سیستم های معادلات خطی. دگرگونی های ابتدایی سیستم ها تبدیل های ابتدایی سیستم ها l a u
دو سیستم معادلات خطیاز یک مجموعه x 1،...، x n مجهول و به ترتیب از معادلات m و p
در صورتی معادل نامیده می شوند که راه حل آنها بر هم منطبق باشد (یعنی زیر مجموعه ها و در K n بر هم منطبق باشند، ). این بدان معنی است که: یا به طور همزمان زیرمجموعه های خالی هستند (یعنی هر دو سیستم (I) و (II) ناسازگار هستند)، یا به طور همزمان خالی نیستند، و (یعنی هر راه حل برای سیستم I یک راه حل برای سیستم II است، و هر سیستم راه حل II راه حلی برای سیستم I است).
مثال 3.2.1.
روش گاوس
طرح الگوریتم پیشنهادی گاوس بسیار ساده بود:
- اعمال تبدیل های متوالی به سیستم معادلات خطی که مجموعه راه حل ها را تغییر نمی دهند (بنابراین مجموعه راه حل ها را حفظ می کنیم. سیستم اصلی) و به یک سیستم معادل که دارای "فرم ساده" است (به اصطلاح فرم مرحله) بروید.
- برای " نوع سادهسیستم (با یک ماتریس گام) مجموعه ای از راه حل ها را توصیف می کند که با مجموعه راه حل های سیستم اصلی منطبق است.
توجه داشته باشید که یک روش مشابه، "فن چن" قبلاً در ریاضیات چینی باستان شناخته شده بود.
تبدیل های ابتدایی سیستم های معادلات خطی (ردیف های ماتریس)
تعریف 3.4.1 (تبدیل اولیه نوع 1). هنگامی که معادله i-ام سیستم به معادله k-ام اضافه می شود، ضرب در یک عدد (نشان: (i)"=(i)+c(k)؛ یعنی فقط یک معادله i-ام (i) با یک معادله جدید (i)"=(i)+c(k) جایگزین می شود. معادله ith جدید شکل دارد (a i1 +ca k1)x 1 +...+(a در +ca kn)x n =b i +cb k، یا به طور خلاصه،
یعنی در معادله جدید i-ام a ij "=a ij +ca kj , b i "=b i +cb k.
تعریف 3.4.2 (تبدیل اولیه نوع 2). وقتی معادلات i-امین و k-ام با هم عوض می شوند، معادلات باقی مانده تغییر نمی کنند (نشان: (i)"=(k) , (k)"=(i) ؛ برای ضرایب این به معنای زیر است: برای j= 1,.. .,n
تبصره 3.4.3. برای راحتی، در محاسبات خاص می توانید از تبدیل اولیه نوع 3 استفاده کنید: معادله i در یک عدد غیر صفر ضرب می شود. 
, (i)"=c(i) .
گزاره 3.4.4. اگر از سیستم I به سیستم II با استفاده از تعداد محدودی از تبدیل های ابتدایی نوع 1 و 2 حرکت کنیم، از سیستم II می توانیم با استفاده از تبدیل های ابتدایی نوع 1 و 2 نیز به سیستم I برگردیم.
اثبات
تبصره 3.4.5. این بیانیه همچنین با گنجاندن یک تبدیل ابتدایی از نوع 3 در تعداد تبدیل های ابتدایی صادق است. اگر و (i)"=c(i)، سپس 
و (i)=c -1 (i)" .
قضیه 3.4.6.بعد از اعمال متوالی تعداد متناهی تبدیل ابتدایی نوع 1 یا 2 به سیستم معادلات خطی، سیستم معادلات خطی معادل معادل اولیه بدست می آید.
اثبات توجه داشته باشید که کافی است مورد انتقال از سیستم I به سیستم II را با کمک یک تبدیل ابتدایی در نظر بگیریم و گنجاندن مجموعه‌های راه‌حل‌ها را اثبات کنیم (زیرا به موجب گزاره اثبات‌شده، از سیستم II می‌توانیم به سیستم بازگردیم. من و بنابراین ما شمول خواهیم داشت، یعنی برابری ثابت خواهد شد).
