Tg pix 2 0 بزرگترین ریشه منفی است. معادلات مثلثاتی
اغلب در مشکلاتی با پیچیدگی فزاینده با آن مواجه می شویم معادلات مثلثاتی حاوی مدول. اکثر آنها به یک رویکرد اکتشافی برای حل نیاز دارند که برای اکثر دانش آموزان کاملاً ناآشنا است.
مسائل ارائه شده در زیر به منظور معرفی شما با معمول ترین تکنیک ها برای حل معادلات مثلثاتی حاوی مدول است.
مسئله 1. تفاوت (بر حسب درجه) کوچکترین ریشه های مثبت و بزرگترین ریشه های منفی معادله 1 + 2sin x |cos x| = 0.
راه حل.
بیایید ماژول را گسترش دهیم:
1) اگر cos x ≥ 0 باشد، معادله اصلی به شکل 1 + 2sin x · cos x = 0 خواهد بود.
با استفاده از فرمول سینوس زاویه دوتایی، به دست می آوریم:
1 + گناه 2x = 0; گناه 2x = -1;
2x = -π/2 + 2πn، n € Z;
x = -π/4 + πn، n € Z. از آنجایی که cos x ≥ 0، پس x = -π/4 + 2πk، k € Z.
2) اگر cos x< 0, то معادله داده شدهبه شکل 1 – 2sin x cos x = 0 است. با استفاده از فرمول سینوس زاویه دوتایی، داریم:
1 - گناه 2x = 0; گناه 2x = 1;
2x = π/2 + 2πn، n € Z;
x = π/4 + πn، n € Z. از آنجایی که cos x< 0, то x = 5π/4 + 2πk, k € Z.
3) بزرگترین ریشه منفی معادله: -π/4; کوچکترین ریشه مثبت معادله: 5π/4.
تفاوت مورد نیاز: 5π/4 – (-π/4) = 6π/4 = 3π/2 = 3 180°/2 = 270 درجه.
جواب: 270 درجه.
مسئله 2. کوچکترین ریشه مثبت معادله |tg x| را (به درجه) بیابید + 1/cos x = tan x.
راه حل.
بیایید ماژول را گسترش دهیم:
1) اگر tan x ≥ 0، پس
tan x + 1/cos x = tan x;
معادله به دست آمده ریشه ندارد.
2) اگر tg x< 0, тогда
Tg x + 1/cos x = tg x;
1/cos x – 2tg x = 0;
1/cos x – 2sin x / cos x = 0;
(1 – 2sin x) / cos x = 0;
1 – 2sin x = 0 و cos x ≠ 0.
با استفاده از شکل 1 و شرط tg x< 0 находим, что x = 5π/6 + 2πn, где n € Z.
3) کوچکترین ریشه مثبت معادله 5π/6 است. بیایید این مقدار را به درجه تبدیل کنیم:
5π/6 = 5 180 درجه / 6 = 5 30 درجه = 150 درجه.
جواب: 150 درجه
مسئله 3. تعداد ریشه های مختلف معادله sin |2x| را بیابید = cos 2x در بازه [-π/2; π/2].
راه حل.
معادله را به شکل sin|2x| بنویسیم – cos 2x = 0 و تابع y = sin |2x| را در نظر بگیرید – cos 2x. از آنجایی که تابع زوج است، صفرهای آن را برای x ≥ 0 خواهیم یافت.
sin 2x – cos 2x = 0; بیایید هر دو طرف معادله را بر cos 2x ≠ 0 تقسیم کنیم، به دست می آوریم:
tg 2x – 1 = 0;
2x = π/4 + πn، n € Z;
x = π/8 + πn/2، n € Z.
با استفاده از برابری تابع، متوجه می شویم که ریشه های معادله اصلی اعداد شکل هستند
± (π/8 + πn/2)، که در آن n € Z.
فاصله [-π/2; π/2] متعلق به اعداد: -π/8; π/8.
بنابراین، دو ریشه معادله متعلق به بازه داده شده است.
جواب: 2.
این معادله نیز با باز کردن ماژول قابل حل است.
مسئله 4. تعداد ریشه های معادله sin x – (|2cos x – 1|)/(2cos x – 1) · sin 2 x = sin 2 x در بازه [-π; 2π].
راه حل.
1) موردی را در نظر بگیرید که 2cos x – 1 > 0، یعنی. cos x > 1/2، سپس معادله شکل زیر را به خود می گیرد:
sin x – sin 2 x = sin 2 x;
sin x – 2sin 2 x = 0;
sin x(1 – 2sin x) = 0;
sin x = 0 یا 1 – 2sin x = 0;
sin x = 0 یا sin x = 1/2.
