• Ինտերիեր
• Պատուհան
• Պատեր
• Նախագծեր
• Շենքերը

Ինչպե՞ս գտնել միջին թվաբանականը և որտեղ այն կարող է օգտակար լինել առօրյա կյանքում: Ո՞րն է թվաբանական միջինը: Ինչպես գտնել թվաբանական միջինը

Մաթեմատիկայում թվերի միջին թվաբանականը (կամ պարզապես միջինը) տվյալ բազմության բոլոր թվերի գումարն է՝ բաժանված թվերի թվի վրա։ Սա միջին արժեքի ամենաընդհանրացված և տարածված հասկացությունն է։ Ինչպես արդեն հասկացաք, գտնելու համար անհրաժեշտ է ամփոփել ձեզ տրված բոլոր թվերը և ստացված արդյունքը բաժանել տերմինների քանակի վրա:

Ո՞րն է թվաբանական միջինը:

Դիտարկենք մի օրինակ։

Օրինակ 1. Տրված թվեր՝ 6, 7, 11։ Պետք է գտնել դրանց միջին արժեքը։

Լուծում.

Նախ, եկեք գտնենք այս բոլոր թվերի գումարը:

Այժմ ստացված գումարը բաժանեք տերմինների քանակի վրա։ Քանի որ մենք ունենք երեք անդամ, հետևաբար մենք կբաժանենք երեքի:

Հետևաբար, 6, 7 և 11 թվերի միջինը 8 է։ Ինչո՞ւ 8։ Այո, քանի որ 6-ի, 7-ի և 11-ի գումարը նույնն է, ինչ երեք ութը: Սա հստակ երևում է նկարազարդման մեջ:

Միջինը մի փոքր նման է «երեկոյան» թվերի շարքին: Ինչպես տեսնում եք, մատիտների կույտերը դարձել են նույն մակարդակը։

Դիտարկենք մեկ այլ օրինակ՝ ձեռք բերված գիտելիքները համախմբելու համար։

Օրինակ 2.Տրված թվեր՝ 3, 7, 5, 13, 20, 23, 39, 23, 40, 23, 14, 12, 56, 23, 29։ Պետք է գտնել դրանց միջին թվաբանականը։

Լուծում.

Գտեք գումարը:

3 + 7 + 5 + 13 + 20 + 23 + 39 + 23 + 40 + 23 + 14 + 12 + 56 + 23 + 29 = 330

Բաժանեք տերմինների քանակով (այս դեպքում՝ 15)։

Հետևաբար այս թվերի շարքի միջին արժեքը 22 է։

Հիմա դիտարկենք բացասական թվեր. Եկեք հիշենք, թե ինչպես դրանք ամփոփել: Օրինակ, դուք ունեք երկու թիվ 1 և -4: Գտնենք դրանց գումարը։

1 + (-4) = 1 - 4 = -3

Իմանալով սա, եկեք նայենք մեկ այլ օրինակի:

Օրինակ 3.Գտե՛ք թվերի շարքի միջին արժեքը՝ 3, -7, 5, 13, -2:

Լուծում.

Գտեք թվերի գումարը.

3 + (-7) + 5 + 13 + (-2) = 12

Քանի որ կան 5 անդամներ, ստացված գումարը բաժանեք 5-ի։

Այսպիսով, 3, -7, 5, 13, -2 թվերի միջին թվաբանականը 2,4 է։

Տեխնոլոգիական առաջընթացի մեր ժամանակներում շատ ավելի հարմար է օգտագործել միջին արժեքը գտնելու համար համակարգչային ծրագրեր. Microsoft-ը Office Excel- նրանցից մեկը։ Excel-ում միջինը գտնելը արագ և հեշտ է: Ավելին, այս ծրագիրը ներառված է Microsoft Office ծրագրային փաթեթում։ Եկեք դիտարկենք հակիրճ հրահանգներ, արժեքը օգտագործելով այս ծրագիրը:

Թվերի շարքի միջին արժեքը հաշվարկելու համար պետք է օգտագործել AVERAGE ֆունկցիան։ Այս ֆունկցիայի շարահյուսությունը հետևյալն է.
= Միջին (փաստարկ 1, փաստարկ2, ... փաստարկ255)
որտեղ argument1, argument2, ... argument255 կամ թվեր են կամ բջջային հղումներ (բջիջները վերաբերում են տիրույթներին և զանգվածներին):

