≡×ՄԵՆՈՒ

• Ինտերիեր
• Պատուհան
• Պատեր
• Նախագծեր
• Շենքերը

Ինչպես գտնել ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը: Գտնել ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը. մեթոդներ, LCM գտնելու օրինակներ

Բայց շատ բնական թվեր բաժանվում են նաև այլ բնական թվերի։

Օրինակ:

12 թիվը բաժանվում է 1-ի, 2-ի, 3-ի, 4-ի, 6-ի, 12-ի;

36 թիվը բաժանվում է 1-ի, 2-ի, 3-ի, 4-ի, 6-ի, 12-ի, 18-ի, 36-ի։

Այն թվերը, որոնցով թիվը բաժանվում է ամբողջի (12-ի համար դրանք 1, 2, 3, 4, 6 և 12 են) կոչվում են. թվերի բաժանարարներ. Բնական թվի բաժանարար ա- բնական թիվ է, որը բաժանում է տրված թիվը աառանց հետքի. Այն բնական թիվը, որն ունի երկուից ավելի բաժանարար, կոչվում է կոմպոզիտային .

Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ 12 և 36 թվերն ունեն ընդհանուր գործոններ: Այս թվերն են՝ 1, 2, 3, 4, 6, 12։ Այս թվերի ամենամեծ բաժանարարը 12-ն է։ Այս երկու թվերի ընդհանուր բաժանարարը։ աԵվ բ- սա այն թիվն է, որով տրված երկու թվերն էլ բաժանվում են առանց մնացորդի աԵվ բ.

Ընդհանուր բազմապատիկմի քանի թվեր այն թիվն է, որը բաժանվում է այս թվերից յուրաքանչյուրի վրա: Օրինակ, 9, 18 և 45 թվերն ունեն 180-ի ընդհանուր բազմապատիկ: Բայց 90-ը և 360-ը նաև նրանց ընդհանուր բազմապատիկն են: Բոլոր ընդհանուր բազմապատիկների մեջ միշտ կա ամենափոքրը, այս դեպքում այն ​​90 է։ Այս թիվը կոչվում է ամենափոքրըընդհանուր բազմապատիկ (CMM).

LCM-ը միշտ բնական թիվ է, որը պետք է մեծ լինի այն թվերից ամենամեծից, որոնց համար այն սահմանված է:

Ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը (LCM): Հատկություններ.

Փոխատեղելիություն:

Ասոցիատիվություն:

Մասնավորապես, եթե և են համապարփակ թվեր, ապա.

Երկու ամբողջ թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը մԵվ nբոլոր մյուս ընդհանուր բազմապատիկների բաժանարարն է մԵվ n. Ընդ որում՝ ընդհանուր բազմապատիկների բազմությունը m, nհամընկնում է LCM-ի բազմապատիկների բազմության հետ ( m, n).

Համար ասիմպտոտիկները կարող են արտահայտվել որոշ թվային-տեսական ֆունկցիաներով:

Այսպիսով, Չեբիշևի գործառույթը. Եվ.

Սա բխում է Landau ֆունկցիայի սահմանումից և հատկություններից g(n).

Ինչ է բխում պարզ թվերի բաշխման օրենքից.

Գտնելով ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը (LCM):

ԱՕԿ ( ա, բ) կարելի է հաշվարկել մի քանի եղանակով.

1. Եթե հայտնի է ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը, կարող եք օգտագործել դրա կապը LCM-ի հետ.

2. Թող հայտնի լինի երկու թվերի կանոնական տարրալուծումը պարզ գործոնների.

Որտեղ p 1,...,p k- տարբեր պարզ թվեր, և դ 1,...,դ կԵվ e 1 ,...,e k— ոչ բացասական ամբողջ թվեր (դրանք կարող են լինել զրո, եթե համապատասխան պարզը ընդլայնման մեջ չէ):

Այնուհետև ՀԱՕԿ ( ա,բ) հաշվարկվում է բանաձևով.

Այլ կերպ ասած, LCM տարրալուծումը պարունակում է բոլոր պարզ գործոնները, որոնք ներառված են թվերի տարրալուծումներից առնվազն մեկում ա, բ, և վերցված է այս բազմապատկիչի երկու ցուցիչներից ամենամեծը։

Օրինակ:

Մի քանի թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը հաշվարկելը կարող է կրճատվել երկու թվերի LCM-ի մի քանի հաջորդական հաշվարկների.

Կանոն.Մի շարք թվերի LCM-ն գտնելու համար ձեզ հարկավոր է.

- թվերը տարրալուծել պարզ գործոնների.