تعریف 5. تحولات ابتدایییک سیستم معادلات خطی را تبدیلات زیر می نامند:
1) بازآرایی هر دو معادله.
2) ضرب دو طرف یک معادله در هر عدد.
3) افزودن قسمت های مربوط به معادله دیگر، ضرب در هر عددی به دو طرف یک معادله ک;
(در حالی که سایر معادلات بدون تغییر باقی می مانند).
معادله صفرمعادله را صدا بزنید نوع زیر:
قضیه 1. هر دنباله متناهی از تبدیل‌های ابتدایی و تبدیلی که معادله صفر را حذف می‌کند، یک سیستم معادلات خطی را به سیستم معادلات خطی دیگر معادل آن تبدیل می‌کند.
اثباتبه موجب خاصیت 4 پاراگراف قبل، اثبات قضیه برای هر تبدیل به طور جداگانه کافی است.
1. هنگام تنظیم مجدد معادلات در یک سیستم، خود معادلات تغییر نمی کنند، بنابراین، طبق تعریف، سیستم حاصل معادل سیستم اصلی است.
2. به موجب قسمت اول برهان، اثبات گزاره برای معادله اول کافی است. بیایید اولین معادله سیستم (1) را در عدد ضرب کنیم، سیستم را بدست می آوریم
(2)
اجازه دهید 
سیستم ها (1) . سپس اعداد تمام معادلات سیستم (1) را برآورده می کنند. از آنجایی که تمام معادلات سیستم (2) به جز اولی با معادلات سیستم (1) منطبق است، اعداد تمام این معادلات را برآورده می کنند. از آنجایی که اعداد معادله اول سیستم (1) را برآورده می کند، برابری عددی صحیح برقرار است:
ضرب آن در عدد ک، برابری عددی صحیح را بدست می آوریم:
که ما آن را ثابت می کنیم
سیستم ها (2).
برگشت اگر حل سیستم (2)، سپس اعداد تمام معادلات سیستم (2) را برآورده می کنند. از آنجایی که تمام معادلات سیستم (1) به جز اولی با معادلات سیستم (2) منطبق است، اعداد تمام این معادلات را برآورده می کنند. از آنجایی که اعداد معادله اول سیستم (2) را برآورده می کنند، پس برابری عددی (4) صادق است. با تقسیم هر دو قسمت آن بر عدد، برابری عددی (3) را بدست می آوریم و آن را ثابت می کنیم
حل سیستم (1).
از این رو، طبق تعریف 4، سیستم (1) معادل سیستم (2) است.
3. به موجب قسمت اول برهان، کافی است گزاره معادلات اول و دوم سیستم را اثبات کنیم. اجازه دهید به دو طرف معادله اول سیستم، قسمت های مربوط به معادله دوم را ضرب در عدد اضافه کنیم. ک، ما سیستم را دریافت می کنیم
(5)
اجازه دهید راه حل سیستم (1) . سپس اعداد تمام معادلات سیستم (1) را برآورده می کنند. از آنجایی که تمام معادلات سیستم (5) به جز اولی با معادلات سیستم (1) منطبق است، اعداد تمام این معادلات را برآورده می کنند. از آنجایی که اعداد معادله اول سیستم (1) را برآورده می کند، برابری های عددی صحیح صورت می گیرد:
اضافه کردن عبارت به عبارت به تساوی اول، ضرب در عدد کبرابری عددی صحیح را بدست می آوریم.
تعریف 1.سیستمی از معادلات خطی به شکل (1)، که در آن، میدان، نامیده می شود سیستم معادلات خطی m با n مجهول در میدان, - ضرایب برای مجهولات, , - شرایط آزاد سیستم (1).
تعریف 2.سفارش داده شده n-ka ()، که در آن، نامیده می شود حل یک سیستم معادلات خطی(1)، اگر هنگام جایگزینی یک متغیر با هر معادله سیستم، (1) به یک برابری عددی صحیح تبدیل شود.
تعریف 3. مفصل، اگر حداقل یک راه حل داشته باشد. در غیر این صورت سیستم (1) فراخوانی می شود غیر مشترک.
تعریف 4.سیستم معادلات خطی (1) نامیده می شود مسلم - قطعی، اگر راه حل منحصر به فردی داشته باشد. در غیر این صورت سیستم (1) فراخوانی می شود نا معلوم.
