Координатна площина: що це таке? Як відзначати точки та будувати фігури на координатній площині? Координатна площина
Основні відомості про координатну площину
Кожен об'єкт (наприклад, будинок, місце в залі для глядачів, точка на карті) має свою впорядковану адресу (координати), яка має числове або буквене позначення.
Математики розробили модель, яка дозволяє визначати положення об'єкта та називається координатною площиною.
Щоб побудувати координатну площину, потрібно провести $2$ перпендикулярні прямі , на кінці яких вказуються за допомогою стрілок напряму «вправо» і «вгору». На прямі наносяться поділки, а точка перетину прямих є нульовою позначкою обох шкал.
Визначення 1
Горизонтальна пряма називається віссю абсцисі позначається х, а вертикальна пряма називається віссю ординаті позначається у.
Дві перпендикулярні осі х і поділками становлять прямокутну, або декартову, систему координат, яку запропонував французький філософ та математик Рене Декарт.
Координатна площина
Координати точки
Крапка на координатній площині визначається двома координатами.
Щоб визначити координати точки $A$ на координатній площині, потрібно через неї провести прямі, які будуть паралельні координатним осям (на малюнку виділено пунктирною лінією). Перетин прямий з віссю абсцис дає координату $x$ точки $A$, а перетин з віссю ординат дає координату у точки $A$. При записі координат точки спочатку записується координата $x$, потім координата $y$.
Точка $A$ малюнку має координати $(3; 2)$, а точка $B (–1; 4)$.
Для нанесення точки на координатну площину діють у зворотному порядку.
Побудова точки за заданими координатами
Приклад 1
На координатній площині побудувати точки $A (2; 5) $ і $ B (3; -1).
Рішення.
Побудова точки $A$:
- відкладемо число $2$ на осі $x$ і проведемо перпендикулярну пряму;
- на осі відкладемо число $5$ і проведемо перпендикулярну осі $y$ пряму. На перетині перпендикулярних прямих отримаємо точку $A$ з координатами $(2; 5)$.
Побудова точки $B$:
- відкладемо на осі $x$ число $3$ і проведемо перпендикулярну до осі х пряму;
- на осі $y$ відкладемо число $(-1)$ і проведемо перпендикулярну до осі $y$ пряму. На перетині перпендикулярних прямих отримаємо точку $ B $ з координатами $ (3; -1) $.
Приклад 2
Побудувати на координатній площині точки із заданими координатами $C(3; 0)$ і $D(0; 2)$.
Рішення.
Побудова точки $C$:
- відкладемо число $3$ на осі $x$;
- координата $y$ дорівнює нулю, тож точка $C$ лежатиме на осі $x$.
Побудова точки $D$:
- відкладемо число $2$ на осі $y$;
- координата $x$ дорівнює нулю, отже, точка $D$ лежатиме на осі $y$.
Зауваження 1
Отже, при координаті $x=0$ точка лежатиме на осі $y$, а за координати $y=0$ точка лежатиме на осі $x$.
Приклад 3
Визначити координати точок A, B, C, D.$
Рішення.
Визначимо координати точки $A$. Для цього проведемо через цю точку $2$ прямі, які будуть паралельними координатним осям. Перетин прямий із віссю абсцис дає координату $x$, перетин прямий із віссю ординат дає координату $y$. Таким чином, отримуємо, що точка $A (1; 3).
Визначимо координати точки $B$. Для цього проведемо через цю точку $2$ прямі, які будуть паралельними координатним осям. Перетин прямий з віссю абсцис дає координату $x$, перетин прямий з віссю ординат дає координату $y$. Виходить, що точка $B (–2; 4).$
Визначимо координати точки $C$. Т.к. вона розташована на осі $ y $, то координата $ x $ цієї точки дорівнює нулю. Координата дорівнює $-2$. Таким чином, точка $ C (0; -2) $.
Визначимо координати точки $D$. Т.к. вона знаходиться на осі $x$, то координата $y$ дорівнює нулю. Координата $x$ цієї точки дорівнює $-5$. Таким чином, точка $ D (5; 0).
