در متوازی الاضلاع، زوایای مقابل برابر هستند. نحوه پیدا کردن زاویه تند متوازی الاضلاع
متوازی الاضلاع چهار ضلعی است که طرف مقابلموازی، یعنی روی خطوط موازی قرار دارند (شکل 1).
قضیه 1. در مورد خصوصیات اضلاع و زوایای متوازی الاضلاع.در متوازی الاضلاع، اضلاع مقابل برابر، زوایای مقابل با هم برابرند و مجموع زوایای مجاور یک ضلع متوازی الاضلاع 180 درجه است.
اثبات در این متوازی الاضلاع ABCD یک AC مورب رسم می کنیم و دو مثلث ABC و ADC بدست می آوریم (شکل 2).
این مثلث ها مساوی هستند، زیرا ∠ 1 = ∠ 4، ∠ 2 = ∠ 3 (زوایای متقاطع برای خطوط موازی)، و ضلع AC مشترک است. از تساوی Δ ABC = Δ ADC نتیجه می شود که AB = CD، BC = AD، ∠ B = ∠ D. مجموع زوایای مجاور یک ضلع، برای مثال زوایای A و D، برابر با 180 درجه یک طرفه است. برای خطوط موازی قضیه ثابت شده است.
نظر دهید. تساوی اضلاع متوازی الاضلاع به این معنی است که قسمت های متوازی الاضلاع بریده شده توسط موازی ها با هم برابر هستند.
نتیجه 1. اگر دو خط موازی باشند، تمام نقاط یک خط در یک فاصله از خط دیگر قرار دارند.
اثبات در واقع، اجازه دهید یک || ب (شکل 3).
اجازه دهید عمودهای BA و CD را از دو نقطه B و C از خط b به خط مستقیم a رسم کنیم. از آنجایی که AB || CD، سپس شکل ABCD متوازی الاضلاع است و بنابراین AB = CD.
فاصله بین دو خط موازی فاصله یک نقطه دلخواه در یکی از خطوط تا خط دیگر است.
طبق آنچه ثابت شد، برابر است با طول عمود رسم شده از نقطه ای از یکی از خطوط موازی به خط دیگر.
مثال 1.محیط متوازی الاضلاع 122 سانتی متر است اضلاع آن 25 سانتی متر بزرگتر است
راه حل. با قضیه 1، اضلاع مقابل متوازی الاضلاع برابر هستند. یک طرف متوازی الاضلاع را با x و طرف دیگر را با y نشان می دهیم. سپس، با شرط $$\left\(\begin(ماتریس) 2x + 2y = 122 \\x - y = 25 \end(ماتریس)\right.$$ با حل این سیستم، x = 43، y = 18 را بدست می آوریم. بنابراین، اضلاع متوازی الاضلاع 18، 43، 18 و 43 سانتی متر هستند.
مثال 2.
راه حل. اجازه دهید شکل 4 شرایط مسئله را برآورده کند.
اجازه دهید AB را با x و BC را با y نشان دهیم. بر اساس شرط، محیط متوازی الاضلاع 10 سانتی متر است، یعنی 2(x + y) = 10، یا x + y = 5. محیط مثلث ABD 8 سانتی متر است و از آنجایی که AB + AD = x + y = است 5 سپس BD = 8 - 5 = 3. بنابراین BD = 3 سانتی متر.
مثال 3.زوایای متوازی الاضلاع را بیابید و بدانید که یکی از آنها 50 درجه از دیگری بزرگتر است.
راه حل. اجازه دهید شکل 5 شرایط مسئله را برآورده کند.
اجازه دهید درجه زاویه A را با x نشان دهیم. سپس اندازه درجه زاویه D x + 50 درجه است.
زوایای BAD و ADC زوایای داخلی یک طرفه با خطوط موازی AB و DC و مقطع AD هستند. سپس مجموع این زوایای نامگذاری شده 180 درجه خواهد بود، یعنی.
x + x + 50 درجه = 180 درجه یا x = 65 درجه. بنابراین، ∠ A = ∠ C = 65 درجه، a ∠ B = ∠ D = 115 درجه.
