Definisi contoh ruang vektor. Definisi ruang vektor. Contoh ruang vektor. Ruang vektor n-dimensi aritmetik. Penggantian asas dan penjelmaan koordinat
vektor(atau linear) angkasa lepas- struktur matematik, iaitu satu set elemen yang dipanggil vektor, yang mana operasi penambahan antara satu sama lain dan pendaraban dengan nombor ditakrifkan - skalar.
1) X+y=y+x ( komutatif penambahan)
2) X+(y+Z)=(x+Y)+z ( pergaulan tambahan)
3) terdapat unsur 0єV sehingga x+0=x
4) untuk mana-mana x єV terdapat unsur - x єV supaya x+(-x)=0? dipanggil vektor, bertentangan vektor x.
5) α(βx)= (αβ)x ( perkaitan pendaraban dengan skalar)
7) (α+β)x=αx+βx
8) α(x+y)=αx+αy
1) Vektor bebas dalam ruang R 3
2) Matriks dimensi nxm
3) Set semua polinomial yang darjahnya tidak melebihi n
4) Contoh ruang linear ialah:
5) - ruang nombor nyata.
6) - satu set vektor geometri pada satah.
7) - ruang matriks dimensi tetap.
8) - ruang penyelesaian homogen sistem linear dan sebagainya.
Definisi asas
vektor N-dimensi dipanggil urutan n nombor. Nombor ini dipanggil koordinat vektor. Bilangan koordinat vektor n dipanggil dimensi vektor.
Anda hanya boleh menambah vektor dengan dimensi yang sama
Vektor adalah sama, jika mereka mempunyai dimensi yang sama dan koordinat yang sepadan adalah sama.
Mana-mana vektor n-dimensi A boleh darab dengan sebarang nomborλ, dan semua koordinatnya didarab dengan nombor ini:
λA=(λ*a1, λ*a2,..., λ*an)
Dua vektor dengan dimensi yang sama boleh ditambah, dan koordinat yang sepadan ditambah:
Apakah gabungan linear vektor?
Gabungan linear vektor a1,a2,…,an dipanggil ungkapan bentuk:
di mana a1,a2,…,an- nombor sewenang-wenangnya
Apakah vektor yang dipanggil bersandar linear (bebas)?
Vektor bukan sifar a1,a2,…,an dipanggil bergantung secara linear, jika gabungan linear bukan remeh bagi vektor ini adalah sama dengan vektor sifar:
Vektor bukan sifar a1,a2,…,an dipanggil bebas linear, melainkan gabungan linear remeh bagi vektor ini sama dengan vektor nol.
Contoh vektor bebas linear
Bagaimana isu itu diselesaikan? pergantungan linear vektor?
Teorem 1. Agar sistem vektor bergantung secara linear, adalah perlu dan mencukupi bahawa sekurang-kurangnya satu daripadanya diwakili sebagai gabungan linear yang lain.
Teorem 2. Dalam ruang dimensi-n, sebarang sistem yang mengandungi lebih daripada n vektor adalah bergantung secara linear.
Teorem 3.Jika penentu yang terdiri daripada koordinat vektor ialah bukan sifar, maka sistem vektor adalah bebas linear. Jika teorem ini tidak menjawab persoalan pergantungan linear atau kebebasan vektor, maka adalah perlu untuk menyelesaikan sistem persamaan untuk , atau menentukan pangkat sistem vektor.
Apakah hubungan antara koordinat dua vektor bersandar linear?
Berikan contoh dua vektor bersandar linear
:
Vektor dan kolinear apabila nombor sedemikian wujud 
bahawa persamaan itu dipegang: 
.
Definisi asas ruang linear
Satu set n elemen bebas linear dalam ruang berdimensi n dipanggil asas ruang ini.
Penentuan dimensi ruang linear.
Definisi 3.1. Ruang linear R dipanggil n-dimensi jika ia mengandungi n unsur bebas linear, dan mana-mana ( n+1) elemen sudah bergantung secara linear. Dalam kes ini nombor n dipanggil dimensi ruang R.
Dimensi ruang dilambangkan dengan simbol malap.
Definisi 3.2. Ruang linear R dipanggil dimensi tak terhingga jika ia mengandungi sebarang bilangan unsur bebas linear.
Teorem 3.4. Biarkan ruang linear R mempunyai asas yang terdiri daripada n elemen. Kemudian dimensi R sama dengan n(malap R=n).
Konsep ruang n-dimensi
Ruang linear V dipanggil ruang dimensi-n jika ia mengandungi sistem n unsur bebas linear, dan mana-mana unsur n+1 adalah bersandar secara linear.
Formula yang menghubungkan vektor asas lama dan baharu
1. Konsep ruang linear
Definisi 1.1. Sekumpulan R elemen x, y, z,... dari sebarang sifat dipanggil ruang linear (atau vektor) jika tiga keperluan berikut dipenuhi:
- Terdapat peraturan yang mana dua elemen x Dan y set R elemen ketiga dipadankan z set ini, dipanggil jumlah unsur x Dan y dan ditetapkan z=x+y.
- Terdapat peraturan yang mana mana-mana elemen x set R dan sebarang nombor nyata α elemen dipadankan w set ini, dipanggil hasil darab unsur x setiap nombor α dan ditetapkan w=αx atau w=xα.
- Dua peraturan yang dibentangkan tertakluk kepada lapan aksiom berikut:
- x+y=y+x(sifat komutatif jumlah);
- (x+y)+z=x+(y+z)(sifat gabungan jumlah);
- terdapat unsur sifar 0 sedemikian x+0=x untuk sebarang elemen x.
- untuk sebarang elemen x terdapat unsur unsur yang bertentangan x" seperti itu x+x"=0;
- 1· x=x untuk sesiapa x;
- λ(μx)=(λμ)x(sifat gabungan mengenai faktor berangka);
- (λ+μ )x= λx+μx(sifat pengedaran mengenai faktor berangka);
- λ(x+y)=λx+λy(sifat pengagihan relatif kepada jumlah unsur).
2. Asas ruang linear
Definisi 2.1. Satu set elemen ruang bebas linear R dipanggil asas ruang ini jika bagi setiap elemen x angkasa lepas R terdapat nombor nyata 
supaya kesaksamaan dipegang
Kesamaan (2.1) dipanggil pengembangan unsur x mengikut asas dan nombor dipanggil koordinat unsur x(berbanding dengan asas).
Mari kita buktikan bahawa mana-mana elemen x ruang linear R
Biar ada penguraian lagi x:
Menolak (2.1) daripada (2.2) kita ada:
| (2.3) |
Oleh kerana unsur asas adalah bebas secara linear, ia mengikuti daripada hubungan (2.3) bahawa
Oleh itu, setiap elemen ruang linear R boleh dikembangkan atas dasar dengan cara yang unik.
Teorem 2.2. Apabila menambah sewenang-wenangnya dua elemen ruang linear R koordinat mereka (berbanding dengan sebarang asas ruang R) tambah, dan apabila mendarab sebarang unsur x kepada sebarang nombor α semua koordinat x di darab dengan α .
