≡×ՄԵՆՈՒ

• Ինտերիեր
• Պատուհան
• Պատեր
• Նախագծեր
• Շենքերը

Եթե ​​փակագծերից առաջ կա գումարած նշան: Փակագծերի բացում. կանոններ և օրինակներ (7-րդ դասարան)

Այս դասում դուք կսովորեք, թե ինչպես փոխակերպել փակագծեր պարունակող արտահայտությունը փակագծեր չպարունակող արտահայտության: Դուք կսովորեք, թե ինչպես բացել փակագծերը, որոնց նախորդում է գումարած և մինուս նշան: Մենք կհիշենք, թե ինչպես բացել փակագծերը՝ օգտագործելով բազմապատկման բաշխիչ օրենքը։ Դիտարկված օրինակները թույլ կտան նոր և նախկինում ուսումնասիրված նյութերը կապել մեկ ամբողջության մեջ:

Թեմա՝ Հավասարումների լուծում

Դաս. Փակագծերի ընդլայնում

Ինչպես բացել փակագծերը, որոնց նախորդում է «+» նշանը: Ավելացման ասոցիատիվ օրենքի օգտագործումը.

Եթե ​​պետք է թվին գումարել երկու թվերի գումար, ապա այս թվին կարող եք ավելացնել առաջին անդամը, իսկ հետո՝ երկրորդը:

Հավասարության նշանից ձախ փակագծերով արտահայտություն է, իսկ աջում՝ առանց փակագծերի արտահայտություն: Սա նշանակում է, որ հավասարության ձախ կողմից աջ կողմ անցնելիս փակագծերը բացվել են։

Նկատի առ օրինակներ։

Օրինակ 1

Ընդլայնելով փակագծերը՝ փոխեցինք գործողությունների հերթականությունը։ Հաշվելն ավելի հարմար է դարձել։

Օրինակ 2

Օրինակ 3

Նկատի ունեցեք, որ բոլոր երեք օրինակներում մենք պարզապես հանել ենք փակագծերը: Ձևակերպենք կանոնը.

Մեկնաբանություն.

Եթե ​​փակագծերում առաջին տերմինն անստորագիր է, ապա այն պետք է գրվի գումարած նշանով։

Դուք կարող եք հետևել քայլ առ քայլ օրինակին: Նախ, 889-ին ավելացրեք 445: Այս մտավոր գործողությունը կարելի է կատարել, բայց դա այնքան էլ հեշտ չէ: Բացենք փակագծերը և տեսնենք, որ փոխված գործողությունների հերթականությունը մեծապես կհեշտացնի հաշվարկները։

Եթե ​​հետևում եք գործողությունների նշված հաջորդականությանը, ապա 512-ից նախ պետք է հանել 345, իսկ հետո արդյունքին ավելացնել 1345։ Փակագծերը ընդլայնելով՝ մենք կփոխենք գործողությունների հերթականությունը և մեծապես կպարզեցնենք հաշվարկները։

Պատկերավոր օրինակ և կանոն.

Դիտարկենք մի օրինակ. Արտահայտության արժեքը կարող եք գտնել՝ գումարելով 2 և 5, իսկ արդյունքում ստացված թիվը հակառակ նշանով վերցնելով։ Մենք ստանում ենք -7:

Մյուս կողմից, նույն արդյունքը կարելի է ստանալ՝ գումարելով հակառակ թվերը։

Ձևակերպենք կանոնը.

Օրինակ 1

Օրինակ 2

Կանոնը չի փոխվում, եթե փակագծերում կան ոչ թե երկու, այլ երեք կամ ավելի տերմիններ։

Օրինակ 3

Մեկնաբանություն. Նշանները հակադարձվում են միայն տերմինների դիմաց:

Փակագծերը բացելու համար այս դեպքում պետք է հետ կանչել բաշխիչ հատկությունը։

Նախ, առաջին փակագիծը բազմապատկեք 2-ով, իսկ երկրորդը 3-ով:

Առաջին փակագծին նախորդում է «+» նշանը, ինչը նշանակում է, որ նշանները պետք է մնան անփոփոխ: Երկրորդին նախորդում է «-» նշանը, հետևաբար, բոլոր նշանները պետք է հակադարձվեն

Մատենագիտություն

1. Վիլենկին Ն.Յա., Ժոխով Վ.Ի., Չեսնոկով Ա.Ս., Շվարցբուրդ Ս.Ի. Մաթեմատիկա 6. - Մ.: Mnemosyne, 2012 թ.
2. Մերզլյակ Ա.Գ., Պոլոնսկի Վ.Վ., Յակիր Մ.Ս. Մաթեմատիկա 6-րդ դասարան. - Գիմնազիա, 2006 թ.
3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Մաթեմատիկայի դասագրքի էջերի հետևում. - Լուսավորություն, 1989 թ.
4. Ռուրուկին Ա.Ն., Չայկովսկի Ի.Վ. Առաջադրանքներ մաթեմատիկայի դասընթացի համար 5-6 դասարան - ZSH MEPhI, 2011 թ.
5. Ռուրուկին Ա.Ն., Սոչիլով Ս.Վ., Չայկովսկի Կ.Գ. Մաթեմատիկա 5-6. Ձեռնարկ MEPhI հեռակա դպրոցի 6-րդ դասարանի աշակերտների համար. - ZSH MEPhI, 2011 թ.
6. Շևրին Լ.Ն., Գեյն Ա.Գ., Կորյակով Ի.Օ., Վոլկով Մ.Վ. Մաթեմատիկա Դասագիրք- զրուցակից ավագ դպրոցի 5-6-րդ դասարանների համար. Մաթեմատիկայի ուսուցչի գրադարան. - Լուսավորություն, 1989 թ.

