Najděte primitivní funkci 2x 5 3x 2. Primitivní funkce a obecný tvar
Jednou z operací derivace je nalezení derivace (diferenciálu) a její aplikace při studiu funkcí.
Neméně důležitý je i inverzní problém. Je-li známo chování funkce v okolí každého bodu její definice, jak pak lze rekonstruovat funkci jako celek, tzn. v celém rozsahu jeho definice. Tento problém je předmětem studia tzv. integrálního počtu.
Integrace je inverzní akce diferenciace. Nebo obnovení funkce f(x) z dané derivace f`(x). Latinské slovo „integro“ znamená obnovení.
Příklad č. 1.
Nechť (f(x))' = 3x 2. Pojďme najít f(x).
Řešení:
Na základě pravidla diferenciace není těžké uhodnout, že f(x) = x 3, protože
(x 3)’ = 3x 2 Můžete si však snadno všimnout, že f(x) není nalezeno jednoznačně. Jako f(x) můžete vzít f(x)= x 3 +1 f(x)= x 3 +2 f(x)= x 3 -3 atd.
Protože derivace každého z nich je 3x 2. (Derivace konstanty je 0). Všechny tyto funkce se od sebe liší konstantním členem. Proto společné rozhodnutíúlohu lze zapsat ve tvaru f(x)= x 3 +C, kde C je libovolné konstantní reálné číslo.
Zavolá se kterákoli z nalezených funkcí f(x). primitivní pro funkci F`(x)= 3x 2
Definice.
Funkce F(x) se nazývá primitivní pro funkci f(x) na daném intervalu J, jestliže pro všechna x z tohoto intervalu F`(x)= f(x). Funkce F(x)=x 3 je tedy primitivní pro f(x)=3x 2 na (- ∞ ; ∞). Protože pro všechna x ~R platí rovnost: F`(x)=(x 3)`=3x 2
Jak jsme si již všimli, tato funkce má nekonečné množství primitivních funkcí.
Příklad č. 2.
Funkce je primitivní pro všechny na intervalu (0; +∞), protože pro všechna h z tohoto intervalu platí rovnost.
Problém integrace je danou funkci najít všechny jeho primitivní deriváty. Při řešení tohoto problému důležitá role hraje následující prohlášení:
Známka stálosti funkce. Jestliže F"(x) = 0 na nějakém intervalu I, pak je funkce F na tomto intervalu konstantní.
Důkaz.
Opravme nějaké x 0 z intervalu I. Potom pro libovolné číslo x z takového intervalu můžeme pomocí Lagrangeova vzorce označit číslo c obsažené mezi x a x 0 takové, že
F(x) - F(x 0) = F"(c)(x-x 0).
Podle podmínky je F' (c) = 0, protože c ∈1, tedy
F(x) - F(x 0) = 0.
Takže pro všechna x z intervalu I
to znamená, že funkce F udržuje konstantní hodnotu.
Všechny primitivní funkce f lze zapsat pomocí jednoho vzorce, který se nazývá obecná forma primitivních funkcí pro funkci F. Následující věta je pravdivá ( hlavní vlastnost primitivních derivátů):
Teorém. Jakákoli primitivní funkce pro funkci f na intervalu I může být zapsána ve tvaru
F(x) + C, (1) kde F (x) je jedna z primitivních funkcí pro funkci f (x) na intervalu I a C je libovolná konstanta.
Vysvětleme toto tvrzení, ve kterém jsou stručně formulovány dvě vlastnosti primitivního derivátu:
- Ať dáme do výrazu (1) místo C jakékoli číslo, dostaneme primitivní derivaci pro f na intervalu I;
- bez ohledu na to, jaká primitivní derivace Ф pro f na intervalu I se vezme, je možné vybrat číslo C takové, že pro všechna x z intervalu I je rovnost
Důkaz.
- Podle podmínky je funkce F primitivní pro f na intervalu I. Proto F"(x)= f (x) pro libovolné x∈1, tedy (F(x) + C)" = F"(x) + C"= f(x)+0=f(x), tj. F(x) + C je primitivní funkce pro funkci f.
- Nechť Ф (x) je jedna z primitivních funkcí pro funkci f na stejném intervalu I, tj. Ф "(x) = f (х) pro všechna x∈I.
Potom (Ф(x) - F (x))" = Ф"(x)-F' (x) = f(x)-f(x)=0.
Odtud plyne c. mocnina znaménka stálosti funkce, že rozdíl Ф(х) - F(х) je funkce, která nabývá nějakou konstantní hodnotu C na intervalu I.
