آنتی مشتق چیست؟ تابع پاد مشتق و انتگرال نامعین
جدول آنتی مشتقات
تعریف. تابع F(x) در یک بازه معین، پاد مشتق برای تابع f(x) نامیده می شود، برای تمام x از این بازه، اگر F"(x)=f(x) .
عملیات یافتن یک پاد مشتق برای یک تابع نامیده می شود ادغام. معکوس عملیات تمایز است.
قضیه. هر تابع (x) پیوسته در یک بازه دارای یک پاد مشتق در همان بازه است.
قضیه (ویژگی اصلی ضد مشتق).اگر در یک بازه تابع F(x) پاد مشتق تابع f(x) باشد، در این بازه تابع F(x)+C نیز پاد مشتق f(x) خواهد بود، جایی که C یک ثابت دلخواه است. .
از این قضیه چنین استنباط می شود که وقتی f(x) دارای تابع ضد مشتق F(x) در یک بازه معین باشد، آنگاه تعداد زیادی از این موارد اولیه وجود دارد. دادن C دلخواه مقادیر عددی، هر بار یک تابع ضد مشتق بدست می آوریم.
برای پیدا کردن آنتی مشتقات استفاده کنید جدول ضد مشتقات. از جدول مشتقات به دست می آید.
مفهوم انتگرال نامعین
تعریف. مجموعه تمام توابع ضد مشتق برای تابع f(x) نامیده می شود انتگرال نامعینو تعیین شده است.
در این حالت f(x) فراخوانی می شود تابع انتگرالو f(x) dx - یکپارچه.
بنابراین، اگر F(x) ضد مشتق f(x) باشد، پس 
.
خواص انتگرال نامعین
مفهوم انتگرال معین
اجازه دهید شکل صفحه ای را در نظر بگیریم که با یک نمودار پیوسته و غیر منفی در بازه [a; b] تابع f(x)، قطعه [a; b] و خطوط مستقیم x=a و x=b.
شکل حاصل نامیده می شود ذوزنقه منحنی. بیایید مساحت آن را محاسبه کنیم.
برای انجام این کار، بخش [a; b] به n بخش مساوی.
طول هر قطعه برابر Δx است.
این یک نقشه ژئوجبرا پویا است.
عناصر قرمز قابل تغییر هستند
برنج. 1. مفهوم انتگرال معین
در هر بخش، مستطیل هایی با ارتفاع f(x k-1) می سازیم (شکل 1).
مساحت هر مستطیل برابر با S k = f(x k-1)Δx k است. 
.
مساحت همه این مستطیل ها برابر است با این مقدار نامیده می شودجمع انتگرال
برای تابع f(x). اگر n→∞ باشد، مساحت شکلی که به این ترتیب ساخته شده است کمتر و کمتر با مساحت متفاوت خواهد بود..
ذوزنقه منحنی تعریف. مرز جمع انتگرال وقتی n∞ فراخوانی شودانتگرال معین 
.
، و به این صورت نوشته شده است: می خواند:
عدد a را حد پایین ادغام می گویند، b حد بالایی یکپارچگی، قطعه [a; ب] – فاصله ادغام.
ویژگی های یک انتگرال معین
فرمول نیوتن لایب نیتس
انتگرال معین ارتباط نزدیکی با انتگرال ضد مشتق و نامعین دارد فرمول نیوتن لایب نیتس
.
با استفاده از انتگرال
حساب انتگرال به طور گسترده ای در حل انواع مسائل عملی استفاده می شود. بیایید به برخی از آنها نگاه کنیم.
محاسبه حجم اجسام
|
اجازه دهید تابعی داده شود که سطح مقطع بدنه را بسته به متغیرهای S = s(x), x[a; ب]. سپس حجم یک جسم معین را می توان با ادغام این تابع در محدوده های مناسب پیدا کرد. |
|
| اگر جسمی به ما داده شود که با چرخش ذوزنقه منحنی حول محور Ox محدود شده توسط تابع f(x)، x [a; ب]. (شکل 3). اون مربع مقاطع عرضیرا می توان با استفاده از فرمول شناخته شده S = π f 2 (x) محاسبه کرد. بنابراین، فرمول حجم چنین بدنه ای از انقلاب است |
|
درس و ارائه با موضوع: "یک تابع ضد مشتق. نمودار یک تابع"
مواد اضافی
کاربران گرامی، فراموش نکنید که نظرات، نظرات، خواسته های خود را بنویسید! تمام مواد توسط یک برنامه ضد ویروس بررسی شده است.
