9 جمع و تفریق کسرهای معمولی. تفریق کسری با مخرج های مختلف. جمع و تفریق کسرهای رایج
همانطور که از ریاضیات می دانیم، یک عدد کسری از یک صورت و یک مخرج تشکیل شده است. صورت در بالا و مخرج در پایین است.
انجام عملیات ریاضی جمع یا تفریق مقادیر کسری با مخرج یکسان بسیار ساده است. شما فقط باید بتوانید اعداد را در صورتگر (بالا) جمع یا تفریق کنید، و همان عدد پایین بدون تغییر باقی می ماند.
برای مثال، بیایید عدد کسری 7/9 را در اینجا در نظر بگیریم:
- عدد "هفت" در بالا عدد شمار است.
- عدد "نه" زیر مخرج است.
مثال 1. اضافه شدن:
5/49 + 4/49 = (5+4) / 49 =9/49.
مثال 2. تفریق:
6/35−3/35 = (6−3) / 35 = 3/35.
تفریق مقادیر کسری ساده که مخرج های مختلفی دارند
برای انجام عملیات ریاضی تفریق کمیت هایی که مخرج های متفاوتی دارند، ابتدا باید آنها را به یک مخرج برسانید. هنگام انجام این کار، باید این قانون را رعایت کنید مخرج مشترکباید از همه کمتر باشد گزینه های ممکن.
مثال 3
با توجه به دو مقادیر سادهبا مخرج های مختلف(اعداد پایین): 7/8 و 2/9.
لازم است مقدار دوم را از مقدار اول کم کنید.
راه حل شامل چندین مرحله است:
1. عدد پایین مشترک را پیدا کنید، i.e. چیزی که هم بر مقدار کمتر کسر اول و هم بر مقدار دوم قابل تقسیم است. این عدد 72 خواهد بود، زیرا مضربی از اعداد هشت و نه است.
2. رقم پایین هر کسر افزایش یافته است:
- عدد "هشت" در کسر 7/8 9 برابر شده است - 8*9=72.
- عدد "نه" در کسر 2/9 هشت برابر شده است - 9*8=72.
3. اگر مخرج (رقم پایین) تغییر کرده باشد، صورت (رقم بالا) نیز باید تغییر کند. طبق قانون ریاضی موجود، عدد بالایی باید دقیقاً به اندازه عدد پایین افزایش یابد. یعنی:
- عدد "هفت" در کسر اول (7/8) در عدد "نه" ضرب می شود - 7 * 9 = 63.
- ما عدد "دو" را در کسر دوم (2/9) در عدد "هشت" ضرب می کنیم - 2 * 8 = 16.
4. در نتیجه اقدامات ما، دو مقدار جدید به دست آوردیم که البته مشابه مقادیر اولیه هستند.
- اول: 7/8 = 7*9 / 8*9 = 63/72;
- دوم: 2/9 = 2*8 / 9*8 = 16/72.
5. اکنون می توان یک عدد کسری را از دیگری کم کرد:
7/8−2/9 = 63/72−16/72 =?
6. با انجام این عمل به مبحث تفریق کسری با ارقام پایین (مخرج) یکسان برمی گردیم. این به این معنی است که عمل تفریق در بالا، در صورت شمار انجام می شود و رقم پایین بدون تغییر منتقل می شود.
63/72−16/72 = (63−16) / 72 = 47/72.
7/8−2/9 = 47/72.
مثال 4
بیایید با گرفتن کسرهای مختلف با اعداد مختلف اما چندگانه در پایین، مسئله را پیچیده تر کنیم.
مقادیر داده شده عبارتند از: 5/6; 1/3; 1/12; 7/24.
در این سکانس باید آنها را از یکدیگر دور کرد.
1. کسرها را با استفاده از روش فوق به یک مخرج مشترک می آوریم که عدد "24" خواهد بود:
- 5/6 = 5*4 / 6*4 = 20/24;
- 1/3 = 1*8 / 3*8 = 8/24;
- 1/12 = 1*2 / 12*2 = 2/24.
7/24 - این آخرین مقدار را بدون تغییر می گذاریم، زیرا مخرج آن است تعداد کل"24".
