Jak budou ubikace umístěny na souřadnicové ose. Souřadnicová rovina: co to je? Jak označovat body a konstruovat obrazce v souřadnicové rovině
Pokud umístíte kroužek s číslem jednotky na souřadnicová rovina, pak lze zjistit souřadnice jeho bodů. Číselná kružnice je umístěna tak, aby její střed souhlasil s počátkem roviny, tj. s bodem O (0; 0).
Obvykle jsou na kroužku s číslem jednotky vyznačeny body odpovídající počátku kruhu
- čtvrtiny - 0 nebo 2π, π/2, π, (2π)/3,
- střední čtvrtiny - π/4, (3π)/4, (5π)/4, (7π)/4,
- třetiny čtvrtin - π/6, π/3, (2π)/3, (5π)/6, (7π)/6, (4π)/3, (5π)/3, (11π)/6.
Na souřadnicové rovině s výše uvedeným umístěním jednotkové kružnice můžete najít souřadnice odpovídající těmto bodům kružnice.
Souřadnice konců čtvrtí lze velmi snadno najít. V bodě 0 kružnice je souřadnice x 1 a souřadnice y 0. Můžeme ji označit jako A (0) = A (1; 0).
Konec prvního čtvrtletí bude umístěn na kladné ose y. Proto B (π/2) = B (0; 1).
Konec druhého čtvrtletí je na záporné poloose: C (π) = C (-1; 0).
Konec třetí čtvrtiny: D ((2π)/3) = D (0; -1).
Jak ale zjistit souřadnice středů čtvrtí? K tomu staví pravoúhlý trojuhelník. Jeho přepona je úsek od středu kruhu (nebo počátku) do středu čtvrtkruhu. Toto je poloměr kruhu. Protože kružnice je jednotková, přepona je rovna 1. Dále nakreslete kolmici z bodu na kružnici k libovolné ose. Nechť je směrem k ose x. Výsledkem je pravoúhlý trojúhelník, jehož délky ramen jsou souřadnicemi x a y bodu na kružnici.
Čtvrtkruh je 90º. A půl čtvrtiny je 45º. Vzhledem k tomu, že přepona je nakreslena ke středu kvadrantu, úhel mezi přeponou a nohou vyčnívající z počátku je 45º. Ale součet úhlů jakéhokoli trojúhelníku je 180º. V důsledku toho úhel mezi přeponou a druhou nohou také zůstává 45º. Výsledkem je rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník.
Z Pythagorovy věty dostaneme rovnici x 2 + y 2 = 1 2. Protože x = y a 1 2 = 1, rovnice se zjednoduší na x 2 + x 2 = 1. Po jejím vyřešení dostaneme x = √½ = 1/√2 = √2/2.
Tedy souřadnice bodu M 1 (π/4) = M 1 (√2/2; √2/2).
V souřadnicích bodů středů ostatních čtvrtí se změní pouze znaménka a moduly hodnot zůstanou stejné, protože pravoúhlý trojúhelník bude pouze otočen. Dostaneme:
M 2 ((3π)/4) = M 2 (-√2/2; √2/2)
M3 ((5π)/4) = M3 (-√2/2; -√2/2)
M 4 ((7π)/4) = M 4 (√2/2; -√2/2)
Při určování souřadnic třetích částí čtvrtí kružnice se sestrojuje i pravoúhlý trojúhelník. Pokud vezmeme bod π/6 a nakreslíme kolmici k ose x, pak úhel mezi přeponou a nohou ležící na ose x bude 30º. Je známo, že noha ležící naproti úhlu 30º se rovná polovině přepony. To znamená, že jsme našli souřadnici y, která se rovná ½.
Když známe délky přepony a jedné z větví, pomocí Pythagorovy věty najdeme druhou větu:
x 2 + (½) 2 = 1 2
x 2 = 1 - ¼ = ¾
x = √3/2
Tedy Ti (π/6) = Ti (√3/2; ½).
