ویژگی اضلاع مقابل متوازی الاضلاع. مجموع زاویه ها و مساحت متوازی الاضلاع را محاسبه کنید: خصوصیات و ویژگی ها
چهارتاگون.
§43. متوازی الاضلاع.
1. تعریف متوازی الاضلاع.
اگر یک جفت خط موازی را با یک جفت خط موازی دیگر قطع کنیم، چهار ضلعی به دست می آید که اضلاع مقابل آن به صورت جفت موازی هستند.
در چهار ضلعی ABC و EFNM (شکل 224) ВD || AC و AB || سی دی;
EF || MN و EM || FN.
چهارضلعی که اضلاع مقابل آن به صورت جفت موازی باشند متوازی الاضلاع نامیده می شود.
2. خواص متوازی الاضلاع.
قضیه. مورب متوازی الاضلاع آن را به دو مثلث مساوی تقسیم می کند.
یک متوازی الاضلاع ABC وجود داشته باشد (شکل 225)، که در آن AB || سی دی و AC || VD.
باید ثابت کنید که مورب آن را به دو مثلث مساوی تقسیم می کند.
اجازه دهید قطر CB را در متوازی الاضلاع ABC رسم کنیم. این را ثابت کنیم /\ CAB= /\ C.D.B.
ضلع NE در این مثلث ها مشترک است. / ABC = / BCD، به عنوان زوایای متقاطع داخلی با AB و CD موازی و CB مقطع. / DIA = / СВD، همچنین مانند زوایای متقاطع داخلی با AC و ВD موازی و CB متقاطع (§ 38).
از اینجا /\ CAB = /\ C.D.B.
به همین ترتیب، می توان ثابت کرد که مورب AD متوازی الاضلاع را به دو مثلث مساوی ACD و ABD تقسیم می کند.
عواقب. 1 . زوایای متضاد متوازی الاضلاع با یکدیگر برابرند.
/
A = /
D، این از برابری مثلث های CAB و CDB به دست می آید.
به همین ترتیب /
C = /
که در.
2. اضلاع مقابل متوازی الاضلاع با یکدیگر برابرند.
AB = CD و AC = BD، زیرا اینها اضلاع مثلثهای مساوی هستند و در مقابل زوایای مساوی قرار دارند.
قضیه 2. قطرهای متوازی الاضلاع در نقطه تقاطع خود به نصف تقسیم می شوند.
فرض کنید BC و AD قطرهای متوازی الاضلاع ABC باشند (شکل 226). اجازه دهید ثابت کنیم که AO = OD و CO = OB.
برای انجام این کار، به عنوان مثال، برخی از مثلث های متضاد را با هم مقایسه کنید /\ AOB و /\ COD.
در این مثلث ها AB = CD، مانند اضلاع مقابل متوازی الاضلاع.
/
1 = /
2، به عنوان زوایای داخلی که به صورت متقاطع با AB و CD موازی و مقطع AD قرار دارند.
/
3 = /
4 به همین دلیل، زیرا AB || CD و CB جزء آنها هستند (§ 38).
نتیجه می شود که /\ AOB = /\ COD. و در مثلث های مساوی، اضلاع مساوی در مقابل زوایای مساوی قرار دارند. بنابراین، AO = OD و CO = OB.
قضیه 3. مجموع زوایای مجاور یک ضلع متوازی الاضلاع برابر است با 2 د .
خودت ثابت کن
3. نشانه های متوازی الاضلاع.
قضیه. اگر اضلاع مقابل یک چهار ضلعی جفت با هم برابر باشند، این چهار ضلعی متوازی الاضلاع است.
ABDC چهار ضلعی را بگذارید (شکل 227) AB = CD و AC = BD. اجازه دهید ثابت کنیم که تحت این شرط AB || سی دی و AC || ВD، یعنی چهار ضلعی АВDC متوازی الاضلاع است.
اجازه دهید هر دو رأس متضاد این چهار ضلعی را به یک قطعه متصل کنیم، برای مثال C و B. چهار ضلعی ABCD به دو مثلث مساوی تقسیم می شود: /\
CAB و /\
C.D.B. در واقع بر حسب شرط دارای ضلع CB، AB = CD و AC = BD هستند. بنابراین، سه ضلع یک مثلث به ترتیب برابر با سه ضلع یک مثلث دیگر است /\
CAB = /\
C.D.B.
