≡× MENU

• داخلی
• ویندوز
• دیوارها
• پروژه ها
• ساختمان ها

کسری به درجه منفی قوانینی دارد. قدرت، قوانین، مثال ها

بالا بردن توان منفی یکی از عناصر اساسی ریاضیات است و اغلب در حل مسائل جبری با آن مواجه می‌شویم. در زیر دستورالعمل های دقیق آمده است.

چگونه به یک قدرت منفی برسیم - نظریه

وقتی عددی را به توان معمولی برسانیم، مقدار آن را چندین برابر می کنیم. به عنوان مثال، 3 3 = 3×3×3 = 27. با کسر منفی برعکس آن صادق است. شکل کلی فرمول به صورت زیر خواهد بود: a -n = 1/a n. بنابراین، برای افزایش یک عدد به توان منفی، باید یک را بر عدد داده شده تقسیم کنید، اما به توان مثبت.

چگونه به توان منفی برسیم - مثال هایی روی اعداد معمولی

با در نظر گرفتن قانون فوق، اجازه دهید چند مثال را حل کنیم.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
جواب: 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
پاسخ -4 -2 = 1/16.

اما چرا پاسخ های مثال اول و دوم یکسان است؟ واقعیت این است که هنگام ساخت عدد منفیبه قدرت زوج (2، 4، 6، و غیره)، علامت مثبت می شود. اگر درجه زوج بود، منفی باقی می ماند:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

چگونه اعداد را از 0 به 1 به توان منفی برسانیم

به یاد بیاورید که وقتی عددی بین 0 و 1 به توان مثبت افزایش می یابد، با افزایش توان، مقدار کاهش می یابد. به عنوان مثال، 0.5 2 = 0.25. 0.25< 0,5. В случае с отрицательной степенью все обстоит наоборот. При возведении десятичного (дробного) числа в отрицательную степень, значение увеличивается.

مثال 3: 0.5 -2 را محاسبه کنید
راه حل: 0.5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4.
پاسخ: 0.5 -2 = 4

تجزیه و تحلیل (توالی اقدامات):

• کسر اعشاری 0.5 را به کسر کسری 1/2 تبدیل کنید. اینجوری راحت تره
  1/2 را به توان منفی برسانید. 1/(2) -2 . 1 را بر 1/(2) 2 تقسیم کنید، 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4 بدست می آید

مثال 4: 0.5 -3 را محاسبه کنید
راه حل: 0.5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8

مثال 5: -0.5 -3 را محاسبه کنید
راه حل: -0.5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
پاسخ: -0.5 -3 = -8

بر اساس مثال های چهارم و پنجم، می توان چندین نتیجه گرفت:

• برای یک عدد مثبت در محدوده 0 تا 1 (مثال 4) که به توان منفی افزایش یافته است، زوج یا فرد بودن توان آن مهم نیست، مقدار عبارت مثبت خواهد بود. علاوه بر این، هر چه درجه بیشتر باشد، ارزش بیشتری دارد.
• برای یک عدد منفی در محدوده 0 تا 1 (مثال 5) که به توان منفی افزایش یافته است، زوج یا فرد بودن توان آن مهم نیست، مقدار عبارت منفی خواهد بود. در این حالت، هر چه درجه بالاتر باشد، مقدار آن کمتر است.

چگونه به توان منفی برسیم - توانی به شکل یک عدد کسری

عبارات این نوع شکل زیر را دارند: a -m/n که a یک عدد منظم است، m صورت‌گر درجه، n مخرج درجه است.

بیایید به یک مثال نگاه کنیم:
محاسبه کنید: 8 -1/3

راه حل (توالی اقدامات):

• بیایید قانون افزایش یک عدد به توان منفی را به خاطر بسپاریم. دریافت می کنیم: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3.
• توجه کنید که مخرج عدد 8 را در توان کسری دارد. شکل کلی محاسبه توان کسری به شرح زیر است: a m/n = n √8 m.
• بنابراین، 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1). ریشه مکعب هشت را می گیریم که برابر با 2 است. از اینجا 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2 است.
• پاسخ: 8 -1/3 = 2

همانطور که می دانید، در ریاضیات نه تنها وجود دارد اعداد مثبت، بلکه منفی است. اگر آشنایی با قدرت های مثبت با تعیین مساحت یک مربع شروع شود، پس با قدرت های منفی همه چیز تا حدودی پیچیده تر است.

