Dokažte, že funkce je sudá. Jak identifikovat sudé a liché funkce
K tomu použijte milimetrový papír nebo grafickou kalkulačku. Vyberte libovolný počet hodnot nezávislých proměnných x (\displaystyle x) a zapojte je do funkce pro výpočet hodnot závislé proměnné y (\displaystyle y). Vyneste nalezené souřadnice bodů do souřadnicové roviny a poté tyto body spojte, abyste vytvořili graf funkce.
- Dosaďte do funkce kladné číselné hodnoty x (\displaystyle x) a odpovídající záporné číselné hodnoty. Například vzhledem k funkci . Dosaďte do něj následující hodnoty x (\displaystyle x):
- f (1) = 2 (1) 2 + 1 = 2 + 1 = 3 (\displaystyle f(1)=2(1)^(2)+1=2+1=3) (1, 3) (\displaystyle (1,3)).
- f (2) = 2 (2) 2 + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9 (\displaystyle f(2)=2(2)^(2)+1=2(4)+1 =8+1=9). Máme bod se souřadnicemi (2, 9) (\displaystyle (2,9)).
- f (− 1) = 2 (− 1) 2 + 1 = 2 + 1 = 3 (\displaystyle f(-1)=2(-1)^(2)+1=2+1=3). Máme bod se souřadnicemi (− 1 , 3) (\displaystyle (-1,3)).
- f (− 2) = 2 (− 2) 2 + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9 (\displaystyle f(-2)=2(-2)^(2)+1=2( 4)+1=8+1=9). Máme bod se souřadnicemi (− 2, 9) (\displaystyle (-2,9)).
Zkontrolujte, zda je graf funkce symetrický k ose Y. Symetrie znamená zrcadlový obraz grafu vzhledem k ose pořadnice. Pokud je část grafu napravo od osy Y (kladné hodnoty nezávislé proměnné) stejná jako část grafu nalevo od osy Y (záporné hodnoty nezávislé proměnné ), je graf symetrický podle osy Y Pokud je funkce symetrická podle osy y, je funkce sudá.
- Symetrii grafu můžete zkontrolovat pomocí jednotlivých bodů. Pokud je hodnota y (\displaystyle y) x (\displaystyle x), odpovídá hodnotě y (\displaystyle y), což odpovídá hodnotě − x (\displaystyle -x), funkce je sudá. V našem příkladu s funkcí f (x) = 2 x 2 + 1 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+1) obdrželi jsme následující souřadnice bodů:
- (1,3) a (-1,3)
- (2,9) a (-2,9)
- Všimněte si, že pro x=1 a x=-1 je závislá proměnná y=3 a pro x=2 a x=-2 je závislá proměnná y=9. Funkce je tedy sudá. Ve skutečnosti, abyste přesně určili formu funkce, musíte vzít v úvahu více než dva body, ale popsaná metoda je dobrou aproximací.
Zkontrolujte, zda je graf funkce symetrický k počátku. Počátek je bod se souřadnicemi (0,0). Symetrie o původu znamená, že kladná hodnota y (\displaystyle y)(s kladnou hodnotou x (\displaystyle x)) odpovídá záporné hodnotě y (\displaystyle y)(se zápornou hodnotou x (\displaystyle x)), a naopak. Liché funkce mají symetrii ohledně původu.
- Pokud dosadíme několik kladných a odpovídajících záporné hodnoty x (\displaystyle x), hodnoty y (\displaystyle y) se bude lišit ve znamení. Například vzhledem k funkci f (x) = x 3 + x (\displaystyle f(x)=x^(3)+x). Dosaďte do něj několik hodnot x (\displaystyle x):
- f (1) = 1 3 + 1 = 1 + 1 = 2 (\displaystyle f(1)=1^(3)+1=1+1=2). Dostali jsme bod se souřadnicemi (1,2).
- f (− 1) = (− 1) 3 + (− 1) = − 1 − 1 = − 2 (\displaystyle f(-1)=(-1)^(3)+(-1)=-1- 1=-2)
- f (2) = 2 3 + 2 = 8 + 2 = 10 (\displaystyle f(2)=2^(3)+2=8+2=10)
- f (− 2) = (− 2) 3 + (− 2) = − 8 − 2 = − 10 (\displaystyle f(-2)=(-2)^(3)+(-2)=-8- 2 = -10). Dostali jsme bod se souřadnicemi (-2,-10).