با استفاده از شکل 2 و شرط cos x > 1/2، ریشه های معادله را پیدا می کنیم:
x = π/6 + 2πn یا x = 2πn، n € Z.
2) موردی را در نظر بگیرید که 2cos x – 1< 0, т.е. cos x < 1/2, тогда исходное уравнение принимает вид:
گناه x + گناه 2 x = گناه 2 x;
x = 2πn، n € Z.
با استفاده از شکل 2 و شرط cos x< 1/2, находим, что x = π + 2πn, где n € Z.
با ترکیب این دو مورد، به این نتیجه می رسیم:
x = π/6 + 2πn یا x = πn.
3) فاصله [-π; 2π] متعلق به ریشه ها: π/6; -π; 0; π; 2π.
بنابراین، فاصله داده شده شامل پنج ریشه معادله است.
پاسخ: 5.
مسئله 5. تعداد ریشه های معادله را بیابید (x – 0.7) 2 |sin x| + sin x = 0 در بازه [-π; 2π].
راه حل.
1) اگر sin x ≥ 0 باشد، معادله اصلی به شکل (x – 0.7) 2 sin x + sin x = 0 است. پس از خارج کردن عامل مشترک sin x از پرانتز، به دست می‌آییم:
sin x((x – 0.7) 2 + 1) = 0; از آنجایی که (x - 0.7) 2 + 1 > 0 برای همه x واقعی، سپس sinx = 0، یعنی. x = πn، n € Z.
2) اگر گناه x< 0, то -(x – 0,7) 2 sin x + sin x = 0;
sin x((x – 0.7) 2 – 1) = 0;
sinx = 0 یا (x – 0.7) 2 + 1 = 0. از آنجایی که sin x< 0, то (x – 0,7) 2 = 1. Извлекаем ریشه مربعاز سمت چپ و راست آخرین معادله به دست می آید:
x – 0.7 = 1 یا x – 0.7 = -1، که به معنای x = 1.7 یا x = -0.3 است.
با در نظر گرفتن شرط sinx< 0 получим, что sin (-0,3) ≈ sin (-17,1°) < 0 и sin (1,7) ≈ sin (96,9°) >0 یعنی فقط عدد -0.3 ریشه معادله اصلی است.
3) فاصله [-π; 2π] متعلق به اعداد: -π; 0; π; 2π; -0.3.
بنابراین، معادله دارای پنج ریشه در یک بازه معین است.
پاسخ: 5.
شما می توانید برای درس ها یا امتحانات با استفاده از انواع مختلف آماده شوید منابع آموزشی، که در اینترنت هستند. در حال حاضر هر کسی 
یک فرد فقط باید از موارد جدید استفاده کند فناوری اطلاعاتزیرا استفاده صحیح و از همه مهمتر مناسب آنها به افزایش انگیزه در مطالعه موضوع، افزایش علاقه و کمک به درک بهتر کمک می کند. مواد مورد نیاز. اما فراموش نکنید که کامپیوتر به شما یاد نمی دهد که اطلاعات دریافت شده را پردازش، درک و به خاطر بسپارید. بنابراین، می توانید برای کمک به آموزگاران آنلاین ما مراجعه کنید، آنها به شما کمک می کنند تا دریابید که چگونه مشکلات مورد علاقه خود را حل کنید.
هنوز سوالی دارید؟ نمی دانید چگونه معادلات مثلثاتی را حل کنید؟
برای کمک گرفتن از یک معلم خصوصی -.
درس اول رایگان است
blog.site، هنگام کپی کردن کامل یا جزئی مطالب، پیوند به منبع اصلی الزامی است.
حفظ حریم خصوصی شما برای ما مهم است. به همین دلیل، ما یک خط مشی رازداری ایجاد کرده ایم که نحوه استفاده و ذخیره اطلاعات شما را شرح می دهد. لطفاً رویه‌های حفظ حریم خصوصی ما را مرور کنید و اگر سؤالی دارید با ما در میان بگذارید.
جمع آوری و استفاده از اطلاعات شخصی
اطلاعات شخصی به داده هایی اشاره دارد که می توان از آنها برای شناسایی یا تماس با یک فرد خاص استفاده کرد.
ممکن است در هر زمانی که با ما تماس می گیرید از شما خواسته شود اطلاعات شخصی خود را ارائه دهید.
در زیر چند نمونه از انواع اطلاعات شخصی که ممکن است جمع آوری کنیم و نحوه استفاده از این اطلاعات آورده شده است.
