Pojem funkcí a jejich vlastnosti. Mocninná funkce, její vlastnosti a grafy
1) Funkční doména a funkční rozsah.
Doména funkce je množina všech platných hodnot argumentů X(proměnná X), pro které je funkce y = f(x) odhodlaný. Rozsah funkce je množina všech reálných hodnot y, kterou funkce přijímá.
V elementární matematika funkce jsou studovány pouze na množině reálných čísel.
2) Funkční nuly.
Funkce nula je hodnota argumentu, při které je hodnota funkce rovna nule.
3) Intervaly konstantního znaménka funkce.
Intervaly konstantního znaménka funkce jsou sady hodnot argumentů, na kterých jsou hodnoty funkce pouze kladné nebo pouze záporné.
4) Monotonie funkce.
Rostoucí funkce (v určitém intervalu) je funkce, ve které větší hodnota argumentu z tohoto intervalu odpovídá větší hodnotě funkce.
Klesající funkce (v určitém intervalu) je funkce, ve které větší hodnota argumentu z tohoto intervalu odpovídá menší hodnotě funkce.
5) Sudá (lichá) funkce.
Sudá funkce je funkce, jejíž definiční obor je symetrický vzhledem k počátku a pro libovolný X z oblasti definice rovnost f(-x) = f(x). Graf sudé funkce je symetrický podle ordináty.
Lichá funkce je funkce, jejíž definiční obor je symetrický vzhledem k počátku a pro libovolný X z oblasti definice platí rovnost f(-x) = - f(x). Graf liché funkce je symetrický podle počátku.
6) Omezené a neomezené funkce.
Funkce se nazývá omezená, pokud existuje kladné číslo M takové, že |f(x)| ≤ M pro všechny hodnoty x. Pokud takové číslo neexistuje, pak je funkce neomezená.
7) Periodicita funkce.
Funkce f(x) je periodická, pokud existuje nenulové číslo T takové, že pro libovolné x z definičního oboru funkce platí: f(x+T) = f(x). Toto nejmenší číslo se nazývá perioda funkce. Všechny goniometrické funkce jsou periodické. (Trigonometrické vzorce).
19. Základní elementární funkce, jejich vlastnosti a grafy. Aplikace funkcí v ekonomii.
Základní elementární funkce. Jejich vlastnosti a grafy
1. Lineární funkce.
Lineární funkce se nazývá funkce tvaru , kde x je proměnná, aab jsou reálná čísla.
Číslo A nazývá se sklon přímky, je roven tečně úhlu sklonu této přímky ke kladnému směru osy x. Grafem lineární funkce je přímka. Je definována dvěma body.
Vlastnosti lineární funkce
1. Definiční obor - množina všech reálných čísel: D(y)=R
2. Množina hodnot je množina všech reálných čísel: E(y)=R
3. Funkce nabývá nulové hodnoty, když nebo.
4. Funkce se zvětšuje (snižuje) v celém definičním oboru.
5. Lineární funkce je spojitá přes celý definiční obor, diferencovatelná a .
2. Kvadratická funkce.
Funkce tvaru , kde x je proměnná, koeficienty a, b, c - reálná čísla, volal kvadratický
Definiční obor a rozsah hodnot funkce. V elementární matematice se funkce studují pouze na množině reálných čísel R.To znamená, že argument funkce může nabývat pouze těch skutečných hodnot, pro které je funkce definována, tj. přijímá také pouze skutečné hodnoty. hromada X všechny platné platné hodnoty argumentů X, pro které je funkce y= F(X)definovaný, tzv doména funkce. hromada Y všechny skutečné hodnoty y, který funkce přijímá, se nazývá funkční rozsah. Nyní můžete dát více přesná definice Funkce: pravidlo(zákon) o shodě mezi množinami X a Y, podle kterého pro každý prvek ze sadyX může najít jeden a pouze jeden prvek z množiny Y, nazývaný funkce.
Z této definice vyplývá, že funkce je považována za definovanou, pokud:
Doména funkce je určena X ;
Je určen rozsah funkcí Y ;
Pravidlo (zákon) korespondence je známo, a to takové, že pro každého
Pro hodnotu argumentu lze nalézt pouze jednu funkční hodnotu.
Tento požadavek jednoznačnosti funkce je povinný.