- Tedy f(x) = -f(-x), to znamená, že funkce je lichá.
Zkontrolujte, zda má graf funkce nějakou symetrii. Poslední pohled funkce je funkce, jejíž graf nemá symetrii, to znamená, že neexistuje žádný zrcadlový obraz jak vzhledem k ose pořadnice, tak vzhledem k počátku. Například vzhledem k funkci .
- Nahraďte do funkce několik kladných a odpovídajících záporných hodnot x (\displaystyle x):
- f (1) = 1 2 + 2 (1) + 1 = 1 + 2 + 1 = 4 (\displaystyle f(1)=1^(2)+2(1)+1=1+2+1=4 ). Získali jsme bod se souřadnicemi (1,4).
- f (− 1) = (− 1) 2 + 2 (− 1) + (− 1) = 1 − 2 − 1 = − 2 (\displaystyle f(-1)=(-1)^(2)+2 (-1)+(-1)=1-2-1=-2). Dostali jsme bod se souřadnicemi (-1,-2).
- f (2) = 2 2 + 2 (2) + 2 = 4 + 4 + 2 = 10 (\displaystyle f(2)=2^(2)+2(2)+2=4+4+2=10 ). Získali jsme bod se souřadnicemi (2,10).
- f (− 2) = (− 2) 2 + 2 (− 2) + (− 2) = 4 − 4 − 2 = − 2 (\displaystyle f(-2)=(-2)^(2)+2 (-2)+(-2)=4-4-2=-2). Dostali jsme bod se souřadnicemi (2,-2).
- Podle získaných výsledků neexistuje žádná symetrie. Hodnoty y (\displaystyle y) pro opačné hodnoty x (\displaystyle x) se neshodují a nejsou opačné. Funkce tedy není ani sudá, ani lichá.
- Vezměte prosím na vědomí, že funkce f (x) = x 2 + 2 x + 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+2x+1) lze napsat takto: f (x) = (x + 1) 2 (\displaystyle f(x)=(x+1)^(2)). Při zápisu v tomto tvaru se funkce objeví i proto, že existuje sudý exponent. Tento příklad však dokazuje, že typ funkce nelze rychle určit, pokud je nezávislá proměnná uzavřena v závorkách. V tomto případě musíte otevřít závorky a analyzovat získané exponenty.
Sudé a nerovnoměrné grafy dokonce funkci mají následující vlastnosti:
Je-li funkce sudá, pak je její graf symetrický podle ordináty. Pokud je funkce lichá, pak je její graf symetrický podle počátku.
Příklad. Sestrojte graf funkce \(y=\left|x \right|\).Řešení. Uvažujme funkci: \(f\left(x \right)=\left|x \right|\) a místo \(x \) dosaďte opačné \(-x \). V důsledku jednoduchých transformací dostaneme: $$f\left(-x \right)=\left|-x \right|=\left|x \right|=f\left(x \right)$$ V jiných slova, pokud argument nahradíte opačným znaménkem, funkce se nezmění.
To znamená, že tato funkce je sudá a její graf bude symetrický vzhledem k ose pořadnice (svislé ose). Graf této funkce je znázorněn na obrázku vlevo. To znamená, že při konstrukci grafu můžete kreslit pouze polovinu a druhou část (vlevo od svislé osy, kreslit symetricky k pravé části). Určením symetrie funkce před zahájením vykreslování jejího grafu můžete značně zjednodušit proces konstrukce nebo studia funkce. Pokud je obtížné provést kontrolu v obecné formě, můžete to udělat jednodušeji: dosadit v rovnici stejné hodnoty různá znamení. Například -5 a 5. Pokud se ukáže, že hodnoty funkce jsou stejné, pak můžeme doufat, že funkce bude sudá. Z matematického hlediska není tento přístup zcela správný, ale z praktického hlediska je pohodlný. Chcete-li zvýšit spolehlivost výsledku, můžete nahradit několik párů takových opačných hodnot.
Příklad. Sestrojte graf funkce \(y=x\left|x \right|\).
Řešení. Zkontrolujeme totéž jako v předchozím příkladu: $$f\left(-x \right)=x\left|-x \right|=-x\left|x \right|=-f\left(x \right ) $$ To znamená, že původní funkce je lichá (znaménko funkce se změnilo na opačné).