Bukti berikut daripada aksiom 1-8 Definisi 1.1.
3. Dimensi ruang linear
Pertimbangkan ruang sebenar yang sewenang-wenangnya R.
Definisi 3.1. Ruang linear R dipanggil n-dimensi jika ia mengandungi n unsur bebas linear, dan mana-mana ( n+1) elemen sudah bergantung secara linear. Dalam kes ini nombor n dipanggil dimensi ruang R.
Dimensi ruang dilambangkan dengan simbol malap.
Definisi 3.2. Ruang linear R dipanggil dimensi tak terhingga jika ia mengandungi sebarang bilangan unsur bebas linear.
Teorem 3.3. biarlah R ialah ruang dimensi linear n(malap R=n). Kemudian mana-mana n elemen bebas linear ruang ini membentuk asasnya.
Bukti. Kerana R ialah n-ruang dimensi, kemudian dari Definisi 2.1 ia berikutan bahawa ia mengandungi koleksi n unsur bebas linear. biarlah x- mana-mana elemen daripada R. Kemudian mengikut Definisi 3.1 
bergantung secara linear, i.e. ada nombor 
(tidak semua sama dengan sifar) supaya kesamaan
| (3.3) |
Daripada kesamaan (3.3) ia mengikuti mana-mana vektor dari ruang R boleh diuraikan kepada unsur-unsur dan, oleh itu, ia membentuk asas ruang R. ■
Teorem 3.4. Biarkan ruang linear R mempunyai asas yang terdiri daripada n elemen. Kemudian dimensi R sama dengan n(malap R=n).
Bukti. Biarkan set n unsur adalah asas ruang R. Ia cukup untuk membuktikan bahawa mana-mana n+1 elemen 
ruang ini bergantung secara linear. Memperluas elemen ini mengikut asas, kita dapat:
di mana a 11 ,a 12 ,...,a n+1,n nombor nyata.
Biarkan unsur-unsur 
bebas linear. Mari kita tulis semula (3.4) dalam bentuk matriks:
Oleh kerana mereka bebas secara linear, matriks A mempunyai matriks songsang A -1 . Setelah menyelesaikan persamaan matriks (3.5), kami memperoleh:
Seperti yang dapat dilihat daripada persamaan (3.9), ia boleh diwakili oleh gabungan linear vektor . Oleh itu vektor bergantung secara linear. ■
4. Penggantian asas dan penjelmaan koordinat
Biarkan di angkasa R Bersama asas asal ada asas lain 
. Vektor asas ini boleh dinyatakan melalui gabungan linear vektor asas asal seperti berikut:
Matriks P dipanggil matriks perubahan asas pada .
Sebaliknya, vektor asas asal dinyatakan melalui vektor yang baharu dengan hubungan berikut:
Daripada (4.6) ia mengikutinya QP=E, Di mana E ialah matriks identiti, dan matriks Q Dan P matriks saling songsang.
Mari kita pertimbangkan bagaimana koordinat vektor berubah apabila asas diubah.
Biarkan vektor x mempunyai koordinat dan koordinat 
, Kemudian
| (4.7) |
Matriks P T dipanggil matriks transformasi koordinat. Ia ditukar dengan matriks perubahan asas. matriks songsang (P T) -1 memberikan ungkapan untuk koordinat baru dari segi yang lama.
Matriks songsang kepada transpose beberapa matriks dipanggil kecerunan balas dengan dia.
5. Isomorfisme ruang linear
Definisi 5.1. Dua ruang linear sebenar sewenang-wenangnya R Dan R" dipanggil isomorfik jika surat-menyurat satu-dengan-satu boleh diwujudkan antara unsur-unsur ruang ini supaya jika x, y∈R jawab x", y"∊R" sewajarnya, maka unsur x+y∈R elemen bertindak balas x"+y"∈R", dan untuk apa-apa yang sebenar α , unsur α x∈R elemen bertindak balas α x"∈R".
Teorem 5.2. Jika ruang R Dan R" adalah isomorfik, maka mereka mempunyai dimensi yang sama.
Bukti. Biarkan ruang linear R Dan R" adalah isomorfik, dan biarkan unsur-unsur 
angkasa lepas R elemen bertindak balas 
ruang R" masing-masing. Mari kita andaikan unsur bebas linear. Mari kita tunjukkan bahawa unsur-unsur 
juga bebas secara linear. Berdasarkan andaian terbalik, mari kita anggap bahawa unsur-unsur bergantung secara linear. maka salah satu daripadanya boleh diwakili oleh gabungan linear unsur-unsur yang tinggal:. Tetapi unsur-unsur 
elemen bertindak balas 
y dalam ruang R, dan jumlahnya sepadan dengan jumlahnya 
. Tetapi yang terakhir bermaksud pergantungan linear unsur-unsur . Oleh itu bebas linear. Daripada pergantungan linear unsur-unsur mengikuti pergantungan linear unsur-unsur . Oleh itu, bilangan maksimum vektor bebas linear untuk ruang R Dan R" satu dan sama, i.e. ruang ini mempunyai dimensi yang sama. ■
Teorem 5.3. Mana-mana dua n-ruang linear sebenar berdimensi R Dan R" adalah isomorfik.
Bukti. Mari kita pilih pangkalan 
Dan 
untuk ruang R Dan R" masing-masing. Kemudian setiap elemen ruang R boleh diwakili oleh gabungan linear unsur asas: . Unsur ini dalam ruang R" mari padankan elemen dengan koordinat yang sama:. Sebaliknya, unsur x" angkasa lepas R" unsur sepadan x angkasa lepas R. Perhatikan bahawa jika elemen x Dan y angkasa lepas R elemen bertindak balas x" Dan y" angkasa lepas R" sewajarnya, maka, berdasarkan Teorem 2.2, unsur x+y angkasa lepas R elemen bertindak balas x"+y" angkasa lepas R", dan unsur α
x elemen bertindak balas α
x". ■
Kuliah 6. Ruang vektor.
Soalan utama.
1. Ruang linear vektor.
2. Asas dan dimensi ruang.
3. Orientasi ruang.
4. Penguraian vektor mengikut asas.
5. Koordinat vektor.
1. Ruang linear vektor.
Satu set yang terdiri daripada unsur apa-apa sifat di mana operasi linear ditakrifkan: penambahan dua unsur dan pendaraban unsur dengan nombor dipanggil ruang, dan unsur-unsurnya ialah vektor ruang ini dan dilambangkan dengan cara yang sama seperti kuantiti vektor dalam geometri: . vektor Ruang abstrak sedemikian, sebagai peraturan, tidak mempunyai persamaan dengan vektor geometri biasa. Elemen ruang abstrak boleh menjadi fungsi, sistem nombor, matriks, dsb., dan dalam kes tertentu, vektor biasa. Oleh itu, ruang sedemikian biasanya dipanggil ruang vektor .
Ruang vektor ialah, Sebagai contoh, set vektor kolinear, dilambangkan V1 , set vektor coplanar V2 , set vektor biasa (ruang nyata) V3 .
Untuk kes khusus ini, kita boleh memberikan takrifan ruang vektor berikut.
