≡× MENU

• داخلی
• ویندوز
• دیوارها
• پروژه ها
• ساختمان ها

ضد مشتق یک تابع پیچیده، نمونه هایی از راه حل ها. انتگرال ضد مشتق و نامعین – هایپر مارکت دانش

جدول آنتی مشتقات

تعریف. تابع F(x) در یک بازه معین، پاد مشتق برای تابع f(x) نامیده می شود، برای تمام x از این بازه، اگر F"(x)=f(x) .

عملیات یافتن یک پاد مشتق برای یک تابع نامیده می شود ادغام. معکوس عملیات تمایز است.

قضیه. هر تابع (x) پیوسته در یک بازه دارای یک پاد مشتق در همان بازه است.

قضیه (ویژگی اصلی ضد مشتق).اگر در یک بازه تابع F(x) پاد مشتق تابع f(x) باشد، در این بازه تابع F(x)+C نیز پاد مشتق f(x) خواهد بود، جایی که C یک ثابت دلخواه است. .

از این قضیه چنین استنباط می شود که وقتی f(x) دارای تابع ضد مشتق F(x) در یک بازه معین باشد، آنگاه تعداد زیادی از این موارد اولیه وجود دارد. دادن C دلخواه مقادیر عددی، هر بار یک تابع ضد مشتق بدست می آوریم.

برای پیدا کردن آنتی مشتقات استفاده کنید جدول ضد مشتقات. از جدول مشتقات به دست می آید.

مفهوم انتگرال نامعین

تعریف. مجموعه تمام توابع ضد مشتق برای تابع f(x) نامیده می شود نه انتگرال معین و تعیین شده است.

در این حالت f(x) فراخوانی می شود تابع انتگرالو f(x) dx - یکپارچه.

بنابراین، اگر F(x) ضد مشتق f(x) باشد، پس .

خواص انتگرال نامعین

مفهوم انتگرال معین

اجازه دهید شکل صفحه ای را در نظر بگیریم که با یک نمودار پیوسته و غیر منفی در بازه [a; b] تابع f(x)، قطعه [a; b] و خطوط مستقیم x=a و x=b.

شکل حاصل نامیده می شود ذوزنقه منحنی. بیایید مساحت آن را محاسبه کنیم.

برای انجام این کار، بخش [a; b] به n بخش مساوی.

طول هر بخش برابر Δx است.
این یک نقشه ژئوجبرا پویا است.

عناصر قرمز قابل تغییر هستند

برنج. 1. مفهوم انتگرال معین

در هر بخش، مستطیل هایی با ارتفاع f(x k-1) می سازیم (شکل 1).

مساحت هر مستطیل برابر با S k = f(x k-1)Δx k است. .

مساحت همه این مستطیل ها برابر است با این مقدار نامیده می شودجمع انتگرال

برای تابع f(x).

اگر n→∞ باشد، مساحت شکل ساخته شده به این ترتیب کمتر و کمتر با مساحت ذوزنقه منحنی متفاوت خواهد بود. تعریف. مرز جمع انتگرال وقتی n∞ فراخوانی شودانتگرال معین .

، و به این صورت نوشته شده است: "انتگرال از a به b f از xdx"

عدد a را حد پایین ادغام می گویند، b حد بالایی یکپارچگی، قطعه [a; ب] – فاصله ادغام.

ویژگی های یک انتگرال معین

فرمول نیوتن لایب نیتس

انتگرال معین ارتباط نزدیکی با انتگرال ضد مشتق و نامعین دارد فرمول نیوتن لایب نیتس

.

با استفاده از انتگرال

حساب انتگرال به طور گسترده ای در حل انواع مسائل عملی استفاده می شود. بیایید به برخی از آنها نگاه کنیم.

محاسبه حجم اجسام

اجازه دهید تابعی داده شود که سطح مقطع بدنه را بسته به متغیرهای S = s(x), x[a; ب]. سپس حجم یک جسم معین را می توان با ادغام این تابع در محدوده های مناسب پیدا کرد.
اگر جسمی به ما داده شود که با چرخش ذوزنقه منحنی حول محور Ox محدود شده توسط تابع f(x)، x [a; ب]. (شکل 3). اون مربع مقاطع عرضیرا می توان با استفاده از فرمول شناخته شده S = π f 2 (x) محاسبه کرد. بنابراین، فرمول حجم چنین بدنه ای از انقلاب است

درس و ارائه با موضوع: "یک تابع ضد مشتق. نمودار یک تابع"

مواد اضافی
کاربران گرامی، فراموش نکنید که نظرات، نظرات، خواسته های خود را بنویسید! تمام مواد توسط یک برنامه ضد ویروس بررسی شده است.

