Souřadnicová rovina: co to je? Jak označovat body a konstruovat obrazce v souřadnicové rovině? Souřadnicová rovina
Pochopení souřadnicové roviny
Každý objekt (například dům, místo v hledišti, bod na mapě) má svou uspořádanou adresu (souřadnice), která má číselné nebo písmenné označení.
Matematici vyvinuli model, který umožňuje určit polohu předmětu a je tzv souřadnicová rovina.
Chcete-li sestrojit souřadnicovou rovinu, musíte nakreslit $2$ kolmé přímky, na jejichž konci jsou směry „doprava“ a „nahoru“ označeny šipkami. Na čáry se použijí dělení a průsečík čar je nulová značka pro obě měřítka.
Definice 1
Vodorovná čára se nazývá osa x a označuje se x a nazývá se svislá čára osa y a označuje se y.
Dvě kolmé osy x a y s dělením tvoří obdélníkový nebo karteziánský, souřadnicový systém, který navrhl francouzský filozof a matematik René Descartes.
Souřadnicová rovina
Souřadnice bodu
Bod na souřadnicové rovině je definován dvěma souřadnicemi.
Pro určení souřadnic bodu $A$ na souřadnicové rovině je třeba přes něj nakreslit rovné čáry, které budou rovnoběžné se souřadnicovými osami (na obrázku jsou zvýrazněny tečkovanou čarou). Průsečík přímky s osou x udává souřadnici $x$ bodu $A$ a průsečík s osou y udává souřadnici y bodu $A$. Při zápisu souřadnic bodu se nejprve zapíše souřadnice $x$ a poté souřadnice $y$.
Bod $A$ na obrázku má souřadnice $(3; 2)$ a bod $B (–1; 4)$.
Chcete-li vykreslit bod na rovině souřadnic, zakročte obrácené pořadí.
Konstrukce bodu na zadaných souřadnicích
Příklad 1
Na souřadnicové rovině sestrojte body $A(2;5)$ a $B(3; –1).$
Řešení.
Konstrukce bodu $A$:
- položte číslo $2$ na osu $x$ a nakreslete kolmou čáru;
- Na ose y vyneseme číslo $5$ a nakreslíme přímku kolmou na osu $y$. V průsečíku kolmých čar získáme bod $A$ se souřadnicemi $(2; 5)$.
Konstrukce bodu $B$:
- Nakreslete číslo $3$ na osu $x$ a nakreslete přímku kolmou na osu x;
- Na ose $y$ vyneseme číslo $(–1)$ a nakreslíme přímku kolmou na osu $y$. V průsečíku kolmých čar získáme bod $B$ se souřadnicemi $(3; –1)$.
Příklad 2
Sestrojte body na souřadnicové rovině s danými souřadnicemi $C (3; 0)$ a $D(0; 2)$.
Řešení.
Konstrukce bodu $C$:
- vložte číslo $3$ na osu $x$;
- souřadnice $y$ je rovna nule, což znamená, že bod $C$ bude ležet na ose $x$.
Konstrukce bodu $D$:
- umístit číslo $2$ na osu $y$;
- souřadnice $x$ je rovna nule, což znamená, že bod $D$ bude ležet na ose $y$.
Poznámka 1
Proto na souřadnici $x=0$ bude bod ležet na ose $y$ a na souřadnici $y=0$ bude bod ležet na ose $x$.
Příklad 3
Určete souřadnice bodů A, B, C, D.$
Řešení.
Určíme souřadnice bodu $A$. Za tímto účelem nakreslíme rovné čáry přes tento bod $2$, které budou rovnoběžné se souřadnicovými osami. Průsečík přímky s osou x udává souřadnici $x$, průsečík přímky s osou y souřadnici $y$. Dostaneme tedy, že bod $A (1; 3).$
Určíme souřadnice bodu $B$. Za tímto účelem nakreslíme rovné čáry přes tento bod $2$, které budou rovnoběžné se souřadnicovými osami. Průsečík přímky s osou x udává souřadnici $x$, průsečík přímky s osou y souřadnici $y$. Najdeme ten bod $B (–2; 4).$
Určíme souřadnice bodu $C$. Protože je umístěn na ose $y$, pak je souřadnice $x$ tohoto bodu nula. Souřadnice y je $–2$. Tedy bod $C (0; –2)$.
Určíme souřadnice bodu $D$. Protože je na ose $x$, pak je souřadnice $y$ nula. Souřadnice $x$ tohoto bodu je $–5$. Tedy bod $D (5; 0).$
Příklad 4
Sestrojte body $E(–3; –2), F(5; 0), G(3; 4), H(0; –4), O(0; 0).$
Řešení.