Definisi 1. Set vektor dipanggil ruang vektor, jika gabungan linear mana-mana vektor set juga merupakan vektor set ini. Vektor itu sendiri dipanggil elemen ruang vektor.
Lebih penting, secara teori dan gunaan, ialah konsep umum (abstrak) ruang vektor.
Definisi 2. Sekumpulan R elemen, di mana jumlahnya ditentukan untuk mana-mana dua elemen dan untuk mana-mana elemen https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_75.gif" width="68" height="20"> dipanggil vektor(atau linear) angkasa lepas, dan elemennya ialah vektor, jika operasi menambah vektor dan mendarab vektor dengan nombor memenuhi syarat berikut ( aksiom) :
1) penambahan adalah komutatif, iaitu..gif" width="184" height="25">;
3) terdapat elemen sedemikian (vektor sifar) yang untuk mana-mana https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45" height="20">.gif" width= " 99" ketinggian="27">;
5) untuk mana-mana vektor dan dan sebarang nombor λ kesaksamaan dipegang;
6) untuk sebarang vektor dan sebarang nombor λ
Dan µ
kesamaan adalah benar: https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45 height=20" height="20"> dan sebarang nombor λ
Dan µ
adil 
;
8) https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45" height="20">.
Aksiom termudah yang mentakrifkan ruang vektor berikut: akibat :
1. Dalam ruang vektor hanya terdapat satu sifar - unsur - vektor sifar.
2. Dalam ruang vektor, setiap vektor mempunyai satu vektor bertentangan.
3. Bagi setiap elemen kesaksamaan dipenuhi.
4. Untuk sebarang nombor nyata λ dan vektor sifar https://pandia.ru/text/80/142/images/image017_45.gif" width="68" height="25">.
5..gif" width="145" height="28">
6..gif" width="15" height="19 src=">.gif" width="71" height="24 src="> ialah vektor yang memenuhi kesamaan https://pandia.ru/text /80 /142/images/image026_26.gif" width="73" height="24">.
Jadi, sesungguhnya, set semua vektor geometri ialah ruang linear (vektor), kerana untuk unsur set ini tindakan penambahan dan pendaraban dengan nombor ditakrifkan yang memenuhi aksiom yang dirumuskan.
2. Asas dan dimensi ruang.
Konsep penting ruang vektor ialah konsep asas dan dimensi.
Definisi. Satu set vektor bebas linear, diambil dalam susunan tertentu, di mana mana-mana vektor ruang boleh dinyatakan secara linear, dipanggil asas ruang ini. vektor. Komponen asas ruang dipanggil asas .
Asas set vektor yang terletak pada garis arbitrari boleh dianggap sebagai satu vektor kolinear kepada garis ini.
Asas pada kapal terbang mari kita panggil dua vektor bukan kolinear pada satah ini, diambil dalam susunan tertentu https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" width="61" height="24">.
Jika vektor asas adalah serenjang berpasangan (ortogon), maka asas dipanggil ortogon, dan jika vektor ini mempunyai panjang, sama dengan satu, maka asas dipanggil ortonormal .
Nombor terbesar vektor ruang bebas linear dipanggil dimensi ruang ini, iaitu dimensi ruang bertepatan dengan bilangan vektor asas ruang ini.
Jadi, menurut definisi ini:
1. Ruang satu dimensi V1 ialah garis lurus, dan asasnya terdiri daripada satu kolinear vektor https://pandia.ru/text/80/142/images/image028_22.gif" width="39" height="23 src="> .
3. Ruang biasa ialah ruang tiga dimensi V3 , yang asasnya terdiri daripada tiga bukan coplanar vektor
Dari sini kita melihat bahawa bilangan vektor asas pada garis, pada satah, dalam ruang nyata bertepatan dengan apa yang dalam geometri biasanya dipanggil bilangan dimensi (dimensi) garis, satah, ruang. Oleh itu, adalah wajar untuk memperkenalkan definisi yang lebih umum.
Definisi. Ruang vektor R dipanggil n– dimensi jika tidak lebih daripada n vektor bebas linear dan ditandakan R n. Nombor n dipanggil dimensi angkasa lepas.
Selaras dengan dimensi ruang dibahagikan kepada dimensi terhingga Dan dimensi tak terhingga. Dimensi ruang nol dianggap sama dengan sifar mengikut takrifan.
Nota 1. Dalam setiap ruang anda boleh menentukan seberapa banyak pangkalan yang anda suka, tetapi semua pangkalan ruang tertentu terdiri daripada bilangan vektor yang sama.
Nota 2. DALAM n– dalam ruang vektor dimensi, asas ialah sebarang koleksi tersusun n vektor bebas linear.
3. Orientasi ruang.
Biarkan vektor asas dalam angkasa V3 mempunyai permulaan umum Dan mengarahkan, iaitu ditunjukkan vektor mana yang dianggap pertama, yang dianggap kedua dan yang dianggap ketiga. Sebagai contoh, dalam asas, vektor disusun mengikut pengindeksan. |
|
Untuk itu untuk mengorientasikan ruang, adalah perlu untuk menetapkan beberapa asas dan mengisytiharkannya positif .
Ia boleh ditunjukkan bahawa set semua pangkalan ruang terbahagi kepada dua kelas, iaitu, kepada dua subset terputus-putus.
a) semua asas kepunyaan satu subset (kelas) mempunyai sama orientasi (asas dengan nama yang sama);
b) mana-mana dua tapak kepunyaan pelbagai subset (kelas), mempunyai bertentangan dengan orientasi, ( nama yang berbeza pangkalan).
Jika salah satu daripada dua kelas asas ruang diisytiharkan positif dan satu lagi negatif, maka dikatakan ruang ini berorientasikan .
Selalunya, apabila mengorientasikan ruang, beberapa pangkalan dipanggil betul, dan lain lain - dibiarkan .
https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" width="61" height="24 src="> dipanggil betul, jika, apabila memerhati dari hujung vektor ketiga, putaran terpendek bagi vektor pertama https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" width="16" height="23" > dijalankan mengikut arah jam(Rajah 1.8, a).
https://pandia.ru/text/80/142/images/image036_22.gif" width="16" height="24">
https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_23.gif" width="15" height="23">
https://pandia.ru/text/80/142/images/image039_23.gif" width="13" height="19">
https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" width="16" height="23">
nasi. 1.8. Dasar kanan (a) dan asas kiri (b)
Biasanya asas ruang yang betul diisytiharkan sebagai asas positif
Asas ruang kanan (kiri) juga boleh ditentukan menggunakan peraturan skru atau gimlet "kanan" ("kiri").
Secara analogi dengan ini, konsep kanan dan kiri diperkenalkan bertiga vektor bukan koplanar yang mesti dipesan (Rajah 1.8).
Oleh itu, dalam kes am dua kembar tiga tersusun bagi vektor bukan koplanar mempunyai orientasi yang sama (nama yang sama) di angkasa V3 jika kedua-duanya kanan atau kedua-duanya kiri, dan - orientasi yang bertentangan (bertentangan) jika salah seorang daripada mereka betul dan yang lain kiri.
