Հավասարումների համակարգերի լուծում՝ առցանց գումարման միջոցով: Գծային հավասարումներ. Գծային հավասարումների համակարգերի լուծում. Ավելացման մեթոդ
Մեթոդ հանրահաշվական հավելում
Դուք կարող եք լուծել հավասարումների համակարգ երկու անհայտներով տարբեր ճանապարհներ- գրաֆիկական մեթոդ կամ փոփոխական փոխարինման մեթոդ:
Այս դասում մենք կծանոթանանք համակարգերի լուծման մեկ այլ եղանակի, որը ձեզ անշուշտ դուր կգա՝ սա հանրահաշվական գումարման մեթոդն է։
Իսկ որտեղի՞ց գաղափարը՝ համակարգերում ինչ-որ բան դնել։ Համակարգերը լուծելիս հիմնական խնդիրըերկու փոփոխականի առկայություն է, քանի որ մենք չենք կարող հավասարումներ լուծել երկու փոփոխականներով։ Այնպես որ, դրանցից մեկը պետք է բացառել ինչ-որ օրինական ճանապարհով։ Եվ այդպիսին օրինական միջոցներմաթեմատիկական կանոններ և հատկություններ են։
Այս հատկություններից մեկը հնչում է այսպես՝ հակադիր թվերի գումարը զրո է։ Սա նշանակում է, որ եթե փոփոխականներից մեկի համար կան հակառակ գործակիցներ, ապա դրանց գումարը հավասար կլինի զրոյի, և մենք կկարողանանք այս փոփոխականը բացառել հավասարումից։ Հասկանալի է, որ մենք իրավունք չունենք մեզ անհրաժեշտ փոփոխականով ավելացնել միայն տերմինները։ Անհրաժեշտ է գումարել հավասարումները որպես ամբողջություն, այսինքն. առանձին գումարել նման պայմաններձախ կողմում, ապա աջ կողմում: Արդյունքում մենք կստանանք միայն մեկ փոփոխական պարունակող նոր հավասարում։ Եկեք նայենք կոնկրետ օրինակներին:
Մենք տեսնում ենք, որ առաջին հավասարման մեջ կա y փոփոխական, իսկ երկրորդում հակառակ թիվ-y. Այսպիսով, այս հավասարումը կարող է լուծվել գումարման մեթոդով:
Հավասարումներից մեկը մնացել է այնպես, ինչպես կա: Ցանկացած մեկը, որը ձեզ ամենաշատն է դուր գալիս:
Բայց երկրորդ հավասարումը կստացվի այս երկու հավասարումները տերմին առ անդամ ավելացնելով։ Նրանք. 2x-ին ավելացրեք 3x, -y-ին ավելացրեք y, 7-ին ավելացրեք 8:
Մենք ստանում ենք հավասարումների համակարգ
Այս համակարգի երկրորդ հավասարումը պարզ հավասարում է մեկ փոփոխականով: Դրանից մենք գտնում ենք x \u003d 3: Փոխարինելով գտնված արժեքը առաջին հավասարման մեջ՝ գտնում ենք y \u003d -1:
Պատասխան՝ (3; - 1):
Դիզայնի նմուշ.
Լուծե՛ք հավասարումների համակարգը հանրահաշվական գումարումով
Այս համակարգում հակառակ գործակիցներով փոփոխականներ չկան: Բայց մենք գիտենք, որ հավասարման երկու կողմերը կարող են բազմապատկվել նույն թվով։ Համակարգի առաջին հավասարումը բազմապատկենք 2-ով։
Այնուհետև առաջին հավասարումը կունենա հետևյալ ձևը.
Այժմ մենք տեսնում ենք, որ x փոփոխականով կան հակառակ գործակիցներ։ Այսպիսով, մենք կանենք նույնը, ինչ առաջին օրինակում. հավասարումներից մեկը կթողնենք անփոփոխ: Օրինակ՝ 2y + 2x \u003d 10։ Եվ մենք ստանում ենք երկրորդը՝ ավելացնելով։
Այժմ մենք ունենք հավասարումների համակարգ.
Երկրորդ հավասարումից մենք հեշտությամբ գտնում ենք y = 1, իսկ հետո առաջին հավասարումից x = 4:
Դիզայնի նմուշ.
Ամփոփենք.
