≡× forma_e_kërkimit

• MENU
• Brendshme
• Dritaret
• Muret
• Projektet

Çfarë është d në progresionin aritmetik.

Shtëpi

Niveli i hyrjes Progresioni aritmetik

. Teori e detajuar me shembuj (2019)

Sekuenca e numrave
Pra, le të ulemi dhe të fillojmë të shkruajmë disa numra. Për shembull:

Ju mund të shkruani çdo numër, dhe mund të ketë sa më shumë prej tyre që dëshironi (në rastin tonë, ka ato). Sado numra të shkruajmë, gjithmonë mund të themi se cili është i pari, cili është i dyti, e kështu me radhë deri në të fundit, domethënë mund t'i numërojmë. Ky është një shembull i një sekuence numrash:
Sekuenca e numrave

Për shembull, për sekuencën tonë:
Numri i caktuar është specifik për vetëm një numër në sekuencë. Me fjalë të tjera, nuk ka tre numra të dytë në sekuencë. Numri i dytë (si numri i th) është gjithmonë i njëjtë.

Numri me numër quhet termi i th i sekuencës.

Ne zakonisht e quajmë të gjithë sekuencën me ndonjë shkronjë (për shembull,), dhe çdo anëtar i kësaj sekuence është e njëjta shkronjë me një indeks të barabartë me numrin e këtij anëtari: .

Në rastin tonë:
Le të themi se kemi një sekuencë numrash në të cilën ndryshimi midis numrave ngjitur është i njëjtë dhe i barabartë.

Për shembull:
etj.
Kjo sekuencë numrash quhet progresion aritmetik. Termi "përparim" u prezantua nga autori romak Boethius në shekullin e 6-të dhe u kuptua në më shumë. në një kuptim të gjerë

, si një sekuencë numrash të pafund. Emri "aritmetikë" u transferua nga teoria e përmasave të vazhdueshme, e cila u studiua nga grekët e lashtë.

Ky është një sekuencë numrash, secili anëtar i të cilit është i barabartë me atë të mëparshëm të shtuar në të njëjtin numër. Ky numër quhet diferenca e një progresion aritmetik dhe është caktuar.

Mundohuni të përcaktoni se cilat sekuenca numrash janë një progresion aritmetik dhe cilat jo:
a)
b)
c)

d)
E kuptove? Le të krahasojmë përgjigjet tona:Është
progresion aritmetik - b, c. nuk është

progresion aritmetik - a, d. Le të kthehemi në progresionin e dhënë () dhe të përpiqemi të gjejmë vlerën e termit të tij të th. ekziston dy

mënyrë për ta gjetur.

1. Metoda

Ne mund të shtojmë numrin e progresionit në vlerën e mëparshme derisa të arrijmë termin e th të progresionit. Është mirë që nuk kemi shumë për të përmbledhur - vetëm tre vlera:

Pra, termi i th i progresionit aritmetik të përshkruar është i barabartë me.

Po sikur të na duhej të gjenim vlerën e termit të th të progresionit? Mbledhja do të na merrte më shumë se një orë dhe nuk është fakt që nuk do të bënim gabime kur mblidhnim numrat.
Natyrisht, matematikanët kanë dalë me një mënyrë në të cilën nuk është e nevojshme të shtohet diferenca e një progresion aritmetik në vlerën e mëparshme. Shikoni më nga afër foton e vizatuar... Me siguri tashmë keni vënë re një model të caktuar, përkatësisht:

Për shembull, le të shohim se nga përbëhet vlera e termit të th të këtij progresioni aritmetik:


Me fjalë të tjera:

Përpiquni të gjeni vetë vlerën e një anëtari të një progresioni të caktuar aritmetik në këtë mënyrë.

E keni llogaritur? Krahasoni shënimet tuaja me përgjigjen:

Ju lutemi vini re se keni marrë saktësisht të njëjtin numër si në metodën e mëparshme, kur kemi shtuar në mënyrë sekuenciale termat e progresionit aritmetik në vlerën e mëparshme.
Le të përpiqemi ta "depersonalizojmë" këtë formulë - le ta sjellim atë pamje e përgjithshme dhe marrim:

Ekuacioni i progresionit aritmetik.

Progresionet aritmetike mund të jenë në rritje ose në rënie.

Në rritje- progresionet në të cilat çdo vlerë pasuese e termave është më e madhe se ajo e mëparshme.
Le të themi se kemi një sekuencë numrash në të cilën ndryshimi midis numrave ngjitur është i njëjtë dhe i barabartë.

Duke zbritur- progresionet në të cilat çdo vlerë pasuese e termave është më e vogël se ajo e mëparshme.
Le të themi se kemi një sekuencë numrash në të cilën ndryshimi midis numrave ngjitur është i njëjtë dhe i barabartë.

Formula e prejardhur përdoret në llogaritjen e termave si në terma në rritje ashtu edhe në ulje të një progresion aritmetik.
Le ta kontrollojmë këtë në praktikë.
Na jepet një progresion aritmetik i përbërë nga numrat e mëposhtëm: Le të kontrollojmë se cili do të jetë numri i th i këtij progresioni aritmetik nëse përdorim formulën tonë për ta llogaritur atë:

Që atëherë:

Kështu, ne jemi të bindur se formula funksionon si në zvogëlimin ashtu edhe në rritjen e progresionit aritmetik.
Përpiquni të gjeni vetë termat e th dhe të të këtij progresi aritmetik.

Le të krahasojmë rezultatet:

Vetia e progresionit aritmetik

Le ta komplikojmë problemin - do të nxjerrim vetinë e progresionit aritmetik.
Le të themi se na jepet kushti i mëposhtëm:
- progresion aritmetik, gjeni vlerën.
Lehtë, thoni dhe filloni të numëroni sipas formulës që tashmë e dini:

Le, ah, atëherë:

Absolutisht e vërtetë. Rezulton se fillimisht e gjejmë, pastaj e shtojmë në numrin e parë dhe marrim atë që kërkojmë. Nëse progresioni përfaqësohet nga vlera të vogla, atëherë nuk ka asgjë të komplikuar në lidhje me të, por çka nëse na jepen numra në kusht? Pajtohem, ekziston mundësia për të bërë një gabim në llogaritjet.
Tani mendoni nëse është e mundur të zgjidhet ky problem në një hap duke përdorur ndonjë formulë? Sigurisht që po, dhe kjo është ajo që ne do të përpiqemi të nxjerrim në pah tani.

