Συστήματα γραμμικών εξισώσεων. Μετασχηματισμοί στοιχειώδους συστήματος Μετασχηματισμοί στοιχειώδους συστήματος
Δύο συστήματα γραμμικών εξισώσεων από ένα σύνολο x 1 ,..., x n αγνώστων και, αντίστοιχα, από εξισώσεις m και p
Ονομάζονται ισοδύναμα αν η λύση τους τίθεται και συμπίπτει (δηλαδή, τα υποσύνολα και στο K n συμπίπτουν, ). Αυτό σημαίνει ότι είτε είναι και τα δύο κενά υποσύνολα (δηλαδή και τα δύο συστήματα (I) και (II) είναι ασυνεπή) είτε είναι ταυτόχρονα μη κενά και (δηλ. κάθε λύση του συστήματος I είναι μια λύση του συστήματος II και κάθε σύστημα λύσης II είναι μια λύση στο σύστημα I).
Παράδειγμα 3.2.1.
Μέθοδος Gauss
Το σχέδιο του αλγορίθμου που πρότεινε ο Gauss ήταν αρκετά απλό:
- εφαρμόζουμε διαδοχικούς μετασχηματισμούς στο σύστημα γραμμικών εξισώσεων που δεν αλλάζουν το σύνολο των λύσεων (έτσι αποθηκεύουμε το σύνολο των λύσεων του αρχικού συστήματος) και πηγαίνουμε σε ένα ισοδύναμο σύστημα που έχει «απλή μορφή» (το λεγόμενο βήμα μορφή);
- για την «απλή μορφή» του συστήματος (με βήμα μήτρα) περιγράψτε το σύνολο των λύσεων, το οποίο συμπίπτει με το σύνολο των λύσεων του αρχικού συστήματος.
Σημειώστε ότι η στενά συγγενής μέθοδος «fan-chen» ήταν ήδη γνωστή στα αρχαία κινέζικα μαθηματικά.
Στοιχειώδεις μετασχηματισμοί συστημάτων γραμμικών εξισώσεων (σειρές πινάκων)
Ορισμός 3.4.1 (στοιχειώδης μετατροπή τύπου 1). Όταν η i -η εξίσωση του συστήματος προστεθεί στην k -η εξίσωση πολλαπλασιαζόμενη με τον αριθμό (σημείωση: (i) "= (i) + c (k) , δηλαδή μόνο μια i -η εξίσωση (i) αντικαθίσταται με μια νέα εξίσωση (i)"=(i)+c(k) ). Η νέα i -η εξίσωση έχει τη μορφή (a i1 +ca k1)x 1 +...+(a σε +ca kn)x n =b i +cb k, ή, εν συντομία,
Δηλαδή στη νέα i-η εξίσωση a ij "=a ij +ca kj, b i"=b i + cb k.
Ορισμός 3.4.2 (στοιχειώδης μετατροπή τύπου 2). Για i -η και k -η εξισώσεις εναλλάσσονται, οι υπόλοιπες εξισώσεις δεν αλλάζουν (σημείωση: (i)"=(k) , (k)"=(i) , για τους συντελεστές αυτό σημαίνει το εξής: για j=1 ,.. .,n
Παρατήρηση 3.4.3. Για ευκολία, σε συγκεκριμένους υπολογισμούς, μπορείτε να εφαρμόσετε έναν στοιχειώδη μετασχηματισμό του 3ου τύπου: η i -η εξίσωση πολλαπλασιάζεται με έναν μη μηδενικό αριθμό 
, (i)"=c(i) .
Πρόταση 3.4.4. Εάν περάσαμε από το σύστημα I στο σύστημα II με τη βοήθεια ενός πεπερασμένου αριθμού στοιχειωδών μετασχηματισμών του 1ου και του 2ου τύπου, τότε από το σύστημα II μπορούμε να επιστρέψουμε στο σύστημα I επίσης με στοιχειώδεις μετασχηματισμούς του 1ου και 2ου τύπου.
Απόδειξη.
Παρατήρηση 3.4.5. Η δήλωση είναι επίσης αληθής με τη συμπερίληψη ενός στοιχειώδους μετασχηματισμού του 3ου τύπου στον αριθμό των στοιχειωδών μετασχηματισμών. Αν και (i)"=c(i) , τότε 
και (i)=c -1 (i)" .
Θεώρημα 3.4.6.Μετά από διαδοχική εφαρμογή πεπερασμένου αριθμού στοιχειωδών μετασχηματισμών 1ου ή 2ου τύπου σε σύστημα γραμμικών εξισώσεων προκύπτει ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων ισοδύναμο με το αρχικό.
