≡×МЕНЮ

• Інтер'єр
• Вікна
• Стіни
• Проекти
• Будівлі

Урок «Логарифмічні нерівності. Відкритий урок розв'язання логарифмічних нерівностей

Розглянемо графік логарифмічної функції та графік прямої пропорційності

Зазначимо, що функція зростає в області визначення. Без графіка це можна визначити на підставі логарифму. Для де х>0, якщо основа логарифму більше нуля, але менше одиниці, то функція зменшується, якщо основа логарифму більше одиниці, то функція зростає.

Важливо зауважити, що логарифмічна функція набуває позитивні значенняна безлічі чисел, великих одиниць, запишемо це твердження за допомогою символів f(x)приx

Пряма пропорційність y=xу цьому випадку на проміжку від одного до плюс нескінченності теж набуває позитивних значень, більших за одного. Збіг це чи закономірність? Про все по порядку.

Нерівності виду називаються логарифмічними, де а - позитивне число, відмінне від 1 і >0,)>0

Перетворимо нерівність до виду. При перенесенні доданків з однієї частини нерівності до іншої знак доданку змінюється на протилежний. За властивістю логарифму, різниця логарифмів з однаковою основою можна замінити логарифм приватного, таким чином, наша нерівність набуде вигляду.

Позначимо вираз tтодінерівність набуде вигляду.

Розглянемо цю нерівність щодо підстави а,більшої одиниці, і щодо підстави а, більшого нуля та меншої одиниці.

Якщо основа логарифму а,більшої одиниці, то функція зростає в області визначення і набуває позитивних значень при t більше одного. Повернемося до зворотної заміни. Значить, дріб має бути більше одного. Це означає, що f(x)>g(x).

Якщо ж основа логарифму, більшого нуля і меншого одиниці, то функція зменшується на області визначення і набуває позитивних значень при t більше нуля і менше одного. При зворотній заміні нерівність дорівнює нерівності, а вона виконується при f(x)

Зробимо висновок:

Якщо)>0 і при a>1 логарифмічна нерівність

рівносильно нерівності того ж сенсу)>),

а при 0

Рівносильно нерівності протилежного сенсу)<)

Розглянемо приклади розв'язання логарифмічних нерівностей.

Вирішити нерівність:

Нерівності >0 та область допустимих значеньзмінної для даної логарифмічної нерівності. Заснування логарифму п'ять і більше одного, отже вихідне нерівність рівносильне нерівності. Вирішимо отриману систему нерівностей шляхом усамітнення змінної для цього. У першій нерівності перенесемо чотири у праву частину нерівності, змінивши знак мінус на плюс. Отримаємо.

У другій нерівності одиницю перенесемо у праву частину та запишемо як мінус один. Отримаємо нерівність У третій нерівності мінус чотири перенесемо у праву частину, запишемо як плюс чотири, а хперенесемо до лівої частини і запишемо як мінус ікс. Отримаємо нерівність. У ньому можна навести подібні доданки в лівій та правій частинах нерівності. Отримаємо нерівність. У першій нерівності поділимо ліву та праву частину нерівності на 2. Отримаємо нерівність. Отримана під час рішення система має знак однієї спрямованості, у разі очевидно, що цій системі задовольняє безліч чисел більше п'яти. Легко побачити, що п'ять теж задовольняє систему нерівностей. В іншому випадку можна побудувати геометричну модель даної системи та подивитися рішення.

Зазначимо на координатній прямій кількості мінус один, два та п'ять. Причому числам -1 і 2 відповідатиме світла точка, а числу п'ять темна точка. Нанесемо «штрихування» праворуч від 2 для першої нерівності, праворуч від 1 — для другої нерівності і праворуч від п'яти — для третьої нерівності. Перетин штрихування вказує на безліч чисел, великих і рівних п'яти. Відповідь запишемо у вигляді виразу

Приклад 2. Розв'язати нерівність

Складемо систему нерівностей. Нерівності >0 та >0 визначають область допустимих значень нерівності. Основа логарифму дорівнює 0,3, воно більше нуля, але менше одного, значить логарифмічна нерівність рівносильна нерівності з протилежним за змістом знаком:

Отримана система важка для паралельного розв'язання нерівностей. Вирішимо кожне з них окремо і розглянемо загальне рішення на геометричній моделі.

Нерівність є квадратною і вирішується за властивостями квадратичної функції, графіком якої є парабола з гілками догори. Знайдемо нулі цієї функції, при цьому її праву частину прирівняємо до нуля і вирішимо отримане рівняння через розкладання на множники. Для цього винесемо загальний множник ікс за дужки, у дужках залишиться від першого доданку - шість, від другого доданку - мінус ікс. Добуток дорівнює нулю тоді, коли один із множників дорівнює нулю, а інший при цьому не втрачає сенсу. Отже, перший множник ікс дорівнює нулю чи другий множник шість мінус ікс дорівнює нулю. Тоді коріння рівняння – нуль та шість. Зазначимо їх на координатній прямій у вигляді світлих точок, тому що квадратна нерівність, що розв'язується, суворе і зобразимо параболу гілками вниз, що проходить через ці точки. Квадратична функціяприймає позитивні значення на інтервалі від нуля до шести, отже розв'язком нерівності є безліч чисел x

Нерівність є лінійною. Воно містить негативні доданки, для зручності обидві частини нерівності помножимо на мінус одиницю. Знак нерівності у разі зміниться на протилежний. Отримаємо нерівність.

Перенесемо вісім у праву частину нерівності та запишемо як мінус вісім. Таким чином, розв'язанням нерівності є безліч чисел від мінус нескінченності до мінус восьми. Запишемо рішення нерівності в ідеї вираження x.

Нерівність зводиться до квадратної нерівності, для цього перенесемо мінус вісім і мінус ікс у ліву частину нерівності. Отримаємо нерівність і наведемо подібні 6х і х, Отримаємо 7х, рівняння набуде вигляду. Вирішується воно за властивостями квадратичної функції, графіком якої є парабола з гілками вниз. Знайдемо нулі функції.0 при =0 і вирішимо отримане квадратне рівняннячерез формулу дискримінанта bдорівнює мінус семи, коефіцієнт адорівнює мінус одиниці, а здорівнює 8, то дискримінант рівняння дорівнює 81. Знайдемо за формулою перший корінь, він дорівнює -1, другий корінь дорівнює 8.