در مثلث های مساوی در برابر اضلاع مساویزوایا مساوی هستند پس
/
1 = /
2 و /
3 = /
4.
زوایای 1 و 2 زوایای داخلی هستند که به صورت متقاطع در محل تلاقی خطوط مستقیم AB و CD خط مستقیم CB قرار دارند. بنابراین، AB || سی دی.
به همین ترتیب، زوایای 3 و 4 زوایای داخلی هستند که به صورت متقاطع در محل تلاقی خطوط CA و BD خط CB قرار دارند، بنابراین، CA || VD (§ 35).
بنابراین، اضلاع مقابل چهار ضلعی ABC به صورت جفت موازی هستند، بنابراین، متوازی الاضلاع است، که باید ثابت شود.
قضیه 2. اگر دو ضلع مقابل یک چهارضلعی مساوی و موازی باشند، آن چهارضلعی متوازی الاضلاع است.
اجازه دهید AB = CD و AB || سی دی. اجازه دهید ثابت کنیم که تحت این شرایط، چهار ضلعی ABC متوازی الاضلاع است (شکل 228).
اجازه دهید رئوس C و B را با یک قطعه CB به هم متصل کنیم.
سپس مثلث CAB برابر با مثلث CDB است، زیرا آنها یک CB ضلع مشترک دارند.
AB = CD با توجه به شرایط قضیه و /
1 = /
2 با توجه به اثبات شده تساوی این مثلث ها بر تساوی زوایای 3 و 4 دلالت دارد، زیرا آنها در مقابل اضلاع مساوی در مثلث های مساوی قرار دارند.
اما زوایای 3 و 4 زوایای متقاطع داخلی هستند که از تلاقی خطوط مستقیم AC و BD از خط مستقیم CB تشکیل می شوند، بنابراین AC || VD (§ 35)، یعنی یک چهار ضلعی
ABC متوازی الاضلاع است.
تمرینات
1. ثابت کنید که اگر قطرهای یک چهار ضلعی در نقطه تقاطع آنها به نصف تقسیم شود، این چهار ضلعی متوازی الاضلاع است.
2. ثابت کنید که یک چهارضلعی که مجموع آن گوشه های داخلیمجاورت هر یک از دو ضلع مجاور برابر با 2 است د، متوازی الاضلاع وجود دارد.
3. متوازی الاضلاع با استفاده از دو ضلع و زاویه بین آنها بسازید:
الف) استفاده از موازی اضلاع متوازی الاضلاع.
ب) استفاده از برابری اضلاع متوازی الاضلاع.
4. با استفاده از دو ضلع مجاور و یک مورب متوازی الاضلاع بسازید.
5. متوازی الاضلاع با استفاده از دو قطر آن و زاویه بین آنها بسازید.
6. متوازی الاضلاع با استفاده از ضلع و دو قطر آن بسازید.
سطح متوسط
متوازی الاضلاع، مستطیل، لوزی، مربع (2019)
1. متوازی الاضلاع
کلمه مرکب "متوازی الاضلاع"؟ و پشت آن یک شکل بسیار ساده نهفته است.
خوب، یعنی ما دو خط موازی گرفتیم:
عبور از دو نفر دیگر:
و در داخل یک متوازی الاضلاع وجود دارد!
متوازی الاضلاع چه ویژگی هایی دارد؟
خواص متوازی الاضلاع
یعنی اگر به مسئله متوازی الاضلاع داده شود از چه چیزی می توانید استفاده کنید؟
قضیه زیر به این سوال پاسخ می دهد:
بیایید همه چیز را با جزئیات ترسیم کنیم.
چه مفهومی داره نکته اول قضیه? و واقعیت این است که اگر متوازی الاضلاع داشته باشید، مطمئناً خواهید داشت
نکته دوم به این معنی است که اگر متوازی الاضلاع وجود داشته باشد، پس قطعاً:
خوب، و در نهایت، نکته سوم به این معنی است که اگر متوازی الاضلاع دارید، مطمئن شوید که:
آیا می بینید که چه ثروت انتخاب وجود دارد؟ در مشکل از چه چیزی استفاده کنیم؟ سعی کنید روی مسئله کار تمرکز کنید یا فقط همه چیز را یکی یکی امتحان کنید - برخی از "کلیدها" انجام خواهند داد.