مثال 4.اضلاع متوازی الاضلاع 4.5 dm و 1.2 dm است. یک نیمساز از راس یک زاویه تند رسم می شود. به چه قسمت هایی تقسیم می شود؟ سمت بزرگمتوازی الاضلاع؟
راه حل. اجازه دهید شکل 6 شرایط مسئله را برآورده کند.
AE نیمساز یک زاویه تند متوازی الاضلاع است. بنابراین، ∠ 1 = ∠ 2.
دوره ویدیویی "Get a A" شامل تمام موضوعات لازم برای موفقیت است قبولی در آزمون دولتی یکپارچهدر ریاضیات برای 60-65 امتیاز. به طور کامل تمام وظایف 1-13 از آزمون دولتی یکپارچه پروفایل در ریاضیات. همچنین برای قبولی در آزمون پایه یکپارچه دولتی در ریاضیات مناسب است. اگر می خواهید در آزمون یکپارچه دولتی با 90-100 امتیاز قبول شوید، باید قسمت 1 را در 30 دقیقه و بدون اشتباه حل کنید!
دوره آمادگی برای آزمون یکپارچه دولتی برای پایه های 10-11 و همچنین برای معلمان. هر آنچه برای حل قسمت 1 آزمون دولتی واحد ریاضی (12 مسئله اول) و مسئله 13 (مثلثات) نیاز دارید. و این بیش از 70 امتیاز در آزمون یکپارچه دولتی است و نه یک دانش آموز 100 امتیازی و نه دانش آموز علوم انسانی نمی تواند بدون آنها باشد.
تمام تئوری لازم راه های سریعراه حل ها، دام ها و اسرار آزمون یکپارچه دولتی. تمام وظایف فعلی بخش 1 از بانک وظیفه FIPI تجزیه و تحلیل شده است. این دوره به طور کامل با الزامات آزمون یکپارچه دولتی 2018 مطابقت دارد.
این دوره شامل 5 موضوع بزرگ است که هر کدام 2.5 ساعت است. هر موضوع از ابتدا، ساده و واضح ارائه شده است.
صدها تکلیف یکپارچه آزمون دولتی. مسائل کلمه و نظریه احتمال. الگوریتم های ساده و آسان برای به خاطر سپردن برای حل مسائل. هندسه. نظریه، مواد مرجع، تجزیه و تحلیل انواع وظایف آزمون یکپارچه دولتی. استریومتری. ترفندهای روی حیله و تزویرراه حل ها، برگه های تقلب مفید، توسعه تخیل فضایی. مثلثات از ابتدا تا مسئله 13. درک به جای انباشته کردن. توضیحات واضح مفاهیم پیچیده جبر. ریشه ها، توان ها و لگاریتم ها، تابع و مشتق. مبنای راه حل وظایف پیچیده 2 قسمت از آزمون یکپارچه دولتی.
سطح متوسط
متوازی الاضلاع، مستطیل، لوزی، مربع (2019)
1. متوازی الاضلاع
کلمه مرکب "متوازی الاضلاع"؟ و پشت آن یک شکل بسیار ساده نهفته است.
خوب، یعنی ما دو خط موازی گرفتیم:
عبور از دو نفر دیگر:
و در داخل یک متوازی الاضلاع وجود دارد!
متوازی الاضلاع چه ویژگی هایی دارد؟
خواص متوازی الاضلاع
یعنی اگر به مسئله متوازی الاضلاع داده شود از چه چیزی می توانید استفاده کنید؟
قضیه زیر به این سوال پاسخ می دهد:
بیایید همه چیز را با جزئیات ترسیم کنیم.
به چه معناست نکته اول قضیه? و واقعیت این است که اگر متوازی الاضلاع داشته باشید، مطمئناً خواهید داشت
نکته دوم به این معنی است که اگر متوازی الاضلاع وجود داشته باشد، پس قطعاً:
خوب، و در نهایت، نکته سوم به این معنی است که اگر متوازی الاضلاع دارید، مطمئن شوید که:
آیا می بینید که چه ثروت انتخاب وجود دارد؟ در مشکل از چه چیزی استفاده کنیم؟ سعی کنید روی مسئله مشکل تمرکز کنید یا فقط همه چیز را یک به یک امتحان کنید - برخی از "کلیدها" انجام خواهند داد.