Зазначимо отримані значення на координатній прямий темними точками, так квадратне нерівність, що розглядається, відноситься до нестрогих нерівностей. Зобразимо на координатній прямій параболу з гілками донизу. Квадратична функція приймає менші і рівні нулю значення на множині чисел від мінус нескінченності до включаючи і від 8 до плюс нескінченності включаючи 8. Розв'язання цієї нерівності запишемо у вигляді виразу

Отже, всі три нерівності вирішені, відзначимо їх розв'язання на одній координатній прямій. Значення змінної, які б задовольняли всім трьом нерівностям одночасно, немає, що означає, що вихідна логарифмічна нерівність немає рішень. Відповідь: рішень немає.

Цей факт можна було помітити після вирішення лінійної нерівності, оскільки рішенням першої квадратної нерівності є позитивні числа від одного до шести, а рішенням другої нерівності є негативні числа, то для цих двох нерівностей вже немає загальних рішеньі

вихідна логарифмічна нерівність не має рішень.

Логарифми мають цікавими властивостями, що спрощують обчислення та вирази, згадаємо деякі з них

1. Логарифм твору двох позитивних чисел дорівнює сумілогарифмів цих чисел.
2. Будь-яке число можна подати у вигляді логарифму. Наприклад, 2 можна записати як логарифм чотирьох на підставі два або логарифм 25 на підставі 5, мінус одиницю можна записати як логарифм 0,2 на підставі п'ять або десятковий логарифм 0,1.

Приклад 3. Розв'язати нерівність:

Нерівність треба перетворити на вигляд.

Для цього одиницю запишемо у вигляді логарифму 2 на підставі два. А лівої частини нерівності суму логарифмів замінимо за якістю на тотожно рівне йому вираз — логарифм твору. Отримаємо нерівність виду

Складемо систему нерівностей. Нерівності, що задають область допустимих значень нерівності, визначаються за вихідною нерівністю, тому >0 і >0 будуть першими двома нерівностями системи. Так як логарифм має основу 2, воно більше одного, то нерівність
Рівносильно нерівності (х-3) (х-2)2.

У першій нерівності перенесемо мінус три у праву частину, отримаємо нерівність х>3, у другому - мінус два перенесемо у праву частину, отримаємо нерівність х>2.

У третьому - розкриємо дужки в лівій частині нерівності, помножуючи кожен член першого багаточлена на кожен член другого багаточлена. Отримаємо нерівність.

Вирішимо третю нерівність окремо: перенесемо дві в ліву частину нерівності і запишемо з мінусом.

Спростимо отриману моральність до виду. Сума коефіцієнтів цього рівняння дорівнює нулю, тоді, за якістю коефіцієнтів, перший корінь дорівнює одному, а другий дорівнює приватному від с на аі дорівнює у разі 4. Ці рівняння можна розв'язати і через формулу дискримінанта, коріння від способу рішення не залежать.

Відзначимо це коріння на координатній прямій у вигляді темних точок, проведемо через них параболу гілками вгору. Нерівність

виконується на множині чисел від 1 до 4 включаючи 1 і 4.

Зазначимо на одній координатній прямій розв'язання першої і другої нерівності, для цього зробимо штрихування правіше трьох для першої нерівності і правіше двох для другої нерівності і штрихування від 1 до 4 для другої нерівності. Три нерівності одночасно виконуються тільки на безлічі чисел від 3 до 4, включаючи 4. Значить, це буде рішення вихідної логарифмічної нерівності.

Висновок: При розв'язанні логарифмічних нерівностей

Якщо a>1 , то переходять до розв'язання системи з нерівностей, що визначають область допустимих значень нерівності, та нерівності підлогорифмічних виразів того самого знака.

Якщо 0

МБОУ Старогородківська ЗОШ

План конспект уроку на тему:

Логарифмічні нерівності

Єрашкова Наталія Олександрівна, вчитель математики МБОУ Старогородківська ЗОШ

2015 рік

ЗМІСТ

1. Вступ стор. 3-5

2. Основна частина стор. 6-20

3. Висновок стор. 21-22

4. Програми стор. 23-24

5. Список літератури стор. 25

ВСТУП

Збільшення розумового навантаження на уроках математики змушує замислитися над тим, як підтримати у школярів інтерес до матеріалу, що вивчається, їх активність протягом усього уроку. У зв'язку з цим ведуться пошуки нових ефективних методів навчання та таких методичних прийомів, які б активізували думку школярів, стимулювали б їх до самостійного придбання знань.

Виникнення інтересу до математики у значної кількості школярів залежить переважно від методики її викладання, від цього, наскільки вміло буде побудовано навчальна робота. Вчасно звертаючи увагу школярів на те, що математика вивчає загальні властивості об'єктів і явищ навколишнього світу, має справу не з предметами, а з абстрактними поняттями, можна домогтися розуміння того, що математика не порушує зв'язку з дійсністю, а навпаки, дає можливість вивчити її глибше зробити узагальнені теоретичні висновки, які широко застосовуються в практиці.

Логарифм – це грецьке слово, що складається з 2-х слів: “логос”- ставлення, “аритмос”- число. Значить, логарифм є числом, що вимірює ставлення.

Цей термін був введений в 1594 шотландським математиком Джоном Непером, який не був математиком за професією, мав маєток, займався землеробством і винаходом приладів.

Вибір такої назви пояснюється тим, що дійсно логарифми виникли при зіставленні 2-х чисел, одне з яких є членом арифметичної прогресії, а друге — членом геометричної прогресії.

Введення логарифмів дозволяло робити швидко складні обчислення. Було створено перші таблиці логарифмів. Спочатку вони були 14-тизначними, поступово вдосконалилися, зараз є 6-тизначні таблиці логарифмів.

Потрібно було спростити обчислення. Як вам відомо, існують дії трьох ступенів:

1.складання та віднімання.

2.множення та розподіл.

3. зведення на ступінь.

Так от логарифми дозволили перейти від складних дій третього ступеня до дій другого, а потім першого ступеня. Тобто. від зведення до ступеня до множення, від множення до додавання, від розподілу до віднімання. Таким чином, логарифми надзвичайно полегшують обчислення. Дають можливість знаходити відразу твір будь-якого числа множників, піднімати в будь-який ступінь і добувати коріння з будь-яким показником.

Тема “Логарифми” є традиційною в курсі алгебри та почав аналізу середньої школи, але дуже важко дається учням через складність матеріалу, концентрованість викладу. За програмами з математики середньої школи, що діють в даний час, вивчення показової та логарифмічної функцій планується в кінці курсу алгебри і почав аналізу 11-го класу, тому дуже мало часу відводиться на вивчення даного матеріалу.

