≡×ՄԵՆՈՒ

• Ինտերիեր
• Պատուհան
• Պատեր
• Նախագծեր
• Շենքերը

Եթե ​​փակագծերից առաջ կա գումարած նշան: Բացման փակագծեր. կանոններ և օրինակներ (7-րդ դասարան)

Այս դասում դուք կսովորեք, թե ինչպես փոխակերպել փակագծեր պարունակող արտահայտությունը առանց փակագծերի արտահայտության: Դուք կսովորեք, թե ինչպես բացել փակագծերը, որոնց նախորդում է գումարած և մինուս նշան: Մենք կհիշենք, թե ինչպես բացել փակագծերը՝ օգտագործելով բազմապատկման բաշխիչ օրենքը։ Դիտարկված օրինակները թույլ կտան ձեզ միացնել նոր և նախկինում ուսումնասիրված նյութը մեկ ամբողջության մեջ:

Թեմա՝ Հավասարումների լուծում

Դաս. Փակագծերի ընդլայնում

Ինչպես ընդլայնել փակագծերը, որոնց նախորդում է «+» նշանը: Օգտագործելով գումարման ասոցիատիվ օրենքը:

Եթե ​​Ձեզ անհրաժեշտ է թվին ավելացնել երկու թվերի գումարը, կարող եք նախ այս թվին ավելացնել առաջին անդամը, իսկ հետո՝ երկրորդը:

Հավասարության նշանից ձախ փակագծերով արտահայտություն է, իսկ աջում՝ առանց փակագծերի արտահայտություն: Սա նշանակում է, որ հավասարության ձախ կողմից աջ շարժվելիս տեղի է ունեցել փակագծերի բացում։

Եկեք նայենք օրինակներին:

Օրինակ 1.

Փակագծերը բացելով՝ փոխեցինք գործողությունների հերթականությունը։ Հաշվելն ավելի հարմար է դարձել։

Օրինակ 2.

Օրինակ 3.

Նկատի ունեցեք, որ բոլոր երեք օրինակներում մենք պարզապես հանել ենք փակագծերը։ Եկեք ձևակերպենք կանոն.

Մեկնաբանություն.

Եթե ​​փակագծերում առաջին տերմինն անստորագիր է, ապա այն պետք է գրվի գումարած նշանով։

Դուք կարող եք քայլ առ քայլ հետևել օրինակին: Նախ, 889-ին ավելացրեք 445: Այս գործողությունը կարելի է մտովի կատարել, բայց դա այնքան էլ հեշտ չէ: Բացենք փակագծերը և տեսնենք, որ փոփոխված ընթացակարգը զգալիորեն կհեշտացնի հաշվարկները։

Եթե ​​դուք հետևում եք նշված ընթացակարգին, ապա 512-ից նախ պետք է հանեք 345, ապա արդյունքին ավելացնեք 1345, բացելով փակագծերը, մենք կփոխենք ընթացակարգը և զգալիորեն կպարզեցնենք հաշվարկները։

Պատկերազարդող օրինակ և կանոն.

Դիտարկենք օրինակ. Արտահայտության արժեքը կարող եք գտնել՝ գումարելով 2 և 5, իսկ արդյունքում ստացված թիվը հակառակ նշանով վերցնելով։ Մենք ստանում ենք -7:

Մյուս կողմից, նույն արդյունքը կարելի է ստանալ՝ ավելացնելով սկզբնականների հակառակ թվերը։

Եկեք ձևակերպենք կանոն.

Օրինակ 1.

Օրինակ 2.

Կանոնը չի փոխվում, եթե փակագծերում կան ոչ թե երկու, այլ երեք կամ ավելի տերմիններ։

Օրինակ 3.

Մեկնաբանություն. Նշանները հակադարձվում են միայն տերմինների դիմաց։

Փակագծերը բացելու համար այս դեպքում պետք է հիշել բաշխիչ հատկությունը։

Նախ, առաջին փակագիծը բազմապատկեք 2-ով, իսկ երկրորդը 3-ով:

Առաջին փակագծին նախորդում է «+» նշանը, ինչը նշանակում է, որ նշանները պետք է մնան անփոփոխ: Երկրորդ նշանին նախորդում է «-» նշանը, հետևաբար բոլոր նշանները պետք է փոխվեն հակառակի վրա

Մատենագիտություն

1. Վիլենկին Ն.Յա., Ժոխով Վ.Ի., Չեսնոկով Ա.Ս., Շվարցբուրդ Ս.Ի. Մաթեմատիկա 6. - Մ.: Mnemosyne, 2012 թ.
2. Մերզլյակ Ա.Գ., Պոլոնսկի Վ.Վ., Յակիր Մ.Ս. Մաթեմատիկա 6-րդ դասարան. - Գիմնազիա, 2006 թ.
3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Մաթեմատիկայի դասագրքի էջերի հետևում. - Լուսավորություն, 1989 թ.
4. Ռուրուկին Ա.Ն., Չայկովսկի Ի.Վ. Առաջադրանքներ մաթեմատիկայի դասընթացի 5-6-րդ դասարանների համար - ZSh MEPhI, 2011 թ.
5. Ռուրուկին Ա.Ն., Սոչիլով Ս.Վ., Չայկովսկի Կ.Գ. Մաթեմատիկա 5-6. Ձեռնարկ MEPhI հեռակա դպրոցի 6-րդ դասարանի աշակերտների համար: - ZSh MEPhI, 2011 թ.
6. Շևրին Լ.Ն., Գեյն Ա.Գ., Կորյակով Ի.Օ., Վոլկով Մ.Վ. Մաթեմատիկա՝ Դասագիրք- զրուցակից միջնակարգ դպրոցի 5-6-րդ դասարանների համար. Մաթեմատիկայի ուսուցչի գրադարան. - Լուսավորություն, 1989 թ.

1. Առցանց թեստեր մաթեմատիկայից ().
2. Դուք կարող եք ներբեռնել 1.2 կետում նշվածները: գրքեր ().

Տնային աշխատանք

1. Վիլենկին Ն.Յա., Ժոխով Վ.Ի., Չեսնոկով Ա.Ս., Շվարցբուրդ Ս.Ի. Մաթեմատիկա 6. - M.: Mnemosyne, 2012. (հղումը տես 1.2)
2. Տնային առաջադրանք՝ թիվ 1254, թիվ 1255, թիվ 1256 (բ, դ)
3. Այլ առաջադրանքներ՝ թիվ 1258(գ), թիվ 1248

Այս հոդվածում մենք մանրամասն կանդրադառնանք մաթեմատիկայի դասընթացի այնպիսի կարևոր թեմայի հիմնական կանոններին, ինչպիսիք են փակագծերը: Դուք պետք է իմանաք փակագծերը բացելու կանոնները, որպեսզի ճիշտ լուծեք հավասարումները, որոնցում դրանք օգտագործվում են:

Ինչպես ավելացնել փակագծերը ճիշտ բացել

Ընդարձակեք փակագծերը, որոնց նախորդում է «+» նշանը

Սա ամենապարզ դեպքն է, քանի որ եթե փակագծերի դիմաց ավելացման նշան կա, փակագծերը բացելիս դրանց ներսում նշանները չեն փոխվում։ Օրինակ:

(9 + 3) + (1 - 6 + 9) = 9 + 3 + 1 - 6 + 9 = 16.

Ինչպես ընդլայնել փակագծերը, որոնց նախորդում է «-» նշանը

Այս դեպքում անհրաժեշտ է բոլոր տերմինները վերաշարադրել առանց փակագծերի, բայց միևնույն ժամանակ փոխել դրանց ներսում եղած բոլոր նշանները հակառակի: Նշանները փոխվում են միայն այն փակագծերից տերմինների համար, որոնց նախորդում էր «-» նշանը: Օրինակ:

(9 + 3) - (1 - 6 + 9) = 9 + 3 - 1 + 6 - 9 = 8.

Ինչպես բազմապատկելիս բացել փակագծերը

Փակագծերից առաջ կա բազմապատկիչ թիվ

Այս դեպքում անհրաժեշտ է յուրաքանչյուր անդամ բազմապատկել գործակցով և բացել փակագծերը՝ առանց նշանները փոխելու։ Եթե ​​բազմապատկիչն ունի «-» նշան, ապա բազմապատկման ժամանակ տերմինների նշանները հակադարձվում են։ Օրինակ:

3 * (1 - 6 + 9) = 3 * 1 - 3 * 6 + 3 * 9 = 3 - 18 + 27 = 12.