Մենք սովորել ենք լուծել երկուսի համակարգեր գծային հավասարումներերկու անհայտներով հանրահաշվական գումարման մեթոդով։ Այսպիսով, մենք այժմ գիտենք նման համակարգերի լուծման երեք հիմնական մեթոդ՝ գրաֆիկական մեթոդ, փոփոխական մեթոդի փոփոխություն և գումարման մեթոդ: Այս մեթոդներով կարելի է լուծել գրեթե ցանկացած համակարգ: Ավելի բարդ դեպքերում օգտագործվում է այս տեխնիկայի համակցությունը:
Օգտագործված գրականության ցանկ.
- Մորդկովիչ Ա.Գ., Հանրահաշիվ 7 դասարան 2 մասից, Մաս 1, Դասագիրք ուսումնական հաստատությունների համար / Ա.Գ. Մորդկովիչ. - 10-րդ հրատ., վերանայված - Մոսկվա, «Mnemosyne», 2007 թ.
- Մորդկովիչ Ա.Գ., Հանրահաշիվ 7 դասարան 2 մասից, Մաս 2, Առաջադրանք ուսումնական հաստատությունների համար / [A.G. Մորդկովիչ և ուրիշներ]; խմբագրել է Ա.Գ. Մորդկովիչ - 10-րդ հրատարակություն, վերանայված - Մոսկվա, Mnemosyne, 2007 թ.
- ՆՐԱ. Տուլչինսկայա, Հանրահաշիվ 7-րդ դասարան. Բլից հարցում. ուղեցույց ուսումնական հաստատությունների ուսանողների համար, 4-րդ հրատարակություն, վերանայված և լրացված, Մոսկվա, Մնեմոզինա, 2008 թ.
- Ալեքսանդրովա Լ.Ա., Հանրահաշիվ 7-րդ դասարան. Թեմատիկ ստուգման աշխատանքուսումնական հաստատությունների ուսանողների համար նոր ձևով, խմբագրվել է Ա.Գ. Մորդկովիչ, Մոսկվա, «Mnemosyne», 2011 թ.
- Ալեքսանդրովա Լ.Ա. Հանրահաշիվ 7-րդ դասարան. Անկախ աշխատանքուսումնական հաստատությունների ուսանողների համար, խմբագրությամբ Ա.Գ. Մորդկովիչ - 6-րդ հրատարակություն, կարծրատիպային, Մոսկվա, «Mnemosyne», 2010 թ.
Երկու անհայտներում գծային հավասարումների համակարգը երկու կամ ավելի գծային հավասարումներ է, որոնց համար անհրաժեշտ է գտնել բոլորը ընդհանուր լուծումներ. Դիտարկենք երկու գծային հավասարումների համակարգեր երկու անհայտներով: Ընդհանուր ձևերկու անհայտներով երկու գծային հավասարումների համակարգը ներկայացված է ստորև բերված նկարում.
(a1*x + b1*y = c1,
(a2*x + b2*y = c2
Այստեղ x և y-ն անհայտ փոփոխականներ են, a1, a2, b1, b2, c1, c2 որոշ իրական թվեր են: Երկու անհայտ ունեցող երկու գծային հավասարումների համակարգի լուծումը այնպիսի թվեր (x, y) է, որ եթե այդ թվերը փոխարինվեն համակարգի հավասարումներով, ապա համակարգի հավասարումներից յուրաքանչյուրը վերածվում է իրական հավասարության: Գծային հավասարումների համակարգը լուծելու մի քանի եղանակ կա. Դիտարկենք գծային հավասարումների համակարգի լուծման եղանակներից մեկը, այն է՝ գումարման մեթոդը:
Հավելման մեթոդով լուծելու ալգորիթմ
Գծային հավասարումների համակարգի լուծման ալգորիթմ երկու անհայտ գումարման եղանակներով:
1. Անհրաժեշտության դեպքում, համարժեք փոխակերպումների միջոցով հավասարեցրեք գործակիցները երկու հավասարումների անհայտ փոփոխականներից մեկի համար:
2. Ստացված հավասարումները գումարելով կամ հանելով՝ ստացվում է մեկ անհայտով գծային հավասարում
3. Ստացված հավասարումը լուծե՛ք մեկ անհայտով և գտե՛ք փոփոխականներից մեկը։
4. Ստացված արտահայտությունը փոխարինի՛ր համակարգի երկու հավասարումներից որևէ մեկով և լուծի՛ր այս հավասարումը, այդպիսով ստանալով երկրորդ փոփոխականը։
5. Ստուգեք լուծումը:
Լրացման մեթոդով լուծման օրինակ
Ավելի մեծ պարզության համար գումարման մեթոդով լուծում ենք երկու անհայտ գծային հավասարումների հետևյալ համակարգը.
