3:

1. دامنه تعریف - کل خط اعداد

2. y=x 3 - تابع فرد

3. تابع در طول کل خط اعداد افزایش می یابد

نمودار تابع است سهمی مکعبی

7)تابع توان با توان طبیعی -تابع داده شده با فرمول y=x n، کجا n- عدد طبیعی وقتی n=1 تابع y=x را بدست می آوریم، ویژگی های آن در پاراگراف 2 مورد بحث قرار می گیرد. برای n=2;3 توابع y=x 2 را بدست می آوریم. y=x 3. خواص آنها در بالا مورد بحث قرار گرفته است.

فرض کنید n یک عدد زوج دلخواه بزرگتر از دو باشد: 4،6،8... در این حالت، تابع y=x nدارای همان ویژگی های تابع y=x 2 است. نمودار تابع شبیه سهمی y=x 2 است، فقط شاخه های نمودار برای |x|>1 از n بزرگتر تندتر می شوند و برای |x|<1 тем “теснее прижимаются” к оси Х, чем больше n.

فرض کنید n یک عدد فرد دلخواه بزرگتر از سه باشد: 5،7،9... در این حالت، تابع y=x nدارای همان ویژگی های تابع y=x 3 است. نمودار تابع شبیه سهمی مکعبی است.

8)تابع توان با توان عدد صحیح منفی -تابع داده شده با فرمول y=x -n , کجا n- عدد طبیعی برای n=1، y=1/x را بدست می آوریم.

فرض کنید n عدد فرد بزرگتر از یک باشد: 3،5،7... در این حالت تابع y=x -nاساساً همان ویژگی های تابع y=1/x را دارد.

فرض کنید n یک عدد زوج باشد، برای مثال n=2.

ویژگی های عملکرد y=x -2 :

1. تابع برای همه x¹0 تعریف شده است

2. y=x -2 -حتی عملکرد

3. تابع با (0;+¥) کاهش می یابد و با (-¥;0) افزایش می یابد.

هر تابعی که حتی n بزرگتر از دو داشته باشد، ویژگی های یکسانی دارد.

9)تابع y= Ö X

ویژگی های عملکرد y= Ö X :

1. دامنه تعریف - اشعه; نابرابری الف<x<ب – فاصلهو با () نشان داده می شود. نابرابری ها و - نیم فواصلو به ترتیب با و نشان داده می شوند. همچنین اغلب باید با فواصل بی نهایت و نیمه بازه ها سر و کار داشته باشید: , , , و . تماس با همه آنها راحت است در فواصل زمانی .

فاصله، یعنی مجموعه ای از نقاط ارضا کننده نابرابری (که در آن)، همسایگی نقطه نامیده می شود الف.

مفهوم تابع. ویژگی های اساسی یک تابع

اگر هر عنصر xمجموعه ها Xیک عنصر منفرد مطابقت دارد yمجموعه ها Y، سپس آنها می گویند که در مجموعه Xداده شده است تابع y=f(x). در عین حال xتماس گرفت متغیر مستقلیا استدلال، A y – متغیر وابستهیا تابع، A fبیانگر قانون مطابقت است. بسیاری Xتماس گرفت حوزه تعریفتوابع و یک مجموعه Y – محدوده مقادیرتوابع

راه های مختلفی برای تعیین توابع وجود دارد.

1) روش تحلیلی - تابع با فرمولی از فرم داده می شود y=f(x).

2) روش جدولی - تابع توسط جدولی حاوی مقادیر آرگومان و مقادیر تابع مربوطه مشخص می شود. y=f(x).

3) روش گرافیکی - به تصویر کشیدن نمودار یک تابع، به عنوان مثال. مجموعه ای از نقاط ( x; y) صفحه مختصات که ابسیساهای آن مقادیر آرگومان را نشان می دهند و مختصات مقادیر مربوط به تابع را نشان می دهند. y=f(x).

4) روش کلامی - یک تابع با قانون ترکیب آن توصیف می شود. برای مثال، تابع دیریکله مقدار 1 if را می گیرد xیک عدد گویا و 0 اگر است x- عدد غیر منطقی

ویژگی های اصلی توابع زیر مشخص می شود.

1 زوج و فردتابع y=f(x) نامیده می شود حتی، اگر برای هر مقدار xاز دامنه تعریف خود راضی است f(–x)=f(x) و عجیب و غریب، اگر f(–x)=–f(x). اگر هیچ یک از برابری های ذکر شده برآورده نشد، پس y=f(x) نامیده می شود عملکرد کلی. نمودار یک تابع زوج نسبت به محور متقارن است اوه، و نمودار تابع فرد نسبت به مبدا متقارن است.