Ինչպես բացել երկու փակագիծ՝ դրանց միջև բազմապատկման նշանով

Այս դեպքում դուք պետք է բազմապատկեք առաջին փակագծերից յուրաքանչյուր անդամ երկրորդ փակագծերի յուրաքանչյուր անդամի հետ, ապա ավելացրեք արդյունքները: Օրինակ:

(9 + 3) * (1 - 6 + 9) = 9 * 1 + 9 * (- 6) + 9 * 9 + 3 * 1 + 3 * (- 6) + 3 * 9 = 9 - 54 + 81 + 3 - 18 + 27 = 48.

Ինչպես բացել փակագծերը քառակուսու մեջ

Եթե ​​երկու անդամների գումարը կամ տարբերությունը քառակուսի է, փակագծերը պետք է բացվեն հետևյալ բանաձևով.

(x + y)^2 = x^2 + 2 * x * y + y^2.

Փակագծերի ներսում մինուսի դեպքում բանաձեւը չի փոխվում։ Օրինակ:

(9 + 3) ^ 2 = 9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2 = 144.

Ինչպես ընդլայնել փակագծերը մեկ այլ աստիճանով

Եթե ​​տերմինների գումարը կամ տարբերությունը բարձրացվում է, օրինակ, 3-րդ կամ 4-րդ աստիճանի, ապա պարզապես անհրաժեշտ է փակագծի հզորությունը բաժանել «քառակուսիների»: Միանման գործակիցների ուժերը գումարվում են, իսկ բաժանելիս բաժանարարի ուժը հանվում է դիվիդենտի հզորությունից։ Օրինակ:

(9 + 3) ^ 3 = ((9 + 3) ^ 2) * (9 + 3) = (9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2) * 12 = 1728.

Ինչպես բացել 3 փակագծեր

Կան հավասարումներ, որոնցում միանգամից 3 փակագծեր են բազմապատկվում։ Այս դեպքում նախ պետք է բազմապատկել առաջին երկու փակագծերի անդամները, իսկ հետո բազմապատկել այս բազմապատկման գումարը երրորդ փակագծի անդամներով։ Օրինակ:

(1 + 2) * (3 + 4) * (5 - 6) = (3 + 4 + 6 + 8) * (5 - 6) = - 21.

Փակագծերի բացման այս կանոնները հավասարապես կիրառվում են ինչպես գծային, այնպես էլ եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման համար:

Շարունակում եմ ուսուցման թեմայով մեթոդական հոդվածների շարքը։ Ժամանակն է նայելու առանձնահատկություններին անհատական ​​աշխատանք մաթեմատիկայի դաստիարակ 7-րդ դասարանի աշակերտների համար. Մեծ հաճույքով կկիսվեմ իմ մտքերով դրանցից մեկի ներկայացման ձևերի վերաբերյալ ամենակարևոր թեմաներըՀանրահաշվի դասընթաց 7-րդ դասարանում՝ «բացվող փակագծեր». Որպեսզի չփորձենք ըմբռնել անսահմանությունը, եկեք կանգ առնենք դրա սկզբնական փուլում և վերլուծենք դասավանդողի՝ բազմանդամը բազմանդամով բազմացնելու հետ աշխատելու մեթոդը: Ինչպես մաթեմատիկայի դասախոսգործում է բարդ իրավիճակներ, Երբ թույլ ուսանողչի՞ ընդունում բացատրության դասական ձևը. Ի՞նչ առաջադրանքներ պետք է պատրաստել ուժեղ յոթերորդ դասարանցու համար: Դիտարկենք այս և այլ հարցեր:

Թվում է, թե ինչն է այսքան բարդ: «Փակագծերն այնքան հեշտ են, որքան տանձը խփելը», - կասի ցանկացած գերազանց ուսանող: «Գոյություն ունի բաշխման օրենք և հզորությունների հատկություններ մոնոմների հետ աշխատելու համար, ընդհանուր ալգորիթմ ցանկացած թվով տերմինների համար: Բազմացրե՛ք յուրաքանչյուրը յուրաքանչյուրով և բերե՛ք նմանները»։ Այնուամենայնիվ, ամեն ինչ այնքան էլ պարզ չէ, երբ աշխատում եք հետամնացների հետ: Չնայած մաթեմատիկայի դասախոսի ջանքերին՝ ուսանողներին հաջողվում է նույնիսկ ամենապարզ փոխակերպումների դեպքում սխալներ թույլ տալ բոլոր չափերի։ Սխալների բնույթն ապշեցուցիչ է իր բազմազանությամբ՝ տառերի և նշանների փոքր բացթողումներից մինչև լուրջ փակուղային «կանգառի սխալներ»:

Ի՞նչն է խանգարում աշակերտին ճիշտ կատարել վերափոխումները: Ինչու է հնարավոր թյուրիմացությունը:

Կան մեծ թվով անհատական ​​խնդիրներ, և նյութի յուրացման և համախմբման հիմնական խոչընդոտներից մեկը ուշադրության ժամանակին և արագ փոխարկման դժվարությունն է, մեծ քանակությամբ տեղեկատվության մշակման դժվարությունը: Ոմանց համար կարող է տարօրինակ թվալ, որ ես խոսում եմ մեծ ծավալի մասին, բայց 7-րդ դասարանի թույլ աշակերտը կարող է նույնիսկ չորս կիսամյակի համար չունենա բավարար հիշողության և ուշադրության ռեսուրսներ։ Գործակիցները, փոփոխականները, աստիճանները (ցուցանիշները) խանգարում են։ Աշակերտը շփոթում է գործողությունների հերթականությունը, մոռանում, թե որ միանուններն են արդեն բազմապատկվել, որոնք մնացել են անձեռնմխելի, չի կարողանում հիշել, թե ինչպես են դրանք բազմապատկվում և այլն։

Թվային մոտեցում մաթեմատիկայի դասախոսի համար

Իհարկե, պետք է սկսել հենց ալգորիթմի կառուցման տրամաբանության բացատրությունից: Ինչպե՞ս դա անել: Մենք պետք է խնդիր դնենք՝ ինչպես փոխել գործողությունների հերթականությունը արտահայտության մեջ որպեսզի արդյունքը չփոխվի՞։ Ես բավականին հաճախ բերում եմ օրինակներ, որոնք բացատրում են, թե ինչպես են գործում որոշակի կանոններ՝ օգտագործելով կոնկրետ թվեր: Եվ միայն դրանից հետո ես դրանք փոխարինում եմ տառերով։ Թվային մոտեցման կիրառման տեխնիկան կներկայացվի ստորև:

Մոտիվացիայի խնդիրներ.
Դասի սկզբում մաթեմատիկայի դասախոսի համար դժվար է հավաքել ուսանողին, եթե նա չի հասկանում ուսումնասիրվողի արդիականությունը: 6-7-րդ դասարանների ուսումնական պլանում դժվար է գտնել բազմանդամների բազմապատկման կանոնի կիրառման օրինակներ: Ես կընդգծեի սովորելու անհրաժեշտությունը փոխել գործողությունների հերթականությունը արտահայտություններումԱշակերտը պետք է փորձից իմանա հավելումների հետ կապված, որ դա օգնում է լուծել խնդիրները: նմանատիպ տերմիններ. Հավասարումներ լուծելիս նա պետք է դրանք գումարեր: Օրինակ՝ 2x+5x+13=34-ում նա օգտագործում է այդ 2x+5x=7x։ Մաթեմատիկայի դասավանդողը պարզապես պետք է աշակերտի ուշադրությունը կենտրոնացնի դրա վրա:

Մաթեմատիկայի ուսուցիչները հաճախ նշում են փակագծերը բացելու տեխնիկան որպես «շատրվան» կանոն.

Այս պատկերը լավ է հիշվում և պետք է անպայման օգտագործել: Բայց ինչպե՞ս է ապացուցվում այս կանոնը։ Հիշենք դասական ձևը, որն օգտագործում է ինքնության ակնհայտ փոխակերպումներ.