Ավելի պարզ դարձնելու համար եկեք փորձենք ձեռք բերած գիտելիքները:

1. C1 - C6 բջիջներում մուտքագրեք 11, 12, 13, 14, 15, 16 համարները:
2. Ընտրեք C7 բջիջը՝ սեղմելով դրա վրա: Այս բջիջում մենք կցուցադրենք միջին արժեքը:
3. Կտտացրեք Բանաձևերի ներդիրին:
4. Ընտրեք Լրացուցիչ գործառույթներ > Վիճակագրական՝ բացելու համար
5. Ընտրեք AVERAGE: Դրանից հետո երկխոսության տուփը պետք է բացվի:
6. Ընտրեք և քաշեք այնտեղ C1-C6 բջիջները՝ երկխոսության վանդակում միջակայքը սահմանելու համար:
7. Հաստատեք ձեր գործողությունները «OK» կոճակով:
8. Եթե ​​ամեն ինչ ճիշտ եք արել, պատասխանը պետք է ունենաք C7 - 13.7 բջիջում: Երբ սեղմում եք C7 բջիջը, ֆունկցիան (=Միջին (C1:C6)) կհայտնվի բանաձևերի տողում:

Այս հատկությունը շատ օգտակար է հաշվապահական հաշվառման, հաշիվ-ապրանքագրերի կամ երբ պարզապես անհրաժեշտ է գտնել շատ երկար թվերի շարքի միջինը: Հետեւաբար, այն հաճախ օգտագործվում է գրասենյակներում և խոշոր ընկերություններ. Սա թույլ է տալիս կարգի բերել ձեր գրառումները և հնարավորություն է տալիս արագ հաշվարկել ինչ-որ բան (օրինակ՝ միջին ամսական եկամուտը): Ֆունկցիայի միջին արժեքը գտնելու համար կարող եք նաև օգտագործել Excel-ը:

Ո՞րն է թվաբանական միջինը:

1. Թվերի շարքի միջին թվաբանականը այս թվերի գումարը անդամների թվի վրա բաժանելու գործակիցն է
2. բաժանել
3. Թիվ միջին (միջին), թվաբանական միջին (թվաբանական միջին) - դիտումների խումբը բնութագրող միջին արժեք; հաշվարկվում է՝ գումարելով այս շարքի թվերը, ապա ստացված գումարը բաժանելով գումարված թվերի թվի վրա։ Եթե ​​խմբի մեկ կամ մի քանի թվեր էապես տարբերվում են մնացածից, դա կարող է խեղաթյուրել ստացված թվաբանական միջինը: Հետևաբար, այս դեպքում նախընտրելի է օգտագործել երկրաչափական միջինը (այն հաշվարկվում է նույն կերպ, բայց այստեղ որոշվում է դիտարկման արժեքների լոգարիթմների միջին թվաբանականը, այնուհետև գտնվում է դրա հակալոգարիթմը) կամ. օգտագործվում է ամենից հաճախ՝ գտնելու միջին արժեքը (միջինը՝ աճման կարգով դասավորված մի շարք մեծություններից): Դիտարկումների խմբից ցանկացած արժեքի միջին արժեքը ստանալու մեկ այլ մեթոդ է ռեժիմի (ռեժիմի) որոշումը՝ ցուցիչ (կամ ցուցիչների հավաքածու), որը գնահատում է ցանկացած փոփոխականի ամենահաճախակի դրսևորումները. Ավելի հաճախ այս մեթոդն օգտագործվում է մի քանի սերիաների փորձերի միջին արժեքը որոշելու համար։
   Օրինակ՝ 1 և 99 թվեր, գումարել և բաժանել երկուսի.
   (1+99)/2=50 - միջին թվաբանական
   Եթե ​​վերցնենք թվերը (1,2,3,15,59)/5=16 - թվաբանական միջինը և այլն, և այլն։
4. Թվաբանական միջինը (մաթեմատիկայի և վիճակագրության մեջ) կենտրոնական տենդենցի ամենատարածված չափորոշիչներից մեկն է, որը ներկայացնում է բոլոր գրանցված արժեքների հանրագումարը՝ բաժանված դրանց թվի վրա։
   Այս տերմինը այլ իմաստներ ունի, տե՛ս միջին իմաստը։
   Թվաբանական միջինը (մաթեմատիկայի և վիճակագրության մեջ) կենտրոնական տենդենցի ամենատարածված չափորոշիչներից մեկն է, որը ներկայացնում է բոլոր գրանցված արժեքների հանրագումարը՝ բաժանված դրանց թվի վրա։

   Առաջարկվել է (երկրաչափական միջինի և ներդաշնակ միջինի հետ միասին) պյութագորացիների կողմից 1.