Pro všechna x z intervalu I tedy platí rovnost Ф(x) - F(x)=С, což je potřeba dokázat. Hlavní vlastnost primitivního prvku může mít geometrický význam: grafy libovolných dvou primitivních funkcí pro funkci f získáme navzájem paralelním posunem podél osy Oy
Otázky pro poznámky
Funkce F(x) je primitivní funkcí funkce f(x). Najděte F(1), pokud f(x)=9x2 - 6x + 1 a F(-1) = 2.
Najděte všechny primitivní funkce pro funkci
Pro funkci (x) = cos2 * sin2x najděte primitivní derivaci F(x), pokud F(0) = 0.
Pro funkci najděte primitivní prvek, jehož graf prochází bodem
Viděli jsme, že derivace má četná použití: derivace je rychlost pohybu (nebo obecněji rychlost jakéhokoli procesu); derivace je sklon tečny ke grafu funkce; pomocí derivace můžete zkoumat funkci na monotónnost a extrémy; derivace pomáhá řešit optimalizační problémy.
Ale v reálný život Musíme také řešit inverzní problémy: například spolu s problémem zjištění rychlosti podle známého pohybového zákona narazíme také na problém obnovení pohybového zákona podle známá rychlost. Podívejme se na jeden z těchto problémů.
Příklad 1. Hmotný bod se pohybuje přímočaře, jeho rychlost v čase t je dána vzorcem u = tg. Najděte zákon pohybu.
Řešení. Nechť s = s(t) je požadovaný pohybový zákon. Je známo, že s"(t) = u"(t). To znamená, že k vyřešení problému si musíte vybrat funkce s = s(t), jehož derivace je rovna tg. To není těžké uhodnout
Ihned poznamenejme, že příklad je vyřešen správně, ale neúplně. Zjistili jsme, že ve skutečnosti má problém nekonečně mnoho řešení: jakoukoli funkci formy 
libovolná konstanta může sloužit jako zákon pohybu, protože
Aby byl úkol konkrétnější, potřebovali jsme opravit výchozí situaci: označit souřadnici pohybujícího se bodu v určitém okamžiku, například v t=0. Pokud řekněme s(0) = s 0, pak z rovnosti dostaneme s(0) = 0 + C, tj. S 0 = C. Nyní je pohybový zákon jednoznačně definován:
V matematice se vzájemně inverzním operacím dávají různá jména a vynalézají se speciální zápisy: například kvadratura (x 2) a extrahování odmocnina sinus(sinх) a arcsinus(arcsin x) atd. Proces hledání derivace dané funkce se nazývá derivace a operace inverzní, tzn. proces hledání funkce z dané derivace - integrace.
Samotný pojem „derivát“ lze odůvodnit „v každodenním životě“: funkce y - f(x) „zrodí“ novou funkci y"= f"(x). Funkce y = f(x) působí jako „rodič“, ale matematici tomu přirozeně neříkají „rodič“ nebo „producent“, říkají, že toto je ve vztahu k funkci y"=f"(x) primární obraz nebo, in zkratka, primitivní.
Definice 1. Funkce y = F(x) se nazývá primitivní pro funkci y = f(x) na daném intervalu X, pokud pro všechna x z X platí rovnost F"(x)=f(x).
V praxi se interval X obvykle neuvádí, ale je implikován (jako přirozená doména definice funkce).
Zde jsou nějaké příklady:
1) Funkce y = x 2 je primitivní pro funkci y = 2x, protože pro všechna x platí rovnost (x 2)" = 2x.
2) funkce y - x 3 je primitivní pro funkci y-3x 2, protože pro všechna x platí rovnost (x 3)" = 3x 2.
3) Funkce y-sinх je primitivní pro funkci y = cosx, protože pro všechna x platí rovnost (sinx)" = cosx.
4) Funkce je primitivní pro funkci na intervalu, protože pro všechna x > 0 platí rovnost
Obecně platí, že při znalosti vzorců pro hledání derivátů není těžké sestavit tabulku vzorců pro hledání primitivních derivátů.
Doufáme, že chápete, jak se tato tabulka sestavuje: derivace funkce, která je zapsána ve druhém sloupci, se rovná funkci, která je zapsána v odpovídajícím řádku prvního sloupce (zkontrolujte to, nebuďte líní, je to velmi užitečné). Například pro funkci y = x 5 je primitivní funkcí, jak určíte, funkce (viz čtvrtý řádek tabulky).
Poznámky: 1. Níže dokážeme větu, že pokud y = F(x) je primitivní funkce pro funkci y = f(x), pak funkce y = f(x) má nekonečně mnoho primitivních funkcí a všechny mají tvar y = F(x ) + C. Proto by bylo správnější přidat výraz C všude do druhého sloupce tabulky, kde C je libovolné reálné číslo.