Pro bod druhé třetiny první čtvrtiny (π/3) je lepší nakreslit kolmici k ose k ose y. Potom bude úhel v počátku také 30º. Zde bude souřadnice x rovna ½, respektive y, √3/2: T 2 (π/3) = T 2 (½; √3/2).
U ostatních bodů třetí čtvrtiny se změní znaménka a pořadí hodnot souřadnic. Všechny body, které jsou blíže k ose x, budou mít hodnotu souřadnic modulu x rovnou √3/2. Body, které jsou blíže k ose y, budou mít hodnotu modulu y rovnou √3/2.
T3 ((2π)/3) = T3 (-½; √3/2)
T4 ((5π)/6) = T4 (-√3/2; ½)
T5 ((7π)/6) = T5 (-√3/2; -½)
T6 ((4π)/3) = T6 (-½; -√3/2)
T7 ((5π)/3) = T7 (½; -√3/2)
T8 ((11π)/6) = T8 (√3/2; -½)
V Každodenní životČasto můžete slyšet větu: „Nechte mi své souřadnice. V reakci na to člověk obvykle zanechá svou adresu nebo telefonní číslo, tedy údaje, podle kterých ho lze najít.
Souřadnice mohou být označeny různými sadami čísel nebo písmen.
Například číslo auta jsou souřadnice, protože podle čísla auta můžete určit, z jakého města je a kdo je jeho vlastník.
Souřadnice- jedná se o soubor dat, ze kterých se určuje poloha objektu.
Příklady souřadnic jsou: číslo vozu a sedadla ve vlaku, zapnutá zeměpisná šířka a délka zeměpisná mapa, zaznamenávání pozice figurky na šachovnici, pozice bodu na číselné ose atp.
Kdykoli podle určitých pravidel jednoznačně označíme objekt sadou písmen, číslic nebo jiných symbolů, uvedeme souřadnice objektu.
Kartézský souřadnicový systém
Francouzský matematik René Descartes (1596 - 1650) navrhl určit polohu bodu v rovině pomocí dvou souřadnic.
K nalezení souřadnic potřebujete orientační body, ze kterých budete počítat.
- V rovině budou jako referenční body sloužit dvě číselné osy. Ve výkresu se první osa obvykle kreslí vodorovně, nazývá se osa ABSCISS a je označena písmenem X a osa Ox je zapsána. Kladný směr na ose x se volí zleva doprava a zobrazuje se šipkou.
- Druhá osa se kreslí svisle, nazývá se osa ORDINATE a je označena písmenem Y, osa Oy se píše. Kladný směr na svislé ose se volí zdola nahoru a je označen šipkou.
Osy jsou vzájemně kolmé (tj. úhel mezi nimi je 90°) a protínají se v bodě označeném O. Bod O je počátkem každé z os.
Souřadnicový systém- jedná se o dvě vzájemně kolmé souřadnicové čáry protínající se v bodě, který je pro každou z nich referenčním počátkem.
Souřadnicové osy jsou přímky, které tvoří souřadnicový systém.
Abscisa osy(Ox) - vodorovná osa.
osa Y(Oy) - vertikální osa.
Souřadnicová rovina je rovina, ve které je konstruován souřadnicový systém. Rovina je označena jako x0y.
Upozorňujeme na volbu délky jednotlivých segmentů podél os.
Čísla udávající číselné hodnoty na osách mohou být umístěny jak vpravo, tak vlevo od osy Oy. Čísla na ose Ox jsou obvykle zapsána pod osou.
Typicky se jednotkový segment na ose 0y rovná jednotkovému segmentu na ose 0x. Ale jsou chvíle, kdy si nejsou rovni.
Souřadnicové osy rozdělují rovinu na 4 úhly, které se nazývají souřadnicové čtvrti. Čtvrtina tvořená kladnými poloosami (pravý horní roh) je považována za první (I).
Počítáme čtvrtiny (neboli souřadnicové úhly) proti směru hodinových ručiček.