Приклад 4
Побудувати точки $E(-3; -2), F (5; 0), G (3; 4), H (0; -4), O (0; 0).
Рішення.
Побудова точки $E$:
- відкладемо число $(–3)$ на осі $x$ і проведемо перпендикулярну пряму;
- на осі $y$ відкладемо число $(–2)$ та проведемо перпендикулярну пряму до осі $y$;
- на перетині перпендикулярних прямих отримуємо точку $E (-3; -2).
Побудова точки $F$:
- координата $ y = 0 $, отже, точка лежить на осі $ x $;
- відкладемо на осі $x$ число $5$ і отримаємо точку $F(5; 0).$
Побудова точки $G$:
- відкладемо число $3$ на осі $x$ і проведемо перпендикулярну пряму до осі $x$;
- на осі $y$ відкладемо число $4$ і проведемо перпендикулярну пряму до осі $y$;
- на перетині перпендикулярних прямих отримуємо точку $G(3; 4).$
Побудова точки $H$:
- координата $x=0$, отже, точка лежить на осі $y$;
- відкладемо на осі $y$ число $(–4)$ і отримаємо точку $H(0; –4).$
Побудова точки $O$:
- обидві координати точки дорівнюють нулю, отже, точка лежить одночасно і осі $y$, і осі $x$, отже є точкою перетину обох осей (початком координат).
Основні відомості про координатну площину
Кожен об'єкт (наприклад, будинок, місце в залі для глядачів, точка на карті) має свою впорядковану адресу (координати), яка має числове або буквене позначення.
Математики розробили модель, яка дозволяє визначати положення об'єкта та називається координатною площиною.
Щоб побудувати координатну площину, потрібно провести $2$ перпендикулярні прямі , на кінці яких вказуються за допомогою стрілок напряму «вправо» і «вгору». На прямі наносяться поділки, а точка перетину прямих є нульовою позначкою обох шкал.
Визначення 1
Горизонтальна пряма називається віссю абсцисі позначається х, а вертикальна пряма називається віссю ординаті позначається у.
Дві перпендикулярні осі х і поділками становлять прямокутну, або декартову, систему координат, яку запропонував французький філософ та математик Рене Декарт.
Координатна площина
Координати точки
Крапка на координатній площині визначається двома координатами.
Щоб визначити координати точки $A$ на координатній площині, потрібно через неї провести прямі, які будуть паралельні координатним осям (на малюнку виділено пунктирною лінією). Перетин прямий з віссю абсцис дає координату $x$ точки $A$, а перетин з віссю ординат дає координату у точки $A$. При записі координат точки спочатку записується координата $x$, потім координата $y$.
Точка $A$ малюнку має координати $(3; 2)$, а точка $B (–1; 4)$.
Для нанесення точки на координатну площину діють у зворотному порядку.
Побудова точки за заданими координатами
Приклад 1
На координатній площині побудувати точки $A (2; 5) $ і $ B (3; -1).
Рішення.
Побудова точки $A$:
- відкладемо число $2$ на осі $x$ і проведемо перпендикулярну пряму;
- на осі відкладемо число $5$ і проведемо перпендикулярну осі $y$ пряму. На перетині перпендикулярних прямих отримаємо точку $A$ з координатами $(2; 5)$.
Побудова точки $B$:
- відкладемо на осі $x$ число $3$ і проведемо перпендикулярну до осі х пряму;
- на осі $y$ відкладемо число $(-1)$ і проведемо перпендикулярну до осі $y$ пряму. На перетині перпендикулярних прямих отримаємо точку $ B $ з координатами $ (3; -1) $.
Приклад 2
Побудувати на координатній площині точки із заданими координатами $C(3; 0)$ і $D(0; 2)$.
Рішення.
Побудова точки $C$:
- відкладемо число $3$ на осі $x$;
- координата $y$ дорівнює нулю, тож точка $C$ лежатиме на осі $x$.
Побудова точки $D$:
- відкладемо число $2$ на осі $y$;
- координата $x$ дорівнює нулю, отже, точка $D$ лежатиме на осі $y$.
Зауваження 1
Отже, при координаті $x=0$ точка лежатиме на осі $y$, а за координати $y=0$ точка лежатиме на осі $x$.