1. Առցանց մաթեմատիկայի թեստեր ().
2. Դուք կարող եք ներբեռնել 1.2 կետում նշվածները: գրքեր ().

Տնային աշխատանք

1. Վիլենկին Ն.Յա., Ժոխով Վ.Ի., Չեսնոկով Ա.Ս., Շվարցբուրդ Ս.Ի. Մաթեմատիկա 6. - M .: Mnemosyne, 2012. (տես հղումը 1.2)
2. Տնային առաջադրանք՝ թիվ 1254, թիվ 1255, թիվ 1256 (բ, դ)
3. Այլ հանձնարարություններ՝ թիվ 1258(գ), թիվ 1248

Այս հոդվածում մենք մանրամասնորեն կքննարկենք մաթեմատիկայի դասընթացի այնպիսի կարևոր թեմայի հիմնական կանոնները, ինչպիսիք են փակագծերը: Դուք պետք է իմանաք փակագծերը բացելու կանոնները, որպեսզի ճիշտ լուծեք հավասարումները, որոնցում դրանք օգտագործվում են:

Ինչպես ճիշտ բացել փակագծերը ավելացնելիս

Ընդարձակեք փակագծերը, որոնց նախորդում է «+» նշանը

Սա ամենապարզ դեպքն է, քանի որ եթե փակագծերի դիմաց կա ավելացման նշան, փակագծերը բացելիս դրանց ներսում նշանները չեն փոխվում։ Օրինակ:

(9 + 3) + (1 - 6 + 9) = 9 + 3 + 1 - 6 + 9 = 16.

Ինչպես բացել փակագծերը, որոնց նախորդում է «-» նշանը

Այս դեպքում անհրաժեշտ է բոլոր տերմինները վերաշարադրել առանց փակագծերի, բայց միևնույն ժամանակ փոխել դրանց ներսում գտնվող բոլոր նշանները հակառակի: Նշանները փոխվում են միայն այն տերմինների համար, որոնց նախորդում էր «-» նշանը: Օրինակ:

(9 + 3) - (1 - 6 + 9) = 9 + 3 - 1 + 6 - 9 = 8.

Ինչպես բացել փակագծերը բազմապատկելիս

Փակագծերին նախորդում է բազմապատկիչ

Այս դեպքում պետք է յուրաքանչյուր տերմին բազմապատկել գործակցով և բացել փակագծերը՝ առանց նշանների փոխելու։ Եթե ​​բազմապատկիչն ունի «-» նշանը, ապա բազմապատկելիս տերմինների նշանները հակադարձվում են։ Օրինակ:

3 * (1 - 6 + 9) = 3 * 1 - 3 * 6 + 3 * 9 = 3 - 18 + 27 = 12.

Ինչպես բացել երկու փակագիծ՝ դրանց միջև բազմապատկման նշանով

Այս դեպքում դուք պետք է բազմապատկեք առաջին փակագծերի յուրաքանչյուր անդամը երկրորդ փակագծերի յուրաքանչյուր անդամի հետ, ապա ավելացրեք արդյունքները: Օրինակ:

(9 + 3) * (1 - 6 + 9) = 9 * 1 + 9 * (- 6) + 9 * 9 + 3 * 1 + 3 * (- 6) + 3 * 9 = 9 - 54 + 81 + 3 - 18 + 27 = 48.

Ինչպես բացել փակագծերը հրապարակում

Եթե ​​երկու անդամների գումարը կամ տարբերությունը քառակուսի է, փակագծերը պետք է ընդլայնվեն հետևյալ բանաձևով.

(x + y)^2 = x^2 + 2*x*y + y^2.

Փակագծերի ներսում մինուսի դեպքում բանաձեւը չի փոխվում։ Օրինակ:

(9 + 3) ^ 2 = 9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2 = 144.

Ինչպես բացել փակագծերը տարբեր աստիճանով

Եթե ​​տերմինների գումարը կամ տարբերությունը բարձրացվում է, օրինակ, 3-րդ կամ 4-րդ աստիճանի, ապա պարզապես անհրաժեշտ է փակագծի աստիճանը բաժանել «քառակուսիների»: Միևնույն գործակիցների հզորությունները գումարվում են, իսկ բաժանելիս բաժանարարի աստիճանը հանվում է դիվիդենտի աստիճանից։ Օրինակ:

(9 + 3) ^ 3 = ((9 + 3) ^ 2) * (9 + 3) = (9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2) * 12 = 1728.

Ինչպես բացել 3 փակագծեր

Կան հավասարումներ, որոնցում միանգամից 3 փակագծեր են բազմապատկվում։ Այս դեպքում նախ պետք է բազմապատկել առաջին երկու փակագծերի անդամները միմյանց միջև, իսկ հետո բազմապատկել այս բազմապատկման գումարը երրորդ փակագծի անդամներով: Օրինակ:

(1 + 2) * (3 + 4) * (5 - 6) = (3 + 4 + 6 + 8) * (5 - 6) = - 21.

