بزرگترین زاویه متوازی الاضلاع به چه معناست؟ قضایای متوازی الاضلاع
متوازی الاضلاع چهار ضلعی است که اضلاع مقابل آن موازی هستند، یعنی روی خطوط موازی قرار دارند (شکل 1).
قضیه 1. در مورد خصوصیات اضلاع و زوایای متوازی الاضلاع.در متوازی الاضلاع، اضلاع مقابل برابر، زوایای مقابل با هم برابرند و مجموع زوایای مجاور یک ضلع متوازی الاضلاع 180 درجه است.
اثبات در این متوازی الاضلاع ABCD یک AC مورب رسم می کنیم و دو مثلث ABC و ADC بدست می آوریم (شکل 2).
این مثلث ها مساوی هستند، زیرا ∠ 1 = ∠ 4، ∠ 2 = ∠ 3 (زوایای متقاطع برای خطوط موازی)، و ضلع AC مشترک است. از تساوی Δ ABC = Δ ADC نتیجه می شود که AB = CD، BC = AD، ∠ B = ∠ D. مجموع زوایای مجاور یک ضلع، برای مثال زوایای A و D، برابر با 180 درجه یک طرفه است. برای خطوط موازی قضیه ثابت شده است.
نظر دهید. تساوی اضلاع متوازی الاضلاع به این معنی است که قسمت های موازی بریده شده توسط موازی ها با هم برابر هستند.
نتیجه 1. اگر دو خط موازی باشند، تمام نقاط یک خط در یک فاصله از خط دیگر قرار دارند.
اثبات در واقع، اجازه دهید یک || ب (شکل 3).
اجازه دهید عمودهای BA و CD را از دو نقطه B و C از خط b به خط مستقیم a رسم کنیم. از آنجایی که AB || CD، سپس شکل ABCD متوازی الاضلاع است و بنابراین AB = CD.
فاصله بین دو خط موازی فاصله یک نقطه دلخواه در یکی از خطوط تا خط دیگر است.
طبق آنچه ثابت شد، برابر است با طول عمود رسم شده از نقطه ای از یکی از خطوط موازی به خط دیگر.
مثال 1.محیط متوازی الاضلاع 122 سانتی متر است اضلاع متوازی الاضلاع.
راه حل. با قضیه 1، اضلاع مقابل متوازی الاضلاع برابر هستند. یک طرف متوازی الاضلاع را با x و طرف دیگر را با y نشان می دهیم. سپس، با شرط $$\left\(\begin(ماتریس) 2x + 2y = 122 \\x - y = 25 \end(ماتریس)\right.$$ با حل این سیستم، x = 43، y = 18 را بدست می آوریم. بنابراین، اضلاع متوازی الاضلاع 18، 43، 18 و 43 سانتی متر هستند.
مثال 2.
راه حل. اجازه دهید شکل 4 شرایط مسئله را برآورده کند.
اجازه دهید AB را با x و BC را با y نشان دهیم. با توجه به شرط، محیط متوازی الاضلاع 10 سانتی متر است، یعنی 2(x + y) = 10، یا x + y = 5. محیط مثلث ABD 8 سانتی متر است و از آنجایی که AB + AD = x + y = است 5 سپس BD = 8 - 5 = 3. بنابراین BD = 3 سانتی متر.
مثال 3.زوایای متوازی الاضلاع را بیابید و بدانید که یکی از آنها 50 درجه از دیگری بزرگتر است.
راه حل. اجازه دهید شکل 5 شرایط مسئله را برآورده کند.
اجازه دهید درجه زاویه A را با x نشان دهیم. سپس اندازه درجه زاویه D x + 50 درجه است.
زوایای BAD و ADC زوایای داخلی یک طرفه با خطوط موازی AB و DC و مقطع AD هستند. سپس مجموع این زوایای نامگذاری شده 180 درجه خواهد بود، یعنی.
x + x + 50 درجه = 180 درجه، یا x = 65 درجه. بنابراین، ∠ A = ∠ C = 65 درجه، a ∠ B = ∠ D = 115 درجه.
