Զուգահեռագծի հակառակ կողմերի հատկությունները. Հաշվեք անկյունների գումարը և զուգահեռագծի մակերեսը՝ հատկություններ և առանձնահատկություններ
ՔԱՌԱՆԿՅՈՒՆՆԵՐ.
§43. ԶՈՒԳԱՀԱԳՐՈՒԹՅՈՒՆ.
1. Զուգահեռագծի սահմանում.
Եթե մի զույգ զուգահեռ ուղիղները հատենք մեկ այլ զույգ զուգահեռ ուղիղների հետ, ապա կստանանք քառանկյուն, որի հակառակ կողմերը զույգ-զույգ զուգահեռ են։
ABDC և EFNM քառանկյուններում (նկ. 224) BD || AC և AB || CD;
EF || MN և EM || Ֆ.Ն.
Այն քառանկյունը, որի հակառակ կողմերը զույգ-զույգ զուգահեռ են, կոչվում է զուգահեռագիծ:
2. Զուգահեռագծի հատկությունները.
Թեորեմ. Զուգահեռագծի անկյունագիծը այն բաժանում է երկու հավասար եռանկյունների։
Թող լինի ABDC զուգահեռագիծ (նկ. 225), որում AB || CD և AC || ԲԴ.
Պահանջվում է ապացուցել, որ անկյունագիծն այն բաժանում է երկու հավասար եռանկյունների։
Գծե՛ք CB անկյունագիծ ABDC զուգահեռագծի վրա: Ապացուցենք դա /\ CAB= /\ CDB.
NE կողմը ընդհանուր է այս եռանկյունների համար. / ABC = / BCD, որպես ներքին խաչաձև ընկած անկյուններ զուգահեռ AB-ով և CD-ով և հատվածային CB-ով; / DIA = / CBD, ինչպես նաև որպես ներքին խաչաձև ընկած անկյուններ զուգահեռ AC-ով և BD-ով և հատվածային CB-ով (§ 38):
Այստեղից /\ CAB = /\ CDB.
Նույն կերպ կարելի է ապացուցել, որ AD անկյունագիծը զուգահեռագիծը բաժանում է երկու հավասար եռանկյունների ACD և ABD:
Հետեւանքները. 1 . Զուգահեռագծի հակառակ անկյունները հավասար են:
/
A = /
D, սա բխում է CAB և CDB եռանկյունների հավասարությունից:
Նմանապես, /
C = /
IN.
2. Զուգահեռագծի հակառակ կողմերը հավասար են:
AB \u003d CD և AC \u003d BD, քանի որ դրանք կողմեր են հավասար եռանկյուններև գտնվում են հակառակ հավասար անկյուններով:
Թեորեմ 2. Զուգահեռագծի անկյունագծերը հատվում են իրենց հատման կետում:
Թող BC և AD լինեն ABDC զուգահեռագծի անկյունագծերը (նկ. 226): Եկեք ապացուցենք, որ AO = OD և CO = OB:
Դա անելու համար, օրինակ, համեմատեք հակադիր եռանկյունների մի քանի զույգ /\ ԱՕԲ և /\ COD.
Այս եռանկյուններում AB = CD, որպես զուգահեռագծի հակառակ կողմեր;
/
1 = /
2, որպես ներքին անկյուններ, որոնք գտնվում են AB-ի և CD-ի զուգահեռ և AD-ի հատվածում խաչաձև:
/
3 = /
4 նույն պատճառով, քանի որ ԱԲ || CD-ն և ԿԲ-ն իրենց հատվածն են (§ 38):
Այստեղից հետևում է, որ /\ AOB = /\ COD. Իսկ հավասար եռանկյուններում հակառակ հավասար անկյունները հավասար կողմեր են։ Հետևաբար, AO = OD և CO = OB:
Թեորեմ 3. Զուգահեռագծի մի կողմին կից անկյունների գումարը հավասար է 2 դ .
Ապացուցեք ինքներդ ձեզ.
3. Զուգահեռագծի նշաններ.
Թեորեմ. Եթե քառանկյան հակառակ կողմերը զույգերով հավասար են, ապա քառանկյունը զուգահեռագիծ է:
Թողեք ABDC քառանկյունում (նկ. 227) AB = CD և AC = BD: Փաստենք, որ այս պայմանով AB || CD և AC || BD, այսինքն, ABDC քառանկյունը զուգահեռագիծ է:
Եկեք մի հատվածով միացնենք այս քառանկյան երկու հակադիր գագաթները, օրինակ՝ C և B: Քառանկյուն ABDC բաժանված է երկու հավասար եռանկյունների. /\
CAB և /\
CDB. Իրոք, նրանք պայմանով ունեն ընդհանուր կողմ CB, AB \u003d CD և AC \u003d BD: Այսպիսով, մի եռանկյան երեք կողմերը համապատասխանաբար հավասար են մյուսի երեք կողմերին, ուստի /\
CAB = /\
CDB.