حالا بیایید یک سوال دیگر از خود بپرسیم: چگونه می توانیم متوازی الاضلاع را "با دید" تشخیص دهیم؟ برای یک چهارضلعی چه اتفاقی باید بیفتد تا ما حق داشته باشیم به آن «عنوان» متوازی الاضلاع بدهیم؟
چندین علامت متوازی الاضلاع به این سوال پاسخ می دهند.
نشانه های متوازی الاضلاع.
توجه! بیایید شروع کنیم.
متوازی الاضلاع.
لطفاً توجه داشته باشید: اگر حداقل یک علامت در مشکل خود پیدا کردید، مطمئناً متوازی الاضلاع دارید و می توانید از تمام ویژگی های متوازی الاضلاع استفاده کنید.
2. مستطیل
من فکر می کنم که اصلاً برای شما خبری نخواهد بود
سوال اول: آیا مستطیل متوازی الاضلاع است؟
البته که هست! پس از همه، او دارد - به یاد داشته باشید، علامت 3 ما؟
و البته از اینجا نتیجه می شود که در یک مستطیل، مانند هر متوازی الاضلاع، مورب ها بر نقطه تقاطع به نصف تقسیم می شوند.
اما مستطیل یک ویژگی متمایز نیز دارد.
خاصیت مستطیل
چرا این ویژگی متمایز است؟ زیرا هیچ متوازی الاضلاع دیگری قطرهای برابر ندارد. بیایید آن را واضح تر بیان کنیم.
لطفا توجه داشته باشید: برای تبدیل شدن به یک مستطیل، یک چهار ضلعی باید ابتدا متوازی الاضلاع شود و سپس برابری قطرها را نشان دهد.
3. الماس
و دوباره سوال: آیا لوزی متوازی الاضلاع است یا نه؟
با راست کامل - متوازی الاضلاع، زیرا دارای و است (ویژگی 2 ما را به خاطر بسپارید).
و باز هم چون لوزی متوازی الاضلاع است پس باید تمام خصوصیات متوازی الاضلاع را داشته باشد. این بدان معناست که در یک لوزی، زوایای مقابل برابر، اضلاع مقابل موازی و مورب ها در نقطه تقاطع نصف می شوند.
خواص لوزی
به تصویر نگاه کنید:
همانطور که در مورد یک مستطیل، این ویژگی ها متمایز هستند، یعنی برای هر یک از این ویژگی ها می توان نتیجه گرفت که این فقط یک متوازی الاضلاع نیست، بلکه یک لوزی است.
نشانه های الماس
و دوباره توجه کنید: نه فقط یک چهارضلعی که قطرهای آن عمود هستند، بلکه باید متوازی الاضلاع وجود داشته باشد. مطمئن شوید:
خیر البته اگرچه قطرهای آن عمود بر هم هستند و قطر آن نیمساز زوایا و. اما... مورب ها با نقطه تقاطع به نصف تقسیم نمی شوند، بنابراین - متوازی الاضلاع نیست، و بنابراین لوزی نیست.
یعنی مربع در آن واحد مستطیل و لوزی است. ببینیم چی میشه
مشخص است چرا؟ - لوزی نیمساز زاویه A است که برابر است با. این بدان معنی است که آن را به دو زاویه در امتداد تقسیم می کند (و همچنین).
خوب، کاملاً واضح است: قطرهای یک مستطیل برابر هستند. قطرهای یک لوزی عمود بر هم هستند و به طور کلی متوازی الاضلاع مورب ها بر نقطه تقاطع به نصف تقسیم می شوند.
سطح میانی
خواص چهارضلعی. متوازی الاضلاع
ویژگی های متوازی الاضلاع
توجه! کلمات " خواص متوازی الاضلاع"یعنی اگر در وظیفه شماست وجود داردمتوازی الاضلاع، سپس تمام موارد زیر را می توان استفاده کرد.