Závěr: funkce je symetrická k počátku. Můžete postavit pouze jednu polovinu a druhou nakreslit symetricky. Tento druh symetrie je obtížnější nakreslit. To znamená, že se na graf díváte z druhé strany listu a dokonce i vzhůru nohama. Nebo můžete udělat toto: vezměte nakreslenou součást a otočte ji kolem počátku o 180 stupňů proti směru hodinových ručiček.
Příklad. Sestrojte graf funkce \(y=x^3+x^2\).
Řešení. Proveďme stejnou kontrolu změny znaménka jako v předchozích dvou příkladech. $$f\left(-x \right)=\left(-x \right)^3+\left(-x \right)^2=-x^2+x^2$$ Výsledkem je že: $$f\left(-x \right)\not=f\left(x \right),f\left(-x \right)\not=-f\left(x \right)$$ A toto znamená, že funkce není ani sudá, ani lichá.
Závěr: funkce není symetrická ani vzhledem k počátku, ani ke středu souřadného systému. Stalo se to proto, že jde o součet dvou funkcí: sudé a liché. Stejná situace nastane, pokud odečtete dvě různé funkce. Ale násobení nebo dělení povede k jinému výsledku. Například součin sudé a liché funkce vytvoří lichou funkci. Nebo podíl dvou lichých čísel vede k sudé funkci.
Funkce je jedním z nejdůležitějších matematických pojmů. Funkce - proměnná závislost na z proměnné X, pokud každá hodnota X odpovídá jedné hodnotě na. Variabilní X nazývaná nezávislá proměnná nebo argument. Variabilní na nazývaná závislá proměnná. Všechny hodnoty nezávislé proměnné (proměnná X) tvoří definiční obor funkce. Všechny hodnoty, které nabývá závislá proměnná (proměnná y), tvoří rozsah hodnot funkce.
Funkční graf zavolejte množinu všech bodů souřadnicová rovina, jehož úsečky se rovnají hodnotám argumentu a pořadnice se rovnají odpovídajícím hodnotám funkce, to znamená, že hodnoty proměnné jsou vyneseny podél osy úsečky X a hodnoty proměnné jsou vyneseny podél svislé osy y. Chcete-li zobrazit funkci grafu, musíte znát vlastnosti funkce. Hlavní vlastnosti funkce budou diskutovány níže!
Pro vytvoření grafu funkce doporučujeme použít náš program - Grafické funkce online. Máte-li nějaké dotazy při studiu materiálů na této stránce, můžete je kdykoli položit na našem fóru. Také na fóru vám pomohou řešit problémy z matematiky, chemie, geometrie, teorie pravděpodobnosti a mnoha dalších předmětů!
Základní vlastnosti funkcí.
1) Funkční doména a funkční rozsah.
Doména funkce je množina všech platných hodnot argumentů X(proměnná X), pro které je funkce y = f(x) odhodlaný.
Rozsah funkce je množina všech reálných hodnot y, kterou funkce přijímá.
V elementární matematika funkce jsou studovány pouze na množině reálných čísel.
2) Funkční nuly.
Hodnoty X, při kterém y=0, volal funkce nuly. Toto jsou úsečky průsečíků funkčního grafu s osou Ox.
3) Intervaly konstantního znaménka funkce.
Intervaly konstantního znaménka funkce jsou takové intervaly hodnot X, na kterém funkce hodnoty y buď pouze pozitivní nebo pouze negativní jsou nazývány intervaly konstantního znaménka funkce.
4) Monotonie funkce.
Rostoucí funkce (v určitém intervalu) je funkce, ve které větší hodnota argumentu z tohoto intervalu odpovídá větší hodnotě funkce.
Klesající funkce (v určitém intervalu) je funkce, ve které větší hodnota argumentu z tohoto intervalu odpovídá menší hodnotě funkce.
5) Sudá (lichá) funkce.
Sudá funkce je funkce, jejíž definiční obor je symetrický vzhledem k počátku a pro libovolný X f(-x) = f(x). Graf sudé funkce je symetrický podle ordináty.
Lichá funkce je funkce, jejíž definiční obor je symetrický vzhledem k počátku a pro libovolný X z oblasti definice platí rovnost f(-x) = - f(x). Graf liché funkce je symetrický podle počátku.
Rovnoměrná funkce
1) Definiční obor je symetrický vzhledem k bodu (0; 0), tedy pokud bod A patří do oblasti definice, pak bodu -A také patří do oblasti definice.
