محل قرار گرفتن محلات در محور مختصات چگونه خواهد بود. هواپیمای مختصات: چیست؟ نحوه علامت گذاری نقاط و ساخت اشکال در صفحه مختصات
اگر دایره عدد واحد را روی آن قرار دهید هواپیمای مختصات، سپس مختصاتی برای نقاط آن پیدا می شود. دایره عددی طوری قرار می گیرد که مرکز آن با مبدا هواپیما، یعنی نقطه O (0؛ 0) منطبق باشد.
معمولا روی دایره شماره واحد نقاط مربوط به مبدا دایره مشخص می شود
- چهارم - 0 یا 2π، π/2، π، (2π)/3،
- ربع میانی - π/4، (3π)/4، (5π)/4، (7π)/4،
- یک سوم چهارم - π/6، π/3، (2π)/3، (5π)/6، (7π)/6، (4π)/3، (5π)/3، (11π)/6.
در صفحه مختصات، با محل بالا دایره واحد روی آن، می توانید مختصات مربوط به این نقاط دایره را پیدا کنید.
یافتن مختصات انتهای محله ها بسیار آسان است. در نقطه 0 دایره، مختصات x 1 و مختصات y 0 است. می‌توانیم آن را به صورت A (0) = A (1؛ 0) نشان دهیم.
پایان سه ماهه اول روی محور y مثبت قرار خواهد گرفت. بنابراین، B (π/2) = B (0؛ 1).
پایان سه ماهه دوم روی نیم محور منفی است: C (π) = C (-1؛ 0).
پایان کوارتر سوم: D ((2π)/3) = D (0; -1).
اما چگونه مختصات نقاط میانی یک چهارم را پیدا کنیم؟ برای این می سازند مثلث قائم الزاویه. هیپوتنوز آن قطعه ای از مرکز دایره (یا مبدأ) تا نقطه میانی یک چهارم دایره است. این شعاع دایره است. از آنجایی که یک دایره واحد وجود دارد، هیپوتانوس برابر با 1 است. سپس از نقطه ای از دایره به هر محوری عمود بکشید. بگذارید به سمت محور x باشد. نتیجه یک مثلث قائم الزاویه است که طول پاهای آن مختصات x و y نقطه روی دایره است.
یک چهارم دایره 90 درجه است. و نیم ربع 45 درجه است. از آنجایی که هیپوتنوز به نقطه میانی ربع کشیده می شود، زاویه بین هیپوتنوز و ساق که از مبدأ امتداد می یابد 45 درجه است. اما مجموع زوایای هر مثلث 180 درجه است. در نتیجه، زاویه بین هیپوتنوز و پای دیگر نیز 45 درجه باقی می ماند. این باعث ایجاد مثلث قائم الزاویه متساوی الساقین می شود.
از قضیه فیثاغورث معادله x 2 + y 2 = 1 2 را به دست می آوریم. از آنجایی که x = y و 1 2 = 1، معادله به x 2 + x 2 = 1 ساده می شود. با حل آن، x = √½ = 1/√2 = √2/2 به دست می آوریم.
بنابراین، مختصات نقطه M 1 (π/4) = M 1 (√2/2؛ √2/2).
در مختصات نقاط میانی ربع های دیگر، فقط علائم تغییر می کند و ماژول های مقادیر ثابت می مانند، زیرا مثلث قائم الزاویه فقط برگردانده می شود. دریافت می کنیم:
M 2 ((3π)/4) = M 2 (-√2/2؛ √2/2)
M 3 ((5π)/4) = M 3 (-√2/2؛ -√2/2)
M 4 ((7π)/4) = M 4 (√2/2؛ -√2/2)
هنگام تعیین مختصات قسمت های سوم ربع های یک دایره، یک مثلث قائم الزاویه نیز ساخته می شود. اگر نقطه π/6 را بگیریم و عمود بر محور x رسم کنیم، آنگاه زاویه بین هیپوتنوز و پایی که روی محور x قرار دارد 30 درجه خواهد بود. مشخص است که پایی که در مقابل زاویه 30 درجه قرار دارد برابر با نیمی از هیپوتونوس است. این بدان معنی است که ما مختصات y را پیدا کرده ایم، برابر با ½ است.