Le të shënojmë termin e kërkuar të progresionit aritmetik si, formula për gjetjen e tij është e njohur për ne - kjo është e njëjta formulë që kemi nxjerrë në fillim:
, Pastaj:

• termi i mëparshëm i progresionit është:
• termi tjetër i progresionit është:

Le të përmbledhim termat e mëparshëm dhe të mëvonshëm të progresionit:

Rezulton se shuma e termave të mëparshëm dhe të mëpasshëm të progresionit është vlera e dyfishtë e termit të progresionit që ndodhet midis tyre. Me fjalë të tjera, për të gjetur vlerën e një termi progresion me vlera të njohura të mëparshme dhe të njëpasnjëshme, duhet t'i shtoni ato dhe t'i ndani me.

Është e drejtë, kemi të njëjtin numër. Le të sigurojmë materialin. Llogaritni vetë vlerën për progresin, nuk është aspak e vështirë.

bravo! Ju dini pothuajse gjithçka për përparimin! Mbetet për të zbuluar vetëm një formulë, e cila, sipas legjendës, u konkludua lehtësisht nga një nga matematikanët më të mëdhenj të të gjitha kohërave, "mbreti i matematikanëve" - ​​Karl Gauss...

Kur Carl Gauss ishte 9 vjeç, një mësues, i zënë duke kontrolluar punën e nxënësve në klasat e tjera, pyeti problemin e mëposhtëm në klasë: "Llogaritni shumën e të gjitha numrat natyrorë nga në (sipas burimeve të tjera deri në) përfshirëse.” Imagjinoni habinë e mësuesit kur një nga nxënësit e tij (ky ishte Karl Gauss) një minutë më vonë i dha përgjigjen e saktë detyrës, ndërsa shumica e shokëve të klasës së guximtarit, pas llogaritjeve të gjata, morën rezultatin e gabuar...

I riu Carl Gauss vuri re një model të caktuar që edhe ju mund ta vini re lehtësisht.
Le të themi se kemi një progresion aritmetik të përbërë nga -të terma: Duhet të gjejmë shumën e këtyre termave të progresionit aritmetik. Sigurisht, ne mund t'i përmbledhim manualisht të gjitha vlerat, por çka nëse në detyrë duhet të gjejmë shumën e termave të saj, siç po kërkonte Gauss?

Le të përshkruajmë përparimin që na është dhënë. Shikoni nga afër numrat e theksuar dhe përpiquni të kryeni veprime të ndryshme matematikore me ta.


E keni provuar? Çfarë keni vënë re? E drejtë! Shumat e tyre janë të barabarta

Tani më thuaj, sa çifte të tilla ka gjithsej në progresionin që na është dhënë? Sigurisht, saktësisht gjysma e të gjithë numrave, domethënë.
Bazuar në faktin se shuma e dy termave të një progresion aritmetik është e barabartë dhe çiftet e ngjashme janë të barabarta, marrim se shuma totale është e barabartë me:
.
Kështu, formula për shumën e termave të parë të çdo progresioni aritmetik do të jetë:

Në disa probleme nuk e dimë termin e th, por dimë dallimin e progresionit. Përpiquni të zëvendësoni formulën e termit të th në formulën e shumës.
Çfarë keni marrë?

bravo! Tani le t'i kthehemi problemit që iu drejtua Karl Gausit: llogarisni vetë se sa është e barabartë shuma e numrave që fillojnë nga th dhe shuma e numrave që fillojnë nga th.

Sa keni marrë?
Gausi zbuloi se shuma e termave është e barabartë dhe shuma e termave. Kështu vendosët?

Në fakt, formula për shumën e termave të një progresion aritmetik u vërtetua nga shkencëtari i lashtë grek Diophantus në shekullin e 3-të, dhe gjatë gjithë kësaj kohe, njerëzit e zgjuar përdorën plotësisht vetitë e një progresion aritmetik.
Për shembull, imagjinoni Egjipti i lashtë dhe projekti më i madh ndërtimor i asaj kohe - ndërtimi i një piramide... Fotoja tregon njërën anë të saj.

Ku është përparimi këtu, ju thoni? Shikoni me kujdes dhe gjeni një model në numrin e blloqeve të rërës në çdo rresht të murit të piramidës.


Pse jo një progresion aritmetik? Llogaritni sa blloqe nevojiten për të ndërtuar një mur nëse baza është tulla bllok. Shpresoj se nuk do të numëroni ndërsa lëvizni gishtin nëpër monitor, ju kujtohet formula e fundit dhe gjithçka që thamë për progresionin aritmetik?

Në këtë rast, progresioni duket si ky: .
Diferenca e progresionit aritmetik.
Numri i termave të një progresion aritmetik.
Le t'i zëvendësojmë të dhënat tona në formulat e fundit (llogaritni numrin e blloqeve në 2 mënyra).

Metoda 1.

Metoda 2.

Dhe tani mund të llogaritni në monitor: krahasoni vlerat e marra me numrin e blloqeve që janë në piramidën tonë. E kuptove? Bravo, ju keni zotëruar shumën e termave të n-të të një progresion aritmetik.
Sigurisht, nuk mund të ndërtoni një piramidë nga blloqet në bazë, por nga? Mundohuni të llogaritni sa tulla rëre nevojiten për të ndërtuar një mur me këtë gjendje.
A ia dolët?
Përgjigja e saktë është blloqet:

Trajnimi

Detyrat:

1. Masha po bëhet në formë për verën. Çdo ditë ajo rrit numrin e squats me. Sa herë do të bëjë Masha squats në një javë nëse ajo bën squats në seancën e parë stërvitore?
2. Sa është shuma e të gjithë numrave tek që përmbahen.
3. Gjatë ruajtjes së shkrimeve, regjistruesit i grumbullojnë ato në mënyrë të tillë që secili shtresa e sipërme përmban një regjistër më pak se ai i mëparshmi. Sa trungje ka në një muraturë, nëse themeli i muraturës është trungje?

Përgjigjet:

1. Le të përcaktojmë parametrat e progresionit aritmetik. Në këtë rast
   (javë = ditë).

   Përgjigje: Në dy javë, Masha duhet të bëjë squats një herë në ditë.

2. Numri i parë tek, numri i fundit.
   Diferenca e progresionit aritmetik.
   Numri i numrave tek është gjysma, megjithatë, le ta kontrollojmë këtë fakt duke përdorur formulën për të gjetur termin e th të një progresion aritmetik:

   Numrat përmbajnë numra tek.
   Le të zëvendësojmë të dhënat e disponueshme në formulën:

   Përgjigje: Shuma e të gjithë numrave tek të përfshirë është e barabartë.

3. Le të kujtojmë problemin për piramidat. Për rastin tonë, një , meqenëse çdo shtresë e sipërme zvogëlohet me një regjistër, atëherë në total ka një grup shtresash, d.m.th.
   Le t'i zëvendësojmë të dhënat në formulën:

   Përgjigje: Në muraturë ka trungje.