Konstrukce bodu $E$:
- položte číslo $(–3)$ na osu $x$ a nakreslete kolmou čáru;
- na ose $y$ vyneseme číslo $(–2)$ a nakreslíme kolmici k ose $y$;
- v průsečíku kolmých přímek získáme bod $E (–3; –2).$
Konstrukce bodu $F$:
- souřadnice $y=0$, což znamená, že bod leží na ose $x$;
- Vynesme číslo $5$ na osu $x$ a získáme bod $F(5; 0).$
Konstrukce bodu $G$:
- vložte číslo $3$ na osu $x$ a nakreslete kolmou čáru na osu $x$;
- na ose $y$ vyneseme číslo $4$ a nakreslíme kolmici na osu $y$;
- v průsečíku kolmých přímek získáme bod $G(3; 4).$
Konstrukce bodu $H$:
- souřadnice $x=0$, což znamená, že bod leží na ose $y$;
- Vynesme číslo $(–4)$ na osu $y$ a získáme bod $H(0;–4).$
Konstrukce bodu $O$:
- obě souřadnice bodu jsou rovny nule, což znamená, že bod leží současně jak na ose $y$, tak na ose $x$, je tedy průsečíkem obou os (počátek souřadnic).
Pochopení souřadnicové roviny
Každý objekt (například dům, místo v hledišti, bod na mapě) má svou uspořádanou adresu (souřadnice), která má číselné nebo písmenné označení.
Matematici vyvinuli model, který umožňuje určit polohu předmětu a je tzv souřadnicová rovina.
Chcete-li sestrojit souřadnicovou rovinu, musíte nakreslit $2$ kolmé přímky, na jejichž konci jsou směry „doprava“ a „nahoru“ označeny šipkami. Na čáry se použijí dělení a průsečík čar je nulová značka pro obě měřítka.
Definice 1
Vodorovná čára se nazývá osa x a označuje se x a nazývá se svislá čára osa y a označuje se y.
Dvě kolmé osy x a y s dělením tvoří obdélníkový nebo karteziánský, souřadnicový systém, který navrhl francouzský filozof a matematik René Descartes.
Souřadnicová rovina
Souřadnice bodu
Bod na souřadnicové rovině je definován dvěma souřadnicemi.
Pro určení souřadnic bodu $A$ na souřadnicové rovině je třeba přes něj nakreslit rovné čáry, které budou rovnoběžné se souřadnicovými osami (na obrázku jsou zvýrazněny tečkovanou čarou). Průsečík přímky s osou x udává souřadnici $x$ bodu $A$ a průsečík s osou y udává souřadnici y bodu $A$. Při zápisu souřadnic bodu se nejprve zapíše souřadnice $x$ a poté souřadnice $y$.
Bod $A$ na obrázku má souřadnice $(3; 2)$ a bod $B (–1; 4)$.
Chcete-li vykreslit bod na rovině souřadnic, postupujte v opačném pořadí.
Konstrukce bodu na zadaných souřadnicích
Příklad 1
Na souřadnicové rovině sestrojte body $A(2;5)$ a $B(3; –1).$
Řešení.
Konstrukce bodu $A$:
- položte číslo $2$ na osu $x$ a nakreslete kolmou čáru;
- Na ose y vyneseme číslo $5$ a nakreslíme přímku kolmou na osu $y$. V průsečíku kolmých čar získáme bod $A$ se souřadnicemi $(2; 5)$.
Konstrukce bodu $B$:
- Nakreslete číslo $3$ na osu $x$ a nakreslete přímku kolmou na osu x;
- Na ose $y$ vyneseme číslo $(–1)$ a nakreslíme přímku kolmou na osu $y$. V průsečíku kolmých čar získáme bod $B$ se souřadnicemi $(3; –1)$.
Příklad 2
Sestrojte body na souřadnicové rovině s danými souřadnicemi $C (3; 0)$ a $D(0; 2)$.
Řešení.
Konstrukce bodu $C$:
- vložte číslo $3$ na osu $x$;
- souřadnice $y$ je rovna nule, což znamená, že bod $C$ bude ležet na ose $x$.
Konstrukce bodu $D$:
- umístit číslo $2$ na osu $y$;
- souřadnice $x$ je rovna nule, což znamená, že bod $D$ bude ležet na ose $y$.
Poznámka 1
Proto na souřadnici $x=0$ bude bod ležet na ose $y$ a na souřadnici $y=0$ bude bod ležet na ose $x$.