(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;
Քանի որ փոփոխականներից և ոչ մեկը չունի նույն գործակիցները, մենք հավասարեցնում ենք y փոփոխականի գործակիցները: Դա անելու համար առաջին հավասարումը բազմապատկեք երեքով, իսկ երկրորդ հավասարումը երկուսով:
(3*x+2*y=10 |*3
(5*x + 3*y = 12 |*2
Ստացեք հետևյալ հավասարումների համակարգը.
(9*x+6*y = 30;
(10*x+6*y=24;
Այժմ հանեք առաջինը երկրորդ հավասարումից: Ներկայացնում ենք նման տերմիններ և լուծում ստացված գծային հավասարումը։
10 * x + 6 * y - (9 * x + 6 * y) = 24-30; x=-6;
Ստացված արժեքը փոխարինում ենք մեր առաջին հավասարման մեջ օրիգինալ համակարգև լուծիր ստացված հավասարումը:
(3*(-6) + 2*y =10;
(2*y=28; y=14;
Ստացվում է x=6 և y=14 թվերի զույգ։ Մենք ստուգում ենք։ Մենք կատարում ենք փոխարինում.
(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;
{3*(-6) + 2*(14) = 10;
{5*(-6) + 3*(14) = 12;
{10 = 10;
{12=12;
Ինչպես տեսնում եք, մենք ստացանք երկու իրական հավասարություն, հետևաբար, գտանք ճիշտ լուծումը։
Հավասարումների օգտագործումը լայն տարածում ունի մեր կյանքում: Դրանք օգտագործվում են բազմաթիվ հաշվարկների, կառույցների կառուցման և նույնիսկ սպորտի մեջ։ Հավասարումները օգտագործվել են մարդու կողմից հնագույն ժամանակներից և այդ ժամանակից ի վեր դրանց օգտագործումը միայն աճել է: Միայն ինքնուրույն լուծելով տարբեր բարդության հավասարումների համակարգեր, դուք կսովորեք, թե ինչպես արագ որոշել ցանկացած համակարգի լուծման մեթոդները: Երբեմն կարող է բավականին դժվար լինել համակարգը լուծելը քառակուսի հավասարումներ. Այնուամենայնիվ, այս հավասարումների լուծման համար ամենատարածված մեթոդը փոխարինման/ավելացման մեթոդն է:
Ենթադրենք, մեզ տրված է հավասարումների հետևյալ համակարգը.
\[\ձախ\(\սկիզբ(մատրիցան) x^2-xy = 3, \\ y^2-xy = -2 \վերջ (մատրիցան)\աջ:\]
Ավելացնենք համակարգի հավասարումները.
\[\ձախ\(\սկիզբ (մատրիցան) x^2 - xy = 3, \\ x^2 - 2xy + y = 1. \վերջ (մատրիցան)\աջ:\]
Եկեք լուծենք արդյունքում ստացված համակարգը.
\[\ձախ\(\սկիզբ (մատրիցան) x(x - y) = 3, \\ (x - y)^2= 1; \վերջ (մատրիցան)\աջ:\]
\[(x - y) = -1 \] կամ \[(x - y) = 1\] - մենք ստանում ենք 2 հավասարումներից
Փոխարինեք 1 հավասարման մեջ 1 կամ -1:
\ կամ \
Քանի որ մենք հիմա գիտենք մեկ անհայտի արժեքը, կարող ենք գտնել 2-րդը.