(a+b)(c+d)=(a+b) c+(a+b) d=ac+bc+ad+bd

Մաթեմատիկայի դասախոսի համար դժվար է որևէ բան մեկնաբանել այստեղ։ Նամակներն իրենք են խոսում։ Իսկ ուժեղ 7-րդ դասարանի աշակերտը մանրամասն բացատրությունների կարիք չունի: Այնուամենայնիվ, ի՞նչ անել թույլերի հետ, ովքեր այս «բառացի խառնաշփոթում» բովանդակություն չեն տեսնում։

Հիմնական խնդիրը, որը խանգարում է «շատրվանի» դասական մաթեմատիկական հիմնավորման ընկալմանը, առաջին գործոնը գրելու անսովոր ձևն է։ Ոչ 5-րդ, ոչ էլ 6-րդ դասարանում աշակերտը ստիպված չի եղել առաջին փակագիծը քաշել երկրորդի յուրաքանչյուր կիսամյակի վրա: Երեխաները վերաբերում էին միայն թվերին (գործակիցներին), որոնք առավել հաճախ գտնվում են փակագծերի ձախ կողմում, օրինակ.

6-րդ դասարանի ավարտին աշակերտը ձևավորել է առարկայի տեսողական պատկեր՝ փակագծերի հետ կապված նշանների (գործողությունների) որոշակի համակցություն: Իսկ սովորական հայացքից ցանկացած շեղում դեպի նոր բան կարող է ապակողմնորոշել յոթերորդ դասարանցուն: Դա «թիվ + փակագիծ» զույգի տեսողական պատկերն է, որն օգտագործում է մաթեմատիկայի դասավանդողը բացատրելիս:

Կարելի է առաջարկել հետևյալ բացատրությունը. Ուսուցիչը պատճառաբանում է. «Եթե փակագծի առջև ինչ-որ թիվ կար, օրինակ 5, ապա մենք կարող էինք. փոխել ընթացակարգըայս արտահայտության մեջ? Անշուշտ։ Հետո եկեք դա անենք . Մտածեք, արդյոք նրա արդյունքը կփոխվի՞, եթե 5 թվի փոխարեն փակագծերում փակցված 2+3 գումարը մուտքագրենք։ Ցանկացած ուսանող կասի դաստիարակին. «Ի՞նչ տարբերություն, թե ինչպես ես գրում՝ 5 թե 2+3»: Հրաշալի։ Դուք կստանաք ձայնագրություն: Մաթեմատիկայի դասավանդողը կարճ ընդմիջում է անում, որպեսզի աշակերտը տեսողականորեն հիշի առարկայի նկար-պատկերը: Այնուհետև նա ուշադրություն է հրավիրում այն ​​փաստի վրա, որ փակագիծը, ինչպես և թիվը, «բաշխվել» կամ «ցատկել» է յուրաքանչյուր տերմինի վրա։ Ինչ է սա նշանակում? Սա նշանակում է, որ այս գործողությունը կարելի է կատարել ոչ միայն թվով, այլև փակագծով։ Մենք ստացանք երկու զույգ գործոն և . Ուսանողների մեծամասնությունը հեշտությամբ հաղթահարում է դրանք ինքնուրույն և արդյունքը գրում դասավանդողին: Կարևոր է ստացված զույգերը համեմատել 2+3 և 6+4 փակագծերի պարունակության հետ և պարզ կդառնա, թե ինչպես են դրանք բացվում։

Անհրաժեշտության դեպքում թվերով օրինակից հետո մաթեմատիկայի ուսուցիչը կատարում է տառերի ապացույց: Պարզվում է, որ դա քայլարշավ է նախորդ ալգորիթմի նույն մասերով:

Փակագծեր բացելու հմտության ձևավորում

Փակագծերը բազմապատկելու հմտության ձևավորումը մեկն է ամենակարևոր փուլերըմաթեմատիկայի դասախոսի աշխատանքը թեմայի հետ. Եվ նույնիսկ ավելի կարևոր, քան «շատրվանի» կանոնի տրամաբանությունը բացատրելու փուլը։ Ինչո՞ւ։ Փոփոխությունների հիմնավորումը կմոռացվի հենց հաջորդ օրը, բայց հմտությունը, եթե այն ժամանակին ձևավորվի և համախմբվի, կմնա։ Աշակերտները գործողությունը կատարում են մեխանիկորեն, կարծես հիշողությունից բազմապատկման աղյուսակ են հանում: Սա այն է, ինչին պետք է հասնել: Ինչո՞ւ։ Եթե ​​աշակերտը ամեն անգամ փակագծերը բացելիս հիշի, թե ինչու է այն բացվում այսպես և ոչ այլ կերպ, նա կմոռանա իր լուծած խնդրի մասին։ Այդ իսկ պատճառով մաթեմատիկայի դասախոսը դասի մնացած ժամանակը տրամադրում է հասկացողությունը անգիր անգիր դարձնելուն: Այս ռազմավարությունը հաճախ օգտագործվում է այլ թեմաներում:

Ինչպե՞ս կարող է դաստիարակը զարգացնել աշակերտի մեջ փակագծեր բացելու հմտությունը: Դա անելու համար 7-րդ դասարանի աշակերտը պետք է կատարի մի շարք վարժություններ՝ բավարար քանակությամբ, որպեսզի համախմբվեն: Սա մեկ այլ խնդիր է առաջացնում. Թույլ յոթերորդ դասարանցին չի կարողանում գլուխ հանել փոխակերպումների ավելացած թվից։ Նույնիսկ փոքրերը: Եվ սխալներն ընկնում են մեկը մյուսի հետևից: Ի՞նչ պետք է անի մաթեմատիկայի դասախոսը: Նախ, խորհուրդ է տրվում սլաքներ գծել յուրաքանչյուր տերմինից յուրաքանչյուրի վրա: Եթե ​​աշակերտը շատ թույլ է և ի վիճակի չէ արագ անցնել աշխատանքի մի տեսակից մյուսին, կամ կորցնում է կենտրոնացումը ուսուցչի պարզ հրամաններին հետևելիս, ապա մաթեմատիկայի դասավանդողն ինքն է նկարում այդ սլաքները: Եվ ոչ միանգամից։ Նախ, ուսուցիչը ձախ փակագծում առաջին անդամը կապում է աջ փակագծում տրված յուրաքանչյուր անդամի հետ և խնդրում է կատարել համապատասխան բազմապատկում: Միայն սրանից հետո սլաքները երկրորդ տերմինից ուղղվում են նույն աջ փակագիծ։ Այլ կերպ ասած, դաստիարակը գործընթացը բաժանում է երկու փուլի. Առաջին և երկրորդ գործողությունների միջև ավելի լավ է պահպանել կարճատև դադար (5-7 վայրկյան):

1) Սլաքների մի շարք պետք է նկարել արտահայտությունների վերևում, իսկ մյուսը` դրանց տակ:
2) Կարևոր է բաց թողնել առնվազն տողերի միջև մի երկու բջիջ. Հակառակ դեպքում ձայնագրությունը շատ խիտ կլինի, և սլաքները ոչ միայն կբարձրանան նախորդ գծի վրա, այլև կխառնվեն հաջորդ վարժության սլաքների հետ:

3) 3-ով 2-ով ֆորմատի փակագծերը բազմապատկելու դեպքում կարճ փակագծից սլաքներ են քաշվում դեպի երկարը: Հակառակ դեպքում այս «շատրվաններից» կլինեն ոչ թե երկու, այլ երեք։ Երրորդի իրականացումը նկատելիորեն ավելի բարդ է՝ սլաքների համար ազատ տարածության բացակայության պատճառով։
4) սլաքները միշտ ուղղված են նույն կետից: Ուսանողներիցս մեկը փորձում էր նրանց կողք կողքի դնել, և ահա թե ինչ ստացավ.