Monotónní funkce. Pokud pro libovolné dvě hodnoty argumentu X 1 a X 2 podmínky X 2 > X 1 následuje F(X 2) > F(X 1), pak funkce F(X) je nazýván vzrůstající; pokud pro nějaké X 1 a X 2 podmínky X 2 > X 1 následuje F(X 2) < F(X 1), pak funkce F(X) je nazýván klesající. Zavolá se funkce, která pouze zvyšuje nebo pouze snižuje monotónní.
Omezené a neomezené funkce. Funkce je volána omezený, pokud existuje takové kladné číslo M co | F(X) | M pro všechny hodnoty X. Pokud takové číslo neexistuje, pak funkce ano neomezený.
PŘÍKLADY.
Funkce znázorněná na obr. 3 je omezená, ale není monotónní. Funkce na obr. 4 je právě opačná, monotónní, ale neomezená. (Vysvětlete to prosím!).
Spojité a nespojité funkce. Funkce y = F (X) je nazýván kontinuální na místěX = A, Pokud:
1) funkce je definována kdy X = A, tj. F (A) existuje;
2) existuje konečný limit lim F (X) ;
X→A
(viz Limity funkcí)
3) F (A) = lim F (X) .
X→A
Pokud není splněna alespoň jedna z těchto podmínek, je funkce volána explozivní na místě X = A.
Pokud je funkce nepřetržitá během každý body své domény definice, pak se to nazývá kontinuální funkce.
Sudé a liché funkce. Pokud pro žádný X F(- X) = F (X), pak se funkce zavolá dokonce; pokud nastane: F(- X) = - F (X), pak se funkce zavolá zvláštní. Plán dokonce funkcesymetricky podle osy Y(obr. 5), graf lichá funkce Simmetrický s ohledem na původ(obr. 6).
Periodická funkce. Funkce F (X) - periodické, pokud něco takového existuje nenulovéčíslo T k čemu žádný X z definičního oboru funkce platí: F (X + T) = F (X). Tento nejméněčíslo se volá období funkce. Všechny goniometrické funkce jsou periodické.
Příklad 1 Dokažte ten hřích X má období 2.
Řešení: Víme, že hřích ( x+ 2n) = hřích X, Kde n= 0, ± 1, ± 2, …
Proto dodatek 2 n ne k sinusovému argumentu
Mění jeho význam. Existuje další číslo s tímto
Stejný majetek?
Pojďme to předstírat P- takové číslo, tzn. rovnost:
Hřích( x+P) = hřích X,
Platí pro jakoukoli hodnotu X. Ale pak má
Místo a čas X= / 2, tj.
Hřích(/2 + P) = hřích / 2 = 1.
Ale podle redukčního vzorce sin ( / 2 + P) = cos P. Pak
Z posledních dvou rovností vyplývá, že cos P= 1, ale my
Víme, že to platí pouze tehdy P = 2n. Od nejmenšího
Nenulové číslo od 2 n je 2, pak toto číslo
A je tu dobový hřích X. Podobným způsobem lze dokázat, že 2 z n je , takže toto je období sin 2 X.
Funkce nuly. Zavolá se hodnota argumentu, při které je funkce rovna 0 nula (root) funkce. Funkce může mít více nul, například funkce y = X (X + 1) (X-3) má tři nuly: X= 0, X= -1, X= 3. Geometricky nulová funkce - toto je úsečka průsečíku grafu funkce s osou X .
Obrázek 7 ukazuje graf funkce s nulami: X= A, X = b A X= C.
Asymptota. Pokud se graf funkce neomezeně přibližuje k určité přímce, když se vzdaluje od počátku, pak se tato přímka nazývá asymptota.
The metodický materiál je pouze orientační a vztahuje se na širokou škálu témat. Článek poskytuje přehled grafů základních elementárních funkcí a zabývá se tím nejdůležitějším - jak správně a RYCHLE sestavit graf. V průběhu studia vyšší matematiky bez znalosti základních grafů elementární funkce Bude to těžké, proto je velmi důležité zapamatovat si, jak vypadají grafy paraboly, hyperboly, sinusu, kosinusu atd. a zapamatovat si některé hodnoty funkcí. Taky promluvime si o některých vlastnostech základních funkcí.