Հավասար եռանկյունները ունեն հավասար անկյուններ հակառակ հավասար կողմերին, ուստի
/
1 = /
2 և /
3 = /
4.
1-ին և 2-րդ անկյունները ներքին խաչաձև անկյուններ են AB և CD գծերի CB գծի խաչմերուկում: Հետեւաբար, ԱԲ || CD.
Նմանապես, 3-րդ և 4-րդ անկյունները ներքին խաչաձև անկյուններ են CA և BD գծերի հատման կետում CB գծի հետ, հետևաբար, CA || ԲԴ (§ 35).
Այսպիսով, ABDC քառանկյան հակառակ կողմերը զույգ-զույգ զուգահեռ են, հետևաբար, այն զուգահեռագիծ է, որը պահանջվում էր ապացուցել։
Թեորեմ 2. Եթե քառանկյան երկու հակառակ կողմերը հավասար են և զուգահեռ, ապա քառանկյունը զուգահեռագիծ է։
Թողեք քառանկյուն ABDC AB = CD և AB || CD. Փաստենք, որ այս պայմաններում ABDC քառանկյունը զուգահեռագիծ է (նկ. 228):
C և B գագաթները մենք կապում ենք CB հատվածով, AB և CD ուղիղների զուգահեռության պատճառով 1 և 2 անկյունները, որպես միջակայքում ընկած ներքին անկյուններ, հավասար են (§ 38):
Այնուհետև CAB եռանկյունը հավասար է CDB եռանկյունին, քանի որ նրանք ունեն ընդհանուր կողմ CB,
AB \u003d CD թեորեմի պայմանով և /
1 = /
2, ինչպես ապացուցված է: Այս եռանկյունների հավասարությունից բխում է 3 և 4 անկյունների հավասարությունը, քանի որ դրանք գտնվում են հավասար եռանկյունների հակառակ հավասար կողմերից։
Բայց 3-րդ և 4-րդ անկյունները ներքին խաչաձև անկյուններ են, որոնք ձևավորվում են AC և BD գծերի հատման կետում CB տողով, հետևաբար, AC || ԲԴ (§ 35), այսինքն՝ քառանկյուն
ABDC-ն զուգահեռագիծ է:
Զորավարժություններ.
1. Ապացուցեք, որ եթե քառանկյան անկյունագծերը իրենց փոխհատման կետում կիսով չափ բաժանված են, ապա այս քառանկյունը զուգահեռագիծ է։
2. Ապացուցեք, որ քառանկյունը, որի գումարը ներքին անկյունները, երկու կից կողմերից յուրաքանչյուրին կից, հավասար է 2-ի դ, զուգահեռագիծ է։
3. Կառուցեք երկու կողմերի զուգահեռագիծ և նրանց միջև անկյուն.
ա) օգտագործելով զուգահեռագծի հակառակ կողմերի զուգահեռությունը.
բ) օգտագործելով զուգահեռագծի հակառակ կողմերի հավասարությունը:
4. Կառուցեք զուգահեռագիծ երկու հարակից կողմերի երկայնքով և անկյունագծով:
5. Կառուցեք զուգահեռագիծ իր երկու անկյունագծով և նրանց միջև եղած անկյան տակ:
6. Կառուցեք զուգահեռագիծ նրա կողմի երկայնքով և երկու անկյունագծով:
Միջին մակարդակ
Զուգահեռագիծ, ուղղանկյուն, ռոմբ, քառակուսի (2019)
1. Զուգահեռագիծ
«Զուգահեռագա՞մ» բարդ բառ։ Իսկ դրա հետևում շատ պարզ կերպար է.
Դե, այսինքն, մենք վերցրեցինք երկու զուգահեռ տող.
Խաչված ևս երկուսի կողմից.
Իսկ ներսում՝ զուգահեռագիծ։
Ի՞նչ հատկություններ ունի զուգահեռագիծը:
Զուգահեռագրի հատկությունները.
Այսինքն՝ ի՞նչ կարելի է օգտագործել, եթե խնդրի մեջ տրված է զուգահեռագիծ։
Այս հարցին պատասխանում է հետևյալ թեորեմը.
Եկեք ամեն ինչ մանրամասն նկարենք:
Ինչ է անում թեորեմի առաջին կետը? Իսկ այն, որ եթե դու ՈՒՆԵՍ զուգահեռագիծ, ապա անպայման
Երկրորդ պարբերությունը նշանակում է, որ եթե կա զուգահեռագիծ, ապա, կրկին, անպայման.
Դե, և վերջապես, երրորդ կետը նշանակում է, որ եթե ՈՒՆԵՍ զուգահեռագիծ, ապա վստահ եղիր.
