Düzbucaqlı paralelepiped. Maili paralelepiped: riyaziyyat müəlliminin xassələri, düsturları və tapşırıqları Düzbucaqlı paralelepipedin əsası diaqonalları olan rombdur.
Paralelepiped, əsasları paraleloqram olan dördbucaqlı prizmadır. Paralelepipedin hündürlüyü onun əsaslarının müstəviləri arasındakı məsafədir. Şəkildə hündürlük xətt kimi göstərilmişdir 
. İki növ paralelepiped var: düz və əyri. Bir qayda olaraq, riyaziyyat müəllimi əvvəlcə prizma üçün müvafiq tərifləri verir, sonra onları qutuya köçürür. Biz də eyni şeyi edəcəyik.
Nəzərinizə çatdırım ki, prizmanın yan kənarları əsaslara perpendikulyar olduqda düz adlanır, perpendikulyarlıq yoxdursa, prizma əyri adlanır. Bu terminologiya paralelepiped tərəfindən də miras qalmışdır. 
Düzgün paralelepiped, yan kənarı hündürlüklə üst-üstə düşən bir növ düz prizmadan başqa bir şey deyil. Bütün çoxüzlülər ailəsi üçün ümumi olan üz, kənar və təpə kimi anlayışların tərifləri saxlanılır. Qarşılıqlı üzlər anlayışı ortaya çıxır. Paralelepipedin 3 cüt əks üzü, 8 təpəsi və 12 kənarı var.
Paralelepipedin diaqonalı (prizmanın diaqonalı) çoxüzlülərin iki təpəsini birləşdirən və onun heç bir üzündə yatmayan seqmentdir.
Diaqonal bölmə paralelepipedin onun diaqonalından və əsasının diaqonalından keçən hissəsidir.
Oblik qutu xüsusiyyətləri:
1) Bütün üzləri paraleloqramdır, əks üzləri isə bərabər paraleloqramdır.
2)
Paralelepipedin diaqonalları bir nöqtədə kəsişir və bu nöqtədə ikiyə bölünür.
3)
Hər bir paralelepiped eyni həcmli altı üçbucaqlı piramidadan ibarətdir. Onları şagirdə göstərmək üçün riyaziyyat müəllimi diaqonal kəsiyi ilə paralelepedin yarısını kəsib ayrı-ayrılıqda 3 piramidaya ayırmalıdır. Onların əsasları orijinal qutunun müxtəlif üzlərində yatmalıdır. Riyaziyyat müəllimi analitik həndəsədə bu xüsusiyyət üçün ərizə tapacaq. O, vektorların qarışıq məhsulu vasitəsilə piramidanın həcmini əldə etmək üçün istifadə olunur.
Paralelepipedin həcmi üçün düsturlar:
1) , bazanın sahəsi haradadır, h hündürlükdür.
2) Paralelepipedin həcmi kəsik sahəsinin yan kənarı ilə hasilinə bərabərdir.
riyaziyyat müəllimi: Bildiyiniz kimi, düstur bütün prizmalar üçün ümumidir və əgər repetitor bunu artıq sübut edibsə, paralelepiped üçün də eyni şeyi təkrar etməyin mənası yoxdur. Lakin orta səviyyəli şagirdlə işləyərkən (zəif düstur faydalı deyil) müəllimin tam əksini hərəkət etdirməsi məqsədəuyğundur. Prizmanı tək buraxın və paralelepiped üçün dəqiq bir sübut edin.
3) , burada paralelepipedi təşkil edən altı üçbucaqlı piramidadan birinin həcmidir.
4) Əgər , onda
Paralelepipedin yan səthinin sahəsi onun bütün üzlərinin sahələrinin cəminə bərabərdir:
Paralelepipedin ümumi səthi onun bütün üzlərinin sahələrinin, yəni sahəsi + iki əsas sahəsinin cəmidir:.
Maili paralelepipedlə tərbiyəçinin işi haqqında:
Riyaziyyat müəllimi çox vaxt meylli paralelepipeddəki problemlərlə məşğul olmur. Onların imtahanda görünmə ehtimalı olduqca azdır və didaktika nalayiq şəkildə zəifdir. Bir meylli paralelepipedin həcmi ilə bağlı daha çox və ya daha az layiqli bir problem, H nöqtəsinin - hündürlüyünün əsasının yerini müəyyənləşdirməklə bağlı ciddi problemlərə səbəb olur. Bu halda, riyaziyyat müəlliminə qutunu altı piramidasından birinə kəsmək tövsiyə oluna bilər (bunlar №3 xüsusiyyətdə müzakirə olunur), həcmini tapmağa və 6-ya vurmağa çalışsın.
Paralelepipedin yan kənarı bünövrənin tərəfləri ilə bərabər bucaqlara malikdirsə, onda H ABCD əsasının A bucağının bissektrisasında yerləşir. Və əgər, məsələn, ABCD rombdursa, onda
Riyaziyyat müəlliminin tapşırıqları:
1) Paralelepipedin üzləri bir tərəfi 2 sm və iti bucağı olan bərabər roblardır. Paralelepipedin həcmini tapın.