سیستم معادلات خطی
(راه حلی وجود دارد) (راه حلی وجود ندارد)
مفصل غیر مفصلی
(تنها راه حل) (نه تنها راه حل)
قطعی نامشخص
تعریف 5.سیستم معادلات خطی روی یک میدان آرتماس گرفت همگن، اگر تمام عبارات آزاد آن برابر با صفر باشد. در غیر این صورت سیستم نامیده می شود ناهمگون.
بیایید سیستم معادلات خطی (1) را در نظر بگیریم. سپس یک سیستم همگن از فرم را یک سیستم همگن می نامند. مرتبط استبا سیستم (1). یک SLN همگن همیشه سازگار است، زیرا همیشه یک راه حل دارد.
برای هر SLN، دو ماتریس را می توان در نظر گرفت - ماتریس اصلی و توسعه یافته.
تعریف 6. ماتریس اصلی یک سیستم معادلات خطی(1) ماتریسی است که از ضرایبی برای مجهولات به شکل زیر تشکیل شده است: .
تعریف 7. یک ماتریس توسعه یافته از یک سیستم معادلات خطی(1) به ماتریسی گفته می شود که از یک ماتریس با افزودن ستونی از عبارت های آزاد به آن به دست می آید: .
تعریف 8.تبدیل های ابتدایی یک سیستم معادلات خطیبه موارد زیر می گویند: 1) ضرب دو طرف معادله ای از سیستم در یک اسکالر. 2) افزودن قسمتهای مربوط به معادله دیگر به دو طرف یک معادله سیستم، ضرب در عنصر. 3) اضافه کردن یا کنار گذاشتن یک معادله از فرم.
تعریف 9.دو سیستم معادلات خطی در یک میدان آرنسبت به متغیرها نامیده می شوند معادل، اگر مجموعه راه حل آنها منطبق باشد.
قضیه 1 . اگر یک سیستم معادلات خطی با استفاده از تبدیل های ابتدایی از سیستم دیگر به دست آید، آنگاه چنین سیستم هایی معادل هستند.
استفاده از تبدیل های ابتدایی نه برای یک سیستم معادلات خطی، بلکه در ماتریس توسعه یافته آن راحت است.
تعریف 10.اجازه دهید ماتریسی با عناصر فیلد P داده شود. تحولات ابتداییماتریس ها به صورت زیر نامیده می شوند:
1) ضرب تمام عناصر هر ردیف در ماتریس در aО Р #;
2) ضرب همه عناصر هر ردیف توسط ماتریس با aО Р # و جمع با عناصر مربوط به یک ردیف دیگر.
3) بازآرایی هر دو ردیف از ماتریس.
4) اضافه کردن یا حذف یک خط صفر.
8. راه حل SLU:متر روش حذف متوالی مجهولات (روش گاوس).
بیایید یکی از روش های اصلی حل سیستم های معادلات خطی را در نظر بگیریم که به نام روش حذف متوالی مجهولات، یا درغیر این صورت، روش گاوسی. سیستم (1) را در نظر بگیرید مترمعادلات خطی با nناشناخته بر فراز میدان ر:(1) .
در سیستم (1) حداقل یکی از ضرایب برای برابر نیست 0 . در غیر این صورت، (1) سیستمی از معادلات با مجهولات () است - این با شرط در تضاد است. اجازه دهید معادلات را به گونه ای عوض کنیم که ضریب معادله اول برابر نباشد 0 . بنابراین، می توانیم فرض کنیم که. بیایید هر دو طرف معادله اول را در ضرب کنیم و به قسمت های مربوطه دوم، سوم، ...، اضافه کنیم. مترمعادلات به ترتیب سیستمی به شکل: , Where به دست می آوریم س - کوچکترین عدد، به طوری که حداقل یکی از ضرایب برابر نباشد 0 . معادلات را به گونه ای مبادله می کنیم که در خط دوم ضریب متغیر برابر نباشد 0 ، یعنی می توانیم فرض کنیم که . سپس هر دو طرف معادله دوم را در ضرب می کنیم و به قسمت های مربوط به عدد سوم اضافه می کنیم، ... مترمعادلات به ترتیب با ادامه این فرآیند، سیستمی به شکل زیر بدست می آوریم:
سیستم معادلات خطی که طبق قضیه 1 معادل سیستم (1) است. . این سیستم را سیستم معادلات خطی گام به گام می نامند. دو حالت ممکن است: 1) حداقل یکی از عناصر برابر نباشد 0 . اجازه دهید، برای مثال،. سپس در سیستم معادلات خطی معادله ای به شکل وجود دارد که غیرممکن است. این بدان معنی است که سیستم هیچ راه حلی ندارد و بنابراین سیستم (1) هیچ راه حلی ندارد (در این مورد (1) یک سیستم ناسازگار است).