Nenárokuji si úplnost a vědeckou důkladnost materiálů, důraz bude kladen především na praxi - ty věci, s nimiž člověk narazí doslova na každém kroku, v jakémkoli tématu vyšší matematiky. Tabulky pro figuríny? Dalo by se to tak říct.
Kvůli četným žádostem čtenářů klikací obsah:
K tématu je navíc ultrakrátká synopse
– ovládněte 16 typů grafů studiem ŠEST stránek!
Vážně, šest, dokonce i mě to překvapilo. Tento souhrn obsahuje vylepšenou grafiku a je k dispozici za symbolický poplatek. Soubor je vhodné vytisknout, abyste měli grafy vždy po ruce. Děkujeme za podporu projektu!
A začněme hned:
Jak správně sestrojit souřadnicové osy?
V praxi testy téměř vždy vyplňují studenti do samostatných sešitů, linkovaných do čtverce. Proč potřebujete kostkované značení? Koneckonců, práci lze v zásadě provést na listech A4. A klec je nezbytná právě pro kvalitní a přesné provedení výkresů.
Jakékoli kreslení funkčního grafu začíná souřadnicovými osami.
Výkresy mohou být dvourozměrné nebo trojrozměrné.
Podívejme se nejprve na dvourozměrný případ Kartézský pravoúhlý souřadnicový systém:
1) Kreslit souřadnicové osy. Osa se nazývá osa x , a osa je osa y . Vždy se je snažíme nakreslit úhledné a ne křivé. Šipky by také neměly připomínat vousy Papa Carla.
2) Osy podepisujeme velkými písmeny „X“ a „Y“. Nezapomeňte si osy označit.
3) Nastavte měřítko podél os: nakreslete nulu a dvě jedničky. Při kreslení je nejpohodlnější a často používané měřítko: 1 jednotka = 2 buňky (výkres vlevo) - pokud možno se toho držte. Čas od času se však stane, že se kresba na sešitový list nevejde – pak měřítko zmenšíme: 1 jednotka = 1 buňka (kresba vpravo). Je to vzácné, ale stává se, že měřítko výkresu musí být zmenšeno (nebo zvětšeno) ještě více
NENÍ POTŘEBA „kulomet“ …-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …. Pro souřadnicová rovina není pomník Descarta a student není holubice. Vložili jsme nula A dvě jednotky podél os. Někdy namísto jednotky, je vhodné „označit“ jiné hodnoty, například „dvě“ na ose a „tři“ na ose pořadnice – a tento systém (0, 2 a 3) bude také jednoznačně definovat souřadnicovou síť.
Odhadované rozměry výkresu je lepší odhadnout PŘED konstruováním výkresu. Pokud tedy úloha vyžaduje například nakreslení trojúhelníku s vrcholy , , , pak je zcela jasné, že oblíbené měřítko 1 jednotka = 2 buňky nebude fungovat. Proč? Podívejme se na věc - zde budete muset měřit patnáct centimetrů dolů a kresba se samozřejmě nevejde (nebo se sotva vejde) na list sešitu. Proto rovnou vybereme menší měřítko: 1 jednotka = 1 buňka.
Mimochodem asi centimetry a buňky notebooku. Je pravda, že 30 buněk notebooku obsahuje 15 centimetrů? Pro zábavu si do sešitu změřte pomocí pravítka 15 centimetrů. V SSSR to možná platilo... Je zajímavé si všimnout, že pokud tyto stejné centimetry změříte vodorovně i svisle, výsledky (v buňkách) se budou lišit! Přísně vzato, moderní notebooky nejsou kostkované, ale obdélníkové. Může se to zdát jako nesmysl, ale kreslit v takových situacích například kružnici kružítkem je velmi nepohodlné. Upřímně řečeno, v takových chvílích začínáte přemýšlet o správnosti soudruha Stalina, který byl poslán do lágrů na hackerské práce ve výrobě, nemluvě o domácím automobilovém průmyslu, padajících letadlech nebo explodujících elektrárnách.