На ЄДІ з математики від 6 до 7 завдань використання логарифмів та його властивостей. Відповідно знання учнів логарифмічної функції набагато нижчі за знання властивостей лінійної, квадратичної та інших функцій, що вивчаються ними протягом кількох років, отже, знання властивостей даних функцій у учнів формальні, а все це проявляється при розв'язанні відповідних рівнянь, нерівностей, систем рівнянь. Учні, які захочуть продовжити своє навчання у ВНЗ та коледжах, повинні мати повні та глибокі знання з цієї теми.

У зв'язку з цим і виникла потреба у написанні цієї роботи. Мета якої полягала у розробці методики вивчення логарифмічних нерівностей.

Спробувати навчити хлопців за короткий проміжок часу мислити, критично осмислювати навколишній світ (від критичного аналізу тексту підручника, вирішення завдання до вироблення власної думки з будь-якої проблеми, що обговорюється). Непросто дати новий матеріал, “нав'язуючи” його учням, а забезпечити необхідну мотивацію, використовуючи проблемні ситуації, залучення життєвого досвіду учнів, історичні відомості.

МЕТОДИКА РІШЕННЯ ЛОГАРИФМІЧНИХ НЕРАВЕНСТВ

Нерівності, що містять змінну під знаком логарифму, називають логарифмічними.

Наприклад:

При розв'язанні логарифмічних нерівностей важливо пам'ятати:

1) загальні властивості нерівностей;

2) властивість монотонності логарифмічної функції;

3) область визначення логарифмічної функції.

Основні методи розв'язання логарифмічних нерівностей

Методи розв'язання логарифмічних нерівностей.

Приклад 1. Розв'яжіть нерівність < 1.

Рішення. Нехай = . Далі вирішимо нерівність < 1.

Отримаємо:

( – 1)( + 1) < 0 -1< < 1.

Залишилося вирішити подвійну нерівність:

— 1 < < 1 < 2 > x > 0,5.

Відповідь: .

приклад 2. Розв'яжіть нерівність > 2 x.

Рішення. Перепишемо нерівність у вигляді:

> > 8 8 .

Нехай , Отримаємо:

Залишилося вирішити нерівність 9.

Відповідь: (2; +∞).

приклад 3. Розв'яжіть нерівність 2 ≥ 1.

Рішення. Перепишемо нерівність у вигляді:

— ≥ 1 — ≥ 1.

Нехайa = , тоді

– a ≥ 1 ≥ 0 ≥ 0 ≤ 0.

Залишилося вирішити сукупність нерівностей:

Відповідь : ; .

приклад 4. Розв'яжіть нерівність

Рішення. Послідовно скористаємося твердженнями:

Подвійна нерівність рівносильна системі:

Відповідь: (7; + ∞).

Приклад 5. Розв'яжіть нерівність

Рішення. Розглянемо випадки:

2

Але приx нерівність35 – x неправильно. Рішень немає.

Відповідь : (2; 3).

Метод заміни множників

При розв'язанні показових та логарифмічних нерівностей можна скористатися і методом заміни множників.

Твердження 1. Знак різниці ( a – 1) ( f ( x ) – g ( x )) при x ОДЗ.

Або у вигляді схем:

(1)

Твердження 2. Знак різниці збігається зі знаком твору( h ( x ) – 1)( f ( x ) – g ( x )) приx ОДЗ.

(2)

приклад 1. Розв'яжіть нерівність

Рішення : Скористаємося твердженням (1) Отримаємо, що знак різниці

збігається зі знаком різниці(3 за умови, щоx ОДЗ. Отже, ця нерівність рівносильна системі:

Відповідь : ; .

Тема уроку: Логарифмічні нерівності.

Мета уроку:

1.Отработка умінь систематизувати, узагальнювати властивості логарифмів, логарифмічних функцій; застосовувати їх під час вирішення логарифмічних нерівностей; вміти застосовувати різні методирозв'язання логарифмічних нерівностей.

2. Розвиток свідомого сприйняття навчального матеріалу, розвиток зорової пам'яті, розвиток математичної мови учнів, формувати навички самонавчання, самоорганізації та самооцінки. Сприяти розвитку творчої діяльностіучнів.

3. Виховання пізнавальної активності, виховати в учнів любов і повагу до предмета, навчити бачити у ній як суворість, складність, а й логічність, простоту і красу.

Завдання уроку:

1. Підвищення інтересу до предмета математики.

2. Закріплення нових знань та умінь на тему «Логарифмічні нерівності»

Тип уроку: урок узагальнення та систематизації знань.

Хід уроку:

1. Організаційний момент.

Привітання, підготовка учнів до уроку. Постановка цілей уроку. (Слайд №2).

2. Актуалізація суб'єктивного досвіду учнів.

(Слайд №3).

- Викладач: Символом сьогоднішнього уроку я взяла черепашку, а епіграфом – слова:

«Світ такий величезний,

Не вистачить життя, щоби все пізнати.

Але багато є схожого,

Ти можеш знайти його у всьому ... »

- Викладач: Як ви вважаєте, про що ці слова? І чому символ уроку – черепашка – спіраль?

- Учні: У світі багато різних речей, явищ, але завжди можна знайти щось схоже, схоже один на одного. Ця «схожість» допомагає краще зрозуміти якесь явище або якийсь новий факт.

— Викладач: Слова епіграфа мають бути пов'язані із нашим сьогоднішнім уроком. На вашу думку, який зв'язок між епіграфом і уроком?

Учні: Мабуть, ми сьогодні вивчатимемо нову тему, матеріал якої нагадує раніше вивчений матеріал. Але оскільки символ уроку – спіраль, то матеріал уроку буде складнішим, ніж те, що вивчали раніше.

3. Мотивація. Організація сприйняття.

— Викладач: Відкрийте, будь ласка, зошити та запишіть тему уроку «Властивості логарифмічних нерівностей».

(Учні записують тему у зошитах).

— Викладач: При вивченні логарифмів на першому уроці ми з вами говорили про те, що з появою комп'ютерів логарифми стали не такими актуальними, як раніше. А навіщо ми їх вивчаємо?

Учні: Ця тема є у програмі, логарифми будуть на іспитах, на ЄДІ.

Сьогодні на уроці ми використовуватимемо прийоми порівняння, аналізу, узагальнення. І хоча логарифми можуть і не знадобитися вам у житті, але вміння порівнювати, аналізувати будь-що, узагальнювати, необхідні будь-кому сучасній людині, який хоче успішно побудувати свою професійну кар'єру. І є ще один важливий моментщо пояснює значення логарифмів для людства. Про нього я розповім наприкінці уроку.