Այս պայմանավորվածությունը թույլ չի տալիս ընտրել և գրանցել ընթացիկ տերմինը, որի հետ ուսանողը աշխատում է յուրաքանչյուր փուլում:

Դասախոսի մատների աշխատանք

4) Առանձին զույգ բազմապատկված տերմինների վրա ուշադրություն պահելու համար մաթեմատիկայի դասավանդողը երկու մատ է դնում դրանց վրա: Դա պետք է արվի այնպես, որ չփակվի ուսանողի տեսադաշտը: Ամենաանուշադիր ուսանողների համար կարող եք օգտագործել «պուլսացիա» մեթոդը։ Մաթեմատիկայի դասավանդողն իր առաջին մատը տեղափոխում է սլաքի սկիզբը (տերմիններից մեկին) և ուղղում այն, իսկ երկրորդի հետ «թակում» է դրա ծայրը (դեպի երկրորդ կիսամյակ): Ripple-ն օգնում է ուշադրությունը կենտրոնացնել այն տերմինի վրա, որով ուսանողը բազմապատկվում է: Աջ փակագծով առաջին բազմապատկումն ավարտվելուց հետո մաթեմատիկայի դասավանդողն ասում է. «Հիմա մենք աշխատում ենք մյուս անդամի հետ»: Դասավանդողը շարժում է «ֆիքսված մատը» դեպի այն, իսկ «պուլսացող» մատն անցկացնում է մյուս փակագծի եզրույթների վրայով: Պուլսացիան աշխատում է մեքենայի մեջ «շրջադարձ ազդանշանի» պես և թույլ է տալիս բացակա ուսանողի ուշադրությունը կենտրոնացնել իր կատարած վիրահատության վրա։ Եթե ​​երեխան փոքր է գրում, ապա մատների փոխարեն երկու մատիտ են օգտագործում։

Կրկնության օպտիմիզացում

Ինչպես հանրահաշվի դասընթացի ցանկացած այլ թեմա ուսումնասիրելիս, բազմանդամների բազմապատկումը կարող է և պետք է ինտեգրվել նախկինում ընդգրկված նյութի հետ: Դա անելու համար մաթեմատիկայի դասավանդողը օգտագործում է հատուկ կամրջային առաջադրանքներ, որոնք թույլ են տալիս գտնել այն, ինչ սովորում եք տարբեր մաթեմատիկական օբյեկտներում: Նրանք ոչ միայն թեմաները կապում են մեկ ամբողջության մեջ, այլև շատ արդյունավետ կերպով կազմակերպում են մաթեմատիկայի ամբողջ դասընթացի կրկնությունը: Եվ որքան շատ կամուրջներ կառուցի դաստիարակը, այնքան լավ:

Ավանդաբար 7-րդ դասարանի հանրահաշվի դասագրքերում բացվող փակագծերը ինտեգրված են լուծմանը. գծային հավասարումներ. Թվերի ցանկի վերջում միշտ լինում են հետևյալ կարգի առաջադրանքներ՝ լուծել հավասարումը։ Փակագծերը բացելիս քառակուսիները փոքրացվում են, և 7-րդ դասարանի գործիքների միջոցով հեշտորեն լուծվում է հավասարումը։ Սակայն, չգիտես ինչու, դասագրքերի հեղինակները հարմար կերպով մոռանում են գծային ֆունկցիայի գրաֆիկ կառուցելու մասին։ Այս թերությունը շտկելու համար մաթեմատիկայի դասախոսներին խորհուրդ կտամ, օրինակ, գծային ֆունկցիաների վերլուծական արտահայտություններում փակագծեր ներառել։ Նման վարժություններում ուսանողը ոչ միայն մարզում է նույնական փոխակերպումներ իրականացնելու հմտություններ, այլև կրկնում է գրաֆիկները։ Կարող եք խնդրել գտնել երկու «հրեշների» հատման կետը, որոշել գծերի հարաբերական դիրքը, գտնել դրանց հատման կետերը առանցքների հետ և այլն։

Կոլպակով Ա.Ն. Մաթեմատիկայի դասախոս Ստրոգինոյում։ Մոսկվա

Ընդլայնվող փակագծերը արտահայտության փոխակերպման տեսակ է: Այս բաժնում մենք կնկարագրենք փակագծեր բացելու կանոնները, ինչպես նաև կդիտարկենք խնդիրների ամենատարածված օրինակները:

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ի՞նչ է բացվող փակագծերը:

Փակագծերը օգտագործվում են թվային, բառացի և փոփոխական արտահայտություններում գործողությունների կատարման հաջորդականությունը ցույց տալու համար: Հարմար է փակագծերով արտահայտությունից անցնել առանց փակագծերի նույնական հավասար արտահայտության։ Օրինակ՝ 2 · (3 + 4) արտահայտությունը փոխարինեք ձևի արտահայտությամբ 2 3 + 2 4առանց փակագծերի. Այս տեխնիկան կոչվում է բացման փակագծեր:

Սահմանում 1

Ընդլայնվող փակագծերը վերաբերում են փակագծերից ազատվելու մեթոդներին և սովորաբար դիտարկվում են այն արտահայտությունների հետ կապված, որոնք կարող են պարունակել.

• գումարներ կամ տարբերություններ պարունակող փակագծերից առաջ նշում է «+» կամ «-».
• թվի, տառի կամ մի քանի տառի և գումարի կամ տարբերության արտադրյալը, որը դրվում է փակագծերում։

Այսպես մենք սովոր ենք դիտել դպրոցական ծրագրում փակագծերի բացման գործընթացը։ Այնուամենայնիվ, ոչ ոք մեզ չի խանգարում այս ակցիային ավելի լայն դիտարկել: Մենք կարող ենք անվանել փակագծեր բացող՝ անցումը փակագծերում բացասական թվեր պարունակող արտահայտությունից դեպի փակագծեր չունեցող արտահայտություն: Օրինակ՝ մենք կարող ենք 5 + (− 3) − (− 7)-ից անցնել 5 − 3 + 7։ Փաստորեն, սա նույնպես փակագծերի բացում է։

Նույն կերպ մենք կարող ենք (a + b) · (c + d) ձևի փակագծերի արտահայտությունների արտադրյալը փոխարինել a · c + a · d + b · c + b · d գումարով: Այս տեխնիկան նույնպես չի հակասում փակագծերի բացման իմաստին։

Ահա ևս մեկ օրինակ. Կարելի է ենթադրել, որ արտահայտություններում թվերի և փոփոխականների փոխարեն կարող են օգտագործվել ցանկացած արտահայտություն։ Օրինակ, x 2 · 1 a - x + sin (b) արտահայտությունը կհամապատասխանի x 2 · 1 a - x 2 · x + x 2 · sin (b) ձևի առանց փակագծերի արտահայտությանը:

Հատուկ ուշադրության է արժանի ևս մեկ կետ, որը վերաբերում է փակագծերը բացելիս որոշումների գրանցման առանձնահատկություններին։ Նախնական արտահայտությունը կարող ենք գրել փակագծերով և փակագծերը բացելուց հետո ստացված արդյունքը որպես հավասարություն։ Օրինակ՝ արտահայտության փոխարեն փակագծերը ընդլայնելուց հետո 3 − (5 − 7) մենք ստանում ենք արտահայտությունը 3 − 5 + 7 . Այս երկու արտահայտություններն էլ կարող ենք գրել որպես 3 − (5 − 7) = 3 − 5 + 7 հավասարություն։

Ծանր արտահայտություններով գործողություններ կատարելը կարող է պահանջել միջանկյալ արդյունքների գրանցում: Այդ դեպքում լուծումը կունենա հավասարությունների շղթայի ձև։ Օրինակ, 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − (3 − 2 + 1) = 5 − 3 + 2 − 1 կամ 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − 3 + (2 − 1) = 5 − 3 + 2 − 1 .

Փակագծեր բացելու կանոններ, օրինակներ

Սկսենք դիտարկել փակագծերի բացման կանոնները։

Փակագծերում առանձին թվերի համար

Փակագծերում դրված բացասական թվերը հաճախ հանդիպում են արտահայտությունների մեջ: Օրինակ՝ (− 4) և 3 + (− 4) . Փակագծերում դրված դրական թվերն էլ տեղ ունեն։

Եկեք ձևակերպենք մեկ դրական թվեր պարունակող փակագծերը բացելու կանոն։ Ենթադրենք, որ a-ն ցանկացած դրական թիվ է: Այնուհետև (a)-ը կարող ենք փոխարինել a-ով, + (a)-ով + a-ով, - (a)-ով – a-ով: Եթե ​​a-ի փոխարեն վերցնենք կոնկրետ թիվ, ապա ըստ կանոնի՝ (5) թիվը կգրվի այսպես 5 , առանց փակագծերի 3 + (5) արտահայտությունը կձևավորվի 3 + 5 , քանի որ + (5)-ը փոխարինվում է + 5 , իսկ 3 + (− 5) արտահայտությունը համարժեք է արտահայտությանը 3 − 5 , որովհետեւ + (− 5) փոխարինվում է − 5 .

