Shtëpi > Dritaret > Formulimi i teoremës së Pitagorës. Teorema e Pitagorës: historia, prova, shembuj të zbatimit praktik

Formulimi i teoremës së Pitagorës. Teorema e Pitagorës: historia, prova, shembuj të zbatimit praktik

Potenciali për kreativitet zakonisht i atribuohet shkencave humane, duke ia lënë shkencën natyrore analizës, qasjes praktike dhe gjuhës së thatë të formulave dhe numrave. Matematika nuk mund të klasifikohet si lëndë e shkencave humane. Por pa kreativitet nuk do të shkoni larg në "mbretëreshën e të gjitha shkencave" - njerëzit e kanë ditur këtë për një kohë të gjatë. Që nga koha e Pitagorës, për shembull.

Tekstet shkollore, për fat të keq, zakonisht nuk shpjegojnë se në matematikë është e rëndësishme jo vetëm të grumbullohen teorema, aksioma dhe formula. Është e rëndësishme të kuptoni dhe ndjeni parimet e tij themelore. Dhe në të njëjtën kohë, përpiquni të çlironi mendjen tuaj nga klishe dhe të vërteta elementare - vetëm në kushte të tilla lindin të gjitha zbulimet e mëdha.

Zbulime të tilla përfshijnë atë që ne sot e njohim si teorema e Pitagorës. Me ndihmën e saj, ne do të përpiqemi të tregojmë se matematika jo vetëm që mundet, por duhet të jetë emocionuese. Dhe se kjo aventurë është e përshtatshme jo vetëm për budallenj me syze të trasha, por për të gjithë ata që janë të fortë në mendje dhe të fortë në shpirt.

Nga historia e çështjes

Në mënyrë të rreptë, megjithëse teorema quhet "teorema e Pitagorës", vetë Pitagora nuk e zbuloi atë. Trekëndëshi kënddrejtë dhe vetitë e tij të veçanta janë studiuar shumë përpara tij. Ekzistojnë dy këndvështrime polare për këtë çështje. Sipas një versioni, Pitagora ishte i pari që gjeti një provë të plotë të teoremës. Sipas një tjetri, prova nuk i përket autorësisë së Pitagorës.

Sot nuk mund të kontrolloni më se kush ka të drejtë dhe kush e ka gabim. Ajo që dihet është se prova e Pitagorës, nëse ka ekzistuar ndonjëherë, nuk ka mbijetuar. Sidoqoftë, ka sugjerime se prova e famshme nga Elementet e Euklidit mund t'i përkasë Pitagorës dhe Euklidi vetëm e regjistroi atë.

Dihet gjithashtu sot se problemet në lidhje me një trekëndësh kënddrejtë gjenden në burimet egjiptiane nga koha e faraonit Amenemhat I, në pllaka balte babilonase nga mbretërimi i mbretit Hamurabi, në traktatin e lashtë indian "Sulva Sutra" dhe veprën e lashtë kineze " Zhou-bi suan jin”.

Siç mund ta shihni, teorema e Pitagorës ka pushtuar mendjet e matematikanëve që nga kohërat e lashta. Këtë e vërtetojnë rreth 367 prova të ndryshme që ekzistojnë sot. Në këtë, asnjë teoremë tjetër nuk mund të konkurrojë me të. Ndër autorët e famshëm të provave mund të kujtojmë Leonardo da Vincin dhe presidentin e njëzetë të SHBA-së James Garfield. E gjithë kjo flet për rëndësinë ekstreme të kësaj teoreme për matematikën: shumica e teoremave të gjeometrisë rrjedhin prej saj ose janë disi të lidhura me të.

Vërtetime të teoremës së Pitagorës

Tekstet shkollore kryesisht japin prova algjebrike. Por thelbi i teoremës është në gjeometri, kështu që le të shqyrtojmë së pari ato prova të teoremës së famshme që bazohen në këtë shkencë.

Dëshmia 1

Për provën më të thjeshtë të teoremës së Pitagorës për një trekëndësh kënddrejtë, duhet të vendosni kushte ideale: le të jetë trekëndëshi jo vetëm kënddrejtë, por edhe dykëndësh. Ka arsye për të besuar se ishte pikërisht ky lloj trekëndëshi që matematikanët e lashtë konsideruan fillimisht.

Deklaratë "Një katror i ndërtuar mbi hipotenuzën e një trekëndëshi kënddrejtë është i barabartë me shumën e katrorëve të ndërtuar në këmbët e tij" mund të ilustrohet me vizatimin e mëposhtëm:

Shikoni trekëndëshin kënddrejtë dykëndësh ABC: Në hipotenuzën AC, mund të ndërtoni një katror të përbërë nga katër trekëndësha të barabartë me ABC origjinal. Dhe në brinjët AB dhe BC është ndërtuar një katror, secili prej të cilëve përmban dy trekëndësha të ngjashëm.

Nga rruga, ky vizatim formoi bazën e shakave dhe karikaturave të shumta kushtuar teoremës së Pitagorës. Më i famshmi është ndoshta "Pantallonat e Pitagorës janë të barabarta në të gjitha drejtimet":

Dëshmia 2

Kjo metodë kombinon algjebrën dhe gjeometrinë dhe mund të konsiderohet si një variant i provës së lashtë indiane të matematikanit Bhaskari.

Ndërtoni një trekëndësh kënddrejtë me brinjë a, b dhe c(Fig. 1). Më pas ndërtoni dy katrorë me brinjë e barabartë me shumën gjatësia e dy këmbëve, - (a+b). Në secilin nga katrorët, bëni ndërtime si në figurat 2 dhe 3.

Në katrorin e parë, ndërtoni katër trekëndësha të ngjashëm me ata në figurën 1. Rezultati është dy katrorë: njëri me brinjën a, i dyti me brinjën b.

Në katrorin e dytë, katër trekëndësha të ngjashëm të ndërtuar formojnë një katror me brinjë të barabartë me hipotenuzën c.