مثال 4.اضلاع متوازی الاضلاع 4.5 dm و 1.2 dm است. یک نیمساز از راس یک زاویه تند رسم می شود. به چه قسمت هایی تقسیم می شود؟ سمت بزرگمتوازی الاضلاع؟
راه حل. اجازه دهید شکل 6 شرایط مسئله را برآورده کند.
AE نیمساز یک زاویه تند متوازی الاضلاع است. بنابراین، ∠ 1 = ∠ 2.
متوازی الاضلاع چهار ضلعی است که در آن اضلاع مقابل به صورت جفت موازی هستند.
متوازی الاضلاع تمام خصوصیات چهارضلعی را دارد، اما علاوه بر آن ویژگی های خاص خود را نیز دارد ویژگی های متمایز. با دانستن آنها، به راحتی می توانیم اضلاع و زوایای متوازی الاضلاع را پیدا کنیم.
خواص متوازی الاضلاع
- مجموع زوایای هر متوازی الاضلاع، مانند هر چهارضلعی، 360 درجه است.
- خطوط وسط متوازی الاضلاع و قطرهای آن در یک نقطه قطع می شوند و توسط آن نصف می شوند. این نقطه معمولاً مرکز تقارن متوازی الاضلاع نامیده می شود.
- اضلاع مقابل متوازی الاضلاع همیشه با هم برابرند.
- همچنین این شکل همیشه دارای زوایای متضاد برابر است.
- مجموع زوایایی که در مجاورت هر یک از اضلاع متوازی الاضلاع قرار دارند همیشه 180 درجه است.
- مجموع مربع های مورب متوازی الاضلاع برابر است با دو برابر مجموع مربع های دو ضلع مجاور آن. این با فرمول بیان می شود:
- d 1 2 + d 2 2 = 2 (a 2 + b 2)، که در آن d 1 و d 2 مورب هستند، a و b اضلاع مجاور هستند.
- کسینوس یک زاویه منفرد همیشه کمتر از صفر است.
چگونه می توان زوایای متوازی الاضلاع معین را با استفاده از این ویژگی ها در عمل پیدا کرد؟ و چه فرمول های دیگری می تواند در این مورد به ما کمک کند؟ بیایید به وظایف خاصی نگاه کنیم که نیاز دارند: پیدا کردن زوایای متوازی الاضلاع.
پیدا کردن زوایای متوازی الاضلاع
مورد 1. اندازه یک زاویه منفرد مشخص است.
مثال: در متوازی الاضلاع ABCD، زاویه A 120 درجه است. اندازه زوایای باقیمانده را پیدا کنید.
راه حل: با استفاده از خاصیت شماره 5 می توانیم اندازه زاویه B را در مجاورت زاویه داده شده در کار پیدا کنیم. برابر خواهد بود با:
- 180-120 درجه = 60 درجه
و اکنون با استفاده از خاصیت شماره 4 مشخص می کنیم که دو زاویه C و D باقیمانده مخالف زوایایی هستند که قبلاً پیدا کرده ایم. زاویه C مخالف زاویه A و زاویه D مخالف زاویه B است. بنابراین آنها به صورت جفت برابر هستند.
- پاسخ: B = 60 درجه، C = 120 درجه، D=60 درجه
حالت 2. طول اضلاع و قطرها مشخص است
در این مورد باید از قضیه کسینوس استفاده کنیم.
ابتدا می‌توانیم از فرمول برای محاسبه کسینوس زاویه مورد نیاز خود استفاده کنیم و سپس با استفاده از جدولی مشخص کنیم که خود زاویه با چه چیزی برابر است.
برای زاویه تند فرمول به صورت زیر است: 
- cosa = (A² + B² - d²) / (2 * A * B)، که در آن
- a زاویه حاد مورد نظر است،
- A و B اضلاع متوازی الاضلاع هستند،
- d - قطر کوچکتر
برای یک زاویه مبهم، فرمول کمی تغییر می کند:
- cosß = (A² + B² - D²) / (2 * A * B)، که در آن
- ß یک زاویه منفرد است،
- A و B اضلاع هستند
- D - مورب بزرگ
مثال: شما باید زاویه تند متوازی الاضلاع را پیدا کنید که اضلاع آن 6 سانتی متر و 3 سانتی متر است و قطر کوچکتر آن 5.2 سانتی متر است.