— Викладач: Розглянемо різні логарифмічні нерівності, але повторимо властивості логарифмічної функції. (Слайд №4).

- Викладач: Співвіднести графіки функцій. (Слайд №5).

Учні: 1) 2) 3)

- Викладач: Вирішення найпростіших логарифмічних нерівностей.

, .

a , b - дійсні числа,a . (Слайди № 6, 7, 10).

Учні: вирішують у зошитах, потім перевіряють із рішенням на дошці. (Слайд №8). y = - Зростає x Відповідь: (8; + (Слайд №9). — зменшується x Відповідь: ( (Слайд №11).

— зростає

Відповідь: ;

- Викладач: Розв'яжемо логарифмічні нерівності заміною множників (Слайд № 12).

Повторимо формули: (Слайд №13).

(Слайд №14).

(Слайд №17).

(Слайд №19).

4.Узагальнення уроку

— Викладач: А тепер я розповім вам, яке значення має логарифмічна функція для всього людства. Споконвіку метою математики було допомогти людям дізнатися більше про навколишній світ, пізнати його закономірності та таємниці. Математики навчилися створювати математичні моделі різних явищ природи. Вивчення таких моделей дозволяє більше дізнатися про природних явищах. Низка явищ природи може описати логарифмічна залежність. Інакше висловлюючись, математики, намагаючись скласти математичну модель тієї чи іншої явища, досить часто звертаються саме до логарифмічної функції. (Слайд №21). Одним з наочних прикладівтакого звернення є логарифмічна спіраль, рівняння якої має вигляд:= loqa . А сама спіраль (черепашка) – це символ нашого сьогоднішнього уроку.

— Викладач: То чому ж як приклад логарифмічної залежності в природі обрали саме логарифмічну спіраль? Відомо, що живі істоти зазвичай зростають, зберігаючи загальне зображення своєї форми. При цьому найчастіше вони ростуть у всіх напрямках - доросла істота і вище і товщі дитинчати. Але раковини морських тварин можуть зростати лише в одному напрямку. Щоб не надто витягуватися в довжину, їм доводиться скручуватися, причому зростання відбувається так, що зберігається подібність до раковини з її первісною формою. А таке зростання може відбуватися лише з логарифмічної спіралі. (Слайд №22). Тому раковини багатьох молюсків, равликів, роги таких ссавців, як архари (гірські цапи), закручені по логарифмічній спіралі. Великий німецький поет Йоганн-Вольфганг Ґете вважав її навіть математичним символом життя та духовного розвитку.

По логарифмічній спіралі окреслено не лише раковини. Наприклад, павук Епейра, сплітаючи павутиння, закручує нитки навколо центру логарифмічними спіралями. У соняшнику насіння розташоване по дугах, близьких до логарифмічної спіралі; горішки в кедровій шишці розташовуються також по логарифмічній спіралі; за логарифмічними спіралями закручено багато галактик, зокрема, Галактика, якій належить Сонячна система.

- Учні:Розповідає про логарифмічну спіраль.

Логарифмічна спіраль.

Логарифмічна спіраль або ізогональна спіраль - особливий вид спіралі, що часто зустрічається в природі. Логарифмічна спіраль була вперше описана Декартом і пізніше інтенсивно досліджена Бернуллі, який називав її Spira mirabilis - "дивовижна спіраль".

- Викладач: Самостійна роботав зошиті. Учні здають зошити. Домашнє завдання: Вирішити дві нерівності (Слайд № 24) 5. Рефлексія. Викладач: А зараз я передаю на кожен рядок листок із зображеннями логарифмічної спіралі. Вихідною точкою початку уроку вважатимемо початок спіралі. Поставте, будь ласка, точку (кожну на одній зі спіралей), яка відображає ваші знання наприкінці сьогоднішнього уроку. Визначте, наскільки ви просунулися у своєму розвитку за 45 хвилин. (Учні виконують запропоновану роботу). Викладач: Подивіться ці малюнки. Ви всі дізналися сьогодні щось нове на уроці. І ця інформація, шляхи її пізнання сприяли вашому розвитку. Дивлячись на ці зображення, ви можете побачити, як кожен із вас просунувся у своєму розвитку за цей урок, порівняти себе з іншими учнями. А я бачу, що урок пройшов недаремно, що я допомогла вам йти дорогою знань, а ви мені, оскільки я бачила ваш інтерес до уроку. Дякую вам, хлопці, за це! (Слайд №25). ВИСНОВОК Цей урок – це четвертий урок у темі «Логарифмічні нерівності». Урок вивчення та первинного закріплення нових знань та способів діяльності. Урок проводився групи учнів із рівнем розвитку середній і від. Тому вся структура уроку, викладення нового матеріалу були розроблені з урахуванням можливостей та здібностей учнів. Виходячи з того, що для підготовки до уроку я використала додаткову інформацію, пов'язану з поняттям логарифмічної спіралі (поняттям якого немає в шкільному курсі математики), то пріоритетним завданнямна даному уроці, є завдання, що розвиває. Не применшую також ролі освітнього завдання. На першому етапі уроку я, використовуючи епіграф і символ «черепашка», сприяла розвитку мисленнєвої діяльності учнів, спрямованої на формулювання теми уроку. При повторенні матеріалу "Властивості логарифмічної функції" учні самостійно згадали матеріал, властивості логарифмічних нерівностей. Розвиток мови учнів сприяло формулювання вголос правил. Наступний етап уроку: організація сприйняття. Використовуючи прийоми аналогії, порівняння, я запропонувала учням вирішити логарифмічні нерівності у різний спосіб. Формулювання вголос властивостей логарифмів сприяло розвитку мовлення учнів. Для того щоб у учнів не було труднощів з розв'язанням нерівностей, на цьому етапі включено роботу на повторення матеріалу минулих уроків (безпосередньо на тему «Логарифми»). Учні знають критерій оцінювання. До того ж вони знають, що дуже складних завдань тут немає. Використовуючи малий обсяг завдань, наростання за рівнем складності, створила цьому етапі кожному за учня ситуацію успіху. Самоперевірка із використанням слайдів. Мотивація: використання теми для вирішення логарифмічних рівнянь, для складання іспиту, розвитку мислення. На етапі узагальнення я використала додаткову інформацію з цієї теми, що сприяло розвитку пізнавального інтересу учнів, розширенню їхнього кругозору. На етапі рефлексії учні за допомогою малюнка логарифмічної спіралі самі змогли визначити рівень своїх знань на початку уроку та наприкінці, побачити свій розвиток по відношенню до інших учнів. Висновок: загалом, урок поставленої мети досяг. ДОДАТКИ Додаток 1 Логарифмічна спіраль СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ 1. Колесникова С.І. Математика. Інтенсивний курс підготовки до єдиного іспиту. - М.: Айріс прес, 2006. 2. Лікоть В.В. Завдання із параметрами. Показові та логарифмічні рівняння, нерівності, системи. - М.: Аркті, 2004.