حالا بیایید یک سوال دیگر از خود بپرسیم: چگونه می توانیم متوازی الاضلاع را "با دید" تشخیص دهیم؟ چه اتفاقی باید برای یک چهارضلعی بیفتد تا ما حق داشته باشیم به آن «لقب» متوازی الاضلاع بدهیم؟
چندین علامت متوازی الاضلاع به این سوال پاسخ می دهند.
نشانه های متوازی الاضلاع.
توجه! شروع.
متوازی الاضلاع.
لطفاً توجه داشته باشید: اگر حداقل یک علامت در مشکل خود پیدا کردید، مطمئناً متوازی الاضلاع دارید و می توانید از تمام ویژگی های متوازی الاضلاع استفاده کنید.
2. مستطیل
من فکر می کنم که اصلاً برای شما خبری نخواهد بود
سوال اول: آیا مستطیل متوازی الاضلاع است؟
البته که هست! پس از همه، او دارد - به یاد داشته باشید، علامت 3 ما؟
و البته از اینجا نتیجه می شود که در یک مستطیل، مانند هر متوازی الاضلاع، مورب ها بر نقطه تقاطع به نصف تقسیم می شوند.
اما مستطیل یک ویژگی متمایز نیز دارد.
خاصیت مستطیل
چرا این ویژگی متمایز است؟ زیرا هیچ متوازی الاضلاع دیگری قطرهای مساوی ندارد. بیایید آن را واضح تر بیان کنیم.
لطفا توجه داشته باشید: برای تبدیل شدن به یک مستطیل، یک چهار ضلعی ابتدا باید متوازی الاضلاع شود و سپس برابری قطرها را نشان دهد.
3. الماس
و دوباره سوال: آیا لوزی متوازی الاضلاع است یا نه؟
با راست کامل - متوازی الاضلاع، زیرا دارای و است (ویژگی 2 ما را به خاطر بسپارید).
و باز هم، چون لوزی متوازی الاضلاع است، پس باید تمام خصوصیات متوازی الاضلاع را داشته باشد. این بدان معنی است که لوزی زوایای مخالفمساوی هستند، اضلاع مقابل موازی هستند و مورب ها با نقطه تقاطع نصف می شوند.
خواص لوزی
به تصویر نگاه کن:
همانطور که در مورد یک مستطیل، این ویژگی ها متمایز هستند، یعنی برای هر یک از این ویژگی ها می توان نتیجه گرفت که این فقط یک متوازی الاضلاع نیست، بلکه یک لوزی است.
نشانه های الماس
و دوباره توجه کنید: نه فقط یک چهارضلعی که قطرهای آن عمود هستند، بلکه باید متوازی الاضلاع وجود داشته باشد. مطمئن شوید:
خیر البته اگرچه قطرهای آن عمود بر هم هستند و قطر آن نیمساز زوایا و. اما... مورب ها با نقطه تقاطع به نصف تقسیم نمی شوند، بنابراین - متوازی الاضلاع نیست، و بنابراین لوزی نیست.
یعنی مربع در آن واحد مستطیل و لوزی است. بذار ببینیم چه اتفاقی میافتد.
مشخص است چرا؟ - لوزی نیمساز زاویه A است که برابر است با. این بدان معنی است که آن را به دو زاویه در امتداد تقسیم می کند (و همچنین).
خوب، کاملاً واضح است: قطرهای یک مستطیل برابر هستند. مورب های یک لوزی عمود بر هم هستند و به طور کلی متوازی الاضلاع مورب ها بر نقطه تقاطع به نصف تقسیم می شوند.
سطح متوسط
خواص چهارضلعی. متوازی الاضلاع
ویژگی های متوازی الاضلاع
توجه! کلمات " خواص متوازی الاضلاع"یعنی اگر در وظیفه شماست وجود داردمتوازی الاضلاع، سپس تمام موارد زیر را می توان استفاده کرد.
قضیه خصوصیات متوازی الاضلاع.