وسایل کمک آموزشی و شبیه ساز در فروشگاه اینترنتی انتگرال پایه یازدهم
مسائل جبری با پارامترها، نمرات 9-11
"وظایف تعاملی ساختمان در فضا برای کلاس های 10 و 11"
تابع ضد مشتق. مقدمه
بچه ها، شما می دانید که چگونه مشتقات توابع را با استفاده از فرمول ها و قوانین مختلف پیدا کنید. امروز عمل معکوس محاسبه مشتق را مطالعه خواهیم کرد. مفهوم مشتق اغلب در زندگی واقعی. یادآوری می کنم: مشتق نرخ تغییر یک تابع در یک نقطه خاص است. فرآیندهای مربوط به حرکت و سرعت در این اصطلاحات به خوبی توضیح داده شده است.بیایید به این مشکل نگاه کنیم: «سرعت حرکت یک جسم در یک خط مستقیم با فرمول $V=gt$ برای بازگرداندن قانون حرکت مورد نیاز است.
راه حل.
ما فرمول را به خوبی می دانیم: $S"=v(t)$، که در آن S قانون حرکت است.
وظیفه ما یافتن تابع $S=S(t)$ است که مشتق آن برابر با $gt$ است. با دقت نگاه کنید، می توانید حدس بزنید که $S(t)=\frac(g*t^2)(2)$.
بیایید صحت راه حل این مشکل را بررسی کنیم: $S"(t)=(\frac(g*t^2)(2))"=\frac(g)(2)*2t=g*t$.
با دانستن مشتق تابع، خود تابع را پیدا کردیم، یعنی عمل معکوس را انجام دادیم.
اما ارزش توجه به این نکته را دارد. راه حل مشکل ما نیاز به شفاف سازی دارد، اگر هر عددی (ثابت) را به تابع پیدا شده اضافه کنیم، مقدار مشتق تغییر نخواهد کرد: $S(t)=\frac(g*t^2)(2)+. c,c=const$.
$S"(t)=(\frac(g*t^2)(2))"+c"=g*t+0=g*t$.
بچه ها توجه کنید: مشکل ما بی نهایت راه حل دارد!
اگر مشکل یک شرط اولیه یا شرایط دیگر را مشخص نمی کند، فراموش نکنید که یک ثابت به راه حل اضافه کنید. به عنوان مثال، وظیفه ما ممکن است موقعیت بدن ما را در همان ابتدای حرکت مشخص کند. سپس محاسبه ثابت با جایگزینی صفر در معادله حاصل، دشوار نیست.
اسم این عملیات چیست؟
عمل معکوس تمایز را یکپارچه سازی می نامند.
یافتن یک تابع از یک مشتق داده شده - یکپارچه سازی.
خود تابع یک پاد مشتق نامیده می شود، یعنی تصویری که مشتق تابع از آن به دست آمده است.
مرسوم است که ضد مشتق را با حرف بزرگ $y=F"(x)=f(x)$ بنویسیم.
تعریف. تابع $y=F(x)$ پاد مشتق تابع $у=f(x)$ در بازه X نامیده می شود اگر برای هر $хϵХ$ برابری $F'(x)=f(x)$ برقرار باشد. .
بیایید جدولی از ضد مشتقات برای توابع مختلف بسازیم. باید به عنوان یادآوری چاپ شود و حفظ شود.
در جدول ما هیچ شرایط اولیه مشخص نشده است. این به این معنی است که باید یک ثابت به هر عبارت در سمت راست جدول اضافه شود. بعداً این قانون را روشن خواهیم کرد.
قوانینی برای یافتن آنتی مشتقات
بیایید چند قانون را بنویسیم که به ما در یافتن ضد مشتقات کمک می کند. همه آنها شبیه قوانین تمایز هستند.قانون 1. ضد مشتق یک جمع برابر است با مجموع ضد مشتقات. $F(x+y)=F(x)+F(y)$.
مثال.
پاد مشتق را برای تابع $y=4x^3+cos(x)$ پیدا کنید.
راه حل.
ضد مشتق مجموع برابر است با مجموع ضد مشتق ها، سپس باید برای هر یک از توابع ارائه شده، ضد مشتق را پیدا کنیم.
$f(x)=4x^3$ => $F(x)=x^4$.
$f(x)=cos(x)$ => $F(x)=sin(x)$.
سپس ضد مشتق تابع اصلی خواهد بود: $y=x^4+sin(x)$ یا هر تابعی به شکل $y=x^4+sin(x)+C$.
قانون 2. اگر $F(x)$ یک ضد مشتق برای $f(x)$ باشد، پس $k*F(x)$ یک ضد مشتق برای تابع $k*f(x)$ است.(به راحتی می توانیم ضریب را به عنوان یک تابع در نظر بگیریم).
مثال.
