Ekuacionet e ekuilibrit për një sistem hapësinor konvergjent të forcave. Ekuilibri i një sistemi hapësinor arbitrar të forcave është zgjidhja e problemit. Pikët pa marrë parasysh forcat e aplikuara ndaj tyre
Kushtet e ekuilibrit vektorial për një sistem arbitrar forcash: për ekuilibrin e një sistemi forcash të aplikuara në një trup të ngurtë, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që vektori kryesor i sistemit të forcës të jetë i barabartë me zero dhe pika kryesore sistemi i forcave në lidhje me çdo qendër reduktimi ishte gjithashtu i barabartë me zero. Përndryshe: për ~0, kushtet e mëposhtme janë të nevojshme dhe të mjaftueshme:
,
ose 
,
. (19)
Kushtet e ekuilibrit për një sistem hapësinor forcash në formë analitike
Për ekuilibrin e një sistemi hapësinor të forcave të aplikuara në një trup të ngurtë, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që tre shumat e projeksioneve të të gjitha forcave në bosht. Koordinatat karteziane ishin të barabarta me zero dhe tre shumat e momenteve të të gjitha forcave në lidhje me tre boshtet koordinative ishin gjithashtu të barabarta me zero.
. (20)
Kushtet e ekuilibrit për një sistem hapësinor të forcave konvergjente
Për ekuilibrin e një sistemi hapësinor të forcave konvergjente të aplikuara në një trup të ngurtë, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që shumat e projeksioneve të forcave në secilin nga tre boshtet koordinative drejtkëndore të jenë të barabarta me zero.:
;
;
, (21)
Në rastin e një sistemi të rrafshët të forcave konvergjente, zakonisht një nga boshtet koordinative 
, zgjidhet pingul me forcat, dhe dy boshtet e tjera zgjidhen, përkatësisht, në rrafshin e forcave. D për ekuilibër sistem i sheshtë forcat konvergjente që veprojnë në një trup të ngurtë janë të nevojshme dhe të mjaftueshme në mënyrë që shuma e projeksioneve të këtyre forcave në secilën nga dy drejtkëndëshat boshtet koordinative, të shtrirë në rrafshin e forcave, ishin të barabarta me zero:
;
, (22)
Kushtet e ekuilibrit për një sistem hapësinor të forcave paralele
Le të drejtojmë boshtin 
paralel me forcat: për ekuilibrin e një sistemi hapësinor të forcave paralele të aplikuara në një trup të ngurtë, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që shuma algjebrike e këtyre forcave të jetë e barabartë me zero dhe shuma e momenteve të forcave në lidhje me dy boshtet koordinative pingul me forcat janë gjithashtu e barabartë me zero:
Kushtet e ekuilibrit për një sistem të rrafshët të forcave
Le të pozicionojmë akset 
Dhe 
në rrafshin e veprimit të forcave.
Kushtet e ekuilibrit për një sistem të rrafshët të forcave në formën e parë: për ekuilibrin e një sistemi të rrafshët të forcave që veprojnë në një trup të ngurtë, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që shumat e projeksioneve të këtyre forcave në secilin prej dy boshteve koordinative drejtkëndore të vendosura në rrafshin e veprimit të forcave të jenë të barabarta me zero. dhe shuma e momenteve algjebrike të forcave në lidhje me çdo pikë të vendosur në rrafshin e forcave të veprimit ishte gjithashtu zero:
(24)
Për ekuilibrin e një sistemi të rrafshët të forcave paralele të aplikuara në një trup të ngurtë, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që shuma algjebrike e forcave të jetë e barabartë me zero dhe shuma e momenteve algjebrike të forcave në lidhje me çdo pikë të vendosur në rrafsh. i forcave është gjithashtu i barabartë me zero:
(25)
Teorema me tre momente (forma e dytë e kushteve të ekuilibrit): për ekuilibrin e një sistemi të rrafshët të forcave të aplikuara në një trup të ngurtë, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që shumat e momenteve algjebrike të forcave të sistemit në lidhje me çdo tre pikë të vendosura në rrafshin e veprimit të forcave dhe jo të shtrira. në të njëjtën drejtëz janë të barabartë me zero:
Forma e tretë e kushteve të ekuilibrit: për ekuilibrin e një sistemi të rrafshët të forcave të aplikuara në një trup të ngurtë, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që shumat e momenteve algjebrike të forcave në lidhje me çdo dy pika që shtrihen në rrafshin e veprimit të forcave të jenë të barabarta me zero dhe algjebrike. shuma e projeksioneve të këtyre forcave mbi çdo bosht të rrafshit që nuk është pingul me vijën e drejtë, që kalon nëpër dy pika momenti, ishte gjithashtu e barabartë me zero, d.m.th.
Le të shqyrtojmë një sistem hapësinor arbitrar të forcave që veprojnë në një trup të ngurtë. Le ta sjellim këtë sistem forcash në një qendër të caktuar dhe të përqendrohemi në rastin kur vektori kryesor dhe momenti kryesor i këtij sistemi forcash janë të barabartë me zero, d.m.th.
(1) Një sistem i tillë forcash është i barabartë me zero, d.m.th. i balancuar. Për rrjedhojë, barazitë (1) janë kushte të mjaftueshme ekuilibri. Por edhe këto kushte janë të nevojshme, d.m.th. nëse sistemi i forcave është në ekuilibër, atëherë plotësohen edhe barazitë (1), nëse sistemi do të ishte në ekuilibër, por, për shembull 
Se këtë sistem do të ishte shartuar mbi rezultanten në qendër të reduktimit dhe nuk do të kishte pasur ekuilibër. Nëse por Mo =**O, ky sistem do të shartohej në çift dhe nuk do të kishte as ekuilibër. Kështu, ne kemi vërtetuar se për ekuilibrin e një sistemi hapësinor arbitrar të forcave është e nevojshme dhe e mjaftueshme që vektori kryesor dhe momenti kryesor i këtij sistemi në lidhje me një qendër reduktimi të zgjedhur në mënyrë arbitrare të jenë të barabarta me zero. Kushtet (1) quhen kushte ekuilibri në formë vektoriale. Për të marrë një formë analitike të kushteve të ekuilibrit që është më e përshtatshme për qëllime praktike, le të projektojmë barazitë (1) në boshtet e sistemit të koordinatave karteziane. Si rezultat marrim:
(2)kushtet e ekuilibrit për një sistem forcash paralele në hapësirë Për ekuilibrin e një sistemi hapësinor arbitrar të forcave, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që shuma e projeksioneve të të gjitha forcave në boshtet koordinative x, y dhe z, si dhe shuma e momenteve të të gjitha forcave në lidhje me të njëjtën akset, të barabarta me zero Le të veprohet mbi një trup të ngurtë sistemi hapësinor forcat paralele. Meqenëse zgjedhja e akseve është arbitrare, është e mundur të zgjidhet një sistem koordinativ në mënyrë që një nga boshtet të jetë paralel me forcat, dhe dy
të tjerat janë pingul me to (Fig. 1.38). Me këtë zgjedhje të boshteve të koordinatave, projeksionet e secilës prej forcave në boshtet x dhe y dhe momentet e tyre në lidhje me boshtin z do të jenë gjithmonë të barabarta me zero. Kjo do të thotë se 
Këto barazi plotësohen në mënyrë identike, pavarësisht nëse një sistem i caktuar forcash është në ekuilibër apo jo, d.m.th. pushojnë së qeni kushte ekuilibri. Prandaj, kushtet e mëposhtme të ekuilibrit do të mbeten:
Kështu, për ekuilibrin e një sistemi forcash paralele në hapësirë, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që shuma e projeksioneve të të gjitha forcave në boshtin paralel me këto forca të jetë e barabartë me zero dhe që premtimet e momenteve të tyre në lidhje me secilën prej dy boshtet koordinative pingul me forcat janë gjithashtu të barabarta me zero.