Le ta përmbledhim

1. - një sekuencë numrash në të cilën ndryshimi midis numrave ngjitur është i njëjtë dhe i barabartë. Mund të jetë në rritje ose në ulje.
2. Gjetja e formulës Termi i th i një progresioni aritmetik shkruhet me formulën - , ku është numri i numrave në progresion.
3. Vetia e anëtarëve të një progresion aritmetik- - ku është numri i numrave në progresion.
4. Shuma e termave të një progresion aritmetik mund të gjendet në dy mënyra:
   
   , ku është numri i vlerave.

PROGRESIONI ARITHMETIK. NIVELI I MESËM

. Teori e detajuar me shembuj (2019)

Le të ulemi dhe të fillojmë të shkruajmë disa numra. Për shembull:

Ju mund të shkruani çdo numër dhe mund të ketë aq sa të doni. Por ne gjithmonë mund të themi se cili është i pari, cili është i dyti e kështu me radhë, domethënë mund t'i numërojmë. Ky është një shembull i një sekuence numrash.

Ju mund të shkruani çdo numër, dhe mund të ketë sa më shumë prej tyre që dëshironi (në rastin tonë, ka ato). Sado numra të shkruajmë, gjithmonë mund të themi se cili është i pari, cili është i dyti, e kështu me radhë deri në të fundit, domethënë mund t'i numërojmë. Ky është një shembull i një sekuence numrash:është një grup numrash, secilit prej të cilëve mund t'i caktohet një numër unik.

Me fjalë të tjera, çdo numër mund të shoqërohet me një numër të caktuar natyror dhe një unik. Dhe ne nuk do ta caktojmë këtë numër në asnjë numër tjetër nga ky grup.

Numri me numër quhet anëtari i th i sekuencës.

Numri me numër quhet termi i th i sekuencës.

Është shumë i përshtatshëm nëse termi i th i sekuencës mund të specifikohet me ndonjë formulë. Për shembull, formula

vendos sekuencën:

Dhe formula është sekuenca e mëposhtme:

Për shembull, një progresion aritmetik është një sekuencë (termi i parë këtu është i barabartë, dhe ndryshimi është). Ose (, dallimi).

Formula e termit të ntë

Ne e quajmë një formulë të përsëritur në të cilën, për të gjetur termin e th, duhet të njihni ato të mëparshme ose disa të mëparshme:

Për të gjetur, për shembull, termin e th të progresionit duke përdorur këtë formulë, do të duhet të llogarisim nëntë e mëparshme. Për shembull, lëreni. Pastaj:

Epo, a është e qartë tani cila është formula?

Në çdo rresht që i shtojmë, shumëzuar me një numër. Cilin? Shumë e thjeshtë: ky është numri i anëtarit aktual minus:

Shumë më i përshtatshëm tani, apo jo? Ne kontrollojmë:

Vendosni vetë:

Në një progresion aritmetik, gjeni formulën për termin e n-të dhe gjeni termin e qindtë.

Zgjidhja:

Termi i parë është i barabartë. Cili është ndryshimi? Ja çfarë:

(Kjo është arsyeja pse quhet ndryshim sepse është i barabartë me diferencën e termave të njëpasnjëshëm të progresionit).

Pra, formula:

Atëherë termi i njëqindtë është i barabartë me:

Sa është shuma e të gjithë numrave natyrorë nga deri në?

Sipas legjendës, matematikan i madh Karl Gauss si një djalë 9-vjeçar e ka llogaritur këtë shumë në pak minuta. Ai vuri re se shuma e numrit të parë dhe të fundit është e barabartë, shuma e të dytit dhe të parafundit është e njëjtë, shuma e të tretit dhe të 3-të nga fundi është e njëjtë, e kështu me radhë. Sa çifte të tilla ka gjithsej? Kjo është e drejtë, saktësisht gjysma e numrit të të gjithë numrave, domethënë. Pra,

Formula e përgjithshme për shumën e termave të parë të çdo progresioni aritmetik do të jetë:

Shembull:
Gjeni shumën e të gjithë shumëfishave dyshifrorë.

Zgjidhja:

Numri i parë i tillë është ky. Çdo numër i mëpasshëm fitohet duke i shtuar numrin e mëparshëm. Kështu, numrat që na interesojnë formojnë një progresion aritmetik me termin e parë dhe diferencën.

Formula e termit të th për këtë progresion:

Sa terma ka në progresion nëse të gjithë duhet të jenë dyshifrorë?

Shumë e lehtë:.

Afati i fundit i progresionit do të jetë i barabartë. Pastaj shuma:

Përgjigje:.

Tani vendosni vetë:

1. Çdo ditë atleti vrapon më shumë metra se një ditë më parë. Sa kilometra gjithsej do të vrapojë në javë, nëse në ditën e parë ka vrapuar km m?
2. Një çiklist udhëton më shumë kilometra çdo ditë se një ditë më parë. Ditën e parë ai udhëtoi km. Sa ditë i duhen të udhëtojë për të kaluar një kilometër? Sa kilometra do të udhëtojë ai gjatë ditës së fundit të udhëtimit të tij?
3. Çmimi i një frigoriferi në një dyqan ulet me të njëjtën sasi çdo vit. Përcaktoni se sa u ul çmimi i një frigoriferi çdo vit nëse, i vendosur në shitje për rubla, gjashtë vjet më vonë ai shitet për rubla.

Përgjigjet:

1. Gjëja më e rëndësishme këtu është njohja e progresionit aritmetik dhe përcaktimi i parametrave të tij. Në këtë rast, (javë = ditë). Ju duhet të përcaktoni shumën e termave të parë të këtij progresi:
   .
   Përgjigje:
2. Këtu jepet: , duhet gjetur.
   Natyrisht, ju duhet të përdorni të njëjtën formulë të shumës si në problemin e mëparshëm:
   .
   Zëvendësoni vlerat:

   Rrënja padyshim nuk përshtatet, kështu që përgjigja është.
   Le të llogarisim shtegun e përshkuar gjatë ditës së fundit duke përdorur formulën e termit të th:
   (km).
   Përgjigje:

3. Jepet: . Gjeni:.
   Nuk mund të ishte më e thjeshtë:
   (fshij).
   Përgjigje:

PROGRESIONI ARITHMETIK. SHKURTËZIM PËR GJËRAT KRYESORE

Kjo është një sekuencë numrash në të cilën ndryshimi midis numrave ngjitur është i njëjtë dhe i barabartë.

Progresioni aritmetik mund të jetë në rritje () dhe në rënie ().

Për shembull:

Formula për gjetjen e mandatit të n-të të një progresion aritmetik

shkruhet me formula, ku është numri i numrave në progresion.