این را باید بدانید:

1. افزایش یک عدد به توان طبیعی، ضرب یک عدد (در مقاله مفاهیم عدد و معادل رقم را در نظر خواهیم گرفت) به خودی خود به اندازه توان (در آینده به صورت موازی و به سادگی از کلمه استفاده خواهیم کرد) است. توان). 6^3 = 6*6*6 = 36*6 =216. در نمای کلیبه نظر می رسد این است: m^n = m*m*m*…*m (n بار).
2. باید در نظر داشت که وقتی یک عدد منفی به توان طبیعی افزایش یابد، اگر توان زوج باشد، مثبت می شود.
3. با بالا بردن یک عدد به توان 0 یک به دست می آید، مشروط بر اینکه برابر با صفر نباشد. توان صفر تا صفر تعریف نشده در نظر گرفته می شود. 17^0 = 1.
4. استخراج ریشه یک توان معین از یک عدد، یافتن عددی است که با افزایش توان مناسب، مقدار مورد نظر را به دست می‌دهد. بنابراین، ریشه مکعب 125 برابر با 5 است، زیرا 5^3 = 125 است.
5. اگر می خواهید عددی را به توان کسری مثبت برسانید، باید عدد را به صورت مخرج برسانید و ریشه نما را از آن استخراج کنید. 6^5/7 = ریشه هفتم محصول 6*6*6*6*6.
6. اگر می خواهید عددی را به توان منفی برسانید، باید معکوس عدد داده شده را پیدا کنید. x^-3 = 1/x^3. 8^-4 = 1/8^4 = 1/8*8*8*8 = 1/4096.

افزایش یک عدد مدول صفر به یک به توان منفی

ابتدا باید یادمان باشد ماژول چیست. این فاصله روی خط مختصات از مقداری است که انتخاب کرده ایم تا مبدا (صفر خط مختصات). طبق تعریف، هرگز نمی تواند منفی باشد.

مقدار بزرگتر از صفر

هنگامی که مقدار یک رقم بین صفر و یک است، یک شاخص منفی باعث افزایش در خود رقم می شود. این اتفاق می افتد زیرا مخرج کاهش می یابد در حالی که مثبت باقی می ماند.

بیایید به نمونه هایی نگاه کنیم:

• 1/7^-3 = 1/(1/7^3) = 1/(1/343) = 343;
• 0,2^-5 = 1/0,2^5 = 1/0,2*0,2*0,2*0,2*0,2 = 1/0,00032 = 3125.

علاوه بر این ، هرچه ماژول نشانگر بزرگتر باشد ، رقم به طور فعال تر رشد می کند. همانطور که مخرج به سمت صفر میل می کند، کسر خود به اضافه بی نهایت میل می کند.

مقدار کمتر از صفر

حال بیایید ببینیم که اگر عدد کمتر از صفر باشد چگونه به توان منفی برسیم. اصل مانند قسمت قبل است، اما در اینجا علامت نشانگر اهمیت دارد.

بیایید دوباره به مثال ها نگاه کنیم:

• -19 / 21^-4 = 1/(-19/21)^4 = 1/(-19)^4/21^4 = 21^4/(-19)^4 = 21*21*21*21/(-19)*(-19)*(-19)*(-19) = 194481/130321 = 1,4923228;
• -29/40^-5 = 1/(-29/40)^5 = 1/(-29)^5/40^5 = 40^5/(-29)^5 = 40*40*40*40*40/(-29)*(-29)*(-29)*(-29)*(-29) = 102400000/(-20511149) = -4,9924.

در این صورت ما شاهد آن هستیم ماژول به رشد خود ادامه می دهد، اما علامت به زوج یا فرد بودن نشانگر بستگی دارد.

باید توجه داشت که اگر واحدی بسازیم همیشه خودش باقی می ماند. اگر باید عدد منهای یک را افزایش دهید، با ضریب زوج به یک تبدیل می‌شود و با ضریب فرد منهای یک باقی می‌ماند.

اگر مدول بزرگتر از یک باشد، به توان عدد صحیح منفی می رسد

برای اعدادی که مدول آنها بزرگتر از یک است،ویژگی های اعمال خود را دارد. اول از همه، شما باید تمام قسمت کسر را به عدد تبدیل کنید، یعنی آن را به کسر نامناسب. اگر کسری اعشاری داشته باشیم، باید آن را به کسری منتظم تبدیل کنیم. این کار به صورت زیر انجام می شود:

• 6 عدد صحیح 7/17 = 109/17;
• 2,54 = 254/100.

حال بیایید ببینیم که چگونه در این شرایط یک عدد را به توان منفی برسانیم. از قبل از موارد فوق، می توان حدس زد که از نتیجه محاسبات چه انتظاراتی باید داشته باشیم. از آنجایی که یک کسر مضاعف در حین ساده سازی معکوس می شود، ماژول شکل هر چه سریعتر کاهش یابد، هر چه ماژول توان بزرگتر باشد.

ابتدا بیایید شرایط زمانی را در نظر بگیریم عدد داده شده در کار مثبت است.