Розробка уроку

вчителя математики школи № 42 р. Томська Полуектової Т.Є.

Тема: Підготовка учнів до ЄДІ щодо теми « Рішення логарифмічних рівнянь».

«Винахід логарифмів, скоротивши

Роботу астронома, продовжило йому життя»

П.С.Лаплас

Цілі уроку:

1. Ввести поняття - найпростіші логарифмічні рівняння
2. Розглянути основні методи розв'язання основних типів логарифмічних рівнянь.

Вимоги до знань та вмінь учнів:

1. Знати вид найпростіших логарифмічних рівнянь
2. Вміти застосовувати різні методи під час вирішення логарифмічних рівнянь.

План уроків

№ уроку	Структура уроку	Етап уроку
		Організаційний момент (1хв)
		Теоретична розминка (9 хв)
		Вивчення нового матеріалу (35 хв)
		Закріплення вивченого матеріалу (7 хв)
		Домашнє завдання (3 хв)

УРОК 1

I. Організаційний момент:формування мотиву, бажання працювати під час уроку.

ІІ. Теоретична розминка:повторення необхідних теоретичних відомостей на тему,розвиток умінь говорити та слухати. Робота проходить у формі відповідей на запитання:

1. Дайте визначення логарифму числа за заданою основою.
2. Запишіть головне логарифмічне тотожність(умовиа ≠ 1 , а > 0 , > 0 )
3. Основні властивості логарифмів (а ≠ 1 , а > 0 , > 0, х > 0, у > 0). Формулювання та формули.

1. Логарифм одиниці.
2. Логарифм самої основи.
3. Логарифм твору.
4. Логарифм приватного.
5. Логарифм ступеня.
6. Логарифм кореня.

1. Формула логарифмічного переходу від однієї основи до іншої
2. Які логарифми називаються десятковими, натуральними та як вони позначаються? Чому рівні lg 100 та lg 0, 001?
3. Дайте визначення логарифмічної функції.
4. Які область визначення та область значень функціїу = log а х та їх позначення?
5. Властивості монотонності: у якому разі функціяу = loq а х є зростаючою. в якому спадаючому?
6. Знайдіть вирази, які мають сенс: log 3 5; log 5 0; log 2 (-4); log 5 1; log 5 5.

ІІІ. Викладення нового матеріалу

В ірраціональному рівнянні невідоме міститься під знаком кореня різного ступеня.

А якщо в рівнянні невідоме міститься під знаком логарифму, як його назвати?

(логарифмічне).Запропонувати учням надати визначення логарифмічного рівняння.

Визначення : Логарифмічним рівнянням називається рівняння, що містить

Невідоме під знаком логарифму.

Яке перетворення називають логарифмуванням?

(Дію знаходження логарифму числа називають логарифмуванням).

Яке перетворення називають потенціюванням?

(Дію, яка полягає у знаходженні числа за даним логарифмом, називають потенціюванням).

При вирішенні логарифмічних рівнянь часто доводиться виконувати ці перетворення.

Слід мати на увазі, що зазначені операції можуть призвести до рівнянь, не рівносильних даних.

Логарифмування – це небезпечна операція, т.к. при ній може статися втрата коріння.

Приклад: х 2 = 25; прологарифмуємо обидві частини log 5 х 2 = log 5 25;

Х 1,2 = ± 5. рівняння з основи 5: 2 log 5 х = 2;

log 5 х = 1;

Х = 5 втрата кореня х = - 5

Уникнути цієї помилки допоможе знаходження ОДЗ рівняння.

При потенціювання втрати коренів не відбувається, але можуть вийти сторонні корені, які легко виявляються при підставці їх у вихідне рівняння.

Якщо при підстановці якогось кореня в рівняння під знаком логарифму виходить від'ємне числоабо нуль, то це коріння треба відкинути як сторонній.

Приклад: log 2 (х +1) + log 2 х = 2 використовуємо властивості логарифму твору

log 2 ((х +1) х) = 2 використовуємо визначення логарифму

Х(х+1) = 2 2

х 2 + х - 4 = 0, отримуємо х 1 = 1 і х 2 = -2 log 2 (-2)

Вираз немає сенсу.

З урахуванням вищевикладеного під час вирішення логарифмічних рівнянь пріоритетом є перевірка, а чи не ОДЗ.

Методи розв'язання логарифмічних рівнянь.

Основні методи розв'язання логарифмічних рівнянь:

1. Метод потенціювання, тобто. перехід від рівняння log а f(х) = log а φ(х) до рівняння слідства

f(х) = φ(х);

1. Метод запровадження нових змінних;
2. Метод логарифмування, тобто. перехід від рівняння f (х) = φ(х) до рівняння

log а f(х) = log а φ(х)

1). Рівняння виду log а х = в де а ≠ 1 , а > 0 , х > 0 називається найпростішим логарифмічним рівнянням, воно рівносильне рівнянню х = ав , причому перевірка, ні ОДЗ не потрібно, тобто.

1. log а х = в,

А ≠ 1, а > 0; х = а в

При розв'язках рівнянь такого типу можна виділити ще два типи:

1. log а f(х) = а, f(х) > 0, f(х) = а в .

А ≠ 1, а > 0; f(х) = а в;

1. log а f(х) = log а φ(х),

А ≠ 1 , а > 0, f(х) = φ(х)

f (х) = > 0, φ(х) > 0, φ(х) > 0.,

У Р О К 2

Розглянемо приклади рішень різних логарифмічних рівнянь:

1) Розв'язання рівнянь щодо визначення логарифму.

Приклад 1 . Знайдіть усі рішення рівняння log 2 (3 х 2 – х) = 1, що належать області визначення функції у = √2 – 5х.

Рішення: Рівняння log 2 (3 х 2 - х) = 1 рівносильно рівнянню 3х 2 - Х = 2 . має коріння х 1 = 1,

х 2 = -2/3.При х = 1 функція у = √2 - 5х не визначена., а при х = -2/3 визначена.Відповідь: -2/3

приклад 2. Вирішити рівняння log 3 (4  3 х -1 – 1) = 2х – 1 .