2. Pro stručnost se někdy místo fráze „funkce y = F(x) je primitivní funkcí funkce y = f(x)“ říká, že F(x) je primitivní funkcí funkce f(x) .“
2. Pravidla pro hledání primitivních derivátů
Při hledání primitivních derivátů, stejně jako při hledání derivátů, se používají nejen vzorce (jsou uvedeny v tabulce na str. 196), ale i některá pravidla. Přímo souvisejí s odpovídajícími pravidly pro výpočet derivátů.
Víme, že derivace součtu se rovná součtu jeho derivací. Toto pravidlo generuje odpovídající pravidlo pro hledání primitivních derivátů.
Pravidlo 1. Primitivní prvek součtu se rovná součtu primitivních prvků.
Upozorňujeme na poněkud „lehkost“ této formulace. Ve skutečnosti bychom měli formulovat větu: pokud funkce y = f(x) a y = g(x) mají primitivní funkce na intervalu X, respektive y-F(x) a y-G(x), pak součet funkcí y = f(x)+g(x) má primitivní prvek na intervalu X a tímto primitivním prvkem je funkce y = F(x)+G(x). Ale obvykle při formulování pravidel (a ne teorémů) ponechávají pouze klíčová slova- to usnadňuje aplikaci pravidla v praxi
Příklad 2 Najděte primitivní funkci pro funkci y = 2x + cos x.
Řešení. Primitivní funkce pro 2x je x"; primitivní pro funkci cox je sin x. To znamená, že primitivní funkcí pro funkci y = 2x + cos x bude funkce y = x 2 + sin x (a obecně jakákoli funkce tvaru Y = x 1 + sinx + C).
Víme, že konstantní faktor lze vyjmout ze znaménka derivace. Toto pravidlo generuje odpovídající pravidlo pro hledání primitivních derivátů.
Pravidlo 2. Konstantní faktor lze vyjmout ze znaménka primitivního prvku.
Příklad 3
Řešení. a) Prvkem pro sin x je -soz x; To znamená, že pro funkci y = 5 sin x bude primitivní funkce funkce y = -5 cos x.
b) primitivní pro cos x je sin x; To znamená, že primitivní funkcí funkce je funkce
c) Primitivní pro x 3 je primitivní pro x, primitivní pro funkci y = 1 je funkce y = x. Pomocí prvního a druhého pravidla pro hledání primitivních funkcí zjistíme, že primitivní funkcí pro funkci y = 12x 3 + 8x-1 je funkce
Komentář. Jak známo, derivace součinu se nerovná součinu derivátů (pravidlo pro derivování součinu je složitější) a derivace kvocientu se nerovná podílu derivátů. Neexistují tedy žádná pravidla pro hledání primitivního součinu nebo primitivního kvocientu dvou funkcí. Buď opatrný!
Získáme další pravidlo pro hledání primitivních derivátů. Víme, že derivaci funkce y = f(kx+m) vypočítáme podle vzorce
Toto pravidlo generuje odpovídající pravidlo pro hledání primitivních derivátů.
Pravidlo 3. Jestliže y = F(x) je primitivní funkce pro funkci y = f(x), pak primitivní funkce pro funkci y=f(kx+m) je funkce
Vskutku,
To znamená, že je to primitivní funkce pro funkci y = f(kx+m).
Význam třetího pravidla je následující. Pokud víte, že primitivní funkce y = f(x) je funkce y = F(x), a potřebujete najít primitivní funkci funkce y = f(kx+m), postupujte takto: vezměte stejná funkce F, ale místo argumentu x dosaďte výraz kx+m; navíc nezapomeňte před znak funkce napsat „korekční faktor“.
Příklad 4. Najděte primitivní funkce pro dané funkce:
Řešení, a) Prvkem pro sin x je -soz x; To znamená, že pro funkci y = sin2x bude primitivní funkce
b) primitivní pro cos x je sin x; To znamená, že primitivní funkcí funkce je funkce
c) Primitivní pro x 7 znamená, že pro funkci y = (4-5x) 7 bude primitivní funkce
3. Neurčitý integrál
Již výše jsme poznamenali, že problém nalezení primitivní funkce pro danou funkci y = f(x) má více než jedno řešení. Pojďme si tento problém probrat podrobněji.
Důkaz. 1. Nechť y = F(x) je primitivní funkce pro funkci y = f(x) na intervalu X. To znamená, že pro všechna x z X platí rovnost x"(x) = f(x). najděte derivaci libovolné funkce ve tvaru y = F(x)+C:
(F(x) +C) = F"(x) +C = f(x) +0 = f(x).