اول از همه، مشخص می شود که نتیجه نهایی بزرگتر از صفر خواهد بود، زیرا تقسیم دو مثبت همیشه یک مثبت می دهد. بیایید دوباره به نمونه هایی از نحوه انجام این کار نگاه کنیم:

• 6 عدد صحیح 1/20 به منهای توان پنجم = 121/20^-5 = 1/(121/20)^5 = 1/121^5/20^5 = 20^5/121^5 = 3200000/25937424601 = 0,0001234;
• 2,25^-6 = (225/100)^-6 = 1/(225/100)^6 = 1/225^6/100^6 = 100^6/225^6 = 100*100*100*100*100*100/225*225*225*225*225*225 = 0,007413.

همانطور که می بینید، اقدامات هیچ مشکل خاصی ایجاد نمی کنند و تمام فرضیات اولیه ما درست بود.

حال بیایید به مورد یک رقم منفی بپردازیم.

برای شروع، می توانیم فرض کنیم که اگر شاخص زوج باشد، نتیجه مثبت خواهد بود، اگر شاخص فرد باشد، نتیجه منفی خواهد بود. تمام محاسبات قبلی ما در این قسمت اکنون معتبر در نظر گرفته می شود. بیایید دوباره به مثال ها نگاه کنیم:

• -3 کل 1/2 به منهای توان ششم = (7/2)^-6 = 1/(-7/2)^6 = 1/(-7)^6/2^6 = 2*2* 2 *2*2*2/(-7)*(-7)*(-7)*(-7)*(-7)*(-7) = 64/117649 = 0.000544;
• -1,25^-5 = (-125/100)^-5 = 1/(-125/100)^5 = 1/(-125)^5/100^5 = 100^5/(-125)^5 = 100*100*100*100*100/(-125)*(-125)*(-125)*(-125)*(-125) = 10000000000/(-30517578125) = -0.32768.

بنابراین، تمام استدلال های ما درست بود.

ساخت در مورد یک توان کسری منفی

در اینجا باید به یاد داشته باشید که چنین ساخت و ساز وجود دارد استخراج ریشه توان مخرج از یک عدد به توان صورت. تمام استدلال های قبلی ما این بار صادق است. اجازه دهید اعمال خود را با یک مثال توضیح دهیم:

• 4^-3/2 = 1/4^3/2 = 1/rad(4^3) = 1/rad64 = 1/8.

در این مورد، شما باید در نظر داشته باشید که استخراج ریشه سطح بالافقط در یک فرم خاص انتخاب شده امکان پذیر است و به احتمال زیاد نمی توانید با محاسبات دقیق از علامت رادیکال (ریشه مربع، ریشه مکعب و غیره) خلاص شوید.

با این وجود، با مطالعه جزئیات فصل های قبلی، نباید انتظار مشکلاتی در محاسبات مدرسه داشته باشید.

لازم به ذکر است که شرح این فصل نیز شامل ساخت و ساز با یک شاخص عمدا غیر منطقیبه عنوان مثال، اگر نشانگر برابر با منهای PI باشد. شما باید طبق اصولی که در بالا توضیح داده شد عمل کنید. با این حال، محاسبات در چنین مواردی آنقدر پیچیده می شود که فقط رایانه های الکترونیکی قدرتمند می توانند این کار را انجام دهند.

نتیجه گیری

اقدامی که ما مطالعه کردیم یکی از بیشترین است پیچیده ترین وظایفدر ریاضیات(به ویژه در مورد معنای کسری - عقلی یا غیر عقلانی). با این حال، با مطالعه دقیق و گام به گام این دستورالعمل ها، می توانید یاد بگیرید که این کار را کاملاً خودکار و بدون هیچ مشکلی انجام دهید.

بدیهی است که اعداد دارای توان را می توان مانند مقادیر دیگر اضافه کرد ، با اضافه کردن آنها یکی پس از دیگری با نشانه هایشان.

بنابراین، مجموع a 3 و b 2 یک 3 + b 2 است.
مجموع a 3 - b n و h 5 -d 4 a 3 - b n + h 5 - d 4 است.

شانس درجات مساوی از متغیرهای یکسانرا می توان اضافه یا کم کرد.

پس مجموع 2a 2 و 3a 2 برابر با 5a 2 است.

همچنین واضح است که اگر دو مربع a یا سه مربع a یا پنج مربع a بگیرید.

اما درجات متغیرهای مختلفو درجات مختلف متغیرهای یکسان، باید با اضافه کردن آنها با علائم آنها ترکیب شود.

بنابراین، مجموع 2 و 3 حاصل جمع 2 + a 3 است.

بدیهی است که مربع a و مکعب a برابر با دو برابر مربع a نیست، بلکه برابر با دو برابر مکعب a است.