Απόδειξη. Σημειώστε ότι αρκεί να εξετάσουμε την περίπτωση της μετάβασης από το σύστημα I στο σύστημα II με τη βοήθεια ενός στοιχειώδους μετασχηματισμού και να αποδείξουμε τη συμπερίληψη για τα σύνολα λύσεων (καθώς, δυνάμει της αποδεδειγμένης πρότασης, είναι δυνατή η επιστροφή από το σύστημα II στο σύστημα Ι και επομένως θα έχουμε την ένταξη , δηλαδή θα αποδειχθεί ισότητα).
Ορισμός 5. Στοιχειώδεις μεταμορφώσειςσύστημα γραμμικών εξισώσεων ονομάζονται οι ακόλουθοι μετασχηματισμοί του:
1) μετάθεση οποιωνδήποτε δύο εξισώσεων σε μέρη.
2) πολλαπλασιασμός και των δύο μερών μιας εξίσωσης με οποιονδήποτε αριθμό.
3) προσθέτοντας και στα δύο μέρη της μιας εξίσωσης τα αντίστοιχα μέρη της άλλης εξίσωσης, πολλαπλασιαζόμενα με οποιοδήποτε αριθμό κ;
(ενώ όλες οι άλλες εξισώσεις παραμένουν αμετάβλητες).
Μηδενική εξίσωσηονομάζουμε την ακόλουθη εξίσωση:
Θεώρημα 1. Οποιαδήποτε πεπερασμένη ακολουθία στοιχειωδών μετασχηματισμών και ο μετασχηματισμός της διαγραφής της μηδενικής εξίσωσης μετατρέπει ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων σε ένα άλλο σύστημα γραμμικών εξισώσεων ισοδύναμο με αυτό.
Απόδειξη.Με την ιδιότητα 4 της προηγούμενης υποενότητας, αρκεί να αποδειχθεί το θεώρημα για κάθε μετασχηματισμό χωριστά.
1. Όταν οι εξισώσεις στο σύστημα αναδιατάσσονται, οι ίδιες οι εξισώσεις δεν αλλάζουν, επομένως, εξ ορισμού, το σύστημα που προκύπτει είναι ισοδύναμο με το αρχικό.
2. Δυνάμει του πρώτου μέρους της απόδειξης, αρκεί να αποδειχθεί ο ισχυρισμός για την πρώτη εξίσωση. Πολλαπλασιάζουμε την πρώτη εξίσωση του συστήματος (1) με τον αριθμό , παίρνουμε το σύστημα
(2)
Αφήνω 
συστήματα (1) . Τότε οι αριθμοί ικανοποιούν όλες τις εξισώσεις του συστήματος (1). Δεδομένου ότι όλες οι εξισώσεις του συστήματος (2) εκτός από την πρώτη συμπίπτουν με τις εξισώσεις του συστήματος (1), οι αριθμοί ικανοποιούν όλες αυτές τις εξισώσεις. Εφόσον οι αριθμοί ικανοποιούν την πρώτη εξίσωση του συστήματος (1), τότε λαμβάνει χώρα η σωστή αριθμητική ισότητα:
Πολλαπλασιάζοντάς το με έναν αριθμό κ, παίρνουμε τη σωστή αριθμητική ισότητα:
Οτι. το διαπιστώνουμε
συστήματα (2).
Αντίθετα, εάν λύση του συστήματος (2), τότε οι αριθμοί ικανοποιούν όλες τις εξισώσεις του συστήματος (2). Δεδομένου ότι όλες οι εξισώσεις του συστήματος (1) εκτός από την πρώτη συμπίπτουν με τις εξισώσεις του συστήματος (2), οι αριθμοί ικανοποιούν όλες αυτές τις εξισώσεις. Εφόσον οι αριθμοί ικανοποιούν την πρώτη εξίσωση του συστήματος (2), τότε ισχύει η αριθμητική ισότητα (4). Διαιρώντας και τα δύο μέρη του με τον αριθμό , παίρνουμε την αριθμητική ισότητα (3) και το αποδεικνύουμε
λύση του συστήματος (1).
Ως εκ τούτου, σύμφωνα με τον ορισμό 4, το σύστημα (1) είναι ισοδύναμο με το σύστημα (2).
3. Δυνάμει του πρώτου μέρους της απόδειξης, αρκεί να αποδειχθεί ο ισχυρισμός για την πρώτη και τη δεύτερη εξίσωση του συστήματος. Ας προσθέσουμε και στα δύο μέρη της πρώτης εξίσωσης του συστήματος τα αντίστοιχα μέρη της δεύτερης πολλαπλασιαζόμενα με τον αριθμό κ, παίρνουμε το σύστημα
(5)
Αφήνω λύση του συστήματος (1) . Τότε οι αριθμοί ικανοποιούν όλες τις εξισώσεις του συστήματος (1). Δεδομένου ότι όλες οι εξισώσεις του συστήματος (5) εκτός από την πρώτη συμπίπτουν με τις εξισώσεις του συστήματος (1), οι αριθμοί ικανοποιούν όλες αυτές τις εξισώσεις. Εφόσον οι αριθμοί ικανοποιούν την πρώτη εξίσωση του συστήματος (1), τότε λαμβάνουν χώρα οι σωστές αριθμητικές ισότητες:
Προσθέτοντας όρο προς όρο στην πρώτη ισότητα τη δεύτερη, πολλαπλασιαζόμενη με τον αριθμό κπαίρνουμε τη σωστή αριθμητική ισότητα.