وسایل کمک آموزشی و شبیه ساز در فروشگاه اینترنتی انتگرال پایه یازدهم
مسائل جبری با پارامترها، نمرات 9-11
"وظایف تعاملی ساختمان در فضا برای کلاس های 10 و 11"

تابع ضد مشتق. مقدمه

بچه ها، شما می دانید که چگونه مشتقات توابع را با استفاده از فرمول ها و قوانین مختلف پیدا کنید. امروز عمل معکوس محاسبه مشتق را مطالعه خواهیم کرد. مفهوم مشتق اغلب در زندگی واقعی. یادآوری می کنم: مشتق نرخ تغییر یک تابع در یک نقطه خاص است. فرآیندهای مربوط به حرکت و سرعت در این اصطلاحات به خوبی توضیح داده شده است.

بیایید به این مشکل نگاه کنیم: «سرعت حرکت یک جسم در یک خط مستقیم با فرمول $V=gt$ برای بازگرداندن قانون حرکت مورد نیاز است.
راه حل.
ما فرمول را به خوبی می دانیم: $S"=v(t)$، که در آن S قانون حرکت است.
وظیفه ما یافتن تابع $S=S(t)$ است که مشتق آن برابر با $gt$ است. با دقت نگاه کنید، می توانید حدس بزنید که $S(t)=\frac(g*t^2)(2)$.
بیایید صحت راه حل این مشکل را بررسی کنیم: $S"(t)=(\frac(g*t^2)(2))"=\frac(g)(2)*2t=g*t$.
با دانستن مشتق تابع، خود تابع را پیدا کردیم، یعنی عمل معکوس را انجام دادیم.
اما ارزش توجه به این نکته را دارد. راه حل مشکل ما نیاز به شفاف سازی دارد، اگر هر عددی (ثابت) را به تابع پیدا شده اضافه کنیم، مقدار مشتق تغییر نخواهد کرد: $S(t)=\frac(g*t^2)(2)+. c,c=const$.
$S"(t)=(\frac(g*t^2)(2))"+c"=g*t+0=g*t$.

بچه ها توجه کنید: مشکل ما بی نهایت راه حل دارد!
اگر مشکل یک شرط اولیه یا شرایط دیگر را مشخص نمی کند، فراموش نکنید که یک ثابت به راه حل اضافه کنید. به عنوان مثال، وظیفه ما ممکن است موقعیت بدن ما را در همان ابتدای حرکت مشخص کند. سپس محاسبه ثابت با جایگزینی صفر در معادله حاصل، دشوار نیست.

اسم این عملیات چیست؟
عمل معکوس تمایز را یکپارچه سازی می نامند.
یافتن یک تابع از یک مشتق داده شده - یکپارچه سازی.
خود تابع یک پاد مشتق نامیده می شود، یعنی تصویری که مشتق تابع از آن به دست آمده است.
مرسوم است که ضد مشتق را با حرف بزرگ $y=F"(x)=f(x)$ بنویسیم.

تعریف. تابع $y=F(x)$ پاد مشتق تابع $у=f(x)$ در بازه X نامیده می شود اگر برای هر $хϵХ$ برابری $F'(x)=f(x)$ برقرار باشد. .

بیایید جدولی از ضد مشتقات برای توابع مختلف بسازیم. باید به عنوان یادآوری چاپ شود و حفظ شود.

در جدول ما هیچ شرایط اولیه مشخص نشده است. این به این معنی است که باید یک ثابت به هر عبارت در سمت راست جدول اضافه شود. بعداً این قانون را روشن خواهیم کرد.

قوانینی برای یافتن آنتی مشتقات

بیایید چند قانون را بنویسیم که به ما در یافتن ضد مشتقات کمک می کند. همه آنها شبیه قوانین تمایز هستند.

قانون 1. ضد مشتق یک جمع برابر است با مجموع ضد مشتقات. $F(x+y)=F(x)+F(y)$.

مثال.
پاد مشتق را برای تابع $y=4x^3+cos(x)$ پیدا کنید.
راه حل.
ضد مشتق مجموع برابر است با مجموع ضد مشتق ها، سپس باید برای هر یک از توابع ارائه شده، ضد مشتق را پیدا کنیم.
$f(x)=4x^3$ => $F(x)=x^4$.
$f(x)=cos(x)$ => $F(x)=sin(x)$.
سپس ضد مشتق تابع اصلی خواهد بود: $y=x^4+sin(x)$ یا هر تابعی به شکل $y=x^4+sin(x)+C$.

قانون 2. اگر $F(x)$ یک ضد مشتق برای $f(x)$ باشد، پس $k*F(x)$ یک ضد مشتق برای تابع $k*f(x)$ است.(به راحتی می توانیم ضریب را به عنوان یک تابع در نظر بگیریم).

مثال.
پاد مشتق توابع را پیدا کنید:
الف) $y=8sin(x)$.
ب) $y=-\frac(2)(3)cos(x)$.
ج) $y=(3x)^2+4x+5$.
راه حل.
الف) ضد مشتق $sin(x)$ منهای $cos(x)$ است. سپس ضد مشتق تابع اصلی به شکل $y=-8cos(x)$ خواهد بود.