Takže (F(x)+C) = f(x). To znamená, že y = F(x) + C je primitivní funkce pro funkci y = f(x).
Dokázali jsme tedy, že pokud má funkce y = f(x) primitivní y=F(x), pak funkce (f = f(x) má nekonečně mnoho primitivních funkcí, například jakákoli funkce tvaru y = F(x) +C je primitivní.
2. Dokažme nyní, že naznačený typ funkcí vyčerpává celou množinu primitivních funkcí.
Nechť y=F 1 (x) a y=F(x) jsou dvě primitivní funkce pro funkci Y = f(x) na intervalu X. To znamená, že pro všechna x z intervalu X platí vztahy: F^ ( x) = f (X); F"(x) = f(x).
Uvažujme funkci y = F 1 (x) -.F(x) a najdeme její derivaci: (F, (x) -F(x))" = F[(x)-F(x) = f(x ) - f(x) = 0.
Je známo, že pokud je derivace funkce na intervalu X shodně rovna nule, pak je funkce na intervalu X konstantní (viz věta 3 z § 35). To znamená, že F 1 (x) - F (x) = C, tzn. Fx) = F(x)+C.
Věta byla prokázána.
Příklad 5. Zákon změny rychlosti s časem je dán: v = -5sin2t. Najděte pohybový zákon s = s(t), je-li známo, že v čase t=0 byla souřadnice bodu rovna číslu 1,5 (tj. s(t) = 1,5).
Řešení. Vzhledem k tomu, že rychlost je derivací souřadnice jako funkce času, musíme nejprve najít primitivní derivaci rychlosti, tzn. primitivní pro funkci v = -5sin2t. Jedním z takových primitiv je funkce a množina všech primitiv má tvar:
Pro zjištění konkrétní hodnoty konstanty C použijeme počáteční podmínky, podle kterých s(0) = 1,5. Dosazením hodnot t=0, S = 1,5 do vzorce (1) získáme:
Dosazením nalezené hodnoty C do vzorce (1) získáme pohybový zákon, který nás zajímá:
Definice 2. Má-li funkce y = f(x) primitivní y = F(x) na intervalu X, pak množina všech primitiv, tzn. množina funkcí tvaru y = F(x) + C se nazývá neurčitý integrál funkce y = f(x) a značí se:
(čti: " neurčitý integrál ef z x de x").
V dalším odstavci se dozvíme, jaký je skrytý význam tohoto označení.
Na základě tabulky primitivních funkcí dostupných v této části sestavíme tabulku hlavních neurčitých integrálů:
Na základě výše uvedených tří pravidel pro hledání primitivních prvků můžeme formulovat odpovídající integrační pravidla.
Pravidlo 1. Integrál součtu funkcí rovnající se součtu integrály těchto funkcí:
Pravidlo 2. Konstantní faktor lze vyjmout z integrálního znaménka:
Pravidlo 3. Li
Příklad 6. Najděte neurčité integrály:
Řešení, a) Pomocí prvního a druhého pravidla integrace získáme:
Nyní použijeme 3. a 4. integrační vzorec:
V důsledku toho dostaneme:
b) Pomocí třetího integračního pravidla a vzorce 8 získáme:
c) K přímému nalezení daného integrálu nemáme ani odpovídající vzorec, ani odpovídající pravidlo. V takových případech někdy pomohou dříve provedené identické transformace výrazu obsaženého pod znaménkem integrálu.
Využijme toho trigonometrický vzorec Snížení stupně:
Pak postupně zjistíme:
A.G. Mordkovichova algebra 10. třída
Kalendář-tematické plánování v matematice, video v matematice online, Matematika ve škole
Dříve, vzhledem k dané funkci, vedeni různými vzorci a pravidly, jsme našli její derivaci. Derivát má četná použití: je to rychlost pohybu (nebo obecněji rychlost jakéhokoli procesu); úhlový koeficient tečny ke grafu funkce; pomocí derivace můžete zkoumat funkci na monotónnost a extrémy; pomáhá řešit problémy s optimalizací.
Ale spolu s problémem zjištění rychlosti podle známého zákona o pohybu existuje také problém obrácený - problém obnovení zákona o pohybu podle známé rychlosti. Podívejme se na jeden z těchto problémů.
Příklad 1. Hmotný bod se pohybuje přímočaře, jeho rychlost v čase t je dána vzorcem v=gt. Najděte zákon pohybu.
Řešení. Nechť s = s(t) je požadovaný pohybový zákon. Je známo, že s"(t) = v(t). To znamená, že k vyřešení úlohy je třeba vybrat funkci s = s(t), jejíž derivace je rovna gt. Není těžké uhodnout že \(s(t) = \frac(gt^ 2)(2)\).