Shuma e sipërfaqeve të katrorëve të ndërtuar në figurën 2 është e barabartë me sipërfaqen e katrorit që kemi ndërtuar me anën c në figurën 3. Kjo mund të kontrollohet lehtësisht duke llogaritur sipërfaqen e katrorëve në Fig. 2 sipas formulës. Dhe sipërfaqja e katrorit të gdhendur në figurën 3. duke zbritur sipërfaqet e katër trekëndëshave të barabartë kënddrejtë të gdhendur në katror nga sipërfaqja e një katrori të madh me një anë (a+b).

Duke shkruar të gjitha këto, kemi: a 2 +b 2 =(a+b) 2 – 2ab. Hapni kllapat, kryeni të gjitha llogaritjet e nevojshme algjebrike dhe merrni atë a 2 +b 2 = a 2 +b 2. Në këtë rast, zona e gdhendur në Fig. 3. katrori mund të llogaritet edhe duke përdorur formulën tradicionale S=c 2. Ato. a 2 +b 2 =c 2– ju keni vërtetuar teoremën e Pitagorës.

Dëshmia 3

Vetë prova e lashtë indiane u përshkrua në shekullin e 12-të në traktatin "Kurora e dijes" ("Siddhanta Shiromani") dhe si argument kryesor autori përdor një apel drejtuar talenteve matematikore dhe aftësive vëzhguese të studentëve dhe ndjekësve: " Shikoni!”

Por ne do ta analizojmë këtë provë më në detaje:

Brenda katrorit, ndërtoni katër trekëndësha kënddrejtë siç tregohet në vizatim. Le të shënojmë anën e katrorit të madh, i njohur gjithashtu si hipotenuzë, Me. Le t'i quajmë këmbët e trekëndëshit A Dhe b. Sipas vizatimit, ana e katrorit të brendshëm është (a-b).

Përdorni formulën për sipërfaqen e një katrori S=c 2 për të llogaritur sipërfaqen e katrorit të jashtëm. Dhe në të njëjtën kohë llogarisni të njëjtën vlerë duke shtuar sipërfaqen e katrorit të brendshëm dhe sipërfaqet e të katër trekëndëshave kënddrejtë: (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.

Ju mund të përdorni të dy opsionet për llogaritjen e sipërfaqes së një katrori për t'u siguruar që ato japin të njëjtin rezultat. Dhe kjo ju jep të drejtën ta shkruani atë c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. Si rezultat i zgjidhjes, do të merrni formulën e teoremës së Pitagorës c 2 =a 2 +b 2. Teorema është vërtetuar.

Prova 4

Kjo provë kurioze e lashtë kineze u quajt "Karrika e nuses" - për shkak të figurës si karrige që rezulton nga të gjitha ndërtimet:

Ai përdor vizatimin që kemi parë tashmë në Fig. 3 në provën e dytë. Dhe katrori i brendshëm me anën c është ndërtuar në të njëjtën mënyrë si në provën e lashtë indiane të dhënë më sipër.

Nëse këputni mendërisht dy trekëndësha kënddrejtë të gjelbër nga vizatimi në Fig. 1, zhvendosini ato në anët e kundërta bashkëngjitni një katror me anën c dhe hipotenus në hipotenuset e trekëndëshave jargavan, do të merrni një figurë të quajtur "karrige e nuses" (Fig. 2). Për qartësi, mund të bëni të njëjtën gjë me katrorë dhe trekëndësha letre. Do të siguroheni që "karrigia e nuses" të formohet nga dy katrorë: të vegjël me anë. b dhe i madh me një anë a.

Këto ndërtime i lejuan matematikanët e lashtë kinezë dhe ne, duke ndjekur ata, të arrinim në përfundimin se c 2 =a 2 +b 2.

Dëshmia 5

Kjo është një mënyrë tjetër për të gjetur një zgjidhje për teoremën e Pitagorës duke përdorur gjeometrinë. Quhet Metoda Garfield.

Ndërtoni një trekëndësh kënddrejtë ABC. Ne duhet ta vërtetojmë këtë BC 2 = AC 2 + AB 2.

Për ta bërë këtë, vazhdoni këmbën AC dhe ndërtoni një segment CD, e cila është e barabartë me këmbën AB. Ulni pingulen pas Krishtit segment ED. Segmentet ED Dhe AC janë të barabartë. Lidhni pikat E Dhe NË, dhe gjithashtu E Dhe ME dhe merrni një vizatim si në foton më poshtë:

Për të vërtetuar kullën, ne përsëri i drejtohemi metodës që kemi provuar tashmë: gjejmë zonën e figurës që rezulton në dy mënyra dhe barazojmë shprehjet me njëra-tjetrën.

Gjeni sipërfaqen e një shumëkëndëshi ABED mund të bëhet duke mbledhur sipërfaqet e tre trekëndëshave që e formojnë atë. Dhe një prej tyre, ERU, nuk është vetëm drejtkëndëshe, por edhe dyshe. Le të mos e harrojmë gjithashtu AB=CD, AC=ED Dhe BC=SE– kjo do të na lejojë të thjeshtojmë regjistrimin dhe të mos e mbingarkojmë atë. Pra, S ABED =2*1/2(AB*AC)+1/2ВС 2.

Në të njëjtën kohë, është e qartë se ABED- Ky është një trapez. Prandaj, ne llogarisim zonën e saj duke përdorur formulën: S ABED =(DE+AB)*1/2AD. Për llogaritjet tona, është më e përshtatshme dhe më e qartë të përfaqësohet segmenti pas Krishtit si shuma e segmenteve AC Dhe CD.

Le të shkruajmë të dyja mënyrat për të llogaritur sipërfaqen e një figure, duke vendosur një shenjë të barabartë midis tyre: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). Ne përdorim barazinë e segmenteve, tashmë të njohur për ne dhe të përshkruar më sipër, për të thjeshtuar anën e djathtë të shënimit: AB*AC+1/2BC 2 =1/2(AB+AC) 2. Tani le të hapim kllapat dhe të transformojmë barazinë: AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. Pasi të kemi përfunduar të gjitha transformimet, marrim pikërisht atë që na nevojitet: BC 2 = AC 2 + AB 2. Ne kemi vërtetuar teoremën.