2) اجازه دهید،…،. سپس با استفاده از تبدیل ابتدایی 3، سیستم - سیستم را بدست می آوریم rمعادلات خطی با nناشناخته. در این حالت متغیرهای موجود در ضرایب فراخوانی می شوند متغیرهای اصلی(این است)، همه آنها وجود دارد r. بقیه ( n-r) متغیرها نامیده می شوند رایگان.
دو حالت ممکن است: 1) اگر r=n، سپس - سیستم از نظر ظاهری مثلثی. در این صورت، از آخرین معادله، متغیر، از ماقبل آخر - متغیر،...، از معادله اول - متغیر را پیدا می کنیم. بنابراین، ما یک راه حل منحصر به فرد برای سیستم معادلات خطی، و بنابراین برای سیستم معادلات خطی (1) به دست می آوریم (در این مورد، سیستم (1) تعریف می شود).
2) اجازه دهید r
هنگام حل یک سیستم معادلات خطی با استفاده از روش گاوس، انجام تبدیل های ابتدایی نه بر روی سیستم، بلکه بر روی ماتریس توسعه یافته آن راحت است.
تعریف.رتبه یک ماتریس A تعداد ردیف های غیر صفر هر ماتریس رده ای است که A با تبدیل های ابتدایی به آن ها کاهش می یابد. رتبه یک ماتریس A با r(A) یا rang(A) نشان داده می شود.
الگوریتم حل سیستم معادلات خطی با استفاده از روش گاوس
1. یک ماتریس توسعه یافته از سیستم معادلات خطی (1) بسازید و با استفاده از تبدیل های ابتدایی، آن را به صورت گام به گام در آورید.
2. انجام تحقیق: الف) اگر سیستم (1) ناسازگار است.
ب) اگر، پس سیستم (1) سازگار است.
علاوه بر این، اگر r=n، سپس سیستم (1) تعریف می شود اگر r
3. یک راه حل برای سیستم مربوط به ماتریس گام به دست آمده بیابید.
§7. سیستم های معادلات خطی
سیستم های معادل تبدیل های ابتدایی یک سیستم معادلات خطی.
اجازه دهید با- زمینه اعداد مختلط معادله فرم
جایی که 
، معادله خطی با نامیده می شود nناشناخته 
. مجموعه سفارش داده شده 
,
حل معادله (1) نامیده می شود اگر .
سیستم مترمعادلات خطی با nمجهول ها سیستمی از معادلات به شکل زیر است:
- ضرایب سیستم معادلات خطی، 
- اعضای رایگان
میز مستطیلی
,
ماتریس اندازه نامیده می شود 
. اجازه دهید نماد زیر را معرفی کنیم: - من- ردیف امین ماتریس، 
-
کستون -ام ماتریس. ماتریس آنیز تعیین کنید 
یا 
.
تبدیل های ردیف ماتریس زیر آابتدایی نامیده می شوند: 
) استثنای ردیف تهی. 
) ضرب تمام عناصر هر رشته در یک عدد 
; 
) به هر رشته ای هر رشته دیگری ضرب در 
. تبدیل های مشابه ستون های ماتریسی آتبدیل های ماتریس ابتدایی نامیده می شوند آ.
اولین عنصر غیر صفر (شمارش از چپ به راست) هر ردیف از ماتریس آعنصر اصلی آن خط نامیده می شود.
تعریف. ماتریس 
در صورت داشتن شرایط زیر به صورت مرحله ای نامیده می شود:
1) ردیف های صفر ماتریس (در صورت وجود) زیر ردیف های غیرصفر قرار دارند.