2 یکنواختیتابع y=f(x) نامیده می شود افزایش می یابد (در حال کاهش است) در فاصله زمانی X، اگر یک مقدار آرگومان بزرگتر از این بازه با یک مقدار تابع بزرگتر (کوچکتر) مطابقت داشته باشد. اجازه دهید x 1 ,x 2 Î X, x 2 >x 1. سپس تابع در بازه افزایش می یابد X، اگر f(x 2)>f(x 1) و اگر کاهش می یابد f(x 2)<f(x 1).

در کنار توابع افزایش و کاهش، توابع غیر کاهشی و غیرافزاینده در نظر گرفته می شود. تابع فراخوانی می شود بدون کاهش (غیر افزایشی، اگر در x 1 ,x 2 Î X, x 2 >x 1 نابرابری برقرار است f(x 2)≥f(x 1) (f(x 2)≤f(x 1)).

توابع افزایشی و کاهشی و همچنین توابع غیرافزاینده و غیر کاهشی را یکنواخت می نامند.

3 محدودتابع y=f(x) محدود در بازه نامیده می شود X، اگر چنین عدد مثبتی وجود داشته باشد م>0، چه | f(x)|≤مبرای هر کسی xÎ X. در غیر این صورت گفته می شود که تابع نامحدود است X.

4 فرکانستابع y=f(x) دوره ای با دوره نامیده می شود تی≠0، در صورت وجود xاز دامنه تابع f(x+تی)=f(x). در ادامه، منظور ما از دوره، کوچکترین دوره مثبت یک تابع است.

تابع فراخوانی می شود صریح، اگر با فرمولی از فرم داده شود y=f(x). اگر تابع با معادله داده شود اف(x, y)=0، نسبت به متغیر وابسته مجاز نیست y، سپس نامیده می شود ضمنی.

اجازه دهید y=f(x) تابعی از متغیر مستقل تعریف شده در مجموعه است Xبا برد Y. بیایید هر کدام را مطابقت دهیم yÎ Yمعنی واحد xÎ X، که در آن f(x)=y.سپس تابع به دست آمده x=φ (y) در مجموعه تعریف شده است Yبا برد X، تماس گرفت معکوسو تعیین شده است y=f –1 (x). نمودارهای توابع معکوس متقارن با توجه به نیمساز ربع مختصات اول و سوم متقارن هستند.

اجازه دهید تابع y=f(تو) تابعی از یک متغیر است تو، در مجموعه تعریف شده است Uبا برد Y، و متغیر توبه نوبه خود یک تابع است تو=φ (x) در مجموعه تعریف شده است Xبا برد U. سپس روی مجموعه داده می شود Xتابع y=f(φ (x)) نامیده می شود تابع پیچیده(ترکیب توابع، برهم نهی توابع، تابع یک تابع).

توابع ابتدایی

توابع ابتدایی اصلی عبارتند از:

• تابع قدرت y=x n; y=x–nو y=x 1/ n;
• تابع نمایی y=یک x;
• تابع لگاریتمی y= ثبت نام یک x;
• توابع مثلثاتی y= گناه x, y= cos x, y= tg xو y=ctg x;
• توابع مثلثاتی معکوس y= آرکسین x, y= آرکوس x, y=arctg xو y=arcctg x.

از توابع ابتدایی اولیه، می توان با استفاده از عملیات جبری و برهم نهی توابع، توابع جدیدی به دست آورد.

توابع ساخته شده از توابع ابتدایی اولیه با استفاده از تعداد محدودی از عملیات جبری و تعداد محدودی از عملیات برهم نهی نامیده می شوند. ابتدایی.

جبریتابعی است که در آن تعداد محدودی از عملیات جبری بر روی آرگومان انجام می شود. توابع جبری عبارتند از:

یک تابع منطقی کامل (چند جمله ای یا چند جمله ای)

· تابع کسری - گویا (نسبت دو چند جمله ای)

· تابع غیر منطقی (اگر عملیات روی آرگومان شامل استخراج ریشه باشد).

هر تابع غیر جبری نامیده می شود ماورایی. توابع ماورایی شامل توابع نمایی، لگاریتمی، مثلثاتی و مثلثاتی معکوس هستند.