Pravoúhlý souřadnicový systém v rovině je definován dvěma navzájem kolmými přímkami. Přímky se nazývají souřadnicové osy (nebo souřadnicové osy). Průsečík těchto čar se nazývá počátek a je označen písmenem O.
Obvykle je jedna z čar vodorovná, druhá svislá. Vodorovná čára je označena jako osa x (nebo Ox) a nazývá se osa úsečky, svislá osa je osa y (Oy), nazývaná osa pořadnice. Celý souřadnicový systém je označen xOy.
Bod O rozděluje každou z os na dvě poloosy, z nichž jedna je považována za pozitivní (označená šipkou), druhá - negativní.
Každému bodu F roviny je přiřazena dvojice čísel (x;y) - jeho souřadnice.
Souřadnice x se nazývá úsečka. Rovná se Oxovi s příslušným znaménkem.
Souřadnice y se nazývá pořadnice a je rovna vzdálenosti od bodu F k ose Oy (s příslušným znaménkem).
Vzdálenosti náprav se obvykle (ale ne vždy) měří ve stejné jednotce délky.
Body umístěné napravo od osy y mají kladné úsečky. Body, které leží nalevo od svislé osy, mají záporné úsečky. Pro jakýkoli bod ležící na ose Oy je jeho souřadnice x nulová.
Body s kladnou souřadnicí leží nad osou x a body se zápornou souřadnicí níže. Pokud bod leží na ose Ox, jeho souřadnice y je nulová.
Souřadnicové osy rozdělují rovinu na čtyři části, které se nazývají souřadnicové čtvrtiny (neboli souřadnicové úhly či kvadranty).
1 souřadnicová čtvrtina umístěný v pravém horním rohu souřadnicové roviny xOy. Obě souřadnice bodů nacházející se v první čtvrtině jsou kladné.
Přechod z jedné čtvrtiny do druhé se provádí proti směru hodinových ručiček.
2 souřadnicová čtvrtina se nachází v levém horním rohu. Body ležící ve druhé čtvrtině mají zápornou úsečku a kladnou osu.
3 souřadnicová čtvrtina leží v levém dolním kvadrantu roviny xOy. Obě souřadnice bodů patřících do III souřadnicového úhlu jsou záporné.
4 souřadnicová čtvrtina je pravý dolní roh souřadnicové roviny. Jakýkoli bod z IV čtvrtletí má kladnou první souřadnici a zápornou druhou.
Příklad umístění bodů v pravoúhlém souřadnicovém systému:
Matematika je poměrně složitá věda. Při jejím studiu musíte nejen řešit příklady a problémy, ale také pracovat s různými tvary a dokonce i rovinami. Jedním z nejpoužívanějších v matematice je souřadnicový systém v rovině. Pořádná práce Děti se s ní učí déle než jeden rok. Proto je důležité vědět, co to je a jak s tím správně pracovat.
Pojďme zjistit, co to je tento systém, jaké akce lze s jeho pomocí provádět a také se naučit jeho hlavní vlastnosti a vlastnosti.
Definice pojmu
Souřadnicová rovina je rovina, na které je specifický systém souřadnice Taková rovina je definována dvěma přímkami protínajícími se v pravém úhlu. V průsečíku těchto čar je počátek souřadnic. Každý bod na souřadnicové rovině je určen dvojicí čísel nazývaných souřadnice.
Ve školním matematickém kurzu musí školáci poměrně úzce spolupracovat se souřadnicovým systémem - sestrojovat na něm obrazce a body, určovat, do které roviny konkrétní souřadnice patří, stejně jako určovat souřadnice bodu a psát či pojmenovávat. Proto si promluvme podrobněji o všech vlastnostech souřadnic. Nejprve se však dotkneme historie stvoření a pak si povíme, jak pracovat na souřadnicové rovině.