ب) ضد مشتق $cos(x)$ $sin(x)$ است. سپس ضد مشتق تابع اصلی به شکل $y=-\frac(2)(3)sin(x)$ خواهد بود.

ج) ضد مشتق برای $x^2$ $\frac(x^3)(3)$ است. ضد مشتق برای x $\frac(x^2)(2)$ است. پاد مشتق 1 x است. سپس پاد مشتق تابع اصلی به شکل زیر خواهد بود: $y=3*\frac(x^3)(3)+4*\frac(x^2)(2)+5*x=x^3+2x ^2+5x$.

قانون 3. اگر $у=F(x)$ یک پاد مشتق برای تابع $y=f(x)$ باشد، آنگاه ضد مشتق برای تابع $y=f(kx+m)$ تابع $y=\frac(1) است. )(k)* F(kx+m)$.

مثال.
پاد مشتق توابع زیر را بیابید:
الف) $y=cos(7x)$.
ب) $y=sin(\frac(x)(2))$.
ج) $y=(-2x+3)^3$.
د) $y=e^(\frac(2x+1)(5))$.
راه حل.
الف) ضد مشتق $cos(x)$ $sin(x)$ است. سپس ضد مشتق برای تابع $y=cos(7x)$ تابع $y=\frac(1)(7)*sin(7x)=\frac(sin(7x))(7)$ خواهد بود.

ب) ضد مشتق $sin(x)$ منهای $cos(x)$ است. سپس ضد مشتق برای تابع $y=sin(\frac(x)(2))$ تابع $y=-\frac(1)(\frac(1)(2))cos(\frac(x) خواهد بود. )(2) =-2cos(\frac(x)(2))$.

ج) ضد مشتق برای $x^3$ $\frac(x^4)(4)$ است، سپس ضد مشتق تابع اصلی $y=-\frac(1)(2)*\frac(((-- 2x+3) ^4)(4)=-\frac((-2x+3))^4)(8)$.

د) کمی عبارت را به توان $\frac(2x+1)(5)=\frac(2)(5)x+\frac(1)(5)$ ساده کنید.
ضد مشتق تابع نمایی، خود تابع نمایی است. ضد مشتق تابع اصلی $y=\frac(1)(\frac(2)(5))e^(\frac(2)(5)x+\frac(1)(5))=\frac خواهد بود (5)(2)*e^(\frac(2x+1)(5))$.

قضیه. اگر $y=F(x)$ یک پاد مشتق برای تابع $y=f(x)$ در بازه X باشد، تابع $y=f(x)$ بی نهایت ضد مشتق دارد و همه آنها دارای فرم $y=F( x)+С$.

اگر در تمام مثال‌هایی که در بالا بحث شد، یافتن مجموعه‌ای از همه پاد مشتق‌ها ضروری بود، باید ثابت C را در همه جا اضافه کرد.
برای تابع $y=cos(7x)$ همه پاد مشتق‌ها به شکل: $y=\frac(sin(7x))(7)+C$ هستند.
برای تابع $y=(-2x+3)^3$ همه آنتی مشتق‌ها به شکل $y=-\frac(((-2x+3))^4)(8)+C$ هستند.

مثال.
با توجه به قانون داده شده تغییر در سرعت یک جسم در طول زمان $v=-3sin(4t)$، قانون حرکت $S=S(t)$ را بیابید اگر در لحظه اولیه جسم دارای مختصاتی بود. برابر با 1.75.
راه حل.
از آنجایی که $v=S’(t)$، باید آنتی مشتق را برای یک سرعت معین پیدا کنیم.
$S=-3*\frac(1)(4)(-cos(4t))+C=\frac(3)(4)cos(4t)+C$.
در این مشکل داده شده است شرط اضافی- لحظه اولیه زمان این به این معنی است که $t=0$.
$S(0)=\frac(3)(4)cos(4*0)+C=\frac(7)(4)$.
$\frac(3)(4)cos(0)+C=\frac(7)(4)$.
$\frac(3)(4)*1+C=\frac(7)(4)$.
$C=1$.
سپس قانون حرکت با فرمول توضیح داده می شود: $S=\frac(3)(4)cos(4t)+1$.

مشکلاتی که باید مستقل حل شوند

1. پاد مشتق توابع را پیدا کنید:
الف) $y=-10sin(x)$.
ب) $y=\frac(5)(6)cos(x)$.
ج) $y=(4x)^5+(3x)^2+5x$.
2. ضد مشتقات توابع زیر را بیابید:
الف) $y=cos(\frac(3)(4)x)$.
ب) $y=sin(8x)$.
ج) $y=((7x+4))^4$.
د) $y=e^(\frac(3x+1)(6))$.
3. با توجه به قانون داده شده تغییر در سرعت یک جسم در طول زمان $v=4cos(6t)$، قانون حرکت $S=S(t)$ را بیابید اگر در لحظه اولیه زمانی جسم دارای یک مختصات برابر با 2

سه قانون اساسی برای یافتن توابع ضد مشتق وجود دارد. آنها بسیار شبیه به قوانین تمایز مربوطه هستند.