Sigurisht, kjo listë e provave është larg të qenit e plotë. Teorema e Pitagorës mund të vërtetohet edhe duke përdorur vektorë, numra kompleksë, ekuacione diferenciale, stereometri, etj. Dhe madje edhe fizikanët: nëse, për shembull, lëngu derdhet në vëllime katrore dhe trekëndore të ngjashme me ato të treguara në vizatime. Duke derdhur lëng, mund të vërtetoni barazinë e zonave dhe si rezultat vetë teoremën.

Disa fjalë për trenjakët e Pitagorës

Kjo çështje është pak ose aspak e studiuar në kurrikulën shkollore. Ndërkohë, ai është shumë interesant dhe ka vlerë të madhe në gjeometri. Treshe të Pitagorës përdoren për të zgjidhur shumë probleme matematikore. Kuptimi i tyre mund të jetë i dobishëm për ju në edukimin e mëtejshëm.

Pra, çfarë janë trenjakët e Pitagorës? Kështu e quajnë numrat natyrorë, të mbledhura në treshe, shuma e katrorëve të dy prej të cilëve është e barabartë me numrin e tretë në katror.

Treshe të Pitagorës mund të jenë:

primitiv (të tre numrat janë relativisht të thjeshtë);
jo primitiv (nëse çdo numër i një treshe shumëzohet me të njëjtin numër, ju merrni një trefish të ri, i cili nuk është primitiv).

Edhe para epokës sonë, egjiptianët e lashtë ishin të magjepsur nga mania për numrin e treshave të Pitagorës: në problematikë ata konsideronin një trekëndësh kënddrejtë me brinjë 3, 4 dhe 5 njësi. Nga rruga, çdo trekëndësh, anët e të cilit janë të barabarta me numrat nga trefishi i Pitagorës është drejtkëndor si parazgjedhje.

Shembuj të treshave të Pitagorës: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20 ), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34) , (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), ( 14, 48, 50), (30, 40, 50), etj.

Zbatimi praktik i teoremës

Teorema e Pitagorës përdoret jo vetëm në matematikë, por edhe në arkitekturë dhe ndërtim, astronomi dhe madje edhe letërsi.

Së pari rreth ndërtimit: teorema e Pitagorës gjen në të aplikim të gjerë në detyra nivele të ndryshme kompleksiteti. Për shembull, shikoni një dritare romane:

Le të shënojmë gjerësinë e dritares si b, atëherë rrezja e gjysmërrethit të madh mund të shënohet si R dhe shprehin përmes b: R=b/2. Rrezja e gjysmërrethave më të vegjël mund të shprehet edhe përmes b: r=b/4. Në këtë problem na intereson rrezja e rrethit të brendshëm të dritares (le ta quajmë atë fq).

Teorema e Pitagorës është thjesht e dobishme për t'u llogaritur r. Për ta bërë këtë, ne përdorim një trekëndësh kënddrejtë, i cili tregohet nga një vijë me pika në figurë. Hipotenuza e një trekëndëshi përbëhet nga dy rreze: b/4+p. Njëra këmbë përfaqëson rrezen b/4, një tjetër b/2-p. Duke përdorur teoremën e Pitagorës, ne shkruajmë: (b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/2-p) 2. Më pas, hapim kllapat dhe marrim b 2 /16+ bp/2+p 2 =b 2 /16+b 2 /4-bp+p 2. Le ta shndërrojmë këtë shprehje në bp/2=b 2 /4-bp. Dhe pastaj ne i ndajmë të gjitha termat me b, ne paraqesim të ngjashme për të marrë 3/2*p=b/4. Dhe në fund e gjejmë atë p=b/6- e cila është ajo që na duhej.

Duke përdorur teoremën, mund të llogarisni gjatësinë e mahijeve për çati gable. Përcaktoni se sa lartësi nevojitet një kullë komunikimi celular që sinjali të arrijë në një zonë të caktuar të populluar. Dhe madje instaloni në mënyrë të qëndrueshme pema e Krishtlindjes në sheshin e qytetit. Siç mund ta shihni, kjo teoremë jeton jo vetëm në faqet e teksteve shkollore, por shpesh është e dobishme në jetën reale.

Në letërsi, teorema e Pitagorës ka frymëzuar shkrimtarët që nga lashtësia dhe vazhdon të jetë kështu edhe në kohën tonë. Për shembull, shkrimtari gjerman i shekullit të nëntëmbëdhjetë Adelbert von Chamisso u frymëzua të shkruante një sonet:

Drita e së vërtetës nuk do të shuhet shpejt,
Por, pasi shkëlqeu, nuk ka gjasa të shpërndahet
Dhe, si mijëra vjet më parë,
Nuk do të shkaktojë dyshime apo polemika.

Më e mençura kur të prek shikimin
Drita e së vërtetës, falënderoj perënditë;
Dhe njëqind dema, të therur, gënjejnë -
Një dhuratë kthimi nga Pitagora me fat.

Që atëherë demat kanë ulëritur në mënyrë të dëshpëruar:
Përgjithmonë alarmoi fisin e demave
Ngjarja e përmendur këtu.

Atyre u duket: koha po vjen,
Dhe ata do të sakrifikohen përsëri
Një teoremë e madhe.

(përkthimi nga Viktor Toporov)

Dhe në shekullin e njëzetë, shkrimtari sovjetik Evgeniy Veltistov, në librin e tij "Aventurat e Elektronikës", i kushtoi një kapitull të tërë provave të teoremës së Pitagorës. Dhe një gjysmë kapitulli tjetër për një histori për një botë dydimensionale që mund të ekzistonte nëse teorema e Pitagorës do të bëhej një ligj themelor dhe madje një fe për një botë të vetme. Të jetosh atje do të ishte shumë më e lehtë, por edhe shumë më e mërzitshme: për shembull, askush atje nuk e kupton kuptimin e fjalëve "të rrumbullakët" dhe "me gëzof".