Ορισμός 1.Το σύστημα γραμμικών εξισώσεων της μορφής (1) , όπου , το πεδίο, ονομάζεται σύστημα m γραμμικών εξισώσεων με n αγνώστους σε ένα πεδίο, - συντελεστές σε αγνώστους, , , - ελεύθεροι όροι συστήματος (1).
Ορισμός 2.Διέταξε n-κα (), όπου , λέγεται λύση συστήματος γραμμικών εξισώσεων(1) εάν, όταν η μεταβλητή αντικατασταθεί από κάθε εξίσωση του συστήματος (1), μετατρέπεται σε αληθινή αριθμητική ισότητα.
Ορισμός 3. άρθρωσηαν έχει τουλάχιστον μία λύση. Διαφορετικά, καλείται το σύστημα (1). ασύμβατες.
Ορισμός 4.Το σύστημα των γραμμικών εξισώσεων (1) ονομάζεται βέβαιοςαν έχει μοναδική λύση. Διαφορετικά, καλείται το σύστημα (1). αβέβαιος.
Σύστημα γραμμικών εξισώσεων
(υπάρχει λύση) (δεν υπάρχει λύση)
άρθρωση μη άρθρωση
(η μόνη λύση) (όχι η μόνη λύση)
οριστική αόριστος
Ορισμός 5.Σύστημα γραμμικών εξισώσεων σε ένα πεδίο Rπου ονομάζεται ομοιογενήςαν όλοι οι ελεύθεροι όροι του είναι ίσοι με μηδέν. Διαφορετικά, το σύστημα καλείται ετερογενής.
Θεωρήστε το σύστημα των γραμμικών εξισώσεων (1). Τότε ένα ομοιογενές σύστημα ενός είδους ονομάζεται ομοιογενές σύστημα, που σχετίζονταιμε σύστημα (1). Ένας ομοιογενής ΣΕΛ είναι πάντα συνεπής, αφού πάντα έχει λύση.
Για κάθε SLN, δύο πίνακες μπορούν να ληφθούν υπόψη - οι κύριοι και οι εκτεταμένοι.
Ορισμός 6. Ο κύριος πίνακας του συστήματος γραμμικών εξισώσεωνΤο (1) ονομάζεται πίνακας που αποτελείται από συντελεστές για αγνώστους της ακόλουθης μορφής: .
Ορισμός 7. Σύστημα διευρυμένου πίνακα γραμμικών εξισώσεωνΤο (1) ονομάζεται πίνακας που λαμβάνεται από έναν πίνακα με την προσθήκη μιας στήλης ελεύθερων μελών σε αυτόν: .
Ορισμός 8.Στοιχειώδεις μετασχηματισμοί του συστήματος γραμμικών εξισώσεωντα ακόλουθα ονομάζονται: 1) πολλαπλασιασμός και των δύο μερών κάποιας εξίσωσης του συστήματος με ένα βαθμωτό. 2) προσθήκη και στα δύο μέρη της μιας εξίσωσης του συστήματος των αντίστοιχων μερών της άλλης εξίσωσης, πολλαπλασιαζόμενη με το στοιχείο. 3) προσθήκη ή απόθεση μιας εξίσωσης της μορφής .
Ορισμός 9.Δύο συστήματα γραμμικών εξισώσεων σε ένα πεδίο Rσε σχέση με τις μεταβλητές καλούνται ισοδύναμοςαν τα σύνολα λύσεών τους είναι τα ίδια.
Θεώρημα 1 . Εάν ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων λαμβάνεται από ένα άλλο με τη βοήθεια στοιχειωδών μετασχηματισμών, τότε τέτοια συστήματα είναι ισοδύναμα.
Είναι βολικό να εφαρμόζουμε στοιχειώδεις μετασχηματισμούς όχι σε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων, αλλά στον εκτεταμένο πίνακα του.
Ορισμός 10.Έστω ένας πίνακας με στοιχεία από το πεδίο P. Στοιχειώδεις μεταμορφώσειςΟι πίνακες ονομάζονται ως εξής:
1) πολλαπλασιασμός όλων των στοιχείων οποιασδήποτε σειράς με πίνακες στο aО Р # ;
2) πολλαπλασιασμός όλων των στοιχείων οποιασδήποτε σειράς με πίνακες στο aО Р # και πρόσθεση με τα αντίστοιχα στοιχεία μιας άλλης σειράς.
3) μετάθεση οποιωνδήποτε δύο σειρών του πίνακα.