پاد مشتق توابع را پیدا کنید:
الف) $y=8sin(x)$.
ب) $y=-\frac(2)(3)cos(x)$.
ج) $y=(3x)^2+4x+5$.
راه حل.
الف) ضد مشتق $sin(x)$ منهای $cos(x)$ است. سپس ضد مشتق تابع اصلی به شکل $y=-8cos(x)$ خواهد بود.
ب) ضد مشتق $cos(x)$ $sin(x)$ است. سپس ضد مشتق تابع اصلی به شکل $y=-\frac(2)(3)sin(x)$ خواهد بود.
ج) ضد مشتق برای $x^2$ $\frac(x^3)(3)$ است. ضد مشتق برای x $\frac(x^2)(2)$ است. ضد مشتق 1 x است. سپس پاد مشتق تابع اصلی به شکل زیر خواهد بود: $y=3*\frac(x^3)(3)+4*\frac(x^2)(2)+5*x=x^3+2x ^2+5x$.
قانون 3. اگر $у=F(x)$ یک پاد مشتق برای تابع $y=f(x)$ باشد، آنگاه ضد مشتق برای تابع $y=f(kx+m)$ تابع $y=\frac(1) است. )(k)* F(kx+m)$.
مثال.
پاد مشتق توابع زیر را بیابید:
الف) $y=cos(7x)$.
ب) $y=sin(\frac(x)(2))$.
ج) $y=(-2x+3)^3$.
د) $y=e^(\frac(2x+1)(5))$.
راه حل.
الف) ضد مشتق $cos(x)$ $sin(x)$ است. سپس ضد مشتق برای تابع $y=cos(7x)$ تابع $y=\frac(1)(7)*sin(7x)=\frac(sin(7x))(7)$ خواهد بود.
ب) ضد مشتق $sin(x)$ منهای $cos(x)$ است. سپس ضد مشتق برای تابع $y=sin(\frac(x)(2))$ تابع $y=-\frac(1)(\frac(1)(2))cos(\frac(x) خواهد بود. )(2) =-2cos(\frac(x)(2))$.
ج) ضد مشتق برای $x^3$ $\frac(x^4)(4)$ است، سپس ضد مشتق تابع اصلی $y=-\frac(1)(2)*\frac(((-- 2x+3) ^4)(4)=-\frac((-2x+3))^4)(8)$.
د) کمی عبارت را به توان $\frac(2x+1)(5)=\frac(2)(5)x+\frac(1)(5)$ ساده کنید.
ضد مشتق تابع نمایی، خود تابع نمایی است. ضد مشتق تابع اصلی $y=\frac(1)(\frac(2)(5))e^(\frac(2)(5)x+\frac(1)(5))=\frac خواهد بود (5)(2)*e^(\frac(2x+1)(5))$.
قضیه. اگر $y=F(x)$ یک پاد مشتق برای تابع $y=f(x)$ در بازه X باشد، تابع $y=f(x)$ بی نهایت ضد مشتق دارد و همه آنها دارای فرم $y=F( x)+С$.
اگر در تمام مثال‌هایی که در بالا بحث شد، یافتن مجموعه‌ای از همه پاد مشتق‌ها ضروری بود، باید ثابت C را در همه جا اضافه کرد.
برای تابع $y=cos(7x)$ همه پاد مشتق‌ها به شکل: $y=\frac(sin(7x))(7)+C$ هستند.
برای تابع $y=(-2x+3)^3$ همه آنتی مشتق‌ها به شکل $y=-\frac(((-2x+3))^4)(8)+C$ هستند.
مثال.
با توجه به قانون داده شده تغییر در سرعت یک جسم در طول زمان $v=-3sin(4t)$، قانون حرکت $S=S(t)$ را بیابید اگر در لحظه اولیه جسم دارای مختصاتی بود. برابر با 1.75.
راه حل.
از آنجایی که $v=S’(t)$، باید آنتی مشتق را برای یک سرعت معین پیدا کنیم.
$S=-3*\frac(1)(4)(-cos(4t))+C=\frac(3)(4)cos(4t)+C$.
در این مشکل داده شده است شرط اضافی- لحظه اولیه زمان این به این معنی است که $t=0$.
$S(0)=\frac(3)(4)cos(4*0)+C=\frac(7)(4)$.
$\frac(3)(4)cos(0)+C=\frac(7)(4)$.
$\frac(3)(4)*1+C=\frac(7)(4)$.
$C=1$.
سپس قانون حرکت با فرمول توضیح داده می شود: $S=\frac(3)(4)cos(4t)+1$.
مشکلاتی که باید مستقل حل شوند
1. پاد مشتق توابع را پیدا کنید:الف) $y=-10sin(x)$.