Դրական թվերը սովորաբար գրվում են առանց փակագծերի, քանի որ այս դեպքում փակագծերն ավելորդ են։

Այժմ հաշվի առեք մեկ բացասական թիվ պարունակող փակագծերի բացման կանոնը: + (− a)փոխարինում ենք − ա, − (− a)-ը փոխարինվում է + a-ով։ Եթե ​​արտահայտությունը սկսվում է բացասական թվով (- ա), որը գրված է փակագծերում, ապա փակագծերը բաց են թողնվում և փոխարենը (- ա)մնում է − ա.

Ահա մի քանի օրինակներ. (− 5) կարելի է գրել − 5, (− 3) + 0, 5-ը դառնում է − 3 + 0, 5, 4 + (− 3) դառնում է 4 − 3 , և − (− 4) − (− 3) փակագծերը բացելուց հետո ստանում է 4 + 3 ձև, քանի որ − (− 4) և − (− 3) փոխարինվում է + 4 և + 3 թվերով:

Պետք է հասկանալ, որ 3 · (− 5) արտահայտությունը չի կարող գրվել որպես 3 · − 5։ Դրա մասին մենք կխոսենքհետեւյալ պարբերություններում.

Տեսնենք, թե ինչի վրա են հիմնված փակագծերը բացելու կանոնները։

Ըստ կանոնի՝ a − b տարբերությունը հավասար է a + (− b)-ի: Հիմնվելով թվերի հետ գործողությունների հատկությունների վրա՝ մենք կարող ենք ստեղծել հավասարումների շղթա (a + (− b)) + b = a + ((− b) + b) = a + 0 = aորը արդարացի կլինի։ Հավասարությունների այս շղթան, հանման իմաստի ուժով, ապացուցում է, որ a + (− b) արտահայտությունը տարբերությունն է. ա - բ.

Հատկությունների հիման վրա հակադիր թվերև հանման կանոնները բացասական թվերկարող ենք արձանագրել, որ − (− a) = a, a − (− b) = a + b.

Կան արտահայտություններ, որոնք կազմված են թվից, մինուս նշաններից և մի քանի զույգ փակագծերից։ Վերոնշյալ կանոնների օգտագործումը թույլ է տալիս հաջորդաբար ազատվել փակագծերից՝ շարժվելով ներքինից արտաքին փակագծերից կամ հակառակ ուղղությամբ։ Նման արտահայտության օրինակ կլինի − (− ((− (5)))) . Եկեք բացենք փակագծերը՝ շարժվելով ներսից դրս. − (− ((− (− (5)))) = − (− ((− 5))) = − (− (− 5)) = − (5) = − 5 ։ Այս օրինակը կարելի է վերլուծել նաև հակառակ ուղղությամբ. − (− ((− (5)))) = ((− (5))) = (− (5)) = − (5) = − 5 .

Տակ աիսկ b-ն կարելի է հասկանալ ոչ միայն որպես թվեր, այլև որպես կամայական թվային կամ բառացի արտահայտություններառջեւում «+» նշանով, որոնք գումարներ կամ տարբերություններ չեն: Այս բոլոր դեպքերում դուք կարող եք կիրառել կանոնները այնպես, ինչպես մենք արեցինք փակագծերում դրված առանձին թվերի համար:

Օրինակ՝ փակագծերը բացելուց հետո արտահայտությունը − (− 2 x) − (x 2) + (− 1 x) − (2 x y 2: z)կընդունի 2 · x − x 2 − 1 x − 2 · x · y 2: z . Ինչպե՞ս դա արեցինք։ Մենք գիտենք, որ − (− 2 x) + 2 x է, և քանի որ այս արտահայտությունն առաջինն է, ապա + 2 x-ը կարելի է գրել որպես 2 x, − (x 2) = − x 2, + (− 1 x) = − 1 x և − (2 x y 2: z) = − 2 x y 2: z.

Երկու թվերի արտադրյալներում

Սկսենք երկու թվերի արտադրյալում փակագծեր բացելու կանոնից։

Եկեք այդպես ձևացնենք աիսկ b-ն երկու է դրական թվեր. Այս դեպքում երկու բացասական թվերի արտադրյալը − աև (− a) · (−b) ձևի − b-ը կարող ենք փոխարինել (a · b) -ով, իսկ երկու թվերի արտադրյալները՝ (− a) · b և a · (− b) ձևի հակադիր նշաններով։ կարելի է փոխարինել (− a բ). Մինուսը մինուսով բազմապատկելը տալիս է գումարած, իսկ մինուսը պլյուսով բազմապատկելը, ինչպես գումարածը մինուսով բազմապատկելը տալիս է մինուս:

Գրավոր կանոնի առաջին մասի ճիշտությունը հաստատվում է բացասական թվերի բազմապատկման կանոնով։ Կանոնի երկրորդ մասը հաստատելու համար կարող ենք օգտագործել թվերի հետ բազմապատկելու կանոնները տարբեր նշաններ.

Դիտարկենք մի քանի օրինակ։

Օրինակ 1

Դիտարկենք փակագծեր բացելու ալգորիթմ երկու բացասական թվերի արտադրյալում՝ 4 3 5 և - 2, (- 2) · - 4 3 5: Դա անելու համար բնօրինակ արտահայտությունը փոխարինեք 2 · 4 3 5-ով: Բացեք փակագծերը և ստացեք 2 · 4 3 5:

Իսկ եթե վերցնենք բացասական թվերի գործակիցը (− 4) : (− 2), ապա փակագծերը բացելուց հետո գրառումը կունենա 4։2։

Բացասական թվերի փոխարեն − աև − b-ն կարող է լինել ցանկացած արտահայտություն, որի առջևում մինուս նշան է, որոնք գումարներ կամ տարբերություններ չեն: Օրինակ՝ դրանք կարող են լինել արտադրյալներ, քանորդներ, կոտորակներ, հզորություններ, արմատներ, լոգարիթմներ, եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ և այլն։

Բացենք փակագծերը արտահայտության մեջ - 3 · x x 2 + 1 · x · (- ln 5) : Ըստ կանոնի՝ կարող ենք կատարել հետևյալ փոխակերպումները՝ - 3 x x 2 + 1 x (- ln 5) = - 3 x x 2 + 1 x ln 5 = 3 x x 2 + 1 x ln 5:

Արտահայտություն (− 3) 2կարող է վերածվել (− 3 2) արտահայտության։ Դրանից հետո դուք կարող եք ընդլայնել փակագծերը. − 3 2.

2 3 · - 4 5 = - 2 3 · 4 5 = - 2 3 · 4 5

Տարբեր նշաններով թվերի բաժանումը կարող է պահանջել նաև փակագծերի նախնական ընդլայնում. (− 5) : 2 = (− 5: 2) = − 5: 2 և 2 3 4: (- 3, 5) = - 2 3 4: 3, 5 = - 2 3 4: 3, 5:

Կանոնը կարող է օգտագործվել տարբեր նշաններով արտահայտությունների բազմապատկում և բաժանում կատարելու համար։ Բերենք երկու օրինակ.