17, Teorema mbi ekuivalencën e dy çifteve të forcave në hapësirë.
Sjellja e një force në një qendër të caktuar (metoda Poinsot) - një forcë mund të transferohet paralelisht me vetveten në çdo pikë të planit nëse shtoni çiftin e duhur të forcave, momenti i të cilit është i barabartë me momentin e kësaj force në raport me pika në fjalë. Le t'i shtojmë sistemit në pikën A dy forca, të barabarta në madhësi me njëra-tjetrën dhe me madhësinë e forcës së dhënë, të drejtuara përgjatë së njëjtës vijë të drejtë në anët e kundërta dhe paralel me një forcë të dhënë: Gjendja kinematike nuk ka ndryshuar (aksioma e bashkëngjitjes). Forca fillestare dhe një nga forcat e shtuara në drejtim të kundërt formojnë një palë forcash. Momenti i këtij çifti është numerikisht i barabartë me momentin e forcës fillestare në raport me qendrën e reduktimit. Në shumë raste, është e përshtatshme të përfaqësosh një palë forcash me një shigjetë harku. Sjellja e një sistemi arbitrar të forcave në një qendër të caktuar - ne zgjedhim një pikë arbitrare në aeroplan dhe transferojmë secilën prej forcave duke përdorur metodën Poinsot në këtë pikë. Në vend të sistemit origjinal arbitrar, marrim një sistem forcash konvergjente dhe një sistem çiftesh. Sistemi konvergjent i forcave reduktohet në një forcë të vetme të aplikuar në qendër të zvogëlimit, e cila më parë quhej rezultante, por tani kjo forcë nuk zëvendëson sistemin origjinal të forcave, pasi pas reduktimit ka lindur një sistem çiftesh. Një sistem çiftesh reduktohet në një çift (teorema mbi mbledhjen e çifteve), momenti i të cilit është i barabartë me shumën algjebrike të momenteve të forcave fillestare në lidhje me qendrën e reduktimit. NË rast i përgjithshëm një sistem i sheshtë arbitrar i forcave reduktohet në një forcë, të quajtur vektori kryesor, dhe në një çift me një moment të barabartë me momentin kryesor të të gjitha forcave të sistemit në lidhje me qendrën e reduktimit: - vektori kryesor, - kryesori moment. A. A. Kushti për ekuilibrin e një sistemi të sheshtë arbitrar forcash është kthimi i njëkohshëm i vektorit kryesor dhe momentit kryesor të sistemit në zero: Ekuacionet e ekuilibrit (forma I) fitohen në formën e një sistemi prej tre ekuacionesh nga kushtet e ekuilibrit. duke përdorur shprehje për projeksionet e vektorit kryesor: Ekzistojnë edhe dy forma të tjera të ekuacioneve të ekuilibrit (forma II dhe III)
17. 
27-28 Varësia midis momenteve kryesore të forcave në lidhje me dy qendrat e reduktimit të zgjedhura në mënyrë arbitrare. Invariantet e sistemit të forcës
Le të sillet ky sistem hapësinor në qendër O, d.m.th.
Ku 
Momenti kryesor formon një kënd të caktuar a me drejtimin e vektorit kryesor (Fig. 1.32)
Le të marrim tani një qendër të re reduktimi O1 dhe të sjellim të gjitha forcat në këtë qendër. Si rezultat, ne përsëri marrim një vektor kryesor të barabartë me vektorin kryesor R, dhe një moment të ri kryesor të përcaktuar nga formula ku pk është vektori i rrezes së pikës së aplikimit të forcës Fk, i tërhequr nga qendra e re e reduktimit O1 ( shih Fig. 1.32 Momenti kryesor Mo1 në lidhje me qendrën e re reduktimi ka ndryshuar dhe tani formon një kënd të caktuar a1 me drejtimin e vektorit kryesor R. Le të vendosim një lidhje midis momenteve Mo dhe Mo1 Nga Figura 1.32 është e qartë se (3) duke zëvendësuar (3) në barazi (2), marrim. 
(4) Më pas, duke hapur kllapat në anën e djathtë të barazisë (4) dhe duke marrë faktorin e përbashkët O1O përtej shenjës së shumës, kemi
( - projeksionet e momentit kryesor në lidhje me pikën O në boshtet koordinative).
Sjellja e forcës në një qendër të caktuar.
Për të sjellë një forcë të aplikuar në çdo pikë të një trupi të ngurtë në një qendër të caktuar është e nevojshme:
1) Transferoni forcën paralele me vetveten në një qendër të caktuar pa ndryshuar modulin e forcës.
2) Në një qendër të caktuar, zbatoni një palë forcash, momenti vektorial i të cilit është i barabartë me momentin vektorial të forcës së transferuar në lidhje me qendrën e re. Ky çift forcash quhet çift i bashkuar.
Veprimi i një force mbi një trup të ngurtë nuk ndryshon kur ai transferohet paralelisht me vetveten në një pikë tjetër të trupit të ngurtë, nëse shtohen disa forca.
33 
32
34. Për një sistem të rrafshët të forcave paralele, mund të hartohen dy ekuacione ekuilibri Nëse forcat janë paralele me boshtin Y, atëherë ekuacionet e ekuilibrit kanë formën.
Ekuacioni i dytë mund të ndërtohet për çdo pikë.
35 për ekuilibrin e një trupi plotësisht të lirë mbi të cilin vepron një sistem arbitrar hapësinor i forcave, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që të plotësohen gjashtë ekuacionet e ekuilibrit. Nëse një trup është i fiksuar në një pikë, atëherë ai ka tre shkallë lirie. Një trup i tillë nuk mund të lëvizë në mënyrë përkthimore, por mund të rrotullohet vetëm rreth çdo boshti, domethënë rreth boshteve koordinative. Në mënyrë që një trup i tillë të jetë në ekuilibër, është e nevojshme që ai të mos rrotullohet dhe për këtë mjafton të kërkohet që ekuacionet e tre momenteve të jenë të barabarta me zero.
Pra, në mënyrë që një trup absolutisht i ngurtë me një pikë fikse, mbi të cilin vepron një sistem hapësinor arbitrar forcash, të jetë në ekuilibër, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që shuma e momenteve të të gjitha forcave në lidhje me tre boshte reciprokisht pingul të jetë e barabartë. zero.