ب) $y=\frac(5)(6)cos(x)$.
ج) $y=(4x)^5+(3x)^2+5x$.
2. ضد مشتقات توابع زیر را بیابید:
الف) $y=cos(\frac(3)(4)x)$.
ب) $y=sin(8x)$.
ج) $y=((7x+4))^4$.
د) $y=e^(\frac(3x+1)(6))$.
3. با توجه به قانون داده شده تغییر در سرعت یک جسم در طول زمان $v=4cos(6t)$، قانون حرکت $S=S(t)$ را بیابید اگر در لحظه اولیه زمانی جسم دارای یک مختصات برابر با 2
حل انتگرال ها کار آسانی است، اما فقط برای تعداد معدودی. این مقاله برای کسانی است که می خواهند یاد بگیرند که انتگرال ها را بفهمند، اما چیزی یا تقریباً هیچ چیز در مورد آنها نمی دانند. انتگرال ... چرا مورد نیاز است؟ چگونه آن را محاسبه کنیم؟ آنچه مسلم است و انتگرال نامعینس اگر تنها استفاده ای که از انتگرال می شناسید استفاده از قلاب قلاب بافی به شکل نماد انتگرال برای بازیابی چیزی مفید از مکان های سخت دسترسی، پس خوش آمدید! دریابید که چگونه انتگرال ها را حل کنید و چرا نمی توانید بدون آن کار کنید.
ما مفهوم "انتگرال" را مطالعه می کنیم
ادغام در گذشته شناخته شده بود مصر باستان. البته نه در فرم مدرن، اما هنوز از آن زمان، ریاضیدانان کتاب های زیادی در این زمینه نوشته اند. به خصوص خود را متمایز کردند نیوتن و لایب نیتس ، اما ماهیت چیزها تغییر نکرده است. چگونه انتگرال ها را از ابتدا بفهمیم؟ به هیچ وجه! برای درک این موضوع هنوز نیاز دارید دانش پایهمبانی آنالیز ریاضی این اطلاعات اساسی است که در وبلاگ ما خواهید یافت.
انتگرال نامعین
اجازه دهید عملکردی داشته باشیم f(x) .
تابع انتگرال نامعین f(x) این تابع نامیده می شود F(x) ، که مشتق آن برابر با تابع است f(x) .
به عبارت دیگر، انتگرال مشتق معکوس یا ضد مشتق است. به هر حال، در مورد چگونگی در مقاله ما بخوانید.
یک پاد مشتق برای همه توابع پیوسته وجود دارد. همچنین، اغلب یک علامت ثابت به ضد مشتق اضافه می شود، زیرا مشتقات توابعی که با یک ثابت متفاوت هستند، مطابقت دارند. فرآیند یافتن انتگرال را انتگرال می گویند.
مثال ساده:
برای اینکه دائماً ضد مشتقات محاسبه نشود توابع ابتدایی، راحت است آنها را در یک جدول خلاصه کنید و از مقادیر آماده استفاده کنید:
انتگرال معین
وقتی با مفهوم انتگرال سروکار داریم، با کمیت های بی نهایت کوچک سروکار داریم. انتگرال به محاسبه مساحت یک شکل، جرم یک جسم غیریکنواخت، مسافت طی شده در هنگام حرکت ناهموار و موارد دیگر کمک می کند. باید به خاطر داشت که انتگرال مجموع تعداد بی نهایت زیادی از جمله های بی نهایت کوچک است.
به عنوان مثال، نموداری از یک تابع را تصور کنید. چگونه مساحت شکل محدود شده با نمودار یک تابع را پیدا کنیم؟
با استفاده از یک انتگرال! اجازه دهید ذوزنقه منحنی را که توسط محورهای مختصات و نمودار تابع محدود شده است، به بخش های بی نهایت کوچک تقسیم کنیم. به این ترتیب شکل به ستون های نازک تقسیم می شود. مجموع مساحت ستون ها مساحت ذوزنقه خواهد بود. اما به یاد داشته باشید که چنین محاسبه ای نتیجه تقریبی خواهد داشت. با این حال، هرچه قطعات کوچکتر و باریکتر باشند، محاسبه دقیق تر خواهد بود. اگر آنها را به حدی کاهش دهیم که طول به صفر برسد، مجموع مساحت قطعات به مساحت شکل متمایل می شود. این یک انتگرال معین است که به صورت زیر نوشته شده است:
نقاط a و b حد ادغام نامیده می شود.