- ամենամեծ տարրալուծումը (տվյալների ամենամեծ թվի գործակիցների արտադրյալը) փոխանցել ցանկալի արտադրյալի գործակիցներին, այնուհետև գումարել առաջին թվի մեջ չհայտնված կամ դրանում չհայտնված այլ թվերի տարրալուծումից։ ավելի քիչ անգամ;

— պարզ գործակիցների ստացված արտադրյալը կլինի տվյալ թվերի LCM:

Ցանկացած երկու կամ ավելի բնական թվերունեն իրենց սեփական ԱՕԿ: Եթե ​​թվերը միմյանց բազմապատիկ չեն կամ չունեն ընդլայնման նույն գործակիցները, ապա դրանց LCM-ն հավասար է այս թվերի արտադրյալին։

28 թվի պարզ գործակիցները (2, 2, 7) լրացվում են 3 գործակցով (թիվ 21), ստացված արտադրյալը (84) կլինի ամենափոքր թիվը, որը բաժանվում է 21-ի և 28-ի։

Ամենամեծ 30 թվի պարզ գործակիցները լրացվում են 25 թվի 5 գործակցով, ստացված 150 արտադրյալը մեծ է 30 ամենամեծ թվից և բաժանվում է բոլոր տրված թվերի վրա՝ առանց մնացորդի։ Սա ամենափոքր հնարավոր արտադրյալն է (150, 250, 300...), որը տրված բոլոր թվերի բազմապատիկն է։

2,3,11,37 թվերը պարզ թվեր են, ուստի դրանց LCM-ն հավասար է տրված թվերի արտադրյալին։

Կանոն. Պարզ թվերի LCM-ը հաշվարկելու համար հարկավոր է այս բոլոր թվերը միասին բազմապատկել:

Մեկ այլ տարբերակ.

Մի քանի թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը (LCM) գտնելու համար ձեզ հարկավոր է.

1) յուրաքանչյուր թիվ ներկայացնել որպես իր պարզ գործակիցների արտադրյալ, օրինակ.

504 = 2 2 2 3 3 7,

2) գրեք բոլոր պարզ գործոնների հզորությունները.

504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,

3) գրեք այս թվերից յուրաքանչյուրի բոլոր պարզ բաժանարարները (բազմապատկիչները).

4) ընտրել դրանցից յուրաքանչյուրի ամենամեծ աստիճանը, որը գտնվել է այս թվերի բոլոր ընդլայնումների մեջ.

5) բազմապատկել այս ուժերը.

Օրինակ. Գտե՛ք 168, 180 և 3024 թվերի LCM:

Լուծում. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,

180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1:

Մենք դուրս ենք գրում մեծագույն աստիճաններբոլոր պարզ բաժանարարները և բազմապատկեք դրանք.

NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120:

Մաթեմատիկական արտահայտություններն ու խնդիրները պահանջում են շատ լրացուցիչ գիտելիքներ: ՀԱՕԿ-ը հիմնականներից է, հատկապես հաճախ օգտագործվում է Թեման ուսումնասիրվում է ավագ դպրոցում, և առանձնապես դժվար չէ նյութը հասկանալը, անձը, ով ծանոթ է հզորություններին և բազմապատկման աղյուսակին, չի դժվարանա բացահայտել անհրաժեշտ թվերը և հայտնաբերել արդյունք.

Սահմանում

Ընդհանուր բազմապատիկ այն թիվն է, որը կարելի է ամբողջությամբ բաժանել միաժամանակ երկու թվի (a և b): Ամենից հաճախ այս թիվը ստացվում է a և b սկզբնական թվերը բազմապատկելով: Թիվը պետք է բաժանվի երկու թվերի միանգամից՝ առանց շեղումների։

NOC-ն անվանման համար ընդունված կարճ անվանումն է՝ հավաքված առաջին տառերից։

Թիվ ստանալու ուղիներ

Թվերի բազմապատկման մեթոդը միշտ չէ, որ հարմար է LCM-ն գտնելու համար, այն շատ ավելի հարմար է պարզ միանիշ կամ երկնիշ թվերի համար: Ընդունված է բաժանել գործոնների.

Օրինակ թիվ 1

Ամենապարզ օրինակի համար դպրոցները սովորաբար օգտագործում են պարզ, միանիշ կամ երկնիշ թվեր: Օրինակ՝ պետք է լուծել հետևյալ առաջադրանքը, գտնել 7 և 3 թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը, լուծումը բավականին պարզ է, պարզապես բազմապատկեք դրանք։ Արդյունքում կա 21 թիվ, ավելի փոքր թիվ պարզապես չկա։

Օրինակ թիվ 2

Առաջադրանքի երկրորդ տարբերակը շատ ավելի բարդ է։ Տրված են 300 և 1260 համարները, LOC գտնելը պարտադիր է։ Խնդիրը լուծելու համար ենթադրվում են հետևյալ գործողությունները.