در هر متوازی الاضلاع:
بیایید درک کنیم که چرا این همه درست است، به عبارت دیگر ما ثابت خواهیم کردقضیه
پس چرا 1) درست است؟
اگر متوازی الاضلاع باشد، پس:
- دراز کشیده متقاطع
- مثل صلیب دراز کشیده
این یعنی (طبق معیار II: و - عمومی.)
خوب، همین است، همین است! - ثابت.
اما اتفاقا! ما هم ثابت کردیم 2)!
چرا؟ اما (به تصویر نگاه کنید)، یعنی دقیقاً به این دلیل.
فقط 3 عدد باقی مانده است).
برای انجام این کار، شما هنوز هم باید مورب دوم را بکشید.
و اکنون می بینیم که - طبق مشخصه II (زوایای و ضلع "بین" آنها).
خواص ثابت شده! بیایید به نشانه ها برویم.
نشانه های متوازی الاضلاع
به یاد بیاورید که علامت متوازی الاضلاع به این سوال پاسخ می دهد که "از کجا می دانید که یک شکل متوازی الاضلاع است؟"
در آیکون ها به این صورت است:
چرا؟ خوب است که بفهمیم چرا - همین کافی است. اما نگاه کن:
خوب، ما متوجه شدیم که چرا علامت 1 درست است.
خوب، حتی ساده تر است! بیایید دوباره یک مورب رسم کنیم.
یعنی:
واین نیز آسان است. اما... متفاوت!
به معنای، . وای! اما همچنین - داخلی یک طرفه با سکانت!
بنابراین این واقعیت به این معنی است که.
و اگر از طرف دیگر نگاه کنید، پس - داخلی یک طرفه با یک سکنت! و بنابراین.
میبینی چقدر عالیه؟!
و باز هم ساده:
دقیقا همینطوره و
توجه کنید:اگر پیدا کردی حداقلیک علامت متوازی الاضلاع در مشکل شما، پس شما دارید دقیقامتوازی الاضلاع و می توانید استفاده کنید هر کسخواص متوازی الاضلاع
برای وضوح کامل، به نمودار نگاه کنید:
خواص چهارضلعی. مستطیل.
خواص مستطیل:
نکته 1) کاملاً واضح است - پس از همه، علامت 3 () به سادگی انجام می شود
و نکته 2) - خیلی مهم. پس بیایید این را ثابت کنیم
این یعنی در دو طرف (و - عمومی).
خوب، از آنجایی که مثلث ها مساوی هستند، پس هیپوتانوس آنها نیز برابر هستند.
ثابت کرد که!
و تصور کنید، تساوی قطرها یک ویژگی متمایز یک مستطیل در بین تمام متوازی الاضلاع است. یعنی این گفته درست است^
بیایید بفهمیم چرا؟
یعنی (منظور زوایای متوازی الاضلاع است). اما اجازه دهید یک بار دیگر به یاد داشته باشیم که متوازی الاضلاع است و بنابراین.
به معنای، . خوب، البته، نتیجه می شود که هر یک از آنها! بالاخره باید در کل بدهند!
بنابراین آنها ثابت کردند که اگر متوازی الاضلاعناگهان (!) مورب ها برابر می شوند، سپس این دقیقا یک مستطیل.
ولی! توجه کن!این در مورد است متوازی الاضلاع! نه فقط هر کسییک چهار ضلعی با قطرهای مساوی مستطیل است و فقطمتوازی الاضلاع!
خواص چهارضلعی. لوزی
و دوباره سوال: آیا لوزی متوازی الاضلاع است یا نه؟
با راست کامل - متوازی الاضلاع، زیرا دارای (ویژگی 2 ما را به خاطر بسپارید).
و باز هم از آنجایی که لوزی متوازی الاضلاع است، باید تمام خصوصیات متوازی الاضلاع را داشته باشد. این بدان معناست که در یک لوزی، زوایای مقابل برابر، اضلاع مقابل موازی و مورب ها در نقطه تقاطع نصف می شوند.
اما خواص ویژه ای نیز وجود دارد. بیایید آن را فرموله کنیم.
خواص لوزی
چرا؟ خوب، از آنجایی که یک لوزی متوازی الاضلاع است، بنابراین قطرهای آن به نصف تقسیم می شوند.
چرا؟ بله، به همین دلیل است!
به عبارت دیگر، مورب ها نیمساز گوشه های لوزی بودند.