2. همه مقادیر را کم می کنیم:
20/24−8/2−2/24−7/24 = (20−8−2−7)/24 = 3/24.
3. از آنجایی که صورت و مخرج کسر حاصل بر یک عدد بخش پذیر است، می توان آنها را با تقسیم بر عدد "سه" کاهش داد:
3:3 / 24:3 = 1/8.
4. جواب را اینگونه می نویسیم:
5/6−1/3−1/12−7/24 = 1/8.
مثال 5
سه کسر با مخرج غیر چندگانه داده شده است: 3/4; 2/7; 1/13.
شما باید تفاوت را پیدا کنید.
1. دو عدد اول را به یک مخرج مشترک می آوریم، آن عدد "28" خواهد بود:
- ¾ = 3*7 / 4*7 = 21/28;
- 2/7 = 2*4 / 7*4 = 8/28.
2. دو کسر اول را از یکدیگر کم کنید:
¾-2/7 = 21/28-8/28 = (21-8) / 28 = 13/28.
3. کسر سوم داده شده را از مقدار حاصل کم کنید:
4. اعداد را به یک مخرج مشترک می آوریم. اگر امکان انتخاب مخرج مشابه بیشتر نباشد راه آسان، سپس فقط باید اقدامات را با ضرب تمام مخرج ها در یکدیگر به ترتیب انجام دهید و فراموش نکنید که مقدار عدد را با همان رقم افزایش دهید. در این مثال ما این کار را انجام می دهیم:
- 13/28 = 13*13 / 28*13 = 169/364، که در آن 13 رقم پایین 5/13 است.
- 5/13 = 5*28 / 13*28 = 140/364، که در آن 28 عدد پایین تر از 13/28 است.
5. کسرهای حاصل را کم کنید:
13/28−5/13 = 169/364−140/364 = (169−140) / 364 = 29/364.
پاسخ: ¾−2/7−5/13 = 29/364.
کسرهای مختلط
در مثال های مورد بحث در بالا، فقط از کسرهای مناسب استفاده شد.
به عنوان نمونه:
- 8/9 کسری مناسب است.
- 9/8 نادرست است.
تبدیل کسر نامناسب به کسر مناسب غیرممکن است، اما تبدیل آن به کسری ممکن است. مختلط. چرا عدد بالایی (عدد) را بر پایین (مخرج) تقسیم می کنید و یک عدد با باقی مانده بدست می آورید؟ عدد صحیح حاصل از تقسیم به این صورت نوشته می شود، باقیمانده در صورت شمار در بالا نوشته می شود و مخرج پایین ثابت می ماند. برای روشن تر شدن آن، بیایید در نظر بگیریم مثال ملموس:
مثال 6
ترجمه می کنیم کسر نامناسب 9/8 صحیح است.
برای انجام این کار، عدد "نه" را بر "هشت" تقسیم کنید، در نتیجه یک کسر مختلط با یک عدد صحیح و یک باقی مانده به دست می آید:
9: 8 = 1 و 1/8 (این را می توان به صورت متفاوت 1+1/8 نوشت)، که در آن:
- شماره 1 عدد صحیح حاصل از تقسیم است.
- یک عدد دیگر باقیمانده است.
- عدد 8 مخرج است که بدون تغییر باقی می ماند.
یک عدد صحیح را یک عدد طبیعی نیز می گویند.
باقیمانده و مخرج کسری جدید اما مناسب هستند.
هنگام نوشتن عدد 1 قبل از کسر مناسب 1/8 نوشته می شود.
تفریق اعداد مختلط با مخرج های مختلف
با توجه به موارد فوق، ما تعریف عدد کسری مختلط را ارائه می دهیم: "تعداد مختلط - این مقداری است که برابر است با مجموع یک عدد کامل و یک کسر معمولی مناسب. در این حالت کل قسمت نامیده می شود عدد طبیعیو شماره ای که باقی مانده مال اوست قسمت کسری».
مثال 7
داده شده: دو کمیت کسری مختلط شامل یک عدد کامل و یک کسر مناسب:
- اولین مقدار 9 و 4/7 است، یعنی (9+4/7)؛
- مقدار دوم 3 و 5/21 است، یعنی (3+5/21).