Տեսնու՞մ եք, թե ինչպիսի հարուստ ընտրություն: Ի՞նչ օգտագործել առաջադրանքում: Փորձեք կենտրոնանալ առաջադրանքի հարցի վրա, կամ պարզապես ամեն ինչ հերթով փորձեք, ինչ-որ «բանալին» կստացվի:
Իսկ հիմա ինքներս մեզ մեկ այլ հարց տանք՝ ինչպե՞ս ճանաչել զուգահեռագիծը «դեմքով»։ Ի՞նչ պետք է լինի քառանկյունի հետ, որպեսզի մենք իրավունք ունենանք դրան զուգահեռագծի «վերնագիր» տալ։
Այս հարցին պատասխանում են զուգահեռագծի մի քանի նշաններ:
Զուգահեռագծի առանձնահատկությունները.
Ուշադրություն. Սկսել.
Զուգահեռագիծ.
Ուշադրություն դարձրեք. եթե ձեր խնդրի մեջ գտել եք գոնե մեկ նշան, ապա դուք ունեք ուղիղ զուգահեռագիծ և կարող եք օգտագործել զուգահեռագծի բոլոր հատկությունները:
2. Ուղղանկյուն
Չեմ կարծում, որ դա ձեզ համար ընդհանրապես նորություն կլինի։
Առաջին հարցը հետևյալն է՝ ուղղանկյունը զուգահեռագա՞րմա է:
Իհարկե այդպես է։ Ի վերջո, նա ունի - հիշում եք, մեր նշանը 3:
Եվ այստեղից, իհարկե, հետևում է, որ ուղղանկյունի համար, ինչպես ցանկացած զուգահեռագիծ, և, և անկյունագծերը բաժանվում են հատման կետով կիսով չափ:
Բայց կա ուղղանկյուն և մեկ տարբերակիչ հատկություն.
Ուղղանկյունի հատկություն
Ինչու է այս հատկությունը տարբերվում: Որովհետև ոչ մի այլ զուգահեռագիծ չունի հավասար անկյունագծեր: Ավելի հստակ ձեւակերպենք.
Ուշադրություն դարձրեք՝ ուղղանկյուն դառնալու համար քառանկյունը նախ պետք է դառնա զուգահեռագիծ, ապա ներկայացնի անկյունագծերի հավասարությունը։
3. Ադամանդ
Եվ կրկին հարց է առաջանում՝ ռոմբը զուգահեռագի՞ր է, թե՞ ոչ։
Ամբողջական իրավունքով՝ զուգահեռագիծ, քանի որ ունի և (հիշեք մեր նշանը 2):
Եվ նորից, քանի որ ռոմբը զուգահեռագիծ է, ուրեմն այն պետք է ունենա զուգահեռագծի բոլոր հատկությունները։ Սա նշանակում է, որ ռոմբի հակառակ անկյունները հավասար են, հակառակ կողմերը զուգահեռ են, իսկ անկյունագծերը հատվում են հատման կետով:
Ռոմբի հատկությունները
Նայիր նկարին:
Ինչպես ուղղանկյունի դեպքում, այս հատկությունները տարբերվում են, այսինքն, այս հատկություններից յուրաքանչյուրի համար մենք կարող ենք եզրակացնել, որ մենք ունենք ոչ թե պարզապես զուգահեռագիծ, այլ ռոմբուս:
Ռոմբի նշաններ
Եվ կրկին ուշադրություն դարձրեք. պետք է լինի ոչ թե ուղղանկյուն անկյունագծերով քառանկյուն, այլ զուգահեռագիծ: Համոզվեք.
Ոչ, իհարկե ոչ, չնայած դրա անկյունագծերը և ուղղահայաց են, իսկ անկյունագիծը u անկյունների կիսորդն է: Բայց ... անկյունագծերը չեն բաժանվում, հատման կետը կիսով չափ, հետևաբար՝ ՈՉ զուգահեռագիծ, հետևաբար ՈՉ ռոմբ։
Այսինքն՝ քառակուսին ուղղանկյուն և ռոմբ է միաժամանակ։ Տեսնենք, թե ինչ է ստացվում սրանից:
Պարզ է, թե ինչու։ - ռոմբ - A անկյան կիսորդը, որը հավասար է. Այսպիսով, այն բաժանվում է (և նաև) երկայնքով երկու անկյունների:
Դե, միանգամայն պարզ է. ուղղանկյան անկյունագծերը հավասար են. ռոմբի անկյունագծերը ուղղահայաց են, իսկ ընդհանուր առմամբ, զուգահեռագծի անկյունագծերը բաժանվում են հատման կետով կիսով չափ:
ՄԻՋԻՆ ՄԱՐԴԱԿ
Քառանկյունների հատկությունները. Զուգահեռագիծ
Զուգահեռագծի հատկությունները
Ուշադրություն. Բառեր» զուգահեռագծի հատկությունները» նշանակում է, որ եթե խնդիր ունես Կազուգահեռագիծ, ապա կարող են օգտագործվել բոլոր հետևյալները.
Թեորեմ զուգահեռագծի հատկությունների մասին.
Ցանկացած զուգահեռագիծ.