همانطور که در مورد یک مستطیل، این ویژگی ها هستند متمایز، هر یک از آنها نیز نشانه لوزی است.
نشانه های الماس
چرا این هست؟ و نگاه کن،
یعنی هر دواین مثلث ها متساوی الساقین هستند.
برای لوزی بودن، یک چهارضلعی ابتدا باید متوازی الاضلاع شود و سپس ویژگی 1 یا 2 را نشان دهد.
خواص چهارضلعی. مربع
یعنی مربع در آن واحد مستطیل و لوزی است. بذار ببینیم چه اتفاقی میافتد.
مشخص است چرا؟ مربع - لوزی - نیمساز زاویه ای است که برابر است با. این بدان معنی است که آن را به دو زاویه در امتداد تقسیم می کند (و همچنین).
خوب، کاملاً واضح است: قطرهای یک مستطیل برابر هستند. مورب های یک لوزی عمود بر هم هستند و به طور کلی متوازی الاضلاع مورب ها بر نقطه تقاطع به نصف تقسیم می شوند.
چرا؟ خوب، بیایید فقط قضیه فیثاغورث را برای ...
خلاصه و فرمول های اساسی
خواص متوازی الاضلاع:
- اضلاع مقابل برابرند: , .
- زوایای مقابل برابر هستند: , .
- زوایای یک طرف جمع می شوند: , .
- مورب ها با نقطه تقاطع به نصف تقسیم می شوند: .
خواص مستطیل:
- قطرهای مستطیل برابر است: .
- مستطیل متوازی الاضلاع است (برای مستطیل تمام خصوصیات متوازی الاضلاع برآورده می شود).
خواص لوزی:
- قطرهای لوزی عمود بر هم هستند: .
- قطرهای یک لوزی نیمساز زوایای آن هستند: ; ; ; .
- لوزی متوازی الاضلاع است (برای لوزی تمام خصوصیات متوازی الاضلاع برآورده می شود).
خواص مربع:
مربع لوزی و مستطیل در یک زمان است، بنابراین، برای یک مربع تمام ویژگی های یک مستطیل و یک لوزی برآورده می شود. و.
مشکل 1. یکی از زوایای متوازی الاضلاع 65 درجه است. زوایای باقیمانده متوازی الاضلاع را بیابید.
∠C =∠A = 65 درجه به عنوان زوایای متوازی الاضلاع.
∠A +∠B = 180 درجه به عنوان زوایای مجاور یک طرف متوازی الاضلاع.
∠B = 180° - ∠A = 180° - 65° = 115°.
∠D =∠B = 115 درجه به عنوان زوایای متوازی الاضلاع.
پاسخ: ∠A =∠C = 65 درجه; ∠B =∠D = 115 درجه.
وظیفه 2.مجموع دو زاویه متوازی الاضلاع 220 درجه است. زوایای متوازی الاضلاع را بیابید.
از آنجایی که متوازی الاضلاع دارای 2 زاویه تند مساوی و 2 زاویه منفرد برابر است، مجموع دو زاویه منفرد به ما داده می شود، یعنی. ∠B +∠D = 220 درجه. سپس ∠B =∠D = 220 درجه :
2 = 110 درجه.
∠A + ∠B = 180 درجه به عنوان زوایای مجاور یک طرف متوازی الاضلاع، بنابراین ∠A = 180° - ∠B = 180° - 110° = 70°. سپس ∠C =∠A = 70 درجه.
پاسخ: ∠A =∠C = 70 درجه; ∠B =∠D = 110 درجه.
وظیفه 3.یکی از زوایای متوازی الاضلاع 3 برابر بزرگتر از دیگری است. زوایای متوازی الاضلاع را بیابید.
اجازه دهید ∠A =x. سپس ∠B = 3x. با دانستن اینکه مجموع زوایای متوازی الاضلاع مجاور یکی از اضلاع آن 180 درجه است، معادله ای ایجاد می کنیم.
x = 180 : 4;
دریافت می کنیم: ∠A = x = 45 درجه، و ∠B = 3x = 3 ∙ 45 درجه = 135 درجه.
زوایای متضاد یک متوازی الاضلاع برابر است، بنابراین،
∠A =∠C = 45 درجه؛ ∠B =∠D = 135 درجه.