1 x + 1: x - 3 = - 1 x + 1: x - 3 = - 1 x + 1: x - 3

մեղք (x) (- x 2) = (- մեղք (x) x 2) = - մեղք (x) x 2

Երեք և ավելի թվերի արտադրյալներում

Անցնենք այն ապրանքներին ու գործակիցներին, որոնք պարունակում են մեծ քանակությամբթվեր։ Փակագծերը բացելու համար այստեղ կգործի հետևյալ կանոնը. Եթե ​​կան զույգ թվով բացասական թվեր, ապա կարող եք բաց թողնել փակագծերը և թվերը փոխարինել դրանց հակադիրներով: Դրանից հետո անհրաժեշտ է ստացված արտահայտությունը փակցնել նոր փակագծերում: Բացասական թվերի կենտ թվի դեպքում բաց թողեք փակագծերը և թվերը փոխարինեք դրանց հակադիրներով: Դրանից հետո ստացված արտահայտությունը պետք է տեղադրվի նոր փակագծերում, իսկ դիմացը՝ մինուս նշան։

Օրինակ 2

Օրինակ՝ վերցրեք 5 · (− 3) · (− 2) արտահայտությունը, որը երեք թվերի արտադրյալ է։ Երկու բացասական թիվ կա, հետևաբար արտահայտությունը կարող ենք գրել այսպես (5 · 3 · 2) և վերջապես բացեք փակագծերը՝ ստանալով 5 · 3 · 2 արտահայտությունը։

Արտադրյալում (− 2, 5) · (− 3) : (− 2) · 4։ (− 1, 25) ։ (− 1) հինգ թվեր բացասական են։ հետևաբար (− 2, 5) · (− 3) : (− 2) · 4: (− 1, 25) : (− 1) = (− 2, 5 · 3: 2 · 4: 1, 25: 1) . Վերջապես բացելով փակագծերը՝ ստանում ենք −2,5 3:2 4:1,25:1.

Վերոնշյալ կանոնը կարելի է հիմնավորել հետևյալ կերպ. Նախ, մենք կարող ենք վերաշարադրել նման արտահայտությունները որպես արտադրյալ՝ փոխարինելով բաժանումը բազմապատկելով փոխադարձ թվով։ Մենք յուրաքանչյուր բացասական թիվ ներկայացնում ենք որպես բազմապատկվող թվի արտադրյալ, և - 1 կամ - 1-ը փոխարինվում է (− 1) ա.

Օգտագործելով բազմապատկման կոմուտատիվ հատկությունը՝ մենք փոխում ենք գործակիցները և փոխանցում բոլոր գործոններին հավասար − 1 , մինչև արտահայտության սկիզբը. Զույգ թվի արտադրյալը հանած մեկ հավասար է 1-ի, իսկ կենտ թվի արտադրյալը հավասար է − 1 , որը թույլ է տալիս օգտագործել մինուս նշանը։

Եթե ​​չօգտագործեինք կանոնը, ապա - 2 3: (- 2) · 4: - 6 7 արտահայտությունում փակագծերը բացելու գործողությունների շղթան այսպիսի տեսք կունենար.

2 3: (- 2) 4: - 6 7 = - 2 3 - 1 2 4 - 7 6 = = (- 1) 2 3 (- 1) 1 2 4 (- 1 ) · 7 6 = = (- 1) ) · (- 1) · (- 1) · 2 3 · 1 2 · 4 · 7 6 = (- 1) · 2 3 · 1 2 · 4 · 7 6 = = - 2 3 1 2 4 7 6

Վերոնշյալ կանոնը կարող է օգտագործվել փակագծեր բացելիս արտահայտություններում, որոնք ներկայացնում են մինուս նշանով արտադրյալներ և քանորդներ, որոնք գումարներ կամ տարբերություններ չեն: Օրինակ բերենք արտահայտությունը

x 2 · (- x) : (- 1 x) · x - 3: 2:

Այն կարող է կրճատվել մինչև արտահայտությունը առանց փակագծերի x 2 · x: 1 x · x - 3: 2:

Ընդլայնվող փակագծերը, որոնց նախորդում է + նշանը

Դիտարկենք մի կանոն, որը կարող է կիրառվել փակագծերը ընդլայնելու համար, որոնց նախորդում է գումարած նշանը, և այդ փակագծերի «բովանդակությունը» չի բազմապատկվում կամ բաժանվում որևէ թվի կամ արտահայտության:

Ըստ կանոնի՝ փակագծերը՝ դիմացի նշանի հետ միասին, բաց են թողնվում, մինչդեռ փակագծերում բոլոր տերմինների նշանները պահպանվում են։ Եթե ​​փակագծերում առաջին տերմինից առաջ նշան չկա, ապա պետք է գումարած նշան դնել։

Օրինակ 3

Օրինակ՝ տալիս ենք արտահայտությունը (12 − 3 , 5) − 7 . Բաց թողնելով փակագծերը՝ տերմինների նշանները պահում ենք փակագծերում և առաջին անդամի դիմաց դնում ենք գումարած նշան։ Մուտքը նման կլինի (12 − ​​3, 5) − 7 = + 12 − 3, 5 − 7։ Բերված օրինակում պարտադիր չէ առաջին անդամի դիմաց նշան դնել, քանի որ + 12 − 3, 5 − 7 = 12 − 3, 5 − 7։

Օրինակ 4

Դիտարկենք մեկ այլ օրինակ։ Վերցնենք x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x արտահայտությունը և դրանով կատարենք գործողությունները x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x = = x. + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x

Ահա ընդլայնվող փակագծերի մեկ այլ օրինակ.

Օրինակ 5

2 + x 2 + 1 x - x y z + 2 x - 1 + (- 1 + x - x 2) = = 2 + x 2 + 1 x - x y z + 2 x - 1 - 1 + x + x 2

Ինչպե՞ս են ընդլայնվում փակագծերին նախորդող մինուս նշանը:

Դիտարկենք այն դեպքերը, երբ փակագծերի դիմաց կա մինուս նշան, և որոնք չեն բազմապատկվում (կամ բաժանվում) որևէ թվով կամ արտահայտությամբ։ «-» նշանով նախորդող փակագծերի բացման կանոնի համաձայն՝ «-» նշանով փակագծերը բաց են թողնվում, իսկ փակագծերի ներսում գտնվող բոլոր տերմինների նշանները հակադարձվում են:

Օրինակ 6

Օրինակ՝

1 2 = 1 2, - 1 x + 1 = - 1 x + 1, - (- x 2) = x 2

Փոփոխականներով արտահայտությունները կարող են փոխարկվել՝ օգտագործելով նույն կանոնը.

X + x 3 - 3 - - 2 x 2 + 3 x 3 x + 1 x - 1 - x + 2,

մենք ստանում ենք x - x 3 - 3 + 2 · x 2 - 3 · x 3 · x + 1 x - 1 - x + 2:

Թիվը փակագծով բազմապատկելիս փակագծեր բացելը, փակագծով արտահայտությունները.

Այստեղ մենք կդիտարկենք այն դեպքերը, երբ դուք պետք է ընդլայնեք փակագծերը, որոնք բազմապատկվում կամ բաժանվում են ինչ-որ թվով կամ արտահայտությամբ: Ձևի բանաձևեր (a 1 ± a 2 ± … ± a n) · b = (a 1 · b ± a 2 · b ± … ± a n · b) կամ b · (a 1 ± a 2 ± … ± a n) = (b · a 1 ± b · a 2 ± … ± b · a n), Որտեղ a 1, a 2, …, a nիսկ b-ն որոշ թվեր կամ արտահայտություններ են:

Օրինակ 7

Օրինակ՝ արտահայտության մեջ ընդլայնենք փակագծերը (3 − 7) 2. Ըստ կանոնի՝ կարող ենք իրականացնել հետևյալ փոխակերպումները՝ (3 − 7) · 2 = (3 · 2 − 7 · 2) . Մենք ստանում ենք 3 · 2 − 7 · 2:

3 x 2 1 - x + 1 x + 2 արտահայտության մեջ բացելով փակագծերը՝ ստանում ենք 3 x 2 1 - 3 x 2 x + 3 x 2 1 x + 2:

Փակագծերը փակագծերով բազմապատկելը

Դիտարկենք ձևի երկու փակագծերի արտադրյալը (a 1 + a 2) · (b 1 + b 2) . Սա կօգնի մեզ ձեռք բերել փակագծեր բացելու կանոն՝ փակագծերով բազմապատկում կատարելիս։

Տրված օրինակը լուծելու համար նշանակում ենք արտահայտությունը (b 1 + b 2)ինչպես բ. Սա թույլ կտա մեզ օգտագործել փակագծերը արտահայտությամբ բազմապատկելու կանոնը։ Մենք ստանում ենք (a 1 + a 2) · (b 1 + b 2) = (a 1 + a 2) · b = (a 1 · b + a 2 · b) = a 1 · b + a 2 · b. Հակադարձ փոխարինում կատարելով բըստ (b 1 + b 2), կրկին կիրառեք արտահայտությունը փակագծով բազմապատկելու կանոնը. a 1 b + a 2 b = = a 1 (b 1 + b 2) + a 2 (b 1 + b 2) = = (a 1 b 1 + a 1 b 2) + (a 2 b 1 + a 2 b 2) = = a 1 b 1 + a 1 b 2 + a 2 b 1 + a 2 b 2

Մի շարք պարզ տեխնիկայի շնորհիվ մենք կարող ենք հասնել առաջին փակագծի յուրաքանչյուր տերմինի արտադրյալների գումարին երկրորդ փակագծի յուրաքանչյուր տերմինով: Կանոնը կարող է տարածվել փակագծերի ներսում գտնվող ցանկացած տերմինի վրա:

Եկեք ձևակերպենք փակագծերը փակագծերով բազմապատկելու կանոնները. երկու գումարը միասին բազմապատկելու համար անհրաժեշտ է առաջին գումարի յուրաքանչյուր անդամը բազմապատկել երկրորդ գումարի յուրաքանչյուր անդամով և ավելացնել արդյունքները:

Բանաձևը նման կլինի.