4) προσθήκη ή διαγραφή μηδενικής γραμμής.
8. Λύση SLN:Μ μέθοδος διαδοχικού αποκλεισμού αγνώστων (μέθοδος Gauss).
Εξετάστε μια από τις κύριες μεθόδους για την επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων, η οποία ονομάζεται μέθοδος διαδοχικής εξάλειψης αγνώστων, ή αλλιώς, Μέθοδος Gauss. Εξετάστε το σύστημα (1) Μγραμμικές εξισώσεις με nάγνωστος πάνω από το γήπεδο Ε:(1) .
Στο σύστημα (1), τουλάχιστον ένας από τους συντελεστές για δεν είναι ίσος με 0 . Διαφορετικά (1) είναι ένα σύστημα εξισώσεων με () αγνώστους - αυτό έρχεται σε αντίθεση με την συνθήκη. Ας ανταλλάξουμε τις εξισώσεις έτσι ώστε ο συντελεστής στην πρώτη εξίσωση να μην είναι ίσος με 0 . Έτσι, μπορούμε να υποθέσουμε ότι . Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της πρώτης εξίσωσης με και προσθέστε στα αντίστοιχα μέρη της δεύτερης, τρίτης, ..., Μου εξισώσεις, αντίστοιχα. Παίρνουμε ένα σύστημα της μορφής: , όπου μικρό- ο μικρότερος αριθμός τέτοιος ώστε τουλάχιστον ένας από τους συντελεστές του at να μην είναι ίσος με 0 . Αλλάξτε τις εξισώσεις έτσι ώστε στη δεύτερη σειρά ο συντελεστής της μεταβλητής να μην είναι ίσος με 0 , δηλ. μπορούμε να υποθέσουμε ότι. Στη συνέχεια πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέρη της δεύτερης εξίσωσης με και προσθέτουμε στα αντίστοιχα μέρη της τρίτης, …, Μου εξισώσεις, αντίστοιχα. Συνεχίζοντας αυτή τη διαδικασία, παίρνουμε ένα σύστημα της μορφής:
Το σύστημα γραμμικών εξισώσεων, το οποίο, σύμφωνα με το Θεώρημα 1, είναι ισοδύναμο με το σύστημα (1) . Το σύστημα ονομάζεται κλιμακωτό σύστημα γραμμικών εξισώσεων. Υπάρχουν δύο περιπτώσεις: 1) Τουλάχιστον ένα από τα στοιχεία δεν είναι ίσο με 0 . Ας, για παράδειγμα, . Τότε στο σύστημα των γραμμικών εξισώσεων υπάρχει μια εξίσωση της μορφής , η οποία είναι αδύνατη. Αυτό σημαίνει ότι το σύστημα δεν έχει λύσεις, και επομένως το σύστημα (1) δεν έχει λύσεις (στην περίπτωση αυτή το (1) είναι ένα ασυνεπές σύστημα).
2) Έστω ,…, . Στη συνέχεια με τη βοήθεια ενός στοιχειώδους μετασχηματισμού 3) αποκτούμε ένα σύστημα - ένα σύστημα rγραμμικές εξισώσεις με nάγνωστος. Σε αυτήν την περίπτωση, καλούνται οι μεταβλητές στους συντελεστές κύριες μεταβλητές(αυτό), το σύνολο τους r. Το υπόλοιπο ( n-r) καλούνται οι μεταβλητές Ελεύθερος.
Υπάρχουν δύο περιπτώσεις: 1) Αν r=n, τότε είναι ένα τριγωνικό σύστημα. Σε αυτή την περίπτωση, από την τελευταία εξίσωση βρίσκουμε τη μεταβλητή , από την προτελευταία - τη μεταβλητή , ..., από την πρώτη εξίσωση - τη μεταβλητή . Έτσι, λαμβάνουμε μια μοναδική λύση στο σύστημα των γραμμικών εξισώσεων , και ως εκ τούτου στο σύστημα των γραμμικών εξισώσεων (1) (στην περίπτωση αυτή ορίζεται το σύστημα (1).
2) Αφήστε r
Κατά την επίλυση ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων με τη μέθοδο Gauss, είναι βολικό να εκτελούνται στοιχειώδεις μετασχηματισμοί όχι στο σύστημα, αλλά στον εκτεταμένο πίνακα του.
Ορισμός.Η κατάταξη ενός πίνακα Α είναι ο αριθμός των μη μηδενικών σειρών οποιουδήποτε βηματικού πίνακα στον οποίο το Α ανάγεται με στοιχειώδεις μετασχηματισμούς. Η κατάταξη ενός πίνακα A συμβολίζεται με r(A) ή rang(A).
Αλγόριθμος επίλυσης συστήματος γραμμικών εξισώσεων με τη μέθοδο Gauss
1. Να συνθέσετε έναν διευρυμένο πίνακα του συστήματος των γραμμικών εξισώσεων (1) και, χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς, να τον φέρετε σε σταδιακή μορφή.