پاسخ: ∠A =∠C = 45 درجه؛ ∠B =∠D = 135 درجه.
وظیفه 4.ثابت کنید که اگر یک چهارضلعی دو ضلع موازی و مساوی داشته باشد، پس این چهارضلعی متوازی الاضلاع است.
اثبات
بیایید BD مورب را رسم کنیم و Δ ADB و Δ CBD را در نظر بگیریم.
پس از میلاد = قبل از میلاد بر اساس شرایط. سمت BD رایج است. ∠1 = ∠2 به صورت متقاطع داخلی با خطوط موازی (با شرایط) AD و BC و مقطع BD. بنابراین، Δ ADB = Δ CBD در دو ضلع و زاویه بین آنها (نشان اول برابری مثلث ها). در مثلث های متجانس، زوایای متناظر با هم برابرند، یعنی ∠3 =∠4. و این زوایا زوایای داخلی هستند که به صورت متقاطع با خطوط مستقیم AB و CD و مقطع BD قرار دارند. این بدان معناست که خطوط AB و CD موازی هستند. بنابراین، در این ABCD چهار ضلعی، اضلاع مقابل به صورت جفت موازی هستند، بنابراین، طبق تعریف، ABCD متوازی الاضلاع است، که باید ثابت شود.
وظیفه 5.دو ضلع متوازی الاضلاع به نسبت 2 هستند : 5، و محیط آن 3.5 متر است اضلاع متوازی الاضلاع را بیابید.
∙ (AB + AD).
یک قسمت را با x نشان می دهیم. سپس AB = 2x، AD = 5x متر. با دانستن اینکه محیط متوازی الاضلاع 3.5 متر است، معادله را ایجاد می کنیم:
2 ∙ (2x + 5x) = 3.5;
2 ∙ 7x = 3.5;
x = 3.5 : 14;
یک قسمت 0.25 متر است سپس AB = 2 ∙ 0.25 = 0.5 متر؛ بعد از میلاد = 5 ∙ 0.25 = 1.25 متر.
معاینه.
محیط متوازی الاضلاع P ABCD = 2 ∙ (AB + AD) = 2 ∙ (0,25 + 1,25) = 2 ∙ 1.75 = 3.5 (m).
از آنجایی که اضلاع مقابل متوازی الاضلاع برابر است، CD = AB = 0.25 متر. قبل از میلاد = بعد از میلاد = 1.25 متر.
پاسخ: CD = AB = 0.25 متر; قبل از میلاد = بعد از میلاد = 1.25 متر.
متوازی الاضلاع چهار ضلعی است که اضلاع مقابل آن به صورت جفت موازی هستند.
این تعریف در حال حاضر کافی است، زیرا خواص باقیمانده متوازی الاضلاع از آن تبعیت می کند و در قالب قضایا اثبات می شود.
- خصوصیات اصلی متوازی الاضلاع عبارتند از:
- متوازی الاضلاع یک چهار ضلعی محدب است.
- متوازی الاضلاع اضلاع مقابل هم دارد که جفت با هم برابرند.
- در متوازی الاضلاع، زوایای مقابل به صورت جفت برابر هستند.
قطرهای متوازی الاضلاع بر نقطه تقاطع به نصف تقسیم می شوند.
متوازی الاضلاع - چهار ضلعی محدب اجازه دهید ابتدا این قضیه را اثبات کنیم کهمتوازی الاضلاع یک چهار ضلعی محدب است
. یک چند ضلعی محدب است اگر هر ضلعی از آن به یک خط مستقیم کشیده شود، تمام ضلع های دیگر چند ضلعی در همان سمت این خط مستقیم قرار می گیرند.
پاره های موازی هیچ نقطه مشترکی ندارند و همدیگر را قطع نمی کنند. این به این معنی است که CD در یک طرف AB قرار دارد. از آنجایی که قطعه BC نقطه B از قطعه AB را به نقطه C از قطعه CD وصل می کند و قطعه AD سایر نقاط AB و CD را به هم متصل می کند، پاره های BC و AD نیز در همان سمت خط AB قرار دارند که CD در آن قرار دارد. بنابراین، هر سه طرف - CD، BC، AD - در یک سمت AB قرار دارند.