Dhe në librin "Aventurat e Elektronikës", autori, me gojën e mësuesit të matematikës Taratar, thotë: "Gjëja kryesore në matematikë është lëvizja e mendimit, idetë e reja". Është pikërisht ky fluturim krijues i mendimit që krijon teoremën e Pitagorës - jo më kot ajo ka kaq shumë prova të ndryshme. Kjo ju ndihmon të shkoni përtej kufijve të të njohurës dhe t'i shikoni gjërat e njohura në një mënyrë të re.

konkluzioni

Ky artikull u krijua në mënyrë që të mund të shikoni përtej kurrikulës shkollore në matematikë dhe të mësoni jo vetëm ato prova të teoremës së Pitagorës që jepen në tekstet "Gjeometria 7-9" (L.S. Atanasyan, V.N. Rudenko) dhe "Gjeometria 7" - 11” (A.V. Pogorelov), por edhe mënyra të tjera interesante për të vërtetuar teoremën e famshme. Dhe gjithashtu shihni shembuj se si mund të zbatohet teorema e Pitagorës në jetën e përditshme.

Së pari, ky informacion do t'ju lejojë të kualifikoheni për rezultate më të larta në mësimet e matematikës - informacion mbi këtë temë nga burime shtesë vlerësohen gjithmonë shumë.

Së dyti, ne donim t'ju ndihmonim të ndjeni se sa interesante është matematika. Sigurohuni shembuj specifikë se në të ka gjithmonë vend për kreativitet. Shpresojmë që teorema e Pitagorës dhe ky artikull do t'ju frymëzojnë që në mënyrë të pavarur të eksploroni dhe të bëni zbulime emocionuese në matematikë dhe shkenca të tjera.

Na tregoni në komente nëse ju gjetën interesante provat e paraqitura në artikull. A ju duk i dobishëm ky informacion në studimet tuaja? Na shkruani se çfarë mendoni për teoremën e Pitagorës dhe këtë artikull - ne do të jemi të lumtur t'i diskutojmë të gjitha këto me ju.

blog.site, kur kopjoni materialin plotësisht ose pjesërisht, kërkohet një lidhje me burimin origjinal.

Teorema e Pitagorës: Shuma e sipërfaqeve të katrorëve që mbështeten në këmbë ( a Dhe b), e barabartë me sipërfaqen e katrorit të ndërtuar mbi hipotenuzë ( c).

Formulimi gjeometrik:

Teorema fillimisht u formulua si më poshtë:

Formulimi algjebrik:

Kjo do të thotë, duke treguar gjatësinë e hipotenuzës së trekëndëshit me c, dhe gjatësitë e këmbëve nëpër a Dhe b :

a 2 + b 2 = c 2

Të dy formulimet e teoremës janë ekuivalente, por formulimi i dytë është më elementar dhe nuk kërkon konceptin e zonës. Kjo do të thotë, pohimi i dytë mund të verifikohet pa ditur asgjë për sipërfaqen dhe duke matur vetëm gjatësitë e brinjëve të një trekëndëshi kënddrejtë.

Teorema e Pitagorës së kundërt:

Dëshmi

Aktiv për momentin 367 prova të kësaj teoreme janë regjistruar në literaturën shkencore. Ndoshta, teorema e Pitagorës është e vetmja teoremë me një numër kaq mbresëlënës provash. Një diversitet i tillë mund të shpjegohet vetëm me rëndësinë themelore të teoremës për gjeometrinë.

Sigurisht, konceptualisht të gjitha ato mund të ndahen në një numër të vogël klasash. Më të famshmit prej tyre: prova me metodën e zonave, prova aksiomatike dhe ekzotike (për shembull, duke përdorur ekuacione diferenciale).

Përmes trekëndëshave të ngjashëm

Vërtetimi i mëposhtëm i formulimit algjebrik është vërtetimi më i thjeshtë, i ndërtuar drejtpërdrejt nga aksiomat. Në veçanti, ai nuk përdor konceptin e zonës së një figure.

Le ABC ka një trekëndësh kënddrejtë me kënd të drejtë C. Le të nxjerrim lartësinë nga C dhe shënoni bazën e tij me H. Trekëndëshi ACH të ngjashme me një trekëndësh ABC në dy qoshe. Po kështu, trekëndësh CBH të ngjashme ABC. Duke futur shënimin

marrim

Çfarë është ekuivalente

Duke e shtuar atë, marrim

Provat duke përdorur metodën e zonës

Provat e mëposhtme, megjithë thjeshtësinë e tyre të dukshme, nuk janë aspak aq të thjeshta. Ata të gjithë përdorin vetitë e zonës, vërtetimi i së cilës është më kompleks se vërtetimi i vetë teoremës së Pitagorës.

Vërtetimi nëpërmjet ekuiplotësimit

Le të rregullojmë katër trekëndësha kënddrejtë të barabartë siç tregohet në Figurën 1.
Katërkëndësh me brinjë cështë një katror, pasi shuma e dy qoshe të mprehta 90°, dhe këndi i shpalosur është 180°.
Sipërfaqja e të gjithë figurës është e barabartë, nga njëra anë, me sipërfaqen e një katrori me brinjë (a + b), dhe nga ana tjetër, me shumën e sipërfaqeve të katër trekëndëshave dhe dy të brendshëm katrore.

Q.E.D.

Provat përmes ekuivalencës

Provë elegante duke përdorur ndërrim

Një shembull i një prove të tillë është paraqitur në vizatimin në të djathtë, ku një katror i ndërtuar mbi hipotenuzë është riorganizuar në dy katrorë të ndërtuar mbi këmbët.

Prova e Euklidit

Vizatim për provën e Euklidit

Ilustrim për provën e Euklidit

Ideja e vërtetimit të Euklidit është si vijon: le të përpiqemi të vërtetojmë se gjysma e sipërfaqes së katrorit të ndërtuar mbi hipotenuzë është e barabartë me shumën e gjysmës së sipërfaqeve të katrorëve të ndërtuar në këmbë, dhe më pas sipërfaqet e katrorët e mëdhenj dhe dy të vegjël janë të barabartë.

Le të shohim vizatimin në të majtë. Mbi të ndërtuam katrorë në brinjët e një trekëndëshi kënddrejtë dhe tërhoqëm nga kulmi kënd i drejtë Me rreze s pingul me hipotenuzën AB, e pret katrorin ABIK, të ndërtuar mbi hipotenuzë, në dy drejtkëndësha - përkatësisht BHJI dhe HAKJ. Rezulton se sipërfaqet e këtyre drejtkëndëshave janë saktësisht të barabarta me sipërfaqet e katrorëve të ndërtuar në këmbët përkatëse.