2. Διεξάγετε έρευνα: α) εάν , τότε το σύστημα (1) είναι ασυνεπές.
β) αν , τότε το σύστημα (1) είναι συνεπές.
Ταυτόχρονα, αν r=n, τότε το σύστημα (1) ορίζεται αν r
3. Βρείτε μια λύση στο σύστημα που αντιστοιχεί στον προκύπτον πίνακα βημάτων.
§7. Συστήματα γραμμικών εξισώσεων
Συστήματα ισορροπίας. Στοιχειώδεις μετασχηματισμοί συστήματος γραμμικών εξισώσεων.
Αφήνω ΜΕείναι το πεδίο των μιγαδικών αριθμών. Εξίσωση τύπου
Οπου 
, ονομάζεται γραμμική εξίσωση με nάγνωστος 
. παραγγελθέν σετ 
,
ονομάζεται λύση της εξίσωσης (1) αν .
Σύστημα Μγραμμικές εξισώσεις με nάγνωστο είναι ένα σύστημα εξισώσεων της μορφής:
- συντελεστές του συστήματος γραμμικών εξισώσεων, 
- δωρεάν μέλη.
ορθογώνιο τραπέζι
,
ονομάζεται πίνακας μεγέθους 
. Ας εισάγουμε τη σημειογραφία: - Εγώ-η σειρά του πίνακα, 
-
κ-η στήλη του πίνακα. Μήτρα ΕΝΑδηλώνουν επίσης 
ή 
.
Οι ακόλουθοι μετασχηματισμοί σειρών μήτρας ΕΝΑονομάζονται στοιχειώδεις. 
) εξαίρεση συμβολοσειράς null. 
) πολλαπλασιάζοντας όλα τα στοιχεία οποιασδήποτε συμβολοσειράς με έναν αριθμό 
; 
) προσθήκη σε οποιαδήποτε συμβολοσειρά οποιασδήποτε άλλης συμβολοσειράς, πολλαπλασιαζόμενη επί 
. Παρόμοιοι μετασχηματισμοί στηλών μήτρας ΕΝΑονομάζονται μετασχηματισμοί στοιχειώδους πίνακα ΕΝΑ.
Πρώτο μη μηδενικό στοιχείο (μετρώντας από αριστερά προς τα δεξιά) οποιασδήποτε γραμμής πίνακα ΕΝΑονομάζεται κύριο στοιχείο αυτής της συμβολοσειράς.
Ορισμός. Μήτρα 
καλείται σταδιακά εάν πληρούνται οι ακόλουθες προϋποθέσεις:
1) οι μηδενικές σειρές του πίνακα (αν υπάρχουν) είναι κάτω από μη μηδενικές.
2) αν 
τα κύρια στοιχεία των σειρών του πίνακα, λοιπόν 
Οποιοσδήποτε μη μηδενικός πίνακας Α μπορεί να αναχθεί σε βηματικό πίνακα με στοιχειώδεις μετασχηματισμούς σειρών.
Παράδειγμα. Παρουσιάζουμε τη μήτρα 
στον πίνακα βημάτων: 
~ 
~ 
.
Πίνακας που αποτελείται από τους συντελεστές του συστήματος 
γραμμικές εξισώσεις (2) λέγονται κύριος πίνακας του συστήματος. Μήτρα 
, που προκύπτει από την προσθήκη μιας στήλης ελεύθερων όρων, ονομάζεται επαυξημένη μήτρα του συστήματος.
Ένα διατεταγμένο σύνολο , ονομάζεται λύση στο σύστημα των γραμμικών εξισώσεων (2) εάν είναι λύση σε κάθε γραμμική εξίσωση αυτού του συστήματος.
Ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων ονομάζεται συνεπές εάν έχει τουλάχιστον μία λύση και ασυνεπές εάν δεν έχει λύσεις.
Ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων ονομάζεται οριστικό εάν έχει μια μοναδική λύση και αόριστο εάν έχει περισσότερες από μία λύσεις.
Οι παρακάτω μετασχηματισμοί ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων ονομάζονται στοιχειώδεις:
) εξαίρεση από το σύστημα εξισώσεων του εντύπου ;
) πολλαπλασιασμός και των δύο πλευρών οποιασδήποτε εξίσωσης με 
, 
;
) προσθήκη σε οποιαδήποτε εξίσωση οποιασδήποτε άλλης εξίσωσης, πολλαπλασιαζόμενη επί ,.
Δύο συστήματα γραμμικών εξισώσεων από nΤα άγνωστα λέγονται ισοδύναμα εάν δεν είναι συμβατά ή τα σύνολα των λύσεών τους είναι τα ίδια.
Θεώρημα. Εάν ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων προκύπτει από ένα άλλο με στοιχειώδεις μετασχηματισμούς του τύπου ), ), τότε είναι ισοδύναμο με τον αρχικό.
