Graf kvadratické, kubické funkce, graf polynomu. Kvadratické a kubické funkce
Parabola. Grafem kvadratické funkce () je parabola. Zvažte kanonický případ:
Připomeňme si některé vlastnosti funkce.
Rozsah definice – jakýkoli reálné číslo(jakákoli hodnota „x“). Co to znamená? Ať už zvolíme jakýkoli bod na ose, pro každé „x“ existuje bod paraboly. Matematicky se to píše takto: . Definiční obor libovolné funkce je standardně označen nebo . Písmeno označuje množinu reálných čísel nebo jednodušeji „jakékoli X“ (když se práce píše do sešitu, nepíší složené písmeno, ale tučné písmeno R).
Rozsah je množina všech hodnot, které může proměnná „y“ nabývat. V tomto případě: – soubor všech kladné hodnoty včetně nuly. Rozsah hodnot je standardně označen nebo .
Funkce je dokonce Pokud je funkce sudá, pak je její graf symetrický podle osy. Toto je velmi užitečná vlastnost, což výrazně zjednodušuje konstrukci grafu, jak brzy uvidíme. Analyticky je parita funkce vyjádřena podmínkou. Jak zkontrolovat paritu jakékoli funkce? Místo toho musíte do rovnice dosadit . V případě paraboly vypadá kontrola takto: to znamená, že funkce je sudá.
Funkce neomezené shora. Analyticky je vlastnost zapsána následovně: . Zde je mimochodem příklad geometrického významu limity funkce: pokud půjdeme podél osy (doleva nebo doprava) do nekonečna, pak větve paraboly (což znamená "Y") půjde neomezeně nahoru do „plus nekonečna“.
Na studovat limity funkcí Je vhodné pochopit geometrický význam limity.
Není náhodou, že jsem vlastnosti funkce popsal tak podrobně, všechny výše uvedené věci je užitečné znát a zapamatovat si při konstrukci grafů funkcí, stejně jako při studiu grafů funkcí.
Příklad 2
Sestrojte graf funkce.
V tomto příkladu se podíváme na důležitou věc technická otázka: Jak rychle postavit parabolu? V praktických úlohách vyvstává potřeba nakreslit parabolu velmi často, zejména při výpočtu oblast figury pomocí určitý integrál . Proto je vhodné naučit se dokreslovat rychle, s minimální časovou ztrátou. Navrhuji následující konstrukční algoritmus.
Nejprve najdeme vrchol paraboly. Chcete-li to provést, vezměte první derivaci a srovnejte ji s nulou:
Pokud jste špatní s derivacemi, měli byste si lekci přečíst Jak najít derivát?
Takže řešení naší rovnice: – v tomto bodě se nachází vrchol paraboly. Vypočítáme odpovídající hodnotu „Y“:
Vrchol je tedy v bodě
Nyní nacházíme další body, přičemž drze využíváme symetrii paraboly. Je třeba poznamenat, že funkce je není sudý, ale přesto nikdo nezrušil symetrii paraboly.
V jakém pořadí najít zbývající body, to bude myslím jasné z konečné tabulky:
Tento konstrukční algoritmus lze obrazně nazvat „raketoplán“. Možná ne každý rozumí podstatě raketoplánu, pak vám pro srovnání připomínám slavný televizní pořad „tam a zpět s Anfisou Čechovou“.
Udělejme nákres:
Ze zkoumaných grafů mě napadá další užitečná funkce:
Pro kvadratickou funkci () platí následující:
Jestliže , pak větve paraboly směřují nahoru.
Jestliže , pak větve paraboly směřují dolů.
Kubická parabola
Kubická parabola je dána funkcí. Zde je kresba známá ze školy:
Uveďme si hlavní vlastnosti funkce
Definiční obor je libovolné reálné číslo: .
Rozsah hodnot – libovolné reálné číslo: .
Funkce je zvláštní. Pokud je funkce lichá, pak je její graf symetrický podle počátku. Analyticky je lichost funkce vyjádřena podmínkou 
. Provedeme kontrolu kubické funkce, místo „X“ dosadíme „mínus X“:
, což znamená, že funkce je lichá.
Funkce neomezená. V jazyce funkčních limitů to lze zapsat následovně:
Je také efektivnější sestrojit kubickou parabolu pomocí algoritmu raketoplánu Anfisy Chekhové:
Jistě jste si všimli, jak se také projevuje zvláštnost funkce. Kdybychom to našli 
, pak při výpočtu není potřeba nic počítat, automaticky zapisujeme, že . Tato vlastnost platí pro všechny liché funkce.
Nyní si povíme něco málo o grafech polynomů.