Historický odkaz
Myšlenky na vytvoření souřadnicového systému existovaly již v době Ptolemaia. Už tehdy astronomové a matematici přemýšleli, jak se naučit nastavit polohu bodu v rovině. Bohužel v té době neexistoval žádný nám známý souřadnicový systém a vědci museli používat jiné systémy.
Zpočátku určovali body pomocí zeměpisné šířky a délky. Na dlouhou dobu to byla jedna z nejpoužívanějších metod vkládání té či oné informace na mapu. Ale v roce 1637 vytvořil René Descartes vlastní systém souřadnice, později pojmenované po „karteziánských“.
Již koncem 17. stol. Pojem „souřadnicová rovina“ se ve světě matematiky široce používá. Navzdory skutečnosti, že od vytvoření tohoto systému uplynulo několik století, je stále široce používán v matematice a dokonce i v životě.
Příklady souřadnicové roviny
Než budeme mluvit o teorii, uveďme několik názorné příklady souřadnicovou rovinu, abyste si ji mohli představit. Souřadnicový systém se primárně používá v šachu. Na desce má každý čtverec své souřadnice – jedna souřadnice je abecední, druhá je digitální. S jeho pomocí můžete určit pozici konkrétní figurky na šachovnici.
Druhým nejvýraznějším příkladem je hra milovaná mnoha “ Námořní bitva" Pamatujte si, jak při hraní pojmenujete souřadnice, například B3, čímž přesně označíte, kam míříte. Zároveň při umísťování lodí určujete body na souřadnicové rovině.
Tento souřadnicový systém je široce používán nejen v matematice a logických hrách, ale také ve vojenských záležitostech, astronomii, fyzice a mnoha dalších vědách.
Souřadnicové osy
Jak již bylo zmíněno, v souřadnicovém systému jsou dvě osy. Pojďme si o nich něco říct, protože mají značný význam.
První osa je úsečka - vodorovná. Označuje se jako ( Vůl). Druhá osa je pořadnice, která prochází svisle referenčním bodem a je označena jako ( Oj). Právě tyto dvě osy tvoří souřadnicový systém, rozdělující rovinu na čtyři čtvrtiny. Počátek se nachází v průsečíku těchto dvou os a nabývá hodnoty 0 . Pouze pokud je rovina tvořena dvěma osami, které se kolmo protínají a mají vztažný bod, jde o rovinu souřadnic.
Všimněte si také, že každá z os má svůj vlastní směr. Obvykle je při konstrukci souřadnicového systému zvykem označovat směr osy ve formě šipky. Při konstrukci souřadnicové roviny je navíc každá z os podepsána.
Čtvrtletí
Nyní si řekněme pár slov o takovém konceptu, jako jsou čtvrtiny souřadnicové roviny. Rovina je rozdělena na čtyři čtvrtiny dvěma osami. Každá z nich má své vlastní číslo a letadla jsou číslována proti směru hodinových ručiček.
Každá ze čtvrtí má své vlastní charakteristiky. Takže v první čtvrtině jsou úsečka i osa kladné, ve druhé čtvrtině záporná úsečka, kladná osa, ve třetí záporná úsečka i osa, ve čtvrté je kladná úsečka a záporná .
Když si tyto vlastnosti zapamatujete, snadno určíte, do které čtvrti konkrétní bod patří. Kromě toho vám tyto informace mohou být užitečné, pokud musíte provádět výpočty pomocí kartézského systému.
Práce se souřadnicovou rovinou
Když jsme pochopili pojem letadla a mluvili o jeho čtvrtích, můžeme přejít k takovému problému, jako je práce s tímto systémem, a také mluvit o tom, jak na něj umístit body a souřadnice obrazců. V souřadnicové rovině to není tak těžké, jak by se na první pohled mohlo zdát.
Nejprve je postaven samotný systém, jsou na něj aplikována všechna důležitá označení. Poté pracujeme přímo s body nebo tvary. Navíc i při konstrukci obrazců se body nejprve kreslí do roviny a poté se kreslí obrazce.