به همین ترتیب ثابت می شود که نسبت به دیگر اضلاع متوازی الاضلاع، سه ضلع دیگر در یک ضلع قرار دارند.
اضلاع و زوایای مقابل با هم برابرند
یکی از خواص متوازی الاضلاع این است که در متوازی الاضلاع، اضلاع مقابل و زوایای مقابل به صورت جفت برابر هستند. به عنوان مثال، اگر متوازی الاضلاع ABCD داده شود، آنگاه دارای AB = CD، AD = BC، ∠A = ∠C، ∠B = ∠D است. این قضیه به صورت زیر ثابت می شود.
متوازی الاضلاع یک چهار ضلعی است. یعنی دو قطر دارد. از آنجایی که متوازی الاضلاع یک چهار ضلعی محدب است، هر یک از آنها آن را به دو مثلث تقسیم می کند. در متوازی الاضلاع ABCD مثلث های ABC و ADC را که با رسم قطر AC بدست می آیند در نظر بگیرید.
این مثلث ها یک ضلع مشترک دارند - AC. زاویه BCA برابر با زاویه CAD است، همانطور که وقتی BC و AD موازی هستند عمودی است. زوایای BAC و ACD نیز زمانی که AB و CD موازی باشند با زوایای عمودی برابرند. بنابراین، ∆ABC = ∆ADC در دو زاویه و ضلع بین آنها.
در این مثلث ها ضلع AB با ضلع CD و ضلع BC مربوط به AD است. بنابراین، AB = CD و BC = AD.
زاویه B مربوط به زاویه D است، یعنی ∠B = ∠D. زاویه A متوازی الاضلاع مجموع دو زاویه ∠BAC و ∠CAD است. زاویه C برابر است با ∠BCA و ∠ACD. از آنجایی که جفت زاویه ها با یکدیگر برابر هستند، ∠A = ∠C.
بنابراین، ثابت می شود که در متوازی الاضلاع اضلاع و زوایای مقابل با هم برابر هستند.
مورب ها به نصف تقسیم می شوند
از آنجایی که متوازی الاضلاع یک چهار ضلعی محدب است، دو قطر دارد و آنها همدیگر را قطع می کنند. اجازه دهید متوازی الاضلاع ABCD داده شود، قطرهای آن AC و BD در نقطه E قطع می شوند. مثلث های ABE و CDE را در نظر بگیرید که توسط آنها تشکیل شده اند.
این مثلث ها دارای اضلاع AB و CD برابر با اضلاع مقابل متوازی الاضلاع هستند. زاویه ABE برابر با زاویه CDE به صورت متقاطع با خطوط موازی AB و CD است. به همین دلیل، ∠BAE = ∠DCE. این یعنی ∆ABE = ∆CDE در دو زاویه و ضلع بین آنها.
همچنین می توانید متوجه شوید که زوایای AEB و CED عمودی هستند و بنابراین با یکدیگر برابر هستند.
از آنجایی که مثلث های ABE و CDE با یکدیگر برابر هستند، پس همه عناصر متناظر آنها با یکدیگر برابر هستند. ضلع AE مثلث اول با ضلع CE دومی مطابقت دارد که به معنی AE = CE است. به طور مشابه BE = DE. هر جفت پاره مساوی یک قطر متوازی الاضلاع را تشکیل می دهد. بنابراین ثابت می شود که قطرهای متوازی الاضلاع با نقطه تقاطع آنها نصف می شوند.
متوازی الاضلاع چهار ضلعی است که اضلاع مقابل آن موازی هستند، یعنی. روی خطوط موازی دراز بکشید
خواص متوازی الاضلاع: 
قضیه 22.
اضلاع مقابل متوازی الاضلاع با هم برابرند.
اثبات در متوازی الاضلاع ABCD یک AC مورب رسم می کنیم. مثلث های ACD و ACB با هم برابرند، انگار که دارند طرف مشترک AC و دو جفت زاویه مساوی. مجاور آن: ∠ CAB=∠ ACD، ∠ ACB=∠ DAC (به صورت زوایای متقاطع با خطوط موازی AD و BC). این بدان معنی است که AB = CD و BC = AD، به عنوان اضلاع متناظر مثلث های مساوی و غیره. از تساوی این مثلث ها نیز چنین بر می آید که زوایای متناظر مثلث ها برابر هستند:
قضیه 23.