باری علیباسوف و گروه "اینتگرال"
اتفاقا! برای خوانندگان ما اکنون 10٪ تخفیف در نظر گرفته شده است
قوانین محاسبه انتگرال برای آدمک ها
خواص انتگرال نامعین
چگونه یک انتگرال نامعین را حل کنیم؟ در اینجا به ویژگی های انتگرال نامعین می پردازیم که در حل مثال ها مفید خواهد بود.
- مشتق انتگرال برابر با انتگرال است:
- ثابت را می توان از زیر علامت انتگرال خارج کرد:
- انتگرال جمع برابر با مجموعانتگرال ها این در مورد تفاوت نیز صادق است:
ویژگی های یک انتگرال معین
- خطی بودن:
- علامت انتگرال در صورت تعویض حدود یکپارچه تغییر می کند:
- در هرامتیاز الف, بو با:
قبلاً فهمیدیم که انتگرال معین حد یک جمع است. اما چگونه می توان یک مقدار خاص را هنگام حل یک مثال به دست آورد؟ برای این کار فرمول نیوتن-لایب نیتس وجود دارد:
نمونه هایی از حل انتگرال ها
در زیر چندین نمونه از یافتن انتگرال نامعین را بررسی خواهیم کرد. ما از شما دعوت می کنیم که پیچیدگی های راه حل را خودتان بفهمید و اگر چیزی نامشخص است، در نظرات سؤالات خود را بپرسید.
برای تقویت مطالب، ویدئویی در مورد چگونگی حل انتگرال ها در عمل تماشا کنید. اگر فوراً انتگرال داده نشد، ناامید نشوید. بپرسید و هر آنچه را که در مورد محاسبه انتگرال می دانند به شما خواهند گفت. با کمک ما، هر انتگرال سه گانه یا منحنی روی یک سطح بسته در توان شما خواهد بود.
تابع F(x ) تماس گرفت ضد مشتق برای عملکرد f(x) در یک بازه زمانی معین، اگر برای همه x از این فاصله برابری برقرار است
F"(x ) = f(x ) .
به عنوان مثال، تابع F(x) = x 2 f(x ) = 2X ، زیرا
F"(x) = (x 2 )" = 2x = f(x). ◄
خاصیت اصلی ضد مشتق
اگر F(x) - ضد مشتق یک تابع f(x) در یک بازه مشخص، سپس تابع f(x) دارای بی نهایت ضد مشتقات است و همه این ضد مشتقات را می توان به شکل نوشت F(x) + C، کجا با یک ثابت دلخواه است.
به عنوان مثال. تابع F(x) = x 2 + 1 ضد مشتق تابع است f(x ) = 2X ، زیرا F"(x) = (x 2 + 1 )" = 2 x = f(x); تابع F(x) = x 2 - 1 ضد مشتق تابع است f(x ) = 2X ، زیرا F"(x) = (x 2 - 1)" = 2x = f(x) ; تابع F(x) = x 2 - 3 ضد مشتق تابع است f(x) = 2X ، زیرا F"(x) = (x 2 - 3)" = 2 x = f(x); هر عملکرد F(x) = x 2 + با ، کجا با - یک ثابت دلخواه، و تنها چنین تابعی ضد مشتق تابع است f(x) = 2X . ◄ |
قوانین محاسبه ضد مشتقات
- اگر F(x) - ضد مشتق برای f(x) ، A G(x) - ضد مشتق برای g(x) ، آن F(x) + G(x) - ضد مشتق برای f(x) + g(x) . به عبارت دیگر، ضد مشتق جمع برابر است با مجموع ضد مشتقات .
- اگر F(x) - ضد مشتق برای f(x) ، و ک - پس ثابت ک · F(x) - ضد مشتق برای ک · f(x) . به عبارت دیگر، عامل ثابت را می توان از علامت مشتق خارج کرد .
- اگر F(x) - ضد مشتق برای f(x) ، و ک,ب- ثابت، و k ≠ 0 ، آن 1 / ک F(ک x+ب ) - ضد مشتق برای f(ک x+ ب) .
انتگرال نامعین
انتگرال نامعین از تابع f(x) بیان نامیده می شود F(x) + C، یعنی مجموعه ای از تمام پاد مشتق های یک تابع معین f(x) . انتگرال نامعین به صورت زیر نشان داده می شود:
∫ f(x) dx = F(x) + C ,
f(x)- زنگ می زنند تابع انتگرال ;
f(x)dx- زنگ می زنند یکپارچه ;
x - زنگ می زنند متغیر ادغام ;
F(x) - یکی از توابع اولیه f(x) ;
با یک ثابت دلخواه است.