Tre ekuacione të tjera përdoren për të përcaktuar përbërësit e reaksionit të menteshës në pikën e lidhjes Nx, Ny, Nz
37. Trupi që ka dy pika fikse ka një shkallë lirie. Ai mund të rrotullohet vetëm rreth një boshti që kalon nëpër këto dy pika fikse do të ekzistojë nëse trupi nuk rrotullohet rreth këtij boshti. Prandaj, për ekuilibër mjafton të kërkohet që shuma e momenteve të të gjitha forcave që veprojnë në trup në lidhje me boshtin që kalon nëpër dy pika fikse të jetë e barabartë me zero: ∑Mxx(Fi)=0 
38/Një sistem trupash janë disa trupa të lidhur me njëri-tjetrin në një farë mënyre. Forcat që veprojnë në trupat e sistemit ndahen në të jashtme dhe të brendshme. Të brendshme janë forcat e ndërveprimit ndërmjet trupave të të njëjtit sistem, dhe të jashtme janë forcat me të cilat trupat e një sistemi të caktuar veprojnë nga trupat që nuk janë pjesë e tij.
Nëse një sistem trupash është në ekuilibër, atëherë marrim parasysh ekuilibrin e secilit trup veç e veç, duke marrë parasysh forcat e brendshme të bashkëveprimit midis trupave. Nëse jepet një sistem arbitrar i sheshtë N trupat, atëherë për këtë sistem është e mundur të përpilohen ekuacione ekuilibri 3N. Kur zgjidhen problemet mbi ekuilibrin e një sistemi trupash, mund të merret parasysh edhe ekuilibri i sistemit të trupave në tërësi dhe për çdo kombinim trupash. Kur merret parasysh ekuilibri i sistemit në tërësi, forcat e brendshme të bashkëveprimit midis trupave nuk merren parasysh në bazë të aksiomës së barazisë së forcave të veprimit dhe reagimit. Kështu, ekzistojnë 2 lloje të gjetjes së ekuilibrit të sistemeve të trupave...1sp Para së gjithash, marrim parasysh të gjithë strukturën, dhe më pas shkëputim çdo trup nga ky sistem dhe shqyrtojmë. Ka ekuilibër në të. 2sp Ne e ndajmë sistemin në trupa individualë dhe përbërjen e ekuacionit të ekuilibrit për secilin trup.
Statikisht e definueshme sistemet janë sisteme në në të cilat numri i madhësive të panjohura nuk e kalon numrin e ekuacioneve të pavarura të ekuilibrit për një sistem të caktuar forcash.
E papërcaktuar statikisht Sistemet janë sisteme në të cilat numri i sasive të panjohura tejkalon numrin e ekuacioneve të pavarura të ekuilibrit për një sistem të caktuar forcash Kst = R-Y ku R është numri i reaksioneve. Y-numri i ekuacioneve të pavarura
41.Pasi trupi largohet nga pozicioni i ekuilibrit, forca e fërkimit statik zvogëlohet dhe gjatë lëvizjes quhet forca e fërkimit rrëshqitës, d.m.th., koeficienti i fërkimit të rrëshqitjes është pak më i vogël se koeficienti i fërkimit statik. Në llogaritjet teknike, këta koeficientë supozohen të jenë të barabartë. ME Duke rritur shpejtësinë e lëvizjes, koeficienti i fërkimit të rrëshqitjes për shumicën e materialeve zvogëlohet. Koeficienti i fërkimit të rrëshqitjes përcaktohet në mënyrë eksperimentale.
Forca rrëshqitëse e fërkimit drejtohet në kundërshtim me lëvizjen e mundshme të trupit.
Forca e fërkimit nuk varet nga zona e sipërfaqeve kontaktuese.
Forca maksimale e fërkimit është proporcionale me presionin normal. Nën presion normal kuptoni presionin total në të gjithë zonën e kontaktit të sipërfaqeve të fërkimit: Fmax=fN
43. Në prani të fërkimit, reaksioni i përgjithshëm i një sipërfaqeje të ashpër devijohet nga normalja në sipërfaqe me një kënd të caktuar.<р, который в случае выхода тела из равновесия достигает максимума и называется углом трения tgφ=Fmax/N Fmax=fN тогда tgφ=f
Tangjentja e këndit të fërkimit është e barabartë me koeficientin e fërkimit.
Një kon fërkimi është një kon i përshkruar nga reaksioni total R rreth drejtimit të reaksionit normal. Nëse koeficienti i fërkimit f është i njëjtë në të gjitha drejtimet, atëherë koni i fërkimit do të jetë rrethor
Që një trup të balancohet në një sipërfaqe të ashpër, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që rezultanta e forcave aktive të jetë brenda konit të fërkimit ose të kalojë përgjatë gjeneratës së konit.
30. Moduli i vektorit kryesor Ro=√Rx^2+Ry^2 ku Rx= ƩFkx Ry= ƩFky (projeksionet Rx,Ry të vektorit kryesor në boshtet koordinative përkatëse)
Këndet e formuara nga vektori kryesor me boshtin koordinativ përkatës Сos(x^Ro)=Rx/Ro Сos(y^Ro)=Ry/Ro
Moduli i momentit kryesor në lidhje me qendrën e zgjedhur të reduktimit O Mo√Mox^2+Moy^2 ku Mox=∑Mx(Fk) Moy=∑My(Fk) Mox Moy-projeksionet e momentit kryesor në lidhje me pikën O në akset koordinative)
Këndet e formuara nga momenti kryesor me boshtet koordinative përkatëse Сos(x^Mo)=Mox/Mo Сos(y^Mo)=Moy/Mo
Nëse Ro nuk=0 Mo=0 sistemi i forcave mund të zëvendësohet me një forcë
Ro=0 Mo jo=0 sistemi i forcave zëvendësohet me një çift forcash
Rone=0 Mo jo=0 por Ro pingul me Mo zëvendësohet nga një forcë që nuk kalon nga qendra e reduktimit
31.Sistemi i rrafshët i forcave. Të gjitha forcat e këtij sistemi qëndrojnë në një plan. Le të jetë, për shembull, rrafshi XAY, ku A është një qendër reduktimi arbitrare. Forcat e këtij sistemi nuk janë projektuar në boshtin AZ dhe nuk krijojnë momente në lidhje me boshtet AX dhe AY, pasi ato shtrihen në rrafshin XAY (seksioni 13). Në këtë rast barazia
Duke marrë parasysh këtë, marrim kushtet e ekuilibrit për një sistem të rrafshët të forcave:
Kështu, për ekuilibrin e një trupi të ngurtë nën veprimin e një sistemi të rrafshët të forcave, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që dy shuma të projeksioneve të forcave në boshtet koordinative dhe shuma e momenteve algjebrike të të gjitha forcave në lidhje me çdo pikë. në rrafsh të jetë e barabartë me zero.
39.forcat që veprojnë në të gjitha pikat quhen të shpërndara vëllimi i dhënë ose një pjesë të caktuar të një sipërfaqeje ose vije. Ras kufizuar forcat karakterizohen nga intensiteti q, dmth me forcë, për shkak për njësi të vëllimit, sipërfaqes ose gjatësisë së vijës. Forcat e shpërndara zakonisht zëvendësohen nga ato të përqendruara.
Nëse forcat e shpërndara veprojnë në një rrafsh në një vijë të drejtë, atëherë ato zëvendësohen nga një forcë e përqendruar si më poshtë.
Një ngarkesë e shpërndarë në mënyrë uniforme me intensitet q zëvendësohet nga një forcë e përqendruar Q =qL e cila zbatohet në mes të seksionit. Një ngarkesë e shpërndarë në mënyrë uniforme i referohet forcave që kanë të njëjtat madhësi dhe drejtime në një zonë të caktuar të trupit.