Le të përpiqemi të vërtetojmë se sipërfaqja e katrorit DECA është e barabartë me sipërfaqen e drejtkëndëshit AHJK për ta bërë këtë, ne do të përdorim një vëzhgim ndihmës: Sipërfaqja e një trekëndëshi me të njëjtën lartësi dhe bazë. drejtkëndëshi i dhënë është i barabartë me gjysmën e sipërfaqes së drejtkëndëshit të dhënë. Kjo është pasojë e përcaktimit të zonës së një trekëndëshi si gjysma e produktit të bazës dhe lartësisë. Nga ky vëzhgim rezulton se sipërfaqja e trekëndëshit ACK është e barabartë me sipërfaqen e trekëndëshit AHK (nuk tregohet në figurë), e cila nga ana tjetër është e barabartë me gjysmën e sipërfaqes së drejtkëndëshit AHJK.

Le të vërtetojmë tani se sipërfaqja e trekëndëshit ACK është gjithashtu e barabartë me gjysmën e sipërfaqes së katrorit DECA. E vetmja gjë që duhet bërë për këtë është të vërtetohet barazia e trekëndëshave ACK dhe BDA (pasi sipërfaqja e trekëndëshit BDA është e barabartë me gjysmën e sipërfaqes së katrorit sipas vetive të mësipërme). Barazia është e dukshme, trekëndëshat janë të barabartë në të dy anët dhe këndi ndërmjet tyre. Domethënë - AB=AK,AD=AC - barazia e këndeve CAK dhe BAD është e lehtë të vërtetohet me metodën e lëvizjes: ne e rrotullojmë trekëndëshin CAK 90° në drejtim të kundërt të akrepave të orës, atëherë është e qartë se brinjët përkatëse të dy trekëndëshave në pyetja do të përkojë (për faktin se këndi në kulmin e katrorit është 90°).

Arsyetimi për barazinë e sipërfaqeve të katrorit BCFG dhe drejtkëndëshit BHJI është plotësisht i ngjashëm.

Kështu, ne kemi vërtetuar se sipërfaqja e një katrori të ndërtuar mbi hipotenuzë përbëhet nga sipërfaqet e katrorëve të ndërtuar në këmbë. Ideja pas kësaj prove ilustrohet më tej nga animacioni i mësipërm.

Dëshmi e Leonardo da Vinçit

Elementet kryesore të provës janë simetria dhe lëvizja.

Le ta konsiderojmë vizatimin, siç shihet nga simetria, një segment CI pret katrorin ABHJ në dy pjesë identike (nga trekëndëshat ABC Dhe JHI të barabartë në ndërtim). Duke përdorur një rrotullim 90 gradë në drejtim të kundërt të akrepave të orës, ne shohim barazinë e figurave me hije CAJI Dhe GDAB . Tani është e qartë se sipërfaqja e figurës që kemi hijezuar është e barabartë me shumën e gjysmës së sipërfaqeve të katrorëve të ndërtuar në këmbë dhe sipërfaqes së trekëndëshit origjinal. Nga ana tjetër, është e barabartë me gjysmën e sipërfaqes së katrorit të ndërtuar mbi hipotenuzë, plus sipërfaqen e trekëndëshit origjinal. Hapi i fundit në vërtetim i lihet lexuesit.

Vërtetimi me metodën e pafundme

Prova e mëposhtme duke përdorur ekuacione diferenciale i atribuohet shpesh matematikanit të famshëm anglez Hardy, i cili jetoi në gjysmën e parë të shekullit të 20-të.

Duke parë vizatimin e paraqitur në figurë dhe duke vëzhguar ndryshimin në anë a, mund të shkruajmë relacionin e mëposhtëm për inkretime anësore pafundësisht të vogla Me Dhe a(duke përdorur ngjashmërinë e trekëndëshit):

Vërtetimi me metodën e pafundme

Duke përdorur metodën e ndarjes së variablave, gjejmë

Një shprehje më e përgjithshme për ndryshimin e hipotenuzës në rastin e rritjeve në të dyja anët

Integrimi ekuacioni i dhënë dhe duke përdorur kushtet fillestare, marrim

c 2 = a 2 + b 2 + konstante.

Kështu arrijmë në përgjigjen e dëshiruar

c 2 = a 2 + b 2 .

Siç shihet lehtë, varësia kuadratike në formulën përfundimtare shfaqet për shkak të proporcionalitetit linear midis brinjëve të trekëndëshit dhe rritjeve, ndërsa shuma shoqërohet me kontribute të pavarura nga rritja e këmbëve të ndryshme.

Një provë më e thjeshtë mund të merret nëse supozojmë se njëra nga këmbët nuk përjeton një rritje (në këtë rast, këmba b). Pastaj për konstantën e integrimit marrim

Variacione dhe përgjithësime

Nëse në vend të katrorëve ndërtojmë figura të tjera të ngjashme në anët, atëherë përgjithësimi i mëposhtëm i teoremës së Pitagorës është i vërtetë: Në një trekëndësh kënddrejtë, shuma e sipërfaqeve të figurave të ngjashme të ndërtuara në anët është e barabartë me sipërfaqen e figurës së ndërtuar në hipotenuzë. Në veçanti:
- Shuma e sipërfaqeve të trekëndëshave të rregullt të ndërtuar në këmbë është e barabartë me sipërfaqen e një trekëndëshi të rregullt të ndërtuar mbi hipotenuzë.
- Shuma e sipërfaqeve të gjysmërrethave të ndërtuara në këmbë (si në diametër) është e barabartë me sipërfaqen e gjysmërrethit të ndërtuar në hipotenuzë. Ky shembull përdoret për të vërtetuar vetitë e figurave të kufizuara nga harqet e dy rrathëve dhe të quajtur lunulae Hipokrati.

Histori

Chu-pei 500–200 pes. Në të majtë është mbishkrimi: shuma e katrorëve të gjatësisë së lartësisë dhe bazës është katrori i gjatësisë së hipotenuzës.

Libri i lashtë kinez Chu-pei flet për një trekëndësh të Pitagorës me brinjët 3, 4 dhe 5: i njëjti libër ofron një vizatim që përkon me një nga vizatimet e gjeometrisë hindu të Basharës.