Առաջին և երկրորդ թվերի տարրալուծումը պարզ գործոնների. 300 = 2 2 * 3 * 5 2; 1260 = 2 2 * 3 2 * 5 * 7. Առաջին փուլն ավարտված է.

Երկրորդ փուլը ներառում է արդեն ձեռք բերված տվյալների հետ աշխատանք։ Ստացված թվերից յուրաքանչյուրը պետք է մասնակցի վերջնական արդյունքի հաշվարկին։ Յուրաքանչյուր բազմապատկիչի համար՝ առավելագույնը մեծ թիվերևույթներ. ՀԱՕԿ-ն է ընդհանուր թիվըՀետևաբար, թվերի գործոնները պետք է կրկնվեն դրանում, յուրաքանչյուրը, նույնիսկ նրանք, որոնք առկա են մեկ օրինակում: Երկու սկզբնական համարներն էլ պարունակում են 2, 3 և 5 թվերը, տարբեր ուժերով 7-ը առկա է միայն մեկ դեպքում.

Վերջնական արդյունքը հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է հավասարման մեջ ներդնել յուրաքանչյուր թիվը՝ ներկայացված հզորություններից ամենամեծով: Մնում է միայն բազմապատկել և ստանալ պատասխանը ճիշտ լրացման դեպքում, առաջադրանքը տեղավորվում է երկու քայլի մեջ՝ առանց բացատրության.

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) NOC = 6300.

Սա է ամբողջ խնդիրը, եթե փորձեք հաշվարկել անհրաժեշտ թիվը բազմապատկելով, ապա պատասխանը հաստատ ճիշտ չի լինի, քանի որ 300 * 1260 = 378,000:

Փորձաքննություն:

6300 / 300 = 21 - ճիշտ;

6300 / 1260 = 5 - ճիշտ:

Ստացված արդյունքի ճիշտությունը որոշվում է ստուգելով՝ բաժանելով LCM-ն երկու սկզբնական թվերի վրա, եթե թիվը երկու դեպքում էլ ամբողջ թիվ է, ապա պատասխանը ճիշտ է։

Ի՞նչ է նշանակում ԱՕԿ մաթեմատիկայի մեջ:

Ինչպես գիտեք, մաթեմատիկայի մեջ չկա ոչ մի անպետք ֆունկցիա, սա բացառություն չէ։ Այս թվի ամենատարածված նպատակը կոտորակները կրճատելն է Ընդհանուր հայտարար. Այն, ինչ սովորաբար սովորում են միջնակարգ դպրոցի 5-6-րդ դասարաններում. Այն նաև ընդհանուր բաժանարար է բոլոր բազմապատիկների համար, եթե խնդրի մեջ առկա են այդպիսի պայմաններ: Նման արտահայտությունը կարող է գտնել ոչ միայն երկու թվերի բազմապատիկ, այլև շատ ավելի մեծ թվի՝ երեք, հինգ և այլն։ Ինչպես ավելի շատ թվեր- առաջադրանքի մեջ որքան շատ գործողություններ կան, բայց բարդությունը չի մեծանում:

Օրինակ, հաշվի առնելով 250, 600 և 1500 թվերը, դուք պետք է գտնեք դրանց ընդհանուր LCM.

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 *5 * 2 = 5 3 * 2 - այս օրինակը մանրամասն նկարագրում է ֆակտորիզացիան, առանց կրճատման:

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

Արտահայտություն կազմելու համար անհրաժեշտ է նշել բոլոր գործոնները, այս դեպքում տրված են 2, 5, 3 - այս բոլոր թվերի համար անհրաժեշտ է որոշել առավելագույն աստիճանը։

Ուշադրություն. բոլոր գործոնները պետք է հասցվեն ամբողջական պարզեցման աստիճանի, հնարավորության դեպքում տարրալուծվեն միանիշ մակարդակի:

Փորձաքննություն:

1) 3000 / 250 = 12 - ճիշտ;

2) 3000 / 600 = 5 - ճշմարիտ;

3) 3000 / 1500 = 2 - ճիշտ:

Այս մեթոդը չի պահանջում որևէ հնարք կամ հանճարեղ մակարդակի ունակություններ, ամեն ինչ պարզ է և պարզ։