2) Za jakoukoli hodnotu X f(-x)=f(x)
3) Graf sudé funkce je symetrický kolem osy Oy.
Zvláštní funkce má následující vlastnosti:
1) Definiční obor je symetrický k bodu (0; 0).
2) za jakoukoli hodnotu X, patřící do oblasti definice, rovnosti f(-x)=-f(x)
3) Graf liché funkce je symetrický vzhledem k počátku (0; 0).
Ne každá funkce je sudá nebo lichá. Funkce obecný pohled nejsou ani sudé, ani liché.
6) Omezené a neomezené funkce.
Funkce se nazývá omezená, pokud existuje kladné číslo M takové, že |f(x)| ≤ M pro všechny hodnoty x. Pokud takové číslo neexistuje, pak je funkce neomezená.
7) Periodicita funkce.
Funkce f(x) je periodická, pokud existuje nenulové číslo T takové, že pro libovolné x z definičního oboru funkce platí: f(x+T) = f(x). Tento nejmenší číslo se nazývá perioda funkce. Všechny goniometrické funkce jsou periodické. (Trigonometrické vzorce).
Funkce F se nazývá periodické, pokud existuje číslo takové, že pro libovolné X z oblasti definice rovnost f(x)=f(x-T)=f(x+T). T je období funkce.
Každá periodická funkce má nekonečný počet period. V praxi se obvykle uvažuje nejmenší kladné období.
Hodnoty periodické funkce se opakují po intervalu rovném periodě. To se používá při vytváření grafů.
Sudost a lichost funkce jsou jednou z jejích hlavních vlastností a parita zabírá působivou část kurzu školní matematiky. Do značné míry určuje chování funkce a značně usnadňuje konstrukci odpovídajícího grafu.
Určíme paritu funkce. Obecně řečeno, studovaná funkce je uvažována, i když pro opačné hodnoty nezávislé proměnné (x) umístěné v její definiční doméně se odpovídající hodnoty y (funkce) ukáží jako stejné.
Uveďme přísnější definici. Uvažujme nějakou funkci f (x), která je definována v definičním oboru D. Bude i když pro libovolný bod x umístěný v definičním oboru:
- -x (opačný bod) také leží v tomto rozsahu,
- f(-x) = f(x).
Z výše uvedené definice vyplývá podmínka nezbytná pro definiční obor takové funkce, totiž symetrie vzhledem k bodu O, který je počátkem souřadnic, protože pokud je nějaký bod b obsažen v definičním oboru sudé funkce funkce, pak odpovídající bod b také leží v této oblasti. Z výše uvedeného tedy vyplývá závěr: sudá funkce má tvar symetrický vzhledem k ose pořadnice (Oy).
Jak v praxi určit paritu funkce?
Nechť je specifikováno pomocí vzorce h(x)=11^x+11^(-x). Podle algoritmu, který vyplývá přímo z definice, nejprve prozkoumáme její doménu definice. Je zřejmé, že je definován pro všechny hodnoty argumentu, to znamená, že první podmínka je splněna.
Dalším krokem je nahrazení argumentu (x) opačnou hodnotou (-x).
Dostaneme:
h(-x) = 11^(-x) + 11^x.
Protože sčítání splňuje komutativní (komutativní) zákon, je zřejmé, že h(-x) = h(x) a daná funkční závislost je sudá.
Zkontrolujme paritu funkce h(x)=11^x-11^(-x). Podle stejného algoritmu dostaneme, že h(-x) = 11^(-x) -11^x. Vyjímáme mínus, nakonec máme
h(-x)=-(11^x-11^(-x))=- h(x). Proto je h(x) liché.
Mimochodem, je třeba připomenout, že existují funkce, které nelze klasifikovat podle těchto kritérií, nenazývají se ani sudé, ani liché.
I funkce mají řadu zajímavých vlastností:
- v důsledku přidání podobných funkcí dostanou sudou jedničku;
- jako výsledek odečtení takových funkcí získáme sudou jedničku;
- dokonce, také dokonce;
- jako výsledek vynásobení dvou takových funkcí se získá sudá;
- v důsledku násobení lichých a sudých funkcí se získá lichá;
- v důsledku dělení liché a sudé funkce se získá lichá;
- derivace takové funkce je lichá;
- Pokud odmocníte lichou funkci, dostanete sudou.
Paritu funkce lze použít k řešení rovnic.