Cantor (historiani më i madh gjerman i matematikës) beson se barazia 3² + 4² = 5² ishte e njohur tashmë për egjiptianët rreth vitit 2300 para Krishtit. e., gjatë kohës së mbretit Amenemhat I (sipas papirusit 6619 të Muzeut të Berlinit). Sipas Cantor, harpedonaptet, ose "tërheqësit e litarit", ndërtonin kënde të drejta duke përdorur trekëndësha kënddrejtë me brinjë 3, 4 dhe 5.

Është shumë e lehtë të riprodhosh metodën e tyre të ndërtimit. Le të marrim një litar 12 m të gjatë dhe t'i lidhim një shirit me ngjyrë në një distancë prej 3 m. nga njëri skaj dhe 4 metra nga tjetri. Këndi i duhur do të mbyllet midis anëve 3 dhe 4 metra të gjatë. Mund të kundërshtohet për Harpedonapts se metoda e tyre e ndërtimit bëhet e tepërt nëse përdorim, për shembull, katror druri, i perdorur nga te gjithe marangozet. Në të vërtetë, janë të njohura vizatimet egjiptiane në të cilat gjendet një mjet i tillë, për shembull, vizatime që përshkruajnë punëtorinë e një marangozi.

Dihet disi më shumë për teoremën e Pitagorës tek babilonasit. Në një tekst që daton në kohën e Hamurabit, pra në vitin 2000 p.e.s. e., jepet një llogaritje e përafërt e hipotenuzës së një trekëndëshi kënddrejtë. Nga kjo mund të konkludojmë se në Mesopotami ata ishin në gjendje të kryenin llogaritjet me trekëndësha kënddrejtë, të paktën në disa raste. Bazuar, nga njëra anë, në nivelin aktual të njohurive për matematikën egjiptiane dhe babilonase, dhe nga ana tjetër, në një studim kritik të burimeve greke, Van der Waerden (matematicien holandez) doli në përfundimin e mëposhtëm:

Letërsia

Në rusisht

Skopets Z. A. Miniatura gjeometrike. M., 1990
Elensky Shch. Në gjurmët e Pitagorës. M., 1961
Van der Waerden B. L. Shkenca e zgjimit. Matematika Egjipti i lashtë, Babilonia dhe Greqia. M., 1959
Glazer G.I. Historia e matematikës në shkollë. M., 1982
W. Litzman, "Teorema e Pitagorës" M., 1960.
- Një faqe për teoremën e Pitagorës me një numër të madh provash, materiale të marra nga libri i V. Litzmann, numër i madh vizatimet janë paraqitur në formën e skedarëve grafikë të veçantë.
Teorema e Pitagorës dhe kapitulli i trefishtë i Pitagorës nga libri i D. V. Anosov "Një vështrim në matematikë dhe diçka nga ajo"
Rreth teoremës së Pitagorës dhe metodave të vërtetimit të saj G. Glaser, akademik i Akademisë Ruse të Arsimit, Moskë

në anglisht

Teorema e Pitagorës në WolframMathWorld
Cut-The-Knot, seksion mbi teoremën e Pitagorës, rreth 70 prova dhe informacion shtesë të gjerë (anglisht)

Fondacioni Wikimedia.

Teorema e Pitagorës 2010.

- një nga teoremat themelore të gjeometrisë Euklidiane, që vendos relacionin

ndërmjet brinjëve të një trekëndëshi kënddrejtë.

Besohet se është vërtetuar nga matematikani grek Pitagora, pas të cilit u emërua.

Formulimi gjeometrik i teoremës së Pitagorës.

Teorema fillimisht u formulua si më poshtë:

Në një trekëndësh kënddrejtë, sipërfaqja e katrorit të ndërtuar mbi hipotenuzë është e barabartë me shumën e sipërfaqeve të katrorëve,

ndërtuar mbi këmbë.

Formulimi algjebrik i teoremës së Pitagorës.

Kjo do të thotë, duke treguar gjatësinë e hipotenuzës së trekëndëshit me c Në një trekëndësh kënddrejtë, katrori i gjatësisë së hipotenuzës është i barabartë me shumën e katrorëve të gjatësisë së këmbëve. a Dhe b:

, dhe gjatësitë e këmbëve nëpër Të dyja formulimet Teorema e Pitagorës

janë ekuivalente, por formulimi i dytë është më elementar, nuk ka

kërkon konceptin e zonës. Kjo do të thotë, deklarata e dytë mund të verifikohet pa ditur asgjë për zonën dhe

duke matur vetëm gjatësitë e brinjëve të një trekëndëshi kënddrejtë.

Teorema e Pitagorës kundërt.

Nëse katrori i njërës anë të trekëndëshit është i barabartë me shumën e katrorëve të dy brinjëve të tjera, atëherë

trekëndësh kënddrejtë.

Ose, me fjalë të tjera: Për çdo tre a, b Dhe c numra pozitiv

, e tillë që a Dhe b ka një trekëndësh kënddrejtë me këmbë c.

dhe hipotenuzë

Teorema e Pitagorës për një trekëndësh izoscelular.

Teorema e Pitagorës për një trekëndësh barabrinjës.

Vërtetime të teoremës së Pitagorës.

Aktualisht, 367 prova të kësaj teoreme janë regjistruar në literaturën shkencore. Ndoshta teorema

Pitagora është e vetmja teoremë me një numër kaq mbresëlënës provash. Një diversitet i tillë

mund të shpjegohet vetëm me rëndësinë themelore të teoremës për gjeometrinë.

Sigurisht, konceptualisht të gjitha ato mund të ndahen në një numër të vogël klasash. Më të famshmit prej tyre: provë, metoda e zonës Dhe aksiomatike dëshmi ekzotike

(Për shembull, duke përdorur).

1. ekuacionet diferenciale

Vërtetimi i teoremës së Pitagorës duke përdorur trekëndësha të ngjashëm.

Vërtetimi i mëposhtëm i formulimit algjebrik është më i thjeshti nga provat e ndërtuara

Le ABC ka një trekëndësh kënddrejtë me kënd të drejtë C. Le të nxjerrim lartësinë nga C direkt nga aksiomat. Në veçanti, ai nuk përdor konceptin e zonës së një figure.

dhe shënojnë H.

themeli i saj nëpërmjet ACH të ngjashme me një trekëndësh AB C në dy qoshe. Po kështu, trekëndësh CBH të ngjashme ABC.