Рішення: За визначенням логарифму маємо: 4  3 х -1 – 1 = 3 2х – 1, 4/3  3 х – 1 + 3 2х  1/3 . Позначимо

3 х = у, тоді 4/3 у – 1 = 1/3 у 2, у 2 - 4у + 3 = 0, у 1 = 1, у 2 = 3. далі. якщо 3 х = 1. х = 0, і якщо 3 х = 3, то х = 1.

Зауважимо, що при знайдених значеннях вираз під знаком логарифму позитивно.

Відповідь:  0;1 

приклад 3. Вирішити рівняння log 3 (0,5 + х) = log 3 0.5 – log 3 х.

Рішення : Перегрупуємо члени рівняння log 3 (0,5 + х) + log 3 х = log 3 0.5.

х  0, х  0 ,

0,5 + х  0 х  0, х = -1 х = 0,5

log 3 (0,5 х + х 2) = log 3 0,5 х + 2х 2 = 1 х = ½

Відповідь: 0,5.

Приклад 4 . Вирішити рівняння log 2 (х +2) = log 2 (х 2 + х – 7).

Рішення: З рівності логарифмів випливає рівність, що стоять під знаком логарифму виразів:

Х + 2 = х 2 + х - 7. Звідси х 2 = 9. х = - 3 чи х = 3.

Перевірка показує, що х = -3 не задовольняє вихідного рівняння, х = 3 його рішенням.Відповідь :3

Приклад 5. Вирішити рівняння log х - 6 (х - 4) = 2.

Рішення: областю визначення рівняння log х – 6 (х - 4) = 2 є х  6 , х – 6  1 . для цих значень х рівняння рівносильне наступному: (х – 6) 2 = х - 4 . Вирішивши його, отримаємо х 1 = 8 і х 2 = 5. Враховуючи обмеження, запишемо відповідь: х = 8 .Відповідь: 8

2). Метод зведення обох частин рівняння до логарифму з однаковою основою.

Приклад 6 . Знайти усі корені рівняння 5х  2 2+х/х = 40.

Рішення : Прологарифмуємо обидві частини рівняння на підставі 2 і, застосувавши властивості логарифмів, отримаємо: 2+х/х+х log 2 5 = 3 + log 2 5, або 2 - 2х / х + (х - 1) log 2 5 = 0,. або

(х - 1) (log 2 5 – 2/х) = 0, звідки х = 1 або х = 2/ log 2 5 = 2 log 5 2 = log 5 4.

Відповідь:  1;

log 5 4  . Приклад 7 .Розв'язати рівняння х

lg х - 1 = 100. Рішення: Враховуючи ОДЗ: х  0 , прологарифмуємо обидві частини рівняння на підставі 10: lg x lg x – 1 = lg 100. Застосовуємо основну логарифмічну тотожність, отримуємо: lg х (lg х - 1) = 2 . Нехай lg х = а тоді а 2

- А - 2 = 0 . Вирішивши його, отримаємо а = 2 або а = -1.Повертаємось до заміни змінної lg х =2 або lg

х = -1, тоді х = 100, х = 1/10

3). Метод введення нової змінної ми вже застосували під час вирішення попереднього рівняння та рівняння у прикладі 2. Приклад 8:Розв'язати рівняння

lg 2 (10х) + lg (10х) = 6 - 3 lg 1/10.

Рішення: ОДЗ: х  0Використовуємо властивості логарифму та отримуємо (

lg 10 + lg x) 2 + lg 10 + lg x = 6 +3 lg x.

(1 + lg х) 2 + 1 + lg х = 6 +3 lg х.

Нехай lg х = а, (1 + а) 2 + 1 + а = 6 + 3а, а 2 = 4, а = 2;

А = -2.

lg х = 2, х = 100; lg х = - 2, х = 1/100. Відповідь: 100; 0, 01

Також при вирішенні логарифмічних рівнянь слід пам'ятати, що при винесенні парного ступеня під знаком логарифму отримуємо модуль функції

3). Метод введення нової змінної ми вже застосували під час вирішення попереднього рівняння та рівняння у прикладі 2. log а f(х) 2 n = 2 n log а | f(х) |Знайти абсциси тих точок графіка функції у = 2 log 2 (3х +5) + log 2 х 2

Рішення: , що у верхній полуплоскости, відстань яких до осі абсцис равно2.

Для точки верхньої напівплощини відстань до осі абсцис дорівнює її ординаті. Таким чином, для виконання умови завдання необхідно і достатньо рівності

2 log 2 (3х +5) + log 2 х 2 = 2.Вирішимо це рівняння:. 2 log 2 (3х +5) + log 2  х 

= 2. Використовуючи властивості логарифмів, отримуємо:

log 2 ((3х +5)   х  ) = 1, (3х + 5)   х  = 2.

1. Розкриваючи модуль, отримаємо два випадки:

(3х + 5) х = 2, 3х 2 +5х - 2 = 0, х 1 = -2  0, х 2 = 1/3.

1. Х  0.(3х + 5) (-х) = 2, 3х2 + 5х + 2 = 0, х

1 = -1, х 2 = -2/3.

Відповідь: Х  0.

таких точок три, їх абсциси: -1; -2/3; 1/3.

ІІ. Закріплення дослідженого матеріалу.

1. Розв'язати рівняння:

1. log 3 2 х + log 3 х = 6;

1. (log 2 2 х - 1) (log 2 2 х + 1) = 15;

1. lg 2 х - lg х = 0;. log 3 х  log 4 х  log 5 х = log 3 х  log 4 х + log 3 х  log 5 х + log 4 х  log 5

х; (Для сильних учнів).Рішення останнього прикладу

: Зауважимо, що х = 1 є коренем рівняння. Нехай х 

1 , тоді обидві частини рівняння можна розділити на

Добуток log 3 х  log 4 х  log 5 х.

Отримуємо 1 = 1 / log 5 х + 1 / log 4 х + 1 / log 3 х.: log а = 1/ log а, отримуємо

log х 5 + log х 4 + log х 3 = 1, log х 60 = 1 і х = 60.

Відповідь: 1; 60.

ІІІ. Домашнє завдання: § 44, № 44.1-44.17(варіант 1 - а, в; варіант 2 - б, г).

При підготовці до уроку було використано таку литературу:

1. «Алгебра та початки аналізу» 10-11 кл. А.Г.Мордкович

(Підручник і задачник); 10-те видання - М: Мнемозіна 2009.