\(s"(t) = \left(\frac(gt^2)(2) \right)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t = gt\)
Odpověď: \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \)
Ihned poznamenejme, že příklad je vyřešen správně, ale neúplně. Dostali jsme \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \). Ve skutečnosti má problém nekonečně mnoho řešení: jakákoli funkce ve tvaru \(s(t) = \frac(gt^2)(2) + C\), kde C je libovolná konstanta, může sloužit jako zákon pohyb, protože \(\left (\frac(gt^2)(2) +C \right)" = gt \)
Abychom problém upřesnili, museli jsme opravit výchozí situaci: označit souřadnici pohybujícího se bodu v určitém časovém okamžiku, například v t = 0. Pokud, řekněme, s(0) = s 0, pak z rovnost s(t) = (gt 2)/2 + C dostaneme: s(0) = 0 + C, tj. C = s 0. Nyní je pohybový zákon jednoznačně definován: s(t) = (gt 2)/2 + s 0.
V matematice se vzájemně inverzním operacím dávají různá jména, vymýšlejí se speciální zápisy, např.: druhá mocnina (x 2) a odmocnina (\(\sqrt(x) \)), sinus (sin x) a arcsinus (arcsin x) atd. Proces hledání derivace dané funkce se nazývá diferenciace, a inverzní operace, tedy proces hledání funkce z dané derivace, je integrace.
Samotný termín „derivát“ lze odůvodnit „všedním způsobem“: funkce y = f(x) „zrodí“ novou funkci y" = f"(x). Funkce y = f(x) funguje jako „rodič“, ale matematici ji přirozeně nenazývají „rodič“ nebo „producent“ ve vztahu k funkci y" = f"(; x), primární obrázek nebo primitivní.
Definice. Funkce y = F(x) se nazývá primitivní pro funkci y = f(x) na intervalu X, pokud pro \(x \in X\) platí rovnost F"(x) = f(x)
V praxi se interval X obvykle neuvádí, ale je implikován (jako přirozená doména definice funkce).
Uveďme příklady.
1) Funkce y = x 2 je primitivní pro funkci y = 2x, protože pro libovolné x platí rovnost (x 2)" = 2x
2) Funkce y = x 3 je primitivní pro funkci y = 3x 2, protože pro libovolné x platí rovnost (x 3)" = 3x 2
3) Funkce y = sin(x) je primitivní pro funkci y = cos(x), protože pro libovolné x platí rovnost (sin(x))" = cos(x)
Při hledání primitivních, ale i derivátů se používají nejen vzorce, ale i některá pravidla. Přímo souvisejí s odpovídajícími pravidly pro výpočet derivátů.
Víme, že derivace součtu se rovná součtu jeho derivací. Toto pravidlo generuje odpovídající pravidlo pro hledání primitivních derivátů.
Pravidlo 1. Primitivní prvek součtu se rovná součtu primitivních prvků.
Víme, že konstantní faktor lze vyjmout ze znaménka derivace. Toto pravidlo generuje odpovídající pravidlo pro hledání primitivních derivátů.
Pravidlo 2. Je-li F(x) primitivní pro f(x), pak kF(x) je primitivní pro kf(x).
Věta 1. Jestliže y = F(x) je primitivní funkce pro funkci y = f(x), pak primitivní funkce pro funkci y = f(kx + m) je funkce \(y=\frac(1)(k)F (kx+m) \)
Věta 2. Jestliže y = F(x) je primitivní funkce pro funkci y = f(x) na intervalu X, pak funkce y = f(x) má nekonečně mnoho primitivních funkcí a všechny mají tvar y = F(x) + C.
Integrační metody
Variabilní náhradní metoda (substituční metoda)
Metoda integrace substitucí zahrnuje zavedení nové integrační proměnné (tj. substituce). V tomto případě je daný integrál redukován na nový integrál, který je tabulkový nebo na něj redukovatelný. Běžné metody neexistuje žádný výběr substitucí. Schopnost správně určit substituci se získává praxí.
Nechť je třeba vypočítat integrál \(\textstyle \int F(x)dx \). Udělejme substituci \(x= \varphi(t) \), kde \(\varphi(t) \) je funkce, která má spojitou derivaci.
Potom \(dx = \varphi " (t) \cdot dt \) a na základě vlastnosti invariance integračního vzorce pro neurčitý integrál získáme integrační vzorec substitucí:
\(\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt \)
Integrace výrazů ve tvaru \(\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx \)
Je-li m liché, m > 0, pak je vhodnější provést substituci sin x = t.
Pokud je n liché, n > 0, pak je výhodnější provést substituci cos x = t.