با دانستن طول هایپوتنوس و یکی از پاها، با استفاده از قضیه فیثاغورث، پای دیگر را پیدا می کنیم:
x 2 + (½) 2 = 1 2
x 2 = 1 - ¼ = ¾
x = √3/2
بنابراین T 1 (π/6) = T 1 (√3/2؛ ½).
برای نقطه یک سوم دوم ربع اول (π/3) بهتر است عمود بر محور به محور y رسم کنیم. سپس زاویه در مبدا نیز 30 درجه خواهد بود. در اینجا مختصات x برابر با ½ و y خواهد بود، به ترتیب √3/2: T 2 (π/3) = T 2 (½؛ √3/2).
برای سایر نقاط سه ماهه سوم، علائم و ترتیب مقادیر مختصات تغییر می کند. تمام نقاطی که به محور x نزدیکتر هستند، مقدار مختصات مدول x برابر با √3/2 خواهند داشت. نقاطی که به محور y نزدیکتر هستند، مقدار مدول y برابر با √3/2 خواهند داشت.
T 3 ((2π)/3) = T 3 (-½؛ √3/2)
T 4 ((5π)/6) = T 4 (-√3/2؛ ½)
T 5 ((7π)/6) = T 5 (-√3/2؛ -½)
T 6 ((4π)/3) = T 6 (-½؛ -√3/2)
T 7 ((5π)/3) = T 7 (½؛ -√3/2)
T 8 ((11π)/6) = T 8 (√3/2؛ -½)
در زندگی روزمرهاغلب می توانید این جمله را بشنوید: "مختصاتت را به من بگذار." در پاسخ، شخص معمولاً آدرس یا شماره تلفن خود را می گذارد، یعنی داده هایی که می توان با آنها پیدا کرد.
مختصات را می توان با مجموعه های مختلفی از اعداد یا حروف نشان داد.
به عنوان مثال، یک شماره ماشین مختصات است، زیرا با شماره ماشین می توانید مشخص کنید که از کدام شهر است و مالک آن کیست.
مختصات- این مجموعه ای از داده ها است که موقعیت یک شی از آن تعیین می شود.
نمونه هایی از مختصات عبارتند از: شماره ماشین و صندلی در قطار، طول و عرض جغرافیایی روشن نقشه جغرافیایی، ثبت موقعیت یک مهره روی صفحه شطرنج، موقعیت یک نقطه روی یک خط اعداد و غیره.
هر گاه طبق قواعد خاصی، شیئی را با مجموعه ای از حروف، اعداد یا نمادهای دیگر به طور واضح تعیین می کنیم، مختصات شی را مشخص می کنیم.
سیستم مختصات دکارتی
ریاضیدان فرانسوی رنه دکارت (1596 - 1650) پیشنهاد کرد که موقعیت یک نقطه در یک صفحه با استفاده از دو مختصات مشخص شود.
برای یافتن مختصات، به نشانه‌هایی نیاز دارید که از آنها بشمارید.
- در یک صفحه، دو محور عددی به عنوان نقاط مرجع عمل خواهند کرد. در نقشه، محور اول معمولاً به صورت افقی ترسیم می شود که به آن محور ABSCISS می گویند و با حرف X مشخص می شود و محور Ox نوشته می شود. جهت مثبت در محور x از چپ به راست انتخاب شده و با فلش نشان داده شده است.
- محور دوم به صورت عمودی ترسیم می شود که به آن محور ORDINATE می گویند و با حرف Y مشخص می شود، محور Oy نوشته می شود. جهت مثبت در محور ارتین از پایین به بالا انتخاب شده و با یک فلش نشان داده شده است.
محورها متقابلاً عمود هستند (یعنی زاویه بین آنها 90 درجه است) و در نقطه ای که O تعیین شده است قطع می شوند. نقطه O مبدا هر یک از محورها است.
سیستم مختصات- اینها دو خط مختصات متقابل عمود بر یکدیگر هستند که در یک نقطه متقاطع می شوند که مبدا مرجع هر یک از آنها است.