به عنوان مثال، ∫ 2 x dx =X 2 + با , ∫ cosx dx =گناه X + با و غیره ◄
کلمه "انتگرال" از کلمه لاتین آمده است عدد صحیح ، که به معنای "بازیابی" است. با در نظر گرفتن انتگرال نامعین از 2 x، به نظر می رسد ما عملکرد را بازیابی می کنیم X 2 ، که مشتق آن برابر است با 2 x. بازیابی یک تابع از مشتق آن، یا همان، یافتن یک انتگرال نامعین بر روی یک انتگرال داده شده نامیده می شود. ادغام این تابع ادغام عمل معکوس تمایز است برای بررسی اینکه آیا ادغام به درستی انجام شده است، کافی است که نتیجه را متمایز کنیم و انتگرال را بدست آوریم.
ویژگی های اساسی انتگرال نامعین
- مشتق انتگرال نامعین برابر با انتگرال است:
- ضریب ثابت انتگرال را می توان از علامت انتگرال خارج کرد:
- انتگرال مجموع (تفاوت) توابع برابر است با مجموع (تفاوت) انتگرال های این توابع:
- اگر ک,ب- ثابت، و k ≠ 0 ، آن
(∫ f(x)dx )" = f(x) .
∫ ک · f(x)dx = ک · ∫ f(x)dx .
∫ ( f(x) ± g(x ) ) dx = ∫ f(x)dx ± ∫ g(x ) dx .
∫ f ( ک x+ ب) dx = 1 / ک F(ک x+ب ) + سی .
جدول پاد مشتق ها و انتگرال های نامعین
| f(x)
| F(x) + C
| ∫
f(x) dx = F(x) + C
|
|
| من | $$0$$ | $$C$$ | $$\int 0dx=C$$ |
| II. | $$k$$ | $$kx+C$$ | $$\int kdx=kx+C$$ |
| III. | $$x^n~(n\neq-1)$$ | $$\frac(x^(n+1))(n+1)+C$$ | $$\int x^ndx=\frac(x^(n+1))(n+1)+C$$ |
| IV. | $$\frac(1)(x)$$ | $$\ln |x|+C$$ | $$\int\frac(dx)(x)=\ln |x|+C$$ |
| V. | $$\sin x$$ | $$-\cos x+C$$ | $$\int\sin x~dx=-\cos x+C$$ |
| VI. | $$\cos x$$ | $$\sin x+C$$ | $$\int\cos x~dx=\sin x+C$$ |
| VII. | $$\frac(1)(\cos^2x)$$ | $$\textrm(tg) ~x+C$$ | $$\int\frac(dx)(\cos^2x)=\textrm(tg) ~x+C$$ |
| هشتم. | $$\frac(1)(\sin^2x)$$ | $$-\textrm(ctg) ~x+C$$ | $$\int\frac(dx)(\sin^2x)=-\textrm(ctg) ~x+C$$ |
| IX | $$e^x$$ | $$e^x+C$$ | $$\int e^xdx=e^x+C$$ |
| X | $$a^x$$ | $$\frac(a^x)(\ln a)+C$$ | $$\int a^xdx=\frac(a^x)(\ln a)+C$$ |
| XI. | $$\frac(1)(\sqrt(1-x^2))$$ | $$\arcsin x +C$$ | $$\int\frac(dx)(\sqrt(1-x^2))=\arcsin x +C$$ |
| XII. | $$\frac(1)(\sqrt(a^2-x^2))$$ | $$\arcsin \frac(x)(a)+C$$ | $$\int\frac(dx)(\sqrt(a^2-x^2))=\arcsin \frac(x)(a)+C$$ |
| سیزدهم. | $$\frac(1)(1+x^2)$$ | $$\textrm(arctg) ~x+C$$ | $$\int \frac(dx)(1+x^2)=\textrm(arctg) ~x+C$$ |
| چهاردهم | $$\frac(1)(a^2+x^2)$$ | $$\frac(1)(a)\textrm(arctg) ~\frac(x)(a)+C$$ | $$\int \frac(dx)(a^2+x^2)=\frac(1)(a)\textrm(arctg) ~\frac(x)(a)+C$$ |
| XV. | $$\frac(1)(\sqrt(a^2+x^2))$$ | $$\ln|x+\sqrt(a^2+x^2)|+C$$ | $$\int\frac(dx)(\sqrt(a^2+x^2))=\ln|x+\sqrt(a^2+x^2)|+C$$ |
| شانزدهم | $$\frac(1)(x^2-a^2)~(a\neq0)$$ | $$\frac(1)(2a)\ln \begin(vmatrix)\frac(x-a)(x+a)\end(vmatrix)+C$$ | $$\int\frac(dx)(x^2-a^2)=\frac(1)(2a)\ln \begin(vmatrix)\frac(x-a)(x+a)\end(vmatrix)+ دلار کانادا |
| XVII. | $$\textrm(tg) ~x$$ | $$-\ln |\cos x|+C$$ | $$\int \textrm(tg) ~x ~dx=-\ln |\cos x|+C$$ |
