Հավասարումների համակարգերի լուծում առցանց գումարումով: Գծային հավասարումներ. Գծային հավասարումների համակարգերի լուծում. Ավելացման մեթոդ
Մեթոդ հանրահաշվական հավելում
Դուք կարող եք լուծել հավասարումների համակարգ երկու անհայտներով տարբեր ճանապարհներ- գրաֆիկական մեթոդ կամ փոփոխական փոխարինման մեթոդ:
Այս դասում մենք կծանոթանանք համակարգերի լուծման մեկ այլ մեթոդի, որը հավանաբար ձեզ դուր կգա՝ սա հանրահաշվական գումարման մեթոդն է։
Որտեղի՞ց է ծագել համակարգերում ինչ-որ բան դնելու գաղափարը: Համակարգերը լուծելիս հիմնական խնդիրըերկու փոփոխականի առկայությունն է, քանի որ մենք չգիտենք, թե ինչպես լուծել հավասարումներ երկու փոփոխականներով: Սա նշանակում է, որ դրանցից մեկը պետք է բացառվի ինչ-որ օրինական ճանապարհով։ Եվ այսպես օրինական միջոցներովմաթեմատիկական կանոններ և հատկություններ են։
Այդ հատկություններից մեկն է՝ հակադիր թվերի գումարը զրո է։ Սա նշանակում է, որ եթե փոփոխականներից մեկն ունի հակադիր գործակիցներ, ապա դրանց գումարը հավասար կլինի զրոյի, և մենք կկարողանանք այս փոփոխականը բացառել հավասարումից։ Հասկանալի է, որ մենք իրավունք չունենք մեզ անհրաժեշտ փոփոխականով միայն տերմիններ ավելացնել։ Դուք պետք է ավելացնեք ամբողջ հավասարումները, այսինքն. առանձին ծալված նմանատիպ տերմիններձախ կողմում, ապա աջ կողմում: Արդյունքում մենք ստանում ենք նոր հավասարում, որը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական։ Տեսնենք, թե ինչ է ասվել կոնկրետ օրինակներով։
Մենք տեսնում ենք, որ առաջին հավասարման մեջ կա y փոփոխական, իսկ երկրորդում հակառակ թիվ-y. Սա նշանակում է, որ այս հավասարումը կարելի է լուծել գումարման միջոցով։
Հավասարումներից մեկը մնացել է այնպես, ինչպես կա: Ցանկացած մեկը, ում ձեզ ամենաշատը դուր է գալիս:
Բայց երկրորդ հավասարումը կստացվի այս երկու հավասարումները տերմին առ անդամ ավելացնելով։ Նրանք. 2x-ով ավելացնում ենք 3x, -y-ով ավելացնում ենք y, 7-ով ավելացնում ենք 8:
Մենք ստանում ենք հավասարումների համակարգ
Այս համակարգի երկրորդ հավասարումը պարզ հավասարում է մեկ փոփոխականով: Դրանից մենք գտնում ենք x = 3: Գտնված արժեքը փոխարինելով առաջին հավասարման մեջ՝ գտնում ենք y = -1:
Պատասխան՝ (3; - 1):
Նմուշի ձևավորում.
Հանրահաշվական գումարման մեթոդով լուծել հավասարումների համակարգ
Այս համակարգում հակառակ գործակիցներով փոփոխականներ չկան: Բայց մենք գիտենք, որ հավասարման երկու կողմերը կարող են բազմապատկվել նույն թվով։ Համակարգի առաջին հավասարումը բազմապատկենք 2-ով։
Այնուհետև առաջին հավասարումը կունենա հետևյալ ձևը.
Այժմ մենք տեսնում ենք, որ x փոփոխականն ունի հակառակ գործակիցներ։ Սա նշանակում է, որ մենք կանենք նույնը, ինչ առաջին օրինակում. հավասարումներից մեկը կթողնենք անփոփոխ։ Օրինակ, 2y + 2x = 10. Եվ մենք ստանում ենք երկրորդը գումարումով:
Այժմ մենք ունենք հավասարումների համակարգ.
Երկրորդ հավասարումից մենք հեշտությամբ գտնում ենք y = 1, իսկ հետո առաջին հավասարումից x = 4:
Նմուշի ձևավորում.
Ամփոփենք.
