Como calcular o centro de gravidade de uma figura plana limitada usando uma integral dupla? Determine o centro de gravidade de uma placa homogênea delimitada por linhas
– calculando o centro de gravidade de um avião figura limitada . Muitos leitores entendem intuitivamente o que é o centro de gravidade, mas, mesmo assim, recomendo repetir o material de uma das lições geometria analítica, onde eu namorei problema sobre o centro de gravidade de um triângulo e decifrou o significado físico deste termo de uma forma acessível.
De forma independente e tarefas de teste para uma solução, via de regra, propõe-se caso mais simples– plano limitado homogêneo figura, isto é, uma figura de densidade física constante - vidro, madeira, lata, brinquedos de ferro fundido, infância difícil, etc. Além disso, por padrão, falaremos apenas sobre esses números =)
A primeira regra e exemplo mais simples : se uma figura plana tiver centro de simetria, então é o centro de gravidade desta figura. Por exemplo, o centro de uma placa redonda e homogênea. É lógico e compreensível na vida cotidiana - a massa de tal figura é “razoavelmente distribuída em todas as direções” em relação ao centro. Eu não quero mudar isso.
No entanto, em duras realidades, é improvável que eles lhe dêem um doce barra de chocolate elíptica, então você terá que se armar com sérios ferramenta de cozinha:
As coordenadas do centro de gravidade de uma figura plana homogênea limitada são calculadas usando as seguintes fórmulas:
, ou:
, onde é a área da região (figura); ou muito brevemente:
, Onde
Convencionalmente chamaremos a integral de integral “X” e a integral de integral “Y”.
Nota de ajuda
: para apartamento limitado heterogêneo figuras cuja densidade é dada pela função, as fórmulas são mais complexas:
, Onde 
– massa da figura;no caso de densidade uniforme, são simplificadas para as fórmulas acima.
Na verdade, toda a novidade acaba nas fórmulas, o resto é sua habilidade resolver integrais duplas Aliás, agora é uma ótima oportunidade para praticar e aprimorar sua técnica. E, como você sabe, não há limite para a perfeição =)
Vamos adicionar uma porção revigorante de parábolas:
Exemplo 1
Encontre as coordenadas do centro de gravidade de uma figura plana homogênea delimitada por linhas.
Solução: as retas aqui são elementares: definem o eixo x, e a equação – uma parábola, que pode ser construída fácil e rapidamente usando transformações geométricas de gráficos:
– parábola, deslocou 2 unidades para a esquerda e 1 unidade para baixo.
Completarei todo o desenho de uma vez com o ponto final do centro de gravidade da figura: 
Regra dois: se a figura tiver eixo de simetria, então o centro de gravidade desta figura está necessariamente neste eixo.
No nosso caso, a figura é simétrica em relação a direto, ou seja, na verdade já conhecemos a coordenada “x” do ponto “em”.
Observe também que verticalmente o centro de gravidade é deslocado para mais perto do eixo x, uma vez que a figura ali é mais massiva.
Sim, talvez nem todos tenham entendido completamente o que é o centro de gravidade: por favor, levante dedo indicador e coloque mentalmente a “sola” sombreada com um ponto. Teoricamente, o número não deveria cair.
Encontramos as coordenadas do centro de gravidade da figura usando as fórmulas 
, Onde .
A ordem de passagem da área (figura) é óbvia aqui: 
Atenção! Decidindo sobre a ordem de passagem mais vantajosa uma vez- e use-o para todos integrais!
1) Primeiro calcule a área da figura. Devido à relativa simplicidade da integral, a solução pode ser escrita de forma compacta; o principal é não se confundir nos cálculos:
Observamos o desenho e estimamos a área por células. Acabou sendo sobre o caso.
2) A coordenada X do centro de gravidade já foi encontrada “ método gráfico", para que você possa se referir à simetria e passar para o próximo ponto. No entanto, ainda não recomendo fazer isso - há uma grande probabilidade de que a solução seja rejeitada com a expressão “use a fórmula”.
Observe que aqui você só pode fazer cálculos mentais - às vezes não é necessário reduzir as frações para denominador comum ou atormentar a calculadora.
Por isso: 
, que é o que era necessário obter.
3) Encontre a ordenada do centro de gravidade. Vamos calcular a integral do “jogo”:
Mas aqui seria difícil sem uma calculadora. Por precaução, comentarei que como resultado da multiplicação de polinômios, obtêm-se 9 termos, e alguns deles são semelhantes. Termos semelhantes Eu trouxe oralmente (como geralmente é feito em casos semelhantes) e imediatamente anotou o valor total.
Como resultado: 
, o que é muito, muito semelhante à verdade.
Sobre estágio final marque um ponto no desenho. De acordo com a condição, não havia exigência de desenhar nada, mas na maioria das tarefas somos forçados, quer queira quer não, a desenhar uma figura. Mas há uma vantagem absoluta - uma verificação visual e bastante eficaz do resultado.
Responder: 
Os dois exemplos a seguir são para decisão independente.