Փակագծերի բացման այս կանոնները հավասարապես կիրառվում են ինչպես գծային, այնպես էլ եռանկյունաչափական հավասարումների վրա:

Շարունակում եմ ուսուցման թեմայով մեթոդական հոդվածների շարքը։ Ժամանակն է հաշվի առնել առանձնահատկությունները անհատական ​​աշխատանք մաթեմատիկայի դաստիարակ 7-րդ դասարանի սովորողների հետ. Մեծ հաճույքով կկիսվեմ իմ մտքերով դրանցից մեկի ներկայացման ձևերի վերաբերյալ հիմնական թեմաներըՀանրահաշվի դասընթաց 7-րդ դասարանում՝ «բացվող փակագծեր». Որպեսզի չփորձենք ընդունել անսահմանությունը, եկեք կանգ առնենք դրա սկզբնական փուլում և վերլուծենք կրկնուսույցի մեթոդաբանությունը բազմանդամը բազմանդամով բազմապատկելու համար: Ինչպես մաթեմատիկայի դասախոսվավեր է բարդ իրավիճակներ, Երբ թույլ ուսանողչի՞ ընկալում բացատրության դասական ձևը. Ի՞նչ առաջադրանքներ պետք է պատրաստել ուժեղ յոթերորդ դասարանցու համար: Դիտարկենք այս և այլ հարցեր:

Թվում է, լավ, ինչն է այդքան դժվար: «Փակագծերը հեշտ են», կասի ցանկացած լավ ուսանող: «Գոյություն ունի բաշխիչ օրենք և աստիճանների հատկություններ մոնոմների հետ աշխատելու համար, ընդհանուր ալգորիթմ ցանկացած թվով տերմինների համար։ Յուրաքանչյուրը բազմապատկեք յուրաքանչյուրով և բերեք նմանը: Այնուամենայնիվ, ամեն ինչ այնքան էլ պարզ չէ հետամնացների հետ աշխատելիս: Չնայած մաթեմատիկայի դասավանդողի ջանքերին՝ ուսանողներին հաջողվում է անգամ ամենապարզ փոխակերպումների ժամանակ տարբեր տրամաչափի սխալներ թույլ տալ։ Սխալների բնույթն ապշեցուցիչ է իր բազմազանությամբ՝ տառերի և նշանների փոքր բացթողումներից մինչև լուրջ փակուղային «ստոպ սխալներ»:

Ի՞նչն է խանգարում աշակերտին ճիշտ կատարել վերափոխումները: Ինչու է թյուրիմացություն.

Կան հսկայական թվով անհատական ​​խնդիրներ, և նյութը յուրացնելու և համախմբելու հիմնական խոչընդոտներից մեկը ուշադրության ժամանակին և արագ փոխարկման դժվարությունն է, մեծ քանակությամբ տեղեկատվության մշակման դժվարությունը: Ինչ-որ մեկին կարող է տարօրինակ թվալ, որ խոսքը մեծ ծավալի մասին է, բայց 7-րդ դասարանի թույլ աշակերտը կարող է նույնիսկ չորս կիսամյակի համար չունենա բավարար հիշողության և ուշադրության ռեսուրսներ։ Գործակիցները, փոփոխականները, աստիճանները (ցուցանիշները) խանգարում են։ Աշակերտը շփոթում է գործողությունների հաջորդականությունը, մոռանում, թե որ միանուններն են արդեն բազմապատկվել, որոնք մնացել են անձեռնմխելի, չի կարողանում հիշել, թե ինչպես են դրանք բազմապատկվում և այլն։

Մաթեմատիկայի դասախոսի թվային մոտեցումը

Իհարկե, պետք է սկսել հենց ալգորիթմի կառուցման տրամաբանության բացատրությունից: Ինչպե՞ս դա անել: Մենք պետք է առաջադրանք դնենք՝ ինչպես փոխել գործողությունների հերթականությունը արտահայտության մեջ առանց արդյունքը փոխելու. Ես բավականին հաճախ բերում եմ օրինակներ, որոնք բացատրում են որոշակի կանոնների գործողությունը կոնկրետ թվերի վրա: Եվ հետո դրանք փոխարինում եմ տառերով։ Թվային մոտեցման կիրառման տեխնիկան կներկայացվի ստորև:

Մոտիվացիայի խնդիրներ.
Դասի սկզբում մաթեմատիկայի դաստիարակի համար դժվար է հավաքել ուսանողին, եթե նա չի հասկանում ուսումնասիրվողի արդիականությունը: 6-7-րդ դասարանների ծրագրի շրջանակներում դժվար է գտնել բազմանդամների բազմապատկման կանոնի կիրառման օրինակներ։ Ես կընդգծեի սովորելու անհրաժեշտությունը փոխել գործողությունների հերթականությունը արտահայտություններումԱյն, որ սա օգնում է խնդիրների լուծմանը, ուսանողը պետք է իմանա ավելացման փորձից: նմանատիպ տերմիններ. Նա նաև պետք է ավելացներ դրանք հավասարումներ լուծելիս: Օրինակ՝ 2x+5x+13=34-ում նա օգտագործում է այդ 2x+5x=7x։ Մաթեմատիկայի դասախոսը պարզապես պետք է սրա վրա կենտրոնացնի աշակերտի ուշադրությունը:

Մաթեմատիկայի ուսուցիչները հաճախ անվանում են փակագծերի բացման տեխնիկա շատրվանի կանոն.