| هجدهم | $$\textrm(ctg) ~x$$ | $$\ln |\sin x|+C$$ | $$\int \textrm(ctg) ~x ~dx=\ln |\sin x|+C$$ |
| نوزدهم | $$ \frac(1)(\sin x) $$ | $$\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg) ~\frac(x)(2)\end(vmatrix)+C $$ | $$\int \frac(dx)(\sin x)=\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg) ~\frac(x)(2)\end(vmatrix)+C $$ |
| XX. | $$ \frac(1)(\cos x) $$ | $$\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg)\left (\frac(x)(2)+\frac(\pi )(4) \راست) \end(vmatrix)+C $$ | $$\int \frac(dx)(\cos x)=\n \begin(vmatrix)\textrm(tg)\left (\frac(x)(2)+\frac(\pi )(4) \راست ) \end(vmatrix)+C $$ |
| انتگرال های ضد مشتق و نامعین ارائه شده در این جدول معمولاً نامیده می شوند ضد مشتقات جدولی
و انتگرال های جدول
. |
|||
انتگرال معین
بگذار در بین [الف; ب] یک تابع پیوسته داده می شود y = f(x) ، سپس انتگرال معین از a تا b توابع f(x) افزایش ضد مشتق نامیده می شود F(x) این تابع، یعنی
$$\int_(a)^(b)f(x)dx=F(x)|(_a^b) = ~~F(a)-F(b).$$
اعداد الفو ببر این اساس نامیده می شوند پایین تر و بالا محدودیت های ادغام
قوانین اساسی برای محاسبه انتگرال معین
1. \(\int_(a)^(a)f(x)dx=0\);
2. \(\int_(a)^(b)f(x)dx=- \int_(b)^(a)f(x)dx\);
3. \(\int_(a)^(b)kf(x)dx=k\int_(a)^(b)f(x)dx,\) که در آن ک - ثابت؛
4. \(\int_(a)^(b)(f(x) ± g(x))dx=\int_(a)^(b)f(x) dx±\int_(a)^(b) g(x)dx\);
5. \(\int_(a)^(b)f(x)dx=\int_(a)^(c)f(x)dx+\int_(c)^(b)f(x)dx\);
6. \(\int_(-a)^(a)f(x)dx=2\int_(0)^(a)f(x)dx\)، که در آن f(x) - عملکرد یکنواخت؛
7. \(\int_(-a)^(a)f(x)dx=0\)، که در آن f(x) یک تابع فرد است.
نظر دهید . در همه موارد، فرض بر این است که انتگرال ها در بازه های عددی قابل انتگرال هستند که مرزهای آن، حدود یکپارچه سازی است.
معنای هندسی و فیزیکی انتگرال معین
| معنی هندسی انتگرال معین | معنای فیزیکی
انتگرال معین |
 |  |
مربع اسذوزنقه منحنی (شکل محدود شده توسط نمودار مثبت پیوسته در بازه [الف; ب] توابع f(x) ، محور گاو نر و مستقیم x=a , x=b ) با فرمول محاسبه می شود $$S=\int_(a)^(b)f(x)dx.$$ | مسیر س، که نقطه مادی بر آن غلبه کرده است و به صورت مستقیم با سرعت متغیر مطابق قانون حرکت می کند. v(t)
، برای مدتی a ;
ب] ، سپس مساحت شکل توسط نمودارهای این توابع و خطوط مستقیم محدود می شود x = a
, x = b
، با فرمول محاسبه می شود $$S=\int_(a)^(b)(f(x)-g(x))dx.$$ |
 | به عنوان مثال. بیایید مساحت شکل محدود شده با خطوط را محاسبه کنیم y = x 2 و y = 2-x . اجازه دهید نمودارهای این توابع را به صورت شماتیک به تصویر بکشیم و شکلی که مساحت آن باید پیدا شود را با رنگی متفاوت برجسته کنیم. برای یافتن حدود ادغام، معادله را حل می کنیم: x 2 = 2-x ; x 2 + x- 2 = 0 ; x 1 = -2، x 2 = 1 . $$S=\int_(-2)^(1)((2-x)-x^2)dx=$$ |
$$=\int_(-2)^(1)(2-x-x^2)dx=\چپ (2x-\frac(x^2)(2)-\frac(x^3)(2) \راست )\bigm|(_(-2)^(~1))=4\frac(1)(2). $$ ◄ |
|
حجم بدنه انقلاب