\[-3 - y= -1\] կամ \
\ կամ \
Պատասխան՝ \[(-3; -2); (3; 4)\]
Եթե Ձեզ անհրաժեշտ է լուծել 2 աստիճանի և 1 գծային համակարգ, ապա գծայինից կարող եք արտահայտել փոփոխականներից 1-ը և փոխարինել տրված հավասարումըմի քառակուսու մեջ:
Որտե՞ղ կարող եմ լուծել քառակուսի հավասարումների համակարգը առցանց հաշվիչով:
Դուք կարող եք լուծել հավասարումների համակարգը առցանց մեր կայքում https: // կայքում: Անվճար առցանց լուծիչը թույլ կտա վայրկյանների ընթացքում լուծել ցանկացած բարդության առցանց հավասարում: Ձեզ մնում է պարզապես մուտքագրել ձեր տվյալները լուծիչի մեջ: Կարող եք նաև դիտել տեսանյութի հրահանգը և սովորել, թե ինչպես լուծել հավասարումը մեր կայքում: Եվ եթե ունեք հարցեր, կարող եք դրանք ուղղել մեր Vkontakte խմբում http://vk.com/pocketteacher: Միացե՛ք մեր խմբին, մենք միշտ ուրախ ենք օգնել ձեզ:
Օգտագործելով գումարման մեթոդը, համակարգի հավասարումները գումարվում են անդամ առ անդամ, մինչդեռ 1 կամ երկու (մի քանի) հավասարումներ կարելի է բազմապատկել ցանկացած թվով: Արդյունքում, նրանք գալիս են համարժեք SLE-ի, որտեղ հավասարումներից մեկն ունի միայն մեկ փոփոխական:
Համակարգը լուծելու համար ժամկետ առ ժամկետ գումարում (հանում)հետևեք հետևյալ քայլերին.
1. Ընտրում ենք փոփոխական, որի համար կկազմվեն նույն գործակիցները։
2. Այժմ պետք է գումարել կամ հանել հավասարումները և ստանալ մեկ փոփոխականով հավասարում:
Համակարգային լուծումֆունկցիայի գրաֆիկների հատման կետերն են։
Եկեք նայենք օրինակներին:
Օրինակ 1
Տրված համակարգ.
Այս համակարգը վերլուծելուց հետո կարող եք տեսնել, որ փոփոխականի գործակիցները բացարձակ արժեքով հավասար են և տարբեր (-1 և 1) նշաններով։ Այս դեպքում հավասարումները կարելի է հեշտությամբ ավելացնել տերմին առ տերմին.
Այն գործողությունները, որոնք շրջագծված են կարմիրով, կատարվում են մտքում։
Ժամկետային գումարման արդյունքը փոփոխականի անհետացումն էր y. Հենց այս և Սա, ըստ էության, մեթոդի իմաստն է՝ ազատվել փոփոխականներից առաջինից։
-4 - y + 5 = 0 → y = 1,
Որպես համակարգ, լուծումն ունի հետևյալ տեսքը.
Պատասխան. x = -4 , y = 1.
Օրինակ 2
Տրված համակարգ.
Այս օրինակում կարող եք օգտագործել «դպրոցական» մեթոդը, բայց այն ունի բավականին մեծ մինուս՝ երբ ցանկացած հավասարումից որևէ փոփոխական եք արտահայտում, լուծում կստանաք սովորական կոտորակներով։ Իսկ կոտորակները լուծելը բավական ժամանակ է պահանջում, և սխալվելու հավանականությունը մեծանում է։
Ուստի ավելի լավ է օգտագործել հավասարումների տերմին առ անդամ գումարում (հանում): Վերլուծենք համապատասխան փոփոխականների գործակիցները.
Գտեք մի թիվ, որը կարելի է բաժանել 3 և շարունակ 4 , մինչդեռ անհրաժեշտ է, որ այդ թիվը հնարավորինս փոքր լինի։ Սա նվազագույն ընդհանուր բազմապատիկ. Եթե ձեզ համար դժվար է գտնել ճիշտ թիվը, ապա կարող եք բազմապատկել գործակիցները.
Հաջորդ քայլը:
1-ին հավասարումը բազմապատկեք,
3-րդ հավասարումը բազմապատկեք,
Մենք կվերլուծենք երկու տեսակի հավասարումների լուծման համակարգեր.
1. Համակարգի լուծումը փոխարինման մեթոդով.
2. Համակարգի լուծումը համակարգի հավասարումների գումարումով (հանումով):
Հավասարումների համակարգը լուծելու համար փոխարինման մեթոդդուք պետք է հետևեք մի պարզ ալգորիթմի.