مقادیر را با فرمول جایگزین کنید تا زاویه تند را پیدا کنید:
- cosa = (6 2 + 3 2 - 5.2 2) / (2 * 6 * 3) = (36 + 9 - 27.04) / (2 * 18) = 17.96/36 ~ 18/36 ~ 1/2
- cosa = 1/2. از جدول متوجه می شویم که زاویه مورد نظر 60 درجه است.
متوازی الاضلاع چهار ضلعی است که اضلاع مقابل آن به صورت جفت موازی باشند. همچنین متوازی الاضلاع دارای ویژگی های زیر است: اضلاع مقابل برابر، زوایای مقابل برابر و مجموع همه زوایا 360 درجه است.
شما نیاز خواهید داشت
- دانش هندسه.
دستورالعمل ها
1. بیایید تصور کنیم که یکی از زوایای متوازی الاضلاع داده شده و برابر با A است. بیایید مقادیر 3 باقیمانده را پیدا کنیم. با توجه به خاصیت متوازی الاضلاع، زوایای مقابل برابر هستند. به این معنی که زاویه مقابل زاویه داده شده برابر با زاویه داده شده و مقدار آن برابر با A است.
2. بیایید دو گوشه باقی مانده را پیدا کنیم. از آنجا که مجموع تمام زوایای متوازی الاضلاع برابر با 360 درجه و زوایای مقابل برابر با یکدیگر است، معلوم می شود که زاویه متعلق به همان ضلع با زاویه داده شده برابر است با (360 - 2A)/2. خوب، یا بعد از اصلاح 180 - A می گیریم. بنابراین، در متوازی الاضلاع، دو زاویه برابر با A و دو زاویه دیگر برابر با 180 - A هستند.
توجه کن!
مقدار یک زاویه نمی تواند از 180 درجه تجاوز کند. مقادیر زاویه به دست آمده را می توان به راحتی تأیید کرد. برای انجام این کار، آنها را جمع کنید و اگر مجموع 360 باشد، همه چیز به درستی محاسبه می شود.
توصیه مفید
یک مستطیل و یک لوزی موارد خاصی از متوازی الاضلاع هستند، بنابراین، تمام ویژگی ها و روش های محاسبه زوایا برای آنها اعمال می شود.
مشکل 1. یکی از زوایای متوازی الاضلاع 65 درجه است. زوایای باقیمانده متوازی الاضلاع را بیابید.
∠C =∠A = 65 درجه به عنوان زوایای متوازی الاضلاع.
∠A +∠B = 180 درجه به عنوان زوایای مجاور یک طرف متوازی الاضلاع.
∠B = 180° - ∠A = 180° - 65° = 115°.
∠D =∠B = 115 درجه به عنوان زوایای متوازی الاضلاع.
پاسخ: ∠A =∠C = 65 درجه; ∠B =∠D = 115 درجه.
وظیفه 2.مجموع دو زاویه متوازی الاضلاع 220 درجه است. زوایای متوازی الاضلاع را بیابید.
از آنجایی که متوازی الاضلاع 2 برابر است زوایای حادو 2 زاویه منفرد مساوی، سپس مجموع دو زاویه منفرد به ما داده می شود، یعنی. ∠B +∠D = 220 درجه. سپس ∠B =∠D = 220 درجه :
2 = 110 درجه.
∠A + ∠B = 180 درجه به عنوان زوایای مجاور یک طرف متوازی الاضلاع، بنابراین ∠A = 180° - ∠B = 180° - 110° = 70°. سپس ∠C =∠A = 70 درجه.
پاسخ: ∠A =∠C = 70 درجه; ∠B =∠D = 110 درجه.
وظیفه 3.یکی از زوایای متوازی الاضلاع 3 برابر بزرگتر از دیگری است. زوایای متوازی الاضلاع را بیابید.