2) اگر 
عناصر اصلی ردیف های ماتریس، سپس 
هر ماتریس غیر صفر A را می توان با استفاده از تبدیل های ابتدایی ردیفی به یک ماتریس پله ای کاهش داد.
مثال. بیایید ماتریس را ارائه کنیم 
به ماتریس گام: 
~ 
~ 
.
ماتریسی که از ضرایب سیستم تشکیل شده است 
معادلات خطی (2) را ماتریس اصلی سیستم می گویند. ماتریس 
به دست آمده از افزودن ستونی از عبارت های آزاد، ماتریس توسعه یافته سیستم نامیده می شود.
مجموعه مرتب شده در صورتی که راه حلی برای هر معادله خطی این سیستم باشد، راه حل معادلات خطی (2) نامیده می شود.
سیستم معادلات خطی اگر حداقل یک راه حل داشته باشد سازگار و اگر جواب نداشته باشد ناسازگار نامیده می شود.
سیستم معادلات خطی اگر دارای یک جواب واحد باشد معین و اگر بیش از یک جواب داشته باشد نامعین نامیده می شود.
تبدیل های زیر یک سیستم معادلات خطی را ابتدایی می گویند:
) خروج از سیستم معادلات فرم ;
) ضرب دو طرف هر معادله در 
, 
;
) به هر معادله ای اضافه کردن هر معادله دیگری ضرب در،.
دو سیستم معادلات خطی از nمجهولات در صورتی معادل نامیده می شوند که با هم سازگار نباشند یا مجموعه راه حل های آنها منطبق باشد.
قضیه. اگر یک سیستم معادلات خطی از طریق تبدیل های ابتدایی مانند ) از دیگری به دست آید، آنگاه معادل سیستم اصلی است.
حل سیستم معادلات خطی با حذف مجهولات (روش گاوس).
بگذار سیستم داده شود مترمعادلات خطی با nناشناخته:
اگر سیستم (1) دارای معادله ای از فرم باشد
پس این سیستم سازگار نیست.
فرض کنید سیستم (1) دارای معادله ای از شکل (2) نیست. ضریب متغیر را در سیستم (1) بگذارید ایکس 1 در معادله اول 
(اگر اینطور نیست، با تنظیم مجدد معادلات به آن خواهیم رسید، زیرا همه ضرایب برای ایکس 1 برابر با صفر است). اجازه دهید زنجیره تبدیل های ابتدایی زیر را به سیستم معادلات خطی (1) اعمال کنیم:
، به معادله دوم اضافه کنید.
معادله اول ضرب در 
، به معادله سوم اضافه کنید و غیره.
معادله اول ضرب در 
، به آخرین معادله سیستم اضافه کنید.
در نتیجه، سیستم معادلات خطی را به دست می آوریم (در مطالب زیر از مخفف CLU برای سیستم معادلات خطی استفاده خواهیم کرد) معادل سیستم (1). ممکن است معلوم شود که در سیستم حاصل یک معادله واحد با عدد وجود ندارد من,
من 
2,
شامل ناشناخته نیست ایکس 2. اجازه دهید ککوچکترین عدد طبیعی به طوری که مجهول است ایکس کحداقل در یک معادله با عدد موجود است من,
من 2. سپس سیستم معادلات حاصل به شکل زیر است:
سیستم (3) معادل سیستم (1) است. اجازه دهید اکنون به زیرسیستم اعمال کنیم 
سیستم های استدلال معادلات خطی (3) که برای SLE (1) اعمال شد. و غیره. در نتیجه این فرآیند، به یکی از دو نتیجه می رسیم.
1. اجازه دهید یک SLE حاوی معادله ای از شکل (2) بدست آوریم. در این مورد، SLU (1) ناسازگار است.
2. تبدیلات ابتدایی اعمال شده در SLE (1) به سیستمی حاوی معادله ای از شکل (2) منجر نمی شود. در این مورد، SLE (1) توسط تبدیلات اولیه 
به یک سیستم معادلات به شکل زیر کاهش می یابد:
(4)
کجا، 1< ک < ل < . . .< س,
سیستم معادلات خطی شکل (4) را گام به گام می نامند. دو مورد زیر در اینجا امکان پذیر است.