Když už jsme u kvality, popř krátké doporučení pro psací potřeby. Dnes je většina prodávaných notebooků přinejmenším úplná kravina. Z toho důvodu, že se namočí, a to nejen z gelových per, ale i z kuličkových per! Šetří peníze na papíře. Pro registraci testy Doporučuji používat sešity z celulózky a papíru Archangelsk (18 listů, mřížka) nebo „Pyaterochka“, i když je to dražší. Je vhodné zvolit gelové pero i ta nejlevnější čínská gelová náplň je mnohem lepší než propiska, která papír buď rozmazává, nebo trhá. Jediný "konkurenční" kuličkové pero v mé paměti je "Erich Krause". Píše srozumitelně, krásně a důsledně – o čem plná hřídel, že s prakticky prázdnou.
dodatečně: Vize pravoúhlého souřadnicového systému očima analytické geometrie je popsána v článku Lineární (ne)závislost vektorů. Základy vektorů, podrobné informace o souřadnicových čtvrtích najdete ve druhém odstavci lekce Lineární nerovnosti.
3D pouzdro
Tady je to skoro stejné.
1) Nakreslete souřadnicové osy. Standard: osová aplikace – směřuje nahoru, osa – směřuje doprava, osa – směřuje dolů doleva přísně pod úhlem 45 stupňů.
2) Označte osy.
3) Nastavte měřítko podél os. Měřítko podél osy je dvakrát menší než měřítko podél ostatních os. Všimněte si také, že v pravém výkresu jsem použil nestandardní "zářez" podél osy (tato možnost již byla zmíněna výše). Z mého pohledu je to přesnější, rychlejší a estetičtější - není potřeba hledat střed buňky pod mikroskopem a „vyřezávat“ jednotku blízko počátku souřadnic.
Při vytváření 3D výkresu dejte opět přednost měřítku
1 jednotka = 2 buňky (nákres vlevo).
K čemu jsou všechna tato pravidla? Pravidla jsou od toho, aby se porušovala. To je to, co teď udělám. Faktem je, že následné kresby článku udělám v Excelu a souřadné osy budou vypadat nesprávně z pohledu správný design. Všechny grafy bych mohl kreslit ručně, ale ve skutečnosti je děsivé je kreslit, protože Excel se zdráhá je nakreslit mnohem přesněji.
Grafy a základní vlastnosti elementárních funkcí
Lineární funkce je dána rovnicí. Graf lineárních funkcí je Přímo. K sestrojení přímky stačí znát dva body.
Příklad 1
Sestrojte graf funkce. Pojďme najít dva body. Jako jeden z bodů je výhodné zvolit nulu.
Pokud, pak
Vezměme si další bod, například 1.
Pokud, pak
Při plnění úkolů jsou souřadnice bodů obvykle shrnuty do tabulky:
A samotné hodnoty se počítají ústně nebo na konceptu, kalkulačce.
Byly nalezeny dva body, udělejme nákres:
Při přípravě výkresu grafiku vždy podepisujeme.
Bylo by užitečné připomenout speciální případy lineární funkce:
Všimněte si, jak jsem umístil podpisy, podpisy by neměly umožňovat nesrovnalosti při studiu výkresu. V tomto případě bylo krajně nežádoucí umístit podpis vedle průsečíku čar nebo vpravo dole mezi grafy.
1) Lineární funkce tvaru () se nazývá přímá úměrnost. Například, . Počátkem vždy prochází graf přímé úměrnosti. Konstrukce přímky je tedy zjednodušena – stačí najít pouze jeden bod.
2) Rovnice ve tvaru udává přímku rovnoběžnou s osou, konkrétně osa samotná je dána rovnicí. Graf funkce je vykreslen okamžitě, bez nalezení bodů. To znamená, že záznam by měl být chápán následovně: „y se vždy rovná –4 pro jakoukoli hodnotu x“.
3) Rovnice tvaru udává přímku rovnoběžnou s osou, konkrétně osa samotná je dána rovnicí. Okamžitě se také vykreslí graf funkce. Záznam je třeba chápat takto: „x je vždy, pro jakoukoli hodnotu y, rovno 1.“
Někdo se bude ptát, proč si pamatovat 6. třídu?! Je to tak, možná je to tak, ale za léta praxe jsem potkal dobrý tucet studentů, kteří byli zmateni úkolem sestavit graf jako nebo.
Konstrukce přímky je nejběžnější činností při vytváření výkresů.
Přímka je podrobně probrána v kurzu analytické geometrie a zájemci mohou nahlédnout do článku Rovnice přímky na rovině.