1. «Вчимося вирішувати рівняння та нерівності» 10-11кл.

Деніщева Л.О., Карюхіна Н.В. , Міхєєва Т.Ф. - М.: Інтелект - Центр, 1999.

3 "Алгебра і початки аналізу" 10 - 11 кл.Ш.А.Алімов

(підручник); М: - просвітництво, 2008 р

Вчитель математики школи № 42 м. Томська: Полектова Т.Є.

Конспект уроку "Рішення логарифмічних нерівностей". 11 клас

Розробила та провела вчитель першої категорії Шайдуліна Г.С.

Наш девіз: «Дорогу здолає той, хто йде, а математику – мислячий».

Багато фізиків жартують, що «Математика, цариця наук, але служниця фізики!» Також можуть сказати хіміки, астрономи та навіть музиканти. Дійсно математика служить основою більшості наук і слова англійського філософа 16 століття Роджера Бекона "Той, хто не знає математики не може дізнатися ніякої іншої науки і навіть не може виявити власного невігластва." актуальні й нині

Тема нашого уроку "Логарифмічні нерівності".

Мета уроку:

1) узагальнити знання на тему

«Логарифмічні нерівності»

2) розглянути типові труднощі, які при вирішенні логарифмічних нерівностей;

3) посилити практичну спрямованість даної теми для якісної підготовкидо ЄДІ.

Завдання:

Навчальні:повторення, узагальнення та систематизація матеріалу теми, контроль засвоєння знань та умінь.

Розвиваючі:розвиток математичного та загального кругозору, мислення, мови, уваги та пам'яті.

Виховні:виховання інтересу до математики, активності, уміння спілкуватися, загальної культури.

Обладнання: комп'ютер, мультимедійний проектр, екран, картки із завданнями, з формулами логарифмів.

Структура уроку:

Організаційний момент.

Повторення матеріалу. Усна робота.

Історична довідка.

Робота над матеріалом

Завдання додому.

Підсумок уроку.

Логарифмічним нерівностям у варіантах ЄДІ з математики присвячена завдання C3 . Навчитися вирішувати завдання C3 з ЄДІ з математики повинен кожен учень, якщо він хоче скласти іспит на «добре» або «відмінно».

Історична довідка.

Джону Неперу належить сам термін «логарифм», який він переклав як « штучне число». Джон Непер – шотландець. У 16 років вирушив на континент, де протягом п'яти років у різних університетах Європи вивчав математику та інші науки. Потім він серйозно займався астрономією та математикою. До ідеї логарифмічних обчислень Непер прийшов ще у 80-х роках XVI століття, проте опублікував свої таблиці лише у 1614 році, після 25-річних обчислень. Вони вийшли під назвою "Опис чудових логарифмічних таблиць".

Почнемо урок із усної розминки. Чи готові?

Робота біля дошки.

Під час усної роботи з класом двоє учнів вирішують біля дошки приклади карток.

1.Вирішіть нерівність

2.Вирішіть нерівність

(Учні, які виконували завдання біля дошки, коментують свої рішення, посилаючись на відповідний теоретичний матеріал, інші вносять за необхідності коригування.)

1) Вкажіть неправильну рівність. Яке правило для цього треба використати?

а) log 3 27 = 3
б) log 2 0,125 = - 3
а) log 0,5 0,5 = 1
а) lg 10 000 = 5.

2)Порівняйте з нулем значення логарифму.Яке правило для цього треба використати?

а)lg 7

б)log 0,4 3

в)log 6 0,2

д)log ⅓ 0,6

3) Я хочу вамзапропонувати зіграти в морський бій. Я називаю літеру рядка та номер стовпця, а ви називаєте відповідь та шукайте відповідну літеру в таблиці.

4) Які з перелічених логарифмічних функцій є зростаючими і які меншими. Від чого це залежить?

5) Яка область визначення логарифмічної функції? Знайдіть область визначення функції:

Розібрати рішення на дошці.

Як вирішуються логарифмічні нерівності?

На чому ґрунтується розв'язання логарифмічних нерівностей?

На вирішення яких нерівностей схоже?

(Розв'язання логарифмічних нерівностей засноване на монотонності логарифмічної функції, з урахуванням області визначення логарифмічної функції та загальних властивостейнерівностей.)

Алгоритм розв'язання логарифмічних нерівностей:

А) Знайти область визначення нерівності (підлогарифмічний вираз більше за нуль).
Б) Уявити (якщо можливо) ліву і праву частини нерівності у вигляді логарифмів по одному й тому підставі.
В) Визначити, зростаючою чи спадною є логарифмічна функція: якщо t>1, то зростаюча; якщо 01, то спадна.
Г) Перейти до більш простої нерівності(підлогарифмічних виразів), враховуючи, що знак нерівності збережеться, якщо функція зростає, і зміниться, якщо вона зменшується.

Перевірка д.з.

1. log 8 (5х-10)< log 8 (14-х).

2. log 3 (х+2) +log 3 х =< 1.

3. log 0,5 (3х+1)< log 0,5 (2-х)

Вчимося на чужих помилках!

Хтось перший знайде помилку.

1.Знайдіть помилку у розв'язанні нерівності:

а)log 8 (5х-10)< log 8 (14-х),

5 x-10 < 14- x,

6 x < 24,

x < 4.

Відповідь: х € (-∞; 4).

Помилка: не враховано область визначення нерівності.

Прокоментувати рішення

Вірне рішення:

log 8 (5х-10)< log 8 (14-х)

  2< x <4.

Відповідь: х € (2; 4).

2. Знайдіть помилку у розв'язанні нерівності:

Помилка: не враховано область визначення вихідної нерівності.Вірне рішення

Відповідь: х .

3.Знайдіть помилку у розв'язанні нерівності:

log 0,5 (3х+1)< log 0,5 (2-х)

Відповідь: х €

Помилка: не врахували основу логарифму.

Вірне рішення:

log 0,5 (3х+1)< log 0,5 (2-х) 

Відповідь: х €

Аналізуючи варіанти вступних іспитів з математики, можна помітити, що з теорії логарифмів на іспитах часто зустрічаються логарифмічні нерівності, що містять змінну під логарифмом та на підставі логарифму.

Знайдіть помилку у розв'язанні нерівності:

4 .

А як ще можна вирішити нерівність №4?

Хто вирішував іншим способом?

Отже, хлопці, підводного каміння при вирішенні логарифмічних нерівностей зустрічається багато.

На що ж ми маємо звернути особливу увагу під час вирішення логарифмічних нерівностей? Як ви думаєте?