Příklad 3
Určete souřadnice bodů A, B, C, D.$
Řešení.
Určíme souřadnice bodu $A$. Za tímto účelem nakreslíme rovné čáry přes tento bod $2$, které budou rovnoběžné se souřadnicovými osami. Průsečík přímky s osou x udává souřadnici $x$, průsečík přímky s osou y souřadnici $y$. Dostaneme tedy, že bod $A (1; 3).$
Určíme souřadnice bodu $B$. Za tímto účelem nakreslíme rovné čáry přes tento bod $2$, které budou rovnoběžné se souřadnicovými osami. Průsečík přímky s osou x udává souřadnici $x$, průsečík přímky s osou y souřadnici $y$. Najdeme ten bod $B (–2; 4).$
Určíme souřadnice bodu $C$. Protože je umístěn na ose $y$, pak je souřadnice $x$ tohoto bodu nula. Souřadnice y je $–2$. Tedy bod $C (0; –2)$.
Určíme souřadnice bodu $D$. Protože je na ose $x$, pak je souřadnice $y$ nula. Souřadnice $x$ tohoto bodu je $–5$. Tedy bod $D (5; 0).$
Příklad 4
Sestrojte body $E(–3; –2), F(5; 0), G(3; 4), H(0; –4), O(0; 0).$
Řešení.
Konstrukce bodu $E$:
- položte číslo $(–3)$ na osu $x$ a nakreslete kolmou čáru;
- na ose $y$ vyneseme číslo $(–2)$ a nakreslíme kolmici k ose $y$;
- v průsečíku kolmých přímek získáme bod $E (–3; –2).$
Konstrukce bodu $F$:
- souřadnice $y=0$, což znamená, že bod leží na ose $x$;
- Vynesme číslo $5$ na osu $x$ a získáme bod $F(5; 0).$
Konstrukce bodu $G$:
- vložte číslo $3$ na osu $x$ a nakreslete kolmou čáru na osu $x$;
- na ose $y$ vyneseme číslo $4$ a nakreslíme kolmici na osu $y$;
- v průsečíku kolmých přímek získáme bod $G(3; 4).$
Konstrukce bodu $H$:
- souřadnice $x=0$, což znamená, že bod leží na ose $y$;
- Vynesme číslo $(–4)$ na osu $y$ a získáme bod $H(0;–4).$
Konstrukce bodu $O$:
- obě souřadnice bodu jsou rovny nule, což znamená, že bod leží současně jak na ose $y$, tak na ose $x$, je tedy průsečíkem obou os (počátek souřadnic).
Sestrojíme-li dvě vzájemně kolmé číselné osy v rovině: VŮL A OY, pak budou voláni souřadnicové osy. Horizontální osa VŮL volal osa x(osa X), svislá osa OY - osa y(osa y).
Tečka Ó, stojící na průsečíku os, se nazývá původ. Je to nulový bod pro obě osy. Kladná čísla jsou znázorněny na ose x body vpravo a na ose pořadnice body nahoru od nulového bodu. Záporná čísla jsou znázorněny body vlevo a dolů od počátku souřadnic (body Ó). Rovina, na které leží souřadnicové osy, se nazývá souřadnicová rovina.
Souřadnicové osy rozdělují rovinu na čtyři části, tzv ve čtvrtích nebo kvadranty. Je obvyklé očíslovat tyto čtvrti římskými číslicemi v pořadí, v jakém jsou číslovány na výkresu.
Souřadnice bodu v rovině
Pokud vezmeme libovolný bod na souřadnicové rovině A a nakreslete z něj kolmice k souřadnicovým osám, pak budou základny kolmiček padat na dvě čísla. Číslo, ke kterému se nazývá svislá kolmice úsečka A. Číslo, ke kterému směřuje vodorovná kolmice - pořadnice bodu A.
Na výkrese úsečka bodu A se rovná 3 a pořadnice je 5.
Úsečka a ordináta se nazývají souřadnice daného bodu v rovině.
Souřadnice bodu jsou zapsány v závorkách vpravo od označení bodu. Nejprve se píše úsečka, za ní ordináta. Takže záznam A(3; 5) znamená, že úsečka bodu A se rovná třem a na pořadnici je pět.
Souřadnice bodu jsou čísla, která určují jeho polohu v rovině.
Pokud bod leží na ose x, je jeho pořadnice nula (například bod B se souřadnicemi -2 a 0). Pokud bod leží na ose pořadnice, pak je jeho úsečka rovna nule (např. C se souřadnicemi 0 a -4).