Nëse forcat e shpërndara ndryshojnë sipas një ligji linear
(përgjatë trekëndëshit), atëherë forca e përqendruar Q = qmaxL/2- zbatohet në qendrën e gravitetit të trekëndëshit, e vendosur në një distancë - nga baza e tij……………….
44. Fërkimi rrotullues është rezistenca ndaj lëvizjes që ndodh kur trupat rrotullohen mbi njëri-tjetrin. Duket, për shembull, midis elementeve të kushinetëve të rrotullimit, midis gomës së një rrote makine dhe sipërfaqes së rrugës. Si rregull, vlera e fërkimit të rrotullimit është shumë më e vogël se vlera e fërkimit të rrëshqitjes, dhe për këtë arsye rrotullimi është një lloj i zakonshëm i lëvizjes në teknologji.
Fërkimi i rrotullimit ndodh në ndërfaqen e dy trupave dhe për këtë arsye klasifikohet si një lloj fërkimi i jashtëm.
45.fërkimi me rrotullim. Supozojmë se një top i rëndë shtrihet në një plan horizontal, qendrën e topit e shënojmë me O dhe pikën e kontaktit të topit me rrafshin me C. Rrotullimi i topit rreth vijës së drejtë CO quhet rrotullim. Përvoja tregon se nëse momenti i çiftit që duhet të shkaktojë rrotullimin e topit është shumë i vogël, atëherë topi nuk do të rrotullohet. Nga kjo rrjedh se veprimi i çiftit lëvizës paralizohet nga një çift tjetër, nga prania e të cilit varet fërkimi rrotullues.
Një metodë për llogaritjen e çift rrotullimit të fërkimit të një kushinete rrotullimi është të ndahet çift rrotullimi i fërkimit në të ashtuquajturin çift rrotullues të pavarur nga ngarkesa M0 dhe çift rrotullues të varur nga ngarkesa M1, të cilat më pas shtohen së bashku për të dhënë çift rrotullues total:
46 dy forca paralele të drejtuara në të njëjtin drejtim reduktohen në një forcë - një forcë rezultante e aplikuar në një pikë që ndan një vijë të drejtë në distanca në përpjesëtim të zhdrejtë me madhësitë e forcave. Duke shtuar vazhdimisht forcat paralele në çifte, ne gjithashtu arrijmë në një forcë - rezultante R: Meqenëse forca mund të transferohet përgjatë vijës së veprimit të saj, pika e aplikimit të forcës (rezultante) është në thelb e papërcaktuar. Nëse të gjitha forcat rrotullohen në të njëjtin kënd dhe forcat shtohen përsëri, marrim një drejtim të ndryshëm të vijës së veprimit të rezultantit. Pika e prerjes së këtyre dy linjave të veprimit të rezultanteve mund të konsiderohet si pika e aplikimit të rezultantes, e cila nuk ndryshon pozicionin e saj kur të gjitha forcat rrotullohen njëkohësisht në të njëjtin kënd. Kjo pikë quhet qendra e forcave paralele. Qendra e forcave paralele është pika e aplikimit të rezultantes, e cila nuk ndryshon pozicionin e saj kur të gjitha forcat rrotullohen njëkohësisht në të njëjtin kënd.
47 Vektori i rrezes së një pike është një vektor, fillimi i të cilit përkon me origjinën e sistemit të koordinatave, dhe fundi me pikën e dhënë.
Kështu, një veçori e vektorit të rrezes që e dallon atë nga të gjithë vektorët e tjerë është se origjina e tij ndodhet gjithmonë në pikën e origjinës (Fig. 17).
Qendra e forcave paralele, pika nëpër të cilën kalon vija e veprimit e sistemit rezultante të forcave paralele Fk për çdo rrotullim të të gjitha këtyre forcave pranë pikave të tyre të zbatimit në të njëjtin drejtim dhe në të njëjtin kënd. Koordinatat e qendrës së forcave paralele përcaktohen nga formula:
ku xk, yk, zk janë koordinatat e pikave të zbatimit të forcave.
48Qendra e gravitetit e një trupi të ngurtë - një pikë e lidhur pa ndryshim me këtë trup, përmes së cilës linja e veprimit e forcave rezultante të gravitetit të grimcave të trupit kalon në çdo pozicion të trupit në hapësirë. Në këtë rast, fusha e gravitetit konsiderohet homogjene, d.m.th. Forcat e gravitetit të grimcave të trupit janë paralele me njëra-tjetrën dhe mbeten konstante gjatë çdo rrotullimi të trupit. Koordinatat e qendrës së gravitetit:
; ; , ku P=åр k, x k,y k,z k janë koordinatat e pikave të zbatimit të forcave të rëndesës p k. Qendra e gravitetit është një pikë gjeometrike dhe mund të shtrihet jashtë trupit (për shembull, një unazë). Qendra e gravitetit të një figure të sheshtë:
DF k - zona elementare, F - zona e figurës. Nëse zona nuk mund të ndahet në disa pjesë të fundme, atëherë . Nëse një trup homogjen ka një bosht simetrie, atëherë qendra e gravitetit të trupit është në këtë bosht.
49 Zgjidhja e problemeve për të përcaktuar pozicionin (koordinatat) e qendrës së gravitetit të një pllake homogjene, një sistem trupash të vendosur në një plan ose hapësirë zbret në hartimin e ekuacioneve dhe futjen e mëtejshme të të dhënave numerike të njohura në të dhe llogaritjen e rezultatit:
ato. është e nevojshme të ndahet sistemi në komponentë dhe të gjenden pozicionet e qendrës së gravitetit të këtyre elementëve përbërës. Llogaritni masën e përbërësve, duke e shprehur atë përmes densitetit specifik - linear, vëllimor ose sipërfaqësor, në varësi të llojit të sistemit të paraqitur. Në fund të zgjidhjes, dendësia specifike do të zvogëlohet, kështu që mos kini turp ta futni atë (si rregull, nuk jepet, por teksti i problemit tregon që pllaka, shufrat dhe pllakat janë homogjene) . Nga veçoritë e kësaj detyre, duhet të theksohen dy gjëra: 1) përcaktimi i qendrës së gravitetit të një komponenti të një forme drejtkëndëshe, katrore ose shufre, rrethi nuk është i vështirë - qendra e gravitetit të figurave të tilla ndodhet në qendër.
50. sektori rrethor: ; Trekëndëshi. Duke e ndarë trekëndëshin në vija të holla,
paralel me secilën anë të saj përcaktojnë se që nga qendra
graviteti i secilës linjë qëndron në qendrën e saj gjeometrike (në qendër
simetri), atëherë qendra e gravitetit të trekëndëshit shtrihet në kryqëzimin e tij
mesatare Pika e kryqëzimit të medianeve i ndan ato në raport (2:1).
Sektori rrethor (Figura 54). Qendra e gravitetit shtrihet në bosht
simetri. Duke e ndarë një sektor rrethor në trekëndësha elementare
përcaktoni harkun e formuar nga qendrat e rëndesës së trekëndëshave. Rrezja
harku është i barabartë me 2/3 e rrezes së sektorit. Kështu, koordinata e qendrës
përcaktohet graviteti i sektorit rrethor
shprehja xC = mëkat α.