محورهای مختصات خطوط مستقیمی هستند که یک سیستم مختصات را تشکیل می دهند.
محور آبسیسا(Ox) - محور افقی.
محور Y(Oy) - محور عمودی.
صفحه مختصات صفحه ای است که سیستم مختصات در آن ساخته شده است. این هواپیما به عنوان x0y تعیین شده است.
توجه شما را به انتخاب طول تک قطعه ها در امتداد محورها جلب می کنیم.
اعداد نشان دهنده مقادیر عددیروی محورها می توان هم در سمت راست و هم در سمت چپ محور Oy قرار گرفت. اعداد روی محور Ox معمولاً در زیر محور نوشته می شوند.
به طور معمول، یک قطعه واحد در محور 0y برابر است با یک قطعه واحد در محور 0x. اما مواردی وجود دارد که آنها با یکدیگر برابر نیستند.
محورهای مختصات صفحه را به 4 زاویه تقسیم می کنند که به آنها می گویند مختصات چهارم. ربع تشکیل شده توسط نیم محورهای مثبت (گوشه سمت راست بالا) اولین (I) در نظر گرفته می شود.
ربع ها (یا زوایا را مختصات) خلاف جهت عقربه های ساعت می شماریم.
یک سیستم مختصات مستطیلی در یک صفحه با دو خط مستقیم عمود بر یکدیگر تعریف می شود. خطوط مستقیم را محور مختصات (یا محور مختصات) می نامند. نقطه تلاقی این خطوط مبدا نامیده می شود و با حرف O مشخص می شود.
معمولاً یکی از خطوط افقی و دیگری عمودی است. خط افقی به عنوان محور x (یا Ox) تعیین می شود و به آن محور آبسیسا می گویند، خط عمودی محور y (Oy) است که به آن محور ارتین می گویند. کل سیستم مختصات xOy تعیین شده است.
نقطه O هر یک از محورها را به دو نیمه محور تقسیم می کند که یکی از آنها مثبت در نظر گرفته می شود (با یک فلش مشخص می شود) و دیگری منفی است.
به هر نقطه F هواپیما یک جفت اعداد (x;y) - مختصات آن اختصاص داده شده است.
مختصات x را آبسیسا می نامند. برابر با Ox است که با علامت مناسب گرفته شده است.
مختصات y مختصات نامیده می شود و برابر با فاصله نقطه F تا محور Oy (با علامت مناسب) است.
فاصله محورها معمولاً (اما نه همیشه) در یک واحد طول اندازه گیری می شود.
نقاط واقع در سمت راست محور y دارای ابسیساهای مثبت هستند. نقاطی که در سمت چپ محور مختصات قرار دارند دارای ابسیسا منفی هستند. برای هر نقطه ای که روی محور Oy قرار دارد، مختصات x آن صفر است.
نقاطی که دارای یک ارتجاع مثبت در بالای محور x قرار دارند و نقاطی با یک ارتین منفی در زیر قرار دارند. اگر نقطه ای روی محور Ox قرار گیرد، مختصات y آن صفر است.
محورهای مختصات صفحه را به چهار قسمت تقسیم می کنند که به آنها ربع مختصات (یا زوایای مختصات یا ربع) می گویند.
1 ربع مختصاتدر گوشه سمت راست بالای صفحه مختصات xOy قرار دارد. هر دو مختصات نقاط واقع در سه ماهه اول مثبت هستند.
انتقال از یک چهارم به چهارم دیگر در خلاف جهت عقربه های ساعت انجام می شود.
ربع 2 مختصاتدر گوشه سمت چپ بالا قرار دارد. نقاطی که در سه ماهه دوم قرار دارند دارای ابسیسا منفی و مختصات مثبت هستند.
ربع مختصات 3در ربع پایین سمت چپ صفحه xOy قرار دارد. هر دو مختصات نقاط متعلق به زاویه مختصات III منفی هستند.
ربع 4 مختصاتگوشه سمت راست پایین صفحه مختصات است. هر نقطه از ربع چهارم دارای مختصات اول مثبت و دوم منفی است.