1. Արտահայտում ենք. Ցանկացած հավասարումից մենք արտահայտում ենք մեկ փոփոխական։
2. Փոխարինող. Արտահայտված փոփոխականի փոխարեն մեկ այլ հավասարման մեջ փոխարինում ենք ստացված արժեքը։
3. Ստացված հավասարումը լուծում ենք մեկ փոփոխականով։ Մենք համակարգին լուծում ենք գտնում.
Լուծել համակարգ ըստ ժամկետային գումարման (հանման)անհրաժեշտ է.
1. Ընտրեք փոփոխական, որի համար մենք կկազմենք նույն գործակիցները։
2. Հավասարումները գումարում կամ հանում ենք, արդյունքում ստանում ենք մեկ փոփոխականով հավասարում։
3. Մենք լուծում ենք ստացված գծային հավասարումը. Մենք համակարգին լուծում ենք գտնում.
Համակարգի լուծումը ֆունկցիայի գրաֆիկների հատման կետերն են։
Եկեք մանրամասն քննարկենք համակարգերի լուծումը օրինակներով:
Օրինակ #1:
Եկեք լուծենք փոխարինման մեթոդով
Հավասարումների համակարգի լուծումը փոխարինման մեթոդով2x+5y=1 (1 հավասարում)
x-10y=3 (2-րդ հավասարում)
1. Էքսպրես
Երևում է, որ երկրորդ հավասարման մեջ կա x փոփոխական 1 գործակցով, հետևաբար պարզվում է, որ ամենահեշտն է արտահայտել x փոփոխականը երկրորդ հավասարումից։
x=3+10y
2. Արտահայտելուց հետո առաջին հավասարման մեջ x փոփոխականի փոխարեն փոխարինում ենք 3 + 10y:
2(3+10y)+5y=1
3. Ստացված հավասարումը լուծում ենք մեկ փոփոխականով։
2(3+10y)+5y=1 (բաց փակագծեր)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5։25
y=-0.2
Հավասարումների համակարգի լուծումը գրաֆիկների հատման կետերն են, հետևաբար պետք է գտնել x և y, քանի որ հատման կետը բաղկացած է x-ից և y-ից: Գտնենք x-ը, առաջին պարբերությունում, որտեղ արտահայտել ենք, այնտեղ փոխարինում ենք y-ը:
x=3+10y
x=3+10*(-0.2)=1
Ընդունված է առաջին տեղում գրել կետեր, գրում ենք x փոփոխականը, իսկ երկրորդում՝ y փոփոխականը։
Պատասխան՝ (1; -0.2)
Օրինակ #2:
Եկեք լուծենք անդամ առ անդամ գումարումով (հանումով).
Հավասարումների համակարգի լուծում գումարման մեթոդով3x-2y=1 (1 հավասարում)
2x-3y=-10 (2-րդ հավասարում)
1. Ընտրեք փոփոխական, ասենք ընտրում ենք x: Առաջին հավասարման մեջ x փոփոխականն ունի 3 գործակից, երկրորդում՝ 2։ Մենք պետք է գործակիցները դարձնենք նույնը, դրա համար մենք իրավունք ունենք բազմապատկել հավասարումները կամ բաժանել ցանկացած թվի։ Առաջին հավասարումը բազմապատկում ենք 2-ով, իսկ երկրորդը՝ 3-ով և ստանում ենք 6 ընդհանուր գործակից։
3x-2y=1 |*2
6x-4y=2
2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30
2. Առաջին հավասարումից հանե՛ք երկրորդը, որպեսզի ձերբազատվեք x փոփոխականից։Լուծե՛ք գծային հավասարումը։
__6x-4y=2
5y=32 | :5
y=6.4
3. Գտիր x. Գտնված y-ը փոխարինում ենք ցանկացած հավասարման մեջ, ասենք առաջին հավասարման մեջ։
3x-2y=1
3x-2*6.4=1
3x-12.8=1
3x=1+12,8
3x=13.8 |:3
x=4.6
հատման կետը կլինի x=4,6; y=6.4
Պատասխան՝ (4.6; 6.4)
Ցանկանու՞մ եք անվճար պատրաստվել քննություններին: Ուսուցիչ առցանց անվճար. Առանց կատակի.