Приклад 3
Визначити координати точок A, B, C, D.$
Рішення.
Визначимо координати точки $A$. Для цього проведемо через цю точку $2$ прямі, які будуть паралельними координатним осям. Перетин прямий із віссю абсцис дає координату $x$, перетин прямий із віссю ординат дає координату $y$. Таким чином, отримуємо, що точка $A (1; 3).
Визначимо координати точки $B$. Для цього проведемо через цю точку $2$ прямі, які будуть паралельними координатним осям. Перетин прямий з віссю абсцис дає координату $x$, перетин прямий з віссю ординат дає координату $y$. Виходить, що точка $B (–2; 4).$
Визначимо координати точки $C$. Т.к. вона розташована на осі $ y $, то координата $ x $ цієї точки дорівнює нулю. Координата дорівнює $-2$. Таким чином, точка $ C (0; -2) $.
Визначимо координати точки $D$. Т.к. вона знаходиться на осі $x$, то координата $y$ дорівнює нулю. Координата $x$ цієї точки дорівнює $-5$. Таким чином, точка $ D (5; 0).
Приклад 4
Побудувати точки $E(-3; -2), F (5; 0), G (3; 4), H (0; -4), O (0; 0).
Рішення.
Побудова точки $E$:
- відкладемо число $(–3)$ на осі $x$ і проведемо перпендикулярну пряму;
- на осі $y$ відкладемо число $(–2)$ та проведемо перпендикулярну пряму до осі $y$;
- на перетині перпендикулярних прямих отримуємо точку $E (-3; -2).
Побудова точки $F$:
- координата $ y = 0 $, отже, точка лежить на осі $ x $;
- відкладемо на осі $x$ число $5$ і отримаємо точку $F(5; 0).$
Побудова точки $G$:
- відкладемо число $3$ на осі $x$ і проведемо перпендикулярну пряму до осі $x$;
- на осі $y$ відкладемо число $4$ і проведемо перпендикулярну пряму до осі $y$;
- на перетині перпендикулярних прямих отримуємо точку $G(3; 4).$
Побудова точки $H$:
- координата $x=0$, отже, точка лежить на осі $y$;
- відкладемо на осі $y$ число $(–4)$ і отримаємо точку $H(0; –4).$
Побудова точки $O$:
- обидві координати точки дорівнюють нулю, отже, точка лежить одночасно і осі $y$, і осі $x$, отже є точкою перетину обох осей (початком координат).
Якщо побудувати на площині дві взаємно перпендикулярні числові осі: OXі OY, то вони будуть називатися осями координат. Горизонтальна вісь OXназивається віссю абсцис(віссю x), вертикальна вісь OY - віссю ординат(віссю y).
Крапка O, що стоїть на перетині осей, називається початком координат. Вона є нульовою точкою для обох осей. Позитивні числазображуються на осі абсцис точками вправо, але в осі ординат - точками вгору від нульової точки. Негативні числазображуються точками вліво та вниз від початку координат (точки O). Площина, на якій лежать осі координат, називається координатною площиною.
Осі координат ділять площину на чотири частини, які називають чвертямиабо квадрантами. Ці чверті прийнято нумерувати римськими цифрами в тому порядку, в якому вони пронумеровані на кресленні.
Координати точки на площині
Якщо взяти на координатній площині довільну точку Aі провести від неї перпендикуляри до осей координат, то підстави перпендикулярів ляжуть на два числа. Число, на яке вказує вертикальний перпендикуляр, називається абсцисою точки A. Число, на яке вказує горизонтальний перпендикуляр, - ординатою точки A.
На кресленні абсцису крапки Aдорівнює 3, а ордината 5.
Абсцисса та ордината називаються координатами даної точки на площині.
Координати точки записуються в дужках праворуч від позначення точки. Першою записується абсциса, а за нею ордината. Так запис A(3; 5) позначає, що абсцис точки Aдорівнює трьом, а ордината – п'яти.
Координати точки - це числа, що визначають її положення на площині.