   Թվաբանական միջինի հատուկ դեպքերն են միջինը (ընդհանուր բնակչությունը) և ընտրանքի միջինը (նմուշ):

   Հունարեն տառը օգտագործվում է ամբողջ բնակչության թվաբանական միջինը նշելու համար։ Պատահական փոփոխականի համար, որի համար որոշվում է միջին արժեքը, կա պատահական փոփոխականի հավանականական միջին կամ մաթեմատիկական ակնկալիք: Եթե ​​X բազմությունը պատահական թվերի հավաքածու է հավանականական միջինով, ապա այս պոպուլյացիայից ցանկացած նմուշի համար xi = E(xi) այս նմուշի մաթեմատիկական ակնկալիքն է:

   Գործնականում, բար(x)-ի միջև տարբերությունն այն է, որ դա տիպիկ փոփոխական է, քանի որ դուք կարող եք տեսնել ոչ թե ամբողջը, այլ նմուշը: ընդհանուր բնակչությունը. Հետևաբար, եթե նմուշը ներկայացված է պատահականորեն (հավանականության տեսության առումով), ապա բար(x) , (բայց ոչ) կարող է դիտվել որպես պատահական փոփոխական, որն ունի հավանականության բաշխում ընտրանքի վրա (միջինի հավանականության բաշխում):

   Այս երկու քանակները հաշվարկվում են նույն կերպ.

   բար(x) = frac(1)(n)sum_(i=1)^n x_i = frac(1)(n) (x_1+cdots+x_n):
   Եթե ​​X-ը պատահական փոփոխական է, ապա X-ի ակնկալվող արժեքը կարելի է համարել որպես X-ի կրկնվող չափումների թվաբանական միջին։ Սա օրենքի դրսևորում է։ մեծ թվեր. Հետևաբար, ընտրանքի միջինը օգտագործվում է անհայտ ակնկալվող արժեքը գնահատելու համար:

   Տարրական հանրահաշիվում ապացուցված է, որ n + 1 թվերի միջինը մեծ է n թվերի միջինից, եթե և միայն այն դեպքում, եթե նոր թիվը մեծ է հին միջինից, պակաս, եթե և միայն եթե նոր թիվը փոքր է միջինից։ , և չի փոխվում, եթե և միայն եթե նոր թիվը հավասար է միջինին։ Որքան մեծ է n-ը, այնքան փոքր է տարբերությունը նոր և հին միջինների միջև:

   Նկատի ունեցեք, որ կան մի քանի այլ միջիններ, այդ թվում՝ հզորության միջինը, Կոլմոգորովի միջինը, հարմոնիկ միջինը, թվաբանական-երկրաչափական միջինը և տարբեր կշռված միջինները։

   Օրինակներ խմբագրել վիքի տեքստը
   Երեք թվերի համար անհրաժեշտ է դրանք ավելացնել և բաժանել 3-ի.
   frac (x_1 + x_2 + x_3) (3).
   Չորս թվերի համար անհրաժեշտ է դրանք ավելացնել և բաժանել 4-ի.
   ֆրակ (x_1 + x_2 + x_3 + x_4) (4).
   Կամ ավելի պարզ՝ 5+5=10, 10:2։ Քանի որ մենք գումարում էինք 2 թիվ, այսինքն՝ քանի թիվ ենք գումարում, բաժանում ենք այդքանի։