لازم است تفاوت بین این مقادیر را پیدا کنید.
1. برای تفریق 3+5/21 از 9+4/7، ابتدا باید مقادیر صحیح را از یکدیگر کم کنید:
4/7−5/21 = 4*3 / 7*3−5/21 =12/21−5/21 = (12−5) / 21 = 7/21.
3. نتیجه حاصل از تفاوت بین دو عدد مختلط شامل عدد طبیعی (صحیح) عدد 6 و کسر مناسب 7/21 = 1/3 خواهد بود:
(9 + 4/7) - (3 + 5/21) = 6 + 1/3.
ریاضیدانان از همه کشورها توافق کرده اند که علامت "+" هنگام نوشتن مقادیر ترکیبی را می توان حذف کرد و فقط عدد کامل را قبل از کسر بدون هیچ علامتی باقی گذاشت.
دستورالعمل ها
جدا کردن معمولی و اعشاری مرسوم است کسری، آشنایی با آن از دبیرستان شروع می شود. در حال حاضر هیچ حوزه ای از دانش وجود ندارد که در آن این مورد اعمال نشود. حتی در قرن هفدهم اول، و به یکباره، یعنی 1600-1625. همچنین اغلب باید با اقدامات اولیه و همچنین تبدیل آنها از یک نوع به نوع دیگر مقابله کنید.
تقلیل کسرها به مخرج مشترک شاید مهمترین عملیات باشد. این اساس مطلقاً همه محاسبات است. بنابراین، بیایید بگوییم که دو مورد وجود دارد کسری a/b و c/d. سپس، برای اینکه آنها را به یک مخرج مشترک برسانید، باید حداقل مضرب مشترک (M) اعداد b و d را پیدا کنید و سپس عدد اول را ضرب کنید. کسریتوسط (M/b)، و عدد دوم با (M/d).
مقایسه کسرها کار مهم دیگری است. برای انجام این کار، ساده داده شده را ارائه دهید کسریبه یک مخرج مشترک و سپس اعدادی که صورت آنها بزرگتر است، آن کسری و بزرگتر را مقایسه کنید.
برای انجام جمع یا تفریق کسرهای معمولی، باید آنها را به یک مخرج مشترک بیاورید و سپس محاسبات ریاضی لازم را از روی این کسرها انجام دهید. مخرج بدون تغییر باقی می ماند. فرض کنید باید c/d را از a/b کم کنید. برای انجام این کار، باید حداقل مضرب مشترک M اعداد b و d را پیدا کنید و سپس عدد دیگر را بدون تغییر مخرج از یک عدد کم کنید: (a*(M/b)-(c*(M/d)) / م
برای این کار کافی است یک کسری را در کسر دیگر ضرب کنید، به سادگی اعداد و مخرج آنها را ضرب کنید.
(a/b)*(c/d)=(a*c)/(b*d) برای تقسیم یک کسر بر کسری دیگر، باید کسر تقسیم را در کسری متقابل تقسیم کننده ضرب کنید. (a/b)/(c/d)=(a*d)/(b*c)
شایان ذکر است که برای به دست آوردن کسری متقابل، باید صورت و مخرج را عوض کنید.
کسرهای مختلط، درست مانند کسرهای ساده، قابل تفریق هستند. برداشتن اعداد مختلطکسرها باید چند قانون برای تفریق بدانید. بیایید با مثال این قوانین را مطالعه کنیم.
تفریق کسرهای مختلط با مخرج مشابه.
بیایید مثالی را با این شرط در نظر بگیریم که اجزای اعداد صحیح و کسری در حال کاهش به ترتیب بزرگتر از قسمت های صحیح و کسری هستند که تفریق می شوند. در چنین شرایطی، تفریق به طور جداگانه اتفاق می افتد. قسمت صحیح را از کل قسمت کم می کنیم و قسمت کسری را از قسمت کسری.
بیایید به یک مثال نگاه کنیم:
کسرهای مختلط \(5\frac(3)(7)\) و \(1\frac(1)(7)\) را کم کنید.