Graf libovolného polynomu třetího stupně 
() má v zásadě následující podobu:
V tomto příkladu je koeficient pro nejvyšší stupeň , takže graf je otočen „inverzně“. Grafy polynomů 5., 7., 9. a dalších lichých stupňů mají v podstatě stejný vzhled. Čím vyšší stupeň, tím více středních „zagibulinů“.
Polynomy 4., 6. a dalších sudých stupňů mají v principu graf následující typ:
Tyto znalosti jsou užitečné při studiu funkčních grafů.
Graf funkce
Udělejme nákres:
Hlavní vlastnosti funkce:
Doména: .
Rozsah hodnot: .
To znamená, že graf funkce je zcela umístěn v prvním souřadnicovém kvadrantu.
Funkce neomezené shora. Nebo pomocí limitu: 
Při konstrukci nejjednodušších grafů s kořeny je vhodná i metoda bodové konstrukce a je výhodné zvolit takové hodnoty „x“, aby byl extrahován celý kořen:
Ve skutečnosti bych se rád podíval na více příkladů například s kořeny, ale ty jsou mnohem méně časté. Zaměřuji se na běžnější případy, a jak ukazuje praxe, něco takového se musí stavět mnohem častěji. Pokud se objeví potřeba zjistit, jak vypadají grafy s jinými kořeny, pak doporučuji nahlédnout do školní učebnice nebo matematické příručky.
Graf hyperboly
Znovu si připomínáme triviální „školní“ hyperbolu.
Udělejme nákres: 
Hlavní vlastnosti funkce:
Doména: .
Rozsah hodnot: .
Zápis znamená: „jakékoli reálné číslo kromě nuly“
V určitém bodě funkce trpí nekonečnou diskontinuitou. Nebo pomocí jednostranný limity: , . Pojďme si říci něco málo o jednostranných limitech. Záznam znamená, že my nekonečně blízko přiblížení k ose k nule vlevo, odjet. Jak se chová rozvrh? Jde to dolů do mínus nekonečna, nekonečně blízko přibližující se k ose. Právě tato skutečnost je zapsána jako limit. Stejně tak zápis znamená, že my nekonečně blízko přiblížení k ose k nule napravo. V tomto případě jde větev hyperboly nahoru do plus nekonečna, nekonečně blízko přibližující se k ose. Nebo stručně: .
druh
Kde Jinými slovy, kubická funkce je definována polynomem třetího stupně.
Analytické vlastnosti
aplikace
Kubická parabola se někdy používá k výpočtu přechodové křivky v dopravě, protože její výpočet je mnohem jednodušší než konstrukce klotoidy.
viz také
Napište recenzi na článek "Krychlová funkce"
Poznámky
Literatura
- L. S. Pontryagin, // „Quantum“, 1984, č. 3.
- I. N. Bronstein, K. A. Semenďajev, „Handbook of Mathematics“, nakladatelství „Nauka“, M. 1967, str. 84
Úryvek charakterizující kubickou funkci
-No, k čemu to je...V té době Péťa, kterému nikdo nevěnoval pozornost, přistoupil k otci a celý červený, lámavým, někdy hrubým, někdy tenkým hlasem řekl:
"No, a teď, tati, rozhodně řeknu - a maminko také, cokoli chceš - rozhodně řeknu, že mě pustíš do vojenské služby, protože nemůžu ... to je vše ...
Hraběnka zděšeně zvedla oči k nebi, sepjala ruce a naštvaně se otočila k manželovi.
-Tak jsem souhlasil! - ona řekla.
Ale hrabě se okamžitě vzpamatoval ze svého vzrušení.
"No, dobře," řekl. - Tady je další válečník! Zastavte nesmysly: musíte studovat.
- To není nesmysl, tati. Fedya Obolensky je mladší než já a také přichází, a co je nejdůležitější, stále se nemohu nic naučit, když ... - Péťa se zastavil, zčervenal, až se zpotil, a řekl: - když je vlast v nebezpečí.
- Úplný, úplný, nesmysl...
- Ale sám jsi řekl, že obětujeme všechno.
"Péťo, říkám ti, drž hubu," vykřikl hrabě a ohlédl se na svou ženu, která zbledla a upřenýma očima pohlédla na svého nejmladšího syna.
-A já vám to říkám. Takže Pyotr Kirillovich řekne...
"Říkám ti, že je to nesmysl, mléko ještě nezaschlo, ale on chce na vojenskou službu!" No, dobře, říkám vám,“ a hrabě, který si vzal papíry s sebou, pravděpodobně aby si je znovu přečetl v kanceláři, než si odpočine, odešel z místnosti.
-Pyotr Kirillovich, dobře, pojďme si zakouřit...