Exemplo 2
Encontre as coordenadas do centro de gravidade de uma figura plana homogênea delimitada por linhas 
A propósito, se você imaginar como a parábola está localizada e ver os pontos onde ela cruza o eixo, então aqui você pode realmente fazer sem desenho.
E mais complicado:
Exemplo 3
Encontre o centro de gravidade de uma figura plana homogênea delimitada por linhas
Se você tiver alguma dificuldade em construir gráficos, estude (repita) lição sobre parábolas e/ou Exemplo nº 11 do artigo Integrais duplas para manequins.
Exemplos de soluções no final da lição.
Além disso, uma dúzia ou dois exemplos semelhantes podem ser encontrados no arquivo correspondente na página Soluções prontas para matemática superior.
Bem, não posso deixar de agradar aos fãs da matemática superior, que muitas vezes me pedem para analisar problemas difíceis:
Exemplo 4
Encontre o centro de gravidade de uma figura plana homogênea delimitada por linhas. Desenhe a figura e seu centro de gravidade no desenho.
Solução: a condição desta tarefa já exige categoricamente a realização do desenho. Mas a exigência não é tão formal! – mesmo uma pessoa com um nível de formação médio pode imaginar este número em sua mente: 
Uma linha reta corta um círculo em 2 partes e uma cláusula adicional (cm. desigualdades lineares)
indica que estamos falando de uma pequena peça sombreada.
A figura é simétrica em relação a uma linha reta (representada por uma linha pontilhada), portanto o centro de gravidade deve estar nesta linha. E, obviamente, suas coordenadas são iguais módulo. Uma excelente diretriz que praticamente elimina a possibilidade de uma resposta errada!
Agora a má notícia =) Uma integral desagradável da raiz está surgindo no horizonte, que examinamos em detalhes no Exemplo nº 4 da lição Métodos eficientes para resolver integrais. E quem sabe o que mais será desenhado lá. Parece que devido à presença círculo lucrativo, mas nem tudo é tão simples. A equação da reta é transformada na forma 
e as integrais também não serão açúcar (embora os fãs integrais trigonométricas apreciará). Neste sentido, é mais prudente focar nas coordenadas cartesianas.
A ordem de percorrer a figura: 
1) Calcule a área da figura:
É mais racional tomar a primeira integral subsumindo o sinal diferencial:
E na segunda integral fazemos a substituição padrão:
Vamos calcular os novos limites de integração: 
2) Vamos encontrar.
Aqui na 2ª integral foi novamente utilizado método de subsumir uma função sob o sinal diferencial. Pratique e adote essas soluções ideais (na minha opinião) técnicas para resolver integrais padrão.
Após cálculos difíceis e demorados, voltamos novamente nossa atenção para o desenho (lembre-se que pontos ainda não sabemos! ) e recebemos profunda satisfação moral do valor encontrado.
3) Com base na análise realizada anteriormente, resta ter certeza de que .
Ótimo: 
Vamos traçar um ponto 
no desenho. De acordo com a redação da condição, nós a escrevemos como final responder: 
Uma tarefa semelhante para você resolver sozinho:
Exemplo 5
Encontre o centro de gravidade de uma figura plana homogênea delimitada por linhas. Execute o desenho.
Este problema é interessante porque contém uma figura de tamanho bastante pequeno e, se você cometer um erro em algum lugar, há uma grande probabilidade de “não entrar” na área. O que certamente é bom do ponto de vista do controle de decisão.
Um exemplo de design no final da lição.
Às vezes faz sentido transição para coordenadas polares em integrais duplas. Depende da figura. Eu procurei e procurei sozinho bom exemplo, mas não encontrei, então demonstrarei a solução usando o 1º problema de demonstração da lição acima: 
Deixe-me lembrá-lo que naquele exemplo fomos para coordenadas polares, descobriu a ordem de travessia da área 
e calculei sua área
Vamos encontrar o centro de gravidade desta figura. O esquema é o mesmo: 
. O valor é visualizado diretamente do desenho, e a coordenada “x” deve ser deslocada um pouco mais perto do eixo das ordenadas, pois ali está localizada a parte mais massiva do semicírculo.
Nas integrais usamos fórmulas de transição padrão:
É plausível, muito provavelmente, que eles não estivessem enganados.
Daremos um exemplo de determinação do centro de massa de um corpo dividindo-o em corpos separados cujos centros de massa são conhecidos.
Exemplo 1. Determine as coordenadas do centro de massa de uma placa homogênea (Fig. 9). As dimensões são dadas em milímetros na Figura 9.
Solução: Mostramos os eixos coordenados e . Dividimos a placa em partes, que são formadas por três retângulos. Para cada retângulo desenhamos diagonais, cujos pontos de intersecção determinam as posições dos centros de massa de cada retângulo. EM sistema aceito coordenadas, é fácil encontrar os valores das coordenadas desses pontos. Nomeadamente:
(-1; 1), (1;5), (5;9). As áreas de cada corpo são respectivamente iguais:
; 
;
.
A área de toda a placa é igual a:
Para determinar as coordenadas do centro de massa de uma determinada placa, utilizamos as expressões (21). Vamos substituir os valores de todas as quantidades conhecidas em dada equação, Nós temos
De acordo com os valores obtidos das coordenadas do centro de massa da placa, indicamos o ponto C na figura. Como você pode ver, o centro de massa (ponto geométrico) da placa está localizado fora dela.