مجموع a 3 b n و 3a 5 b 6 a 3 b n + 3a 5 b 6 است.

تفریققدرت‌ها به همان روش جمع انجام می‌شوند، با این تفاوت که علائم فرعی باید بر این اساس تغییر کند.

یا:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5 (a - h) 6 - 2 (a - h) 6 = 3 (a - h) 6

ضرب قدرت

اعداد دارای توان را می توان مانند سایر کمیت ها با نوشتن پشت سر هم با علامت ضرب یا بدون علامت ضرب کرد.

بنابراین، حاصل ضرب a 3 در b 2 a 3 b 2 یا aaabb است.

یا:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

نتیجه در مثال آخر را می توان با اضافه کردن متغیرهای یکسان مرتب کرد.
این عبارت به شکل a 5 b 5 y 3 خواهد بود.

با مقایسه چندین عدد (متغیر) با توان ها، می بینیم که اگر هر دو از آنها ضرب شوند، نتیجه یک عدد (متغیر) با توانی برابر با مقداردرجات اصطلاحات

بنابراین، a 2.a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5.

در اینجا 5 توان حاصل ضرب است، برابر با 2 + 3، مجموع توان های جمله ها.

بنابراین، a n .a m = a m+n.

برای a n، a به عنوان ضریب به اندازه توان n در نظر گرفته می شود.

و m به تعداد دفعاتی که درجه m برابر است به عنوان ضریب در نظر گرفته می شود.

به همین دلیل، توان های با پایه های یکسان را می توان با جمع توان های توان ها ضرب کرد.

بنابراین، a 2.a 6 = a 2+6 = a 8. و x 3.x 2.x = x 3+2+1 = x 6.

یا:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

ضرب (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
پاسخ: x 4 - y 4.
ضرب (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

این قاعده برای اعدادی که توان آنها هستند نیز صادق است منفی.

1. بنابراین، a -2 .a -3 = a -5. این را می توان به صورت (1/aa) نوشت.(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y -n .y -m = y -n-m.

3. a -n .a m = a m-n.

اگر a + b در a - b ضرب شود، نتیجه a 2 - b 2 خواهد بود: یعنی

حاصل ضرب مجموع یا تفاضل دو عدد برابر با مجموعیا تفاوت مربع های آنها.

اگر مجموع و تفاضل دو عدد افزایش یافته را در ضرب کنید مربع، نتیجه برابر با مجموع یا اختلاف این اعداد در خواهد بود چهارمدرجه

بنابراین، (a - y).(a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.

تقسیم درجات

اعداد دارای توان را می توان مانند سایر اعداد با تفریق از سود تقسیمی یا با قرار دادن آنها به صورت کسری تقسیم کرد.

بنابراین، a 3 b 2 تقسیم بر b 2 برابر با a 3 است.

یا:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

نوشتن 5 تقسیم بر 3 شبیه $\frac(a^5)(a^3)$ است. اما این برابر با 2 است. در یک سری اعداد
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
هر عددی را می توان بر عدد دیگری تقسیم کرد و توان آن برابر خواهد بود تفاوتشاخص های اعداد بخش پذیر

هنگام تقسیم درجه با پایه یکسان، توان آنها کم می شود..

بنابراین، y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. یعنی $\frac(yyy)(yy) = y$.

و a n+1:a = a n+1-1 = a n. یعنی $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

یا:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12 (b + y) n: 3 (b + y) 3 = 4 (b +y) n-3

این قانون برای اعداد با نیز صادق است منفیمقادیر درجه
حاصل تقسیم 5- بر 3 -2 می شود.
همچنین، $\frac(1)(aaaa): \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1) (aa) $.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 یا $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

لازم است که ضرب و تقسیم توان ها را به خوبی تسلط داشت، زیرا چنین عملیاتی در جبر بسیار استفاده می شود.

نمونه هایی از حل مثال با کسرهای حاوی اعداد با توان

1. نماها را با $\frac(5a^4)(3a^2)$ کاهش دهید پاسخ: $\frac(5a^2)(3)$.

2. نماها را با $\frac(6x^6)(3x^5)$ کاهش دهید. پاسخ: $\frac(2x)(1)$ یا 2x.

3. توان های a 2 /a 3 و a -3 /a -4 را کاهش داده و به یک مخرج مشترک بیاورید.
a 2 .a -4 عدد اول -2 است.
a 3 .a -3 0 = 1 است، که دومین عدد است.
a 3 .a -4 یک -1 است، عدد مشترک.
پس از ساده سازی: a -2 /a -1 و 1/a -1 .

4. توان 2a 4 /5a 3 و 2 /a 4 را کاهش دهید و به یک مخرج مشترک بیاورید.
پاسخ: 2a 3 /5a 7 و 5a 5 /5a 7 یا 2a 3 /5a 2 و 5/5a 2.