Pierre byl zmatený a nerozhodný. Do tohoto stavu ho přivedly Natašiny neobvykle jasné a živé oči, které se na něj neustále dívaly víc než láskyplně.
-Ne, myslím, že půjdu domů...
- Je to jako jít domů, ale chtěl jsi s námi strávit večer... A pak jsi přišel jen zřídka. A tahle moje...“ řekl hrabě dobromyslně a ukázal na Natašu, „je veselá, jen když je s tebou...“
"Ano, zapomněl jsem... určitě musím domů... Co dělat..." řekl Pierre spěšně.
"No, sbohem," řekl hrabě a úplně opustil místnost.
- Proč odcházíš? Proč jsi naštvaný? Proč?..“ zeptala se Natasha Pierra a vyzývavě se mu dívala do očí.
"Protože tě miluji! - chtěl říct, ale neřekl to, zčervenal, až se rozplakal, a sklopil oči.
- Protože je pro mě lepší tě navštěvovat méně často... Protože... ne, mám jen práci.
- Z čeho? ne, řekni mi to,“ začala Natasha rozhodně a najednou ztichla. Oba se na sebe podívali vyděšeně a zmateně. Pokusil se usmát, ale nemohl: jeho úsměv vyjadřoval utrpení, tiše jí políbil ruku a odešel.
Pierre se rozhodl, že už Rostovy se sebou nenavštíví.
Péťa poté, co obdržel rozhodné odmítnutí, odešel do svého pokoje, kde se zamkl před všemi a hořce plakal. Dělali všechno, jako by si ničeho nevšimli, když přišel k čaji, tichý a zasmušilý, se slzami v očích.
Druhý den dorazil panovník. Několik Rostovských dvorů požádalo, aby se šli podívat na cara. To ráno Péťovi trvalo dlouho, než se oblékl, učesal a upravil si límce jako ty velké. Zamračil se před zrcadlem, udělal gesta, pokrčil rameny a nakonec, aniž by to komukoli řekl, si nasadil čepici a odešel z domu ze zadní verandy ve snaze, aby si ho nikdo nevšiml. Péťa se rozhodl jít přímo na místo, kde byl panovník, a přímo vysvětlit nějakému komorníkovi (Péťovi se zdálo, že panovník byl vždy obklopen komorníky), že on, hrabě Rostov, i přes své mládí, chce sloužit vlasti, tomu mládí nemohl být překážkou pro oddanost a že je připraven... Péťa, když se chystal, připravil mnoho nádherných slov, která by řekl komorníkovi.
Parabola. Grafem kvadratické funkce () je parabola. Zvažte kanonický případ:
Připomeňme si některé vlastnosti funkce.
Definiční obor je libovolné reálné číslo (jakákoli hodnota „x“). Co to znamená? Ať už zvolíme jakýkoli bod na ose, pro každé „x“ existuje bod paraboly. Matematicky se to píše takto: . Definiční obor libovolné funkce je standardně označen nebo . Písmeno označuje množinu reálných čísel nebo jednodušeji „jakékoli X“ (když se práce píše do sešitu, nepíší složené písmeno, ale tučné písmeno R).
Rozsah je množina všech hodnot, které může proměnná „y“ nabývat. V tomto případě: – sada všech kladných hodnot, včetně nuly. Rozsah hodnot je standardně označen nebo .
Funkce je dokonce Pokud je funkce sudá, pak je její graf symetrický podle osy. To je velmi užitečná vlastnost, která výrazně zjednodušuje konstrukci grafu, jak zanedlouho uvidíme. Analyticky je parita funkce vyjádřena podmínkou. Jak zkontrolovat paritu jakékoli funkce? Místo toho musíte do rovnice dosadit . V případě paraboly vypadá kontrola takto: to znamená, že funkce je sudá.
Funkce neomezené shora. Analyticky je vlastnost zapsána následovně: . Zde je mimochodem příklad geometrického významu limity funkce: pokud půjdeme podél osy (doleva nebo doprava) do nekonečna, pak větve paraboly (což znamená "Y") půjde neomezeně nahoru do „plus nekonečna“.
Na studovat limity funkcí Je vhodné pochopit geometrický význam limity.
Není náhodou, že jsem vlastnosti funkce popsal tak podrobně, všechny výše uvedené věci je užitečné znát a zapamatovat si při konstrukci grafů funkcí, stejně jako při studiu grafů funkcí.
Příklad 2
Graf funkce 
.
V tomto příkladu se podíváme na důležitý technický problém: Jak rychle postavit parabolu? V praktických úlohách velmi často vyvstává potřeba nakreslit parabolu, zejména při výpočtu plochy obrazce pomocí určitého integrálu. Proto je vhodné naučit se dokreslovat rychle, s minimální časovou ztrátou. Navrhuji následující konstrukční algoritmus.