Якщо точка лежить на осі абсцис, її ордината дорівнює нулю (наприклад, точка Bз координатами -2 та 0). Якщо точка лежить на осі ординат, її абсцис дорівнює нулю (наприклад, точка Cз координатами 0 та -4).
Початок координат - точка O- має і абсцису та ординату рівні нулю: O (0; 0).
Ця системакоординат називається прямокутноїабо декартовий.
§ 1 Система координат: визначення та спосіб побудови
У цьому уроці познайомимося з поняттями "система координат", "координатна площина", "осі координат", навчимося будувати точки на площині координат.
Візьмемо координатну пряму х із початком координат точкою О, позитивним напрямком та одиничним відрізком.
Через початок координат точку координатної прямої х проведемо ще одну координатну пряму y, перпендикулярну х, позитивний напрям зададимо вгору, одиничний відрізок такий же. Таким чином ми побудували систему координат.
Дамо визначення:
Дві взаємно перпендикулярні координатні прямі, що перетинаються в точці, яка є початком координат кожної з них, утворюють систему координат.
§ 2 Координатна вісь та координатна площина
Прямі, які утворюють систему координат, називають координатними осями, Кожна з яких має свою назву: координатна пряма х - вісь абсцис, координатна пряма y - вісь ординат.
Площина, де обрана система координат, називається координатної площиною.
Описана система координат називається прямокутною. Часто її називають декартовою системою координат на честь французького філософа та математика Рене Декарта.
Кожна точка координатної площини має дві координати, які можна визначити, опустивши з точки перпендикуляри осі координат. Координати точки на площині - це пара чисел, у тому числі перше число - абсцисса, друге число - ордината. Абсцис показує перпендикуляр до осі х, ординату - перпендикуляр до осі y.
Зазначимо на координатній площині точку А, проведемо з неї перпендикуляри до осей системи координат.
По перпендикуляру до осі абсцис (вісь х) визначаємо абсцис точки А, вона дорівнює 4, ординату точки А - по перпендикуляру до осі ординат (вісь у) - це 3. Координати нашої точки 4 і 3. А (4; 3). Таким чином, координати можна знайти для будь-якої точки координатної площини.
§ 3 Побудова точки на площині
Як побудувати точку на площині із заданими координатами, тобто. за координатами точки площини визначити її положення? У цьому випадку дії виконуємо у зворотному порядку. На координатних осях знаходимо точки, що відповідають заданим координатам, через які проводимо прямі, перпендикулярні осям х і y. Крапка перетину перпендикулярів і буде шуканою, тобто. точкою із заданими координатами.
Виконаємо завдання: побудувати на координатній площині точку М (2; -3).
Для цього на осі абсцис знаходимо точку з координатою 2, проводимо через цю точку пряму перпендикулярну до осі х. На осі ординат знайдемо точку з координатою -3 через неї проведемо пряму перпендикулярну осі y. Точка перетину перпендикулярних до прямих і буде заданою точкою М.
А тепер розглянемо кілька окремих випадків.
Зазначимо на координатній площині точки А (0; 2), (0; -3), С (0; 4).
Абсциси даних точок дорівнюють 0. На малюнку видно, що всі точки знаходяться на осі ординат.
Отже, точки, абсциси яких дорівнюють нулю, лежать на осі ординат.
Поміняємо координати даних точок місцями.
Вийде А (2; 0), В (-3; 0) С (4; 0). У цьому випадку всі ординати дорівнюють 0 і точки знаходяться на осі абсцис.
Отже, точки, ординати яких дорівнюють нулю, лежать на осі абсцис.
Розберемо ще два випадки.
На координатній площині відзначимо точки М (3; 2), N (3; -1), Р (3; -4).
Легко помітити, що це абсциси точок однакові. Якщо ці точки з'єднати, вийде пряма, паралельна осі ординат та перпендикулярна осі абсцис.
Напрошується висновок: точки, що мають одну і ту ж абсцис, лежать на одній прямій, яка паралельна осі ординат і перпендикулярна осі абсцис.
Якщо змінити координати точок М, N, Р місцями, то вийде М (2; 3), N (-1; 3), Р (-4; 3). Одноманітними стануть ординати точок. У разі, якщо ці точки з'єднати, вийде пряма паралельна осі абсцис і перпендикулярна осі ординат.