Մեկ այլ ճանապարհ

Մաթեմատիկայի մեջ շատ բաներ կապված են, շատ բաներ կարելի է լուծել երկու կամ ավելի եղանակներով, նույնը վերաբերում է ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը գտնելու՝ LCM-ին։ Պարզ երկնիշ և միանիշ թվերի դեպքում կարելի է կիրառել հետևյալ մեթոդը. Կազմվում է աղյուսակ, որի մեջ բազմապատկիչը մուտքագրվում է ուղղահայաց, բազմապատկիչը՝ հորիզոնական, իսկ արտադրյալը նշվում է սյունակի հատվող բջիջներում։ Աղյուսակը կարող եք արտացոլել տողի միջոցով, վերցնել մի թիվ և գրել այս թիվը ամբողջ թվերով բազմապատկելու արդյունքները՝ 1-ից մինչև անվերջություն, երբեմն 3-5 միավորը բավական է, երկրորդ և հաջորդ թվերն անցնում են նույն հաշվողական գործընթացին։ Ամեն ինչ տեղի է ունենում այնքան ժամանակ, քանի դեռ չի գտնվել ընդհանուր բազմապատիկ:

Հաշվի առնելով 30, 35, 42 թվերը, դուք պետք է գտնեք բոլոր թվերը միացնող LCM-ը.

1) 30-ի բազմապատիկները՝ 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250 և այլն:

2) 35-ի բազմապատիկները՝ 70, 105, 140, 175, 210, 245 և այլն:

3) 42-ի բազմապատիկները՝ 84, 126, 168, 210, 252 և այլն:

Նկատելի է, որ բոլոր թվերը միանգամայն տարբեր են, նրանց մեջ միակ ընդհանուր թիվը 210-ն է, ուստի այն կլինի ՀԱՕԿ-ը։ Այս հաշվարկի հետ կապված գործընթացների թվում կա նաև ամենամեծը ընդհանուր բաժանարար, որը հաշվարկվում է համանման սկզբունքներով և հաճախ հանդիպում է հարևան խնդիրներում։ Տարբերությունը փոքր է, բայց բավականին զգալի LCM-ն ներառում է թվի հաշվարկ, որը բաժանվում է բոլոր տվյալների վրա սկզբնական արժեքները, իսկ GCD-ն ներառում է հաշվարկը ամենաբարձր արժեքըորով բաժանվում են սկզբնական թվերը։

Սահմանում.Ամենամեծ բնական թիվը, որով a և b թվերը բաժանվում են առանց մնացորդի, կոչվում է ամենամեծ ընդհանուր բաժանարար (GCD)այս թվերը.

Գտնենք 24 և 35 թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը։
24-ի բաժանարարներն են 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, իսկ 35-ի բաժանարարները՝ 1, 5, 7, 35 թվերն են։
Մենք տեսնում ենք, որ 24 և 35 թվերն ունեն միայն մեկ ընդհանուր բաժանարար՝ թիվ 1: Նման թվերը կոչվում են. փոխադարձաբար առաջնային.

Սահմանում.Բնական թվերը կոչվում են փոխադարձաբար առաջնային, եթե նրանց ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը (GCD) 1 է։

Մեծագույն ընդհանուր բաժանարար (GCD)կարելի է գտնել առանց տրված թվերի բոլոր բաժանարարները դուրս գրելու։

48 և 36 թվերը գործակցելով՝ ստանում ենք.
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Այս թվերից առաջինի ընդլայնման մեջ ներառված գործոններից մենք գծում ենք այն գործոնները, որոնք ներառված չեն երկրորդ թվի ընդլայնման մեջ (այսինքն, երկու երկուսը):
Մնացած գործակիցները 2 * 2 * 3 են։ Նրանց արտադրյալը հավասար է 12-ի։ Այս թիվը 48 և 36 թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարն է։ Գտնվում է նաև երեք և ավելի թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը։

Գտնել ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը

2) նշված թվերից մեկի ընդլայնման մեջ ներառված գործոններից հատել դրանք, որոնք ներառված չեն այլ թվերի ընդլայնման մեջ.
3) գտնել մնացած գործոնների արտադրյալը.