قضیه خصوصیات متوازی الاضلاع.
در هر متوازی الاضلاع:
بیایید درک کنیم که چرا این همه درست است، به عبارت دیگر ما ثابت خواهیم کردقضیه
پس چرا 1) درست است؟
اگر متوازی الاضلاع باشد، پس:
- دراز کشیده متقاطع
- مثل صلیب دراز کشیده
این یعنی (طبق معیار II: و - عمومی.)
خوب، همین است، همین است! - ثابت کرد
اما اتفاقا! ما هم ثابت کردیم 2)!
چرا؟ اما (به تصویر نگاه کنید)، یعنی دقیقاً به این دلیل.
فقط 3 عدد باقی مانده است).
برای انجام این کار، شما هنوز هم باید مورب دوم را بکشید.
و اکنون می بینیم که - طبق مشخصه II (زوایای و ضلع "بین" آنها).
خواص ثابت شده! بیایید به نشانه ها برویم.
نشانه های متوازی الاضلاع
به یاد بیاورید که علامت متوازی الاضلاع به این سوال پاسخ می دهد که "از کجا می دانید که یک شکل متوازی الاضلاع است؟"
در آیکون ها به این صورت است:
چرا؟ خوب است که بفهمیم چرا - همین کافی است. اما نگاه کن:
خوب، ما متوجه شدیم که چرا علامت 1 درست است.
خوب، حتی ساده تر است! بیایید دوباره یک مورب رسم کنیم.
یعنی:
واین نیز آسان است. اما... متفاوت!
به معنی، . عجب! اما همچنین - داخلی یک طرفه با سکانت!
بنابراین این واقعیت به این معنی است که.
و اگر از طرف دیگر نگاه کنید، پس - داخلی یک طرفه با یک سکنت! و به همین دلیل است.
میبینی چقدر عالیه؟!
و باز هم ساده:
دقیقا همینطوره و
لطفا توجه داشته باشید:اگر پیدا کردی حداقلیک علامت متوازی الاضلاع در مشکل شما، پس شما دارید دقیقامتوازی الاضلاع و می توانید استفاده کنید همهخواص متوازی الاضلاع
برای وضوح کامل، به نمودار نگاه کنید:
خواص چهارضلعی. مستطیل.
خواص مستطیل:
نکته 1) کاملاً واضح است - پس از همه، علامت 3 () به سادگی انجام می شود
و نکته 2) - بسیار مهم است. پس بیایید این را ثابت کنیم
این یعنی در دو طرف (و - عمومی).
خوب، از آنجایی که مثلث ها مساوی هستند، پس هیپوتانوس آنها نیز برابر هستند.
ثابت کرد که!
و تصور کنید، تساوی قطرها یک ویژگی متمایز یک مستطیل در بین تمام متوازی الاضلاع است. یعنی این گفته درست است^
بیایید بفهمیم چرا؟
یعنی (منظور زوایای متوازی الاضلاع است). اما اجازه دهید یک بار دیگر به یاد داشته باشیم که متوازی الاضلاع است و بنابراین.
به معنی، . خوب، البته، نتیجه می شود که هر یک از آنها! بالاخره باید در کل بدهند!
بنابراین آنها ثابت کردند که اگر متوازی الاضلاعناگهان (!) مورب ها برابر می شوند، سپس این دقیقا یک مستطیل.
اما! توجه کن!ما در مورد صحبت می کنیم متوازی الاضلاع! نه فقط هر کسییک چهار ضلعی با قطرهای مساوی مستطیل است و فقطمتوازی الاضلاع!
خواص چهارضلعی. لوزی
و دوباره سوال: آیا لوزی متوازی الاضلاع است یا نه؟
با راست کامل - متوازی الاضلاع، زیرا دارای (ویژگی 2 ما را به خاطر بسپارید).
و باز هم، چون لوزی متوازی الاضلاع است، باید تمام خصوصیات متوازی الاضلاع را داشته باشد. این بدان معناست که در یک لوزی، زوایای مقابل برابر، اضلاع مقابل موازی و مورب ها در نقطه تقاطع نصف می شوند.