Duke futur shënimin:

marrim:

që korrespondon me -

Të palosur a 2 dhe b 2, marrim:

ose , që është ajo që duhej vërtetuar.

2. Vërtetimi i teoremës së Pitagorës duke përdorur metodën e zonës.

Provat e mëposhtme, megjithë thjeshtësinë e tyre të dukshme, nuk janë aspak aq të thjeshta. Të gjithë ata

përdorni vetitë e zonës, provat e të cilave janë më komplekse se vërtetimi i vetë teoremës së Pitagorës.

Vërtetimi përmes baraziplotësimit.

Le të rregullojmë katër drejtkëndëshe të barabarta

trekëndësh siç tregohet në figurë

drejtë.

Katërkëndësh me brinjë c- katror,

meqenëse shuma e dy këndeve akute është 90°, dhe

këndi i shpalosur - 180°.

Sipërfaqja e të gjithë figurës është, nga njëra anë,

sipërfaqja e një katrori me anë ( a+b), dhe nga ana tjetër, shuma e sipërfaqeve të katër trekëndëshave dhe

Q.E.D.

3. Vërtetimi i teoremës së Pitagorës me metodën infinitezimale.

Duke parë vizatimin e paraqitur në figurë dhe

duke parë ndryshimin e anësa, ne mundemi

shkruani relacionin e mëposhtëm për pafundësi

i vogël rritje anësoreMe Dhe a(duke përdorur ngjashmëri

trekëndëshat):

Duke përdorur metodën e ndarjes së variablave, gjejmë:

Një shprehje më e përgjithshme për ndryshimin e hipotenuzës në rastin e rritjeve në të dy anët:

Duke integruar këtë ekuacion dhe duke përdorur kushtet fillestare, marrim:

Kështu arrijmë në përgjigjen e dëshiruar:

Siç shihet lehtë, varësia kuadratike në formulën përfundimtare shfaqet për shkak të linjës

proporcionaliteti ndërmjet brinjëve të trekëndëshit dhe rritjeve, ndërsa shuma lidhet me të pavarurin

kontributet nga rritja e këmbëve të ndryshme.

Një provë më e thjeshtë mund të merret nëse supozojmë se njëra nga këmbët nuk përjeton rritje

(në këtë rast këmbën b). Pastaj për konstantën e integrimit marrim:

Nga historia e çështjes

Vërtetime të teoremës së Pitagorës

Dëshmia 1

Dëshmia 2

Kjo metodë kombinon algjebrën dhe gjeometrinë dhe mund të konsiderohet si një variant i provës së lashtë indiane të matematikanit Bhaskari.

Ndërtoni një trekëndësh kënddrejtë me brinjë a, b dhe c(Fig. 1). Pastaj ndërtoni dy katrorë me brinjë të barabartë me shumën e gjatësive të dy këmbëve - (a+b). Në secilin nga katrorët, bëni ndërtime si në figurat 2 dhe 3.

Në katrorin e parë, ndërtoni katër trekëndësha të ngjashëm me ata në figurën 1. Rezultati është dy katrorë: njëri me brinjën a, i dyti me brinjën b.

Në katrorin e dytë, katër trekëndësha të ngjashëm të ndërtuar formojnë një katror me brinjë të barabartë me hipotenuzën c.

Dëshmia 3

Por ne do ta analizojmë këtë provë më në detaje:

Prova 4

Kjo provë kurioze e lashtë kineze u quajt "Karrika e nuses" - për shkak të figurës si karrige që rezulton nga të gjitha ndërtimet:

Nëse i preni mendërisht dy trekëndësha drejtkëndëshe jeshile nga vizatimi në Fig. 1, i zhvendosni në anët e kundërta të katrorit me anën c dhe i lidhni hipotenuset në hipotenusat e trekëndëshave jargavan, do të merrni një figurë të quajtur "karrige e nuses". (Fig. 2). Për qartësi, mund të bëni të njëjtën gjë me katrorë dhe trekëndësha letre. Do të siguroheni që "karrigia e nuses" të formohet nga dy katrorë: të vegjël me anë. b dhe i madh me një anë a.

Këto ndërtime i lejuan matematikanët e lashtë kinezë dhe ne, duke ndjekur ata, të arrinim në përfundimin se c 2 =a 2 +b 2.

Dëshmia 5

Kjo është një mënyrë tjetër për të gjetur një zgjidhje për teoremën e Pitagorës duke përdorur gjeometrinë. Quhet Metoda Garfield.

Ndërtoni një trekëndësh kënddrejtë ABC. Ne duhet ta vërtetojmë këtë BC 2 = AC 2 + AB 2.

Për të vërtetuar kullën, ne përsëri i drejtohemi metodës që kemi provuar tashmë: gjejmë zonën e figurës që rezulton në dy mënyra dhe barazojmë shprehjet me njëra-tjetrën.

Disa fjalë për trenjakët e Pitagorës

Kjo çështje është pak ose aspak e studiuar në kurrikulën shkollore. Ndërkohë, është shumë interesant dhe ka një rëndësi të madhe në gjeometri. Treshe të Pitagorës përdoren për të zgjidhur shumë probleme matematikore. Kuptimi i tyre mund të jetë i dobishëm për ju në edukimin e mëtejshëm.

Pra, çfarë janë trenjakët e Pitagorës? Ky është emri për numrat natyrorë të mbledhur në grupe me tre, shuma e katrorëve të dy prej të cilëve është e barabartë me numrin e tretë në katror.

Treshe të Pitagorës mund të jenë:

primitiv (të tre numrat janë relativisht të thjeshtë);
jo primitiv (nëse çdo numër i një treshe shumëzohet me të njëjtin numër, ju merrni një trefish të ri, i cili nuk është primitiv).

Zbatimi praktik i teoremës

Teorema e Pitagorës përdoret jo vetëm në matematikë, por edhe në arkitekturë dhe ndërtim, astronomi dhe madje edhe letërsi.