Տեսնենք, թե ինչու է դա ճիշտ, այլ կերպ ասած ԿԱՊԱՑՈՒՑԵՆՔթեորեմա.
Այսպիսով, ինչու է 1) ճիշտ:
Քանի որ այն զուգահեռագիծ է, ուրեմն.
- ինչպես խաչաձև պառկելը
- ինչպես պառկած դիմաց.
Այսպիսով, (II հիմունքներով. և - ընդհանուր.)
Դե, մի անգամ, հետո - դա այն է: - ապացուցեց.
Բայց ի դեպ! Մենք նաև ապացուցեցինք 2)!
Ինչո՞ւ։ Բայց ի վերջո (նայեք նկարին), այսինքն, այն պատճառով, որ.
Մնացել է ընդամենը 3):
Դա անելու համար դուք դեռ պետք է նկարեք երկրորդ անկյունագիծը:
Եվ հիմա մենք տեսնում ենք, որ - ըստ II նշանի (անկյունը և «դրանց միջև» կողմը):
Հատկություններն ապացուցված! Անցնենք նշաններին.
Զուգահեռագծի առանձնահատկությունները
Հիշեցնենք, որ զուգահեռագծի նշանը պատասխանում է «ինչպե՞ս պարզել» հարցին, որ պատկերը զուգահեռագիծ է:
Սրբապատկերների մեջ սա այսպիսին է.
Ինչո՞ւ։ Լավ կլինի հասկանալ, թե ինչու՝ բավական է։ Բայց նայեք.
Դե, մենք պարզեցինք, թե ինչու է 1 նշանը ճիշտ:
Դե, դա նույնիսկ ավելի հեշտ է: Եկեք նորից գծենք անկյունագիծ:
Ինչը նշանակում է:
ԵՎնույնպես հեշտ է. Բայց… տարբեր!
Նշանակում է, . Վա՜յ։ Բայց նաև՝ ներքին միակողմանի մի հատվածում:
Հետևաբար այն փաստը, որ նշանակում է, որ.
Իսկ եթե մյուս կողմից նայեք, ապա դրանք ներքին միակողմանի են մի հատվածում: Եւ, հետեւաբար.
Տեսնու՞մ եք, թե որքան հիանալի է:
Եվ կրկին պարզապես.
Ճիշտ նույնը, և.
Ուշադրություն դարձնել:եթե գտել ես գոնեձեր խնդրի մեջ զուգահեռագծի մեկ նշան, ապա դուք ունեք ճիշտզուգահեռագիծ և կարող եք օգտագործել բոլորինզուգահեռագծի հատկությունները.
Ամբողջական պարզության համար նայեք դիագրամին.
Քառանկյունների հատկությունները. Ուղղանկյուն.
Ուղղանկյունի հատկություններ.
1-ին կետը միանգամայն ակնհայտ է, ի վերջո, 3 () նշանը պարզապես կատարվում է
Եվ կետ 2) - շատ կարեւոր. Այսպիսով, եկեք ապացուցենք դա
Այսպիսով, երկու ոտքերի վրա (և - ընդհանուր):
Դե, քանի որ եռանկյունները հավասար են, ուրեմն նրանց հիպոթենուսները նույնպես հավասար են։
Դա ապացուցեց!
Եվ պատկերացրեք, անկյունագծերի հավասարությունը ուղղանկյան տարբերակիչ հատկություն է բոլոր զուգահեռագծերի մեջ: Այսինքն՝ ճիշտ է հետևյալ պնդումը
Տեսնենք ինչու՞։
Այսպիսով, (նկատի ունի զուգահեռագծի անկյունները): Բայց ևս մեկ անգամ հիշեք, որ զուգահեռագիծ, և հետևաբար:
Նշանակում է, . Եվ, իհարկե, դրանից բխում է, որ նրանցից յուրաքանչյուրը Ի վերջո, այն չափով, որ նրանք պետք է տան:
Այստեղ մենք ապացուցել ենք, որ եթե զուգահեռագիծհանկարծ (!) կլինի հավասար անկյունագծեր, ապա սա ճիշտ ուղղանկյուն.
Բայց! Ուշադրություն դարձնել!սա մասին է զուգահեռագրություններ! Ոչ միհավասար անկյունագծերով քառանկյունը ուղղանկյուն է, և միայնզուգահեռագիծ!
Քառանկյունների հատկությունները. Ռոմբուս
Եվ կրկին հարց է առաջանում՝ ռոմբը զուգահեռագի՞ր է, թե՞ ոչ։
Ամբողջական իրավունքով՝ զուգահեռագիծ, քանի որ ունի և (Հիշեք մեր նշանը 2):
Եվ նորից, քանի որ ռոմբը զուգահեռագիծ է, այն պետք է ունենա զուգահեռագծի բոլոր հատկությունները: Սա նշանակում է, որ ռոմբի հակառակ անկյունները հավասար են, հակառակ կողմերը զուգահեռ են, իսկ անկյունագծերը հատվում են հատման կետով:
Բայց կան նաև հատուկ հատկություններ. Մենք ձևակերպում ենք.