   Շարունակական պատահական փոփոխական խմբագրել վիքի տեքստը
   F(x) շարունակաբար բաշխված մեծության համար a;b հատվածի միջին թվաբանականը որոշվում է որոշակի ինտեգրալի միջոցով. Միջինի օգտագործման որոշ խնդիրներ. միջին արժեքները կամ կենտրոնական միտումները, այս հայեցակարգը չի տարածվում կայուն վիճակագրության վրա, ինչը նշանակում է, որ միջին թվաբանականի վրա մեծ շեղումներ են ազդում: Հատկանշական է, որ մեծ թեքության գործակից ունեցող բաշխումների համար թվաբանական միջինը

5. Սա գումարում է թվերը և բաժանում դրանք, քանիսն էին այսպես 33+66+99= գումարելով 33+66+99= 198 և բաժանելով քանիսն են կարդացվել, մենք ունենք 3 թիվ, որոնք 33 66 և 99 են, և մենք ստացվածը պետք է բաժանել այսպես. 33+ 66+99=198:3=66 միջին օրեթմետիկ է.
6. լավ, դա նման է 2+8=10, իսկ միջինը 5 է
7. Թվերի բազմության միջին թվաբանականը սահմանվում է որպես դրանց գումարը բաժանված թվի վրա: Այսինքն՝ բազմության բոլոր թվերի գումարը բաժանվում է այս բազմության թվերի թվի վրա։

   Ամենապարզ դեպքը երկու x1 և x2 թվերի միջին թվաբանականը գտնելն է: Ապա նրանց թվաբանական միջինը X = (x1+x2)/2 է: Օրինակ՝ X = (6+2)/2 = 4 6 և 2 թվերի միջին թվաբանականն է։
   2
   Ընդհանուր բանաձև n թվերի միջին թվաբանականը գտնելու համար այն կունենա հետևյալ տեսքը՝ X = (x1+x2+...+xn)/n: Այն կարող է գրվել նաև X = (1/n)xi ձևով, որտեղ գումարումն իրականացվում է i ինդեքսով i = 1-ից մինչև i = n:

   Օրինակ՝ X = (x1+x2+x3)/3 երեք թվերի միջին թվաբանականը, հինգ թվերը՝ (x1+x2+x3+x4+x5)/5։
   3
   Հետաքրքիր իրավիճակն այն է, երբ թվերի բազմությունը ներկայացնում է պայմանները թվաբանական առաջընթաց. Ինչպես հայտնի է, թվաբանական պրոգրեսիայի անդամները հավասար են a1+(n-1)d-ի, որտեղ d-ը պրոգրեսիայի աստիճանն է, իսկ n-ը պրոգրեսիայի անդամի թիվն է։

   Թող a1, a1+d, a1+2d,...a1+(n-1)d թվաբանական պրոգրեսիայի անդամներ լինեն: Նրանց թվաբանական միջինը հավասար է S = (a1+a1+d+a1+2d+...+a1+(n-1)d)/n = (na1+d+2d+...+(n-1)d) /n = a1+(d+2d+...+(n-2)d+(n-1)d)/n = a1+(d+2d+...+dn-d+dn-2d)/n = a1+( n* d*(n-1)/2)/n = a1+dn/2 = (2a1+d(n-1))/2 = (a1+an)/2: Այսպիսով, թվաբանական պրոգրեսիայի անդամների թվաբանական միջինը հավասար է նրա առաջին և վերջին անդամների թվաբանական միջինին։
   4
   Ճիշտ է նաև այն հատկությունը, որ թվաբանական առաջընթացի յուրաքանչյուր անդամ հավասար է առաջընթացի նախորդ և հաջորդ անդամների թվաբանական միջինին. an = (a(n-1)+a(n+1))/2, որտեղ a. (n-1), an, a(n+1) հաջորդականության անդամներն են:

8. Թվերի գումարը բաժանե՛ք նրանց թվի վրա
9. սա այն դեպքում, երբ դուք գումարում եք ամեն ինչ և բաժանում այն
10. Եթե ​​չեմ սխալվում, սա այն դեպքում, երբ գումարում եք թվերի գումարը և բաժանում եք հենց թվերի թվին...
11. սա այն դեպքում, երբ դուք ունեք մի քանի թվեր, դրանք գումարում եք և բաժանում նրանց թվի վրա: Ասենք 25 24 65 76, ավելացնենք՝ 25+24+65+76:4=թվաբանական միջին!
12. Վյաչասլավ Բոգդանովը սխալ է պատասխանել!!! !
    Ձեր իսկ խոսքերով!
    Միջին թվաբանականը երկու արժեքների միջև միջին արժեքն է... Այն հայտնաբերվում է որպես թվերի գումար, որը բաժանվում է թվի... Կամ պարզապես, եթե ինչ-որ մեկի թվի շուրջ երկու թվեր են (ավելի ճիշտ՝ նրանց միջև կարգով մի թիվ կա), ապա այս թիվը կլինի միջինը: առ. !