\(5\frac(3)(7)-1\frac(1)(7) = (5-1) + (\frac(3)(7)-\frac(1)(7)) = 4\ frac(2)(7)\)
صحت تفریق با جمع بررسی می شود. بیایید تفریق را بررسی کنیم:
\(4\frac(2)(7)+1\frac(1)(7) = (4 + 1) + (\frac(2)(7) + \frac(1)(7)) = 5\ frac(3)(7)\)
بیایید مثالی را با شرایطی در نظر بگیریم که قسمت کسری مینیوند از قسمت کسری متناظر زیرترهند کمتر باشد. در این صورت، یک را از کل در مینیوند قرض می گیریم.
بیایید به یک مثال نگاه کنیم:
کسرهای مختلط \(6\frac(1)(4)\) و \(3\frac(3)(4)\) را کم کنید.
Minuend \(6\frac(1)(4)\) دارای یک قسمت کسری کوچکتر از قسمت کسری subtrahend \(3\frac(3)(4)\) است. یعنی \(\frac(1)(4)< \frac{1}{3}\), поэтому сразу отнять мы не сможем. Займем у целой части у 6 единицу, а потом выполним вычитание. Единицу мы запишем как \(\frac{4}{4} = 1\)
\(\begin(align)&6\frac(1)(4)-3\frac(3)(4) = (6 + \frac(1)(4))-3\frac(3)(4) = (5 + \color(قرمز) (1) + \frac(1)(4))-3\frac(3)(4) = (5 + \color(قرمز) (\frac(4)(4)) + \frac(1)(4))-3\frac(3)(4) = (5 + \frac(5)(4))-3\frac(3)(4) = \\\\ &= 5\frac(5)(4)-3\frac(3)(4) = 2\frac(2)(4) = 2\frac(1)(4)\\\\ \end(تراز)\)
مثال بعدی:
\(7\frac(8)(19)-3 = 4\frac(8)(19)\)
کم کردن کسر مختلط از یک عدد صحیح.
مثال: \(3-1\frac(2)(5)\)
minuend 3 جزء کسری ندارد، بنابراین ما نمی توانیم بلافاصله کم کنیم. بیایید یکی از کل قسمت 3 را قرض بگیریم و سپس تفریق را انجام دهیم. واحد را بصورت \(3 = 2 + 1 = 2 + \frac(5)(5) = 2\frac(5)(5)\) می نویسیم.
\(3-1\frac(2)(5)= (2 + \color(قرمز) (1))-1\frac(2)(5) = (2 + \color(قرمز) (\frac(5 )(5))-1\frac(2)(5) = 2\frac(5)(5)-1\frac(2)(5) = 1\frac(3)(5)\)
تفریق کسرهای مختلط با مخرج غیرمشابه.
بیایید مثالی را با این شرط در نظر بگیریم که قسمت های کسری کوچک و فرعی مخرج های مختلفی داشته باشند. شما باید آن را به یک مخرج مشترک بیاورید و سپس تفریق را انجام دهید.
دو کسر مختلط را با مخرج های مختلف کم کنید \(2\frac(2)(3)\) و \(1\frac(1)(4)\).
مخرج مشترک عدد 12 خواهد بود.
\(2\frac(2)(3)-1\frac(1)(4) = 2\frac(2 \times \color(قرمز) (4))(3 \times \color(قرمز) (4) )-1\frac(1 \times \color(قرمز) (3))(4 \times \color(قرمز) (3)) = 2\frac(8)(12)-1\frac(3)(12 ) = 1\frac(5)(12)\)
سوالات مرتبط:
چگونه کسرهای مختلط را کم کنیم؟ چگونه کسرهای مختلط را حل کنیم؟
پاسخ: شما باید تصمیم بگیرید که عبارت متعلق به چه نوع است و الگوریتم حل را بر اساس نوع عبارت اعمال کنید. از قسمت صحیح عدد صحیح را کم می کنیم و از قسمت کسری قسمت کسری را کم می کنیم.