Perkara yang sama dilakukan dalam kes ruang V2 (kapal terbang).
4. Penguraian vektor mengikut asas.
Untuk kesederhanaan penaakulan, mari kita pertimbangkan soalan ini menggunakan contoh ruang vektor tiga dimensi R3 .
Biarkan https://pandia.ru/text/80/142/images/image021_36.gif" width="15" height="19"> menjadi vektor arbitrari ruang ini.
RUANG VEKTOR, ruang linear di atas medan K, ialah kumpulan Abelian E yang ditulis secara tambahan, di mana pendaraban unsur dengan skalar ditakrifkan, iaitu pemetaan
K × E → E: (λ, x) → λx,
memenuhi aksiom berikut (x, y ∈ E, λ, μ, 1 ∈ K):
1) λ(x + y) = λx + λy,
2) (λ + μ)x = λx + μx,
3) (λμ)x = λ(μx),
4) 1 ⋅ x = x.
Daripada aksiom 1)-4) berikut: sifat penting ruang vektor (0 ∈ E):
5) λ ⋅ 0 = 0,
6) 0 ⋅ x = 0,
Unsur V. hlm. titik V.p., atau vektor, dan unsur-unsur medan K ialah skalar.
Aplikasi terbesar dalam matematik dan aplikasi dibuat dalam bidang ℂ nombor kompleks atau atas medan ℝ nombor nyata; mereka dipanggil masing-masing, kompleks v. p.
Aksiom v. ms mendedahkan algebra tertentu. sifat bagi banyak kelas fungsi yang sering ditemui dalam analisis. Daripada contoh ruang menegak, yang paling asas dan terawal ialah ruang Euclidean n-dimensi. Contoh yang hampir sama penting ialah banyak ruang fungsi: ruang fungsi berterusan, ruang fungsi boleh diukur, ruang fungsi boleh tambah, ruang fungsi analitik. fungsi, ruang fungsi variasi terhad.
Konsep ruang v. ialah kes khas konsep modul di atas gelang, iaitu ruang v. ialah modul kesatuan di atas medan. Modul unitari di atas medan condong bukan komutatif juga dipanggil. ruang vektor di atas badan; teori bentuk gelombang sedemikian dalam banyak cara lebih kompleks daripada teori bentuk gelombang di atas medan.
Salah satu masalah penting yang berkaitan dengan ruang vektor ialah kajian geometri ruang vektor, iaitu kajian garis dalam ruang vektor, set rata dan cembung dalam ruang vektor, ruang kecil ruang vektor, dan tapak dalam ruang vektor V .
Subruang vektor, atau ringkasnya subruang, V. ms E di atas medan K dipanggil. subset F ⊂ E ditutup di bawah tindakan penambahan dan pendaraban dengan skalar. Subruang, dianggap berasingan daripada ruang yang mengandunginya, ialah ruang di atas medan yang sama.
Garis lurus yang melalui dua titik x dan y B. p E dipanggil. satu set unsur z ∈ E dalam bentuk z = λx + (1 - λ)y, λ ∈ K. Satu set G ∈ E dipanggil. set rata jika, bersama-sama dengan mana-mana dua titik, ia mengandungi garis yang melalui titik-titik ini. setiap satu set rata diperoleh daripada subruang tertentu menggunakan anjakan (terjemahan selari): G = x + F; ini bermakna setiap elemen z ∈ G boleh diwakili secara unik dalam bentuk z = x + y, y ∈ F, dan kesamarataan ini menyediakan korespondensi satu dengan satu antara F dan G.
Set semua anjakan F x = x + F subruang F yang diberikan membentuk ruang V. di atas K, dipanggil. ruang faktor E/F, jika kita mentakrifkan operasi seperti berikut:
F x F y = F x+y ; λF x = F λx , λ ∈ K.
Biarkan M = (x α) α∈A menjadi set arbitrari vektor daripada E; gabungan linear vektor x α ∈ E dipanggil. vektor x ditakrifkan oleh formula
x = ∑ α λ α x α , λ α ∈ K,
di mana hanya bilangan pekali terhingga adalah bukan sifar. Set semua kombinasi linear vektor bagi set M yang diberikan ialah subruang terkecil yang mengandungi M, dan dipanggil. rentang linear set M. Kombinasi linear dipanggil. remeh jika semua pekali λ α adalah sama dengan sifar. Himpunan M dipanggil. set bebas linear jika semua kombinasi linear bukan remeh bagi vektor daripada M adalah bukan sifar.
Sebarang set tak bersandar linear terkandung dalam set tak bersandar linear maksima M0, iaitu, dalam set yang terhenti menjadi tak bersandar linear selepas menambah sebarang unsur dari E padanya.
Setiap unsur x ∈ E boleh diwakili secara unik sebagai gabungan linear unsur bagi set bebas linear maksimum:
x = ∑ α λ α x α , x α ∈ M 0 .
Dalam hal ini, set bebas linear maksimum dipanggil. asas V. hlm (asas algebra). Semua pangkalan VP tertentu mempunyai kardinaliti yang sama, dipanggil. dimensi V. hlm Jika kuasa ini terhad, ruang itu dipanggil. dimensi terhingga V. hlm.; sebaliknya ia dipanggil dimensi tak terhingga V. hlm.
Medan K boleh dianggap sebagai ruang menegak satu dimensi di atas medan K; asas item V. ini terdiri daripada satu elemen; ia boleh menjadi mana-mana elemen selain sifar. Vektor dimensi terhingga dengan asas n unsur dipanggil. ruang n-dimensi.
Dalam teori v nyata dan kompleks h. peranan penting Teori set cembung memainkan peranan. Set M dalam V.p sebenar dipanggil. ialah set cembung jika, bersama mana-mana dua titiknya x, y, segmen tx + (1 - t)y, t ∈ , juga tergolong dalam M.
Tempat yang besar dalam teori ruang menegak diduduki oleh teori fungsi linear pada ruang menegak dan teori dualiti yang berkaitan. Biarkan E ialah CV di atas medan K. Fungsi linear pada E dipanggil. pemetaan aditif dan homogen f: E → K:
f(x + y) = f(x) + f(y), f(λx) = λf(x).
Set E* semua fungsi linear pada E membentuk kekosongan di atas medan K berkenaan dengan operasi
(f 1 + f 2)(x) = f 1 (x) + f 2 (x), (λf)(x) = λf(x), x ∈ E, X ∈ K, f 1, f 2, f ∈ E*.
Ini adalah V.p. ruang konjugat (atau dwi) (ke E). Beberapa teori geometri dikaitkan dengan konsep ruang konjugat. syarat. Biarkan D ⊂ E (masing-masing Г ⊂ E*); penghapus bagi set D, atau pelengkap ortogon bagi set D (masing-masing set Г) dipanggil. sekumpulan
D ⊥ = (f ∈ E*: f(x) = 0 untuk semua x ∈ D)
(masing-masing Г ⊥ = (x ∈ E: f(x) = 0 untuk semua f ∈ Г)); di sini D ⊥ dan Г ⊥ ialah subruang bagi ruang E* dan E, masing-masing Jika f ialah unsur bukan sifar E*, maka (f) ialah subruang linear maksimum maksimum E, dipanggil. kadangkala hipersubruang; anjakan subruang tersebut dipanggil. hyperplane dalam E; setiap hyperplane mempunyai bentuk
(x: f(x) = λ), dengan f ≠ 0, f ∈ E*, λ ∈ K.