51 Hemisfera. Qendra e gravitetit shtrihet në boshtin e simetrisë në një distancë
3/8 nga baza.
Piramida (kon) (Figura 55).
Qendra e gravitetit shtrihet në vijë
duke lidhur kulmin me qendrën
graviteti i bazës në një distancë prej ¾ nga
Harku i rrethit Qendra e gravitetit shtrihet në boshtin e simetrisë dhe ka
koordinatat xC = sin α ; уС = 0 .
Kinematika
1Kinematika, një degë e mekanikës teorike, studion lëvizjen e trupave materialë pa u interesuar për arsyet që shkaktojnë ose ndryshojnë këtë lëvizje. Për të, vetëm vlefshmëria fizike dhe ashpërsia matematikore brenda kornizës së modeleve të pranuara janë të rëndësishme. Probleme kinematike Të vendosësh lëvizjen e një pike materiale (sistemi) do të thotë të japësh një mënyrë për të përcaktuar pozicionin e një pike (të gjitha pikat që formojnë një sistem) në çdo moment në kohë.
Detyrat e kinematikës janë të zhvillojë metoda për përcaktimin e lëvizjes së një pike (sistemi) dhe metoda për përcaktimin e shpejtësisë, nxitimit të një pike dhe sasive të tjera kinematike të pikave që përbëjnë një sistem mekanik. trajektorja e pikës
Të specifikosh lëvizjen e një pike do të thotë të specifikosh pozicionin e saj në çdo moment të kohës. Ky pozicion duhet të përcaktohet, siç u përmend tashmë, në një sistem koordinativ. Megjithatë, për këtë nuk është gjithmonë e nevojshme të specifikohen vetë koordinatat; ju mund të përdorni sasi që janë disi të lidhura me to. Më poshtë janë tre mënyra kryesore për të specifikuar lëvizjen e një pike.
1. Mënyra natyrale. Kjo metodë përdoret nëse dihet trajektorja e pikës. Një trajektore është një grup pikash në hapësirë përmes të cilave kalon një grimcë materiale lëvizëse. Kjo është linja që ajo tërheq në hapësirë. Me metodën natyrale, duhet të vendosni (Fig. 1):
a) trajektorja e lëvizjes (në lidhje me çdo sistem koordinativ);
b) një pikë arbitrare mbi të, zero, nga e cila matet distanca S deri te grimca lëvizëse përgjatë trajektores;
c) drejtim pozitiv i referencës S (kur pika M zhvendoset në drejtim të kundërt, S është negativ);
d) fillimi i kohës t;
e) funksioni S(t), i cili quhet ligji i lëvizjes**) i pikës.
2. Metoda e koordinatave. Kjo është mënyra më universale dhe gjithëpërfshirëse për të përshkruar lëvizjen. Ai merr detyrën:
a) sistemet e koordinatave (jo domosdoshmërisht karteziane) q1, q2, q3;
b) fillimi i kohës t;
c) ligji i lëvizjes së një pike, d.m.th. funksionet q1(t), q2(t), q3(t).
Kur flasim për koordinatat e një pike, gjithmonë do të nënkuptojmë (përveç rastit kur përcaktohet ndryshe) koordinatat e saj karteziane.
3. Metoda vektoriale. Pozicioni i një pike në hapësirë mund të përcaktohet gjithashtu nga një vektor rreze i tërhequr nga një origjinë e caktuar në një pikë të caktuar (Fig. 2). Në këtë rast, për të përshkruar lëvizjen duhet të vendosni:
a) origjinën e vektorit të rrezes r;
b) fillimi i kohës t;
c) ligjin e lëvizjes së pikës r(t).
Meqenëse përcaktimi i një sasie vektoriale r është ekuivalent me specifikimin e tre projeksioneve të saj x, y, z në boshtet e koordinatave, është e lehtë të kalosh nga metoda vektoriale në atë koordinative. Nëse prezantojmë vektorët njësi i, j, k (i = j = k = 1), të drejtuar përkatësisht përgjatë boshteve x, y dhe z (Fig. 2), atëherë, padyshim, ligji i lëvizjes mund të paraqitet në formë *)
r(t) = x(t)i +y(t)j+z(t)k. (1)
Avantazhi i formës vektoriale të regjistrimit ndaj formës së koordinatave është kompaktësia (në vend të tre sasive operohet me një) dhe shpesh qartësi më e madhe.
Shembull. Një unazë e vogël M vihet në një gjysmërreth teli të palëvizshëm, nëpër të cilin kalon një shufër tjetër e drejtë AB (Fig. 3), duke u rrotulluar në mënyrë uniforme rreth pikës A (= t, ku = konst). Gjeni ligjet e lëvizjes së unazës M përgjatë shufrës AB dhe në lidhje me gjysmërrethin.
Për të zgjidhur pjesën e parë të problemit, do të përdorim metodën e koordinatave, duke drejtuar boshtin x të sistemit kartezian përgjatë shufrës dhe duke zgjedhur origjinën e tij në pikën A. Meqenëse AMS e brendashkruar është një vijë e drejtë (siç bazohet në diametrin ),
x(t) = AM = 2Rcos = 2Rcoswt,
ku R është rrezja e gjysmërrethit. Ligji që rezulton i lëvizjes quhet një lëkundje harmonike (ky lëkundje padyshim do të vazhdojë vetëm deri në momentin që unaza të arrijë pikën A).
Ne do të zgjidhim pjesën e dytë të problemit duke përdorur metodën natyrale. Le të zgjedhim drejtimin pozitiv të numërimit të distancës përgjatë trajektores (gjysmërrethi AC) në drejtim të kundërt të akrepave të orës (Fig. 3), dhe zero që përkon me pikën C. Atëherë gjatësia e harkut SM në funksion të kohës do të japë ligjin e lëvizjes së pika M
S(t) = R2 = 2Rt,
ato. unaza do të lëvizë në mënyrë uniforme rreth një rrethi me rreze R me një shpejtësi këndore prej 2. Siç është e qartë nga ekzaminimi,
zero e numërimit të kohës në të dyja rastet korrespondonte me momentin kur unaza ishte në pikën C.
2.Metoda vektoriale e specifikimit të lëvizjes së një pike
Shpejtësia e pikës drejtohet në mënyrë tangjenciale në trajektoren (Fig. 2.1) dhe llogaritet, sipas (1.2), duke përdorur formulën
Ne kombinojmë origjinën e koordinatave me pikën e kryqëzimit të linjave të veprimit të forcave të sistemit. Ne projektojmë të gjitha forcat në boshtet koordinative dhe përmbledhim projeksionet përkatëse (Fig. 7.4). Ne marrim projeksionet e rezultatit në boshtet koordinative:
Moduli i sistemit rezultant të forcave konvergjente përcaktohet nga formula
Drejtimi i vektorit rezultant përcaktohet nga këndet
Sistemi hapësinor arbitrar i forcave
Sjellja e një sistemi hapësinor arbitrar të forcave në qendër të O.
Jepet një sistem hapësinor forcash (Fig. 7.5, a). Le ta sjellim në qendër O.
Forcat duhet të lëvizin paralelisht dhe formohet një sistem çiftesh forcash. Momenti i secilit prej këtyre çifteve është i barabartë me produktin e modulit të forcës dhe distancën nga qendra e reduktimit.