چه اطلاعات شخصی جمع آوری می کنیم:
- هنگامی که درخواستی را در سایت ارسال می کنید، ممکن است اطلاعات مختلفی از جمله نام، شماره تلفن، آدرس شما را جمع آوری کنیم ایمیلو غیره
نحوه استفاده ما از اطلاعات شخصی شما:
- جمع آوری شده توسط ما اطلاعات شخصیبه ما اجازه می دهد تا با شما تماس بگیریم و در مورد پیشنهادات منحصر به فرد، تبلیغات و سایر رویدادها و رویدادهای آینده به شما اطلاع دهیم.
- هر از گاهی، ممکن است از اطلاعات شخصی شما برای ارسال اعلان‌ها و ارتباطات مهم استفاده کنیم.
- ما همچنین ممکن است از اطلاعات شخصی برای اهداف داخلی مانند حسابرسی، تجزیه و تحلیل داده ها و مطالعات مختلفبه منظور بهبود خدمات ارائه شده و ارائه توصیه هایی در مورد خدمات خود به شما.
- اگر در قرعه کشی جوایز، مسابقه یا تبلیغات مشابه شرکت می کنید، ممکن است از اطلاعاتی که شما ارائه می دهید برای اجرای چنین برنامه هایی استفاده کنیم.
افشای اطلاعات به اشخاص ثالث
ما اطلاعات دریافتی از شما را در اختیار اشخاص ثالث قرار نمی دهیم.
استثنائات:
- در صورت لزوم - طبق قانون، رویه قضایی، در محاکمه، و/یا بر اساس درخواست ها یا درخواست های عمومی از سازمان های دولتیدر قلمرو فدراسیون روسیه - اطلاعات شخصی خود را افشا کنید. همچنین اگر تشخیص دهیم که چنین افشایی برای اهداف امنیتی، اجرای قانون یا سایر اهداف مهم عمومی ضروری یا مناسب است، ممکن است اطلاعاتی درباره شما فاش کنیم.
- در صورت سازماندهی مجدد، ادغام یا فروش، ممکن است اطلاعات شخصی را که جمع آوری می کنیم به شخص ثالث جانشین مربوطه منتقل کنیم.
حفاظت از اطلاعات شخصی
ما اقدامات احتیاطی - از جمله اداری، فنی و فیزیکی - را برای محافظت از اطلاعات شخصی شما در برابر از دست دادن، سرقت، و سوء استفاده، و همچنین دسترسی غیرمجاز، افشا، تغییر و تخریب انجام می دهیم.
احترام به حریم خصوصی شما در سطح شرکت
برای اطمینان از ایمن بودن اطلاعات شخصی شما، استانداردهای حریم خصوصی و امنیتی را به کارمندان خود ابلاغ می کنیم و شیوه های حفظ حریم خصوصی را به شدت اجرا می کنیم.
معادلات مثلثاتی به عنوان بخشی از امتحان ریاضی در بخش اول یک کار مربوط به حل یک معادله وجود دارد - این معادلات ساده، که در عرض چند دقیقه حل می شوند، بسیاری از انواع را می توان به صورت شفاهی حل کرد. شامل: معادلات خطی، درجه دوم، منطقی، غیرمنطقی، نمایی، لگاریتمی و مثلثاتی.
در این مقاله به بررسی معادلات مثلثاتی می پردازیم. راه حل آنها هم از نظر حجم محاسبات و هم از نظر پیچیدگی با سایر مسائل این قسمت متفاوت است. نگران نباشید، کلمه "سختی" به دشواری نسبی آنها در مقایسه با سایر وظایف اشاره دارد.
علاوه بر یافتن ریشه های خود معادله، تعیین بزرگترین ریشه منفی یا کوچکترین ریشه مثبت ضروری است. البته احتمال اینکه در امتحان معادله مثلثاتی به دست بیاورید کم است.
کمتر از 7 درصد آنها در این بخش از آزمون یکپارچه دولتی حضور دارند. اما این بدان معنا نیست که باید آنها را نادیده گرفت. در قسمت C، شما همچنین باید یک معادله مثلثاتی را حل کنید، بنابراین درک خوب تکنیک حل و درک نظریه به سادگی ضروری است.
درک بخش مثلثات ریاضیات موفقیت شما را در حل بسیاری از مسائل تعیین می کند. یادآوری می کنم که پاسخ یک عدد صحیح یا یک عدد محدود است اعشاری. پس از به دست آوردن ریشه های معادله، حتما بررسی کنید. زمان زیادی نمی برد و شما را از اشتباه کردن نجات می دهد.