2) Maili paralelepipeddə yan kənar 5 sm-dir. Ona perpendikulyar olan kəsik uzunluqları 6 sm və 8 sm olan qarşılıqlı perpendikulyar diaqonalları olan dördbucaqlıdır.Parallepipedin həcmini hesablayın.
3) Maye paralelepipeddə məlumdur ki, , və ABCD-nin tərifində tərəfi 2 sm və bucağı olan rombdur. Paralelepipedin həcmini təyin edin.
Riyaziyyat müəllimi, Aleksandr Kolpakov
Bu dərsdə hər kəs “Düzbucaqlı qutu” mövzusunu öyrənə biləcək. Dərsin əvvəlində ixtiyari və düz paralelepipedlərin nə olduğunu təkrarlayacağıq, onların əks üzlərinin və paralelepipedin diaqonallarının xassələrini xatırlayacağıq. Sonra kuboidin nə olduğunu nəzərdən keçirəcəyik və onun əsas xüsusiyyətlərini müzakirə edəcəyik.
Mövzu: Xətlərin və müstəvilərin perpendikulyarlığı
Dərs: Cuboid
İki bərabər ABCD və A 1 B 1 C 1 D 1 paraleloqramlarından və dörd ABB 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 paraleloqramlarından ibarət səthə deyilir. paralelepiped(şək. 1).
düyü. 1 Paralelepiped
Yəni: ABCD və A 1 B 1 C 1 D 1 (əsasları) bərabər iki paraleloqramımız var, onlar paralel müstəvilərdə yerləşir ki, AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 yan kənarları paralel olsun. Beləliklə, paraleloqramlardan ibarət səth adlanır paralelepiped.
Beləliklə, paralelepipedin səthi paralelepipedi təşkil edən bütün paraleloqramların cəmidir.
1. Paralelepipedin əks üzləri paralel və bərabərdir.
(rəqəmlər bərabərdir, yəni üst-üstə düşmə ilə birləşdirilə bilər)
Misal üçün:
ABCD \u003d A 1 B 1 C 1 D 1 (tərifinə görə bərabər paraleloqramlar),
AA 1 B 1 B \u003d DD 1 C 1 C (çünki AA 1 B 1 B və DD 1 C 1 C paralelepipedin əks üzləridir),
AA 1 D 1 D \u003d BB 1 C 1 C (çünki AA 1 D 1 D və BB 1 C 1 C paralelepipedin əks üzləridir).
2. Paralelepipedin diaqonalları bir nöqtədə kəsişir və həmin nöqtəni ikiyə bölür.
AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B paralelepipedinin diaqonalları bir O nöqtəsində kəsişir və hər bir diaqonal bu nöqtə ilə yarıya bölünür (şək. 2).
düyü. 2 Paralelepipedin diaqonalları kəsişmə nöqtəsini kəsir və ikiyə bölür.
3. Paralelepipedin bərabər və paralel kənarlarından üç dördlük var: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, SS 1, DD 1.
Tərif. Yan kənarları əsaslara perpendikulyardırsa, paralelepiped düz adlanır.
Yan kənar AA 1 əsasa perpendikulyar olsun (şəkil 3). Bu o deməkdir ki, AA 1 xətti təməl müstəvisində yerləşən AD və AB xətlərinə perpendikulyardır. Və buna görə də, düzbucaqlılar yan üzlərdə yatır. Və əsaslar ixtiyari paraleloqramlardır. ∠BAD = φ işarələyin, φ bucağı istənilən ola bilər.
düyü. 3 Sağ qutu
Beləliklə, sağ qutu, yan kənarları qutunun əsaslarına perpendikulyar olan bir qutudur.
Tərif. Paralelepiped düzbucaqlı adlanır, onun yan kənarları əsasa perpendikulyardırsa. Əsaslar düzbucaqlıdır.
Paralelepiped АВСДА 1 В 1 С 1 D 1 düzbucaqlıdır (şək. 4), əgər:
1. AA 1 ⊥ ABCD (yan kənarı əsas müstəvisinə perpendikulyardır, yəni düz paralelepiped).
2. ∠BAD = 90°, yəni əsas düzbucaqlıdır.
düyü. 4 kuboid
Düzbucaqlı qutu ixtiyari qutunun bütün xüsusiyyətlərinə malikdir. Ancaq kuboidin tərifindən əldə edilən əlavə xüsusiyyətlər var.
Belə ki, kuboid yan kənarları bazaya perpendikulyar olan paralelepipeddir. Kuboidin əsası düzbucaqlıdır.
1. Kuboiddə altı üzün hamısı düzbucaqlıdır.
ABCD və A 1 B 1 C 1 D 1 tərifinə görə düzbucaqlıdır.