5. (a 3 + b)/b 4 را در (a - b)/3 ضرب کنید.

6. (a 5 + 1)/x 2 را در (b 2 - 1)/(x + a) ضرب کنید.

7. b 4 /a -2 را در h -3 /x و a n /y -3 ضرب کنید.

8. 4 /y 3 را بر 3 /y 2 تقسیم کنید. پاسخ: یک

9. (h 3 - 1)/d 4 را بر (d n + 1)/h تقسیم کنید.

ما فهمیدیم که قدرت یک عدد واقعاً چیست. اکنون باید بدانیم که چگونه آن را به درستی محاسبه کنیم، i.e. اعداد را به قدرت برساند در این مطلب قوانین اساسی محاسبه درجات را در مورد توانای اعداد صحیح، طبیعی، کسری، گویا و غیر منطقی تحلیل خواهیم کرد. تمام تعاریف با مثال توضیح داده خواهد شد.

Yandex.RTB R-A-339285-1

مفهوم توانمندی

بیایید با تدوین تعاریف اولیه شروع کنیم.

تعریف 1

توانمندی- این محاسبه مقدار توان یک عدد معین است.

یعنی کلمه «محاسبه ارزش یک قدرت» و «افزایش به قدرت» به همین معناست. بنابراین، اگر مشکل می گوید "عدد 0، 5 را به توان پنجم برسانید"، این باید به عنوان "مقدار توان (0، 5) 5 را محاسبه کنید.

اکنون قوانین اساسی را ارائه می دهیم که باید هنگام انجام چنین محاسباتی رعایت شوند.

بیایید به یاد داشته باشیم که یک عدد با توان طبیعی چقدر است. برای توانی با پایه a و توان n، این حاصل ضرب nامین تعداد عوامل خواهد بود که هر کدام برابر با a است. این را می توان اینگونه نوشت:

برای محاسبه مقدار یک درجه، باید یک عمل ضرب انجام دهید، یعنی پایه های درجه را در تعداد مشخص شده ضرب کنید. مفهوم درجه با توان طبیعی مبتنی بر توانایی ضرب سریع است. بیایید مثال بزنیم.

مثال 1

وضعیت: افزایش - 2 به توان 4.

راه حل

با استفاده از تعریف بالا، می نویسیم: (− 2) 4 = (− 2) · (− 2) · (− 2) · (− 2) . در مرحله بعد، ما فقط باید این مراحل را دنبال کنیم و 16 بگیریم.

بیایید یک مثال پیچیده تر بیاوریم.

مثال 2

مقدار 3 2 7 2 را محاسبه کنید

راه حل

این ورودی را می توان به صورت 3 2 7 · 3 2 7 بازنویسی کرد. قبلاً نحوه ضرب صحیح اعداد مختلط ذکر شده در شرط را بررسی کردیم.

بیایید این مراحل را انجام دهیم و پاسخ را دریافت کنیم: 3 2 7 · 3 2 7 = 23 7 · 23 7 = 529 49 = 10 39 49

اگر مشکل نیاز به افزایش اعداد غیر منطقی به توان طبیعی را نشان می‌دهد، ابتدا باید پایه‌های آن‌ها را به رقمی گرد کنیم که به ما امکان می‌دهد پاسخی با دقت مورد نیاز به دست آوریم. بیایید به یک مثال نگاه کنیم.

مثال 3

مربع π را اجرا کنید.

راه حل

ابتدا آن را به نزدیکترین صدم گرد می کنیم. سپس π 2 ≈ (3، 14) 2 = 9، 8596. اگر π ≈ 3. 14159، سپس نتیجه دقیق تری دریافت می کنیم: π 2 ≈ (3، 14159) 2 = 9، 8695877281.

توجه داشته باشید که نیاز به محاسبه توان اعداد غیر منطقی در عمل نسبتاً نادر است. سپس می‌توانیم پاسخ را به عنوان توان (ln 6) 3 بنویسیم، یا در صورت امکان تبدیل کنیم: 5 7 = 125 5.

به طور جداگانه باید مشخص شود که اولین توان یک عدد چقدر است. در اینجا شما به سادگی می توانید به یاد داشته باشید که هر عددی که به توان اول افزایش یابد خودش باقی می ماند:

این از ضبط مشخص است .

بستگی به مدرک تحصیلی ندارد.

مثال 4

بنابراین، (- 9) 1 = - 9، و 7 3 به توان اول افزایش یافته است برابر با 7 3 باقی می ماند.

برای سهولت، سه حالت را جداگانه بررسی می کنیم: اگر توان یک عدد صحیح مثبت باشد، اگر عدد صفر باشد و اگر یک عدد صحیح منفی باشد.