Vetia e anëtarëve të një progresion aritmetik

Kjo ju lejon të gjeni me lehtësi një term të një progresion nëse dihen termat fqinjë - ku është numri i numrave në progresion.

Shuma e termave të një progresion aritmetik

Ka dy mënyra për të gjetur shumën:

Ku është numri i vlerave.

Ku është numri i vlerave.

Progresione aritmetike dhe gjeometrike

Informacion teorik

Informacion teorik

	Progresioni aritmetik	Progresioni gjeometrik
Përkufizimi	Progresioni aritmetik a nështë një sekuencë në të cilën çdo anëtar, duke filluar nga i dyti, është i barabartë me anëtarin e mëparshëm të shtuar në të njëjtin numër d (d- dallimi i progresionit)	Progresioni gjeometrik b nështë një sekuencë numrash jozero, secili term i të cilit, duke filluar nga i dyti, është i barabartë me termin e mëparshëm të shumëzuar me të njëjtin numër q (q- emëruesi i progresionit)
Formula e përsëritjes	Për çdo natyrale n a n + 1 = a n + d	Për çdo natyrale n b n + 1 = b n ∙ q, b n ≠ 0
Formula e termit të ntë	a n = a 1 + d (n – 1)	b n = b 1 ∙ q n - 1 , b n ≠ 0
Veti karakteristike
Shuma e n termave të parë

Shembuj detyrash me komente

Detyra 1

Në progresion aritmetik ( a n) a 1 = -6, a 2

Sipas formulës së termit të n-të:

një 22 = a 1+ d (22 - 1) = a 1+ 21 d

Sipas kushtit:

a 1= -6, atëherë një 22= -6 + 21 d .

Është e nevojshme të gjesh ndryshimin e progresioneve:

d = a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2

një 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

Përgjigje: një 22 = -48.

Detyra 2

Gjeni termin e pestë të progresionit gjeometrik: -3; 6;....

Metoda 1 (duke përdorur formulën n-term)

Sipas formulës për mandatin e n-të të një progresion gjeometrik:

b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.

Sepse b 1 = -3,

Metoda e dytë (duke përdorur formulën e përsëritur)

Meqenëse emëruesi i progresionit është -2 (q = -2), atëherë:

b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

Përgjigje: b 5 = -48.

Detyra 3

Në progresion aritmetik ( a n) a 74 = 34; një 76= 156. Gjeni termin e shtatëdhjetë e pestë të këtij progresioni.

Për një progresion aritmetik, vetia karakteristike ka formën .

Nga kjo rrjedh:

.

Le t'i zëvendësojmë të dhënat në formulën:

Përgjigje: 95.

Detyra 4

Në progresion aritmetik ( a n) a n= 3n - 4. Gjeni shumën e shtatëmbëdhjetë anëtarëve të parë.

Për të gjetur shumën e n termave të parë të një progresion aritmetik, përdoren dy formula:

.

Cili prej tyre është më i përshtatshëm për t'u përdorur në këtë rast?

Sipas kushtit, formula për termin e n-të të progresionit origjinal është e njohur ( a n) a n= 3n - 4. Ju mund të gjeni menjëherë dhe a 1, Dhe një 16 pa gjetur d. Prandaj, ne do të përdorim formulën e parë.

Përgjigje: 368.

Detyra 5

Në progresion aritmetik ( a n) a 1 = -6; a 2= -8. Gjeni termin e njëzet e dytë të progresionit.

Sipas formulës së termit të n-të:

a 22 = a 1 + d (22 – 1) = a 1+ 21 ditë.

Me kusht, nëse a 1= -6, atëherë një 22= -6 + 21d . Është e nevojshme të gjesh ndryshimin e progresioneve:

d = a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2

një 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

Përgjigje: një 22 = -48.

Detyra 6

Shkruhen disa terma të njëpasnjëshëm të progresionit gjeometrik:

Gjeni termin e progresionit të treguar nga x.

Gjatë zgjidhjes, ne do të përdorim formulën për termin e n-të b n = b 1 ∙ q n - 1 për progresionet gjeometrike. Termi i parë i progresionit. Për të gjetur emëruesin e progresionit q, duhet të merrni ndonjë nga termat e dhënë të progresionit dhe të pjesëtoni me atë të mëparshëm. Në shembullin tonë, ne mund të marrim dhe të ndajmë me. Ne marrim q = 3. Në vend të n, ne zëvendësojmë 3 në formulë, pasi është e nevojshme të gjejmë termin e tretë të një progresion të caktuar gjeometrik.

Duke zëvendësuar vlerat e gjetura në formulë, marrim:

.

Përgjigje:.

Detyra 7

Nga progresionet aritmetike të dhëna nga formula e termit të n-të, zgjidhni atë për të cilin kushti është i plotësuar. një 27 > 9:

Meqenëse kushti i dhënë duhet të plotësohet për termin e 27-të të progresionit, ne zëvendësojmë 27 në vend të n në secilin nga katër progresionet. Në progresionin e 4-të marrim:

.

Përgjigje: 4.

Detyra 8

Në progresion aritmetik a 1= 3, d = -1,5. Përcaktoni vlera më e lartë n për të cilën vlen pabarazia a n > -6.

Llogaritësi online.
Zgjidhja e një progresion aritmetik.
Jepet: a n , d, n
Gjeni: a 1

Ky program matematikor gjen \(a_1\) të një progresion aritmetik bazuar në numrat e specifikuar nga përdoruesi \(a_n, d\) dhe \(n\).
Numrat \(a_n\) dhe \(d\) mund të specifikohen jo vetëm si numra të plotë, por edhe si thyesa. Për më tepër, numri thyesor mund të futet në formën e një thyese dhjetore (\(2.5\)) dhe në formën thyesë e zakonshme(\(-5\frac(2)(7)\)).

Programi jo vetëm që i jep përgjigje problemit, por shfaq edhe procesin e gjetjes së një zgjidhjeje.

Ky kalkulator në internet mund të jetë i dobishëm për studentët e shkollave të mesme në përgatitje testet dhe provimet, gjatë testimit të njohurive para Provimit të Bashkuar të Shtetit, që prindërit të kontrollojnë zgjidhjen e shumë problemave në matematikë dhe algjebër. Apo ndoshta është shumë e shtrenjtë për ju të punësoni një mësues ose të blini tekste të reja shkollore? Apo thjesht dëshironi ta kryeni sa më shpejt që të jetë e mundur? detyrat e shtëpisë

në matematikë apo algjebër? Në këtë rast, ju gjithashtu mund të përdorni programet tona me zgjidhje të detajuara.

Në këtë mënyrë ju mund të kryeni trajnimin tuaj dhe/ose trajnimin e vëllezërve ose motrave tuaja më të vogla, ndërkohë që rritet niveli i arsimimit në fushën e zgjidhjes së problemeve.