Եթե ​​բոլոր տրված թվերը բաժանվում են դրանցից մեկի վրա, ապա այս թիվը ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարըտրված թվեր.
Օրինակ, 15, 45, 75 և 180 թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը 15 թիվն է, քանի որ մնացած բոլոր թվերը բաժանվում են նրա վրա՝ 45, 75 և 180։

Ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը (LCM)

Սահմանում. Ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը (LCM) a և b բնական թվերը ամենափոքր բնական թիվն է, որը բազմապատիկ է և՛ a-ի, և՛ b-ի: 75 և 60 թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը (LCM) կարելի է գտնել առանց այս թվերի բազմապատիկները անընդմեջ գրառելու։ Դա անելու համար եկեք 75-ը և 60-ը դասավորենք պարզ գործակիցների՝ 75 = 3 * 5 * 5 և 60 = 2 * 2 * 3 * 5:
Գրենք այս թվերից առաջինի ընդլայնման մեջ ընդգրկված գործոնները և դրանց ավելացնենք երկրորդ թվի ընդլայնումից բացակայող 2 և 2 գործակիցները (այսինքն՝ միավորում ենք գործակիցները):
Ստանում ենք հինգ գործակից 2 * 2 * 3 * 5 * 5, որոնց արտադրյալը 300 է։ Այս թիվը 75 և 60 թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկն է։

Նրանք նաև գտնում են երեք և ավելի թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը:

Դեպի գտնել ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկըմի քանի բնական թվեր, ձեզ հարկավոր է.
1) դրանք վերածել հիմնական գործոնների.
2) գրել թվերից մեկի ընդլայնման մեջ ներառված գործոնները.
3) դրանց գումարել մնացած թվերի ընդլայնումներից բացակայող գործոնները.
4) գտնել ստացված գործոնների արտադրյալը.

Նկատի ունեցեք, որ եթե այս թվերից մեկը բաժանվում է մնացած բոլոր թվերի վրա, ապա այս թիվը այս թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկն է։
Օրինակ՝ 12, 15, 20 և 60 թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը 60 է, քանի որ այն բաժանվում է բոլոր այդ թվերի վրա։

Պյութագորասը (մ.թ.ա. VI դ.) և նրա աշակերտները ուսումնասիրել են թվերի բաժանելիության հարցը։ Թիվ, գումարին հավասարՆրանք նրա բոլոր բաժանարարներին (առանց թվի բուն) անվանեցին կատարյալ թիվ։ Օրինակ՝ 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) թվերը կատարյալ են։ Հաջորդ կատարյալ թվերն են՝ 496, 8128, 33,550,336 Պյութագորացիները գիտեին միայն առաջին երեք կատարյալ թվերը: Չորրորդը՝ 8128 թվականը, հայտնի է դարձել 1-ին դարում։ n. ե. Հինգերորդը՝ 33,550,336, հայտնաբերվել է 15-րդ դարում։ 1983 թվականին արդեն հայտնի էին 27 կատարյալ թվեր։ Բայց գիտնականները դեռ չգիտեն՝ կա՞ն կենտ կատարյալ թվեր, թե՞ ամենամեծ կատարյալ թիվ:
Հին մաթեմատիկոսների հետաքրքրությունը պարզ թվերի նկատմամբ պայմանավորված է նրանով, որ ցանկացած թիվ կամ պարզ է կամ կարող է ներկայացվել որպես պարզ թվերի արտադրյալ, այսինքն՝ պարզ թվերը նման են աղյուսների, որոնցից կառուցված են մնացած բնական թվերը։
Հավանաբար նկատել եք, որ բնական թվերի շարքում պարզ թվերը առաջանում են անհավասարաչափ՝ շարքի որոշ մասերում դրանք ավելի շատ են, որոշներում՝ ավելի քիչ: Բայց որքան առաջ ենք շարժվում թվերի շարքով, այնքան պարզ թվերը ավելի քիչ են տարածված: Հարց է առաջանում՝ կա՞ արդյոք վերջին (ամենամեծ) պարզ թիվ։ Հին հույն մաթեմատիկոս Էվկլիդեսը (մ.թ.ա. 3-րդ դար) իր «Էլեմենտներ» գրքում, որը մաթեմատիկայի հիմնական դասագիրքն էր երկու հազար տարվա ընթացքում, ապացուցեց, որ կան անսահման շատ պարզ թվեր, այսինքն՝ ամեն պարզ թվի հետևում կա ավելի մեծ պարզ թվեր։ թիվ։
Պարզ թվեր գտնելու համար նույն ժամանակի մեկ այլ հույն մաթեմատիկոս Էրատոստենեսը հայտնագործեց այս մեթոդը։ Նա գրեց բոլոր թվերը 1-ից մինչև ինչ-որ թիվ, այնուհետև հատեց մեկը, որը ոչ պարզ է, ոչ բաղադրյալ թիվ, այնուհետև հատեց մեկի միջով 2-ից հետո եկող բոլոր թվերը (թվերը, որոնք 2-ի բազմապատիկ են, այսինքն՝ 4-ի, 6, 8 և այլն): 2-ից հետո մնացած առաջին թիվը 3-ն էր: Այնուհետև, երկուսից հետո, 3-ից հետո եկող բոլոր թվերը (թվերը, որոնք 3-ի բազմապատիկ էին, այսինքն՝ 6, 9, 12 և այլն) խաչվեցին: վերջում չխաչված մնացին միայն պարզ թվերը։