Отже, що потрібно для того, щоб вирішуватилогарифмічні рівняння та нерівності?

По перше,увага. Не допускайте помилок у проведених перетвореннях. Слідкуйте за тим, щоб кожна ваша дія не розширювала і не звужувала область допустимих значень нерівності, тобто не призводила ні до втрати, ні придбання сторонніх рішень.

По-друге,вміння мислити логічно. Укладачі ЄДІ з математики завданнями C3 перевіряють уміння учнів оперувати такими поняттями, як система нерівностей (перетин множин), сукупність нерівностей (об'єднання множин), здійснювати відбір розв'язків нерівності, керуючись його областю допустимих значень.

По-третє, чіткезнаннявластивостей всіх елементарних функцій (статечних, раціональних, показових, логарифмічних, тригонометричних), що вивчаються у шкільному курсі математики тарозумінняїхнього змісту.

УВАГА!

1. ОДЗ вихідної нерівності.

2. Підстава логарифму.

Розв'яжіть рівняння:

Рішення. Область допустимих значень рівняння визначається системою нерівностей:

МБОУ ЗОШ №1 село Новобілокатай

Тема роботи:

« Мій найкращий урок»

Вчитель математики:

Мухаметова Фаузія Караматівна

Викладається математика

2014

Тема урока:

«Нестандартний спосіб розв'язання логарифмічних нерівностей»

Клас 11( профільний рівень)

Форма уроку комбінований

Цілі уроку:

Освоєння нового способу розв'язання логарифмічних нерівностей та вміння застосовувати даний спосіб при вирішенні завдань С3 (17) ЄДІ 2015 з математики.

Завдання уроку:

- Освітні:систематизувати, узагальнити, розширити вміння та знання, пов'язані із застосуванням методів розв'язання логарифмічних нерівностей; Вміння застосовувати знання під час вирішення завдань ЄДІ 2015 з математики.

Розвиваючі : формувати навички самоосвіти, самоорганізації, вміння аналізувати, порівнювати, узагальнювати, робити висновки; Розвиток логічного мислення, уваги, пам'яті.

Виховні: виховувати самостійність, уміння вислуховувати інших, уміння спілкуватися у групі. Підвищення інтересу до вирішення завдань, формування самоконтролю та активація розумової діяльності у процесі виконання завдань.

Методологічна база:

Здоров'язберігаюча технологія за системою В.Ф. Базарного;

Технологія різнорівневого навчання;

технологія групового навчання;

Інформаційні технології (супровід уроку презентацією),

Форми організації навчальної діяльності: фронтальна, групова, індивідуальна, самостійна.

Обладнання: у учнів на робочому місці оціночні листи, картки з самостійною роботою, презентація уроку, комп'ютер, мультимедійний проектор.

Етапи уроку:

1. Організаційний момент

Вчитель Здрастуйте хлопці!

Я рада бачити вас усіх на уроці та сподіваюся на спільну плідну роботу.

2. Мотиваційний момент: написано у презентаціїІКТ технологія

Нехай епіграфом нашого уроку будуть слова:

« Вчитися можна тільки весело.

Щоб перетравлювати знання, треба їх поглинати з апетитом».Анатолій Франц.

Тож давайте будемо активними і уважними, оскільки нам знадобляться знання при здачі ЄДІ.

3. Етап постановки та цілі уроку:

Сьогодні ми на уроці вивчимо розв'язання логарифмічних нерівностей нестандартним методом. Так як рішення всього варіанта відводиться 235 хвилин, то завдання С3 потрібно десь 30 хвилин, от і потрібно знайти такий варіант рішення, щоб можна було витратити менше часу. Завдання взято з посібників ЄДІ 2015 року з математики.

4. Етап актуалізації знань.

Технологія оцінювання навчальних успіхів.

На партах у вас лежать оціночні листи, які учні заповнюють під час уроку, наприкінці здають вчителю. Вчитель пояснює, як заповнити оціночний лист.

Успішність виконання завдання відзначати символом:

«!»-володію вільно

«+»- можу вирішувати, іноді помиляюсь

«-«- треба ще попрацювати

Визначення логарифмічних нерівностей	Вміння вирішувати найпростіші логарифмічні нерівності	Вміння користуватися властивостями логарифмів	Вміння користуватися методом декомпозиції	Робота в парах	Я могу сам	підсумок

4. Фронтальна робота

Повторюється визначення логарифмічних нерівностей. Відомі методи рішення та їх алгоритм на конкретних прикладах.

Вчитель.

Діти подивимося на екран.Давайте вирішимо усно.

1) Вирішіть рівняння

2) Обчисліть

а Б В)

Впишіть у відповідній таблиці під кожною літерою відповідну цифру.

Відповідь:

5 етап Вивчення нового матеріалу

Технологія проблемного навчання

Вчитель

Давайте подивимося на слайд. Потрібно вирішити цю нерівність. Як можна вирішити цю нерівність? Теорія для вчителя:

Метод декомпозиції

Метод декомпозиції полягає у заміні складного виразу F(x) на більш простий вираз G(x), при якій нерівність G(x)^0 рівнозначна нерівності F(x)^0 у галузі визначення F(x).

Існує кілька виразів F та відповідні їм декомпозиційні G, де k, g, h, p, q – вирази зі змінноюх (h>0; h≠1; f>0, k>0), a – фіксоване число (а>0, a≠1).

	Вираз F	Вираз G
		(a-1)(f-k) (a-1)(f-a) (a-1)(f-1)
		(h-1)(f-k) (h-1)(f-h) (h-1)(f-1)
	(k≠1, f≠1)	(f-1)(k-1)(h-1)(k-f)
		(h-1)(f-k) (h-1) f
	(f>0; k>0)	(f-k)h
	|f| - |k|	(f-k)(f+k)

З цих виразів можна вивести деякі наслідки (з урахуванням області визначення):

0 ⬄ 0

У зазначених рівносильних переходах символ замінює один із знаків нерівностей: >,

На слайді завдання, яке розуміється вчителем.

Розглянемо приклад розв'язання логарифмічної нерівності двома методами

1. Метод інтервалів

О.Д.З.

a) б)

Відповідь: (;

Вчитель

Можна вирішити цю нерівність ще іншим способом.

2. Метод декомпозиції

Відповідь

На прикладі розв'язання цієї нерівності ми переконалися, що доцільніше використовувати метод декомпозиції.

Розглянемо застосування цього методу на кількох нерівностях

Завдання 1

Відповідь: (-1,5; -1) U (-1; 0) U (0; 3)

Завдання2