در آینده معادلات دیگر را نیز بررسی خواهیم کرد، فرصت را از دست ندهید! اجازه دهید فرمول های ریشه های معادلات مثلثاتی را به یاد بیاوریم، باید آنها را بدانید:
دانستن این ارزش ها ضروری است؛ این "ABC" است که بدون آن نمی توان با بسیاری از وظایف کنار آمد. عالی است، اگر حافظه شما خوب باشد، به راحتی این ارزش ها را یاد گرفتید و به یاد آوردید. اگر نمی توانید این کار را انجام دهید، چه کاری باید انجام دهید، سردرگمی در سر شما وجود دارد، اما هنگام شرکت در امتحان گیج شده اید. از دست دادن یک امتیاز شرم آور است زیرا مقدار اشتباهی را در محاسبات خود یادداشت کرده اید.
این مقادیر ساده هستند، همچنین در تئوری که در نامه دوم پس از عضویت در خبرنامه دریافت کردید، آورده شده است. اگر هنوز مشترک نشده اید، این کار را انجام دهید! در آینده همچنین به چگونگی تعیین این مقادیر از دایره مثلثاتی خواهیم پرداخت. بی جهت نیست که به آن "قلب طلایی مثلثات" می گویند.
اجازه دهید فوراً برای جلوگیری از سردرگمی توضیح دهم که در معادلات در نظر گرفته شده در زیر، تعاریف آرکسین، آرکوزین، آرکتانژانت با استفاده از زاویه ارائه شده است. Xبرای معادلات مربوطه: cosx=a، sinx=a، tgx=a، که در آن Xهمچنین می تواند یک بیان باشد. در مثال های زیر، استدلال ما دقیقاً توسط یک عبارت ارائه شده است.
بنابراین، بیایید وظایف زیر را در نظر بگیریم:
ریشه معادله را پیدا کنید:
بزرگترین ریشه منفی را در پاسخ خود بنویسید.
جواب معادله cos x = a دو ریشه است:
تعریف: عدد a در مدول از یک تجاوز نکند. کسینوس قوس یک عدد، زاویه x در محدوده 0 تا Pi است که کسینوس آن برابر با a است.
به معنی
بیان کنیم x:
بیایید بزرگترین ریشه منفی را پیدا کنیم. چگونه این کار را انجام دهیم؟ جایگزین کنیم معانی مختلف n در ریشه های حاصل، محاسبه کرده و بزرگترین منفی را انتخاب کنید.
محاسبه می کنیم:
با n = - 2 x 1 = 3 (- 2) - 4.5 = - 10.5 x 2 = 3 (- 2) - 5.5 = - 11.5
با n = – 1 x 1 = 3 (– 1) – 4.5 = – 7.5 x 2 = 3 (– 1) – 5.5 = – 8.5
با n = 0 x 1 = 3∙0 – 4.5 = – 4.5 x 2 = 3∙0 – 5.5 = – 5.5
با n = 1 x 1 = 3∙1 – 4.5 = – 1.5 x 2 = 3∙1 – 5.5 = – 2.5
با n = 2 x 1 = 3∙2 - 4.5 = 1.5 x 2 = 3∙2 - 5.5 = 0.5
ما دریافتیم که بزرگترین ریشه منفی -1.5 است
پاسخ: -1.5
خودتان تصمیم بگیرید:
معادله را حل کنید:
جواب معادله sin x = a دو ریشه است:
هر دو (هر دو مورد بالا را ترکیب می کند):
تعریف: عدد a در مدول از یک تجاوز نکند. آرکسینوس یک عدد زاویه x است که در محدوده 90- تا 90 درجه قرار دارد که سینوس آن برابر با a است.
به معنی
x را بیان کنید (هر دو طرف معادله را در 4 ضرب کنید و بر Pi تقسیم کنید):
بیایید کوچکترین ریشه مثبت را پیدا کنیم. در اینجا بلافاصله مشخص می شود که هنگام تعویض مقادیر منفی n ریشه های منفی می گیریم. بنابراین، n = 0،1،2 را جایگزین می کنیم...
وقتی n = 0 x = (– 1) 0 + 4∙0 + 3 = 4
وقتی n = 1 x = (– 1) 1 + 4∙1 + 3 = 6
با n = 2 x = (– 1) 2 + 4∙2 + 3 = 12
بیایید با n = –1 x = (–1) –1 + 4∙(–1) + 3 = –2 بررسی کنیم
بنابراین کوچکترین ریشه مثبت 4 است.
پاسخ: 4
خودتان تصمیم بگیرید:
معادله را حل کنید:
کوچکترین ریشه مثبت را در پاسخ خود بنویسید.