(a 1 + a 2 + . . . + a m) · (b 1 + b 2 + . . . + b n) = = a 1 b 1 + a 1 b 2 + . . . + a 1 b n + + a 2 b 1 + a 2 b 2 + . . . + a 2 b n + + . . . + + a m b 1 + a m b 1 + . . . ա մ բ ն

Ընդարձակենք փակագծերը (1 + x) · (x 2 + x + 6) երկու գումարի արտադրյալ է։ Գրենք լուծումը՝ (1 + x) · (x 2 + x + 6) = = (1 · x 2 + 1 · x + 1 · 6 + x · x 2 + x · x + x · 6) = = 1 · x 2 + 1 x + 1 6 + x x 2 + x x + x 6

Առանձին-առանձին հարկ է նշել այն դեպքերը, երբ գումարած նշանների հետ միասին փակագծերում կա մինուս նշան։ Օրինակ վերցրեք (1 − x) · (3 · x · y − 2 · x · y 3) արտահայտությունը։

Նախ, փակագծերում տրված արտահայտությունները ներկայացնենք որպես գումար. (1 + (− x)) · (3 · x · y + (− 2 · x · y 3)). Այժմ մենք կարող ենք կիրառել կանոնը՝ (1 + (− x)) · (3 · x · y + (− 2 · x · y 3)) = = (1 · 3 · x · y + 1 · (− 2 · x · y 3) + (− x) · 3 · x · y + (− x) · (− 2 · x · y 3))

Բացենք փակագծերը՝ 1 · 3 · x · y − 1 · 2 · x · y 3 − x · 3 · x · y + x · 2 · x · y 3 :

Ընդլայնելով փակագծերը բազմաթիվ փակագծերի և արտահայտությունների արտադրյալներում

Եթե ​​արտահայտության մեջ կան երեք կամ ավելի արտահայտություններ փակագծերում, ապա փակագծերը պետք է բացվեն հաջորդաբար: Փոխակերպումը պետք է սկսել՝ փակագծերում դնելով առաջին երկու գործոնները: Այս փակագծերում մենք կարող ենք փոխակերպումներ իրականացնել վերը քննարկված կանոնների համաձայն: Օրինակ՝ (2 + 4) · 3 · (5 + 7 · 8) արտահայտության փակագծերը։

Արտահայտությունը պարունակում է միանգամից երեք գործոն (2 + 4) , 3 և (5 + 7 8) . Փակագծերը հաջորդաբար կբացենք։ Եկեք առաջին երկու գործոնները կցենք մեկ այլ փակագծի մեջ, որը պարզության համար կարմիր կդարձնենք. (2 + 4) 3 (5 + 7 8) = ((2 + 4) 3) (5 + 7 8).

Փակագծը թվով բազմապատկելու կանոնի համաձայն՝ կարող ենք կատարել հետևյալ գործողությունները՝ ((2 + 4) · 3) · (5 + 7 · 8) = (2 · 3 + 4 · 3) · ( 5 + 7 · 8):

Բազմապատկել փակագիծը փակագծով՝ (2 3 + 4 3) (5 + 7 8) = 2 3 5 + 2 3 7 8 + 4 3 5 + 4 3 7 8:

Բրա տիպի

Աստիճանները, որոնց հիմքերը փակագծերում գրված որոշ արտահայտություններ են, բնական ցուցիչներով, կարելի է համարել մի քանի փակագծերի արտադրյալ։ Ընդ որում, ըստ նախորդ երկու պարբերությունների կանոնների, դրանք կարող են գրվել առանց այդ փակագծերի։

Դիտարկենք արտահայտությունը փոխակերպելու գործընթացը (a + b + c) 2. Այն կարելի է գրել որպես երկու փակագծերի արտադրյալ (a + b + c) · (a + b + c). Բազմապատկենք փակագիծը փակագծով և ստացվի a · a + a · b + a · c + b · a + b · b + b · c + c · a + c · b + c · c.

Դիտարկենք մեկ այլ օրինակ.

Օրինակ 8

1 x + 2 3 = 1 x + 2 1 x + 2 1 x + 2 = = 1 x 1 x + 1 x 2 + 2 1 x + 2 2 1 x + 2 = = 1 x · 1 x · 1 x + 1 x · 2 · 1 x + 2 · 1 x · 1 x + 2 · 2 · 1 x + 1 x · 1 x · 2 + + 1 x 2 · 2 + 2 · 1 x · 2 + 2 2 2

Փակագծերի բաժանումը թվերի և փակագծերի բաժանումը փակագծերի վրա

Փակագծերը թվի վրա բաժանելու համար անհրաժեշտ է, որ փակագծերում բոլոր տերմինները բաժանվեն թվի վրա: Օրինակ, (x 2 - x) : 4 = x 2: 4 - x: 4:

Բաժանումը սկզբում կարելի է փոխարինել բազմապատկմամբ, որից հետո կարող եք օգտագործել արտադրանքի մեջ փակագծեր բացելու համապատասխան կանոնը։ Նույն կանոնը կիրառվում է փակագիծը փակագծով բաժանելիս։

Օրինակ, մենք պետք է բացենք փակագծերը (x + 2) արտահայտության մեջ՝ 2 3: Դա անելու համար նախ փոխարինեք բաժանումը` բազմապատկելով փոխադարձ թվով (x + 2)՝ 2 3 = (x + 2) · 2 3: Բազմապատկեք փակագիծը թվով (x + 2) · 2 3 = x · 2 3 + 2 · 2 3:

Ահա փակագծերով բաժանման մեկ այլ օրինակ.

Օրինակ 9

1 x + x + 1: (x + 2) .

Բաժանումը փոխարինենք բազմապատկմամբ՝ 1 x + x + 1 · 1 x + 2:

Կատարենք բազմապատկումը՝ 1 x + x + 1 · 1 x + 2 = 1 x · 1 x + 2 + x · 1 x + 2 + 1 · 1 x + 2:

Փակագծերի բացման կարգը

Այժմ հաշվի առեք արտահայտություններում վերը քննարկված կանոնների կիրառման կարգը ընդհանուր տեսարան, այսինքն. արտահայտություններում, որոնք պարունակում են տարբերություններով գումարներ, քանորդներով արտադրյալներ, փակագծեր՝ բնական աստիճանով։

Ընթացակարգը:

• առաջին քայլը փակագծերը բնական հզորության բարձրացնելն է.
• երկրորդ փուլում կատարվում է փակագծերի բացում աշխատանքներում և գործակիցներում.
• Վերջնական քայլը գումարների և տարբերությունների մեջ փակագծերը բացելն է:

Դիտարկենք գործողությունների հերթականությունը՝ օգտագործելով (− 5) + 3 · (− 2) : (− 4) − 6 · (− 7) արտահայտության օրինակը։ Եկեք փոխակերպենք 3 · (− 2) : (− 4) և 6 · (− 7) արտահայտություններից, որոնք պետք է ստանան ձևը. (3 2:4)և (− 6 · 7) . Ստացված արդյունքները սկզբնական արտահայտության մեջ փոխարինելիս ստանում ենք՝ (− 5) + 3 · (− 2) : (− 4) − 6 · (− 7) = (− 5) + (3 · 2: 4) −. (− 6 · 7) . Բացեք փակագծերը՝ − 5 + 3 · 2: 4 + 6 · 7:

Փակագծերում փակագծեր պարունակող արտահայտությունների հետ գործ ունենալիս հարմար է փոխակերպումներ իրականացնել՝ աշխատելով ներսից դուրս։

Եթե ​​տեքստում սխալ եք նկատել, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter

A+(b + c) կարելի է գրել առանց փակագծերի՝ a+(b + c)=a + b + c: Այս գործողությունը կոչվում է փակագծերի բացում:

Օրինակ 1.Բացենք a + (- b + c) արտահայտության փակագծերը։

Լուծում. a + (-b+c) = a + ((-b) + c)=a + (-b) + c = a-b + c.