 | اگر جسمی در نتیجه چرخش حول یک محور به دست آید گاو نر ذوزنقه منحنی که توسط یک نمودار پیوسته و غیر منفی در فاصله محدود شده است [الف; ب] توابع y = f(x) و مستقیم x = aو x = b ، سپس نامیده می شود بدنه چرخشی . حجم یک بدنه چرخش با فرمول محاسبه می شود $$V=\pi\int_(a)^(b)f^2(x)dx.$$ اگر در نتیجه چرخش شکلی که در بالا و پایین توسط نمودارهای توابع محدود شده است، بدنه چرخشی به دست آید. y = f(x) و y = g(x) ، بر این اساس، پس $$V=\pi\int_(a)^(b)(f^2(x)-g^2(x))dx.$$ |
 | به عنوان مثال. بیایید حجم یک مخروط را با شعاع محاسبه کنیم r
و ارتفاع ساعت
. اجازه دهید مخروط را در یک سیستم مختصات مستطیلی قرار دهیم تا محور آن با محور منطبق باشد. گاو نر
، و مرکز پایه در مبدا قرار داشت. چرخش ژنراتور ABمخروط را تعریف می کند. از آنجایی که معادله AB $$\frac(x)(h)+\frac(y)(r)=1,$$ $$y=r-\frac(rx)(h)$$ |
| و برای حجم مخروط داریم $$V=\pi\int_(0)^(h)(r-\frac(rx)(h))^2dx=\pi r^2\int_(0)^(h)(1-\frac( x)(h))^2dx=-\pi r^2h\cdot \frac((1-\frac(x)(h))^3)(3)|(_0^h)=-\pi r^ 2h\ چپ (0-\frac(1)(3) \راست)=\frac(\pi r^2h)(3).$$ ◄ |
|
سه قانون اساسی برای یافتن توابع ضد مشتق وجود دارد. آنها بسیار شبیه به قوانین تمایز مربوطه هستند.
قانون 1
اگر F یک پاد مشتق برای تابع f باشد و G یک پاد مشتق برای تابع g باشد، آنگاه F + G یک پاد مشتق برای f + g خواهد بود.
با تعریف یک پاد مشتق، F' = f. G' = g. و از آنجایی که این شرایط برقرار است، پس طبق قانون محاسبه مشتق برای مجموع توابع خواهیم داشت:
(F + G)’ = F’ + G’ = f + g.
قانون 2
اگر F یک پاد مشتق برای تابع f باشد و k مقداری ثابت باشد. سپس k*F یک پاد مشتق برای تابع k*f است. این قانون از قانون محاسبه مشتق یک تابع مختلط ناشی می شود.
داریم: (k*F)’ = k*F’ = k*f.
قانون 3
اگر F(x) مقداری پاد مشتق برای تابع f(x) باشد، و k و b چند ثابت باشند، و k برابر با صفر نباشد، آنگاه (1/k)*F*(k*x+b) خواهد بود. یک پاد مشتق برای تابع f (k*x+b).
این قانون از قانون محاسبه مشتق تابع مختلط ناشی می شود:
((1/k)*F*(k*x+b))’ = (1/k)*F’(k*x+b)*k = f(k*x+b).
بیایید به چند نمونه از نحوه اعمال این قوانین نگاه کنیم:
مثال 1. پیدا کنید نمای کلیضد مشتق برای تابع f(x) = x^3 +1/x^2. برای تابع x^3 یکی از پاد مشتق ها تابع (x^4)/4 و برای تابع 1/x^2 یکی از پاد مشتق ها تابع -1/x خواهد بود. با استفاده از قانون اول، داریم:
F(x) = x^4/4 - 1/x +C.
مثال 2. بیایید شکل کلی ضد مشتق ها را برای تابع f(x) = 5*cos(x) پیدا کنیم. برای تابع cos(x)، یکی از ضد مشتقات تابع sin(x) خواهد بود. اگر اکنون از قانون دوم استفاده کنیم، خواهیم داشت:
F(x) = 5*sin(x).
مثال 3.یکی از پاد مشتق ها را برای تابع y = sin(3*x-2) پیدا کنید. برای تابع sin(x) یکی از پاد مشتق ها تابع -cos(x) خواهد بود. اگر اکنون از قانون سوم استفاده کنیم، یک عبارت برای ضد مشتق به دست می آوریم:
F(x) = (-1/3)*cos(3*x-2)
مثال 4. پاد مشتق تابع f(x) = 1/(7-3*x)^5 را پیدا کنید
ضد مشتق برای تابع 1/x^5 تابع (-1/(4*x^4)) خواهد بود. حال با استفاده از قانون سوم به دست می آوریم.