Таким чином, точки, що мають ту саму ординату, лежать на одній прямій паралельній осі абсцис і перпендикулярній осі ординат.
У цьому уроці Ви познайомилися з поняттями "система координат", "координатна площина", "осі координат - вісь абсцис та вісь ординат". Дізналися, як знайти координати точки на координатній площині та навчилися будувати точки на площині за її координатами.
Список використаної литературы:
- Математика. 6 клас: поурочні плани до підручника І.І. Зубарєвої, А.Г. Мордковича// автор-упорядник Л.А. Топілін. - Мнемозіна, 2009.
- Математика. 6 клас: підручник для учнів загальноосвітніх закладів. І.І.Зубарєва, А.Г.Мордкович. - М.: Мнемозіна, 2013.
- Математика. 6 клас: підручник для загальноосвітніх установ/Г.В. Дорофєєв, І.Ф. Шаригін, С.Б. Суворова та ін/за редакцією Г.В. Дорофєєва, І.Ф. Шаригіна; Рос.акад.наук, Рос.акад.освіти. - М: «Просвіта», 2010
- Довідник з математики - http://lyudmilanik.com.ua
- Довідник для учнів у середній школі http://shkolo.ru
На площині. Нехай одна буде x, інша – y. І нехай ці прямі взаємно перпендикулярні (тобто перетинаються під прямим кутом). Причому точка їхнього перетину буде початком координат для обох прямих, а одиничний відрізок однаковий (рис. 1).
Таким чином, ми отримали прямокутну систему координат, А наша площина стала координатною. Прямі x та y називають осями координат. Причому вісь x – віссю абсцис, а вісь y – віссю ординат. Позначається подібна площина зазвичай за назвою осей та точкою відліку – xOy. Прямокутну систему координат також називають декартовою системою координат, оскільки вперше її почав активно використовувати французький математик та філософ - Рене Декарт.
Прямокутні кути, утворені прямими x та y, називають координатними кутами. Кожен кут має свій номер, як показано на рис. 2.
Отже, коли ми говорили про координатну пряму, у будь-якої точки цієї прямої була одна координата. Тепер, коли йдеться про координатну площину, то у кожної точки цієї площини вже будуть дві координати. Одна відповідає прямий x (цю координату називають абсцисою), інша відповідає прямий y (цю координату називають ординатою). Записується це в такий спосіб: M(x;y), де x – абсцис, а y – ордината. Читається як: "Точка M з координатами x, y".
Як визначити координати точки на площині?
Тепер ми знаємо, що кожна крапка на площині має дві координати. Для того, щоб дізнатися її координати, нам достатньо через цю точку провести дві прямі, перпендикулярні осям координат. Точки перетину цих прямих з координатними осями та будуть шуканими координатами. Приміром, на рис. 3 ми визначили, що координатами точки M є 5 та 3.
Як побудувати крапку на площині за її координатами?
Буває й так, що ми знаємо координати точки на площині. І нам потрібно знайти її розташування. Допустимо у нас координати точки (-2; 5). Тобто абциса дорівнює -2, а ордината дорівнює 5. Візьмемо на прямий x (осі абсцис) точку з координатою -2 і проведемо через неї пряму a, паралельну осі y. Зауважимо, що будь-яка точка на цій прямій матиме абсцису рівну -2. Тепер знайдемо на прямий y (осі ординат) точку з координатою 5 і проведемо через неї пряму b, паралельну до осі x. Зауважимо, що будь-яка точка на цій прямій матиме ординату рівну 5. На перетині прямих a і b якраз і буде точка з координатами (-2; 5). Позначимо її літерою P (рис. 4).
Додамо також, що пряма a, всі точки якої мають абсцис -2, задається рівнянням
x = -2 або що x = -2 – рівняння прямої a. Можна для зручності говорити не "пряма, яка задається рівнянням x = -2", а просто "пряма x = -2". Дійсно, для будь-якої точки прямої a справедлива рівність x = -2. А пряма b, всі точки якої мають ординату 5, своєю чергою задається рівнянням y = 5 або що y = 5 – рівняння прямої b.