Një rreze forcash lind në qendrën e reduktimit, e cila mund të zëvendësohet nga forca totale (vektori kryesor) F GL (Fig. 7.5, b).
Momentet e çifteve të forcave mund të shtohen, duke marrë momentin total të sistemit M ch (momenti kryesor).
Kështu, një sistem arbitrar hapësinor i forcave reduktohet në vektorin kryesor dhe momentin kryesor.
Vektori kryesor zakonisht zbërthehet në tre komponentë të drejtuar përgjatë boshteve të koordinatave (Fig. 7.5, c).
Zakonisht momenti total zbërthehet në komponentë: tre momente në lidhje me boshtet koordinative.
Vlera absolute e vektorit kryesor (Fig. 7.5b) është e barabartë me
Vlera absolute e momentit kryesor përcaktohet nga formula.
Ekuacionet e ekuilibrit për një sistem hapësinor forcash
Në ekuilibër F ch = 0; M ch = 0. Ne marrim gjashtë ekuacione ekuilibri:
Gjashtë ekuacionet e ekuilibrit të sistemit hapësinor të forcave korrespondojnë me gjashtë lëvizje të pavarura të mundshme të trupit në hapësirë: tre lëvizje përgjatë boshteve koordinative dhe tre rrotullime rreth këtyre boshteve.
Shembuj të zgjidhjes së problemeve
Shembulli 1. Në një trup në formë kubi me një buzë A= 10 cm veprojnë tri forca (Fig. 7.6). Përcaktoni momentet e forcave në lidhje me boshtet koordinative që përkojnë me skajet e kubit.
Zgjidhje
1. Momentet e forcave rreth boshtit Oh:
2. Momentet e forcave rreth boshtit Oh.
Shembulli 2. Dy rrota janë të fiksuara në një bosht horizontal, g 1 = 0,4 m; g 2 = 0,8 m Dimensionet e tjera janë në Fig. 7.7. Forca aplikohet në rrotën 1 F 1, tek rrota 2 - fuqia F 2= 12 kN, F 3= 4 kN.
Përcaktoni forcën F 1 dhe reagimet në menteshat A Dhe NË në një gjendje ekuilibri.
Le t'ju kujtojmë:
1. Në ekuilibër plotësohen gjashtë ekuacione ekuilibri.
Ekuacionet e momentit duhet të shkruhen në lidhje me mbështetësit A dhe B.
2. Fuqitë F 2 \\O x; F 2\\Oy;F 3\\Oj.
Momentet e këtyre forcave në raport me boshtet përkatëse janë të barabarta me zero.
3. 
Llogaritja duhet të plotësohet me verifikim duke përdorur ekuacione shtesë të ekuilibrit.
Zgjidhje
1. Përcaktoni forcën F\, duke përbërë ekuacionin e momenteve të forcave në lidhje me boshtin Oz:
2. Përcaktoni reagimet në mbështetje A. Ka dy komponentë reagimi që veprojnë në mbështetje ( Y A ; X A ).
Ne hartojmë ekuacionin e momenteve të forcave rreth boshtit Oh"(në mbështetje IN).
Rrotullimi rreth një boshti Oh" nuk ndodh:
Shenja minus do të thotë që reagimi drejtohet në drejtim të kundërt.
Rrotullimi rreth një boshti Oh" nuk ndodh, ne hartojmë një ekuacion për momentet e forcave në lidhje me boshtin Oh"(në mbështetje IN):
3. Përcaktoni reaksionet në suport B. Dy përbërës të reaksionit veprojnë në suport ( X B , Y B ). Ne hartojmë ekuacionin e momenteve të forcave rreth boshtit Oh(mbështetje A):
Ne hartojmë ekuacionin e momenteve rreth boshtit Oh(mbështetje A):
4.Kontrollo. Ne përdorim ekuacionet e projeksionit:
Llogaritja është bërë në mënyrë korrekte.
Shembulli 3. Përcaktoni vlerën numerike të forcës P 1 , në të cilën boshti dielli(Fig. 1.21, A) do të jetë në ekuilibër. Në vlerën e forcës së gjetur P 1 përcaktoni reagimet mbështetëse.
Forcat që veprojnë në ingranazhe R
Dhe P 1
drejtuar në mënyrë tangjenciale në rrathët fillestarë të rrotave; forca T
Dhe T 1
- sipas rrezeve të rrotave; forca A 1 paralel me boshtin e boshtit. T = 0,36P, 7T 1 = P 1; A 1 = 0,12 P 1.
Zgjidhje
Mbështetësit e boshtit të paraqitur në Fig. 1.21, a, duhet të konsiderohen si mbështetëse hapësinore të menteshave që parandalojnë lëvizjet lineare në drejtimet e akseve Dhe Dhe v(sistemi i zgjedhur i koordinatave është paraqitur në Fig. 1.21, b).
Ne e çlirojmë boshtin nga lidhjet dhe e zëvendësojmë veprimin e tyre me reaksione V V, N V, V C, N C (Fig. 1.21, b). Ne kemi marrë një sistem hapësinor forcash, për të cilin hartojmë ekuacionet e ekuilibrit duke përdorur sistemin e zgjedhur të koordinatave (Fig. 1.21.6):
Ku A 1*1.25D/2 - momenti rreth boshtit Dhe forca A 1, aplikuar në marshin e duhur.
Momente rreth boshtit Dhe forca T 1 Dhe A 1(e aplikuar në marshin e mesëm), P 1 (aplikuar në marshin e djathtë) dhe P janë të barabarta me zero, pasi forcat P, T 1, P 1 janë paralele me boshtin Dhe, dhe forca A 1 kalon boshtin Dhe.
ku V C = 0,37P;
ku V B =0,37P.
pra reagimet V B Dhe V C përcaktuar saktë;
Ku A 1 * 1.25D/2- momenti rreth boshtit v forca A 1, aplikuar në marshin e mesëm.
Momente rreth boshtit v forcat T, P 1 (e aplikuar në marshin e mesëm), A 1 Dhe T 1(e aplikuar në marshin e djathtë) janë të barabarta me zero, pasi forcat T, R 1, T 1 paralel me boshtin v, forca A 1 kalon boshtin v.
prej nga H C = 0,81P;
nga ku H C = 1.274P
Le të krijojmë një ekuacion verifikimi:
pra reagimet N V Dhe N S përcaktuar saktë.
Si përfundim, vërejmë se reagimet e mbështetjes rezultuan të kishin një shenjë plus. Kjo tregon se drejtimet e zgjedhura V B, N B, V C Dhe N S përkojnë me drejtimet aktuale të reaksioneve të lidhjes.
Shembulli 4. Forca e presionit të shufrës lidhëse të motorit me avull P = 25 kN transmetohet në mes të ditarit të boshtit të gungës në pikën D në një kënd α
= 30° në horizontale me faqet e gjurit vertikal (Fig. 1.22). Një rrotull e lëvizjes së rripit është montuar në fund të boshtit. Tensioni i degës lëvizëse të brezit është dy herë më i madh se ai i degës së shtyrë, d.m.th. S 1 = 2S 2 . Forca e gravitetit të volantit G = 10 kN.