چگونه کسری را از یک عدد کامل کم کنیم؟ چگونه کسری را از یک عدد کامل کم کنیم؟
پاسخ: باید یک واحد از یک عدد صحیح بگیرید و این واحد را به صورت کسری بنویسید
\(4 = 3 + 1 = 3 + \frac(7)(7) = 3\frac(7)(7)\),
و سپس کل را از کل کم کنید، جزء کسری را از جزء کسری کم کنید. مثال:
\(4-2\frac(3)(7) = (3 + \color(قرمز) (1))-2\frac(3)(7) = (3 + \color(قرمز) (\frac(7 )(7))-2\frac(3)(7) = 3\frac(7)(7)-2\frac(3)(7) = 1\frac(4)(7)\)
مثال شماره 1:
کسر مناسب را از یک کم کنید: الف) \(1-\frac(8)(33)\) ب) \(1-\frac(6)(7)\)
راه حل:
الف) بیایید واحد را به صورت کسری با مخرج 33 تصور کنیم. \(1 = \frac(33)(33)\) را بدست می آوریم.
\(1-\frac(8)(33) = \frac(33)(33)-\frac(8)(33) = \frac(25)(33)\)
ب) بیایید یک را به صورت کسری با مخرج 7 تصور کنیم. \(1 = \frac(7)(7)\) را بدست می آوریم
\(1-\frac(6)(7) = \frac(7)(7)-\frac(6)(7) = \frac(7-6)(7) = \frac(1)(7) \)
مثال شماره 2:
یک تفریق انجام دهید کسر مختلطاز یک عدد صحیح: a) \(21-10\frac(4)(5)\) b) \(2-1\frac(1)(3)\)
راه حل:
الف) بیایید 21 واحد از عدد صحیح قرض بگیریم و آن را به این صورت بنویسیم \(21 = 20 + 1 = 20 + \frac(5)(5) = 20\frac(5)(5)\)
\(21-10\frac(4)(5) = (20 + 1)-10\frac(4)(5) = (20 + \frac(5)(5))-10\frac(4)( 5) = 20\frac(5)(5)-10\frac(4)(5) = 10\frac(1)(5)\\\\\)
ب) بیایید یکی از عدد صحیح 2 را برداریم و به این صورت بنویسیم \(2 = 1 + 1 = 1 + \frac(3)(3) = 1\frac(3)(3)\)
\(2-1\frac(1)(3) = (1 + 1)-1\frac(1)(3) = (1 + \frac(3)(3))-1\frac(1)( 3) = 1\frac(3)(3)-1\frac(1)(3) = \frac(2)(3)\\\\\)
مثال شماره 3:
یک عدد صحیح را از یک کسر مختلط کم کنید: a) \(15\frac(6)(17)-4\) b) \(23\frac(1)(2)-12\)
الف) \(15\frac(6)(17)-4 = 11\frac(6)(17)\)
ب) \(23\frac(1)(2)-12 = 11\frac(1)(2)\)
مثال شماره 4:
کسر مناسب را از کسر مختلط کم کنید: الف) \(1\frac(4)(5)-\frac(4)(5)\)
\(1\frac(4)(5)-\frac(4)(5) = 1\\\\\)
مثال شماره 5:
محاسبه \(5\frac(5)(16)-3\frac(3)(8)\)
\(\begin(align)&5\frac(5)(16)-3\frac(3)(8) = 5\frac(5)(16)-3\frac(3 \times \color(red) ( 2))(8 \times \color(قرمز) (2)) = 5\frac(5)(16)-3\frac(6)(16) = (5 + \frac(5)(16))- 3\frac(6)(16) = (4 + \color(قرمز) (1) + \frac(5)(16))-3\frac(6)(16) = \\\\ &= (4 + \color(قرمز) (\frac(16)(16)) + \frac(5)(16))-3\frac(6)(16) = (4 + \color(قرمز) (\frac(21 )(16))-3\frac(3)(8) = 4\frac(21)(16)-3\frac(6)(16) = 1\frac(15)(16)\\\\ \پایان (تراز کردن)\)
جمع و تفریق کسری با مخرج مشابه
بیایید با نگاه کردن به ساده ترین مثال شروع کنیم - جمع و تفریق کسرها با مخرج های مشابه. در این مورد، شما فقط باید عملیات را با اعداد انجام دهید - آنها را اضافه یا تفریق کنید.