Jika F ialah subruang bagi B. p E, maka terdapat isomorfisme semula jadi antara F* dan
E*/F ⊥ dan antara (E/F)* dan F ⊥ .
Subset Г ⊂ E* dipanggil jumlah subset ke atas E jika penghapusnya hanya mengandungi unsur sifar: Г ⊥ = (0).
Setiap set bebas linear (x α ) α∈A ⊂ E boleh dikaitkan dengan set konjugat (f α ) α∈A ⊂ E*, i.e. set sedemikian bahawa f α (x β) = δ αβ (simbol Kronecker) untuk semua α, β ∈ A. Set pasangan (x α, f α) dipanggil. dengan sistem biorthogonal. Jika set (x α) ialah asas dalam E, maka (f α) adalah melebihi E.
Teori tentang transformasi linear V. ms. Biarkan E 1, E 2 menjadi dua V. p dari E 1 hingga E 2), dipanggil. pemetaan tambahan dan homogen bagi ruang E 1 hingga E 2:
T(x + y) = Tx + Ty; Т(λх) = λТ(х); x, y ∈ E 1.
Kes khas konsep ini ialah fungsi linear, atau operator linear dari E 1 hingga K. Pemetaan linear ialah, sebagai contoh, pemetaan semula jadi bagi ruang kuasi E ke ruang hasil E/F, yang mengaitkan setiap elemen x ∈ E set rata F x ∈ E/F. Set ℒ(E 1, E 2) semua operator linear T: E 1 → E 2 membentuk V. p
(T 1 + T 2)x = T 1 x + T 2 x; (λТ)х = λТх; x ∈ E 1; λ ∈ K; T 1, T 2, T ∈ ℒ(E 1, E 2).
Dua V. item E 1 dan E 2 dipanggil. item isomorfik lwn. jika terdapat pengendali linear (“isomorfisme”) yang menjalankan korespondensi satu dengan satu antara elemen mereka. E 1 dan E 2 adalah isomorfik jika dan hanya jika tapaknya mempunyai kardinaliti yang sama.
Biarkan T ialah operator linear yang memetakan E 1 hingga E 2 . Pengendali linear konjugat, atau pengendali linear dwi, berkenaan dengan T, dipanggil. operator linear T* dari E* 2 hingga E* 1, ditakrifkan oleh kesamaan
(T*φ)x = φ(Tx) untuk semua x ∈ E 1, φ ∈ E* 2.
Hubungan T* -1 (0) = ⊥, T*(E* 2) = [T -1 (0)] ⊥ tahan, yang membayangkan bahawa T* ialah isomorfisme jika dan hanya jika T ialah isomorfisme.
Teori pemetaan bilinear dan pemetaan multilinear ruang menegak berkait rapat dengan teori pemetaan linear ruang menegak.
Kumpulan masalah penting dalam teori pemetaan linear dibentuk oleh masalah penerusan pemetaan linear. Biarkan F ialah subruang bagi V. ms E 1, E 2 ialah ruang linear di atas medan yang sama dengan E 1, dan biarkan T 0 ialah pemetaan linear F ke E 2; ia diperlukan untuk mencari sambungan T peta T 0, yang ditakrifkan pada keseluruhan E 1 dan yang merupakan peta linear E 1 hingga E 2. Kesinambungan sedemikian sentiasa wujud, tetapi sekatan tambahan pada fungsi (yang dikaitkan dengan struktur tambahan dalam VP, contohnya, topologi atau hubungan pesanan) boleh membuat masalah tidak dapat diselesaikan. Contoh penyelesaian masalah sambungan ialah teorem Han-Banach dan teorem tentang kesinambungan fungsi positif dalam ruang dengan kon.
Bahagian penting dalam teori operasi maya ialah teori operasi pada vektor, iaitu kaedah untuk membina vektor baharu menggunakan yang diketahui. Contoh operasi sedemikian ialah operasi yang terkenal untuk mengambil subruang dan membentuk ruang hasil daripada subruang. Operasi penting lain ialah pembinaan jumlah langsung, hasil langsung dan hasil tensor VP.
Biarkan (E α ) α∈I ialah satu keluarga ruang pembolehubah di atas medan K. Set E - hasil darab set E α - boleh diubah menjadi keluarga ruang menegak di atas medan K dengan memperkenalkan operasi
(x α) + (y α) = (x α + y α); λ(x α) = (λx α); λ ∈ K; x α , y α ∈ E α , α ∈ I;
menerima V. hlm E dipanggil. hasil langsung V. p E α dan dilambangkan dengan P α∈I E α. Subruang bagi V. p E, yang terdiri daripada semua set tersebut (x α), yang mana set (α: x α ≠ 0) adalah terhingga, dipanggil. jumlah langsung V. p E α dan dilambangkan dengan Σ α E α atau Σ α + E α ; Untuk bilangan istilah yang terhad, takrifan ini bertepatan; dalam kes ini notasi berikut digunakan:
Biarkan E 1, E 2 ialah dua kedudukan V. di atas medan K; E" 1, E" 2 ialah jumlah subruang V. hlm E* 1, E* 2, dan E 1 □ E 2 -B. n., yang mempunyai asas keseluruhan semua elemen ruang E 1 × E 2. Setiap unsur x □ y ∈ E 1 □ E 2 dikaitkan dengan fungsi dwilinear b = T(x, y) pada E" 1 × E 2 mengikut formula b(f, g) = f(x)g(y ), f ∈ E " 1 , g ∈ E " 2 Pemetaan vektor asas x □ y ∈ E 1 □ E 2 ini boleh dilanjutkan kepada pemetaan linear T V. hlm. daripada semua fungsi bilinear pada E " 1 × E" 2. Biarkan E 0 = T -1 (0) Hasil darab tensor bagi V. ruang E 1 dan E 2 dipanggil ruang faktor E 1 ○ E 2 = (E). 1 □ E 2)/E 0; imej bagi unsur x □ y dilambangkan dengan x ○ y Ruang vektor E 1 ○ E 2 adalah isomorfik kepada ruang vektor bagi fungsi bilinear pada E 1 × E 2 (lihat hasil Tensor. ruang vektor).
Lit.: Bourbaki N., Algebra. Struktur algebra. Algebra linear dan multilinear, trans. daripada Perancis, M., 1962; Raikov D. A., Ruang vektor, M., 1962; Hari M. M., Ruang linear ternormal, trans. daripada English, M., 1961; , Edward R., Analisis Fungsian, terj. daripada English, M., 1969; Halmos P., Ruang vektor dimensi terhingga, trans. daripada English, M., 1963; Glazman I.M., Lyubich Yu.I., Analisis linear dimensi terhingga dalam masalah, M., 1969.