Përcaktoni tensionin e degëve të lëvizjes së rripit dhe reagimet e kushinetave A Dhe NË, duke neglizhuar masën e boshtit.
Zgjidhje
Ne marrim parasysh ekuilibrin e një boshti me gunga horizontale me një rrotull. Ne zbatojmë forcat e specifikuara në përputhje me kushtet e problemit P, S 1, S 2 Dhe G . Ne e çlirojmë boshtin nga lidhësit mbështetës dhe e zëvendësojmë veprimin e tyre me reaksione V A, N A, V B Dhe N V. Ne zgjedhim boshtet e koordinatave siç tregohet në Fig. 1.22. Me mentesha A Dhe NË nuk ndodh asnjë reagim përgjatë boshtit w, meqenëse tensioni i degëve të brezit dhe të gjitha forcat e tjera veprojnë në rrafshe pingul me këtë bosht.
Le të krijojmë ekuacione ekuilibri:
Përveç kësaj, sipas kushteve të problemit, kemi një ekuacion tjetër
Pra, këtu janë gjashtë forca të panjohura S 1, S 2, N A, V A, N B Dhe V B dhe gjashtë ekuacione që i lidhin ato.
Ekuacioni i projeksioneve në një bosht w në shembullin në shqyrtim kthehet në identitetin 0 = 0, pasi të gjitha forcat shtrihen në rrafshe pingul me boshtin w.
Duke zëvendësuar S 1 =2S 2 në ekuacionet e ekuilibrit dhe duke i zgjidhur ato, gjejmë:
Vlera e reagimit N V Doli me një shenjë minus. Kjo do të thotë që në realitet drejtimi i tij është i kundërt me atë të supozuar në Fig. 1.22.
Pyetjet dhe detyrat e testit
1. Shkruani formulat për llogaritjen e vektorit kryesor të një sistemi hapësinor të forcave konvergjente.
2. Shkruani formulën për llogaritjen e vektorit kryesor të një sistemi hapësinor të forcave të vendosura në mënyrë arbitrare.
3. Shkruani formulën për llogaritjen e momentit kryesor të një sistemi hapësinor forcash.
4. Shkruani sistemin e ekuacioneve të ekuilibrit për sistemin hapësinor të forcave.
5. Cili ekuacion ekuilibri duhet të përdoret për të përcaktuar reaksionin e shufrës R 1 (Fig. 7.8)?
6. Përcaktoni momentin kryesor të sistemit të forcës (Fig. 7.9). Pika e referencës është origjina e koordinatave. Boshtet e koordinatave përkojnë me skajet e kubit, buza e kubit është 20 cm; F 1 - 20 kN; F 2 - 30 kN.
7. Përcaktoni reaksionin Xb (Fig. 7.10). Boshti vertikal me rrotullën ngarkohet nga dy forca horizontale. Fuqitë F 1 Dhe F 2 paralel me boshtin Oh. AO = 0,3 m; OB= 0,5 m; F 1 = 2 kN; F 2 = 3,5 kN.
 |
Rekomandim. Krijo një ekuacion për momentet rreth boshtit Oh" në pikën A.
8. Përgjigjuni pyetjeve të testit.
U vërtetua më sipër (6.5, rasti 6) se
Duke pasur parasysh se, 
, le të projektojmë formulat (6.18) në boshtet e koordinatave karteziane. ne kemi forma analitike e ekuacioneve të ekuilibrit për një sistem hapësinor arbitrar forcash:
(6.19)
Tre ekuacionet e fundit ndodhin për faktin se projeksioni i momentit të forcës në lidhje me një pikë në boshtin që kalon nëpër këtë pikë është i barabartë me momentin e forcës në lidhje me boshtin (formula (6.9)).
konkluzioni sistemi hapësinor arbitrar i forcave, e cila aplikohet në një trup të fortë, ne duhet të kompozojmë gjashtë ekuacione ekuilibri(6.19), prandaj kemi mundësinë të përcaktojmë duke përdorur këto ekuacione gjashtë sasi të panjohura.
Merrni parasysh rastin sistemi hapësinor i forcave paralele. Ne zgjedhim sistemin e koordinatave në mënyrë që boshti Oz ishte paralel me vijat e veprimit të forcave (Fig. 6.11).
Kjo lë tre ekuacione:
konkluzioni. Kur zgjidh problemet e ekuilibrit sistemi paralel hapësinor i forcave, që aplikohet në një trup të fortë, ne duhet të kompozojmë tre ekuacione ekuilibri dhe me ndihmën e këtyre ekuacioneve kemi mundësi të përcaktojë tre madhësi të panjohura.
Në leksionin e parë në seksionin "Statika", zbuluam se ka gjashtë lloje të sistemeve të forcës, të cilat mund të hasen në praktikën tuaj të llogaritjeve inxhinierike. Përveç kësaj, ekzistojnë dy mundësi për rregullimin e çifteve të forcave: në hapësirë dhe në një aeroplan. Le të përmbledhim të gjitha ekuacionet e ekuilibrit për forcat dhe për çiftet e forcave në një tabelë (Tabela 6.2), në të cilën në kolonën e fundit shënojmë numrin e madhësive të panjohura që sistemi i ekuacioneve të ekuilibrit do të na lejojë të përcaktojmë.
Tabela 6.2 – Ekuacionet e ekuilibrit për sisteme të ndryshme forcash
| Lloji i sistemit të forcës | Ekuacionet e ekuilibrit | Numri i të panjohurave për t'u përcaktuar | |
Banesë konvergjente  | |||
E sheshtë paralele (boshti 0 në)
 |  t 0xy
| ||
Banesë arbitrare (në rrafshin 0xy)  |  t– arbitrare, që i përket aeroplanit 0xy
|
Vazhdimi i tabelës 6.2
Vazhdimi i tabelës 6.2
Pyetje për vetëkontroll në temën 6
1. Si të gjejmë momentin e forcës rreth një boshti?
2. Çfarë raporti ekziston midis momentit të një force në lidhje me një pikë dhe momentit të së njëjtës forcë në lidhje me boshtin që kalon në këtë pikë?
3. Në cilat raste momenti i forcës rreth boshtit është i barabartë me zero? Dhe kur është më i madhi?
4. Në cilat raste sistemi i forcave reduktohet në rezultante?
5. Në cilin rast jepet sistemi hapësinor i forcave:
– ndaj një çifti forcash;
– te vidha dinamike?
6. Çfarë quhet invariant i statikës? Çfarë invariante statike dini?
7. Shkruani ekuacionet e ekuilibrit për një sistem hapësinor arbitrar forcash.
8. Formuloni një kusht të domosdoshëm dhe të mjaftueshëm për ekuilibrin e një sistemi hapësinor paralel të forcave.
9. A do të ndryshojë vektori kryesor i sistemit të forcës kur ndryshon qendra e gravitetit? Dhe pika kryesore?
Tema 7. FERMAT. PËRKUFIZIMI I PËRPJEKJES
Siç u sqarua në § 4.4, kushtet e nevojshme dhe të mjaftueshme për ekuilibrin e një sistemi hapësinor të forcave të aplikuara në një trup të ngurtë mund të shkruhen në formën e tre ekuacioneve të projeksionit (4.16) dhe tre momenteve (4.17):
, 
, 
. (7.14)
Nëse trupi është plotësisht i fiksuar, atëherë forcat që veprojnë mbi të janë në ekuilibër dhe ekuacionet (7.13) dhe (7.14) shërbejnë për të përcaktuar reaksionet mbështetëse. Sigurisht, mund të ketë raste kur këto ekuacione nuk janë të mjaftueshme për të përcaktuar reaksionet mbështetëse; Ne nuk do të konsiderojmë sisteme të tilla statikisht të papërcaktuara.