آ) r= n، سپس سیستم (4) دارای فرم است
(5)
سیستم (5) راه حل منحصر به فردی دارد. در نتیجه، سیستم (1) نیز یک راه حل منحصر به فرد دارد.
ب) r<
n. در این مورد مجهولات 
در سیستم (4) مجهولات اصلی و مجهولات باقی مانده در این سیستم آزاد نامیده می شوند (تعداد آنها برابر است با n-
r). اجازه دهید مقادیر عددی دلخواه را به مجهولات آزاد اختصاص دهیم، سپس SLE (4) همان شکل سیستم (5) را خواهد داشت. از آن، مجهولات اصلی به طور منحصر به فرد تعیین می شود. بنابراین، سیستم یک راه حل دارد، یعنی سازگار است. از آنجایی که مجهولات رایگان مقادیر عددی دلخواه از آنها داده شده است با، پس سیستم (4) نامشخص است. در نتیجه، سیستم (1) نیز نامشخص است. با بیان مجهولات اصلی در SLE (4) بر حسب مجهولات آزاد، سیستمی به نام حل کلی سیستم (1) به دست می آید.
مثال. یک سیستم معادلات خطی را با استفاده از روش حل کنید جی aussa
بیایید ماتریس توسعه یافته سیستم معادلات خطی را بنویسیم و با استفاده از تبدیل های ابتدایی ردیف به ردیف، آن را به یک ماتریس پله ای کاهش دهیم:
~
~
~
~
~ با استفاده از ماتریس به دست آمده، سیستم معادلات خطی را بازیابی می کنیم: 
این سیستم معادل سیستم اصلی است. سپس مجهولات اصلی را در نظر بگیریم 
مجهول مجهول. اجازه دهید مجهولات اصلی را فقط بر حسب مجهولات رایگان بیان کنیم:
ما راه حل کلی SLU را دریافت کردیم. بگذار پس 
(5، 0، -5، 0، 1) - یک راه حل خاص از SNL.
مشکلاتی که باید مستقل حل شوند
1. با حذف مجهولات، یک جواب کلی و یک جواب خاص برای سیستم معادلات پیدا کنید:
1) 
2) 
4) 
6) 
2. مقادیر پارامترهای مختلف را پیدا کنید آحل کلی سیستم معادلات:
1)
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
§8. فضاهای برداری
مفهوم فضای برداری ساده ترین خواص
اجازه دهید V ≠ Ø, ( اف, +,∙) – فیلد. ما عناصر میدان را اسکالر می نامیم.
نمایش دادن φ : اف× V –> Vعمل ضرب عناصر یک مجموعه نامیده می شود Vبه اسکالرها از میدان اف. بیایید نشان دهیم φ (λ، a) از طریق λaمحصول یک عنصر آاسکالر کردن λ .
تعریف.یک دسته از Vبا یک عملیات جبری داده شده از اضافه کردن عناصر یک مجموعه Vو ضرب عناصر مجموعه Vبه اسکالرها از میدان افاگر بدیهیات زیر برقرار باشد، فضای برداری بر روی فیلد F نامیده می شود:
مثال.
اجازه دهید افرشته، اف n = {(آ 1
، آ 2
، … ، آ n) | آ من 
اف (من=)). هر عنصر از مجموعه اف nتماس گرفت n-بردار حسابی بعدی. اجازه دهید عملیات جمع را معرفی کنیم n-بردارهای بعدی و ضرب n-بردار بعدی بر روی یک اسکالر از میدان اف. اجازه دهید 
.
بگذار = ( آ 1 + ب 1 , … , آ n + ب n), = (λ آ 1، λ آ 2، …، λ آ n). یک دسته از اف n نسبت به عملیات معرفی شده یک فضای برداری است و نامیده می شود nفضای برداری حسابی بعدی بر روی میدان اف.
اجازه دهید V- فضای برداری روی زمین اف, ,
. خواص زیر انجام می شود:
1) 
;
3) 
;
4) 
;
اثبات مالکیت 3.
از برابری طبق قانون کاهش در گروه ( V,+) داریم 
.
وابستگی خطی، استقلال سیستم های برداری.