اجازه دهید ∠A =x. سپس ∠B = 3x. با دانستن اینکه مجموع زوایای متوازی الاضلاع مجاور یکی از اضلاع آن 180 درجه است، معادله ای ایجاد می کنیم.
x = 180 : 4;
دریافت می کنیم: ∠A = x = 45 درجه، و ∠B = 3x = 3 ∙ 45 درجه = 135 درجه.
زوایای متضاد یک متوازی الاضلاع برابر است، بنابراین،
∠A =∠C = 45 درجه؛ ∠B =∠D = 135 درجه.
پاسخ: ∠A =∠C = 45 درجه; ∠B =∠D = 135 درجه.
وظیفه 4.ثابت کنید که اگر یک چهارضلعی دو ضلع موازی و مساوی داشته باشد، پس این چهارضلعی متوازی الاضلاع است.
اثبات
بیایید BD مورب را رسم کنیم و Δ ADB و Δ CBD را در نظر بگیریم.
پس از میلاد = قبل از میلاد بر اساس شرایط. سمت BD رایج است. ∠1 = ∠2 به صورت متقاطع داخلی با خطوط موازی (با شرایط) AD و BC و مقطع BD. بنابراین، Δ ADB = Δ CBD در دو ضلع و زاویه بین آنها (نشان اول برابری مثلث ها). در مثلث های متجانس، زوایای متناظر با هم برابرند، یعنی ∠3 =∠4. و این زوایا زوایای داخلی هستند که به صورت متقاطع با خطوط مستقیم AB و CD و مقطع BD قرار دارند. این بدان معناست که خطوط AB و CD موازی هستند. بنابراین، در این ABCD چهار ضلعی، اضلاع مقابل به صورت جفت موازی هستند، بنابراین، طبق تعریف، ABCD متوازی الاضلاع است، که باید ثابت شود.
وظیفه 5.دو ضلع متوازی الاضلاع به نسبت 2 هستند : 5، و محیط آن 3.5 متر است اضلاع متوازی الاضلاع را بیابید.
∙ (AB + AD).
بیایید یک جزء را با x نشان دهیم. سپس AB = 2x، AD = 5x متر. با دانستن اینکه محیط متوازی الاضلاع 3.5 متر است، معادله را ایجاد می کنیم:
2 ∙ (2x + 5x) = 3.5;
2 ∙ 7x = 3.5;
x = 3.5 : 14;
یک قسمت 0.25 متر است سپس AB = 2 ∙ 0.25 = 0.5 متر؛ بعد از میلاد = 5 ∙ 0.25 = 1.25 متر.
معاینه.
محیط متوازی الاضلاع P ABCD = 2 ∙ (AB + AD) = 2 ∙ (0,25 + 1,25) = 2 ∙ 1.75 = 3.5 (m).
از آنجایی که اضلاع مقابل متوازی الاضلاع برابر است، CD = AB = 0.25 متر. قبل از میلاد = بعد از میلاد = 1.25 متر.
پاسخ: CD = AB = 0.25 متر; قبل از میلاد = بعد از میلاد = 1.25 متر.
متوازی الاضلاع چهار ضلعی است که اضلاع مقابل آن موازی هستند، یعنی. روی خطوط موازی دراز بکشید
خواص متوازی الاضلاع: 
قضیه 22.
اضلاع مقابل متوازی الاضلاع با هم برابرند.
اثبات در متوازی الاضلاع ABCD یک AC مورب رسم می کنیم. مثلث های ACD و ACB با هم برابرند، انگار که دارند طرف مشترک AC و دو جفت زوایای مساوی. مجاور آن: ∠ CAB=∠ ACD، ∠ ACB=∠ DAC (به صورت زوایای متقاطع با خطوط موازی AD و BC). این بدان معنی است که AB = CD و BC = AD، به عنوان اضلاع متناظر مثلث های مساوی و غیره. از تساوی این مثلث ها نیز چنین بر می آید که زوایای مربوط به مثلث ها برابر است:
قضیه 23.
زوایای مقابل متوازی الاضلاع برابر هستند: ∠ A=∠ C و ∠ B=∠ D.