قانون 1

اگر F یک پاد مشتق برای تابع f باشد و G یک پاد مشتق برای تابع g باشد، آنگاه F + G یک پاد مشتق برای f + g خواهد بود.

با تعریف یک پاد مشتق، F' = f. G' = g. و از آنجایی که این شرایط برقرار است، پس طبق قانون محاسبه مشتق برای مجموع توابع خواهیم داشت:

(F + G)’ = F’ + G’ = f + g.

قانون 2

اگر F یک پاد مشتق برای تابع f باشد و k مقداری ثابت باشد. سپس k*F پاد مشتق تابع k*f است. این قانون از قانون محاسبه مشتق یک تابع مختلط ناشی می شود.

داریم: (k*F)’ = k*F’ = k*f.

قانون 3

اگر F(x) مقداری پاد مشتق برای تابع f(x) باشد، و k و b چند ثابت باشند، و k برابر با صفر نباشد، آنگاه (1/k)*F*(k*x+b) خواهد بود. یک پاد مشتق برای تابع f (k*x+b).

این قانون از قانون محاسبه مشتق تابع مختلط ناشی می شود:

((1/k)*F*(k*x+b))’ = (1/k)*F’(k*x+b)*k = f(k*x+b).

بیایید به چند نمونه از نحوه اعمال این قوانین نگاه کنیم:

مثال 1. شکل کلی ضد مشتق ها را برای تابع f(x) = x^3 +1/x^2 بیابید. برای تابع x^3 یکی از پاد مشتق ها تابع (x^4)/4 و برای تابع 1/x^2 یکی از پاد مشتق ها تابع -1/x خواهد بود. با استفاده از قانون اول، داریم:

F(x) = x^4/4 - 1/x +C.

مثال 2. بیایید شکل کلی ضد مشتق ها را برای تابع f(x) = 5*cos(x) پیدا کنیم. برای تابع cos(x)، یکی از ضد مشتقات تابع sin(x) خواهد بود. اگر اکنون از قانون دوم استفاده کنیم، خواهیم داشت:

F(x) = 5*sin(x).

مثال 3.یکی از پاد مشتق ها را برای تابع y = sin(3*x-2) پیدا کنید. برای تابع sin(x) یکی از پاد مشتق ها تابع -cos(x) خواهد بود. اگر اکنون از قانون سوم استفاده کنیم، یک عبارت برای ضد مشتق به دست می آوریم:

F(x) = (-1/3)*cos(3*x-2)

مثال 4. پاد مشتق تابع f(x) = 1/(7-3*x)^5 را پیدا کنید

ضد مشتق برای تابع 1/x^5 تابع (-1/(4*x^4)) خواهد بود. حال با استفاده از قانون سوم به دست می آوریم.

قبلا ما عملکرد داده شده، با هدایت فرمول ها و قوانین مختلف، مشتق آن را یافت. این مشتق کاربردهای متعددی دارد: سرعت حرکت (یا به طور کلی، سرعت هر فرآیند) است. ضریب زاویه ای مماس بر نمودار تابع؛ با استفاده از مشتق، می توانید تابع را برای یکنواختی و افراط بررسی کنید. به حل مسائل بهینه سازی کمک می کند.

اما در کنار مشکل یافتن سرعت طبق قانون شناخته شده حرکت، یک مشکل معکوس نیز وجود دارد - مشکل بازگرداندن قانون حرکت بر اساس سرعت شناخته شده. بیایید یکی از این مشکلات را در نظر بگیریم.

مثال 1.یک نقطه مادی در یک خط مستقیم حرکت می کند، سرعت حرکت آن در زمان t با فرمول v=gt به دست می آید. قانون حرکت را پیدا کنید.
راه حل. اجازه دهید s = s(t) قانون حرکت مورد نظر باشد. مشخص است که s"(t) = v(t). این بدان معنی است که برای حل مشکل باید تابع s = s(t) را انتخاب کنید که مشتق آن برابر با gt است. حدس زدن آن دشوار نیست. که \(s(t) = \frac(gt^ 2)(2)\).
\(s"(t) = \left(\frac(gt^2)(2) \راست)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t = gt\)
پاسخ: \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \)

بیایید بلافاصله توجه کنیم که مثال به درستی حل شده است، اما ناقص است. ما \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \). در واقع، مسئله بی نهایت راه حل دارد: هر تابعی از شکل \(s(t) = \frac(gt^2)(2) + C\)، که در آن C یک ثابت دلخواه است، می تواند به عنوان قانون عمل کند. حرکت، از آنجایی که \(\ چپ (\frac(gt^2)(2) +C \راست)" = gt \)

برای مشخص‌تر کردن مسئله، باید وضعیت اولیه را برطرف کنیم: مختصات یک نقطه متحرک را در نقطه‌ای از زمان نشان دهیم، برای مثال در t = 0. اگر، مثلا، s(0) = s 0، سپس از برابری s(t) = (gt 2)/2 + C دریافت می کنیم: s(0) = 0 + C، یعنی C = s 0. اکنون قانون حرکت به طور منحصر به فردی تعریف شده است: s(t) = (gt 2)/2 + s 0.