مثالی از مکان نقاط در یک سیستم مختصات مستطیلی:
ریاضیات یک علم نسبتاً پیچیده است. در حین مطالعه آن، نه تنها باید مثال ها و مسائل را حل کنید، بلکه باید با اشکال و حتی صفحات مختلف نیز کار کنید. یکی از پرکاربردترین آنها در ریاضیات، سیستم مختصات در هواپیما است. کار مناسبکودکان بیش از یک سال است که با او آموزش می بینند. بنابراین، مهم است که بدانیم چیست و چگونه با آن به درستی کار کنیم.
بیایید بفهمیم که چیست این سیستم، چه اقداماتی را می توان با کمک آن انجام داد و همچنین ویژگی ها و ویژگی های اصلی آن را یاد گرفت.
تعریف مفهوم
صفحه مختصات صفحه ای است که در آن سیستم خاصمختصات چنین صفحه ای با دو خط مستقیم که در زوایای قائم قطع می شوند تعریف می شود. در نقطه تلاقی این خطوط مبدا مختصات است. هر نقطه در صفحه مختصات با یک جفت اعداد به نام مختصات مشخص می شود.
در یک دوره ریاضی مدرسه، دانش‌آموزان باید کاملاً با یک سیستم مختصات کار کنند - شکل‌ها و نقاطی را روی آن بسازند، مشخص کنند مختصات خاص به کدام صفحه تعلق دارد، و همچنین مختصات یک نقطه را تعیین کنند و آنها را بنویسند یا نام ببرند. بنابراین، بیایید در مورد تمام ویژگی های مختصات با جزئیات بیشتری صحبت کنیم. اما ابتدا بیایید به تاریخچه خلقت بپردازیم و سپس در مورد نحوه کار بر روی صفحه مختصات صحبت خواهیم کرد.
پیشینه تاریخی
ایده های ایجاد یک سیستم مختصات در زمان بطلمیوس وجود داشت. حتی در آن زمان، اخترشناسان و ریاضیدانان به این فکر می کردند که چگونه می توانند موقعیت یک نقطه را در هواپیما تعیین کنند. متأسفانه در آن زمان هیچ سیستم مختصاتی برای ما شناخته شده نبود و دانشمندان مجبور بودند از سیستم های دیگری استفاده کنند.
آنها در ابتدا نقاطی را با استفاده از طول و عرض جغرافیایی مشخص می کردند. برای مدت طولانیاین یکی از پرکاربردترین روش ها برای قرار دادن این یا آن اطلاعات روی نقشه بود. اما در سال 1637 رنه دکارت خلق کرد سیستم خودمختصات که بعداً به نام "دکارتی" نامگذاری شد.
قبلاً در پایان قرن هفدهم. مفهوم "صفحه مختصات" به طور گسترده در دنیای ریاضیات مورد استفاده قرار گرفته است. با وجود گذشت چندین قرن از ایجاد این سیستم، هنوز هم در ریاضیات و حتی در زندگی کاربرد زیادی دارد.
نمونه هایی از یک هواپیما مختصات
قبل از صحبت در مورد تئوری، اجازه دهید چند مورد را بیان کنیم نمونه های گویاصفحه مختصات تا بتوانید آن را تجسم کنید. سیستم مختصات عمدتاً در شطرنج استفاده می شود. روی تخته، هر مربع مختصات خود را دارد - یک مختصات حروف الفبا، دومی دیجیتال است. با کمک آن می توانید موقعیت یک قطعه خاص را روی تخته تعیین کنید.
دومین نمونه بارز، بازی مورد علاقه بسیاری است. نبرد دریایی" به یاد داشته باشید که چگونه، هنگام بازی، یک مختصات را نام می برید، به عنوان مثال، B3، بنابراین دقیقاً نشان می دهد که در آن هدف دارید. در عین حال، هنگام قرار دادن کشتی ها، نقاطی را در صفحه مختصات مشخص می کنید.