    6 + 8... ավ ար = 7

13. բաժանարար գիգիգիգիգիգգի
14. Միջինը առավելագույնի և նվազագույնի միջև (բոլոր թվային ցուցանիշները գումարվում և բաժանվում են դրանց թվի վրա
    )
15. սա այն դեպքում, երբ դուք գումարում եք թվեր և բաժանում եք թվերի թվին

Միջին թվաբանական և երկրաչափական միջին թեման ներառված է 6-7-րդ դասարանների մաթեմատիկայի ծրագրում։ Քանի որ պարբերությունը բավականին հեշտ է ընկալվում, այն արագ անցնում է, և ուսումնական տարվա վերջում ուսանողները մոռացել են այն: Բայց դրա համար անհրաժեշտ է տարրական վիճակագրության իմացություն միասնական պետական ​​քննություն հանձնելը, ինչպես նաև միջազգային SAT քննությունների համար։ Այո և համար Առօրյա կյանքզարգացած վերլուծական մտածողությունը երբեք չի վնասում:

Ինչպես հաշվարկել թվերի միջին թվաբանականը և երկրաչափական միջինը

Ենթադրենք, կա թվերի շարք՝ 11, 4 և 3։ Թվաբանական միջինը բոլոր թվերի գումարն է՝ բաժանված տրված թվերի թվի վրա։ Այսինքն՝ 11, 4, 3 թվերի դեպքում պատասխանը կլինի 6։ Ինչպե՞ս է ստացվում 6։

Լուծում. (11 + 4 + 3) / 3 = 6

Հայտարարը պետք է պարունակի մի թիվ, որը հավասար է այն թվերին, որոնց միջինը պետք է գտնել: Գումարը բաժանվում է 3-ի, քանի որ կան երեք անդամներ։

Այժմ մենք պետք է պարզենք երկրաչափական միջինը: Ենթադրենք կա թվերի շարք՝ 4, 2 և 8։

Միջին երկրաչափական թվերկոչվում է բոլոր տրված թվերի արտադրյալը, որը գտնվում է տրված թվերի թվին հավասար աստիճանով, այսինքն՝ 4, 2 և 8 թվերի դեպքում պատասխանը կլինի 4։ Ահա թե ինչպես է ստացվել։ :

Լուծում` ∛(4 × 2 × 8) = 4

Երկու տարբերակում էլ ստացանք ամբողջական պատասխաններ, քանի որ օրինակի համար վերցվել են հատուկ թվեր։ Սա միշտ չէ, որ տեղի է ունենում: Շատ դեպքերում պատասխանը պետք է կլորացվի կամ թողնել արմատից: Օրինակ՝ 11, 7 և 20 թվերի համար միջին թվաբանականը ≈ 12,67 է, իսկ երկրաչափականը՝ ∛1540։ Իսկ 6 և 5 թվերի համար պատասխանները կլինեն համապատասխանաբար 5,5 և √30։

Կարո՞ղ է պատահել, որ միջին թվաբանականը հավասարվի երկրաչափական միջինին:

Իհարկե կարող է։ Բայց միայն երկու դեպքում. Եթե ​​կա թվերի շարք, որը բաղկացած է միայն մեկից կամ զրոյից: Հատկանշական է նաև, որ պատասխանը կախված չէ նրանց թվից։

Ապացուցում միավորներով՝ (1 + 1 + 1) / 3 = 3 / 3 = 1 (միջին թվաբանական):

∛(1 × 1 × 1) = ∛1 = 1 (երկրաչափական միջին):

Ապացույց զրոներով՝ (0 + 0) / 2=0 (միջին թվաբանական):

√(0 × 0) = 0 (երկրաչափական միջին):

Ուրիշ տարբերակ չկա ու չի էլ կարող լինել։