در مورد اول، این همان افزایش به یک توان طبیعی است: از این گذشته، اعداد صحیح مثبت به مجموعه اعداد طبیعی تعلق دارند. قبلاً در مورد نحوه کار با چنین مدارکی در بالا صحبت کرده ایم.

حالا بیایید ببینیم که چگونه به درستی توان صفر را افزایش دهیم. برای پایه ای غیر از صفر، این محاسبه همیشه 1 را خروجی می دهد. قبلاً توضیح دادیم که توان 0 a را می توان برای هر یک تعریف کرد عدد واقعی، مساوی 0 نیست و 0 = 1.

مثال 5

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 - تعریف نشده است.

فقط مورد درجه ای با توان منفی صحیح باقی می ماند. قبلاً بحث کردیم که چنین درجاتی را می توان به صورت کسری 1 a z نوشت که a هر عددی است و z یک عدد صحیح منفی است. می بینیم که مخرج این کسری چیزی بیش از یک توان معمولی با توان عدد صحیح مثبت نیست و قبلاً نحوه محاسبه آن را یاد گرفته ایم. بیایید نمونه هایی از وظایف را بیان کنیم.

مثال 6

3 را به قدرت برسانید - 2.

راه حل

با استفاده از تعریف بالا، می نویسیم: 2 - 3 = 1 2 3

بیایید مخرج این کسر را محاسبه کنیم و 8: 2 3 = 2 · 2 · 2 = 8 بدست آوریم.

سپس پاسخ این است: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8

مثال 7

1.43 را به توان -2 برسانید.

راه حل

بیایید دوباره فرمول بندی کنیم: 1، 43 - 2 = 1 (1، 43) 2

ما مربع را در مخرج محاسبه می کنیم: 1.43·1.43. اعشار را می توان به این صورت ضرب کرد:

در نتیجه، ما (1، 43) - 2 = 1 (1، 43) 2 = 1 2، 0449 دریافت کردیم. تنها کاری که باید انجام دهیم این است که این نتیجه را به شکل یک کسر معمولی بنویسیم که برای آن باید آن را در 10 هزار ضرب کنیم (به مطالب تبدیل کسرها مراجعه کنید).

پاسخ: (1، 43) - 2 = 10000 20449

یک مورد خاص افزایش یک عدد به منهای توان اول است. مقدار این درجه برابر است با متقابل ارزش اصلیپایه ها: a - 1 = 1 a 1 = 1 a .

مثال 8

مثال: 3 − 1 = 1/3

9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .

چگونه یک عدد را به توان کسری برسانیم

برای انجام این عملیات باید به خاطر بسپاریم تعریف اساسیتوان های با توان کسری: a m n = a m n برای هر a مثبت، عدد صحیح m و n طبیعی.

تعریف 2

بنابراین، محاسبه توان کسری باید در دو مرحله انجام شود: افزایش به یک توان صحیح و یافتن ریشه توان n.

برابری a m n = a m n را داریم که با در نظر گرفتن خصوصیات ریشه ها معمولاً برای حل مسائل به شکل a m n = a n m استفاده می شود. این بدان معناست که اگر عدد a را به توان کسری m/n برسانیم، ابتدا ریشه n a را می گیریم، سپس نتیجه را به توانی با توان عدد صحیح m می رسانیم.

بیایید با یک مثال توضیح دهیم.

مثال 9

8 - 2 3 را محاسبه کنید.

راه حل

روش 1: با توجه به تعریف اولیه، می توانیم این را به صورت زیر نمایش دهیم: 8 - 2 3 = 8 - 2 3

حال بیایید درجه زیر ریشه را محاسبه کرده و ریشه سوم را از نتیجه استخراج کنیم: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

روش 2. تبدیل برابری اساسی: 8 - 2 3 = 8 - 2 3 = 8 3 - 2

پس از این، ریشه 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 را استخراج می کنیم و نتیجه را مربع می کنیم: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4

می بینیم که راه حل ها یکسان هستند. شما می توانید از آن به هر شکلی که دوست دارید استفاده کنید.

مواردی وجود دارد که درجه دارای یک شاخص است که به صورت یک عدد مختلط یا اعشاری. برای سهولت در محاسبات، بهتر است آن را جایگزین کنید کسر معمولیو مانند بالا بشمارید

مثال 10

44، 89 را به توان 2، 5 برسانید.

راه حل

بیایید مقدار نشانگر را به کسر مشترک - 44 , 89 2 , 5 = 49 , 89 5 2 .

اکنون تمام اقدامات ذکر شده در بالا را به ترتیب انجام می دهیم: 44, 89 5 2 = 44, 89 5 = 44, 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 51 = 2507 = 1305 13 501, 25107

پاسخ: 13 501، 25107.