Առցանց հաշվիչը թույլ է տալիս արագ գտնել երկու կամ ցանկացած այլ թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը և ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը:

Հաշվիչ GCD և LCM գտնելու համար

Գտեք GCD և LOC

Գտնվել է GCD և LOC՝ 5806

Ինչպես օգտագործել հաշվիչը

• Մուտքագրեք թվեր մուտքագրման դաշտում
• Եթե ​​մուտքագրեք սխալ նիշեր, մուտքագրման դաշտը կնշվի կարմիրով
• սեղմեք «Գտեք GCD և LOC» կոճակը

Ինչպես մուտքագրել թվեր

• Թվերը մուտքագրվում են՝ բաժանված բացատով, կետով կամ ստորակետով
• Մուտքագրված թվերի երկարությունը սահմանափակված չէ, ուստի երկար թվերի GCD և LCM գտնելը դժվար չէ

Ի՞նչ են GCD-ն և NOC-ը:

Ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարըմի քանի թվեր ամենամեծ բնական ամբողջ թիվն է, որով բոլոր սկզբնական թվերը բաժանվում են առանց մնացորդի: Ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը կրճատվում է որպես GCD.
Ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկըմի քանի թվեր այն ամենափոքր թիվն է, որը բաժանվում է սկզբնական թվերից յուրաքանչյուրի վրա՝ առանց մնացորդի: Ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը կրճատվում է որպես ՀԱՕԿ.

Ինչպե՞ս ստուգել, ​​որ թիվն առանց մնացորդի բաժանվում է մեկ այլ թվի:

Պարզելու համար, թե արդյոք մի թիվ բաժանվում է մյուսի վրա առանց մնացորդի, կարող եք օգտագործել թվերի բաժանելիության որոշ հատկություններ։ Այնուհետև դրանք համադրելով՝ կարող եք ստուգել դրանցից մի քանիսի բաժանելիությունը և դրանց համակցությունները։

Թվերի բաժանելիության որոշ նշաններ

1. Թվի բաժանելիության թեստ 2-ի վրա
Որոշելու համար, թե արդյոք թիվը բաժանվում է երկուսի (լինի այն զույգ), բավական է նայել այս թվի վերջին թվանշանին. եթե այն հավասար է 0-ի, 2-ի, 4-ի, 6-ի կամ 8-ի, ապա թիվը զույգ է, ինչը նշանակում է, որ այն բաժանվում է 2-ի:
Օրինակ:որոշեք, թե արդյոք 34938 թիվը բաժանվում է 2-ի։
Լուծում:Մենք նայում ենք վերջին թվանշանին՝ 8 - նշանակում է, որ թիվը բաժանվում է երկուսի:

2. Թվի բաժանելիության թեստ 3-ի վրա
Թիվը բաժանվում է 3-ի, երբ նրա թվանշանների գումարը բաժանվում է երեքի։ Այսպիսով, որոշելու համար, թե արդյոք թիվը բաժանվում է 3-ի, դուք պետք է հաշվարկեք թվանշանների գումարը և ստուգեք, թե արդյոք այն բաժանվում է 3-ի: Նույնիսկ եթե թվանշանների գումարը շատ մեծ է, կարող եք նորից կրկնել նույն գործընթացը:
Օրինակ:որոշեք, թե արդյոք 34938 թիվը բաժանվում է 3-ի։
Լուծում:Թվերի գումարը հաշվում ենք՝ 3+4+9+3+8 = 27։ 27-ը բաժանվում է 3-ի, այսինքն՝ թիվը բաժանվում է երեքի։

3. Թվի բաժանելիության թեստ 5-ի վրա
Թիվը բաժանվում է 5-ի, երբ նրա վերջին թվանշանը զրո կամ հինգ է:
Օրինակ:որոշեք, թե արդյոք 34938 թիվը բաժանվում է 5-ի։
Լուծում:նայեք վերջին թվանշանին. 8 նշանակում է, որ թիվը ՉԻ բաժանվում հինգի:

4. Թվի բաժանելիության թեստ 9-ի վրա
Այս նշանը շատ նման է երեքի բաժանելիության նշանին. թիվը բաժանվում է 9-ի, երբ նրա թվանշանների գումարը բաժանվում է 9-ի։
Օրինակ:որոշեք, թե արդյոք 34938 թիվը բաժանվում է 9-ի։
Լուծում:Թվերի գումարը հաշվում ենք՝ 3+4+9+3+8 = 27։ 27-ը բաժանվում է 9-ի, այսինքն՝ թիվը բաժանվում է իննի։

Ինչպես գտնել երկու թվերի GCD և LCM

Ինչպես գտնել երկու թվերի gcd-ն

Մեծ մասը պարզ ձևովԵրկու թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարի հաշվարկը նշանակում է գտնել այս թվերի բոլոր հնարավոր բաժանարարները և ընտրել դրանցից ամենամեծը:

Դիտարկենք այս մեթոդը՝ օգտագործելով GCD(28, 36) գտնելու օրինակը.

1. Մենք գործակցում ենք երկու թվերն էլ՝ 28 = 1·2·2·7, 36 = 1·2·2·3·3
2. Մենք գտնում ենք ընդհանուր գործոններ, այսինքն՝ նրանք, որոնք ունեն երկու թվերն էլ՝ 1, 2 և 2։
3. Մենք հաշվարկում ենք այս գործոնների արտադրյալը՝ 1 2 2 = 4 - սա 28 և 36 թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարն է։

Ինչպես գտնել երկու թվերի LCM

Երկու թվերի ամենափոքր բազմապատիկը գտնելու երկու ամենատարածված եղանակ կա: Առաջին մեթոդն այն է, որ դուք կարող եք գրել երկու թվերի առաջին բազմապատիկները, այնուհետև դրանցից ընտրել մի թիվ, որը կլինի ընդհանուր երկու թվերի և միևնույն ժամանակ ամենափոքրը: Եվ երկրորդը՝ գտնել այս թվերի gcd-ն։ Դիտարկենք միայն այն։

LCM-ը հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է հաշվարկել սկզբնական թվերի արտադրյալը և այն բաժանել նախկինում գտնված GCD-ի վրա: Գտնենք LCM-ն նույն 28 և 36 թվերի համար.

1. Գտե՛ք 28 և 36 թվերի արտադրյալը՝ 28·36 = 1008
2. GCD(28, 36), ինչպես արդեն հայտնի է, հավասար է 4-ի
3. LCM (28, 36) = 1008 / 4 = 252:

Գտնելով GCD և LCM մի քանի թվերի համար

Ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը կարելի է գտնել ոչ թե երկու, այլ մի քանի թվերի համար: Դա անելու համար ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարի համար գտնվելիք թվերը տարրալուծվում են պարզ գործակիցների, այնուհետև գտնվում է այդ թվերի ընդհանուր պարզ գործակիցների արտադրյալը: Կարող եք նաև օգտագործել հետևյալ կապը մի քանի թվերի gcd-ն գտնելու համար. GCD(a, b, c) = GCD(GCD(a, b), c).

Նման հարաբերությունը վերաբերում է ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկին. LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

Օրինակ:Գտեք GCD և LCM 12, 32 և 36 համարների համար:

1. Նախ, եկեք գործոնացնենք թվերը՝ 12 = 1·2·2·3, 32 = 1·2·2·2·2·2, 36 = 1·2·2·3·3:
2. Գտնենք ընդհանուր գործոնները՝ 1, 2 և 2։
3. Նրանց արտադրանքը կտա GCD՝ 1·2·2 = 4
4. Հիմա եկեք գտնենք LCM-ը. դա անելու համար նախ գտնենք LCM (12, 32): 12·32 / 4 = 96:
5. Բոլորի ԱՕԿ-ը գտնելու համար երեք թվեր, անհրաժեշտ է գտնել GCD(96, 36): 96 = 1·2·2·2·2·2·3, 36 = 1·2·2·3·3, GCD = 1·2·2·3 = 12 .
6. LCM(12, 32, 36) = 96·36 / 12 = 288:

Ընդհանուր բազմապատիկ

Պարզ ասած, ցանկացած ամբողջ թիվ, որը բաժանվում է տրված թվերից յուրաքանչյուրի վրա ընդհանուր բազմապատիկտրված ամբողջ թվեր.

Դուք կարող եք գտնել երկուսի ընդհանուր բազմապատիկը և ավելինամբողջ թվեր.

Օրինակ 1

Հաշվե՛ք երկու թվերի ընդհանուր բազմապատիկը` $2$ և $5$։

Լուծում.

Ըստ սահմանման, $2$-ի և $5$-ի ընդհանուր բազմապատիկը $10$ է, քանի որ դա $2$ թվի և $5$ թվի բազմապատիկն է.