Së pari, në lidhje me ndërtimin: teorema e Pitagorës përdoret gjerësisht në probleme të niveleve të ndryshme të kompleksitetit. Për shembull, shikoni një dritare romane:

Duke përdorur teoremën, mund të llogarisni gjatësinë e mahijeve për një çati gable. Përcaktoni se sa lartësi nevojitet një kullë komunikimi celular që sinjali të arrijë në një zonë të caktuar të populluar. Dhe madje instaloni një pemë të Krishtlindjes në mënyrë të qëndrueshme në sheshin e qytetit. Siç mund ta shihni, kjo teoremë jeton jo vetëm në faqet e teksteve shkollore, por shpesh është e dobishme në jetën reale.

Drita e së vërtetës nuk do të shuhet shpejt,
Por, pasi shkëlqeu, nuk ka gjasa të shpërndahet
Dhe, si mijëra vjet më parë,
Nuk do të shkaktojë dyshime apo polemika.

Më e mençura kur të prek shikimin
Drita e së vërtetës, falënderoj perënditë;
Dhe njëqind dema, të therur, gënjejnë -
Një dhuratë kthimi nga Pitagora me fat.

Që atëherë demat kanë ulëritur në mënyrë të dëshpëruar:
Përgjithmonë alarmoi fisin e demave
Ngjarja e përmendur këtu.

Atyre u duket: koha po vjen,
Dhe ata do të sakrifikohen përsëri
Një teoremë e madhe.

(përkthimi nga Viktor Toporov)

konkluzioni

Së pari, ky informacion do t'ju lejojë të kualifikoheni për rezultate më të larta në mësimet e matematikës - informacioni mbi këtë temë nga burime shtesë vlerësohet gjithmonë shumë.

Së dyti, ne donim t'ju ndihmonim të ndjeni se sa interesante është matematika. Konfirmoni me shembuj specifik se ka gjithmonë vend për kreativitet. Shpresojmë që teorema e Pitagorës dhe ky artikull do t'ju frymëzojnë të eksploroni në mënyrë të pavarur dhe të bëni zbulime emocionuese në matematikë dhe shkenca të tjera.

faqe interneti, kur kopjoni materialin plotësisht ose pjesërisht, kërkohet një lidhje me burimin.

Artikuj Nga tema:

Trajtimi i manisë së përndjekjes: simptoma dhe shenja A mund të largohet mania e përndjekjes me kalimin e kohës? Mania persekutuese është një mosfunksionim mendor që mund të quhet edhe deluzion persekutues. Psikiatrit e konsiderojnë këtë çrregullim si shenja themelore të çmendurisë mendore. Me mani, psikiatria kupton një çrregullim të aktivitetit mendor,	Pse keni ëndërruar për shampanjën? Çfarëdo që shohim në ëndrrat tona, gjithçka, pa përjashtim, është simbol. Të gjitha objektet dhe fenomenet në ëndrra kanë kuptime simbolike - nga të thjeshta dhe të njohura në të ndritshme dhe fantastike, por ndonjëherë janë thjesht gjëra të zakonshme, të njohura që kanë një kuptim më të rëndësishëm se
Si të hiqni irritimin e mjekrës tek gratë dhe burrat Acarimi i lëkurës në mjekër Njollat e kuqe që shfaqen në mjekër mund të shfaqen për arsye të ndryshme. Si rregull, pamja e tyre nuk tregon një kërcënim serioz për shëndetin, dhe nëse ato zhduken vetë me kalimin e kohës, atëherë nuk ka arsye për shqetësim. Në mjekër shfaqen njolla të kuqe	Valentina Matvienko: biografia, jeta personale, burri, fëmijët (foto) Mandati *: Shtator 2024 Lindur në Prill 1949.

Në vitin 1972 ajo u diplomua në Institutin Kimik dhe Farmaceutik të Leningradit.

2024-08-15 02:06:40	Nga viti 1984 deri në 1986 punoi si sekretar i parë i komitetit të rrethit Krasnogvardeisky të CPSU të Leningradit.
2024-08-15 02:06:40	Në vitin 1985
2024-08-14 02:07:05	Popullore
2024-08-12 02:06:06	Piero della Francesca (Piero di Benedetto ose Piero dal Borgo)
2024-08-11 02:07:06	Mendimi i mjekut Komarovsky për vaksinimin DPT
2024-08-03 02:14:07	Si duket një kafshë pylli - një kunadë guri?
2024-07-25 02:06:28	Efekti i aktivitetit fizik në shëndet Efekti i aktivitetit fizik në trup
2024-07-16 02:05:06	Efekti i banjës në trup Efekti i banjës ruse në trup
2024-07-15 02:07:06	Viktimat e nazizmit: tragjedia e fshatrave të djegur - Zamoshye
2024-05-31 02:21:07	Biskota me gjizë: recetë me foto

Çfarë do të thotë të luash sport në ëndërr: interpretim sipas librave të ndryshëm të ëndrrave

2024-05-23 02:16:29	Lipaza në gjak: norma dhe shkaqet e devijimeve Lipaza ku prodhohet në çfarë kushtesh
2024-05-10 02:22:08	Si dhe sa të piqni viçin
2024-05-02 02:14:23	E re
2024-04-21 02:23:23	Pse kruhen testikujt dhe çfarë mund të bëni për të hequr qafe shqetësimin?
2024-04-14 02:26:43	Mish i grirë për kotelet viçi dhe derri: recetë me foto
2024-04-13 02:40:32	Skemat për lëshimin e anijes kozmike Orbitat e satelitëve artificialë të Tokës
2024-08-23 02:06:21	Peshku i pjekur në skarë është pjata më e shijshme dhe më aromatike
2024-08-20 02:06:20	Yu. Andreev - Ditar Live! Andreev Yu.A. Yuri Andreev: biografia
2024-08-19 02:06:19	Klasa master për mësuesit me temën "Krijimi i testeve elektronike";
2024-08-18 02:06:06	Trajtimi i manisë së përndjekjes: simptoma dhe shenja A mund të largohet mania e përndjekjes me kalimin e kohës?
2024-08-15 02:06:40	Nga viti 1984 deri në 1986 punoi si sekretar i parë i komitetit të rrethit Krasnogvardeisky të CPSU të Leningradit.
2024-08-15 02:06:40	Në vitin 1985