Nëse nuk jeni njohur me rregullat për futjen e numrave, ju rekomandojmë që të njiheni me to.

Rregullat për futjen e numrave
Numrat \(a_n\) dhe \(d\) mund të specifikohen jo vetëm si numra të plotë, por edhe si thyesa.

Numri \(n\) mund të jetë vetëm një numër i plotë pozitiv.
Rregullat për futjen e thyesave dhjetore.
Pjesët e plota dhe thyesore në thyesat dhjetore mund të ndahen ose me pikë ose me presje. Për shembull, mund të hyni dhjetore

pra 2.5 apo më shumë 2.5
Vetëm një numër i plotë mund të veprojë si numërues, emërues dhe pjesë e plotë e një thyese.

Emëruesi nuk mund të jetë negativ.

Kur futni një thyesë numerike, numëruesi ndahet nga emëruesi me një shenjë pjesëtimi: /
Hyrja:
Rezultati: \(-\frac(2)(3)\)

E gjithë pjesa ndahet nga thyesa me shenjën ampersand: &
Hyrja:
Rezultati: \(-1\frac(2)(3)\)

Futni numrat a n, d, n

Gjeni një 1

U zbulua se disa skripta të nevojshëm për të zgjidhur këtë problem nuk u ngarkuan dhe programi mund të mos funksionojë.
Mund ta keni të aktivizuar AdBlock.
Në këtë rast, çaktivizoni atë dhe rifreskoni faqen.

JavaScript është çaktivizuar në shfletuesin tuaj.
Që zgjidhja të shfaqet, duhet të aktivizoni JavaScript.
Këtu janë udhëzimet se si të aktivizoni JavaScript në shfletuesin tuaj.

Sepse Ka shumë njerëz të gatshëm për të zgjidhur problemin, kërkesa juaj është në radhë.
Në pak sekonda zgjidhja do të shfaqet më poshtë.
Ju lutem prisni sekondë...

Nëse ju vuri re një gabim në zgjidhje, atëherë mund të shkruani për këtë në Formularin e Feedback-ut.
mos harro tregoni se cila detyrë ju vendosni se çfarë futni në fusha.

Lojërat tona, enigmat, emulatorët:

Pak teori.

. Teori e detajuar me shembuj (2019)

Numërimi përdoret shpesh në praktikën e përditshme artikuj të ndryshëm për të treguar rendin në të cilin shfaqen. Për shembull, shtëpitë në secilën rrugë janë të numëruara. Në bibliotekë, abonimet e lexuesit numërohen dhe më pas renditen sipas renditjes së numrave të caktuar në skedarë të veçantë të kartave.

Në një bankë kursimi, duke përdorur numrin personal të llogarisë së depozituesit, mund ta gjeni lehtësisht këtë llogari dhe të shihni se çfarë depozite ka në të. Lëreni llogarinë nr. 1 të përmbajë një depozitë prej a1 rubla, llogaria nr. 2 të përmbajë një depozitë prej a2 rubla, etj. Rezulton sekuenca e numrave
a 1, a 2, a 3, ..., një N
ku N është numri i të gjitha llogarive. Këtu, çdo numër natyror n nga 1 në N shoqërohet me një numër a n.

Ka studiuar edhe në matematikë sekuenca me numra të pafund:
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ... .
Numri a 1 quhet termi i parë i sekuencës, numri a 2 - termi i dytë i sekuencës, numri a 3 - termi i tretë i sekuencës etj.
Numri a n quhet anëtari i n-të (n-të) i sekuencës, dhe numri natyror n është i tij numri.

Për shembull, në sekuencën e katrorëve të numrave natyrorë 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2, (n + 1) 2, ... dhe 1 = 1 është termi i parë i sekuencës; dhe n = n 2 është mandati i nëntë sekuenca; a n+1 = (n + 1) 2 është termi (n + 1) i (n plus i pari) i sekuencës. Shpesh një sekuencë mund të specifikohet me formulën e termit të saj të n-të. Për shembull, formula \(a_n=\frac(1)(n), \; n \in \mathbb(N) \) përcakton sekuencën \(1, \; \frac(1)(2) , \; \frac(1)(3), \\frac(1)(4), \pika,\frac(1)(n) , \pika \)

Niveli i hyrjes

Gjatësia e vitit është afërsisht 365 ditë. Më shumë vlerën e saktëështë e barabartë me \(365\frac(1)(4)\) ditë, kështu që çdo katër vjet grumbullohet një gabim prej një dite.

Për të llogaritur këtë gabim, çdo vit të katërt i shtohet një ditë dhe viti i zgjatur quhet vit i brishtë.

Për shembull, në mijëvjeçarin e tretë vite të brishtë janë vitet 2004, 2008, 2012, 2016, ... .

Në këtë sekuencë, çdo anëtar, duke filluar nga i dyti, është i barabartë me atë të mëparshëm, i shtuar në të njëjtin numër 4. Sekuenca të tilla quhen progresionet aritmetike.

Përkufizimi.
Quhet sekuenca e numrave a 1, a 2, a 3, ..., a n, ... progresion aritmetik, nëse për të gjithë n barazinë natyrore
\(a_(n+1) = a_n+d, \)
ku d është një numër.

Nga kjo formulë del se a n+1 - a n = d. Numri d quhet diferencë progresion aritmetik.

Nga përkufizimi i një progresion aritmetik kemi:
\(a_(n+1)=a_n+d, \katër a_(n-1)=a_n-d, \)
ku
\(a_n= \frac(a_(n-1) +a_(n+1))(2) \), ku \(n>1 \)

Kështu, çdo term i një progresion aritmetik, duke filluar nga i dyti, është i barabartë me mesataren aritmetike të dy termave të tij ngjitur. Kjo shpjegon emrin e progresionit "aritmetik".

Vini re se nëse jepen 1 dhe d, atëherë termat e mbetur të progresionit aritmetik mund të llogariten duke përdorur formulën e përsëritur a n+1 = a n + d. Në këtë mënyrë nuk është e vështirë të llogariten termat e parë të progresionit, megjithatë, për shembull, një 100 tashmë do të kërkojë shumë llogaritje. Në mënyrë tipike, formula e termit të n-të përdoret për këtë. Sipas përkufizimit të progresionit aritmetik
\(a_2=a_1+d, \)
\(a_3=a_2+d=a_1+2d, \)
\(a_4=a_3+d=a_1+3d \)
etj.
fare,
\(a_n=a_1+(n-1)d, \)
sepse mandati i nëntë i një progresioni aritmetik fitohet nga termi i parë duke shtuar (n-1) herë numrin d.
Kjo formulë quhet formula për mandatin e n-të të një progresion aritmetik.