Nejprve najdeme vrchol paraboly. Chcete-li to provést, vezměte první derivaci a srovnejte ji s nulou:
Pokud jste špatní s derivacemi, měli byste si lekci přečíst Jak najít derivát?
Takže řešení naší rovnice: – v tomto bodě se nachází vrchol paraboly. Vypočítáme odpovídající hodnotu „Y“:
Vrchol je tedy v bodě
Nyní nacházíme další body, přičemž drze využíváme symetrii paraboly. Je třeba poznamenat, že funkce – není sudý, ale přesto nikdo nezrušil symetrii paraboly.
V jakém pořadí najít zbývající body, to bude myslím jasné z konečné tabulky:
Tento konstrukční algoritmus lze obrazně nazvat „raketoplán“. Možná ne každý rozumí podstatě raketoplánu, pak vám pro srovnání připomínám slavný televizní pořad „tam a zpět s Anfisou Čechovou“.
Udělejme nákres:
Ze zkoumaných grafů mě napadá další užitečná funkce:
Pro kvadratickou funkci () platí následující:
Jestliže , pak větve paraboly směřují nahoru.
Jestliže , pak větve paraboly směřují dolů.
Kubická parabola
Kubická parabola je dána funkcí. Zde je kresba známá ze školy:
Uveďme si hlavní vlastnosti funkce
Definiční obor je libovolné reálné číslo: .
Rozsah hodnot – libovolné reálné číslo: .
Funkce je zvláštní. Pokud je funkce lichá, pak je její graf symetrický podle počátku. Analyticky je lichost funkce vyjádřena podmínkou 
. Provedeme kontrolu kubické funkce, místo „X“ dosadíme „mínus X“:
, což znamená, že funkce je lichá.
Funkce neomezená. V jazyce funkčních limitů to lze zapsat následovně:
Je také efektivnější sestrojit kubickou parabolu pomocí algoritmu raketoplánu Anfisy Chekhové:
Jistě jste si všimli, jak se také projevuje zvláštnost funkce. Kdybychom to našli 
, pak při výpočtu není potřeba nic počítat, automaticky zapisujeme, že . Tato vlastnost platí pro všechny liché funkce.
Nyní si povíme něco málo o grafech polynomů.
Graf libovolného polynomu třetího stupně 
() má v zásadě následující podobu:
V tomto příkladu je koeficient pro nejvyšší stupeň , takže graf je otočen „inverzně“. Grafy polynomů 5., 7., 9. a dalších lichých stupňů mají v podstatě stejný vzhled. Čím vyšší stupeň, tím více středních „zagibulinů“.
Polynomy 4., 6. a dalších sudých stupňů mají graf v zásadě následujícího tvaru:
Tyto znalosti jsou užitečné při studiu funkčních grafů.
Graf funkce
Udělejme nákres:
Hlavní vlastnosti funkce:
Doména: .
Rozsah hodnot: .
To znamená, že graf funkce je zcela umístěn v prvním souřadnicovém kvadrantu.
Funkce neomezené shora. Nebo pomocí limitu: 
Při konstrukci nejjednodušších grafů s kořeny je vhodná i metoda bodové konstrukce a je výhodné zvolit takové hodnoty „x“, aby byl extrahován celý kořen:
Funkce y=x^2 se nazývá kvadratická funkce. Grafem kvadratické funkce je parabola. Obecná forma Parabola je znázorněna na obrázku níže.
Kvadratická funkce
Obr. 1. Celkový pohled na parabolu
Jak je vidět z grafu, je symetrický kolem osy Oy. Osa Oy se nazývá osa symetrie paraboly. To znamená, že pokud na grafu nakreslíte přímku rovnoběžnou s osou Ox nad touto osou. Poté protne parabolu ve dvou bodech. Vzdálenost od těchto bodů k ose Oy bude stejná.
Osa symetrie rozděluje graf paraboly na dvě části. Tyto části se nazývají větve paraboly. A bod paraboly, který leží na ose symetrie, se nazývá vrchol paraboly. To znamená, že osa symetrie prochází vrcholem paraboly. Souřadnice tohoto bodu jsou (0;0).
Základní vlastnosti kvadratické funkce
1. Při x =0, y=0 a y>0 při x0
2. Kvadratická funkce dosáhne své minimální hodnoty ve svém vrcholu. Ymin při x=0; Je třeba také poznamenat, že funkce nemá maximální hodnotu.
3. Funkce klesá na intervalu (-∞;0] a zvyšuje se na intervalu)