در ریاضیات به عملیات معکوس متقابل نام‌های مختلفی داده می‌شود و نمادهای خاصی ابداع می‌شوند، به عنوان مثال: مربع کردن (x 2) و استخراج ریشه مربع(\(\sqrt(x) \))، سینوس (sin x) و arcsine (arcsin x) و غیره. فرآیند یافتن مشتق یک تابع داده شده نامیده می شود. تمایزو عمل معکوس، یعنی فرآیند یافتن تابع از یک مشتق معین، است ادغام.

خود اصطلاح «مشتق» را می‌توان «در شرایط روزمره» توجیه کرد: تابع y = f(x) به یک تابع جدید y» = f» (x) «زا می‌دهد». تابع y = f(x) به گونه ای عمل می کند که گویی یک "والد" است، اما ریاضیدانان، به طور طبیعی، آن را "والد" یا "تولیدکننده" نمی گویند، در رابطه با تابع y" = f"(x)، تصویر اولیه یا ابتدایی.

تعریف.تابع y = F(x) برای تابع y = f(x) در بازه X اگر برابری F"(x) = f(x) برای \(x \در X\) پاد مشتق نامیده می شود.

در عمل، بازه X معمولاً مشخص نمی شود، اما ضمنی (به عنوان دامنه طبیعی تعریف تابع).

بیایید مثال بزنیم.
1) تابع y = x 2 برای تابع y = 2x پاد مشتق است، زیرا برای هر x برابری (x 2)" = 2x درست است
2) تابع y = x 3 برای تابع y = 3x 2 ضد مشتق است، زیرا برای هر x برابری (x 3)" = 3x 2 درست است
3) تابع y = sin(x) برای تابع y = cos(x) پاد مشتق است، زیرا برای هر x برابری (sin(x))" = cos(x) صادق است.

هنگام یافتن ضد مشتقات، و همچنین مشتقات، نه تنها از فرمول ها استفاده می شود، بلکه از برخی قوانین نیز استفاده می شود. آنها به طور مستقیم با قوانین مربوطه برای محاسبه مشتقات مرتبط هستند.

می دانیم که مشتق یک جمع برابر است با مشتقات آن. این قانون قانون مربوطه را برای یافتن ضد مشتقات ایجاد می کند.

قانون 1.ضد مشتق یک جمع برابر است با مجموع ضد مشتقات.

می دانیم که عامل ثابت را می توان از علامت مشتق خارج کرد. این قانون قانون مربوطه را برای یافتن ضد مشتقات ایجاد می کند.

قانون 2.اگر F(x) یک پاد مشتق برای f(x) باشد، پس kF(x) یک پاد مشتق برای kf(x) است.

قضیه 1.اگر y = F(x) یک پاد مشتق برای تابع y = f(x) باشد، آنگاه ضد مشتق برای تابع y = f(kx + m) تابع \(y=\frac(1)(k)F است. (kx+m) \)

قضیه 2.اگر y = F(x) یک پاد مشتق برای تابع y = f(x) در بازه X باشد، تابع y = f(x) دارای بی نهایت پاد مشتق است و همه آنها به شکل y = F(x) هستند. + سی.

روش های یکپارچه سازی

روش جایگزینی متغیر (روش جایگزینی)

روش ادغام با جایگزینی شامل معرفی یک متغیر ادغام جدید (یعنی جایگزینی) است. در این حالت، انتگرال داده شده به یک انتگرال جدید کاهش می یابد که به صورت جدولی یا قابل تقلیل به آن است. روش های رایجهیچ گزینه ای برای تعویض وجود ندارد. توانایی تعیین صحیح جایگزینی از طریق تمرین به دست می آید.
اجازه دهید محاسبه انتگرال \(\textstyle \int F(x)dx \) ضروری باشد. بیایید جایگزین \(x= \varphi(t) \) را انجام دهیم که در آن \(\varphi(t) \) تابعی است که مشتق پیوسته دارد.
سپس \(dx = \varphi " (t) \cdot dt \) و بر اساس ویژگی عدم تغییر فرمول یکپارچه سازی برای انتگرال نامعین، فرمول انتگرال را با جایگزینی بدست می آوریم:
\(\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt \)

ادغام عبارات شکل \(\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx \)

اگر m فرد باشد، m > 0، آنگاه راحت تر است که جایگزینی sin x = t را انجام دهیم.
اگر n فرد باشد، n> 0، آنگاه راحت تر است که جایگزینی cos x = t را ایجاد کنیم.
اگر n و m زوج باشند، بهتر است جایگزینی tg x = t را انجام دهیم.