Původ - bod Ó- má úsečku i pořadnici rovnou nule: Ó (0; 0).
Tento systém se nazývá souřadnice obdélníkový nebo karteziánský.
§ 1 Souřadnicový systém: definice a způsob konstrukce
V této lekci se seznámíme s pojmy „souřadný systém“, „souřadnicová rovina“, „souřadnicové osy“ a naučíme se konstruovat body v rovině pomocí souřadnic.
Vezměme souřadnici x s počátečním bodem O, kladným směrem a jednotkovým segmentem.
Přes počátek souřadnic, bod O souřadnicové přímky x, nakreslíme další souřadnicovou přímku y, kolmou na x, nastavíme kladný směr nahoru, jednotkový segment je stejný. Tím jsme vytvořili souřadnicový systém.
Pojďme si dát definici:
Dvě vzájemně kolmé souřadnicové čáry protínající se v bodě, který je počátkem souřadnic každé z nich, tvoří souřadnicový systém.
§ 2 Souřadnicová osa a souřadnicová rovina
Nazývají se přímky, které tvoří souřadnicový systém souřadnicové osy, z nichž každý má svůj vlastní název: souřadnicová přímka x je osa úsečky, souřadnicová přímka y je osa pořadnice.
Rovina, na které je vybrán souřadnicový systém, se nazývá souřadnicová rovina.
Popsaný souřadný systém se nazývá obdélníkový. Často se mu říká kartézský souřadnicový systém na počest francouzského filozofa a matematika René Descarta.
Každý bod v souřadnicové rovině má dvě souřadnice, které lze určit vypuštěním kolmice z bodu na souřadnicové ose. Souřadnice bodu v rovině jsou dvojice čísel, z nichž první číslo je úsečka, druhé číslo je pořadnice. Úsečka ukazuje kolmici k ose x, pořadnice - kolmici k ose y.
Vyznačme si bod A na souřadnicové rovině a nakreslete z něj kolmice k osám souřadného systému.
Podél kolmice k ose x (osa x) určíme úsečku bodu A, rovná se 4, ordináta bodu A - podél kolmice k ose y (osa y) je 3. Souřadnice našeho bodu jsou 4 a 3. A (4;3). Souřadnice lze tedy nalézt pro jakýkoli bod na souřadnicové rovině.
§ 3 Konstrukce bodu na rovině
Jak sestrojit bod na rovině s danými souřadnicemi, tzn. Pomocí souřadnic bodu v rovině určete jeho polohu? V tomto případě provádíme kroky v opačném pořadí. Na souřadnicových osách najdeme body odpovídající daným souřadnicím, kterými vedeme přímky kolmé na osy x a y. Průsečík kolmiček bude požadovaný, tzn. bod s danými souřadnicemi.
Dokončeme úkol: sestrojte bod M (2;-3) na souřadnicové rovině.
Chcete-li to provést, najděte bod se souřadnicí 2 na ose x a tímto bodem nakreslete přímku kolmou na osu x. Na ose pořadnice najdeme bod se souřadnicí -3, přes něj vedeme přímku kolmou k ose y. Průsečíkem kolmých čar bude daný bod M.
Nyní se podívejme na několik speciálních případů.
Označme body A (0; 2), B (0; -3), C (0; 4) na souřadnicové rovině.
Úsečky těchto bodů jsou rovné 0. Obrázek ukazuje, že všechny body leží na ose pořadnice.
Body, jejichž úsečky se rovnají nule, tedy leží na ose pořadnice.
Prohodíme souřadnice těchto bodů.
Výsledkem bude A (2;0), B (-3;0) C (4; 0). V tomto případě jsou všechny souřadnice rovny 0 a body jsou na ose x.
To znamená, že body, jejichž pořadnice jsou rovné nule, leží na ose x.
Podívejme se na další dva případy.
Na rovině souřadnic označte body M (3; 2), N (3; -1), P (3; -4).
Je snadné si všimnout, že všechny úsečky bodů jsou stejné. Pokud jsou tyto body spojeny, dostanete přímku rovnoběžnou s osou pořadnice a kolmou na osu úsečky.
Závěr se nabízí sám: body, které mají stejnou úsečku, leží na stejné přímce, která je rovnoběžná s osou pořadnice a kolmá na osu úsečky.
Pokud prohodíte souřadnice bodů M, N, P, dostanete M (2; 3), N (-1; 3), P (-4; 3). Souřadnice bodů budou stejné. V tomto případě, pokud tyto body spojíte, získáte přímku rovnoběžnou s osou úsečky a kolmou k ose pořadnice.