هنگام جمع و تفریق کسری با مخرج یکسان، مخرج تغییر نمی کند!
نکته اصلی این است که هیچ گونه عملیات جمع یا تفریق را در مخرج انجام ندهید، اما برخی از دانش آموزان این موضوع را فراموش می کنند. برای درک بهتر این قانون، اجازه دهید به اصل تجسم یا صحبت کردن متوسل شویم به زبان ساده، بیایید به یک مثال واقعی نگاه کنیم:
شما نصف سیب دارید - این ½ از کل سیب است. نصف دیگر را به شما می دهند، یعنی ½ دیگر. بدیهی است که اکنون شما یک سیب کامل دارید (بدون احتساب این واقعیت که بریده شده است :)). بنابراین ½ + ½ = 1، و نه چیز دیگری مانند 2/4. یا این نصف از شما گرفته می شود: ½ - ½ = 0. در صورت تفریق با مخرج های یکسان، حالت خاصی به دست می آید - هنگام تفریق مخرج های یکسان، 0 می گیریم، اما نمی توانیم بر 0 تقسیم کنیم، و این کسری خواهد شد. منطقی نیست
بیایید آخرین مثال را بزنیم:
جمع و تفریق کسری با مخرج های مختلف
اگر مخرج ها متفاوت باشد چه باید کرد؟ برای انجام این کار، ابتدا باید کسرها را به مخرج یکسان کاهش دهیم و سپس همانطور که در بالا اشاره کردم عمل کنیم.
دو راه برای کاهش کسری به مخرج مشترک وجود دارد. همه روش ها از یک قانون استفاده می کنند - وقتی صورت و مخرج را در یک عدد ضرب می کنیم، کسر تغییر نمی کند .
دو راه وجود دارد. اولین مورد ساده ترین است - به اصطلاح "تقاطع". این شامل این واقعیت است که ما کسر اول را در مخرج کسر دوم (هم صورت و هم مخرج) ضرب می کنیم و کسر دوم را در مخرج اول ضرب می کنیم (به طور مشابه، صورت و مخرج). پس از این، مانند مورد با مخرج های یکسان پیش می رویم - اکنون آنها واقعاً یکسان هستند!
روش قبلی جهانی است، اما در بیشتر موارد مخرج کسرها را می توان یافت کمترین مضرب مشترک - عددی که هم مخرج اول و هم مخرج دوم و هم کوچکترین را تقسیم می کند. در این روش، شما باید بتوانید چنین LOC هایی را ببینید، زیرا جستجوی ویژه آنها نسبت به روش "تقاطع" بسیار بزرگ و از نظر سرعت پایین تر است. اما در بیشتر موارد، اگر چشمان خود را باز نگه دارید و به اندازه کافی تمرین کنید، NOC ها کاملاً قابل مشاهده هستند.
امیدوارم الان در جمع و تفریق کسرها مسلط باشید!
این درس جمع و تفریق را پوشش می دهد. کسرهای جبریبا مخرج های مختلف ما قبلاً می دانیم که چگونه کسرهای مشترک با مخرج های مختلف را جمع و تفریق کنیم. برای انجام این کار، کسرها باید به یک مخرج مشترک کاهش یابد. معلوم می شود که کسرهای جبری از قوانین یکسانی پیروی می کنند. در عین حال، ما قبلاً می دانیم که چگونه کسرهای جبری را به یک مخرج مشترک کاهش دهیم. جمع و تفریق کسری با مخرج های مختلف یکی از مهمترین و دشوارترین مباحث درس پایه هشتم است. علاوه بر این، این مبحث در بسیاری از مباحث درس جبر که در آینده مطالعه خواهید کرد، ظاهر خواهد شد. به عنوان بخشی از درس، قوانین جمع و تفریق کسرهای جبری با مخرج های مختلف را مطالعه می کنیم و همچنین تجزیه و تحلیل می کنیم. یک سری کاملنمونه های معمولی
در نظر بگیریم ساده ترین مثالبرای کسرهای معمولی
مثال 1.جمع کسرها: .