یکپارچه سازی توسط قطعات

ادغام با قطعات - با استفاده از فرمول زیر برای یکپارچه سازی:
\(\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du \)
یا:
\(\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx \)

جدول انتگرال های نامعین (ضد مشتق) برخی از توابع

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch ) x + C $$

ما دیدیم که مشتق کاربردهای متعددی دارد: مشتق سرعت حرکت (یا به طور کلی، سرعت هر فرآیند) است. مشتق شیب مماس بر نمودار تابع است. با استفاده از مشتق، می توانید تابع را برای یکنواختی و افراط بررسی کنید. مشتق به حل مسائل بهینه سازی کمک می کند.

اما در زندگی واقعی باید تصمیم بگیرید مشکلات معکوس: برای مثال در کنار مشکل یافتن سرعت بر اساس قانون حرکت معلوم، مشکل بازگرداندن قانون حرکت بر اساس سرعت معلوم نیز وجود دارد. بیایید یکی از این مشکلات را در نظر بگیریم.

مثال 1.یک نقطه مادی در یک خط مستقیم حرکت می کند، سرعت آن در زمان t با فرمول u = tg داده می شود. قانون حرکت را پیدا کنید.

راه حل.اجازه دهید s = s(t) قانون حرکت مورد نظر باشد. معلوم است که s"(t) = u"(t). این بدان معنی است که برای حل مشکل باید انتخاب کنید تابع s = s(t)، که مشتق آن برابر با tg است. حدس زدن آن کار سختی نیست

بیایید بلافاصله توجه کنیم که مثال به درستی حل شده است، اما ناقص است. ما متوجه شدیم که در واقع، مشکل بی نهایت راه حل دارد: هر تابعی از فرم یک ثابت دلخواه می تواند به عنوان قانون حرکت عمل کند، زیرا

برای مشخص‌تر کردن کار، باید وضعیت اولیه را درست کنیم: مختصات یک نقطه متحرک را در نقطه‌ای از زمان نشان دهیم، به عنوان مثال، t=0. اگر مثلاً s(0) = s 0، از برابری s(0) = 0 + C به دست می آوریم، یعنی S 0 = C. اکنون قانون حرکت به طور منحصر به فرد تعریف می شود:
در ریاضیات، به عملیات معکوس متقابل نام‌های مختلفی داده می‌شود و نمادهای خاصی اختراع می‌شوند: به عنوان مثال، مربع کردن (x 2) و گرفتن جذر سینوس (sinх) و آرکسین(arcsin x) و غیره فرآیند یافتن مشتق یک تابع معین را تمایز و عمل معکوس، یعنی. فرآیند یافتن یک تابع از یک مشتق داده شده - یکپارچه سازی.
خود اصطلاح "مشتق" را می توان "در زندگی روزمره" توجیه کرد: تابع y - f(x) به یک تابع جدید y" = f" (x) عمل می کند یک "والد"، اما ریاضیدانان، به طور طبیعی، آن را "والد" یا "تولیدکننده" نمی نامند، آنها می گویند که این، در رابطه با تابع y"=f"(x)، تصویر اصلی است خلاصه، ضد مشتق.

تعریف 1.تابع y = F(x) برای تابع y = f(x) در یک بازه معین X، پاد مشتق نامیده می شود اگر برای تمام x از X برابری F"(x)=f(x) برقرار باشد.

در عمل، بازه X معمولاً مشخص نمی شود، اما ضمنی (به عنوان دامنه طبیعی تعریف تابع).

در اینجا چند نمونه آورده شده است:

1) تابع y = x 2 برای تابع y = 2x پاد مشتق است، زیرا برای همه x برابری (x 2)" = 2x درست است.
2) تابع y - x 3 برای تابع y-3x 2 ضد مشتق است، زیرا برای همه x برابری (x 3)" = 3x 2 درست است.
3) تابع y-sinх برای تابع y = cosx ضد مشتق است، زیرا برای همه x برابری (sinx)" = cosx صادق است.
4) تابع برای تابعی در بازه پاد مشتق است زیرا برای همه x > 0 برابری درست است
به طور کلی با دانستن فرمول های یافتن مشتقات، تهیه جدولی از فرمول ها برای یافتن پاد مشتق کار دشواری نیست.

امیدواریم نحوه کامپایل شدن این جدول را متوجه شده باشید: مشتق تابعی که در ستون دوم نوشته شده است برابر است با تابعی که در ردیف مربوط به ستون اول نوشته شده است (بررسی کنید، تنبل نباشید، بسیار مفید است). به عنوان مثال، برای تابع y = x 5، ضد مشتق، همانطور که خواهید دید، تابع است (رجوع کنید به ردیف چهارم جدول).