Այս պատկերը լավ է հիշվում և պետք է օգտագործվի: Բայց ինչպե՞ս է ապացուցվում այս կանոնը։ Հիշեք դասական ձևը՝ օգտագործելով ինքնության ակնհայտ փոխակերպումները.

(a+b)(c+d)=(a+b) c+(a+b) d=ac+bc+ad+bd

Մաթեմատիկայի դասախոսի համար դժվար է որևէ բան մեկնաբանել այստեղ։ Նամակներն իրենք են խոսում։ Իսկ 7-րդ դասարանի ուժեղ աշակերտը մանրամասն բացատրությունների կարիք չունի։ Այնուամենայնիվ, ի՞նչ անել թույլի հետ, ով այս «այբբենական խառնաշփոթում» բովանդակություն չի տեսնում։

Հիմնական խնդիրը, որը խանգարում է «շատրվանի» դասական մաթեմատիկական հիմնավորման ընկալմանը, առաջին գործոնը գրելու անսովոր ձևն է։ Ոչ 5-րդ, ոչ էլ 6-րդ դասարանում աշակերտը ստիպված չի եղել առաջին փակագիծը քաշել երկրորդի յուրաքանչյուր կիսամյակի վրա: Երեխաները վերաբերում էին միայն թվերին (գործակիցներին), որոնք, ամենից հաճախ, գտնվում են փակագծերի ձախ կողմում, օրինակ.

6-րդ դասարանի ավարտին սովորողը ձևավորել է առարկայի տեսողական պատկերը՝ փակագծերի հետ կապված նշանների (գործողությունների) որոշակի համադրություն: Իսկ սովորական հայացքից ցանկացած շեղում դեպի նոր բան կարող է ապակողմնորոշել յոթերորդ դասարանցուն: Դա «թիվ + փակագիծ» զույգի տեսողական պատկերն է, որը մաթեմատիկայի դասավանդողը շրջանառության մեջ է դնում բացատրելիս:

Կարելի է առաջարկել հետևյալ բացատրությունը. Ուսուցիչը վիճում է. «Եթե փակագծի առջև ինչ-որ թիվ կար, օրինակ 5, ապա մենք կարող էինք. փոխել գործողության ընթացքըայս արտահայտության մեջ? Անշուշտ։ Ուրեմն եկեք դա անենք . Մտածեք, արդյոք դրա արդյունքը կփոխվի՞, եթե 5 թվի փոխարեն մուտքագրենք փակագծերում փակված 2 + 3 գումարը։ Ցանկացած ուսանող կասի դաստիարակին. «Ի՞նչ տարբերություն, թե ինչպես գրել. 5 կամ 2 + 3»: Հրաշալի։ Ստացեք ռեկորդ: Մաթեմատիկայի դասավանդողը կարճ դադար է վերցնում, որպեսզի աշակերտը տեսողականորեն հիշի առարկայի նկար-պատկերը: Հետո նա ուշադրություն է հրավիրում այն ​​փաստի վրա, որ փակագիծը, ինչպես և թիվը, «բաշխվել» կամ «ցատկել» է յուրաքանչյուր տերմինի վրա։ Ինչ է սա նշանակում? Սա նշանակում է, որ այս գործողությունը կարելի է կատարել ոչ միայն թվով, այլև փակագծով։ Մենք ստացանք երկու զույգ գործոն և . Ուսանողների մեծ մասը հեշտությամբ կարող է ինքնուրույն հաղթահարել դրանք և արդյունքը գրել դասավանդողին: Կարևոր է ստացված զույգերը համեմատել 2+3 և 6+4 փակագծերի բովանդակության հետ և պարզ կդառնա, թե ինչպես են դրանք բացվում։

Անհրաժեշտության դեպքում թվերով օրինակից հետո մաթեմատիկայի դասավանդողն իրականացնում է բառացի ապացույց: Պարզվում է, որ դա տորթ է նախորդ ալգորիթմի նույն մասերով:

Փակագծեր բացելու հմտության ձևավորում

Փակագծերի բազմապատկման հմտության ձևավորումը մեկն է հանգրվաններմաթեմատիկայի կրկնուսույցի աշխատանքը թեմայով. Եվ նույնիսկ ավելի կարևոր, քան «շատրվանի» կանոնի տրամաբանությունը բացատրելու փուլը։ Ինչո՞ւ։ Փոխակերպումների հիմնավորումները կմոռացվեն հենց հաջորդ օրը, իսկ հմտությունը, եթե այն ժամանակին ձեւավորվի ու ամրագրվի, կմնա։ Աշակերտները գործողությունը կատարում են մեխանիկորեն, կարծես հիշողությունից հանում են բազմապատկման աղյուսակը: Սա այն է, ինչին պետք է հասնել: Ինչո՞ւ։ Եթե ​​ամեն անգամ, երբ ուսանողը բացում է փակագծերը, նա կհիշի, թե ինչու է այն բացում այսպես և ոչ այլ կերպ, նա կմոռանա իր լուծվող խնդրի մասին։ Այդ իսկ պատճառով մաթեմատիկայի դասախոսը դասի մնացած մասը ծախսում է հասկացողությունը անգիր անգիր դարձնելու վրա: Այս ռազմավարությունը հաճախ օգտագործվում է նաև այլ թեմաներում:

Ինչպե՞ս կարող է դաստիարակը զարգացնել աշակերտի մեջ փակագծեր բացելու հմտությունը: Դա անելու համար 7-րդ դասարանի աշակերտը պետք է կատարի մի շարք վարժություններ՝ բավարար քանակությամբ, որպեսզի համախմբվեն: Սա մեկ այլ խնդիր է առաջացնում. Թույլ յոթերորդ դասարանցին չի կարող գլուխ հանել փոխակերպումների ավելացած թվից։ Նույնիսկ փոքրերը: Եվ սխալները անընդհատ գալիս են մեկը մյուսի հետևից: Ի՞նչ պետք է անի մաթեմատիկայի դասախոսը: Նախ, անհրաժեշտ է խորհուրդ տալ սլաքներ նկարել յուրաքանչյուր տերմինից յուրաքանչյուրին: Եթե ​​աշակերտը շատ թույլ է և չի կարողանում արագ անցնել աշխատանքի մի տեսակից մյուսին, կորցնում է կենտրոնացումը ուսուցչի պարզ հրամանները կատարելիս, ապա մաթեմատիկայի դասավանդողն ինքն է նկարում այդ սլաքները: Եվ ոչ միանգամից։ Նախ, դաստիարակը միացնում է ձախ փակագծի առաջին անդամը աջ փակագծի յուրաքանչյուր անդամի հետ և խնդրում կատարել համապատասխան բազմապատկում: Դրանից հետո միայն սլաքները երկրորդ տերմինից անցնում են նույն աջ փակագիծ։ Այլ կերպ ասած, դաստիարակը գործընթացը բաժանում է երկու փուլի. Առաջին և երկրորդ վիրահատության միջև ավելի լավ է պահպանել փոքր ժամանակավոր դադար (5-7 վայրկյան):

1) Արտահայտությունների վերևում պետք է նկարել սլաքների մի շարք, իսկ ներքևում՝ մեկ այլ հավաքածու:
2) Կարևոր է բաց թողնել առնվազն տողերի միջև մի քանի բջիջ. Հակառակ դեպքում, ռեկորդը շատ խիտ կլինի, և սլաքները ոչ միայն կբարձրանան նախորդ գիծ, ​​այլ նաև կխառնվեն հաջորդ վարժության նետերի հետ:

3) 3-ով 2-ով ֆորմատի փակագծերը բազմապատկելու դեպքում կարճ փակագծից սլաքներ են քաշվում դեպի երկարը: Հակառակ դեպքում այդ «շատրվանները» կլինեն ոչ թե երկու, այլ երեք։ Երրորդի իրականացումը նկատելիորեն ավելի բարդ է՝ սլաքների համար ազատ տարածության բացակայության պատճառով։
4) սլաքները միշտ ուղղված են մեկ կետից: Իմ ուսանողներից մեկը փորձում էր նրանց կողք կողքի դնել, և նա արեց հետևյալը.

Նման դասավորությունը թույլ չի տալիս առանձնացնել և ամրագրել ընթացիկ ժամկետը, որով ուսանողն աշխատում է յուրաքանչյուր փուլով։

Դասախոսի մատների աշխատանքը

4) Առանձին զույգ բազմապատկված տերմինների վրա ուշադրություն պահելու համար մաթեմատիկայի դասավանդողը երկու մատ է դնում դրանց վրա: Դա պետք է արվի այնպես, որ չփակվի ուսանողի տեսադաշտը: Ամենաանուշադիր ուսանողների համար կարող եք օգտագործել «պուլսացիա» մեթոդը։ Մաթեմատիկայի դասավանդողը առաջին մատը բերում է սլաքի սկզբին (տերմիններից մեկին) և ուղղում այն, իսկ երկրորդ «թակոցով» նրա ծայրին (երկրորդ կիսամյակի վրա): Պուլսացիան օգնում է ուշադրությունը կենտրոնացնել այն տերմինի վրա, որով ուսանողը բազմապատկվում է: Աջ փակագծով առաջին բազմապատկումից հետո մաթեմատիկայի դասավանդողն ասում է. «Հիմա մենք աշխատում ենք մեկ այլ տերմինով»: Դասավանդողը «ֆիքսված մատը» տեղափոխում է դրան, և «զարկերակային» անցնում է մեկ այլ փակագծի տերմինների վրա: Պուլսացիան աշխատում է որպես «շրջադարձ ազդանշան» մեքենայում և թույլ է տալիս հավաքել բացակա աշակերտի ուշադրությունը վիրահատության վրա, որը նա կատարում է։ Եթե ​​երեխան փոքր է գրում, ապա մատների փոխարեն երկու մատիտ են օգտագործում։

Կրկնության օպտիմիզացում

Ինչպես հանրահաշվի ընթացքում ցանկացած այլ թեմայի ուսումնասիրության ժամանակ, բազմանդամների բազմապատկումը կարող է և պետք է ինտեգրվի նախկինում ընդգրկված նյութի հետ: Դա անելու համար մաթեմատիկայի դասավանդողը օգտագործում է հատուկ կամրջային առաջադրանքներ, որոնք թույլ են տալիս գտնել ուսումնասիրվածի կիրառումը տարբեր մաթեմատիկական օբյեկտներում: Նրանք ոչ միայն կապում են թեմաները մեկ ամբողջության մեջ, այլև շատ արդյունավետ կերպով կազմակերպում են մաթեմատիկայի ամբողջ դասընթացի կրկնությունը: Եվ որքան շատ կամուրջներ կառուցի դաստիարակը, այնքան լավ:

Ավանդաբար, 7-րդ դասարանի հանրահաշվի դասագրքերում փակագծերի բացումը ինտեգրված է լուծման հետ. գծային հավասարումներ. Թվերի ցանկի վերջում միշտ լինում են հետևյալ կարգի առաջադրանքներ՝ լուծել հավասարումը։ Փակագծերը բացելիս քառակուսիները փոքրացվում են, և 7-րդ դասի միջոցով հավասարումը հեշտությամբ լուծվում է։ Սակայն, չգիտես ինչու, դասագրքերի հեղինակները ապահով կերպով մոռանում են գծային ֆունկցիայի գրաֆիկը գծելու մասին։ Այս թերությունը շտկելու համար մաթեմատիկայի դասախոսներին խորհուրդ կտամ, օրինակ, գծային ֆունկցիաների վերլուծական արտահայտություններում փակագծեր ներառել։ Նման վարժությունների վրա աշակերտը ոչ միայն մարզում է նույնական փոխակերպումներ իրականացնելու հմտությունները, այլև կրկնում է գրաֆիկները։ Կարող եք խնդրել գտնել երկու «հրեշների» հատման կետը, որոշել գծերի հարաբերական դիրքը, գտնել դրանց հատման կետերը առանցքների հետ և այլն։

Կոլպակով Ա.Ն. Մաթեմատիկայի դասախոս Ստրոգինոյում։ Մոսկվա

Փակագծերի ընդլայնումը արտահայտության փոխակերպման տեսակ է: Այս բաժնում մենք կնկարագրենք փակագծերի ընդլայնման կանոնները, ինչպես նաև կդիտարկենք խնդիրների ամենատարածված օրինակները:

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ի՞նչ է փակագծերի ընդլայնումը:

Փակագծերը օգտագործվում են թվային և այբբենական արտահայտություններում, ինչպես նաև փոփոխականներով արտահայտություններում գործողությունների կատարման հերթականությունը ցույց տալու համար։ Փակագծերով արտահայտությունից հարմար է անցնել նույնական հավասար արտահայտության՝ առանց փակագծերի։ Օրինակ, փոխարինեք 2 (3 + 4) արտահայտությունը նման արտահայտությամբ 2 3 + 2 4առանց փակագծերի. Այս տեխնիկան կոչվում է փակագծերի բացում:

Սահմանում 1

Փակագծերի բացման տակ մենք նկատի ունենք փակագծերից ազատվելու մեթոդները և սովորաբար դիտարկվում են այն արտահայտությունների առնչությամբ, որոնք կարող են պարունակել.

• նշանները «+» կամ «-» փակագծերի դիմաց, որոնք պարունակում են գումարներ կամ տարբերություններ.
• թվի, տառի կամ մի քանի տառի արտադրյալը և գումարը կամ տարբերությունը, որը դրվում է փակագծերում։

Այսպես էինք դիտարկում դպրոցական ծրագրի ընթացքում փակագծերի բացման գործընթացը։ Սակայն ոչ ոք մեզ չի խանգարում այս ակցիային ավելի լայն նայել։ Մենք կարող ենք փակագծերի ընդլայնում անվանել անցումը փակագծերում բացասական թվեր պարունակող արտահայտությունից դեպի փակագծեր չունեցող արտահայտություն: Օրինակ, մենք կարող ենք անցնել 5 + (− 3) − (− 7)-ից մինչև 5 − 3 + 7: Փաստորեն, սա նաև փակագծերի ընդլայնում է։

Նույն կերպ մենք կարող ենք (a + b) · (c + d) ձևի փակագծերի արտահայտությունների արտադրյալը փոխարինել a · c + a · d + b · c + b · d գումարով: Այս տեխնիկան նույնպես չի հակասում փակագծերի ընդլայնման իմաստին:

Ահա ևս մեկ օրինակ. Կարելի է ենթադրել, որ արտահայտություններում թվերի և փոփոխականների փոխարեն կարող են օգտագործվել ցանկացած արտահայտություն։ Օրինակ, x 2 1 a - x + sin (b) արտահայտությունը կհամապատասխանի x 2 1 a - x 2 x + x 2 sin (b) ձևի առանց փակագծերի արտահայտությանը:

Առանձնահատուկ ուշադրության է արժանի ևս մեկ կետ, որը վերաբերում է փակագծերը բացելիս լուծումներ գրելու առանձնահատկություններին։ Սկզբնական արտահայտությունը կարող ենք փակագծերով գրել և փակագծերը բացելուց հետո ստացված արդյունքը հավասարություն գրել։ Օրինակ՝ փակագծերը բացելուց հետո արտահայտության փոխարեն 3 − (5 − 7) մենք ստանում ենք արտահայտությունը 3 − 5 + 7 . Այս երկու արտահայտություններն էլ կարող ենք գրել որպես 3 − (5 − 7) = 3 − 5 + 7 հավասարություն։

Ծանր արտահայտություններով գործողություններ կատարելը կարող է պահանջել միջանկյալ արդյունքների գրանցում: Այնուհետև լուծումը կունենա հավասարությունների շղթայի ձև։ Օրինակ, 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − (3 − 2 + 1) = 5 − 3 + 2 − 1 կամ 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − 3 + (2 − 1) = 5 − 3 + 2 − 1 .