برابری جفت اول از برابری مثلث های ABD و CBD و دومی - ABC و ACD ناشی می شود.
قضیه 24.
زوایای مجاور متوازی الاضلاع، یعنی. زوایای مجاور یک طرف به 180 درجه اضافه می شود.
این به این دلیل است که آنها زوایای داخلی یک طرفه هستند.
قضیه 25.
قطرهای متوازی الاضلاع در نقطه تقاطع خود یکدیگر را نصف می کنند.
اثبات مثلث های BOC و AOD را در نظر بگیرید. با توجه به ویژگی اول AD=BC ∠ OAD=∠ OCB و ∠ ODA=∠ OBC به صورت متقاطع برای خطوط موازی AD و BC قرار دارد. بنابراین مثلث های BOC و AOD در زوایای ضلعی و مجاور برابر هستند. این یعنی BO=OD و AO=OS، مانند اضلاع متناظر مثلث های مساوی و غیره.
نشانه های متوازی الاضلاع
قضیه 26.
اگر اضلاع مقابل یک چهار ضلعی دو به دو برابر باشند، متوازی الاضلاع است.
اثبات بگذارید چهار ضلعی ABCD دارای اضلاع AD و BC، AB و CD به ترتیب برابر باشند (شکل 2). بیایید قطر AC را رسم کنیم. مثلث های ABC و ACD از سه ضلع برابر هستند. سپس زوایای BAC و DCA برابر هستند و بنابراین AB با CD موازی است. موازی اضلاع BC و AD از برابری زوایای CAD و ACB حاصل می شود.
قضیه 27.
اگر زوایای مقابل یک چهار ضلعی دو به دو برابر باشند، متوازی الاضلاع است.
بگذارید ∠ A=∠ C و ∠ B=∠ D. زیرا ∠ A+∠ B+∠ C+∠ D=360 o سپس ∠ A+∠ B=180 o و اضلاع AD و BC موازی هستند (بر اساس موازی بودن خطوط مستقیم). همچنین توازی اضلاع AB و CD را ثابت می کنیم و نتیجه می گیریم که ABCD طبق تعریف متوازی الاضلاع است.
قضیه 28.
اگر گوشه های مجاور یک چهارضلعی، یعنی. زوایای مجاور یک ضلع به 180 درجه اضافه می شود، سپس متوازی الاضلاع است.
اگر مجموع زوایای یک طرفه داخلی به 180 درجه برسد، خطوط مستقیم موازی هستند. بنابراین AB موازی با CD و BC موازی با AD است. یک چهارضلعی طبق تعریف یک متوازی الاضلاع است.
قضیه 29.
اگر قطرهای یک چهارضلعی در نقطه تقاطع یکدیگر را نصف کنند، آن چهارضلعی متوازی الاضلاع است.
اثبات اگر AO = OC، BO = OD، آنگاه مثلث‌های AOD و BOC مساوی هستند، زیرا دارای زوایای مساوی (عمودی) در راس O هستند که بین جفت‌های اضلاع مساوی محصور شده‌اند. از تساوی مثلث ها نتیجه می گیریم که AD و BC برابر هستند. اضلاع AB و CD نیز برابر هستند و چهارضلعی مطابق با معیار 1 متوازی الاضلاع است.
قضیه 30.
اگر یک چهار ضلعی دارای یک جفت ضلع مساوی و موازی باشد، متوازی الاضلاع است.
بگذارید اضلاع AB و CD چهارضلعی ABCD موازی و مساوی باشند. بیایید قطرهای AC و BD را رسم کنیم. از توازی این خطوط نتیجه می شود که زوایای متقاطع ABO = CDO و BAO = OCD برابر هستند. مثلث های ABO و CDO از نظر زوایای ضلعی و مجاور برابر هستند. بنابراین AO=OS، VO=ОD، یعنی. مورب ها با نقطه تقاطع به نصف تقسیم می شوند و چهار ضلعی مطابق با معیار 4 متوازی الاضلاع می شود.
در هندسه موارد خاصی از متوازی الاضلاع در نظر گرفته می شود.