Método de adição. Este método é um caso parcial do método de separação. Pode ser aplicado em corpos que possuam recortes (vazios). Além disso, sem a parte recortada, a posição do centro de massa do corpo é conhecida. Consideremos, por exemplo, a aplicação de tal método.
Exemplo 2. Determine a posição do centro de massa de uma placa circular de raio R, na qual existe um recorte de raio r (Fig. 10). Distância.
Solução: Como podemos ver, pela Fig. 10 o centro de massa da placa encontra-se no eixo de simetria da placa, ou seja, na reta, pois esta reta é o eixo de simetria. Assim, para determinar a posição do centro de massa desta placa, é necessário determinar apenas uma coordenada, pois a segunda coordenada estará localizada no eixo de simetria e equilibra os zeros. Vamos mostrar os eixos coordenados , . Suponhamos que a placa seja composta por dois corpos - um círculo completo (como se não tivesse recorte) e um corpo que parece feito com recorte. No sistema de coordenadas adotado, as coordenadas dos corpos indicados serão iguais a: .As áreas dos corpos serão iguais a: ; . A área total de todo o corpo será igual à diferença entre as áreas do primeiro e do segundo corpo, nomeadamente
Para calcular as quantidades m, e você precisa usar as fórmulas (4), (5) e (7). Como resultado obtemos fórmulas para as coordenadas do centro de massa de uma placa fina :
Exemplo 4 (calculando as coordenadas do centro de massa de uma placa homogênea)
Encontre as coordenadas do centro de massa de uma figura homogênea delimitada por linhas e .
Construída a figura, notamos que ela é geometricamente simétrica em relação à reta. Por ser feita de um material homogêneo, a figura possui simetria não apenas geométrica, mas também física, ou seja, a massa de sua parte, que está localizada. à esquerda do eixo de simetria, é igual à massa da parte localizada à direita. Então de acordo com o conhecido propriedades físicas centro de massa concluímos que ele está no eixo de simetria, ou seja
Para calcular, compomos o momento estático e utilizamos as fórmulas (4) e (5):
 | ;
 |
Resposta: C.
Aplicações de integrais triplas
As aplicações de integrais triplas são semelhantes às de integrais duplas, mas apenas para sólidos tridimensionais.
Se usarmos uma das propriedades da integral tripla (sobre o seu valor da função, é idêntico igual a um), então acontece fórmula para calcular o volume de qualquer corpo espacial :
Escrevemos a fórmula do volume através da integral tripla e calculamos a integral tripla em coordenadas cilíndricas:
Resposta: (unidades de volume).
Fórmula para calcular a massa de um objeto tridimensional ocupando volume V, tem a forma:
(13)
Aqui está a densidade de distribuição de massa volumétrica.
Exemplo 6 (cálculo da massa de um corpo tridimensional)
Encontre a massa de uma bola de raio R, se a densidade for proporcional ao cubo da distância do centro e por unidade de distância for igual a k.
V: volume elementar e .
Observe que aqui, no cálculo da integral tripla, o resultado foi um produto das integrais, uma vez que as integrais internas revelaram-se independentes das variáveis das integrais externas.
Resposta: (unidades de massa).
Características mecânicas para volume V(momentos estáticos, momentos de inércia, coordenadas do centro de massa) são calculados usando fórmulas que
são compilados por analogia com fórmulas para corpos bidimensionais.
Momentos estáticos elementares e momentos de inércia relativos a eixos de coordenadas:
momentos elementares de inércia em relação a coordenar planos e pontos de origem:
A seguir, para calcular as características mecânicas de todo o volume V, é necessário somar os termos elementares desta característica em todas as partes da partição (já que a característica calculada tem a propriedade de aditividade) e, em seguida, ir até o limite na soma resultante, desde que todas as partes elementares da partição sejam reduzido indefinidamente (contraído em pontos). Estas ações são descritas como a integração do termo elementar da característica mecânica calculada sobre o volume V.
O resultado é o seguinte fórmulas para cálculo de momentos estáticos M e momentos de inércia I de corpos tridimensionais :
Na prática, é útil não apenas usar essas fórmulas já prontas, mas também derivá-las no problema que está sendo resolvido.
Exemplos 7 (cálculo características mecânicas corpos tridimensionais)
Encontre o momento de inércia de um cilindro homogêneo cuja altura é h e raio base R, em relação a um eixo coincidente com o diâmetro da base.
Vamos encontrar a distância d para um ponto arbitrário no cilindro:
distância do ponto com coordenadas ao eixo – este é o comprimento da perpendicular traçada deste ponto ao eixo . Vamos construir um plano perpendicular ao eixo para que o ponto pertença a este plano. Então qualquer linha reta que cruze o eixo e pertença a este plano será perpendicular . Em particular, a linha reta que conecta o ponto e o ponto será perpendicular ao eixo, e a distância entre esses pontos será a distância necessária d. Calculamos usando a conhecida fórmula para a distância entre dois pontos.