$2$ և $5$ թվերի ընդհանուր բազմապատիկները կլինեն նաև $–10, 20, –20, 30, –30$ և այլն թվերը, քանի որ բոլորը բաժանված են $2$ և $5$ թվերի։

Ծանոթագրություն 1

Զրոն ոչ զրոյական ամբողջ թվերի ցանկացած թվի ընդհանուր բազմապատիկն է:

Ըստ բաժանելիության հատկությունների՝ եթե որոշակի թիվը մի քանի թվերի ընդհանուր բազմապատիկ է, ապա նշանով հակառակ թիվը նույնպես կլինի տրված թվերի ընդհանուր բազմապատիկ։ Սա կարելի է տեսնել դիտարկված օրինակից:

Տրված ամբողջ թվերի համար դուք միշտ կարող եք գտնել նրանց ընդհանուր բազմապատիկը:

Օրինակ 2

Հաշվեք $111$ և $55$ ընդհանուր բազմապատիկը։

Լուծում.

Բազմապատկենք տրված թվերը՝ $111\div 55=6105$։ Հեշտ է ստուգել, ​​որ $6105$ թիվը բաժանվում է $111$ թվի և $55$ թվի վրա.

$6105\div 111=$55;

$6105\div 55=$111:

Այսպիսով, $6105$-ը $111$-ի և $55$-ի ընդհանուր բազմապատիկն է։

Պատասխանել$111$-ի և $55$-ի ընդհանուր բազմապատիկը $6105$ է:

Բայց, ինչպես արդեն տեսանք նախորդ օրինակից, այս ընդհանուր բազմապատիկը մեկ չէ։ Այլ ընդհանուր բազմապատիկները կլինեն $–6105, 12210, –12210, 61050, –61050$ և այլն։ Այսպիսով, մենք եկանք հետևյալ եզրակացության.

Ծանոթագրություն 2

Ամբողջ թվերի ցանկացած բազմություն ունի անսահման թվով ընդհանուր բազմապատիկներ:

Գործնականում դրանք սահմանափակվում են միայն դրական ամբողջ թվերի (բնական) թվերի ընդհանուր բազմապատիկ գտնելով, քանի որ Տրված թվի և նրա հակադիր բազմապատիկների բազմությունները համընկնում են։

Նվազագույն ընդհանուր բազմակի որոշում

Տրված թվերի բոլոր բազմապատիկներից ամենից հաճախ օգտագործվում է ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը (LCM):

Սահմանում 2

Տրված ամբողջ թվերի նվազագույն դրական ընդհանուր բազմապատիկը նվազագույն ընդհանուր բազմապատիկայս թվերը.

Օրինակ 3

Հաշվե՛ք $4$ և $7$ թվերի LCM-ը։

Լուծում.

Որովհետեւ այս թվերը չունեն ընդհանուր բաժանարարներ, ապա $LCM(4,7)=28$:

Պատասխանել$NOK (4,7)=28$:

GCD-ի միջոցով NOC-ի որոնում

Որովհետեւ LCM-ի և GCD-ի միջև կա կապ, նրա օգնությամբ դուք կարող եք հաշվարկել Երկու դրական ամբողջ թվերի LCM:

Ծանոթագրություն 3

Օրինակ 4

Հաշվե՛ք $232$ և $84$ թվերի LCM-ը։

Լուծում.

Եկեք օգտագործենք LCM-ն GCD-ի միջոցով գտնելու բանաձևը.

$LCD (a,b)=\frac(a\cdot b)(GCD (a,b))$

Եկեք գտնենք $232$ և $84$ թվերի GCD-ն՝ օգտագործելով Էվկլիդեսյան ալգորիթմը.

$232=84\cdot 2+64$,

$84=64\cdot 1+20$,

$64=20\cdot 3+4$,

Նրանք. $GCD(232, 84)=4$:

Եկեք գտնենք $LCC (232, 84)$:

$NOK (232.84)=\frac(232\cdot 84)(4)=58\cdot 84=4872$

Պատասխանել$NOK (232.84) = $4872:

Օրինակ 5

Հաշվեք $LCD(23, 46)$:

Լուծում.

Որովհետեւ $46$-ը բաժանվում է $23$-ի, ապա $gcd (23, 46)=23$։ Եկեք գտնենք LOC-ը.

$NOK (23,46)=\frac(23\cdot 46)(23)=46$

Պատասխանել$NOK (23.46)=$46:

Այսպիսով, կարելի է ձևակերպել կանոն:

Ծանոթագրություն 4