این سیستم مختصات نه تنها در ریاضیات و بازی های منطقی، بلکه در امور نظامی، نجوم، فیزیک و بسیاری از علوم دیگر کاربرد فراوانی دارد.
محورهای مختصات
همانطور که قبلا ذکر شد، دو محور در سیستم مختصات وجود دارد. بیایید کمی در مورد آنها صحبت کنیم، زیرا آنها از اهمیت قابل توجهی برخوردار هستند.
محور اول آبسیسا - افقی است. به صورت ( گاو نر). محور دوم مختصات است که به صورت عمودی از نقطه مرجع می گذرد و به صورت (( اوه). این دو محور هستند که سیستم مختصات را تشکیل می دهند و هواپیما را به چهار قسمت تقسیم می کنند. مبدا در نقطه تلاقی این دو محور قرار دارد و مقدار را می گیرد 0 . فقط اگر صفحه از دو محور که عمود بر هم متقاطع هستند و دارای نقطه مرجع هستند تشکیل شده باشد، یک صفحه مختصات است.
همچنین توجه داشته باشید که هر یک از محورها جهت خاص خود را دارند. معمولاً هنگام ساخت یک سیستم مختصات، مرسوم است که جهت محور را به شکل فلش نشان می دهند. علاوه بر این، هنگام ساخت یک صفحه مختصات، هر یک از محورها علامت گذاری می شود.
ربع
حالا بیایید چند کلمه در مورد مفهومی مانند چهارم صفحه مختصات بگوییم. این هواپیما توسط دو محور به چهار قسمت تقسیم می شود. هر کدام از آنها شماره مخصوص به خود را دارند و هواپیماها در خلاف جهت عقربه های ساعت شماره گذاری می شوند.
هر کدام از محله ها ویژگی های خاص خود را دارند. بنابراین، در ربع اول مجزا و منتسب مثبت، در ربع دوم مجمل منفی، مجمل مثبت، در ربع سوم هر دو مجمل و مجمل منفی، در ربع چهارم انتزاع مثبت و مجمل منفی است. .
با به خاطر سپردن این ویژگی ها، به راحتی می توانید تعیین کنید که یک نقطه خاص متعلق به کدام چهارم است. علاوه بر این، اگر مجبور به انجام محاسبات با استفاده از سیستم دکارتی هستید، ممکن است این اطلاعات برای شما مفید باشد.
کار با هواپیمای مختصات
وقتی مفهوم هواپیما را فهمیدیم و در مورد قسمت های آن صحبت کردیم، می توانیم به سراغ مشکلی مانند کار با این سیستم برویم و همچنین در مورد نحوه قرار دادن نقاط و مختصات ارقام روی آن صحبت کنیم. در صفحه مختصات، انجام این کار آنقدرها هم که در نگاه اول به نظر می رسد دشوار نیست.
اول از همه، خود سیستم ساخته شده است، تمام نامگذاری های مهم به آن اعمال می شود. سپس مستقیماً با نقاط یا اشکال کار می کنیم. علاوه بر این، حتی هنگام ساختن شکل ها، ابتدا نقاط روی صفحه ترسیم می شوند و سپس شکل ها ترسیم می شوند.
قوانین ساخت هواپیما
اگر تصمیم به علامت گذاری اشکال و نقاط روی کاغذ دارید، به یک صفحه مختصات نیاز دارید. مختصات نقاط روی آن رسم شده است. برای ساختن یک صفحه مختصات فقط به یک خط کش و یک خودکار یا مداد نیاز دارید. ابتدا محور افقی ترسیم می شود سپس محور عمودی ترسیم می شود. مهم است که به یاد داشته باشید که محورها در زوایای قائمه همدیگر را قطع می کنند.
بعدی مورد اجباریعلامت گذاری می کند. در هر یک از محورها در هر دو جهت، بخش های واحد علامت گذاری و برچسب گذاری می شوند. این کار به گونه ای انجام می شود که بتوانید با حداکثر راحتی با هواپیما کار کنید.
یک نقطه را علامت گذاری کنید
حالا بیایید در مورد نحوه رسم مختصات نقاط در صفحه مختصات صحبت کنیم. این اصولی است که شما باید بدانید تا با موفقیت انواع اشکال را در یک هواپیما قرار دهید و حتی معادلات را علامت گذاری کنید.