Փակագծերի բացման կանոններ, օրինակներ

Սկսենք փակագծերի բացման կանոններից։

Փակագծերում առանձին թվեր

Փակագծերում դրված բացասական թվերը հաճախ հայտնվում են արտահայտություններում: Օրինակ՝ (− 4) և 3 + (− 4) . Տեղի են ունենում նաև փակագծերում դրված դրական թվեր։

Ձևակերպենք մեկ դրական թվեր պարունակող փակագծերի բացման կանոնը։ Ենթադրենք a-ն ցանկացած դրական թիվ է: Այնուհետև (a)-ը կարող ենք փոխարինել a-ով, + (a)-ով + a-ով, - (a)-ով - a-ով: Եթե ​​a-ի փոխարեն վերցնենք կոնկրետ թիվ, ապա ըստ կանոնի՝ (5) թիվը կգրվի այսպես 5 , առանց փակագծերի 3 + (5) արտահայտությունը կձևավորվի 3 + 5 , քանի որ + (5)-ը փոխարինվում է + 5 , իսկ 3 + (− 5) արտահայտությունը համարժեք է արտահայտությանը 3 − 5 , որովհետեւ + (− 5) փոխարինվում է − 5 .

Դրական թվերը սովորաբար գրվում են առանց փակագծերի օգտագործման, քանի որ այս դեպքում փակագծերը ավելորդ են:

Այժմ հաշվի առեք մեկ բացասական թիվ պարունակող փակագծերի բացման կանոնը: + (−a)փոխարինում ենք − ա, − (− a)-ը փոխարինվում է + a-ով: Եթե ​​արտահայտությունը սկսվում է բացասական թվով (-ա), որը գրված է փակագծերում, ապա փակագծերը բաց են թողնվում և փոխարենը (-ա)մնում է − ա.

Ահա մի քանի օրինակներ. (− 5) կարելի է գրել − 5 , (− 3) + 0 , 5-ը դառնում է − 3 + 0 , 5 , 4 + (− 3) դառնում է 4 − 3 , և − (− 4) − (− 3) փակագծերը բացելուց հետո ստանում է 4 + 3 ձև, քանի որ − (− 4) և − (− 3) փոխարինվում է + 4 և + 3 թվերով:

Պետք է հասկանալ, որ 3 · (− 5) արտահայտությունը չի կարող գրվել որպես 3 · − 5։ Դրա մասին մենք կխոսենքհետեւյալ պարբերություններում.

Տեսնենք, թե ինչի վրա են հիմնված փակագծերի ընդլայնման կանոնները։

Ըստ կանոնի՝ a − b տարբերությունը հավասար է a + (− b)-ի: Հիմնվելով թվերի հետ գործողությունների հատկությունների վրա՝ կարող ենք կազմել հավասարումների շղթա (a + (− b)) + b = a + ((− b) + b) = a + 0 = aորը արդարացի կլինի։ Հավասարությունների այս շղթան, հանման իմաստի ուժով, ապացուցում է, որ a + (− b) արտահայտությունը տարբերությունն է. ա-բ.

Հատկությունների հիման վրա հակադիր թվերև հանման կանոնները բացասական թվերկարող ենք պնդել, որ − (− a) = a , a − (− b) = a + b .

Կան արտահայտություններ, որոնք կազմված են թվից, մինուս նշաններից և մի քանի զույգ փակագծերից։ Վերոնշյալ կանոնների օգտագործումը թույլ է տալիս հաջորդաբար ազատվել փակագծերից՝ ներքին փակագծերից անցնելով արտաքին կամ հակառակը։ Նման արտահայտության օրինակ կլինի − (− ((− (5)))) . Բացենք փակագծերը՝ շարժվելով ներսից դրս. − (− ((− (− (5)))) = − (− ((− 5))) = − (− (− 5)) = − (5) = − 5 ։ Այս օրինակը կարող է նաև վերլուծվել հակառակ ուղղությամբ. − (− ((− (5)))) = ((− (5))) = (− (5)) = − (5) = − 5 .

Տակ աիսկ b-ը կարելի է հասկանալ ոչ միայն որպես թվեր, այլ նաև որպես կամայական թվային կամ բառացի արտահայտություններառջեւում գտնվող «+»-ով, որոնք գումարներ կամ տարբերություններ չեն: Այս բոլոր դեպքերում դուք կարող եք կիրառել կանոնները այնպես, ինչպես մենք արեցինք փակագծերում առանձին թվերի դեպքում:

Օրինակ՝ փակագծերը բացելուց հետո արտահայտությունը − (− 2 x) − (x 2) + (− 1 x) − (2 x y 2: z)ընդունում է 2 x − x 2 − 1 x − 2 x y 2 ձևը: Ինչպե՞ս դա արեցինք։ Մենք գիտենք, որ − (− 2 x)-ը + 2 x է, և քանի որ այս արտահայտությունն առաջինն է, ապա + 2 x-ը կարելի է գրել որպես 2 x, - (x 2) = - x 2, + (− 1 x) = − 1 x և − (2 x y 2: z) = − 2 x y 2: z.