Kadet M.I.
Sumber:
- Ensiklopedia Matematik. T. 1 (A - D). Ed. lembaga: I. M. Vinogradov (ketua editor) [dan lain-lain] - M., “ Ensiklopedia Soviet", 1977, 1152 stb. daripada sakit.
Dalam artikel mengenai vektor n-dimensi, kami sampai kepada konsep ruang linear yang dihasilkan oleh set vektor n-dimensi. Sekarang kita perlu mempertimbangkan konsep yang sama penting, seperti dimensi dan asas ruang vektor. Ia berkaitan secara langsung dengan konsep sistem vektor bebas linear, jadi anda juga disyorkan untuk mengingatkan diri anda tentang asas topik ini.
Mari kita perkenalkan beberapa definisi.
Definisi 1
Dimensi ruang vektor– nombor yang sepadan dengan bilangan maksimum vektor bebas linear dalam ruang ini.
Definisi 2
Asas ruang vektor– satu set vektor bebas linear, tersusun dan sama bilangannya dengan dimensi ruang.
Mari kita pertimbangkan ruang tertentu n -vektor. Dimensinya adalah sama dengan n. Mari kita ambil sistem vektor n-unit:
e (1) = (1, 0, . . . 0) e (2) = (0, 1, . . , 0) e (n) = (0, 0, . . , 1)
Kami menggunakan vektor ini sebagai komponen matriks A: ia akan menjadi matriks unit dengan dimensi n dengan n. Kedudukan matriks ini ialah n. Oleh itu, sistem vektor e (1) , e (2) , . . . , e(n) adalah bebas linear. Dalam kes ini, adalah mustahil untuk menambah satu vektor pada sistem tanpa melanggar kebebasan linearnya.
Oleh kerana bilangan vektor dalam sistem ialah n, maka dimensi ruang bagi vektor dimensi n ialah n, dan vektor unit ialah e (1), e (2), . . . , e(n) ialah asas bagi ruang yang ditentukan.
Daripada definisi yang terhasil, kita boleh membuat kesimpulan: mana-mana sistem vektor n-dimensi di mana bilangan vektor kurang daripada n bukanlah asas ruang.
Jika kita menukar vektor pertama dan kedua, kita mendapat sistem vektor e (2) , e (1) , . . . , e (n) . Ia juga akan menjadi asas ruang vektor n-dimensi. Mari kita cipta matriks dengan mengambil vektor sistem yang terhasil sebagai barisnya. Matriks boleh diperolehi daripada matriks identiti dengan menukar dua baris pertama, pangkatnya akan menjadi n. Sistem e (2) , e (1) , . . . , e(n) adalah bebas linear dan merupakan asas bagi ruang vektor dimensi-n.
Dengan menyusun semula vektor lain dalam sistem asal, kami memperoleh asas lain.
Kita boleh mengambil sistem bebas linear bagi vektor bukan unit, dan ia juga akan mewakili asas ruang vektor n-dimensi.
Definisi 3
Ruang vektor dengan dimensi n mempunyai tapak sebanyak mana terdapat sistem bebas linear bagi vektor n-dimensi nombor n.
Satah ialah ruang dua dimensi - asasnya ialah mana-mana dua vektor bukan kolinear. Asas ruang tiga dimensi ialah mana-mana tiga vektor bukan koplanar.
Mari kita pertimbangkan aplikasi teori ini menggunakan contoh khusus.
Contoh 1
Data awal: vektor
a = (3 , - 2 , 1) b = (2 , 1 , 2) c = (3 , - 1 , - 2)
Ia adalah perlu untuk menentukan sama ada vektor yang ditentukan adalah asas ruang vektor tiga dimensi.
Penyelesaian
Untuk menyelesaikan masalah, kami mengkaji sistem vektor yang diberikan untuk pergantungan linear. Mari kita buat matriks, di mana baris adalah koordinat bagi vektor. Mari kita tentukan pangkat matriks.
A = 3 2 3 - 2 1 - 1 1 2 - 2 A = 3 - 2 1 2 1 2 3 - 1 - 2 = 3 1 (- 2) + (- 2) 2 3 + 1 2 · (- 1) - 1 · 1 · 3 - (- 2) · 2 · (- 2) - 3 · 2 · (- 1) = = - 25 ≠ 0 ⇒ R a n k (A) = 3
Akibatnya, vektor yang ditentukan oleh keadaan masalah adalah bebas linear, dan bilangannya adalah sama dengan dimensi ruang vektor - ia adalah asas ruang vektor.
Jawapan: vektor yang ditunjukkan adalah asas ruang vektor.
Contoh 2
Data awal: vektor
a = (3 , - 2 , 1) b = (2 , 1 , 2) c = (3 , - 1 , - 2) d = (0 , 1 , 2)
Adalah perlu untuk menentukan sama ada sistem vektor yang ditentukan boleh menjadi asas ruang tiga dimensi.
Penyelesaian
Sistem vektor yang dinyatakan dalam pernyataan masalah adalah bergantung secara linear, kerana bilangan maksimum vektor bebas linear ialah 3. Oleh itu, sistem vektor yang ditunjukkan tidak boleh berfungsi sebagai asas untuk ruang vektor tiga dimensi. Tetapi perlu diperhatikan bahawa subsistem sistem asal a = (3, - 2, 1), b = (2, 1, 2), c = (3, - 1, - 2) ialah asas.
Jawapan: sistem vektor yang ditunjukkan bukan asas.
Contoh 3
Data awal: vektor
a = (1, 2, 3, 3) b = (2, 5, 6, 8) c = (1, 3, 2, 4) d = (2, 5, 4, 7)
Bolehkah mereka menjadi asas ruang empat dimensi?
Penyelesaian
Mari buat matriks menggunakan koordinat vektor yang diberikan sebagai baris
A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7
Menggunakan kaedah Gaussian, kami menentukan pangkat matriks:
A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 1 - 1 1 0 1 - 2 1 ~ ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 - 2 - 1 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 0 1 ⇒ ⇒ R a n k (A) = 4
Akibatnya, sistem vektor yang diberikan adalah bebas secara linear dan bilangannya adalah sama dengan dimensi ruang vektor - ia adalah asas ruang vektor empat dimensi.
Jawapan: vektor yang diberi adalah asas ruang empat dimensi.
Contoh 4
Data awal: vektor
a (1) = (1 , 2 , - 1 , - 2) a (2) = (0 , 2 , 1 , - 3) a (3) = (1 , 0 , 0 , 5)
Adakah ia menjadi asas kepada ruang dimensi 4?
Penyelesaian
Sistem asal vektor adalah bebas secara linear, tetapi bilangan vektor di dalamnya tidak mencukupi untuk menjadi asas ruang empat dimensi.
Jawapan: tidak, mereka tidak.