Επίλυση συστήματος γραμμικών εξισώσεων με τη μέθοδο εξάλειψης αγνώστων (με τη μέθοδο Gauss).
Αφήστε το σύστημα Μγραμμικές εξισώσεις με nάγνωστος:
Αν το σύστημα (1) περιέχει μια εξίσωση της μορφής
τότε αυτό το σύστημα είναι ασυνεπές.
Ας υποθέσουμε ότι το σύστημα (1) δεν περιέχει εξίσωση της μορφής (2). Έστω στο σύστημα (1) ο συντελεστής της μεταβλητής Χ 1 στην πρώτη εξίσωση 
(εάν αυτό δεν ισχύει, τότε αναδιατάσσοντας τις εξισώσεις σε σημεία θα το πετύχουμε, αφού δεν είναι όλοι οι συντελεστές σε Χ 1 είναι ίσο με μηδέν). Ας εφαρμόσουμε την ακόλουθη αλυσίδα στοιχειωδών μετασχηματισμών στο σύστημα των γραμμικών εξισώσεων (1):
, προσθέστε στη δεύτερη εξίσωση.
Η πρώτη εξίσωση πολλαπλασιαζόμενη επί 
, προσθέστε στην τρίτη εξίσωση και ούτω καθεξής.
Η πρώτη εξίσωση πολλαπλασιαζόμενη επί 
, προσθέστε στην τελευταία εξίσωση του συστήματος.
Ως αποτέλεσμα, λαμβάνουμε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων (σε όσα ακολουθούν θα χρησιμοποιήσουμε τη συντομογραφία CLE για ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων) ισοδύναμο με το σύστημα (1). Μπορεί να αποδειχθεί ότι στο προκύπτον σύστημα δεν υπάρχει ούτε μία εξίσωση με τον αριθμό Εγώ,
Εγώ 
2,
δεν περιέχει άγνωστο Χ 2. Αφήνω κο μικρότερος φυσικός αριθμός τέτοιος ώστε ο άγνωστος Χ κπεριέχεται σε τουλάχιστον μία εξίσωση με τον αριθμό Εγώ,
Εγώ 2. Τότε το προκύπτον σύστημα εξισώσεων έχει τη μορφή:
Το σύστημα (3) είναι ισοδύναμο με το σύστημα (1). Κάντε αίτηση τώρα στο υποσύστημα 
συστήματα γραμμικών εξισώσεων (3) συλλογισμός που έχει εφαρμοστεί στο SLE (1) . Και ούτω καθεξής. Ως αποτέλεσμα αυτής της διαδικασίας, φτάνουμε σε ένα από τα δύο αποτελέσματα.
1. Λαμβάνουμε ένα SLE που περιέχει μια εξίσωση της μορφής (2). Σε αυτήν την περίπτωση, το SLE (1) είναι ασυνεπές.
2. Οι στοιχειώδεις μετασχηματισμοί που εφαρμόζονται στο SLE (1) δεν οδηγούν σε ένα σύστημα που περιέχει μια εξίσωση της μορφής (2). Στην περίπτωση αυτή, SLE (1) με στοιχειώδεις μετασχηματισμούς 
ανάγεται σε ένα σύστημα εξισώσεων της μορφής:
(4)
όπου, 1< κ < μεγάλο < . . .< μικρό,
Το σύστημα των γραμμικών εξισώσεων της μορφής (4) ονομάζεται βαθμιαία. Οι ακόλουθες δύο περιπτώσεις είναι δυνατές εδώ.
ΕΝΑ) r= n, τότε το σύστημα (4) έχει τη μορφή
(5)
Το σύστημα (5) έχει μια μοναδική λύση. Κατά συνέπεια, το σύστημα (1) έχει επίσης μια μοναδική λύση.
ΣΙ) r<
n. Στην προκειμένη περίπτωση το άγνωστο 
στο σύστημα (4) ονομάζονται οι κύριοι άγνωστοι και οι υπόλοιποι άγνωστοι σε αυτό το σύστημα ονομάζονται ελεύθεροι (ο αριθμός τους είναι ίσος με n-
r). Ας αντιστοιχίσουμε αυθαίρετες αριθμητικές τιμές στους ελεύθερους αγνώστους, τότε το SLE (4) θα έχει την ίδια μορφή με το σύστημα (5). Από αυτό προσδιορίζονται μοναδικά οι κύριοι άγνωστοι. Έτσι, το σύστημα έχει μια λύση, δηλαδή είναι κοινό. Δεδομένου ότι στα δωρεάν άγνωστα δόθηκαν αυθαίρετες αριθμητικές τιμές από ΜΕ, τότε το σύστημα (4) είναι αόριστο. Κατά συνέπεια, το σύστημα (1) είναι επίσης αόριστο. Εκφράζοντας σε SLE (4) τους κύριους αγνώστους σε όρους ελεύθερων αγνώστων, παίρνουμε ένα σύστημα που ονομάζεται γενική λύση του συστήματος (1).