یادداشت ها: 1. در زیر این قضیه را اثبات خواهیم کرد که اگر y = F(x) یک پاد مشتق برای تابع y = f(x) باشد، تابع y = f(x) بی نهایت دارای پاد مشتق است و همه آنها شکل y = دارند. F(x) + C. بنابراین، صحیح تر است که عبارت C را در هر جای ستون دوم جدول اضافه کنیم، جایی که C یک عدد واقعی دلخواه است.
2. برای اختصار، گاهی اوقات به جای عبارت «تابع y = F(x) پاد مشتق تابع y = f(x) است، می گویند F(x) ضد مشتق f(x) است. "

2. قوانین برای یافتن ضد مشتقات

هنگام یافتن ضد مشتقات، و همچنین هنگام یافتن مشتقات، نه تنها از فرمول ها استفاده می شود (آنها در جدول در صفحه 196 فهرست شده اند)، بلکه از برخی قوانین نیز استفاده می شود. آنها به طور مستقیم با قوانین مربوطه برای محاسبه مشتقات مرتبط هستند.

می دانیم که مشتق یک جمع برابر است با مشتقات آن. این قانون قانون مربوطه را برای یافتن ضد مشتقات ایجاد می کند.

قانون 1.ضد مشتق یک جمع برابر است با مجموع ضد مشتقات.

ما توجه شما را به "سبک بودن" این فرمول جلب می کنیم. در واقع، باید این قضیه را فرموله کرد: اگر توابع y = f(x) و y = g(x) دارای پاد مشتق در بازه X، به ترتیب y-F(x) و y-G(x) باشند، مجموع توابع y = f(x)+g(x) دارای یک پاد مشتق در بازه X است و این ضد مشتق تابع y = F(x)+G(x) است. اما معمولاً هنگام تدوین قواعد (و نه قضایا) فقط آنها را ترک می کنند کلمات کلیدی- این باعث می شود که این قانون در عمل راحت تر باشد

مثال 2.پاد مشتق تابع y = 2x + cos x را پیدا کنید.

راه حل.ضد مشتق برای 2x x است"؛ ضد مشتق برای cox sin x است. این بدان معنی است که ضد مشتق برای تابع y = 2x + cos x تابع y = x 2 + sin x خواهد بود (و به طور کلی هر تابعی از شکل Y = x 1 + sinx + C) .
می دانیم که عامل ثابت را می توان از علامت مشتق خارج کرد. این قانون قانون مربوطه را برای یافتن ضد مشتقات ایجاد می کند.

قانون 2.عامل ثابت را می توان از علامت ضد مشتق خارج کرد.

مثال 3.

راه حل.الف) ضد مشتق برای sin x -soz x است. این بدان معنی است که برای تابع y = 5 sin x تابع ضد مشتق تابع y = -5 cos x خواهد بود.

ب) ضد مشتق برای cos x، sin x است. این بدان معنی است که ضد مشتق یک تابع تابع است
ج) پاد مشتق برای x 3 ضد مشتق برای x است، ضد مشتق برای تابع y = 1 تابع y = x است. با استفاده از قوانین اول و دوم برای یافتن ضد مشتق ها، متوجه می شویم که ضد مشتق برای تابع y = 12x 3 + 8x-1 تابع است.
نظر دهید.همانطور که مشخص است، مشتق یک محصول با حاصل ضرب مشتقات برابر نیست (قاعده تمایز یک محصول پیچیده تر است) و مشتق یک محصول برابر با مشتقات نیست. بنابراین هیچ قاعده ای برای یافتن پاد مشتق محصول یا ضد مشتق ضریب دو تابع وجود ندارد. مراقب باش!
اجازه دهید قانون دیگری برای یافتن ضد مشتقات به دست آوریم. می دانیم که مشتق تابع y = f(kx+m) با فرمول محاسبه می شود

این قانون قانون مربوطه را برای یافتن ضد مشتقات ایجاد می کند.
قانون 3.اگر y = F(x) یک پاد مشتق برای تابع y = f(x) باشد، آنگاه ضد مشتق برای تابع y=f(kx+m) تابع است.

در واقع،

این بدان معنی است که یک پاد مشتق برای تابع y = f(kx+m) است.
معنای قاعده سوم به شرح زیر است. اگر می دانید که ضد مشتق تابع y = f(x) تابع y = F(x) است، پس باید پیدا کنید ضد مشتق تابع y = f(kx+m)، سپس به این صورت ادامه دهید: همان تابع F را بگیرید، اما به جای آرگومان x، عبارت kx+m را جایگزین کنید. علاوه بر این، فراموش نکنید که قبل از علامت تابع، "ضریب تصحیح" را بنویسید
مثال 4.آنتی مشتق ها را برای توابع داده شده پیدا کنید:

راه حلالف) ضد مشتق sin x -soz x است. این بدان معنی است که برای تابع y = sin2x ضد مشتق تابع خواهد بود
ب) ضد مشتق برای cos x، sin x است. این بدان معنی است که ضد مشتق یک تابع تابع است

ج) ضد مشتق برای x 7 به این معنی است که برای تابع y = (4-5x) 7 ضد مشتق تابع خواهد بود.