Penguraian vektor kepada asas
Mari kita andaikan bahawa vektor arbitrari e (1) , e (2) , . . . , e (n) ialah asas bagi ruang vektor dimensi-n. Mari kita tambahkan kepada mereka vektor n-dimensi tertentu x →: sistem vektor yang terhasil akan menjadi bergantung secara linear. Sifat pergantungan linear menyatakan bahawa sekurang-kurangnya satu daripada vektor sistem sedemikian boleh dinyatakan secara linear melalui yang lain. Merumuskan semula pernyataan ini, kita boleh mengatakan bahawa sekurang-kurangnya satu daripada vektor sistem bersandar linear boleh dikembangkan ke dalam vektor yang tinggal.
Oleh itu, kami sampai kepada perumusan teorem yang paling penting:
Definisi 4
Mana-mana vektor ruang vektor n-dimensi boleh diuraikan secara unik menjadi asas.
Bukti 1
Mari kita buktikan teorem ini:
mari kita tetapkan asas ruang vektor n-dimensi - e (1) , e (2) , . . . , e (n) . Mari jadikan sistem bergantung secara linear dengan menambahkan vektor n-dimensi x → padanya. Vektor ini boleh dinyatakan secara linear dari segi vektor asal e:
x = x 1 · e (1) + x 2 · e (2) + . . . + x n · e (n) , di mana x 1 , x 2 , . . . , x n - beberapa nombor.
Sekarang kami membuktikan bahawa penguraian sedemikian adalah unik. Mari kita anggap bahawa ini tidak berlaku dan terdapat satu lagi penguraian yang serupa:
x = x ~ 1 e (1) + x 2 ~ e (2) + . . . + x ~ n e (n) , di mana x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n - beberapa nombor.
Mari kita tolak dari sisi kiri dan kanan kesamaan ini, masing-masing, sisi kiri dan kanan kesamaan x = x 1 · e (1) + x 2 · e (2) + . . . + x n · e (n) . Kita mendapatkan:
0 = (x ~ 1 - x 1) · e (1) + (x ~ 2 - x 2) · e (2) + . . . (x ~ n - x n) e (2)
Sistem vektor asas e (1) , e (2) , . . . , e(n) adalah bebas linear; mengikut takrifan bebas linear sistem vektor, kesamaan di atas adalah mungkin hanya apabila semua pekali ialah (x ~ 1 - x 1) , (x ~ 2 - x 2) , . . . , (x ~ n - x n) akan sama dengan sifar. Dari mana ia akan adil: x 1 = x ~ 1, x 2 = x ~ 2, . . . , x n = x ~ n . Dan ini membuktikan satu-satunya pilihan untuk menguraikan vektor menjadi asas.
Dalam kes ini, pekali x 1, x 2, . . . , x n dipanggil koordinat bagi vektor x → dalam asas e (1) , e (2) , . . . , e (n) .
Teori terbukti menjelaskan dengan jelas ungkapan "diberikan vektor n-dimensi x = (x 1 , x 2 , . . . , x n)": vektor x → ruang vektor n-dimensi dipertimbangkan, dan koordinatnya dinyatakan dalam asas tertentu. Ia juga jelas bahawa vektor yang sama dalam asas lain ruang n-dimensi akan mempunyai koordinat yang berbeza.
Pertimbangkan contoh berikut: andaikan bahawa dalam beberapa asas ruang vektor n-dimensi sistem n vektor bebas linear diberikan
dan juga vektor x = (x 1 , x 2 , . . . , x n) diberikan.
Vektor e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) dalam kes ini juga merupakan asas ruang vektor ini.
Katakan bahawa adalah perlu untuk menentukan koordinat bagi vektor x → dalam asas e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) , dilambangkan sebagai x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n.
Vektor x → akan diwakili seperti berikut:
x = x ~ 1 e (1) + x ~ 2 e (2) + . . . + x ~ n e (n)
Mari kita tulis ungkapan ini dalam bentuk koordinat:
(x 1 , x 2 , . . . , x n) = x ~ 1 (e (1) 1 , e (1) 2 , . . , e (1) n) + x ~ 2 (e (2 ) 1 , e (2) 2 , . . . + + x ~ n · (e (n) 1 , e (n) 2 , . . . , e (n) n) = = (x ~ 1 e 1 (1) + x ~ 2 e 1 (2) + . + x ~ n e 2 (n), .
Kesamaan yang terhasil adalah bersamaan dengan sistem n linear ungkapan algebra dengan n pembolehubah linear tidak diketahui x ~ 1, x ~ 2, . . . , x ~ n:
x 1 = x ~ 1 e 1 1 + x ~ 2 e 1 2 + . . . + x ~ n e 1 n x 2 = x ~ 1 e 2 1 + x ~ 2 e 2 2 + . . . + x ~ n e 2 n ⋮ x n = x ~ 1 e n 1 + x ~ 2 e n 2 + . . . + x ~ n e n n
Matriks sistem ini akan mempunyai bentuk berikut:
e 1 (1) e 1 (2) ⋯ e 1 (n) e 2 (1) e 2 (2) ⋯ e 2 (n) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e n (1) e n (2) ⋯ e n (n)
Biarkan ini matriks A, dan lajurnya ialah vektor bagi sistem vektor bebas linear e 1 (1), e 2 (2), . . . , e n (n) . Kedudukan matriks ialah n, dan penentunya ialah bukan sifar. Ini menunjukkan bahawa sistem persamaan mempunyai penyelesaian unik yang ditentukan oleh mana-mana dengan cara yang mudah: contohnya, kaedah Cramer atau kaedah matriks. Dengan cara ini kita boleh menentukan koordinat x ~ 1, x ~ 2, . . . , x ~ n vektor x → dalam asas e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) .
Mari gunakan teori yang dipertimbangkan untuk contoh tertentu.
Contoh 6
Data awal: vektor ditentukan berdasarkan ruang tiga dimensi
e (1) = (1 , - 1 , 1) e (2) = (3 , 2 , - 5) e (3) = (2 , 1 , - 3) x = (6 , 2 , - 7)
Adalah perlu untuk mengesahkan fakta bahawa sistem vektor e (1), e (2), e (3) juga berfungsi sebagai asas ruang tertentu, dan juga untuk menentukan koordinat vektor x dalam asas tertentu.
Penyelesaian
Sistem vektor e (1), e (2), e (3) akan menjadi asas ruang tiga dimensi jika ia bebas secara linear. Mari kita ketahui kemungkinan ini dengan menentukan pangkat matriks A, yang barisnya adalah vektor yang diberi e (1), e (2), e (3).
Kami menggunakan kaedah Gaussian:
A = 1 - 1 1 3 2 - 5 2 1 - 3 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 3 - 5 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 0 - 1 5
R a n k (A) = 3 . Oleh itu, sistem vektor e (1), e (2), e (3) adalah bebas linear dan merupakan asas.