اگر صورت و مخرج یک توان کسری شامل اعداد بزرگ، پس محاسبه چنین توان هایی با توان های منطقی کار بسیار دشواری است. معمولاً به فناوری رایانه نیاز دارد.

اجازه دهید به طور جداگانه به توان هایی با پایه صفر و توان کسری بپردازیم. یک عبارت به شکل 0 m n را می توان به این معنا داد: اگر m n > 0، آنگاه 0 m n = 0 m n = 0. اگر m n< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .

چگونه یک عدد را به توان غیر منطقی برسانیم

نیاز به محاسبه مقدار توانی که توان آن یک عدد غیرمنطقی است، اغلب به وجود نمی آید. در عمل، کار معمولاً به محاسبه یک مقدار تقریبی (تا تعداد معینی از رقم اعشار) محدود می شود. این معمولاً به دلیل پیچیدگی چنین محاسباتی در رایانه محاسبه می شود ، بنابراین ما در این مورد با جزئیات صحبت نمی کنیم ، فقط مفاد اصلی را نشان می دهیم.

اگر بخواهیم مقدار توان a را با توان غیر منطقی a محاسبه کنیم، تقریب اعشاری توان را می گیریم و از آن می شماریم. نتیجه یک پاسخ تقریبی خواهد بود. هرچه تقریب اعشاری دقیق تر باشد، پاسخ دقیق تر است. بیایید با یک مثال نشان دهیم:

مثال 11

مقدار تقریبی 21, 174367 را محاسبه کنید ....

راه حل

اجازه دهید خود را به تقریب اعشاری a n = 1، 17 محدود کنیم. بیایید محاسبات را با استفاده از این عدد انجام دهیم: 2 1، 17 ≈ 2، 250116. اگر به عنوان مثال، تقریب a n = 1، 1743 را در نظر بگیریم، پاسخ کمی دقیق تر خواهد بود: 2 1، 174367. . . ≈ 2 1, 1743 ≈ 2, 256833.

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

در یکی از مقالات قبلی قبلاً به قدرت یک عدد اشاره کردیم. امروز ما سعی خواهیم کرد در روند یافتن معنای آن حرکت کنیم. از نظر علمی، ما چگونگی افزایش قدرت را به درستی خواهیم فهمید. ما متوجه خواهیم شد که این فرآیند چگونه انجام می شود، و در عین حال به همه شارحان ممکن دست خواهیم زد: طبیعی، غیر منطقی، عقلانی، عدد صحیح.

بنابراین، بیایید نگاهی دقیق‌تر به راه‌حل‌های مثال‌ها بیندازیم و معنی آن را دریابیم:

1. تعریف مفهوم.
2. ارتقاء به هنر منفی
3. یک شاخص کامل
4. افزایش یک عدد به یک قدرت غیر منطقی.

در اینجا تعریفی وجود دارد که به طور دقیق این معنی را منعکس می کند: "تعریف تعریف مقدار توان یک عدد است."

بر این اساس، بالا بردن عدد a در هنر. r و فرآیند یافتن مقدار درجه a با توان r مفاهیمی یکسان هستند. به عنوان مثال، اگر وظیفه محاسبه مقدار توان (0.6)6" باشد، می توان آن را به عبارت "عدد 0.6 را به توان 6 افزایش دهید" ساده کرد.

پس از این، می توانید مستقیماً به قوانین ساخت و ساز بروید.

بالا بردن به یک قدرت منفی

برای وضوح، باید به زنجیره عبارات زیر توجه کنید:

110=0.1=1* 10 منهای 1 قاشق غذاخوری،

1100=0.01=1*10 در منفی 2 درجه،

11000=0.0001=1*10 در منهای 3 خیابان،

110000=0.00001=1*10 تا منفی 4 درجه.

به لطف این مثال ها، می توانید به وضوح توانایی محاسبه فوری 10 را در هر کدام ببینید درجه منهای. برای این منظور کافی است به سادگی مولفه اعشاری را جابجا کنید:

• 10 تا -1 درجه - قبل از یک 1 صفر است.
• در -3 - سه صفر قبل از یک؛
• در -9 9 صفر و غیره وجود دارد.

همچنین از این نمودار به راحتی می توان فهمید که 10 منهای 5 قاشق غذاخوری چقدر خواهد بود. -

1100000=0,000001=(1*10)-5.

چگونه یک عدد را به توان طبیعی برسانیم

با یادآوری تعریف، آن را در نظر می گیریم عدد طبیعیالف در هنر n برابر حاصل ضرب n عامل است که هر کدام برابر با a است. بیایید نشان دهیم: (a*a*…a)n، که در آن n تعداد اعدادی است که ضرب می شوند. بر این اساس، برای بالا بردن a به n، باید حاصل ضرب را محاسبه کرد نوع زیر: a*a*…a تقسیم بر n برابر.