Body se stejnou pořadnicí tedy leží na stejné přímce rovnoběžné s osou úsečky a kolmé k ose pořadnice.
V této lekci jste se seznámili s pojmy „souřadný systém“, „souřadnicová rovina“, „souřadnicové osy - osa úseček a osa pořadnic“. Naučili jsme se najít souřadnice bodu v souřadnicové rovině a naučili jsme se konstruovat body v rovině pomocí jejích souřadnic.
Seznam použité literatury:
- Matematika. 6. třída: plány lekcí pro učebnici I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich // autor-kompilátor L.A. Topilina. – Mnemosyne, 2009.
- Matematika. 6. ročník: učebnice pro studenty všeobecně vzdělávacích institucí. I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich - M.: Mnemosyne, 2013.
- Matematika. 6. ročník: učebnice pro všeobecně vzdělávací instituce/G.V. Dorofejev, I.F. Sharygin, S.B. Suvorov a další/editoval G.V. Dorofeeva, I.F. Sharygina; Ruská akademie věd, Ruská akademie vzdělávání. - M.: „Osvícení“, 2010
- Příručka matematiky - http://lyudmilanik.com.ua
- Příručka pro studenty středních škol http://shkolo.ru
Na povrchu. Nechť jedno je x, druhé y. A nechť jsou tyto přímky vzájemně kolmé (tedy protínají se v pravém úhlu). Navíc bod jejich průsečíku bude počátkem souřadnic pro obě přímky a jednotkový segment je stejný (obr. 1).
Tak jsme dostali pravoúhlý souřadnicový systém a naše rovina se stala rovinou souřadnic. Přímky x a y se nazývají souřadnicové osy. Navíc osa x je osa úsečky a osa y je osa pořadnice. Taková rovina je obvykle označena názvem os a referenčním bodem - xOy. Pravoúhlý souřadnicový systém se také nazývá Kartézský souřadnicový systém, protože francouzský matematik a filozof Rene Descartes ji poprvé začal aktivně používat.
Nazývají se pravé úhly tvořené přímkami x a y souřadnicové úhly. Každý roh má své vlastní číslo, jak je znázorněno na obr. 2.
Takže, když jsme mluvili o souřadnicové čáře, každý bod na této čáře měl jednu souřadnici. Nyní, když mluvíme o souřadnicové rovině, pak každý bod této roviny již bude mít dvě souřadnice. Jedna odpovídá přímce x (tato souřadnice se nazývá úsečka), druhá odpovídá přímce y (tato souřadnice se nazývá ordinovat). Zapisuje se takto: M(x;y), kde x je úsečka a y je pořadnice. Čtěte jako: "Bod M se souřadnicemi x, y."
Jak určit souřadnice bodu v rovině?
Nyní víme, že každý bod v rovině má dvě souřadnice. Abychom zjistili jeho souřadnice, stačí protáhnout tímto bodem dvě přímky, kolmé na souřadnicové osy. Průsečíky těchto čar se souřadnicovými osami budou požadované souřadnice. Tak například na Obr. 3 jsme určili, že souřadnice bodu M jsou 5 a 3.
Jak sestrojit bod v rovině pomocí jeho souřadnic?
Stává se také, že už známe souřadnice bodu v rovině. A musíme najít jeho umístění. Řekněme, že souřadnice našeho bodu jsou (-2;5). To znamená, že úsečka je rovna -2 a ordináta je rovna 5. Vezměte bod na přímce x (osa úsečky) se souřadnicí -2 a nakreslete jím přímku a rovnoběžnou s osou y. Všimněte si, že jakýkoli bod na této přímce bude mít úsečku rovnou -2. Nyní najdeme bod se souřadnicí 5 na ose y (ose pořadnice) a nakreslíme jím přímku b rovnoběžnou s osou x. Všimněte si, že jakýkoli bod na této přímce bude mít pořadnici rovnou 5. Na průsečíku přímek aab bude bod se souřadnicemi (-2;5). Označme jej písmenem P (obr. 4).
Dodejme také, že přímka a, jejíž všechny body mají úsečku -2, je dána rovnicí
x = -2 nebo že x = -2 je rovnice přímky a. Pro usnadnění můžeme říci nikoli „přímka, která je dána rovnicí x = -2“, ale jednoduše „přímka x = -2“. Ve skutečnosti pro jakýkoli bod na přímce a platí rovnost x = -2. A přímka b, jejíž všechny body mají pořadnici 5, je zase dána rovnicí y = 5 nebo že y = 5 je rovnicí přímky b.