هنگام ساختن نقاط، باید به یاد داشته باشید که مختصات آنها چگونه به درستی نوشته شده است. بنابراین، معمولاً هنگام تعیین یک نقطه، دو عدد در داخل پرانتز نوشته می شود. رقم اول مختصات نقطه را در امتداد محور آبسیسا نشان می دهد، رقم دوم - در امتداد محور مختصات.
نقطه باید به این شکل ساخته شود. ابتدا روی محور علامت بزنید گاو نرنقطه مشخص شده، سپس نقطه را روی محور علامت بزنید اوه. بعد، خطوط خیالی را از این نامگذاری ها بکشید و محل تلاقی آنها را پیدا کنید - این نقطه داده شده خواهد بود.
تنها کاری که باید انجام دهید این است که آن را علامت بزنید و امضا کنید. همانطور که می بینید، همه چیز بسیار ساده است و نیازی به مهارت خاصی ندارد.
شکل را قرار دهید
حال به موضوع ساختن ارقام در یک صفحه مختصات می پردازیم. برای ساختن هر شکلی در صفحه مختصات، باید بدانید که چگونه نقاط را روی آن قرار دهید. اگر می دانید چگونه این کار را انجام دهید، پس قرار دادن یک شکل در هواپیما چندان دشوار نیست.
اول از همه، شما به مختصات نقاط شکل نیاز دارید. با توجه به آنها است که ما مواردی را که شما انتخاب کرده اید در سیستم مختصات خود اعمال خواهیم کرد.
بیایید با یک مستطیل شروع کنیم. اعمال آن بسیار آسان است. ابتدا چهار نقطه روی صفحه مشخص می شود که گوشه های مستطیل را نشان می دهد. سپس تمام نقاط به صورت متوالی به یکدیگر متصل می شوند.
رسم مثلث تفاوتی ندارد. تنها چیزی که وجود دارد این است که سه زاویه دارد، به این معنی که سه نقطه در صفحه مشخص شده است که نشان دهنده رئوس آن است.
در مورد دایره باید مختصات دو نقطه را بدانید. نقطه اول مرکز دایره است، نقطه دوم نقطه ای است که شعاع آن را نشان می دهد. این دو نقطه در هواپیما ترسیم شده است. سپس یک قطب نما بردارید و فاصله بین دو نقطه را اندازه بگیرید. نوک قطب نما در نقطه ای که مرکز را مشخص می کند قرار می گیرد و یک دایره توصیف می شود.
همانطور که می بینید، در اینجا نیز هیچ چیز پیچیده ای وجود ندارد، نکته اصلی این است که همیشه یک خط کش و قطب نما در دست دارید.
اکنون می دانید که چگونه مختصات ارقام را رسم کنید. انجام این کار در هواپیمای مختصات آنقدرها هم که در نگاه اول به نظر می رسد دشوار نیست.
نتیجه گیری
بنابراین، ما به یکی از جالب ترین و اساسی ترین مفاهیم ریاضی که هر دانش آموزی باید با آن سر و کار داشته باشد، نگاه کرده ایم.
ما دریافتیم که صفحه مختصات صفحه ای است که از تقاطع دو محور تشکیل شده است. با کمک آن می توانید مختصات نقاط را تنظیم کنید و شکل هایی را روی آن ترسیم کنید. این هواپیما به قسمت هایی تقسیم می شود که هر کدام ویژگی های خاص خود را دارند.
مهارت اصلی که باید هنگام کار با یک صفحه مختصات ایجاد شود، توانایی ترسیم صحیح نقاط داده شده روی آن است. برای انجام این کار باید بدانید مکان صحیحمحورها، ویژگی های ربع ها، و همچنین قوانینی که با آن مختصات نقاط مشخص می شود.
امیدواریم اطلاعاتی که ارائه کردیم در دسترس و قابل فهم بوده باشد و همچنین برای شما مفید بوده و به درک بهتر این موضوع کمک کرده باشد.