Ռոմբի հատկությունները
Ինչո՞ւ։ Դե, քանի որ ռոմբը զուգահեռագիծ է, ուրեմն նրա անկյունագծերը կիսով չափ բաժանված են:
Ինչո՞ւ։ Այո՛, դրա համար։
Այսինքն՝ շեղանկյունները և ստացվել են ռոմբի անկյունների կիսադիրներ։
Ինչպես ուղղանկյունի դեպքում, այս հատկություններն են տարբերակիչ, նրանցից յուրաքանչյուրը նույնպես ռոմբի նշան է։
Ռոմբի նշաններ.
Ինչո՞ւ է այդպես։ Եվ նայեք
Հետևաբար, և երկուսն էլայս եռանկյունները հավասարաչափ են:
Ռոմբուս լինելու համար քառանկյունը նախ պետք է «դառնա» զուգահեռագիծ, այնուհետև արդեն ցուցադրի հատկանիշ 1 կամ հատկանիշ 2։
Քառանկյունների հատկությունները. Քառակուսի
Այսինքն՝ քառակուսին ուղղանկյուն և ռոմբ է միաժամանակ։ Տեսնենք, թե ինչ է ստացվում սրանից:
Պարզ է, թե ինչու։ Քառակուսի - ռոմբ - անկյան կիսորդը, որը հավասար է. Այսպիսով, այն բաժանվում է (և նաև) երկայնքով երկու անկյունների:
Դե, միանգամայն պարզ է. ուղղանկյան անկյունագծերը հավասար են. ռոմբի անկյունագծերը ուղղահայաց են, իսկ ընդհանուր առմամբ, զուգահեռագծի անկյունագծերը բաժանվում են հատման կետով կիսով չափ:
Ինչո՞ւ։ Դե, պարզապես կիրառեք Պյութագորասի թեորեմը:
ԱՄՓՈՓՈՒՄ ԵՎ ՀԻՄՆԱԿԱՆ ԲԱՆԱՁԵՎ
Զուգահեռագրի հատկությունները.
- Հակառակ կողմերը հավասար են՝ , .
- Հակառակ անկյուններն են՝ , .
- Մի կողմի անկյունները գումարվում են՝ , .
- Անկյունագծերը հատման կետով կիսվում են՝ .
Ուղղանկյունի հատկություններ.
- Ուղղանկյան անկյունագծերն են.
- Ուղղանկյունը զուգահեռագիծ է (զուգահեռագծի բոլոր հատկությունները կատարվում են ուղղանկյան համար):
Ռոմբի հատկությունները.
- Ռոմբի անկյունագծերը ուղղահայաց են՝ .
- Ռոմբի անկյունագծերը նրա անկյունների կիսորդներն են. ; ; .
- Ռոմբը զուգահեռագիծ է (զուգահեռագծի բոլոր հատկությունները կատարվում են ռոմբի համար):
Քառակուսի հատկություններ.
Քառակուսին միաժամանակ ռոմբ է և ուղղանկյուն, հետևաբար քառակուսու համար կատարվում են ուղղանկյան և ռոմբի բոլոր հատկությունները։ Եվ.
Առաջադրանք 1. Զուգահեռագծի անկյուններից մեկը 65° է։ Գտե՛ք զուգահեռագծի մնացած անկյունները:
∠C = ∠A = 65° որպես զուգահեռագծի հակառակ անկյուններ:
∠A + ∠B = 180° որպես զուգահեռագծի մի կողմին կից անկյուններ:
∠B = 180° - ∠A = 180° - 65° = 115°:
∠D = ∠B = 115° որպես զուգահեռագծի հակառակ անկյուններ:
Պատասխան՝ ∠A = ∠C = 65°; ∠B = ∠D = 115°:
Առաջադրանք 2.Զուգահեռագծի երկու անկյունների գումարը 220° է։ Գտե՛ք զուգահեռագծի անկյունները:
Քանի որ զուգահեռագիծն ունի 2 հավասար սուր անկյուն և 2 հավասար բութ անկյուն, մեզ տրվում է երկու բութ անկյունների գումարը, այսինքն. ∠B +∠D = 220°: Այնուհետեւ ∠В =∠D = 220° :
2 = 110 °:
∠A + ∠B = 180° որպես զուգահեռագծի մի կողմին կից անկյուններ, ուստի ∠A = 180° - ∠B = 180° - 110° = 70°: Այնուհետեւ ∠C =∠A = 70°:
Պատասխան՝ ∠A = ∠C = 70°; ∠B = ∠D = 110°:
Առաջադրանք 3.Զուգահեռագծի անկյուններից մեկը մյուսի 3 անգամ մեծ է։ Գտե՛ք զուգահեռագծի անկյունները:
Թող ∠A =x: Այնուհետև ∠B = 3x: Իմանալով, որ նրա կողմերից մեկին կից զուգահեռագծի անկյունների գումարը հավասար է 180 °, մենք կազմում ենք հավասարում:
x = 180 : 4;
Մենք ստանում ենք՝ ∠A \u003d x \u003d 45 °, և ∠ B \u003d 3x \u003d 3 ∙ 45 ° \u003d 135 °:
Զուգահեռագծի հակառակ անկյունները հավասար են, ուրեմն
∠A = ∠C = 45°; ∠B = ∠D = 135°:
Պատասխան՝ ∠A = ∠C = 45°; ∠B = ∠D = 135°:
Առաջադրանք 4.Ապացուցեք, որ եթե քառանկյան երկու կողմերը զուգահեռ են և հավասար, ապա այս քառանկյունը զուգահեռագիծ է:
Ապացույց.