2. Yan qabırğalar bazaya perpendikulyardır. Bu o deməkdir ki, kuboidin bütün yan üzləri düzbucaqlıdır.
3. Kuboidin bütün dihedral bucaqları düz bucaqlardır.
Məsələn, kənarı AB olan düzbucaqlı paralelepipedin dihedral bucağını, yəni ABB 1 və ABC müstəviləri arasındakı dihedral bucağı nəzərdən keçirək.
AB kənardır, A 1 nöqtəsi bir müstəvidə - ABB 1 müstəvisində, D nöqtəsi digərində - A 1 B 1 C 1 D 1 müstəvisində yerləşir. Onda nəzərdən keçirilən ikibucaqlı bucağı aşağıdakı kimi də qeyd etmək olar: ∠А 1 АВD.
AB kənarında A nöqtəsini götürün. AA 1 ABB-1 müstəvisində AB kənarına perpendikulyar, AD ABC müstəvisində AB kənarına perpendikulyardır. Deməli, ∠A 1 AD verilmiş dihedral bucağın xətti bucağıdır. ∠A 1 AD \u003d 90 °, bu o deməkdir ki, AB kənarındakı dihedral bucaq 90 °-dir.
∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°.
Dördbucaqlı paralelepipedin istənilən ikibucaqlı bucaqlarının düzgün olduğu eyni şəkildə sübut edilmişdir.
Kuboidin diaqonalının kvadratı onun üç ölçüsünün kvadratlarının cəminə bərabərdir.
Qeyd. Kuboidin eyni təpəsindən çıxan üç kənarın uzunluqları kuboidin ölçüləridir. Onlara bəzən uzunluq, en, hündürlük deyilir.
Verilmişdir: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - düzbucaqlı paralelepiped (şək. 5).
Sübut edin: .
düyü. 5 kuboid
Sübut:
CC 1 xətti ABC müstəvisinə və deməli, AC xəttinə perpendikulyardır. Beləliklə, CC 1 A üçbucağı düzbucaqlı üçbucaqdır. Pifaqor teoreminə görə:
ABC düzbucağını nəzərdən keçirək. Pifaqor teoreminə görə:
Lakin BC və AD düzbucaqlının əks tərəfləridir. Beləliklə, BC = AD. Sonra:
Çünki , A , Bu. CC 1 = AA 1 olduğundan, sübut etmək üçün nə tələb olunurdu.
Düzbucaqlı paralelepipedin diaqonalları bərabərdir.
Paralelepiped ABC-nin ölçülərini a, b, c kimi təyin edək (bax. Şəkil 6), onda AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =
və ya (ekvivalent olaraq) paraleloqram olan altı üzü olan çoxüzlü. Altıbucaqlı.
Paralelepipedi təşkil edən paraleloqramlar bunlardır üzlər bu paralelepiped, bu paraleloqramların tərəfləri paralelepiped kənarları, və paraleloqramların təpələri zirvələri paralelepiped. Paralelepipedin hər bir üzü paraleloqram.
Bir qayda olaraq, hər hansı 2-ci əks üzlər fərqləndirilir və onlara deyilir paralelepipedin əsasları, və qalan üzlər paralelepipedin yan üzləri. Paralelepipedin əsaslara aid olmayan kənarlarıdır yan qabırğalar.
Bir kənarı paylaşan kuboidin 2 üzü var əlaqəli, və ümumi kənarları olmayanlar - əks.
1-ci üzə aid olmayan 2 təpəni birləşdirən seqmentdir paralelepipedin diaqonalı.
Bir kuboidin paralel olmayan kənarlarının uzunluqları xətti ölçülər (ölçmələr) paralelepiped. Düzbucaqlı paralelepipedin 3 xətti ölçüsü var.
Paralelepiped növləri.
Bir neçə növ paralelepiped var:
Birbaşa kənarı təməl müstəvisinə perpendikulyar olan paralelepipeddir.
Bütün 3 ölçüsü bərabər olan kuboiddir kub. Kubun üzlərinin hər biri bərabərdir kvadratlar.
İxtiyari paralelepiped. Eğik qutuda həcm və nisbətlər əsasən vektor cəbrindən istifadə etməklə müəyyən edilir. Qutunun həcmi bərabərdir mütləq dəyər paralelepipedin 3 tərəfi ilə təyin olunan (eyni təpədən gələn) 3 vektorun qarışıq hasili. Paralelepipedin tərəflərinin uzunluqları ilə aralarındakı bucaqlar arasındakı nisbət verilmiş 3 vektorun Qram determinantının onların kvadratına bərabər olduğu ifadəsini göstərir. qarışıq məhsul.
Paralelepipedin xassələri.
- Paralelepiped diaqonalının orta nöqtəsinə nisbətən simmetrikdir.
- Paralelepipedin səthinə aid olan və onun diaqonalının ortasından keçən hər hansı bir seqment onunla iki bərabər hissəyə bölünür. Paralelepipedin bütün diaqonalları 1-ci nöqtədə kəsişir və onunla iki bərabər hissəyə bölünür.
- Paralelepipedin əks üzləri paraleldir və bərabər ölçülərə malikdir.
- Bir kuboidin diaqonalının uzunluğunun kvadratı