Jsou-li n a m sudé, pak je vhodnější provést substituci tg x = t.
Integrace po částech
Integrace po částech - použití následujícího vzorce pro integraci:
\(\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du \)
nebo:
\(\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx \)
Tabulka neurčitých integrálů (antiderivátů) některých funkcí
$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch ) x +C $$Lekce a prezentace na téma: "Primitivní funkce. Graf funkce"
Doplňkové materiály
Vážení uživatelé, nezapomeňte zanechat své komentáře, recenze, přání! Všechny materiály byly zkontrolovány antivirovým programem.
Učební pomůcky a simulátory v internetovém obchodě Integral pro 11. ročník
Algebraické úlohy s parametry, ročníky 9–11
„Interaktivní úkoly o stavění ve vesmíru pro ročníky 10 a 11“
Antiderivační funkce. Úvod
Kluci, víte, jak najít derivace funkcí pomocí různých vzorců a pravidel. Dnes budeme studovat inverzní operaci výpočtu derivace. V reálném životě se často používá pojem derivát. Dovolte mi připomenout: derivace je rychlost změny funkce v určitém bodě. V těchto pojmech jsou dobře popsány procesy zahrnující pohyb a rychlost.Podívejme se na tento problém: „Rychlost objektu pohybujícího se po přímce je popsána vzorcem $V=gt$ Potřebujeme obnovit pohybový zákon.
Řešení.
Vzorec dobře známe: $S"=v(t)$, kde S je pohybový zákon.
Naším úkolem je najít funkci $S=S(t)$, jejíž derivace je rovna $gt$. Při pozorném pohledu můžete uhodnout, že $S(t)=\frac(g*t^2)(2)$.
Zkontrolujme si správnost řešení tohoto problému: $S"(t)=(\frac(g*t^2)(2))"=\frac(g)(2)*2t=g*t$.
Když jsme znali derivaci funkce, našli jsme samotnou funkci, to znamená, že jsme provedli inverzní operaci.
Ale stojí za to věnovat pozornost tomuto bodu. Řešení našeho problému vyžaduje upřesnění, pokud k nalezené funkci přidáme libovolné číslo (konstantu), pak se hodnota derivace nezmění: $S(t)=\frac(g*t^2)(2)+; c,c=konst$.
$S"(t)=(\frac(g*t^2)(2))"+c"=g*t+0=g*t$.
Chlapi, pozor: náš problém má nekonečné množství řešení!
Pokud problém neurčuje počáteční nebo jinou podmínku, nezapomeňte k řešení přidat konstantu. Náš úkol může například upřesnit polohu našeho těla na samém začátku pohybu. Pak není těžké konstantu vypočítat, dosazením nuly do výsledné rovnice získáme hodnotu konstanty.
Jak se tato operace nazývá?
Inverzní operace diferenciace se nazývá integrace.
Nalezení funkce z dané derivace – integrace.
Funkce samotná se bude nazývat primitivní, tedy obraz, ze kterého byla derivace funkce získána.
Je zvykem psát primitivní prvek s velkým písmenem $y=F"(x)=f(x)$.
Definice. Funkce $y=F(x)$ se nazývá primitivní funkce $у=f(x)$ na intervalu X, pokud pro libovolné $хϵХ$ platí rovnost $F'(x)=f(x)$ .
Udělejme tabulku primitivních funkcí pro různé funkce. Měl by být vytištěn jako připomínka a zapamatován.
V naší tabulce nebyly uvedeny žádné počáteční podmínky. To znamená, že ke každému výrazu na pravé straně tabulky by měla být přidána konstanta. Toto pravidlo upřesníme později.
Pravidla pro hledání primitivních derivátů
Pojďme si napsat pár pravidel, která nám pomohou při hledání primitivních derivátů. Všechna jsou podobná pravidlům diferenciace.Pravidlo 1. Primitivní prvek součtu se rovná součtu primitivních prvků. $F(x+y)=F(x)+F(y)$.
Příklad.
Najděte primitivní funkci pro funkci $y=4x^3+cos(x)$.
Řešení.
Primitivní prvek součtu se rovná součtu primitivních prvků, pak musíme najít primitivní prvek pro každou z prezentovaných funkcí.
$f(x)=4x^3$ => $F(x)=x^4$.
$f(x)=cos(x)$ => $F(x)=sin(x)$.
Potom bude primitivní funkce původní funkce: $y=x^4+sin(x)$ nebo jakákoli funkce ve tvaru $y=x^4+sin(x)+C$.
Pravidlo 2. Je-li $F(x)$ primitivní pro $f(x)$, pak $k*F(x)$ je primitivní pro funkci $k*f(x)$.(Koeficient můžeme klidně vzít jako funkci).