Shuma e n termave të parë të një progresion aritmetik

Gjeni shumën e të gjithë numrave natyrorë nga 1 deri në 100.
Le ta shkruajmë këtë shumë në dy mënyra:
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
Le t'i shtojmë këto barazi term pas termi:
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
Kjo shumë ka 100 terma
Prandaj, 2S = 101 * 100, pra S = 101 * 50 = 5050.

Le të shqyrtojmë tani një progresion aritmetik arbitrar
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ...
Le të jetë S n shuma e n termave të parë të këtij progresioni:
S n = a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n
Pastaj shuma e n termave të parë të një progresion aritmetik është e barabartë me
\(S_n = n \cdot \frac(a_1+a_n)(2) \)

Meqenëse \(a_n=a_1+(n-1)d\), atëherë duke zëvendësuar një n në këtë formulë, marrim një formulë tjetër për të gjetur shuma e n termave të parë të një progresion aritmetik:
\(S_n = n \cdot \frac(2a_1+(n-1)d)(2) \)

Libra (tekste shkollore) Abstrakte të Provimit të Unifikuar të Shtetit dhe testeve të Provimit të Unifikuar të Shtetit në internet Lojëra, enigma Komplot grafikët e funksioneve Fjalori drejtshkrimor i gjuhës ruse Fjalori i zhargonit të të rinjve Katalogu i shkollave ruse Katalogu i institucioneve arsimore të mesme të Rusisë Katalogu i universiteteve ruse Lista të detyrave

Para se të fillojmë të vendosim problemet e progresionit aritmetik, le të shqyrtojmë se çfarë është një sekuencë numrash, pasi një progresion aritmetik është një rast i veçantë i një sekuence numrash.

Një sekuencë numrash është një grup numrash, secili element i të cilit ka të vetin numri serial . Elementet e këtij grupi quhen anëtarë të sekuencës. Numri serial i një elementi të sekuencës tregohet nga një indeks:

Elementi i parë i sekuencës;

Elementi i pestë i sekuencës;

- elementi "n" i sekuencës, d.m.th. elementi "qëndron në radhë" në numrin n.

Ekziston një lidhje midis vlerës së një elementi të sekuencës dhe numrit të sekuencës së tij. Prandaj, ne mund ta konsiderojmë një sekuencë si një funksion, argumenti i të cilit është numri rendor i elementit të sekuencës. Me fjalë të tjera, mund të themi se sekuenca është një funksion i argumentit natyror:

Sekuenca mund të vendoset në tre mënyra:

1 . Sekuenca mund të specifikohet duke përdorur një tabelë. Në këtë rast, ne thjesht vendosim vlerën e secilit anëtar të sekuencës.

Për shembull, Dikush vendosi të merrte menaxhimin personal të kohës dhe për të filluar, të llogarisë sa kohë shpenzon në VKontakte gjatë javës. Duke regjistruar kohën në tabelë, ai do të marrë një sekuencë të përbërë nga shtatë elementë:

Rreshti i parë i tabelës tregon numrin e ditës së javës, e dyta - kohën në minuta. Ne shohim që, domethënë, të hënën Dikush kaloi 125 minuta në VKontakte, domethënë të enjten - 248 minuta, dhe, domethënë, të Premten vetëm 15.

2 . Sekuenca mund të specifikohet duke përdorur formulën e termit n.

Në këtë rast, varësia e vlerës së një elementi të sekuencës nga numri i tij shprehet drejtpërdrejt në formën e një formule.

Për shembull, nëse , atëherë

Për të gjetur vlerën e një elementi të sekuencës me një numër të caktuar, ne e zëvendësojmë numrin e elementit në formulën e termit të n-të.

Ne bëjmë të njëjtën gjë nëse duhet të gjejmë vlerën e një funksioni nëse dihet vlera e argumentit. Ne e zëvendësojmë vlerën e argumentit në ekuacionin e funksionit:

Nëse, për shembull, , Kjo

Më lejoni të vërej edhe një herë se në një sekuencë, ndryshe nga një funksion numerik arbitrar, argumenti mund të jetë vetëm një numër natyror.

3 . Sekuenca mund të specifikohet duke përdorur një formulë që shpreh varësinë e vlerës së numrit të anëtarit të sekuencës n nga vlerat e anëtarëve të mëparshëm.

Në këtë rast, nuk mjafton të dimë vetëm numrin e anëtarit të sekuencës për të gjetur vlerën e tij. Duhet të specifikojmë anëtarin e parë ose anëtarët e parë të sekuencës. ,

Për shembull, merrni parasysh sekuencën Mund të gjejmë vlerat e anëtarëve të sekuencës një nga një

, duke filluar nga e treta: Kjo do të thotë, çdo herë, për të gjetur vlerën e termit të n-të të sekuencës, kthehemi te dy të mëparshmet. Kjo metodë e specifikimit të një sekuence quhet të përsëritura , nga fjala latine recurro

- kthehu.

Tani mund të përcaktojmë një progresion aritmetik. Një progresion aritmetik është një rast i thjeshtë i veçantë i një sekuence numrash. Progresioni aritmetik

është një sekuencë numerike, çdo anëtar i së cilës, duke filluar nga i dyti, është i barabartë me atë të mëparshëm të shtuar në të njëjtin numër. Numri thirret dallimi i progresionit aritmetik

. Diferenca e një progresioni aritmetik mund të jetë pozitiv, negativ ose i barabartë me zero.">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} Nëse title="d>0.

në rritje

Për shembull, 2; 5; 8; 11;... Nëse , atëherë çdo term i një progresioni aritmetik është më i vogël se ai i mëparshmi, dhe progresioni është.

në rënie

Për shembull, 2; -1; -4; -7;... Nëse , atëherë të gjithë kushtet e progresionit janë të barabartë me të njëjtin numër, dhe progresioni është.

stacionare

Për shembull, 2; 2; 2; 2; ...

Vetia kryesore e një progresion aritmetik:

Le të shohim foton.

Ne e shohim atë

, dhe në të njëjtën kohë

.

Duke shtuar këto dy barazi, marrim:

Le të ndajmë të dyja anët e barazisë me 2:

Pra, çdo anëtar i progresionit aritmetik, duke filluar nga i dyti, është i barabartë me mesataren aritmetike të dy fqinjëve:

Ne e shohim atë

Për më tepër, që nga

, Kjo

, dhe për këtë arsye">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

Çdo term i një progresion aritmetik, duke filluar me title="k>l

Formula e termit të th.