Graf kvadratické, kubické funkce, graf polynomu
Parabola. Plán kvadratická funkce 
() představuje parabolu. Zvažte slavný případ:
Připomeňme si některé vlastnosti funkce.
Takže řešení naší rovnice: – v tomto bodě se nachází vrchol paraboly. Proč tomu tak je, najdete v teoretickém článku o derivaci a lekci o extrémech funkce. Mezitím vypočítejme odpovídající hodnotu „Y“:
Vrchol je tedy v bodě
Nyní nacházíme další body, přičemž drze využíváme symetrii paraboly. Je třeba poznamenat, že funkce 
– není sudý, ale přesto nikdo nezrušil symetrii paraboly.
V jakém pořadí najít zbývající body, to bude myslím jasné z konečné tabulky:
Tento konstrukční algoritmus lze obrazně nazvat „shuttle“ nebo princip „tam a zpět“ s Anfisou Chekhovou.
Udělejme nákres:
Ze zkoumaných grafů mě napadá další užitečná funkce:
Pro kvadratickou funkci 
() platí následující:
Jestliže , pak větve paraboly směřují nahoru.
Jestliže , pak větve paraboly směřují dolů.
Hluboké znalosti o křivce lze získat v lekci Hyperbola a parabola.
Kubická parabola je dána funkcí. Zde je kresba známá ze školy:
Uveďme si hlavní vlastnosti funkce
Graf funkce
Představuje jednu z větví paraboly. Udělejme nákres:
Hlavní vlastnosti funkce:
V tomto případě je osa vertikální asymptota pro graf hyperboly v .
Bylo by HRUBOU chybou, kdybyste při kreslení nedbale dovolili, aby se graf protnul asymptotou.
Také jednostranné limity nám říkají, že hyperbola neomezené shora A zdola neomezené.
Prozkoumejme funkci v nekonečnu: , to znamená, že pokud se začneme pohybovat podél osy doleva (nebo doprava) do nekonečna, pak budou „hry“ v uspořádaném kroku nekonečně blízko přiblížit se k nule a v souladu s tím i větve hyperboly nekonečně blízko přiblížit se k ose.
Takže osa je horizontální asymptota pro graf funkce, pokud „x“ tíhne k plus nebo mínus nekonečnu.
Funkce je zvláštní, a proto je hyperbola symetrická podle počátku. Tato skutečnost je zřejmá z výkresu, navíc je snadno analyticky ověřitelná: 
.
Graf funkce tvaru () představuje dvě větve hyperboly.
Jestliže , pak se hyperbola nachází v první a třetí souřadnicové čtvrti(viz obrázek výše).
Jestliže , pak se hyperbola nachází ve druhé a čtvrté souřadnicové čtvrti.
Naznačený vzor pobytu hyperboly lze snadno analyzovat z hlediska geometrických transformací grafů.
Příklad 3
Sestrojte pravou větev hyperboly
Používáme metodu bodové konstrukce a je výhodné volit hodnoty tak, aby byly dělitelné celkem:
Udělejme nákres:
Sestrojit levou větev hyperboly nebude těžké, pomůže zde lichost funkce. Zhruba řečeno, v tabulce bodové konstrukce v duchu ke každému číslu přidáme mínus, dosadíme odpovídající body a nakreslíme druhou větev.
Podrobné geometrické informace o uvažované čáře naleznete v článku Hyperbola a parabola.
Graf exponenciální funkce
V této části budu okamžitě uvažovat o exponenciální funkci, protože v úlohách vyšší matematiky se v 95 % případů objevuje právě exponenciála.
Dovolte mi připomenout, že toto je iracionální číslo: , to bude vyžadováno při konstrukci grafu, který ve skutečnosti sestavím bez obřadu. Tři body asi stačí:
Graf funkce zatím nechme na pokoji, o něm později.
Hlavní vlastnosti funkce:
Funkční grafy atd. vypadají v zásadě stejně.
Musím říci, že druhý případ se v praxi vyskytuje méně často, ale vyskytuje se, proto jsem považoval za nutné jej do tohoto článku zahrnout.
Graf logaritmické funkce
Uvažujme funkci s přirozeným logaritmem.
Udělejme nákres bod po bodu:
Pokud jste zapomněli, co je logaritmus, podívejte se prosím do školních učebnic.
Hlavní vlastnosti funkce:
Doména: 
Rozsah hodnot: .