Příklad.
Najděte primitivní funkce:
a) $y=8sin(x)$.
b) $y=-\frac(2)(3)cos(x)$.
c) $y=(3x)^2+4x+5$.
Řešení.
a) Primitivní funkce $sin(x)$ je mínus $cos(x)$. Potom primitivní funkce původní funkce bude mít tvar: $y=-8cos(x)$.
B) Primitivní funkce $cos(x)$ je $sin(x)$. Potom primitivní funkce původní funkce bude mít tvar: $y=-\frac(2)(3)sin(x)$.
C) Primitivní funkce pro $x^2$ je $\frac(x^3)(3)$. Primitivní funkce x je $\frac(x^2)(2)$. Primitivním prvkem 1 je x. Potom primitivní funkce původní funkce bude mít tvar: $y=3*\frac(x^3)(3)+4*\frac(x^2)(2)+5*x=x^3+2x ^2+5x$ .
Pravidlo 3. Jestliže $у=F(x)$ je primitivní funkce pro funkci $y=f(x)$, pak je primitivní funkce pro funkci $y=f(kx+m)$ funkce $y=\frac(1). )(k)* F(kx+m)$.
Příklad.
Najděte primitivní deriváty následujících funkcí:
a) $y=cos(7x)$.
b) $y=sin(\frac(x)(2))$.
c) $y=(-2x+3)^3$.
d) $y=e^(\frac(2x+1)(5))$.
Řešení.
a) Primitivní funkce $cos(x)$ je $sin(x)$. Potom primitivní funkce pro funkci $y=cos(7x)$ bude funkce $y=\frac(1)(7)*sin(7x)=\frac(sin(7x))(7)$.
B) Primitivní funkce $sin(x)$ je mínus $cos(x)$. Potom primitivní funkce pro funkci $y=sin(\frac(x)(2))$ bude funkce $y=-\frac(1)(\frac(1)(2))cos(\frac(x) )(2) )=-2cos(\frac(x)(2))$.
C) Primitivní funkce pro $x^3$ je $\frac(x^4)(4)$, potom primitivní funkce původní funkce $y=-\frac(1)(2)*\frac(((-) 2x+3) )^4)(4)=-\frac(((-2x+3))^4)(8)$.
D) Mírně zjednodušte výraz na mocninu $\frac(2x+1)(5)=\frac(2)(5)x+\frac(1)(5)$.
Primitivní funkce exponenciální funkce je samotná exponenciální funkce. Primitivní funkce původní funkce bude $y=\frac(1)(\frac(2)(5))e^(\frac(2)(5)x+\frac(1)(5))=\frac (5)( 2)*e^(\frac(2x+1)(5))$.
Teorém. Jestliže $y=F(x)$ je primitivní funkce pro funkci $y=f(x)$ na intervalu X, pak funkce $y=f(x)$ má nekonečně mnoho primitivních funkcí a všechny mají tvar $y=F(x)+С$.
Pokud ve všech výše uvažovaných příkladech bylo nutné najít množinu všech primitivních funkcí, pak by měla být všude přidána konstanta C.
Pro funkci $y=cos(7x)$ mají všechny primitivní funkce tvar: $y=\frac(sin(7x))(7)+C$.
Pro funkci $y=(-2x+3)^3$ mají všechny primitivní funkce tvar: $y=-\frac(((-2x+3))^4)(8)+C$.
Příklad.
Vzhledem k zákonu změny rychlosti tělesa v čase $v=-3sin(4t)$ najděte pohybový zákon $S=S(t)$, pokud mělo těleso v počátečním okamžiku souřadnici rovnou 1,75.
Řešení.
Protože $v=S’(t)$, musíme najít primitivní prvek pro danou rychlost.
$S=-3*\frac(1)(4)(-cos(4t))+C=\frac(3)(4)cos(4t)+C$.
V tomto problému je to dáno dodatečná podmínka- počáteční okamžik času. To znamená, že $t=0$.
$S(0)=\frac(3)(4)cos(4*0)+C=\frac(7)(4)$.
$\frac(3)(4)cos(0)+C=\frac(7)(4)$.
$\frac(3)(4)*1+C=\frac(7)(4)$.
$C=1$.
Pak pohybový zákon popisuje vzorec: $S=\frac(3)(4)cos(4t)+1$.
Problémy řešit samostatně
1. Najděte primitivní funkce:a) $y=-10sin(x)$.
b) $y=\frac(5)(6)cos(x)$.
c) $y=(4x)^5+(3x)^2+5x$.