Ne shohim se termat e progresionit aritmetik plotësojnë marrëdhëniet e mëposhtme:

dhe në fund kemi marrë

formula e termit të n-të.Çdo anëtar i një progresion aritmetik mund të shprehet përmes dhe. Duke ditur termin e parë dhe ndryshimin e një progresion aritmetik, mund të gjeni cilindo nga termat e tij.

Shuma e n termave të një progresion aritmetik.

Në një progresion aritmetik arbitrar, shumat e termave të barabarta nga ato ekstreme janë të barabarta me njëra-tjetrën:

Konsideroni një progresion aritmetik me n terma. Le të jetë shuma e n kushteve të këtij progresioni e barabartë me .

Le t'i rregullojmë termat e progresionit së pari në rendin rritës të numrave, dhe më pas në rend zbritës:

Le të shtojmë në dyshe:

Shuma në çdo kllapa është , numri i çifteve është n.

Ne marrim:

Pra, shuma e n termave të një progresion aritmetik mund të gjendet duke përdorur formulat:

Le të shqyrtojmë zgjidhjen e problemeve të progresionit aritmetik.

1 . Sekuenca jepet me formulën e termit të n-të: . Vërtetoni se kjo sekuencë është një progresion aritmetik.

Le të vërtetojmë se ndryshimi midis dy termave ngjitur të sekuencës është i barabartë me të njëjtin numër.

Ne zbuluam se ndryshimi midis dy anëtarëve ngjitur të sekuencës nuk varet nga numri i tyre dhe është një konstante. Prandaj, sipas përkufizimit, kjo sekuencë është një progresion aritmetik.

2 . Jepet një progresion aritmetik -31; -27;...

a) Gjeni 31 terma të progresionit.

b) Përcaktoni nëse numri 41 përfshihet në këtë progresion.

A) Ne shohim se;

Le të shkruajmë formulën për termin e n-të për progresionin tonë.

Në përgjithësi

Në rastin tonë , Kjo është arsyeja pse

Për shembull, sekuenca \(2\); \(5\); \(8\); \(11\); \(14\)... është një progresion aritmetik, sepse çdo element i mëpasshëm ndryshon nga ai i mëparshmi me tre (mund të merret nga ai i mëparshmi duke shtuar tre):

Në këtë progresion, diferenca \(d\) është pozitive (e barabartë me \(3\)), dhe për këtë arsye çdo term tjetër është më i madh se ai i mëparshmi. Përparime të tilla quhen në rritje.

Megjithatë, \(d\) gjithashtu mund të jetë numër negativ. Për shembull, në progresion aritmetik \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... ndryshimi i progresionit \(d\) është i barabartë me minus gjashtë.

Dhe në këtë rast, çdo element tjetër do të jetë më i vogël se ai i mëparshmi. Këto përparime quhen në rënie.

Shënimi aritmetik i progresionit

Përparimi tregohet me një shkronjë të vogël latine.

Numrat që formojnë një progresion quhen anëtarët(ose elemente).

Ato shënohen me të njëjtën shkronjë si një progresion aritmetik, por me një indeks numerik të barabartë me numrin e elementit në rend.

Për shembull, progresioni aritmetik \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14...\djathtas\)\) përbëhet nga elementet \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) dhe kështu me radhë.

Me fjalë të tjera, për progresionin \(a_n = \majtas\(2; 5; 8; 11; 14…\djathtas\)\)

Zgjidhja e problemeve të progresionit aritmetik

Në parim, informacioni i paraqitur më sipër është tashmë i mjaftueshëm për të zgjidhur pothuajse çdo problem të progresionit aritmetik (përfshirë ato të ofruara në OGE).

Shembull (OGE). Progresioni aritmetik përcaktohet nga kushtet \(b_1=7; d=4\). Gjeni \(b_5\).
Zgjidhja:

Përgjigje: \(b_5=23\)

Shembull (OGE). Janë dhënë tre termat e parë të një progresioni aritmetik: \(62; 49; 36…\) Gjeni vlerën e termit të parë negativ të këtij progresioni..
Zgjidhja:

	Na janë dhënë elementët e parë të sekuencës dhe e dimë se është një progresion aritmetik. Kjo do të thotë, çdo element ndryshon nga fqinji i tij me të njëjtin numër. Le të zbulojmë se cili prej tyre duke zbritur atë të mëparshëm nga elementi tjetër: \(d=49-62=-13\).
	Tani ne mund të rivendosim përparimin tonë në elementin (e parë negativ) që na nevojitet.
	Gati. Ju mund të shkruani një përgjigje.

Përgjigje: \(-3\)

Shembull (OGE). Jepen disa elemente të njëpasnjëshme të një progresion aritmetik: \(…5; x; 10; 12.5...\) Gjeni vlerën e elementit të caktuar me shkronjën \(x\).
Zgjidhja:

	Për të gjetur \(x\), duhet të dimë se sa ndryshon elementi tjetër nga ai i mëparshmi, me fjalë të tjera, ndryshimi i progresionit. Le ta gjejmë atë nga dy elementë fqinjë të njohur: \(d=12,5-10=2,5\).
	Dhe tani ne mund të gjejmë lehtësisht atë që kërkojmë: \(x=5+2.5=7.5\).
	Gati. Ju mund të shkruani një përgjigje.

Përgjigje: \(7,5\).

Shembull (OGE). Progresioni aritmetik përcaktohet nga kushtet e mëposhtme: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Gjeni shumën e gjashtë anëtarëve të parë të këtij progresioni.
Zgjidhja:

Duhet të gjejmë shumën e gjashtë termave të parë të progresionit. Por ne nuk e dimë kuptimin e tyre, na është dhënë vetëm elementi i parë. Prandaj, ne fillimisht llogarisim vlerat një nga një, duke përdorur atë që na është dhënë: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) Dhe pasi kemi llogaritur gjashtë elementët që na duhen, gjejmë shumën e tyre.

\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)

Shuma e kërkuar është gjetur.

Përgjigje: \(S_6=9\).

Shembull (OGE). Në progresion aritmetik \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Gjeni ndryshimin e këtij përparimi.
Zgjidhja:

Përgjigje: \(d=7\).

Formula të rëndësishme për progresionin aritmetik

Siç mund ta shihni, shumë probleme në progresionin aritmetik mund të zgjidhen thjesht duke kuptuar gjënë kryesore - që një progresion aritmetik është një zinxhir numrash, dhe çdo element pasues në këtë zinxhir merret duke shtuar të njëjtin numër me atë të mëparshëm ( dallimi i progresionit).

Sidoqoftë, ndonjëherë ka situata kur vendosja "me kokë" është shumë e papërshtatshme. Për shembull, imagjinoni që në shembullin e parë nuk duhet të gjejmë elementin e pestë \(b_5\), por treqind e tetëdhjetë e gjashtë \(b_(386)\). A duhet të shtojmë katër \(385\) herë? Ose imagjinoni që në shembullin e parafundit duhet të gjeni shumën e shtatëdhjetë e tre elementëve të parë. Do të lodheni duke numëruar...