اما خواص ویژه ای نیز وجود دارد. بیایید آن را فرموله کنیم.
خواص لوزی
چرا؟ خوب، از آنجایی که یک لوزی متوازی الاضلاع است، بنابراین قطرهای آن به نصف تقسیم می شوند.
چرا؟ بله، به همین دلیل است!
به عبارت دیگر، مورب ها نیمساز گوشه های لوزی بودند.
همانطور که در مورد یک مستطیل، این ویژگی ها هستند متمایز، هر یک از آنها نیز نشانه لوزی است.
نشانه های الماس
چرا این است؟ و نگاه کن،
یعنی هر دواین مثلث ها متساوی الساقین هستند.
برای لوزی بودن، یک چهارضلعی ابتدا باید متوازی الاضلاع شود و سپس ویژگی 1 یا ویژگی 2 را نشان دهد.
خواص چهارضلعی. مربع
یعنی مربع در آن واحد مستطیل و لوزی است. ببینیم چی میشه
مشخص است چرا؟ مربع - لوزی - نیمساز زاویه ای است که برابر است با. این به این معنی است که در امتداد به دو زاویه تقسیم می شود (و همچنین).
خوب، کاملاً واضح است: قطرهای یک مستطیل برابر هستند. مورب های یک لوزی عمود بر هم هستند و به طور کلی متوازی الاضلاع مورب ها بر نقطه تقاطع به نصف تقسیم می شوند.
چرا؟ خوب، بیایید فقط قضیه فیثاغورث را برای ...
خلاصه و فرمول های اساسی
خواص متوازی الاضلاع:
- اضلاع مقابل برابرند: , .
- زوایای مقابل برابر هستند: , .
- زوایای یک طرف جمع می شوند: , .
- مورب ها با نقطه تقاطع به نصف تقسیم می شوند: .
خواص مستطیل:
- قطرهای مستطیل برابر است: .
- مستطیل متوازی الاضلاع است (برای مستطیل تمام خصوصیات متوازی الاضلاع برآورده می شود).
خواص لوزی:
- قطرهای لوزی عمود بر هم هستند: .
- قطرهای یک لوزی نیمساز زوایای آن هستند: ; ; ; .
- لوزی متوازی الاضلاع است (برای لوزی تمام خصوصیات متوازی الاضلاع برآورده می شود).
خواص مربع:
مربع لوزی و مستطیل در یک زمان است، بنابراین، برای یک مربع تمام ویژگی های یک مستطیل و یک لوزی برآورده می شود. و همچنین.
مشکل 1. یکی از زوایای متوازی الاضلاع 65 درجه است. زوایای باقیمانده متوازی الاضلاع را بیابید.
∠C =∠A = 65 درجه به عنوان زوایای متوازی الاضلاع.
∠A +∠B = 180 درجه به عنوان زوایای مجاور یک طرف متوازی الاضلاع.
∠B = 180° - ∠A = 180° - 65° = 115°.
∠D =∠B = 115 درجه به عنوان زوایای متوازی الاضلاع.
پاسخ: ∠A =∠C = 65 درجه; ∠B =∠D = 115 درجه.
وظیفه 2.مجموع دو زاویه متوازی الاضلاع 220 درجه است. زوایای متوازی الاضلاع را بیابید.
از آنجایی که متوازی الاضلاع دارای 2 زاویه تند مساوی و 2 زاویه منفرد برابر است، مجموع دو زاویه منفرد به ما داده می شود، یعنی. ∠B +∠D = 220 درجه. سپس ∠B =∠D = 220 درجه :
2 = 110 درجه.
∠A + ∠B = 180 درجه به عنوان زوایای مجاور یک طرف متوازی الاضلاع، بنابراین ∠A = 180° - ∠B = 180° - 110° = 70°. سپس ∠C =∠A = 70 درجه.
پاسخ: ∠A =∠C = 70 درجه; ∠B =∠D = 110 درجه.
وظیفه 3.یکی از زوایای متوازی الاضلاع 3 برابر بزرگتر از دیگری است. زوایای متوازی الاضلاع را بیابید.