2. Najděte primitivní funkce následujících funkcí:
a) $y=cos(\frac(3)(4)x)$.
b) $y=sin(8x)$.
c) $y=((7x+4))^4$.
d) $y=e^(\frac(3x+1)(6))$.
3. Podle daného zákona změny rychlosti tělesa v čase $v=4cos(6t)$ najděte pohybový zákon $S=S(t)$, jestliže v počátečním okamžiku mělo těleso souřadnice rovna 2.
Neurčitý integrál
Hlavním úkolem diferenciálního počtu bylo vypočítat derivaci nebo diferenciál dané funkce. Integrální počet, který nyní studujeme, řeší inverzní problém, totiž nalezení samotné funkce pomocí její derivace nebo diferenciálu. Tedy mít dF(x)= f(x)d (7.1) popř F ′(x)= f(x),
Kde f(x)- známá funkce, potřeba najít funkci F(x).
Definice:Je volána funkce F(x). primitivní funkce f(x) na segmentu, pokud rovnost platí ve všech bodech tohoto segmentu: F′(x) = f(x) nebo dF(x)= f(x)d.
Například, jedna z primitivních funkcí funkce f(x)=3x 2 vůle F(x)= x 3, protože ( x 3)′=3x 2. Ale prototyp pro funkci f(x)=3x 2 budou také funkce a , od 
.
Takže tato funkce f(x)=3x 2 má nekonečný počet primitiv, z nichž každé se liší pouze konstantním členem. Ukažme, že tento výsledek platí i v obecném případě.
Teorém Dvě různé primitivní funkce stejné funkce definované v určitém intervalu se od sebe na tomto intervalu liší konstantním členem.
Důkaz
Nechte funkci f(x) definované na intervalu (a¸b) A F 1 (x) A F 2 (x) - primitivní deriváty, tzn. F 1 ′(x)= f(x) a F 2 ′(x)= f(x).
Pak F 1 ′(x)=F 2 ′(x)Þ F 1 ′(x) - F 2 ′(x) = (F 1 ′(x) - F 2 (x))′= 0. Þ F 1 (x) - F 2 (x) = C
Odtud, F2(x) = F1(x) + C
Kde S - konstanta (zde je použit důsledek z Lagrangeovy věty).
Věta je tedy dokázána.
Geometrické ilustrace. Li na = F 1 (x) A na = F 2 (x) – primitivní deriváty stejné funkce f(x), pak tečnu k jejich grafům v bodech se společnou úsečkou X vzájemně rovnoběžné (obr. 7.1).
V tomto případě vzdálenost mezi těmito křivkami podél osy OU zůstává konstantní F2(x) - F1(x) = C , tedy tyto křivky v nějaké pochopení navzájem „paralelně“.
Následek .
Přidání k nějakému primitivnímu F(x) pro tuto funkci f(x), definovaný na intervalu X, všechny možné konstanty S, získáme všechny možné primitivní funkce pro funkci f(x).Takže výraz F(x)+C , kde a F(x) – nějaký primitivní prvek funkce f(x) zahrnuje všechny možné primitivní prvky f(x).
Příklad 1. Zkontrolujte, zda jsou funkce primitivních funkcí
Řešení:
Odpovědět: primitivní funkce pro funkci budou funkce A
Definice: Pokud je funkce F(x) nějakou primitivní funkcí f(x), pak se nazývá množina všech primitivních funkcí F(x)+ C neurčitý integrál f(x) a označují:
∫f(х)dх.
A-priory:
f(x) - integrandová funkce,
f(х)dх - integrand
Z toho vyplývá, že neurčitý integrál je funkcí obecného tvaru, jehož diferenciál je roven integrandu a jehož derivace vzhledem k proměnné X se ve všech bodech rovná integrandu.
Z geometrického hlediska neurčitý integrál je skupina křivek, z nichž každá se získá posunutím jedné z křivek rovnoběžně se sebou nahoru nebo dolů, to znamená podél osy OU(obr. 7.2).
Operace výpočtu neurčitého integrálu určité funkce se nazývá integrace tuto funkci.
Všimněte si, že pokud derivace z elementární funkce je vždy elementární funkce, pak primitivní funkce elementární funkce nemusí být reprezentována konečným počtem elementárních funkcí.
Podívejme se nyní vlastnosti neurčitého integrálu.
Z definice 2 vyplývá:
1. Derivace neurčitého integrálu se rovná integrandu, tedy jestliže F′(x) = f(x) , Že
2. Diferenciál neurčitého integrálu je roven integrandu
. (7.4)
Z definice diferenciálu a vlastnosti (7.3)
3. Neurčitý integrál diferenciálu nějaké funkce je roven této funkci až do konstantního členu, tzn 
(7.5)