Սովորեցինք լուծել երկուսի համակարգեր գծային հավասարումներերկու անհայտներով՝ օգտագործելով հանրահաշվական գումարման մեթոդը։ Այսպիսով, մենք այժմ գիտենք նման համակարգերի լուծման երեք հիմնական մեթոդ՝ գրաֆիկական, փոփոխական փոխարինման մեթոդ և ավելացման մեթոդ: Այս մեթոդներով կարելի է լուծել գրեթե ցանկացած համակարգ: Ավելի բարդ դեպքերում օգտագործվում է այս տեխնիկայի համակցությունը:
Օգտագործված գրականության ցանկ.
- Մորդկովիչ Ա.Գ., Հանրահաշիվ 7-րդ դասարան 2 մասից, Մաս 1, Դասագիրք հանրակրթական հաստատությունների համար / Ա.Գ. Մորդկովիչ. – 10-րդ հրատ., վերանայված – Մոսկվա, «Mnemosyne», 2007 թ.
- Մորդկովիչ Ա.Գ., Հանրահաշիվ 7-րդ դասարան 2 մասից, Մաս 2, Խնդիրների գիրք ուսումնական հաստատությունների համար / [Ա.Գ. Մորդկովիչ և ուրիշներ]; խմբագրել է Ա.Գ. Մորդկովիչ - 10-րդ հրատարակություն, վերանայված - Մոսկվա, «Mnemosyne», 2007 թ.
- ՆՐԱ։ Տուլչինսկայա, Հանրահաշիվ 7-րդ դասարան. Բլից հարցում. ձեռնարկ հանրակրթական հաստատությունների ուսանողների համար, 4-րդ հրատարակություն, վերանայված և ընդլայնված, Մոսկվա, Mnemosyne, 2008 թ.
- Ալեքսանդրովա Լ.Ա., Հանրահաշիվ 7-րդ դասարան. Թեմատիկ փորձարկման աշխատանքնոր ձևով հանրակրթական հաստատությունների ուսանողների համար, խմբագրվել է Ա.Գ. Մորդկովիչ, Մոսկվա, «Mnemosyne», 2011 թ.
- Ալեքսանդրովա Լ.Ա. Հանրահաշիվ 7-րդ դասարան. Անկախ աշխատանքհանրակրթական հաստատությունների ուսանողների համար, խմբագրությամբ Ա.Գ. Մորդկովիչ - 6-րդ հրատարակություն, կարծրատիպային, Մոսկվա, «Mnemosyne», 2010 թ.
Երկու անհայտ գծային հավասարումների համակարգը երկու կամ ավելի գծային հավասարումներ է, որոնց համար անհրաժեշտ է գտնել բոլորը. ընդհանուր լուծումներ. Մենք կդիտարկենք երկու գծային հավասարումների համակարգեր երկու անհայտներում: Ընդհանուր ձևերկու անհայտներով երկու գծային հավասարումների համակարգը ներկայացված է ստորև բերված նկարում.
(a1*x + b1*y = c1,
(a2*x + b2*y = c2
Այստեղ x և y-ն անհայտ փոփոխականներ են, a1, a2, b1, b2, c1, c2 որոշ իրական թվեր են: Երկու անհայտների մեջ երկու գծային հավասարումների համակարգի լուծումը զույգ թվեր է (x,y), որ եթե այս թվերը փոխարինենք համակարգի հավասարումներով, ապա համակարգի հավասարումներից յուրաքանչյուրը վերածվում է իրական հավասարության: Գծային հավասարումների համակարգը լուծելու մի քանի եղանակ կա. Դիտարկենք գծային հավասարումների համակարգի լուծման եղանակներից մեկը, այն է՝ գումարման մեթոդը։
Հավելման մեթոդով լուծելու ալգորիթմ
Երկու անհայտներով գծային հավասարումների համակարգի լուծման ալգորիթմ՝ օգտագործելով գումարման մեթոդը:
1. Անհրաժեշտության դեպքում՝ ըստ համարժեք փոխակերպումներհավասարեցնել անհայտ փոփոխականներից մեկի գործակիցները երկու հավասարումներում.