Գծեք BD անկյունագիծը և հաշվի առեք Δ ADB և Δ CBD:
AD = BC պայմանով: BD կողմը տարածված է: ∠1 = ∠2 որպես ներքին խաչաձև ընկած զուգահեռ (ըստ ենթադրության) AD և BC գծերի և BD հատվածի տակ: Հետևաբար, Δ ADB = Δ CBD երկու կողմերի վրա և նրանց միջև եղած անկյունը (եռանկյունների հավասարության 1-ին չափանիշը): Համապատասխան եռանկյուններում համապատասխան անկյունները հավասար են, ուստի ∠3 = ∠4: Եվ այս անկյունները ներքուստ խաչաձև ընկած են AB և CD գծերի և BD հատվածի մոտ: Սա ենթադրում է AB և CD ուղիղների զուգահեռություն։ Այսպիսով, տրված ABCD քառանկյունում հակառակ կողմերը զույգ-զույգ զուգահեռ են, հետևաբար ABCD-ն ըստ սահմանման զուգահեռագիծ է, որը պետք է ապացուցվեր։
Առաջադրանք 5.Զուգահեռագծի երկու կողմերը կապված են որպես 2 : 5, իսկ պարագիծը 3,5 մ Գտե՛ք զուգահեռագծի կողմերը:
∙ (AB+AD).
Մեկ մասը նշանակենք x-ով։ ապա AB = 2x, AD = 5x մետր: Իմանալով, որ զուգահեռագծի պարագիծը 3,5 մ է, մենք գրում ենք հավասարումը.
2 ∙ (2x + 5x) = 3,5;
2 ∙ 7x=3,5;
x=3.5 : 14;
Մի մասը 0,25 մ է, ապա AB = 2 ∙ 0,25 = 0,5 մ; մ.թ.=5 ∙ 0,25 = 1,25 մ.
Փորձաքննություն.
Զուգահեռագծի պարագիծ P ABCD = 2 ∙ (AB+AD) = 2 ∙ (0,25 + 1,25) = 2 ∙ 1,75 = 3,5 (մ):
Քանի որ զուգահեռագծի հակառակ կողմերը հավասար են, ապա CD = AB = 0,25 մ; BC = AD = 1,25 մ.
Պատասխան՝ CD = AB = 0,25 մ; BC = AD = 1,25 մ.
Զուգահեռագիծը այն քառանկյունն է, որի հակառակ կողմերը զույգերով զուգահեռ են: Այս սահմանումն արդեն բավարար է, քանի որ զուգահեռագծի մնացած հատկությունները դրանից բխում են և ապացուցվում թեորեմների տեսքով։
Զուգահեռագծի հիմնական հատկություններն են.
- զուգահեռագիծը ուռուցիկ քառանկյուն է.
- զուգահեռագիծն ունի զույգերով հավասար հակառակ կողմեր.
- զուգահեռագիծն ունի հակառակ անկյուններ, որոնք զույգերով հավասար են.
- զուգահեռագծի անկյունագծերը հատվում են հատման կետով:
Զուգահեռագիծ - ուռուցիկ քառանկյուն
Եկեք նախ ապացուցենք այն թեորեմը, որ զուգահեռագիծը ուռուցիկ քառանկյուն է. Բազմանկյունը ուռուցիկ է, երբ նրա որ կողմն էլ ձգվի ուղիղ գծի վրա, բազմանկյունի բոլոր մյուս կողմերը կլինեն այս ուղիղ գծի նույն կողմում:
Թող տրվի ABCD զուգահեռագիծ, որում AB-ը CD-ի հակառակ կողմն է, իսկ BC-ն՝ AD-ի հակառակ կողմը: Այնուհետեւ զուգահեռագծի սահմանումից հետեւում է, որ AB || CD, մ.թ.ա. || ՀԱՅՏԱՐԱՐՈՒԹՅՈՒՆ.