Prandaj, në raste të tilla ata nuk i zgjidhin gjërat “me kokë”, por përdorin formula të veçanta të nxjerra për progresion aritmetik. Dhe ato kryesore janë formula për termin e n-të të progresionit dhe formula për shumën e termave të parë \(n\).

Formula e termit \(n\)th: \(a_n=a_1+(n-1)d\), ku \(a_1\) është termi i parë i progresionit;
\(n\) – numri i elementit të kërkuar;
\(a_n\) – termi i progresionit me numrin \(n\).

Kjo formulë na lejon të gjejmë shpejt edhe elementin e treqindtë ose të miliontë, duke ditur vetëm të parin dhe ndryshimin e progresionit.

Shembull. Progresioni aritmetik specifikohet nga kushtet: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Gjeni \(b_(246)\).
Zgjidhja:

Përgjigje: \(b_(246)=1850\).

Formula për shumën e n termave të parë: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), ku

\(a_n\) – termi i fundit i përmbledhur;

Shembull (OGE). Progresioni aritmetik specifikohet nga kushtet \(a_n=3.4n-0.6\). Gjeni shumën e termave të parë \(25\) të këtij progresioni.
Zgjidhja:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		Për të llogaritur shumën e njëzet e pesë termave të parë, duhet të dimë vlerën e termave të parë dhe njëzet e pestë. Progresioni ynë jepet nga formula e termit të n-të në varësi të numrit të tij (për më shumë detaje, shih). Le të llogarisim elementin e parë duke zëvendësuar një për \(n\).
\(n=1;\) \(a_1=3.4·1-0.6=2.8\)		Tani le të gjejmë termin e njëzet e pestë duke zëvendësuar njëzet e pesë në vend të \(n\).
\(n=25;\) \(a_(25)=3.4·25-0.6=84.4\)		Epo, tani mund të llogarisim lehtësisht shumën e kërkuar.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2.8+84.4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		Përgjigja është gati.

Përgjigje: \(S_(25)=1090\).

Për shumën \(n\) të termave të parë, mund të merrni një formulë tjetër: thjesht duhet të \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) në vend të \(a_n\) zëvendëso formulën për të \(a_n=a_1+(n-1)d\). Ne marrim:

Formula për shumën e n termave të parë: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), ku

\(S_n\) – shuma e kërkuar e \(n\) elementeve të parë;
\(a_1\) – termi i parë i përmbledhur;
\(d\) – ndryshimi i progresionit;
\(n\) – numri i elementeve në total.

Shembull. Gjeni shumën e termave të parë \(33\)-ex të progresionit aritmetik: \(17\); \(15.5\); \(14\)…
Zgjidhja:

Përgjigje: \(S_(33)=-231\).

Probleme më komplekse të progresionit aritmetik

Tani ju keni gjithçka informacionin e nevojshëm për zgjidhjen e pothuajse çdo problemi të progresionit aritmetik. Le ta përfundojmë temën duke shqyrtuar probleme në të cilat jo vetëm që duhet të aplikoni formula, por edhe të mendoni pak (në matematikë kjo mund të jetë e dobishme ☺)

Shembull (OGE). Gjeni shumën e të gjithë termave negativë të progresionit: \(-19.3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Zgjidhja:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		Detyra është shumë e ngjashme me atë të mëparshme. Ne fillojmë të zgjidhim të njëjtën gjë: së pari gjejmë \(d\).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\)		Tani do të doja të zëvendësoja \(d\) në formulën për shumën... dhe ja ku del nuancë e vogël– nuk e dimë \(n\). Me fjalë të tjera, ne nuk e dimë se sa terma do të duhet të shtohen. Si të zbuloni? Le të mendojmë. Ne do të ndalojmë shtimin e elementeve kur të arrijmë elementin e parë pozitiv. Kjo do të thotë, ju duhet të zbuloni numrin e këtij elementi. Si? Le të shkruajmë formulën për llogaritjen e çdo elementi të një progresion aritmetik: \(a_n=a_1+(n-1)d\) për rastin tonë.
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19,3+(n-1)·0,3\)		Na duhet që \(a_n\) të bëhet më e madhe se zero. Le të zbulojmë se çfarë \(n\) do të ndodhë.
\(-19,3+(n-1)·0,3>0\)
\((n-1)·0.3>19.3\) \(|:0.3\)		Ne i ndajmë të dy anët e pabarazisë me \(0.3\).
\(n-1>\)\(\frac(19.3)(0.3)\)		Ne transferojmë minus një, duke mos harruar të ndryshojmë shenjat
\(n>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) \(+1\)		Le të llogarisim ...
\(n>65,333…\)		...dhe rezulton se elementi i parë pozitiv do të ketë numrin \(66\). Prandaj, negativi i fundit ka \(n=65\). Për çdo rast, le ta kontrollojmë këtë.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19.3+(65-1)·0.3=-0.1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19.3+(66-1)·0.3=0.2\)		Pra, duhet të shtojmë elementët e parë \(65\).
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19.3)+(65-1)0.3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38.6+19.2)(2)\)\(\cdot 65=-630.5\)		Përgjigja është gati.

Përgjigje: \(S_(65)=-630,5\).

Shembull (OGE). Progresioni aritmetik përcaktohet nga kushtet: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Gjeni shumën nga \(26\)th në elementin \(42\) përfshirëse.
Zgjidhja:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	Në këtë problem ju duhet gjithashtu të gjeni shumën e elementeve, por duke u nisur jo nga e para, por nga \(26\)th. Për një rast të tillë nuk kemi një formulë. Si të vendosni? Është e lehtë - për të marrë shumën nga \(26\)-ta në \(42\)-të, së pari duhet të gjeni shumën nga \(1\)-ta në \(42\)-të, dhe më pas të zbrisni prej tij shuma nga e para në \(25\)të (shih foton).
	Për progresionin tonë \(a_1=-33\), dhe ndryshimin \(d=4\) (në fund të fundit, ne i shtojmë të katërt elementit të mëparshëm për të gjetur tjetrin). Duke e ditur këtë, gjejmë shumën e elementeve të parë \(42\)-y.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Tani shuma e elementeve të parë \(25\).
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	Dhe së fundi, ne llogarisim përgjigjen.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Përgjigje: \(S=1683\).

Për përparimin aritmetik, ka disa formula të tjera që nuk i kemi marrë parasysh në këtë artikull për shkak të dobisë së tyre të ulët praktike. Megjithatë, ju mund t'i gjeni lehtësisht.