2. Ստացված հավասարումները գումարելով կամ հանելով ստացե՛ք գծային հավասարում մեկ անհայտով
3. Ստացված հավասարումը լուծե՛ք մեկ անհայտով և գտե՛ք փոփոխականներից մեկը։
4. Ստացված արտահայտությունը փոխարինի՛ր համակարգի երկու հավասարումներից որևէ մեկով և լուծի՛ր այս հավասարումը, այդպիսով ստանալով երկրորդ փոփոխականը։
5. Ստուգեք լուծումը:
Լրացման մեթոդի օգտագործմամբ լուծույթի օրինակ
Ավելի պարզության համար եկեք լուծենք գծային հավասարումների հետևյալ համակարգը երկու անհայտներով՝ օգտագործելով գումարման մեթոդը.
(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;
Քանի որ փոփոխականներից ոչ մեկը չունի նույնական գործակիցներ, մենք հավասարեցնում ենք y փոփոխականի գործակիցները: Դա անելու համար առաջին հավասարումը բազմապատկեք երեքով, իսկ երկրորդ հավասարումը երկուսով:
(3*x+2*y=10 |*3
(5*x + 3*y = 12 |*2
Մենք ստանում ենք հետևյալ հավասարումների համակարգը.
(9*x+6*y = 30;
(10*x+6*y=24;
Այժմ մենք առաջինը հանում ենք երկրորդ հավասարումից։ Ներկայացնում ենք նմանատիպ տերմիններ և լուծում ստացված գծային հավասարումը։
10 * x + 6 * y - (9 * x + 6 * y) = 24-30; x=-6;
Ստացված արժեքը փոխարինում ենք մեր առաջին հավասարման մեջ օրիգինալ համակարգև լուծիր ստացված հավասարումը:
(3*(-6) + 2*y =10;
(2*y=28; y =14;
Ստացվում է x=6 և y=14 թվերի զույգ։ Մենք ստուգում ենք։ Եկեք փոխարինում կատարենք.
(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;
{3*(-6) + 2*(14) = 10;
{5*(-6) + 3*(14) = 12;
{10 = 10;
{12=12;
Ինչպես տեսնում եք, մենք ստացել ենք երկու ճիշտ հավասարություն, հետևաբար՝ գտել ենք ճիշտ լուծումը։
Հավասարումների օգտագործումը լայն տարածում ունի մեր կյանքում: Դրանք օգտագործվում են բազմաթիվ հաշվարկների, կառույցների կառուցման և նույնիսկ սպորտի մեջ։ Մարդը հին ժամանակներում օգտագործում էր հավասարումներ, և այդ ժամանակից ի վեր դրանց օգտագործումը միայն աճել է: Միայն ինքնուրույն լուծելով տարբեր բարդության հավասարումների համակարգեր, դուք կսովորեք արագ որոշել ցանկացած համակարգի լուծման մեթոդներ: Երբեմն կարող է բավականին դժվար լինել համակարգը լուծելը քառակուսի հավասարումներ. Այնուամենայնիվ, այս հավասարումների լուծման համար ամենատարածված մեթոդը փոխարինման/ավելացման մեթոդն է:
Ենթադրենք, մեզ տրված է հավասարումների հետևյալ համակարգը.
\[\ձախ\(\սկիզբ(մատրիցան) x^2-xy = 3, \\ y^2-xy = -2 \վերջ (մատրիցան)\աջ:\]
Ավելացնենք համակարգի հավասարումները.
\[\ձախ\(\սկիզբ (մատրիցան) x^2 - xy = 3, \\ x^2 - 2xy + y = 1. \վերջ (մատրիցան)\աջ:\]
Եկեք լուծենք արդյունքում ստացված համակարգը.
\[\ձախ\(\սկիզբ (մատրիցան) x(x -y) = 3, \\ (x - y)^2= 1; \վերջ (մատրիցան)\աջ:\]
\[(x - y) = -1 \] կամ \[(x - y) = 1\] - մենք ստանում ենք 2-րդ հավասարումից
1 կամ -1-ը փոխարինենք 1-ով.