اجازه دهید ∠A =x. سپس ∠B = 3x. با دانستن اینکه مجموع زوایای متوازی الاضلاع مجاور یکی از اضلاع آن برابر با 180 درجه است، معادله ای ایجاد می کنیم.
x = 180 : 4;
دریافت می کنیم: ∠A = x = 45 درجه، و ∠B = 3x = 3 ∙ 45 درجه = 135 درجه.
زوایای متضاد یک متوازی الاضلاع برابر است، بنابراین،
∠A =∠C = 45 درجه؛ ∠B =∠D = 135 درجه.
پاسخ: ∠A =∠C = 45 درجه؛ ∠B =∠D = 135 درجه.
وظیفه 4.ثابت کنید که اگر یک چهارضلعی دو ضلع موازی و مساوی داشته باشد، پس این چهارضلعی متوازی الاضلاع است.
اثبات
بیایید BD مورب را رسم کنیم و Δ ADB و Δ CBD را در نظر بگیریم.
پس از میلاد = قبل از میلاد بر اساس شرایط. سمت BD رایج است. ∠1 = ∠2 به صورت متقاطع داخلی با خطوط موازی (با شرایط) AD و BC و مقطع BD. بنابراین، Δ ADB = Δ CBD در دو ضلع و زاویه بین آنها (نشان اول برابری مثلث ها). در مثلث های مساویزوایای متناظر با هم برابر هستند که به معنی ∠3 =∠4 است. و این زوایا زوایای داخلی هستند که به صورت متقاطع با خطوط مستقیم AB و CD و مقطع BD قرار دارند. این بدان معناست که خطوط AB و CD موازی هستند. بنابراین، در این چهارضلعی ABCD، اضلاع مقابل به صورت جفت موازی هستند، بنابراین، طبق تعریف، ABCD یک متوازی الاضلاع است، که باید ثابت شود.
وظیفه 5.دو ضلع متوازی الاضلاع به نسبت 2 هستند : 5، و محیط آن 3.5 متر است اضلاع متوازی الاضلاع را بیابید.
∙ (AB + AD).
بیایید یک جزء را با x نشان دهیم. سپس AB = 2x، AD = 5x متر. با دانستن اینکه محیط متوازی الاضلاع 3.5 متر است، معادله را ایجاد می کنیم:
2 ∙ (2x + 5x) = 3.5;
2 ∙ 7x = 3.5;
x = 3.5 : 14;
یک قسمت 0.25 متر است سپس AB = 2 ∙ 0.25 = 0.5 متر؛ بعد از میلاد = 5 ∙ 0.25 = 1.25 متر.
معاینه.
محیط متوازی الاضلاع P ABCD = 2 ∙ (AB + AD) = 2 ∙ (0,25 + 1,25) = 2 ∙ 1.75 = 3.5 (m).
از آنجایی که اضلاع مقابل متوازی الاضلاع برابر است، CD = AB = 0.25 متر. قبل از میلاد = بعد از میلاد = 1.25 متر.
پاسخ: CD = AB = 0.25 متر; قبل از میلاد = بعد از میلاد = 1.25 متر.
متوازی الاضلاع چهار ضلعی است که اضلاع مقابل آن به صورت جفت موازی باشند.
این تعریف از قبل کافی است، زیرا خواص باقیمانده متوازی الاضلاع از آن تبعیت می کند و در قالب قضایا اثبات می شود.
- خصوصیات اصلی متوازی الاضلاع عبارتند از:
- متوازی الاضلاع یک چهار ضلعی محدب است.
- متوازی الاضلاع اضلاع مخالفی دارد که جفت با هم برابرند.
- در متوازی الاضلاع، زوایای مقابل به صورت جفت برابر هستند.
قطرهای متوازی الاضلاع بر نقطه تقاطع به نصف تقسیم می شوند.