Զուգահեռ հատվածները չունեն ընդհանուր կետեր, չեն հատվում։ Սա նշանակում է, որ CD-ն գտնվում է AB-ի մի կողմում: Քանի որ BC հատվածը կապում է AB հատվածի B կետը CD հատվածի C կետի հետ, իսկ AD հատվածը միացնում է այլ AB և CD կետեր, BC և AD հատվածները նույնպես գտնվում են AB գծի նույն կողմում, որտեղ գտնվում է CD: Այսպիսով, բոլոր երեք կողմերը՝ CD, BC, AD, ընկած են AB-ի նույն կողմում։
Նմանապես ապացուցված է, որ զուգահեռագծի մյուս կողմերի նկատմամբ մյուս երեք կողմերը գտնվում են նույն կողմում։
Հակառակ կողմերն ու անկյունները հավասար են
Զուգահեռագծի հատկություններից մեկն այն է զուգահեռագծի մեջ հակառակ կողմերն ու հակառակ անկյունները հավասար են. Օրինակ, եթե տրված է ABCD զուգահեռագիծ, ապա այն ունի AB = CD, AD = BC, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D: Այս թեորեմն ապացուցված է հետևյալ կերպ.
Զուգահեռագիծը քառանկյուն է: Այսպիսով, այն ունի երկու անկյունագիծ: Քանի որ զուգահեռագիծը ուռուցիկ քառանկյուն է, նրանցից որևէ մեկը այն բաժանում է երկու եռանկյունի: Դիտարկենք ABC և ADC եռանկյունները ABCD զուգահեռագծի մեջ, որը ստացվել է AC անկյունագիծը գծելով:
Այս եռանկյունները ունեն մեկ ընդհանուր կողմ՝ AC: BCA անկյունը հավասար է CAD անկյունին, ինչպես նաև BC և AD զուգահեռ ուղղահայացները: BAC և ACD անկյունները նույնպես հավասար են, ինչպես նաև ուղղահայաց անկյունները, երբ AB և CD զուգահեռ են: Հետևաբար, ∆ABC = ∆ADC երկու անկյան և նրանց միջև եղած կողմի վրա:
Այս եռանկյուններում AB կողմը համապատասխանում է CD կողմին, իսկ BC կողմը՝ AD: Հետևաբար, AB = CD և BC = AD:
B անկյունը համապատասխանում է D անկյունին, այսինքն՝ ∠B = ∠D: Զուգահեռագծի A անկյունը երկու անկյունների գումարն է՝ ∠BAC և ∠CAD: C հավասար անկյունը բաղկացած է ∠BCA և ∠ACD-ից: Քանի որ զույգ անկյունները հավասար են միմյանց, ապա ∠A = ∠C:
Այսպիսով, ապացուցված է, որ զուգահեռագծի մեջ հակառակ կողմերն ու անկյունները հավասար են։
Անկյունագծերը կիսով չափ կտրված են
Քանի որ զուգահեռագիծը ուռուցիկ քառանկյուն է, այն ունի երկու երկու անկյունագիծ, և դրանք հատվում են: Թող տրվի ABCD զուգահեռագիծը, որի անկյունագծերը AC և BD հատվում են E կետում: Դիտարկենք դրանցից կազմված ABE և CDE եռանկյունները:
Այս եռանկյունները ունեն AB և CD կողմեր, որոնք հավասար են զուգահեռագծի հակառակ կողմերին: ABE անկյունը հավասար է CDE անկյունին, քանի որ դրանք գտնվում են AB և CD զուգահեռ գծերի վրա: Նույն պատճառով, ∠BAE = ∠DCE: Այսպիսով, ∆ABE = ∆CDE երկու անկյան և նրանց միջև եղած կողմի վրա:
Կարող եք նաև նկատել, որ AEB և CED անկյունները ուղղահայաց են, հետևաբար նաև հավասար են միմյանց:
Քանի որ ABE և CDE եռանկյունները հավասար են միմյանց, ուստի և նրանց բոլոր համապատասխան տարրերը: Առաջին եռանկյան AE կողմը համապատասխանում է երկրորդի CE կողմին, ուստի AE = CE: Նմանապես, BE = DE: Հավասար հատվածների յուրաքանչյուր զույգ կազմում է զուգահեռագծի անկյունագիծը: Այսպիսով, ապացուցվում է, որ զուգահեռագծի անկյունագծերը հատվում են հատման կետով.
Զուգահեռագիծը այն քառանկյունն է, որի հակառակ կողմերը զուգահեռ են, այսինքն. պառկել զուգահեռ գծերի վրա
Զուգահեռագրի հատկությունները. 
Թեորեմ 22.
Զուգահեռագծի հակառակ կողմերը հավասար են:
Ապացույց. Գծե՛ք AC անկյունագիծ ABCD զուգահեռագծի վրա: ACD և ACB եռանկյունները հավասար են, քանի որ ունեն ընդհանուր կողմը AC և երկու զույգ հավասար անկյուններ: դրան կից՝ ∠ CAB=∠ ACD, ∠ ASV=∠ DAC (որպես AD և BC զուգահեռ ուղիղներով խաչաձև անկյուններ): Այսպիսով, AB=CD և BC=AD որպես հավասար եռանկյունների համապատասխան կողմեր և այլն։ Այս եռանկյունների հավասարությունը ենթադրում է նաև եռանկյունների համապատասխան անկյունների հավասարություն.