\ կամ \
Քանի որ մենք հիմա գիտենք մեկ անհայտի արժեքը, կարող ենք գտնել երկրորդը.
\[-3 - y= -1\] կամ \
\ կամ \
Պատասխան՝ \[(-3; -2); (3; 4)\]
Եթե Ձեզ անհրաժեշտ է լուծել 2 աստիճան և 1 գծային համակարգ, ապա կարող եք փոփոխականներից 1-ը արտահայտել գծայինից և փոխարինել այս հավասարումը քառակուսիով:
Որտե՞ղ կարող եմ լուծել քառակուսի հավասարումների համակարգ առցանց հաշվիչով:
Դուք կարող եք լուծել հավասարումների համակարգը առցանց մեր կայքում https://site. Անվճար առցանց լուծիչը թույլ կտա հաշված վայրկյանների ընթացքում լուծել ցանկացած բարդության առցանց հավասարումներ։ Ձեզ անհրաժեշտ է պարզապես մուտքագրել ձեր տվյալները լուծիչի մեջ: Կարող եք նաև դիտել վիդեո հրահանգներ և սովորել, թե ինչպես լուծել հավասարումը մեր կայքում: Եվ եթե դեռ հարցեր ունեք, կարող եք դրանք ուղղել մեր VKontakte խմբում http://vk.com/pocketteacher: Միացե՛ք մեր խմբին, մենք միշտ ուրախ ենք օգնել ձեզ:
Օգտագործելով գումարման մեթոդը, համակարգի հավասարումները գումարվում են անդամ առ անդամ, և 1 կամ երկու (մի քանի) հավասարումներ կարելի է բազմապատկել ցանկացած թվով: Արդյունքում նրանք գալիս են համարժեք SLE-ի, որտեղ հավասարումներից մեկում կա միայն մեկ փոփոխական։
Համակարգը լուծելու համար ժամկետով գումարման (հանման) մեթոդհետևեք այս քայլերին.
1. Ընտրեք փոփոխական, որի համար կկազմվեն նույն գործակիցները:
2. Այժմ պետք է գումարել կամ հանել հավասարումները և ստանալ մեկ փոփոխականով հավասարում:
Համակարգային լուծում- սրանք ֆունկցիայի գրաֆիկների հատման կետերն են:
Եկեք նայենք օրինակներին:
Օրինակ 1.
Տրված համակարգ.
Վերլուծելով այս համակարգը՝ կարող եք նկատել, որ փոփոխականի գործակիցները մեծությամբ հավասար են և տարբեր են (-1 և 1): Այս դեպքում հավասարումները կարելի է հեշտությամբ ավելացնել տերմին առ տերմին.
Մենք մեր մտքում կատարում ենք կարմիր գույնով շրջանակված գործողությունները:
Եզրակացական գումարման արդյունքը փոփոխականի անհետացումն էր y. Սա հենց մեթոդի իմաստն է՝ ազատվել փոփոխականներից մեկից։
-4 - y + 5 = 0 → y = 1,
Համակարգի տեսքով լուծումը նման է հետևյալին.
Պատասխան. x = -4 , y = 1.
Օրինակ 2.
Տրված համակարգ.
Այս օրինակում կարող եք օգտագործել «դպրոցական» մեթոդը, բայց այն ունի բավականին մեծ թերություն՝ երբ ցանկացած հավասարումից որևէ փոփոխական եք արտահայտում, լուծում կստանաք սովորական կոտորակներով։ Բայց կոտորակները լուծելը շատ ժամանակ է պահանջում, և սխալվելու հավանականությունը մեծանում է։
Ուստի ավելի լավ է օգտագործել հավասարումների տերմին առ անդամ գումարում (հանում): Վերլուծենք համապատասխան փոփոխականների գործակիցները.
Պետք է գտնել մի թիվ, որը կարելի է բաժանել 3 և շարունակ 4 , և անհրաժեշտ է, որ այդ թիվը լինի հնարավորինս նվազագույնը։ Սա նվազագույն ընդհանուր բազմապատիկ. Եթե ձեզ համար դժվար է գտնել ճիշտ թիվը, կարող եք բազմապատկել գործակիցները.
Հաջորդ քայլը:
Մենք 1-ին հավասարումը բազմապատկում ենք.
Մենք 3-րդ հավասարումը բազմապատկում ենք.
Եկեք վերլուծենք հավասարումների համակարգերի լուծումների երկու տեսակ.
1. Համակարգի լուծում փոխարինման մեթոդով.