متوازی الاضلاع - چهار ضلعی محدب اجازه دهید ابتدا این قضیه را اثبات کنیممتوازی الاضلاع یک چهار ضلعی محدب است
. یک چند ضلعی محدب است اگر هر ضلعی از آن به یک خط مستقیم کشیده شود، تمام ضلع های دیگر چند ضلعی در همان سمت این خط مستقیم خواهند بود.
اجازه دهید متوازی الاضلاع ABCD داده شود، که در آن AB ضلع مقابل برای CD و BC ضلع مقابل برای AD است. سپس از تعریف متوازی الاضلاع نتیجه می شود که AB || CD، BC || ق.
پاره های موازی هیچ نقطه مشترکی ندارند و همدیگر را قطع نمی کنند. این به این معنی است که CD در یک طرف AB قرار دارد. از آنجایی که قطعه BC نقطه B از قطعه AB را به نقطه C از قطعه CD وصل می کند و قطعه AD سایر نقاط AB و CD را به هم متصل می کند، پاره های BC و AD نیز در همان سمت خط AB قرار دارند که CD در آن قرار دارد. بنابراین، هر سه طرف - CD، BC، AD - در یک سمت AB قرار دارند.
به همین ترتیب ثابت می شود که نسبت به دیگر اضلاع متوازی الاضلاع، سه ضلع دیگر در یک ضلع قرار دارند.
اضلاع و زوایای مقابل با هم برابرند یکی از خواص متوازی الاضلاع این است کهدر متوازی الاضلاع، اضلاع مقابل و زوایای مقابل به صورت جفت برابر هستند
. به عنوان مثال، اگر متوازی الاضلاع ABCD داده شود، آنگاه دارای AB = CD، AD = BC، ∠A = ∠C، ∠B = ∠D است. این قضیه به صورت زیر ثابت می شود.
متوازی الاضلاع یک چهار ضلعی است. یعنی دو قطر دارد. از آنجایی که متوازی الاضلاع یک چهار ضلعی محدب است، هر یک از آنها آن را به دو مثلث تقسیم می کند. در متوازی الاضلاع ABCD مثلث های ABC و ADC را که با رسم قطر AC بدست می آیند در نظر بگیرید.
در این مثلث ها ضلع AB با ضلع CD و ضلع BC مربوط به AD است. بنابراین، AB = CD و BC = AD.
زاویه B مربوط به زاویه D است، یعنی ∠B = ∠D. زاویه A متوازی الاضلاع مجموع دو زاویه ∠BAC و ∠CAD است. زاویه C برابر است با ∠BCA و ∠ACD. از آنجایی که جفت زاویه ها با یکدیگر برابر هستند، پس ∠A = ∠C.
بنابراین، ثابت می شود که در متوازی الاضلاع اضلاع و زوایای مقابل با هم برابر هستند.
مورب ها به نصف تقسیم می شوند
از آنجایی که متوازی الاضلاع یک چهار ضلعی محدب است، دو قطر دارد و آنها همدیگر را قطع می کنند. اجازه دهید متوازی الاضلاع ABCD داده شود، قطرهای آن AC و BD در نقطه E قطع می شوند. مثلث های ABE و CDE را در نظر بگیرید که توسط آنها تشکیل شده اند.
این مثلث ها دارای اضلاع AB و CD برابر با اضلاع مقابل متوازی الاضلاع هستند. زاویه ABE برابر با زاویه CDE به صورت متقاطع با خطوط موازی AB و CD است. به همین دلیل، ∠BAE = ∠DCE. این یعنی ∆ABE = ∆CDE در دو زاویه و ضلع بین آنها.
همچنین می توانید متوجه شوید که زوایای AEB و CED عمودی هستند و بنابراین با یکدیگر برابر هستند.
از آنجایی که مثلث های ABE و CDE با یکدیگر برابر هستند، پس همه عناصر متناظر آنها با یکدیگر برابر هستند. ضلع AE مثلث اول با ضلع CE دومی مطابقت دارد که به معنی AE = CE است. به طور مشابه BE = DE. هر جفت پاره مساوی یک قطر متوازی الاضلاع را تشکیل می دهد. بنابراین ثابت می شود که قطرهای متوازی الاضلاع با نقطه تقاطع آنها نصف می شوند.