اجازه دهید V– فضای برداری روی زمین اف, 
. بردار به ترکیب خطی یک سیستم از بردارها گفته می شود 
. مجموعه تمام ترکیبات خطی یک سیستم از بردارها، دهانه خطی این سیستم از بردارها نامیده می شود و با نشان داده می شود.
تعریف.اگر چنین اسکالرهایی وجود داشته باشند، سیستمی از بردارها وابسته خطی نامیده می شود 
همه مساوی صفر نیستند، که
اگر برابری (1) ارضا شود اگر و فقط اگر λ 1 = λ 2 = … = =λ متر= 0، سپس سیستم بردارها مستقل خطی نامیده می شود.
مثال.دریابید که آیا سیستم بردارها وجود دارد یا خیر 
= (1,-2,2), =(2,0, 1), 
= (-1، 3، 4) فضای R 3 به طور خطی وابسته یا مستقل است.
راه حل.بگذارید λ 1، λ 2، λ 3 
و
|=> (0,0,0) – راه حل سیستم. بنابراین، سیستم بردارها به صورت خطی مستقل است.
خواص وابستگی خطیو استقلال سیستم برداری.
1. سیستمی از بردارها حاوی حداقل یک بردار صفر به صورت خطی وابسته است.
2. سیستمی از بردارها که شامل یک زیرسیستم وابسته به خطی است به صورت خطی وابسته است.
3. سیستم بردارها، که در آن 
به صورت خطی وابسته است اگر و فقط اگر حداقل یکی از بردارهای این سیستم متفاوت از بردار ترکیبی خطی از بردارهای قبل از آن باشد.
4. اگر سیستم بردارها مستقل خطی باشد و سیستم بردارها 
به صورت خطی وابسته، سپس بردار 
را می توان به عنوان یک ترکیب خطی از بردارها و علاوه بر این، به روشی منحصر به فرد نشان داد.
اثباتاز آنجایی که سیستم بردارها به صورت خطی وابسته است، پس 
همه مساوی صفر نیستند، که
در برابری برداری (2) λ
متر+1 ≠ 0. با فرض اینکه λ
متر 1 = 0، سپس از (2) => نتیجه می شود که سیستم بردارها به صورت خطی وابسته است، زیرا λ
1 , λ
2 , … , λ
مترهمه مساوی صفر نیستند با شرایط به تناقض رسیدیم. از (1) => از کجا 
.
اجازه دهید بردار نیز به شکل: سپس از برابری بردار نمایش داده شود 
به دلیل استقلال خطی سیستم بردارها نتیجه می شود که 
1 = β
1 , …, متر = β
متر .
5. اجازه دهید دو سیستم از بردارها داده شود و 
, متر>ک. اگر هر بردار یک سیستم از بردارها را بتوان به صورت ترکیبی خطی از یک سیستم از بردارها نشان داد، آنگاه سیستم بردارها به صورت خطی وابسته است.
اساس، رتبه سیستم برداری.
سیستم محدودی از بردارهای فضایی Vبر فراز میدان اف با نشان دادن اس.
تعریف.هر زیرسیستم مستقل خطی یک سیستم از بردارها اساساس سیستم بردارها نامیده می شود اس، در صورت وجود بردار سیستم اسرا می توان به صورت ترکیبی خطی از سیستم بردارها نشان داد.
مثال.اساس سیستم برداری را بیابید 
= (1, 0, 0), 
= (0, 1, 0),
= (-2، 3، 0) R 3. سیستم بردارها به صورت خطی مستقل است، زیرا طبق ویژگی 5، سیستم بردارها از سیستم بردارها به دست می آید. کمک هزینه اصول اولیهالکترومکانوترونیک: آموزشیکمک هزینه اصول اولیهمهندسی برق" ؛ ...
ادبیات آموزشی 2000-2008 (1)
ادبیاتریاضیات ریاضیات Lobkova N.I. مبانیخطی جبرو هندسه تحلیلی: آموزشیکمک هزینه/ N.I. Lobkova, M.V. Lagunova... اصول اولیهالکترومکانوترونیک: آموزشیکمک هزینه/ PGUPS. کافه "نظری اصول اولیهمهندسی برق" ؛ ...