Për një sistem hapësinor të forcave paralele, ekuacionet e ekuilibrit marrin formën (§ 4.4[‡]):
, , . (7.15)
Le të shqyrtojmë tani rastet kur trupi është fiksuar vetëm pjesërisht, d.m.th. lidhjet që i imponohen trupit nuk garantojnë ekuilibrin e trupit. Mund të tregohen katër raste të veçanta.
1. Një trup i fortë ka një pikë fikse. Me fjalë të tjera, është ngjitur në një pikë fikse duke përdorur një bashkim të përsosur sferik.
Le të vendosim origjinën e sistemit të koordinatave fikse në këtë pikë. Veprimi i lidhjes në një pikë A Le ta zëvendësojmë me një reagim; meqenëse është i panjohur për nga madhësia dhe drejtimi, do ta paraqesim në formën e tre komponentëve të panjohur, , , të drejtuara përkatësisht përgjatë boshteve , , .
Ekuacionet e ekuilibrit (7.13) dhe (7.14) në këtë rast do të shkruhen në formën:
1) 
,
2) 
,
3) 
,
4) 
,
5) 
,
6) 
. (7.16)
Tre ekuacionet e fundit nuk përmbajnë komponentë reaksioni, pasi linja e veprimit të kësaj force kalon nëpër pikë A. Rrjedhimisht, këto ekuacione vendosin marrëdhëniet midis forcave aktive të nevojshme për ekuilibrin e trupit, dhe tre ekuacionet e para mund të përdoren për të përcaktuar përbërësit e reaksionit.
Kështu, kushti për ekuilibrin e një trupi të ngurtë që ka një pikë fikse është barazia me zero e secilës prej shumave algjebrike të momenteve të të gjitha forcave aktive të sistemit në lidhje me tre boshte që kryqëzohen në një pikë fikse të trupit. .
2. Trupi ka dy pika fikse. Kështu do të ndodhë, për shembull, nëse është ngjitur në dy pika fikse duke përdorur mentesha.
Le të zgjedhim origjinën e koordinatave në pikë A dhe drejtoni boshtin përgjatë vijës që kalon nëpër pika A Dhe NË. Le të zëvendësojmë veprimin e lidhjeve me reaksione, duke i drejtuar përbërësit e reaksionit përgjatë boshteve koordinative. Le të shënojmë distancën midis pikave A Dhe NË përmes A; atëherë ekuacionet e ekuilibrit (7.13) dhe (7.14) do të shkruhen në formën e mëposhtme:
1) 
,
2) 
,
3) 
,
4) 
,
5) 
,
6) . (7.17)
Ekuacioni i fundit nuk përmban forca reaksioni dhe vendos lidhjen midis forcave aktive të nevojshme për ekuilibrin e trupit. Prandaj, kushti për ekuilibrin e një trupi të ngurtë me dy pika fikse është barazia me zero e shumës algjebrike të momenteve të të gjitha forcave aktive të aplikuara në trup në lidhje me boshtin që kalon nëpër pikat fikse. . Pesë ekuacionet e para përdoren për të përcaktuar përbërësit e panjohur të reaksioneve , , , , , .
Vini re se komponentët dhe nuk mund të përcaktohen veçmas. Nga ekuacioni i tretë, përcaktohet vetëm shuma + dhe, për rrjedhojë, problemi në lidhje me secilën prej këtyre të panjohurave për një trup të ngurtë është statikisht i papërcaktuar. Megjithatë, nëse në pikën NË Nëse nuk ka një menteshë sferike, por një cilindrike (d.m.th., një kushinetë), e cila nuk ndërhyn në rrëshqitjen gjatësore të trupit përgjatë boshtit të rrotullimit, atëherë problemi bëhet statikisht i përcaktuar.
Trupi ka një bosht fiks rrotullimi përgjatë të cilit mund të rrëshqasë pa fërkim. Kjo do të thotë se në pika A Dhe NË ka mentesha cilindrike (kushineta), dhe përbërësit e reaksioneve të tyre përgjatë boshtit të rrotullimit janë të barabartë me zero. Rrjedhimisht, ekuacionet e ekuilibrit do të marrin formën:
1) ,
2) ,
4) ,
5) ,
6) . (7.18)
Dy nga ekuacionet (7.18), përkatësisht i treti dhe i gjashti, vendosin kufizime në sistemin e forcave aktive, dhe ekuacionet e mbetura shërbejnë për të përcaktuar reaksionet.
Trupi mbështetet në tre pika në një sipërfaqe të lëmuar, dhe pikat mbështetëse nuk shtrihen në të njëjtën vijë të drejtë. Le t'i shënojmë këto pika me A, NË Dhe ME dhe në përputhje me aeroplanin ABC plan koordinativ Ahu. Duke zëvendësuar veprimin e lidhjeve me reaksione vertikale , dhe , shkruajmë kushtet e ekuilibrit (7.14) në formën e mëposhtme:
3) 
,
4) 
,
5) 
,
6) . (7.19)
Ekuacionet e treta - të pesta mund të shërbejnë për përcaktimin e reaksioneve të panjohura, dhe ekuacionet e para, të dyta dhe të gjashta përfaqësojnë kushtet që lidhin forcat aktive dhe të nevojshme për ekuilibrin e trupit. Natyrisht që trupi të jetë në ekuilibër duhet të plotësohen këto kushte: , , 
pasi në pikat mbështetëse mund të ndodhin vetëm reaksione të drejtimit të pranuar më sipër.
Nëse trupi qëndron në një plan horizontal në më shumë se tre pika, atëherë problemi bëhet statikisht i papërcaktueshëm, pasi në këtë rast do të ketë aq reaksione sa pika dhe do të mbeten vetëm tre ekuacione për të përcaktuar reaksionet.
Problemi 7.3. Gjeni vektorin kryesor dhe momentin kryesor të sistemit të forcave të paraqitur në Fig. Forcat zbatohen në kulmet e kubit dhe drejtohen përgjatë skajeve të tij, dhe 
, 
. Gjatësia e skajit të kubit është A.
Ne gjejmë projeksionet e vektorit kryesor duke përdorur formulat (4.4):
, 
, 
.
Moduli i tij është. Kosinuset e drejtimit do të jenë
, ;
, ;
, 
.
Vektori kryesor është paraqitur në Fig.
,
dhe moduli i momentit kryesor sipas formulës (4.8)
Tani përcaktojmë kosinuset e drejtimit të momentit kryesor:
, 
;
, 
.
Pika kryesore është treguar në Fig. Këndi ndërmjet vektorëve dhe llogaritet duke përdorur formulën (4.11) dhe
Ne gjejmë kufijtë e zonës së dëshiruar nga kushtet:
,
.
Nga këtu gjejmë
,
.
Në Fig. rajoni i dëshiruar, i ndërtuar në , është i hijezuar. E gjithë sipërfaqja e pllakës do të jetë e sigurt.