Funkce není shora omezena: 
, sice pomalu, ale větev logaritmu jde až do nekonečna.
Podívejme se na chování funkce poblíž nuly vpravo: 
. Takže osa je vertikální asymptota
pro graf funkce jako „x“ má sklon k nule zprava.
Je nezbytné znát a zapamatovat si typickou hodnotu logaritmu: .
V principu vypadá graf logaritmu k základu stejně: , , (desetinný logaritmus k základu 10) atd. Navíc, čím větší základna, tím plošší bude graf.
Případ nebudeme zvažovat, nepamatuji si kdy naposledy Na tomto základě jsem sestavil graf. A logaritmus se zdá být velmi vzácným hostem v problémech vyšší matematiky.
Na konci tohoto odstavce řeknu ještě jednu skutečnost: Exponenciální funkce a logaritmická funkce– jedná se o dvě vzájemně inverzní funkce. Když se pozorně podíváte na graf logaritmu, můžete vidět, že se jedná o stejný exponent, jen je umístěn trochu jinak.
Grafy goniometrických funkcí
Kde začíná trigonometrická muka ve škole? Že jo. Od sinusu
Nakreslíme funkci
Tato linka se nazývá sinusoida.
Dovolte mi připomenout, že „pí“ je iracionální číslo: a v trigonometrii vám oslní oči.
Hlavní vlastnosti funkce:
Tato funkce je periodické s obdobím . Co to znamená? Podívejme se na segment. Nalevo a napravo od něj se donekonečna opakuje přesně stejný kus grafu.
Doména: , to znamená, že pro jakoukoli hodnotu „x“ existuje sinusová hodnota.
Rozsah hodnot: . Funkce je omezený: , to znamená, že všichni „hráči“ sedí striktně v segmentu .
To se nestane: nebo přesněji se to stane, ale tyto rovnice nemají řešení.
Funkce y=x^2 se nazývá kvadratická funkce. Grafem kvadratické funkce je parabola. Obecná forma Parabola je znázorněna na obrázku níže.
Kvadratická funkce
Obr. 1. Celkový pohled na parabolu
Jak je vidět z grafu, je symetrický kolem osy Oy. Osa Oy se nazývá osa symetrie paraboly. To znamená, že pokud na grafu nakreslíte přímku rovnoběžnou s osou Ox nad touto osou. Poté protne parabolu ve dvou bodech. Vzdálenost od těchto bodů k ose Oy bude stejná.
Osa symetrie rozděluje graf paraboly na dvě části. Tyto části se nazývají větve paraboly. A bod paraboly, který leží na ose symetrie, se nazývá vrchol paraboly. To znamená, že osa symetrie prochází vrcholem paraboly. Souřadnice tohoto bodu jsou (0;0).
Základní vlastnosti kvadratické funkce
1. Při x =0, y=0 a y>0 při x0
2. Kvadratická funkce dosáhne své minimální hodnoty ve svém vrcholu. Ymin při x=0; Je třeba také poznamenat, že funkce nemá maximální hodnotu.
3. Funkce klesá na intervalu (-∞;0] a roste na intervalu ; nerovnost A<X<b – interval a označuje se () ; nerovnosti a - poloviční intervaly a jsou označeny resp. Často se také musíte vypořádat s nekonečnými intervaly a polovičními intervaly: , , , a . Je vhodné je všechny zavolat v intervalech .
Interval, tzn. množina bodů vyhovujících nerovnosti (kde ), se nazývá -okolí bodu A.
Pojem funkce. Základní vlastnosti funkce
Pokud každý prvek X sady X je spárován jeden prvek y sady Y, pak to říkají na place X daný funkce y=F(X). V čem X volal nezávislé proměnné nebo argument, A y – závislá proměnná nebo funkce, A F označuje zákon korespondence. hromada X volal doména definice funkce a sadu Y – rozsah hodnot funkcí.
Existuje několik způsobů, jak určit funkce.
1) Analytická metoda - funkce je dána vzorcem tvaru y=F(X).
2) Tabulková metoda - funkce je specifikována tabulkou obsahující hodnoty argumentů a odpovídající hodnoty funkcí y=F(X).
3) Grafická metoda - zobrazení grafu funkce, tzn. sada bodů ( X; y) souřadnicová rovina, jejíž úsečky představují hodnoty argumentu a pořadnice představují odpovídající hodnoty funkce y=F(X).