زوایای مقابل متوازی الاضلاع برابر هستند: ∠ A=∠ C و ∠ B=∠ D.
برابری جفت اول از برابری مثلث های ABD و CBD و دومی - ABC و ACD می آید.
قضیه 24.
زوایای مجاور متوازی الاضلاع، یعنی. زوایای مجاور یک طرف به 180 درجه اضافه می شود.
این به این دلیل است که آنها زوایای داخلی یک طرفه هستند.
قضیه 25.
قطرهای متوازی الاضلاع در نقطه تقاطع خود یکدیگر را نصف می کنند.
اثبات مثلث های BOC و AOD را در نظر بگیرید. با توجه به ویژگی اول AD=BC ∠ OAD=∠ OCB و ∠ ODA=∠ OBC به صورت متقاطع برای خطوط موازی AD و BC قرار دارد. بنابراین مثلث های BOC و AOD در زوایای ضلعی و مجاور برابر هستند. این یعنی BO=OD و AO=OS، مانند اضلاع متناظر مثلث های مساوی و غیره.
نشانه های متوازی الاضلاع
قضیه 26.
اگر اضلاع مقابل یک چهار ضلعی جفت با هم برابر باشند، متوازی الاضلاع است.
اثبات بگذارید چهار ضلعی ABCD دارای اضلاع AD و BC، AB و CD به ترتیب برابر باشند (شکل 2). بیایید قطر AC را رسم کنیم. مثلث های ABC و ACD از سه ضلع برابر هستند. سپس زوایای BAC و DCA برابر هستند و بنابراین AB موازی با CD است. موازی اضلاع BC و AD از برابری زوایای CAD و ACB حاصل می شود.
قضیه 27.
اگر زوایای مقابل یک چهار ضلعی دو به دو برابر باشند، متوازی الاضلاع است.
بگذارید ∠ A=∠ C و ∠ B=∠ D. زیرا ∠ A+∠ B+∠ C+∠ D=360 o سپس ∠ A+∠ B=180 o و اضلاع AD و BC موازی هستند (بر اساس موازی بودن خطوط مستقیم). همچنین توازی اضلاع AB و CD را ثابت می کنیم و نتیجه می گیریم که ABCD طبق تعریف متوازی الاضلاع است.
قضیه 28.
اگر گوشه های مجاور یک چهارضلعی، یعنی. زوایای مجاور یک ضلع به 180 درجه اضافه می شود، سپس متوازی الاضلاع است.
اگر مجموع زوایای یک طرفه داخلی به 180 درجه برسد، خطوط مستقیم موازی هستند. بنابراین AB موازی CD و BC موازی با AD است. یک چهار ضلعی طبق تعریف یک متوازی الاضلاع است.
قضیه 29.
اگر قطرهای یک چهارضلعی در نقطه تقاطع یکدیگر را نصف کنند، آن چهارضلعی متوازی الاضلاع است.
اثبات اگر AO = OC، BO = OD، آنگاه مثلثهای AOD و BOC مساوی هستند، زیرا دارای زوایای مساوی (عمودی) در راس O هستند که بین جفت‌های اضلاع مساوی محصور شده‌اند. از تساوی مثلث ها نتیجه می گیریم که AD و BC برابر هستند. اضلاع AB و CD نیز برابر هستند و چهارضلعی مطابق با معیار 1 متوازی الاضلاع است.
قضیه 30.
اگر یک چهار ضلعی دارای یک جفت ضلع مساوی و موازی باشد، متوازی الاضلاع است.
بگذارید اضلاع AB و CD چهارضلعی ABCD موازی و مساوی باشند. بیایید قطرهای AC و BD را رسم کنیم. از توازی این خطوط نتیجه می شود که زوایای متقاطع ABO = CDO و BAO = OCD برابر هستند. مثلث های ABO و CDO از نظر زوایای ضلعی و مجاور برابر هستند. بنابراین AO=OS، VO=ОD، یعنی. مورب ها با نقطه تقاطع به نصف تقسیم می شوند و چهارضلعی مطابق با معیار 4 متوازی الاضلاع می شود.
در هندسه موارد خاصی از متوازی الاضلاع در نظر گرفته می شود.