Եթե ​​փակագծերի դիմաց կա «+» նշան, ապա կարող եք բաց թողնել փակագծերը և այս «+» նշանը՝ պահպանելով փակագծերում տերմինների նշանները: Եթե ​​փակագծերում առաջին տերմինը գրված է առանց նշանի, ապա այն պետք է գրվի «+» նշանով։

Օրինակ 2.Գտնենք -2,87+ (2,87-7,639) արտահայտության արժեքը։

Լուծում.Բացելով փակագծերը՝ ստանում ենք - 2,87 + (2,87 - 7,639) = - - 2,87 + 2,87 - 7,639 = 0 - 7,639 = - 7,639։

- (- 9 + 5) արտահայտության արժեքը գտնելու համար անհրաժեշտ է ավելացնել թվեր-9 և 5 և գտե՛ք ստացված գումարին հակառակ թիվը՝ -(- 9 + 5)= -(- 4) = 4:

Նույն արժեքը կարելի է ստանալ մեկ այլ եղանակով՝ նախ գրեք այս տերմիններին հակառակ թվերը (այսինքն՝ փոխեք դրանց նշանները), այնուհետև ավելացրեք՝ 9 + (- 5) = 4: Այսպիսով, -(- 9 + 5) = 9 - 5 = 4:

Մի քանի անդամների գումարին հակառակ գումար գրելու համար պետք է փոխել այս տերմինների նշանները։

Սա նշանակում է - (a + b) = - a - b:

Օրինակ 3.Գտնենք 16 - (10 -18 + 12) արտահայտության արժեքը։

Լուծում. 16-(10 -18 + 12) = 16 + (-(10 -18 + 12)) = = 16 + (-10 +18-12) = 16-10 +18-12 = 12.

«-» նշանով փակագծերը բացելու համար այս նշանը պետք է փոխարինել «+»-ով՝ փոխելով փակագծերում բոլոր տերմինների նշանները հակառակի, այնուհետև բացել փակագծերը:

Օրինակ 4.Գտնենք 9.36-(9.36 - 5.48) արտահայտության արժեքը։

Լուծում. 9.36 - (9.36 - 5.48) = 9.36 + (- 9.36 + 5.48) = = 9.36 - 9.36 + 5.48 = 0 -f 5.48 = 5 ,48:

Փակագծերի ընդլայնում և կոմուտատիվ և ասոցիատիվ հատկությունների կիրառում հավելումթույլ է տալիս պարզեցնել հաշվարկները:

Օրինակ 5.Գտնենք (-4-20)+(6+13)-(7-8)-5 արտահայտության արժեքը։

Լուծում.Նախ, մենք կբացենք փակագծերը, այնուհետև մենք առանձին կգտնենք բոլոր դրական և առանձին-առանձին բոլոր բացասական թվերի գումարը և վերջում գումարենք արդյունքները.

(- 4 - 20)+(6+ 13)-(7 - 8) - 5 = -4-20 + 6 + 13-7 + 8-5 = = (6 + 13 + 8)+(- 4 - 20 - 7 - 5)= 27-36=-9.

Օրինակ 6.Գտնենք արտահայտության արժեքը

Լուծում.Նախ, յուրաքանչյուր անդամ պատկերացնենք որպես իրենց ամբողջ թվերի և կոտորակային մասերի գումարը, ապա բացենք փակագծերը, ապա գումարենք ամբողջ թվերը և առանձին կոտորակայինմասեր և վերջապես գումարեք արդյունքները.

Ինչպե՞ս բացել փակագծերը, որոնց նախորդում է «+» նշանը: Ինչպե՞ս կարող եք գտնել արտահայտության իմաստը: գումարի հակառակըմի քանի թվեր? Ինչպե՞ս ընդլայնել փակագծերը, որոնց նախորդում է «-» նշանը:

1218. Բացեք փակագծերը.

ա) 3.4+ (2.6+ 8.3); գ) m+(n-k);

բ) 4,57+ (2,6 - 4,57); դ) c+(-a + b).

1219. Գտի՛ր արտահայտության իմաստը.

1220. Բացեք փակագծերը.

ա) 85+ (7,8+ 98); դ) -(80-16) + 84; է) a-(b-k-n);
բ) (4.7 -17)+7.5; ե) -a + (m-2.6); ը) -(a-b + c);
գ) 64-(90 + 100); ե) c+(- a-b); i) (m-n)-(p-k).

1221. Բացեք փակագծերը և գտե՛ք արտահայտության իմաստը.

1222. Պարզեցրե՛ք արտահայտությունը.

1223. Գրիր գումարըերկու արտահայտություն և պարզեցնել այն.

ա) - 4 - մ և մ + 6,4; դ) a+b և p - b
բ) 1.1+a և -26-a; ե) - m + n և -k - n;
գ) a + 13 և -13 + b; e)m - n և n - m.

1224. Գրի՛ր երկու արտահայտությունների տարբերությունը և պարզի՛ր.

1226. Խնդիրը լուծելու համար օգտագործե՛ք հավասարումը.

ա) Մի դարակում կա 42 գիրք, իսկ մյուսում՝ 34 գիրք, երկրորդ դարակից հանվել է մի քանի գիրք, իսկ առաջին դարակից վերցվել է այնքան գիրք, որքան մնացել է երկրորդում: Դրանից հետո առաջին դարակում մնացել էր 12 գիրք։ Քանի՞ գիրք է հանվել երկրորդ դարակից:

բ) Առաջին դասարանում սովորում է 42 աշակերտ, երկրորդում՝ 3 աշակերտ ավելի քիչ, քան երրորդում։ Քանի՞ աշակերտ կա երրորդ դասարանում, եթե այս երեք դասարաններում կա 125 աշակերտ:

1227. Գտի՛ր արտահայտության իմաստը.

1228. Հաշվի՛ր բանավոր.

1229. Գտի՛ր ամենաբարձր արժեքըարտահայտությունները:

1230. Նշեք 4 հաջորդական ամբողջ թիվ, եթե.

ա) դրանցից փոքրը -12 է. գ) դրանցից փոքրը n է.
բ) դրանցից ամենամեծը -18 է. դ) դրանցից մեծը հավասար է k-ի.

Դասի բովանդակությունը դասի նշումներաջակցող շրջանակային դասի ներկայացման արագացման մեթոդներ ինտերակտիվ տեխնոլոգիաներ Պրակտիկա առաջադրանքներ և վարժություններ ինքնաստուգման սեմինարներ, թրեյնինգներ, դեպքեր, քվեստներ տնային առաջադրանքների քննարկման հարցեր հռետորական հարցեր ուսանողներից Նկարազարդումներ աուդիո, տեսահոլովակներ և մուլտիմեդիալուսանկարներ, նկարներ, գրաֆիկա, աղյուսակներ, դիագրամներ, հումոր, անեկդոտներ, կատակներ, կոմիքսներ, առակներ, ասացվածքներ, խաչբառեր, մեջբերումներ Հավելումներ վերացականներհոդվածների հնարքներ հետաքրքրասեր օրորոցների համար դասագրքեր հիմնական և տերմինների լրացուցիչ բառարան այլ Դասագրքերի և դասերի կատարելագործումուղղել դասագրքի սխալներըԴասագրքի հատվածի թարմացում, դասում նորարարության տարրեր, հնացած գիտելիքների փոխարինում նորերով. Միայն ուսուցիչների համար կատարյալ դասեր օրացուցային պլանմեկ տարով ուղեցույցներքննարկման ծրագրեր Ինտեգրված դասեր