4) Verbální metoda - funkce je popsána pravidlem pro její složení. Například funkce Dirichlet má hodnotu 1 if X je racionální číslo a 0 pokud X- iracionální číslo.
Rozlišují se následující hlavní vlastnosti funkcí.
1 Sudé a liché Funkce y=F(X) je nazýván dokonce, pokud pro nějaké hodnoty X z jeho definiční domény je splněno F(–X)=F(X), A zvláštní, Pokud F(–X)=–F(X). Pokud není splněna žádná z uvedených rovností, pak y=F(X) je nazýván obecná funkce. Graf sudé funkce je symetrický kolem osy Oj a graf liché funkce je symetrický podle počátku.
2 Monotónnost Funkce y=F(X) je nazýván vzrůstající (klesající) na intervalu X, pokud větší hodnota argumentu z tohoto intervalu odpovídá větší (menší) funkční hodnotě. Nechat X 1 ,X 2 Î X, X 2 >X 1. Poté se funkce na intervalu zvyšuje X, Pokud F(X 2)>F(X 1) a snižuje se, pokud F(X 2)<F(X 1).
Spolu s rostoucími a klesajícími funkcemi jsou uvažovány funkce neklesající a nerostoucí. Funkce je volána neklesající (nerostoucí), pokud v X 1 ,X 2 Î X, X 2 >X 1 nerovnost platí F(X 2)≥F(X 1) (F(X 2)≤F(X 1)).
Rostoucí a klesající funkce, stejně jako nerostoucí a neklesající funkce se nazývají monotónní.
3 Omezené Funkce y=F(X) se nazývá ohraničený na intervalu X, pokud existuje takové kladné číslo M>0, co | F(X)|≤M pro každého XÎ X. Jinak se říká, že funkce je neomezená X.
4 Frekvence Funkce y=F(X) se nazývá periodický s tečkou T≠0, pokud existuje X z domény funkce F(X+T)=F(X). V následujícím textu periodou rozumíme nejmenší kladnou periodu funkce.
Funkce je volána explicitní, pokud je dán vzorcem formuláře y=F(X). Je-li funkce dána rovnicí F(X, y)=0, není povoleno vzhledem k závislé proměnné y, pak se to nazývá implicitní.
Nechat y=F(X) je funkcí nezávisle proměnné definované na množině X s rozsahem Y. Srovnejme každý z nich yÎ Y jediný význam XÎ X, při kterém F(X)=y.Pak výsledná funkce X=φ (y), definované na sadě Y s rozsahem X, volal zvrátit a je určeno y=F –1 (X). Grafy vzájemně inverzních funkcí jsou symetrické vzhledem k ose první a třetí čtvrtiny souřadnic.
Nechte funkci y=F(u) je funkcí proměnné u, definované na sadě U s rozsahem Y a proměnná u je zase funkce u=φ (X), definované na sadě X s rozsahem U. Poté uveden na scéně X funkce y=F(φ (X)) je nazýván komplexní funkce (skládání funkcí, superpozice funkcí, funkce funkce).
Elementární funkce
Mezi hlavní elementární funkce patří:
- výkonová funkce y=x n; y=x–n A y=X 1/ n;
- exponenciální funkce y=a x;
- logaritmická funkce y=log a x;
- goniometrické funkce y= hřích X, y= cos X, y=tg X A y=ctg X;
- inverzní goniometrické funkce y= arcsin X, y= arccos X, y=arctg X A y= arcctg X.
Ze základních elementárních funkcí lze získat nové funkce pomocí algebraických operací a superpozice funkcí.
Funkce sestavené ze základních elementárních funkcí pomocí konečného počtu algebraických operací a konečného počtu operací superpozice se nazývají základní.
Algebraický je funkce, ve které se s argumentem provádí konečný počet algebraických operací. Mezi algebraické funkce patří:
· celá racionální funkce (polynom nebo polynom)
· zlomkově-racionální funkce (poměr dvou polynomů)
· iracionální funkce (pokud operace s argumentem zahrnují extrakci kořene).
Je volána jakákoli nealgebraická funkce transcendentální. Transcendentální funkce zahrnují exponenciální, logaritmické, goniometrické a inverzní goniometrické funkce.