راه حل:
بیایید قانون جمع کسرها را به خاطر بسپاریم. برای شروع، کسرها باید به یک مخرج مشترک کاهش یابد. مخرج مشترک کسرهای معمولی است کمترین مضرب مشترک(LCM) مخرج اصلی.
تعریف
حداقل عدد طبیعی، که به طور همزمان بر اعداد و .
برای یافتن LCM، باید مخرج ها را به فاکتورهای اول فاکتور کنید و سپس تمام عوامل اولی را که در بسط هر دو مخرج گنجانده شده اند، انتخاب کنید.
; . سپس LCM اعداد باید شامل دو دو و دو سه باشد: .
پس از یافتن مخرج مشترک، باید برای هر کسر یک عامل اضافی پیدا کنید (در واقع، مخرج مشترک را بر مخرج کسر مربوطه تقسیم کنید).
سپس هر کسر در ضریب اضافی حاصل ضرب می شود. کسرهایی با مخرج یکسان بدست می آوریم که جمع و تفریق آنها را در درس های قبلی یاد گرفتیم.
دریافت می کنیم: 
.
پاسخ:.
اجازه دهید اکنون جمع کسرهای جبری با مخرج های مختلف را در نظر بگیریم. ابتدا اجازه دهید به کسری که مخرج آنها اعداد است نگاه کنیم.
مثال 2.جمع کسرها: .
راه حل:
الگوریتم حل کاملاً مشابه مثال قبلی است. یافتن مخرج مشترک این کسرها آسان است: و عوامل اضافی برای هر یک از آنها.
.
پاسخ:.
بنابراین، بیایید فرمول بندی کنیم الگوریتم جمع و تفریق کسرهای جبری با مخرج های مختلف:
1. کمترین مخرج مشترک کسرها را بیابید.
2. برای هر یک از کسرها عوامل اضافی را بیابید (با تقسیم مخرج مشترک بر مخرج کسر داده شده).
3. شمارنده ها را در عوامل اضافی مربوطه ضرب کنید.
4. با استفاده از قوانین جمع و تفریق کسری با مخرج مشابه، کسرها را جمع یا تفریق کنید.
اکنون مثالی را با کسری که مخرج آن شامل می شود در نظر می گیریم عبارات تحت اللفظی.
مثال 3.جمع کسرها: .
راه حل:
از آنجایی که عبارات حروف در هر دو مخرج یکسان است، باید یک مخرج مشترک برای اعداد پیدا کنید. مخرج مشترک نهایی به این صورت خواهد بود: . بنابراین، راه حل این مثال به نظر می رسد:.
پاسخ:.
مثال 4.تفریق کسرها: .
راه حل:
اگر هنگام انتخاب مخرج مشترک نمی توانید "تقلب" کنید (نمی توانید آن را فاکتور بگیرید یا از فرمول های ضرب اختصاری استفاده کنید)، باید حاصل ضرب مخرج هر دو کسر را به عنوان مخرج مشترک در نظر بگیرید.
پاسخ:.
به طور کلی، هنگام تصمیم گیری نمونه های مشابه، سخت ترین کار پیدا کردن یک مخرج مشترک است.
بیایید به یک مثال پیچیده تر نگاه کنیم.
مثال 5.ساده کردن: .
راه حل:
هنگام یافتن مخرج مشترک، ابتدا باید سعی کنید مخرج کسرهای اصلی را در نظر بگیرید (برای ساده کردن مخرج مشترک).
در این مورد خاص:
سپس تعیین مخرج مشترک آسان است: 
.
ما عوامل اضافی را تعیین می کنیم و این مثال را حل می کنیم:
پاسخ:.
حال بیایید قوانین جمع و تفریق کسری با مخرج های مختلف را تعیین کنیم.
مثال 6.ساده کردن: .
راه حل:
پاسخ:.
مثال 7.ساده کردن: .
راه حل:
.
پاسخ:.
اکنون مثالی را در نظر می گیریم که در آن نه دو، بلکه سه کسری اضافه می شود (از همه اینها، قوانین جمع و تفریق برای بیشترکسرها ثابت می مانند).
مثال 8.ساده کردن: .