Παράδειγμα. Να λύσετε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο σολ aussa
Γράφουμε τον εκτεταμένο πίνακα του συστήματος γραμμικών εξισώσεων και, μέσω στοιχειωδών μετασχηματισμών σειρών, τον ανάγουμε σε βηματικό πίνακα:
~
~
~
~
~ . Χρησιμοποιώντας τον προκύπτοντα πίνακα, επαναφέρουμε το σύστημα γραμμικών εξισώσεων: 
Αυτό το σύστημα είναι ισοδύναμο με το αρχικό σύστημα. Ως κύρια άγνωστα, παίρνουμε στη συνέχεια 
ελεύθεροι άγνωστοι. Ας εκφράσουμε τους κύριους αγνώστους μόνο ως προς τους ελεύθερους αγνώστους:
Έχουμε λάβει τη γενική λύση του ΣΕΛ. Αφήστε τότε 
(5, 0, -5, 0, 1) είναι μια συγκεκριμένη λύση του ΣΕΛ.
Εργασίες για ανεξάρτητη λύση
1. Βρείτε μια γενική λύση και μια συγκεκριμένη λύση ενός συστήματος εξισώσεων εξαλείφοντας αγνώστους:
1) 
2) 
4) 
6) 
2. Βρείτε σε διαφορετικές τιμές παραμέτρων ΕΝΑγενική λύση του συστήματος εξισώσεων:
1)
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
§8. Διανυσματικοί χώροι
Η έννοια ενός διανυσματικού χώρου. Οι απλούστερες ιδιότητες.
Αφήνω V ≠ Ø, ( φά, +,∙) – πεδίο. Τα στοιχεία του πεδίου θα ονομάζονται βαθμωτές.
Απεικόνιση φ : φά× V –> Vονομάζεται η πράξη πολλαπλασιασμού των στοιχείων ενός συνόλου Vσε σκαλοπάτια από το γήπεδο φά. Δείχνω φ (λ,α) διά μέσου λαπροϊόν στοιχείου ΕΝΑσε βαθμωτό λ .
Ορισμός.Ενα μάτσο Vμε δεδομένη αλγεβρική πράξη πρόσθεσης των στοιχείων του συνόλου Vκαι πολλαπλασιασμός στοιχείων του συνόλου Vσε σκαλοπάτια από το γήπεδο φάονομάζεται διανυσματικός χώρος πάνω από ένα πεδίο F αν ισχύουν τα ακόλουθα αξιώματα:
Παράδειγμα.
Αφήνω φάπεδίο, φά n = {(ένα 1
, ένα 2
, … , ένα n) | ένα Εγώ 
φά (Εγώ=)). Κάθε στοιχείο του σετ φά nπου ονομάζεται n-διάνυσμα αριθμητικής διαστάσεων. Εισάγουμε τη λειτουργία προσθήκης n-διανύσματα διαστάσεων και πολλαπλασιασμός n-διάνυσμα διαστάσεων σε βαθμωτό από πεδίο φά. Αφήνω 
.
Ας βάλουμε = ( ένα 1 + σι 1 , … , ένα n + σι n), = (λ ένα 1 , λ ένα 2 , … , λ ένα n). Ενα μάτσο φάΤο n σε σχέση με τις εισαγόμενες πράξεις είναι ένας διανυσματικός χώρος και ονομάζεται n-διάστατος αριθμητικός διανυσματικός χώρος πάνω από το πεδίο φά.
Αφήνω V- διανυσματικός χώρος πάνω από το πεδίο φά, ,
. Πραγματοποιούνται οι ακόλουθες ιδιότητες:
1) 
;
3) 
;
4) 
;
Απόδειξη ιδιοκτησίας 3.
Από την ισότητα σύμφωνα με το νόμο της μείωσης στην ομάδα ( V,+) έχουμε 
.
Γραμμική εξάρτηση, ανεξαρτησία συστημάτων διανυσμάτων.
Αφήνω Vείναι ο διανυσματικός χώρος πάνω από το πεδίο φά, 
. Ένα διάνυσμα ονομάζεται ένας γραμμικός συνδυασμός ενός συστήματος διανυσμάτων 
. Το σύνολο όλων των γραμμικών συνδυασμών ενός συστήματος διανυσμάτων ονομάζεται γραμμικό εύρος αυτού του συστήματος διανυσμάτων και συμβολίζεται με .
Ορισμός.Ένα σύστημα διανυσμάτων λέγεται ότι εξαρτάται γραμμικά εάν υπάρχουν τέτοιοι βαθμωτοί 
δεν είναι όλα ίσα με το μηδέν, το οποίο
Αν η ισότητα (1) ισχύει αν και μόνο αν λ 1 = λ 2 = … = =λ Μ=0, τότε το σύστημα των διανυσμάτων ονομάζεται γραμμικά ανεξάρτητο.