Թեորեմ 23.
Զուգահեռագծի հակառակ անկյուններն են՝ ∠ A=∠ C և ∠ B=∠ D:
Առաջին զույգի հավասարությունը գալիս է ABD և CBD եռանկյունների հավասարությունից, իսկ երկրորդը ՝ ABC և ACD:
Թեորեմ 24.
Զուգահեռագծի հարևան անկյունները, այսինքն. մի կողմին հարող անկյունները ավելացնում են մինչև 180 աստիճան:
Դա այդպես է, քանի որ դրանք ներքին միակողմանի անկյուններ են:
Թեորեմ 25.
Զուգահեռագծի անկյունագծերը հատվում են միմյանց հատման կետում:
Ապացույց. Դիտարկենք BOC և AOD եռանկյունները: Համաձայն առաջին հատկության՝ AD=BC ∠ ОАD=∠ OSV և ∠ ОDA=∠ ОВС, ինչպես AD և BC զուգահեռ ուղիղներով: Հետևաբար, BOC և AOD եռանկյունները հավասար են կողմերով և դրան կից անկյուններով: Այսպիսով, BO=OD և AO=OC, որպես հավասար եռանկյունների համապատասխան կողմեր և այլն։
Զուգահեռագծի առանձնահատկությունները
Թեորեմ 26.
Եթե քառանկյան հակառակ կողմերը զույգերով հավասար են, ապա այն զուգահեռագիծ է:
Ապացույց. Թող ABCD քառանկյունն ունենա AD և BC, AB և CD կողմեր, համապատասխանաբար, հավասար (նկ. 2): Եկեք գծենք AC անկյունագիծը: ABC և ACD եռանկյունը ունեն երեք հավասար կողմեր: Այնուհետև BAC և DCA անկյունները հավասար են և հետևաբար AB-ն զուգահեռ է CD-ին: BC և AD կողմերի զուգահեռությունը բխում է CAD և DIA անկյունների հավասարությունից։
Թեորեմ 27.
Եթե քառանկյան հակառակ անկյունները զույգերով հավասար են, ապա այն զուգահեռագիծ է։
Թող ∠ A=∠ C և ∠ B=∠ D: ∠ A+∠ B+∠ C+∠ D=360 o, ապա ∠ A+∠ B=180 o և AD և BC կողմերը զուգահեռ են (զուգահեռ ուղիղների հիման վրա): Մենք ապացուցում ենք նաև AB և CD կողմերի զուգահեռականությունը և եզրակացնում, որ ABCD-ն ըստ սահմանման զուգահեռագիծ է։
Թեորեմ 28.
Եթե քառանկյունի հարակից անկյունները, այսինքն. մի կողմին հարող անկյունները գումարում են մինչև 180 աստիճան, այնուհետև այն զուգահեռագիծ է:
Եթե ներքին միակողմանի անկյունները ավելանում են մինչև 180 աստիճան, ապա գծերը զուգահեռ են: Սա նշանակում է, որ AB-ն CD-ի զույգ է, իսկ BC-ն՝ AD-ի զույգ: Քառանկյունը պարզվում է, որ զուգահեռագիծ է:
Թեորեմ 29.
Եթե քառանկյունի անկյունագծերը հատման կետում կիսով չափ բաժանված են, ապա քառանկյունը զուգահեռագիծ է։
Ապացույց. Եթե AO=OC, BO=OD, ապա AOD և BOC եռանկյունները հավասար են, քանի որ O գագաթում ունեն հավասար անկյուններ (ուղղահայաց)՝ պարփակված հավասար կողմերի միջև: Եռանկյունների հավասարությունից եզրակացնում ենք, որ AD և BC հավասար են։ AB և CD կողմերը նույնպես հավասար են, իսկ քառանկյունը, ըստ թիվ 1 հատկանիշի, զուգահեռագիծ է ստացվում։
Թեորեմ 30.
Եթե քառանկյունն ունի զույգ հավասար, զուգահեռ կողմեր, ապա այն զուգահեռագիծ է։
Թող AB և CD կողմերը լինեն զուգահեռ և հավասար ABCD քառանկյունում: Գծե՛ք AC և BD անկյունագծերը: Այս ուղիղների զուգահեռությունից բխում է ABO=CDO և BAO=OCD խաչաձեւ անկյունների հավասարությունը։ ABO և CDO եռանկյունները հավասար են կողային և հարակից անկյուններով: Հետեւաբար, AO=OC, BO=OD, այսինքն. հատման կետի անկյունագծերը կիսով չափ բաժանվում են, և քառանկյունը ստացվում է զուգահեռագիծ՝ ըստ 4 հատկանիշի։
Երկրաչափության մեջ դիտարկվում են զուգահեռագծի հատուկ դեպքեր։