K vyřešení rovnice jako g(x) = 0, kde je levá strana rovnice sudá funkce, bude stačit najít její řešení pro nezáporné hodnoty proměnné. Výsledné kořeny rovnice musí být kombinovány s protilehlá čísla. Jeden z nich podléhá ověření.
Toho se s úspěchem využívá i při řešení nestandardních problémů s parametrem.
Existuje například nějaká hodnota parametru a, pro kterou bude mít rovnice 2x^6-x^4-ax^2=1 tři kořeny?
Pokud vezmeme v úvahu, že proměnná vstupuje do rovnice v sudých mocninách, pak je jasné, že nahrazením x za - x se daná rovnice nezmění. Z toho vyplývá, že pokud je určité číslo jeho kořenem, pak je kořenem i opačné číslo. Závěr je zřejmý: kořeny rovnice, které se liší od nuly, jsou zahrnuty v množině jejích řešení ve „dvojicích“.
Je jasné, že samotné číslo není 0, to znamená, že počet kořenů takové rovnice může být pouze sudý a přirozeně pro žádnou hodnotu parametru nemůže mít tři kořeny.
Ale počet kořenů rovnice 2^x+ 2^(-x)=ax^4+2x^2+2 může být lichý a pro jakoukoli hodnotu parametru. Opravdu, je snadné zkontrolovat, že soubor kořenů daná rovnice obsahuje řešení ve dvojicích. Zkontrolujeme, zda 0 je kořen. Když to dosadíme do rovnice, dostaneme 2=2. Kromě „párových“ je tedy 0 také kořen, což dokazuje jejich liché číslo.
Které vám byly do té či oné míry povědomé. Bylo tam také poznamenáno, že zásoba funkčních vlastností bude postupně doplňována. O dvou nových nemovitostech a promluvime si v tomto odstavci.
Definice 1.
Funkce y = f(x), x є X je volána, i když pro libovolnou hodnotu x z množiny X platí rovnost f (-x) = f (x).
Definice 2.
Funkce y = f(x), x є X se nazývá lichá, pokud pro libovolnou hodnotu x z množiny X platí rovnost f (-x) = -f (x).
Dokažte, že y = x 4 je sudá funkce.
Řešení. Máme: f(x) = x 4, f(-x) = (-x) 4. Ale (-x) 4 = x 4. To znamená, že pro libovolné x platí rovnost f(-x) = f(x), tzn. funkce je sudá.
Podobně lze prokázat, že funkce y - x 2, y = x 6, y - x 8 jsou sudé.
Dokažte, že y = x 3 ~ lichá funkce.
Řešení. Máme: f(x) = x 3, f(-x) = (-x) 3. Ale (-x) 3 = -x 3. To znamená, že pro libovolné x platí rovnost f (-x) = -f (x), tzn. funkce je lichá.
Podobně lze prokázat, že funkce y = x, y = x 5, y = x 7 jsou liché.
O tom, že nové pojmy v matematice mají nejčastěji „pozemský“ původ, jsme se již nejednou přesvědčili, tj. dají se nějak vysvětlit. To je případ sudých i lichých funkcí. Viz: y - x 3, y = x 5, y = x 7 jsou liché funkce, zatímco y = x 2, y = x 4, y = x 6 jsou sudé funkce. A obecně pro libovolnou funkci ve tvaru y = x" (níže budeme konkrétně studovat tyto funkce), kde n je přirozené číslo, můžeme dojít k závěru: je-li n liché číslo, pak funkce y = x" je zvláštní; je-li n sudé číslo, pak je funkce y = xn sudá.
Existují také funkce, které nejsou ani sudé, ani liché. Taková je například funkce y = 2x + 3. Opravdu, f(1) = 5 a f (-1) = 1. Jak vidíte, zde tedy ani identita f(-x) = f (x), ani identitu f(-x) = -f(x).
Funkce tedy může být sudá, lichá nebo žádná.
Studium otázky zda danou funkci sudá nebo lichá se obvykle nazývá studium funkce pro paritu.
Definice 1 a 2 se týkají hodnot funkce v bodech x a -x. To předpokládá, že funkce je definována jak v bodě x, tak v bodě -x. To znamená, že bod -x patří do definičního oboru funkce současně s bodem x. Pokud číselná množina X spolu s každým svým prvkem x obsahuje i opačný prvek -x, pak se X nazývá symetrická množina. Řekněme, že (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) jsou symetrické množiny, zatímco )