Παράδειγμα.Μάθετε αν το σύστημα των διανυσμάτων 
= (1,-2,2), =(2,0, 1), 
= (-1, 3, 4) κενά R 3 γραμμικά εξαρτώμενα ή ανεξάρτητα.
Λύση.Έστω λ 1 , λ 2 , λ 3 
Και
|=> (0,0,0) – λύση του συστήματος. Επομένως, το σύστημα των διανυσμάτων είναι γραμμικά ανεξάρτητο.
Ιδιότητες γραμμικής εξάρτησης και ανεξαρτησίας συστήματος διανυσμάτων.
1. Το σύστημα διανυσμάτων που περιέχει τουλάχιστον ένα μηδενικό διάνυσμα εξαρτάται γραμμικά.
2. Ένα σύστημα διανυσμάτων που περιέχει ένα γραμμικά εξαρτώμενο υποσύστημα είναι γραμμικά εξαρτημένο.
3. Σύστημα διανυσμάτων , όπου 
εξαρτάται γραμμικά εάν και μόνο εάν τουλάχιστον ένα διάνυσμα αυτού του συστήματος διαφορετικό από το διάνυσμα είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των διανυσμάτων που προηγούνται του.
4. Αν το σύστημα των διανυσμάτων είναι γραμμικά ανεξάρτητο, και το σύστημα των διανυσμάτων 
γραμμικά εξαρτώμενο, μετά το διάνυσμα 
μπορεί να αναπαρασταθεί ως ένας γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων και, επιπλέον, με μοναδικό τρόπο.
Απόδειξη.Εφόσον το σύστημα των διανυσμάτων εξαρτάται γραμμικά, τότε 
δεν είναι όλα ίσα με το μηδέν, το οποίο
Σε διανυσματική ισότητα (2) λ
Μ+1 ≠ 0. Υποθέτοντας ότι λ
Μ+1 =0, τότε από (2) => Συνεπάγεται ότι το σύστημα των διανυσμάτων εξαρτάται γραμμικά, αφού λ
1 , λ
2 , … , λ
Μδεν είναι όλα μηδέν. Φτάσαμε σε αντίφαση με την κατάσταση. Από (1) => όπου 
.
Έστω ότι το διάνυσμα μπορεί επίσης να αναπαρασταθεί ως: Τότε από την ισότητα του διανύσματος 
λόγω της γραμμικής ανεξαρτησίας του συστήματος των διανυσμάτων, προκύπτει ότι 
1 = β
1 , …, Μ = β
Μ .
5. Έστω δύο συστήματα διανυσμάτων και 
, Μ>κ. Εάν κάθε διάνυσμα του συστήματος των διανυσμάτων μπορεί να αναπαρασταθεί ως ένας γραμμικός συνδυασμός του συστήματος των διανυσμάτων, τότε το σύστημα των διανυσμάτων εξαρτάται γραμμικά.
Βάση, κατάταξη του συστήματος των διανυσμάτων.
Ένα πεπερασμένο σύστημα διανυσμάτων χώρου Vπάνω από το γήπεδο φά δηλώνουν με μικρό.
Ορισμός.Οποιοδήποτε γραμμικά ανεξάρτητο υποσύστημα του συστήματος των διανυσμάτων μικρόονομάζεται βάση του συστήματος των διανυσμάτων μικρό, εάν υπάρχει διάνυσμα του συστήματος μικρόμπορεί να αναπαρασταθεί ως ένας γραμμικός συνδυασμός ενός συστήματος διανυσμάτων.
Παράδειγμα.Βρείτε τη βάση ενός συστήματος διανυσμάτων 
= (1, 0, 0), 
= (0, 1, 0),
= (-2, 3, 0) R3. Το σύστημα των διανυσμάτων είναι γραμμικά ανεξάρτητο, αφού, σύμφωνα με την ιδιότητα 5, το σύστημα των διανυσμάτων προκύπτει από το σύστημα των διανυσμάτων. επίδομα βασικάηλεκτρομηχανοτρονική: εκπαιδευτικόςεπίδομα βασικάηλεκτρολόγος μηχανικός"; ...
Εκπαιδευτική βιβλιογραφία 2000-2008 (1)
ΒιβλιογραφίαΜαθηματικά Μαθηματικά Lobkova N.I. Βασικάγραμμικός άλγεβρακαι αναλυτική γεωμετρία: εκπαιδευτικόςεπίδομα/ N.I. Lobkova, M.V. Lagunova ... σχεδιάζοντας για βασικάηλεκτρομηχανοτρονική: εκπαιδευτικόςεπίδομα/ PGUPS. Τμ. "Θεωρητικός βασικάηλεκτρολόγος μηχανικός"; ...