Pravidla pro stavbu letadla
Pokud se rozhodnete začít označovat tvary a body na papíře, budete potřebovat souřadnicovou rovinu. Jsou na něm vyneseny souřadnice bodů. Ke konstrukci souřadnicové roviny potřebujete pouze pravítko a pero nebo tužku. Nejprve se nakreslí vodorovná osa x, poté se nakreslí svislá osa. Je důležité si uvědomit, že osy se protínají v pravém úhlu.
další povinná položka je značení. Na každé z os v obou směrech jsou označeny a označeny segmenty jednotek. Děje se tak proto, abyste pak mohli s letadlem pracovat maximálně pohodlně.
Označte bod
Nyní si povíme, jak vykreslit souřadnice bodů v souřadnicové rovině. Toto jsou základy, které potřebujete znát, abyste mohli úspěšně umístit různé tvary do roviny a dokonce označit rovnice.
Při konstrukci bodů byste si měli pamatovat, jak jsou správně zapsány jejich souřadnice. Obvykle se tedy při určování bodu píší dvě čísla v závorkách. První číslice označuje souřadnici bodu podél osy x, druhá - podél osy pořadnice.
Bod by měl být postaven tímto způsobem. První značka na ose Vůl zadaný bod, pak označte bod na ose Oj. Dále z těchto označení nakreslete pomyslné čáry a najděte místo, kde se protínají – to bude daný bod.
Stačí jej označit a podepsat. Jak vidíte, vše je docela jednoduché a nevyžaduje žádné speciální dovednosti.
Umístěte figurku
Nyní přejděme k problematice konstrukce obrazců v souřadnicové rovině. Abyste mohli sestrojit jakýkoli obrazec v souřadnicové rovině, měli byste vědět, jak na něj umístit body. Pokud víte, jak na to, není umístění figurky do letadla tak obtížné.
Nejprve budete potřebovat souřadnice bodů obrázku. Právě podle nich použijeme ty, které jste si vybrali, na náš souřadnicový systém Uvažujme o aplikaci obdélníku, trojúhelníku a kružnice.
Začněme obdélníkem. Aplikuje se celkem snadno. Nejprve jsou na rovině vyznačeny čtyři body označující rohy obdélníku. Poté jsou všechny body postupně vzájemně spojeny.
Kreslení trojúhelníku není jiné. Jediná věc je, že má tři úhly, což znamená, že na rovině jsou vyznačeny tři body označující její vrcholy.
Pokud jde o kružnici, měli byste znát souřadnice dvou bodů. První bod je střed kružnice, druhý je bod udávající její poloměr. Tyto dva body jsou vyneseny do roviny. Pak vezměte kompas a změřte vzdálenost mezi dvěma body. Hrot kompasu je umístěn v bodě označujícím střed a je popsána kružnice.
Jak vidíte, ani zde není nic složitého, hlavní je, abyste měli vždy po ruce pravítko a kružítko.
Nyní víte, jak vykreslit souřadnice obrazců. Udělat to na souřadnicové rovině není tak těžké, jak by se mohlo na první pohled zdát.
závěry
Podívali jsme se tedy na jeden z nejzajímavějších a nejzákladnějších pojmů pro matematiku, se kterým se musí každý školák potýkat.
Zjistili jsme, že souřadnicová rovina je rovina tvořená průsečíkem dvou os. S jeho pomocí můžete nastavovat souřadnice bodů a kreslit na něj obrazce. Letadlo je rozděleno na čtvrtiny, z nichž každá má své vlastní charakteristiky.
Hlavní dovedností, kterou je třeba při práci se souřadnicovou rovinou rozvíjet, je schopnost na ni správně vykreslovat dané body. K tomu potřebujete vědět správné umístění osy, vlastnosti čtvrtí, jakož i pravidla, kterými se uvádějí souřadnice bodů.
Doufáme, že informace, které jsme předložili, byly dostupné a srozumitelné a byly pro vás užitečné a pomohly vám lépe porozumět tomuto tématu.