Biarkan vektor x → mempunyai koordinat x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3 dalam asas. Hubungan antara koordinat ini ditentukan oleh persamaan:
x 1 = x ~ 1 e 1 (1) + x ~ 2 e 1 (2) + x ~ 3 e 1 (3) x 2 = x ~ 1 e 2 (1) + x ~ 2 e 2 (2) + x ~ 3 e 2 (3) x 3 = x ~ 1 e 3 (1) + x ~ 2 e 3 (2) + x ~ 3 e 3 (3)
Mari gunakan nilai mengikut syarat masalah:
x ~ 1 + 3 x ~ 2 + 2 x ~ 3 = 6 - x ~ 1 + 2 x ~ 2 + x ~ 3 = 2 x ~ 1 - 5 x ~ 2 - 3 x 3 = - 7
Mari kita selesaikan sistem persamaan menggunakan kaedah Cramer:
∆ = 1 3 2 - 1 2 1 1 - 5 - 3 = - 1 ∆ x ~ 1 = 6 3 2 2 2 1 - 7 - 5 - 3 = - 1 , x ~ 1 = ∆ x ~ 1 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 2 = 1 6 2 - 1 2 1 1 - 7 - 3 = - 1 , x ~ 2 = ∆ x ~ 2 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 3 = 1 3 6 - 1 2 2 1 - 5 - 7 = - 1 , x ~ 3 = ∆ x ~ 3 ∆ = - 1 - 1 = 1
Oleh itu, vektor x → dalam asas e (1), e (2), e (3) mempunyai koordinat x ~ 1 = 1, x ~ 2 = 1, x ~ 3 = 1.
Jawapan: x = (1 , 1 , 1)
Hubungan antara pangkalan
Katakan bahawa dalam beberapa asas ruang vektor n-dimensi dua linear sistem bebas vektor:
c (1) = (c 1 (1) , c 2 (1) , . . . , c n (1)) c (2) = (c 1 (2) , c 2 (2) , . . , c n (2)) ⋮ c (n) = (c 1 (n) , e 2 (n) , . . . , c n (n))
e (1) = (e 1 (1) , e 2 (1) , . . . , e n (1)) e (2) = (e 1 (2) , e 2 (2) , . . . , e n (2)) ⋮ e (n) = (e 1 (n) , e 2 (n) , . . . , e n (n))
Sistem ini juga merupakan asas bagi ruang tertentu.
Biarkan c ~ 1 (1) , c ~ 2 (1) , . . . , c ~ n (1) - koordinat bagi vektor c (1) dalam asas e (1) , e (2) , . . . , e (3) , maka hubungan koordinat akan diberikan oleh sistem persamaan linear:
c 1 (1) = c ~ 1 (1) e 1 (1) + c ~ 2 (1) e 1 (2) + . . . + c ~ n (1) e 1 (n) c 2 (1) = c ~ 1 (1) e 2 (1) + c ~ 2 (1) e 2 (2) + . . . + c ~ n (1) e 2 (n) ⋮ c n (1) = c ~ 1 (1) e n (1) + c ~ 2 (1) e n (2) + . . . + c ~ n (1) e n (n)
Sistem ini boleh diwakili sebagai matriks seperti berikut:
(c 1 (1) , c 2 (1) , . . . , c n (1)) = (c ~ 1 (1) , c ~ 2 (1) , . . . , c ~ n (1)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)
Mari kita buat entri yang sama untuk vektor c (2) dengan analogi:
(c 1 (2) , c 2 (2) , . . . , c n (2)) = (c ~ 1 (2) , c ~ 2 (2) , . . . , c ~ n (2)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)
(c 1 (n) , c 2 (n) , . . . , c n (n)) = (c ~ 1 (n) , c ~ 2 (n) , . . . , c ~ n (n)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)
Mari kita gabungkan kesamaan matriks menjadi satu ungkapan:
c 1 (1) c 2 (1) ⋯ c n (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ c n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (n) c 2 (n) ⋯ c n (n) = c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) e 1 (1) e 2 (1) ⋯ e n (1) e 1 (2) e 2 (2) ⋯ e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n ) e 2 (n) ⋯ e n (n)
Ia akan menentukan sambungan antara vektor dua asas yang berbeza.
Menggunakan prinsip yang sama, adalah mungkin untuk menyatakan semua vektor asas e(1), e(2), . . . , e (3) melalui asas c (1) , c (2) , . . . , c (n):
e 1 (1) e 2 (1) ⋯ e n (1) e 1 (2) e 2 (2) ⋯ e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) ⋯ e n (n) = e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) c 1 (1) c 2 (1) ⋯ c n (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ c n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (n ) c 2 (n) ⋯ c n (n)
Mari kita berikan definisi berikut:
Definisi 5
Matriks c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) ialah matriks peralihan daripada asas e (1) , e (2) , . . . , e (3)
kepada asas c (1) , c (2) , . . . , c (n) .
Definisi 6
Matriks e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) ialah matriks peralihan daripada asas c (1) , c (2) , . . . , c(n)
kepada asas e (1) , e (2) , . . . , e (3).
Daripada persamaan ini jelas bahawa
c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1 e ~ 1 (1) e ~ 2 ( 1 ) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n ) · c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1
mereka. matriks peralihan adalah timbal balik.
Mari kita lihat teori menggunakan contoh khusus.
Contoh 7
Data awal: adalah perlu untuk mencari matriks peralihan daripada asas
c (1) = (1 , 2 , 1) c (2) = (2 , 3 , 3) c (3) = (3 , 7, 1)
e (1) = (3 , 1, 4) e (2) = (5 , 2, 1) e (3) = (1, 1, - 6)
Anda juga perlu menunjukkan hubungan antara koordinat vektor arbitrari x → dalam pangkalan yang diberikan.
Penyelesaian
1. Biarkan T ialah matriks peralihan, maka kesamaan akan menjadi benar:
3 1 4 5 2 1 1 1 1 = T 1 2 1 2 3 3 3 7 1
Darabkan kedua-dua belah kesamaan dengan
1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1
dan kita dapat:
T = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1
2. Takrifkan matriks peralihan:
T = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 = = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · - 18 5 3 7 - 2 - 1 5 - 1 - 1 = - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8
3. Mari kita takrifkan hubungan antara koordinat bagi vektor x → :
Mari kita andaikan bahawa dalam asas c (1) , c (2) , . . . , c (n) vektor x → mempunyai koordinat x 1 , x 2 , x 3 , maka:
x = (x 1 , x 2 , x 3) 1 2 1 2 3 3 3 7 1 ,
dan dalam asas e (1) , e (2) , . . . , e (3) mempunyai koordinat x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3, maka:
x = (x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6
Kerana Jika bahagian kiri kesamaan ini adalah sama, kita boleh samakan bahagian kanan juga:
(x 1 , x 2 , x 3) · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) · 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6
Darab kedua-dua belah di sebelah kanan dengan
1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1
dan kita dapat:
(x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) · 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 ⇔ ⇔ ( x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) T ⇔ ⇔ (x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3 ) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8
Di sebelah sana
(x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) = (x 1, x 2, x 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8
Kesamaan terakhir menunjukkan hubungan antara koordinat vektor x → dalam kedua-dua tapak.
Jawapan: matriks peralihan
27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8
Koordinat bagi vektor x → dalam pangkalan yang diberikan dikaitkan dengan hubungan:
(x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8
(x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) = (x 1, x 2, x 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8 - 1
Jika anda melihat ralat dalam teks, sila serlahkannya dan tekan Ctrl+Enter