از اینجا معلوم می شود که بالا بردن به خیابان طبیعی متکی بر توانایی انجام ضرب است(این مطلب در قسمت ضرب اعداد حقیقی آمده است). بیایید به مشکل نگاه کنیم:

-2 را تا خیابان چهارم بالا ببرید.

ما با یک شاخص طبیعی روبرو هستیم. بر این اساس، روند تصمیم گیری به شرح زیر خواهد بود: (-2) در ماده. 4 = (-2)*(-2)*(-2)*(-2). اکنون تنها چیزی که باقی می ماند این است که اعداد صحیح را ضرب کنیم: (-2)*(-2)*(-2)*(-2). ما 16 می گیریم.

جواب مشکل:

(-2) در هنر. 4=16.

مثال:

مقدار: سه نقطه دو هفتم مربع را محاسبه کنید.

این مثال برابر است با حاصل ضرب زیر: سه نقطه دو هفتم ضرب در سه نقطه دو هفتم. به یاد آوردن چگونگی ضرب کردن اعداد مختلط، ساخت و ساز را کامل می کنیم:

• 3 امتیاز 2 هفتم ضرب در خودشان.
• برابر است با 23 هفتم ضرب در 23 هفتم.
• برابر با 529 چهل و نهم.
• کاهش می دهیم و 10 سی و نه چهل و نهم می گیریم.

پاسخ: 10 39/49

در مورد موضوع افزایش به یک توان غیرمنطقی، باید توجه داشت که محاسبات پس از تکمیل گرد کردن اولیه پایه درجه به هر رقمی که امکان بدست آوردن مقدار با دقت معین را فراهم می کند، شروع می شود. برای مثال، باید عدد P (pi) را مربع کنیم.

با گرد کردن P به صدم شروع می کنیم و به دست می آوریم:

P مجذور = (3.14) 2 = 9.8596. با این حال، اگر P را به ده هزارم کاهش دهیم، P = 3.14159 به دست می آید. سپس مربع کردن یک عدد کاملا متفاوت به دست می دهد: 9.8695877281.

در اینجا باید توجه داشت که در بسیاری از مسائل نیازی به بالا بردن اعداد غیر منطقی به توان نیست. به عنوان یک قاعده، پاسخ یا به صورت درجه واقعی وارد می شود، به عنوان مثال، ریشه 6 به توان 3، یا، اگر عبارت اجازه می دهد، تبدیل آن انجام می شود: ریشه 5 تا 7 درجه = 125 ریشه از 5.

چگونه یک عدد را به توان عدد صحیح برسانیم

این دستکاری جبری مناسب است موارد زیر را در نظر بگیرید:

• برای اعداد صحیح؛
• برای یک شاخص صفر؛
• برای یک توان عدد صحیح مثبت

از آنجایی که تقریباً همه اعداد صحیح مثبت با جرم اعداد طبیعی منطبق هستند، تنظیم روی یک توان صحیح مثبت همان فرآیند تنظیم در Art است. طبیعی این فرآینددر پاراگراف قبل توضیح دادیم

حالا بیایید در مورد محاسبه st. تهی قبلاً در بالا متوجه شدیم که توان صفر عدد a را می توان برای هر غیر صفر a (واقعی) تعیین کرد، در حالی که a در هنر. 0 برابر با 1 خواهد بود.

بر این اساس، افزایش هر عدد واقعی به نقطه صفر. یکی خواهد داد.

به عنوان مثال، 10 در st 0 = 1، (-3.65) 0 = 1، و 0 در st. 0 را نمی توان تعیین کرد.

برای تکمیل افزایش به یک توان عدد صحیح، تصمیم گیری در مورد گزینه های مقادیر صحیح منفی باقی مانده است. ما آن هنر را به یاد داریم. از a با یک توان عدد صحیح -z به عنوان کسری تعریف می شود. مخرج کسری st است. با کل ارزش مثبت، که ما قبلاً یاد گرفته ایم معنای آن را پیدا کنیم. اکنون تنها چیزی که باقی می ماند این است که نمونه ای از ساخت و ساز را در نظر بگیریم.

مثال:

مقدار عدد 2 مکعب شده با توان عدد صحیح منفی را محاسبه کنید.

فرآیند حل:

با توجه به تعریف درجه با توان منفی، نشان می دهیم: دو منهای 3 درجه. برابر یک به دو به توان سوم است.

مخرج به سادگی محاسبه می شود: دو مکعبی.

3 = 2*2*2=8.

پاسخ: دو به منهای هنر سوم. = یک هشتم