2. Համակարգի լուծումը համակարգի հավասարումների գումարումով (հանումով):
Հավասարումների համակարգը լուծելու համար փոխարինման մեթոդովդուք պետք է հետևեք մի պարզ ալգորիթմի.
1. Էքսպրես. Ցանկացած հավասարումից մենք արտահայտում ենք մեկ փոփոխական։
2. Փոխարինող. Արտահայտված փոփոխականի փոխարեն ստացված արժեքը փոխարինում ենք մեկ այլ հավասարմամբ։
3. Ստացված հավասարումը լուծե՛ք մեկ փոփոխականով։ Մենք համակարգին լուծում ենք գտնում.
Լուծել համակարգը՝ ժամկետային գումարման (հանման) մեթոդովանհրաժեշտ է.
1. Ընտրեք փոփոխական, որի համար մենք կկազմենք նույնական գործակիցներ։
2. Մենք գումարում կամ հանում ենք հավասարումներ, արդյունքում ստացվում է մեկ փոփոխականով հավասարում:
3. Լուծե՛ք ստացված գծային հավասարումը։ Մենք համակարգին լուծում ենք գտնում.
Համակարգի լուծումը ֆունկցիայի գրաֆիկների հատման կետերն են:
Եկեք մանրամասն քննարկենք համակարգերի լուծումը օրինակներով:
Օրինակ #1:
Եկեք լուծենք փոխարինման մեթոդով
Փոխարինման մեթոդով հավասարումների համակարգի լուծում2x+5y=1 (1 հավասարում)
x-10y=3 (2-րդ հավասարում)
1. Էքսպրես
Երևում է, որ երկրորդ հավասարման մեջ կա x փոփոխական՝ 1 գործակցով, ինչը նշանակում է, որ ամենահեշտն է արտահայտել x փոփոխականը երկրորդ հավասարումից։
x=3+10y
2. Այն արտահայտելուց հետո առաջին հավասարման մեջ փոխարինում ենք 3+10y՝ x փոփոխականի փոխարեն:
2(3+10y)+5y=1
3. Ստացված հավասարումը լուծի՛ր մեկ փոփոխականով։
2(3+10y)+5y=1 (բացեք փակագծերը)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5։25
y=-0.2
Հավասարումների համակարգի լուծումը գրաֆիկների հատման կետերն են, հետևաբար պետք է գտնել x և y, քանի որ հատման կետը բաղկացած է x-ից և y-ից:
x=3+10y
x=3+10*(-0.2)=1
Ընդունված է միավորներ գրել առաջին տեղում գրում ենք x փոփոխականը, իսկ երկրորդում՝ y փոփոխականը։
Պատասխան՝ (1; -0.2)
Օրինակ #2:
Եկեք լուծենք՝ օգտագործելով ժամկետ առ անդամ գումարման (հանման) մեթոդը։
Հավասարումների համակարգի լուծում՝ օգտագործելով գումարման մեթոդը3x-2y=1 (1 հավասարում)
2x-3y=-10 (2-րդ հավասարում)
1. Մենք ընտրում ենք փոփոխական, ասենք՝ ընտրում ենք x: Առաջին հավասարման մեջ x փոփոխականն ունի 3 գործակից, երկրորդում՝ 2։ Պետք է գործակիցները դարձնենք նույնը, դրա համար մենք իրավունք ունենք բազմապատկել հավասարումները կամ բաժանել ցանկացած թվի։ Առաջին հավասարումը բազմապատկում ենք 2-ով, իսկ երկրորդը 3-ով և ստանում ենք 6 ընդհանուր գործակից։
3x-2y=1 |*2
6x-4y=2
2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30
2. Առաջին հավասարումից հանեք երկրորդը, որպեսզի ձերբազատվեք x փոփոխականից:
__6x-4y=2
5y=32 | :5
y=6.4
3. Գտիր x. Գտնված y-ը փոխարինում ենք ցանկացած հավասարման մեջ, ասենք առաջին հավասարման մեջ:
3x-2y=1
3x-2*6.4=1
3x-12.8=1
3x=1+12.8
3x=13.8 |:3
x=4.6
Խաչմերուկը կլինի x=4,6; y=6.4
Պատասխան՝ (4.6; 6.4)
Ցանկանու՞մ եք անվճար պատրաստվել քննություններին: Ուսուցիչ առցանց անվճար. Առանց կատակի։