3. انتگرال نامعین

قبلاً در بالا اشاره کردیم که مسئله یافتن یک پاد مشتق برای یک تابع معین y = f(x) بیش از یک راه حل دارد. بیایید این موضوع را با جزئیات بیشتری مورد بحث قرار دهیم.

اثبات 1. فرض کنید y = F(x) پاد مشتق برای تابع y = f(x) در بازه X باشد. این بدان معنی است که برای همه x از X برابری x"(x) = f(x) برقرار است. مشتق هر تابعی به شکل y = F(x)+C را پیدا کنید:
(F(x) +C) = F"(x) +C = f(x) +0 = f(x).

بنابراین، (F(x)+C) = f(x). این بدان معنی است که y = F(x) + C یک پاد مشتق برای تابع y = f(x) است.
بنابراین، ما ثابت کردیم که اگر تابع y = f(x) دارای یک پاد مشتق y=F(x) باشد، تابع (f = f(x) دارای بی نهایت پاد مشتق است، برای مثال، هر تابعی به شکل y = F(x) +C یک پاد مشتق است.
2. اجازه دهید اکنون ثابت کنیم که نوع توابع نشان داده شده کل مجموعه ضد مشتقات را خسته می کند.

فرض کنید y=F 1 (x) و y=F(x) دو ضد مشتق برای تابع Y = f(x) در بازه X باشند. این بدان معنی است که برای تمام x از بازه X روابط زیر برقرار است: F^ ( x) = f (X); F"(x) = f(x).

بیایید تابع y = F 1 (x) -.F(x) را در نظر بگیریم و مشتق آن را پیدا کنیم: (F, (x) -F(x))" = F[(x)-F(x) = f(x ) - f(x) = 0.
مشخص است که اگر مشتق یک تابع در بازه X به طور یکسان برابر با صفر باشد، آنگاه تابع در بازه X ثابت است (به قضیه 3 از § 35 مراجعه کنید). این بدان معنی است که F 1 (x) - F (x) = C، یعنی. Fx) = F(x)+C.

قضیه ثابت شده است.

مثال 5.قانون تغییر سرعت با زمان داده شده است: v = -5sin2t. قانون حرکت s = s(t) را بیابید، اگر بدانیم که در زمان t=0 مختصات نقطه برابر با عدد 1.5 بود (یعنی s(t) = 1.5).

راه حل.از آنجایی که سرعت یک مشتق از مختصات به عنوان تابعی از زمان است، ابتدا باید ضد مشتق سرعت را پیدا کنیم، یعنی. ضد مشتق برای تابع v = -5sin2t. یکی از این ضد مشتقات تابع است و مجموعه همه پاد مشتق ها به شکل زیر است:

برای یافتن مقدار خاص ثابت C از شرایط اولیه استفاده می کنیم که بر اساس آن s(0) = 1.5 است. با جایگزینی مقادیر t=0، S = 1.5 به فرمول (1)، دریافت می کنیم:

با جایگزینی مقدار یافت شده C به فرمول (1)، قانون حرکت مورد علاقه ما را به دست می آوریم:

تعریف 2.اگر یک تابع y = f(x) دارای یک پاد مشتق y = F(x) در بازه X باشد، آنگاه مجموعه تمام پاد مشتق ها، یعنی. مجموعه ای از توابع به شکل y = F(x) + C را انتگرال نامعین تابع y = f(x) می نامند و با:

(بخوانید:" انتگرال نامعین ef از x de x").
در پاراگراف بعدی خواهیم فهمید که معنای پنهان این نام چیست.
بر اساس جدول ضد مشتقات موجود در این بخش، جدولی از انتگرال های نامعین اصلی را تهیه می کنیم:

بر اساس سه قانون فوق برای یافتن ضد مشتقات، می‌توانیم قوانین ادغام مربوطه را فرموله کنیم.

قانون 1.انتگرال مجموع توابع برابر با مجموعانتگرال های این توابع:

قانون 2.عامل ثابت را می توان از علامت انتگرال خارج کرد:

قانون 3.اگر

مثال 6.یافتن انتگرال های نامعین:

راه حلالف) با استفاده از قوانین اول و دوم ادغام، به دست می آوریم:

حالا بیایید از فرمول های یکپارچه سازی 3 و 4 استفاده کنیم:

در نتیجه دریافت می کنیم:

ب) با استفاده از قانون سوم ادغام و فرمول 8 به دست می آوریم:

ج) برای یافتن مستقیم یک انتگرال معین، نه فرمول متناظر و نه قانون متناظر را داریم. در چنین مواردی، تغییر شکل‌های یکسان عبارت موجود در زیر علامت انتگرال، که قبلا انجام شده است، گاهی کمک می‌کند.

بهره ببریم فرمول مثلثاتیکاهش مدرک تحصیلی:

سپس به ترتیب می یابیم:

A.G. موردکوویچ جبر کلاس دهم

برنامه ریزی تقویمی- موضوعی در ریاضیات، ویدئودر ریاضیات آنلاین، ریاضیات در مدرسه