Երկու թվերի արտադրյալներում

Սկսենք երկու թվերի արտադրյալում փակագծերի ընդլայնման կանոնից։

Եկեք այդպես ձևացնենք աիսկ b-ն երկու է դրական թվեր. Այս դեպքում երկու բացասական թվերի արտադրյալը − աև (− a) (−b) ձևի − b-ը կարող է փոխարինվել (a b)-ով, իսկ (− a) b և a (−b) ձևի հակադիր նշաններով երկու թվերի արտադրյալները կարող են փոխարինվել հետևյալով. (− a բ). Մինուսը մինուսով բազմապատկելը տալիս է գումարած, իսկ մինուսը պլյուսով բազմապատկելը, ինչպես գումարածը մինուսով բազմապատկելը, տալիս է մինուս:

Գրավոր կանոնի առաջին մասի ճիշտությունը հաստատվում է բացասական թվերի բազմապատկման կանոնով։ Կանոնի երկրորդ մասը հաստատելու համար կարող ենք օգտագործել թվերի հետ բազմապատկելու կանոնները տարբեր նշաններ.

Դիտարկենք մի քանի օրինակ։

Օրինակ 1

Դիտարկենք փակագծերի բացման ալգորիթմը երկու բացասական թվերի արտադրյալում՝ 4 3 5 և - 2, (- 2) · - 4 3 5 ձևով: Դա անելու համար մենք բնօրինակ արտահայտությունը փոխարինում ենք 2 · 4 3 5-ով: Ընդլայնենք փակագծերը և ստացենք 2 · 4 3 5:

Իսկ եթե վերցնենք բացասական թվերի գործակիցը (− 4) : (− 2) , ապա փակագծերը բացելուց հետո գրառումը կունենա 4։2։

Բացասական թվերի փոխարեն − աև − b-ն կարող է լինել առաջատար մինուս նշանով ցանկացած արտահայտություն, որը գումար կամ տարբերություն չէ: Օրինակ՝ դրանք կարող են լինել արտադրյալներ, մասնակիներ, կոտորակներ, հզորություններ, արմատներ, լոգարիթմներ, եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ և այլն։

Բացենք փակագծերը արտահայտության մեջ - 3 · x x 2 + 1 · x · (- ln 5) : Ըստ կանոնի՝ կարող ենք կատարել հետևյալ փոխակերպումները՝ - 3 x x 2 + 1 x (- ln 5) = - 3 x x 2 + 1 x ln 5 = 3 x x 2 + 1 x ln 5:

Արտահայտություն (− 3) 2կարող է փոխակերպվել արտահայտության (− 3 2) . Դրանից հետո դուք կարող եք բացել փակագծերը. − 3 2.

2 3 - 4 5 = - 2 3 4 5 = - 2 3 4 5

Տարբեր նշաններով թվերի բաժանումը կարող է պահանջել նաև փակագծերի նախնական ընդլայնում. (− 5) : 2 = (− 5: 2) = − 5: 2 և 2 3 4: (- 3, 5) = - 2 3 4: 3, 5 = - 2 3 4: 3, 5:

Կանոնը կարող է օգտագործվել տարբեր նշաններով արտահայտությունների բազմապատկման և բաժանման համար։ Բերենք երկու օրինակ.

1 x + 1: x - 3 = - 1 x + 1: x - 3 = - 1 x + 1: x - 3

մեղք (x) (- x 2) \u003d (- մեղք (x) x 2) \u003d - մեղք (x) x 2

Երեք և ավելի թվերի արտադրյալներում

Անցնենք արտադրյալին և գործակիցներին, որոնք պարունակում են մեծ քանակությամբթվեր։ Փակագծերի ընդլայնման համար այստեղ կգործի հետևյալ կանոնը. Բացասական զույգ թվերի դեպքում կարող եք բաց թողնել փակագծերը՝ թվերը փոխարինելով իրենց հակադիրներով: Դրանից հետո անհրաժեշտ է ստացված արտահայտությունը փակցնել նոր փակագծերում։ Բացասական թվերի կենտ թվերի համար, բաց թողնելով փակագծերը, փոխարինեք թվերը իրենց հակադիրներով: Դրանից հետո ստացված արտահայտությունը պետք է վերցնել նոր փակագծերում և դրա դիմաց դնել մինուս նշան։

Օրինակ 2

Օրինակ՝ վերցնենք 5 · (− 3) · (− 2) արտահայտությունը, որը երեք թվերի արտադրյալ է։ Երկու բացասական թիվ կա, ուստի կարող ենք արտահայտությունը գրել այսպես (5 3 2) և վերջապես բացիր փակագծերը՝ ստանալով 5 3 2 արտահայտությունը։

Արտադրյալում (− 2 , 5) (− 3) : (− 2) 4: (− 1 , 25) ։ (− 1) հինգ թվեր բացասական են։ այսպես (− 2 , 5) (− 3) : (− 2) 4: (− 1 , 25) : (− 1) = (− 2 . 5 3: 2 4: 1 , 25: 1) ։ Վերջապես բացելով փակագծերը՝ ստանում ենք −2,5 3:2 4:1,25:1.

Վերոնշյալ կանոնը կարող է հիմնավորվել հետևյալ կերպ. Նախ, մենք կարող ենք վերաշարադրել նման արտահայտությունները որպես արտադրյալ՝ փոխարինելով բաժանումը փոխադարձով բազմապատկմամբ։ Մենք յուրաքանչյուր բացասական թիվ ներկայացնում ենք որպես բազմապատկիչի արտադրյալ և փոխարինում - 1 կամ - 1-ով (− 1) ա.

Օգտագործելով բազմապատկման կոմուտատիվ հատկությունը՝ մենք փոխում ենք գործակիցները և փոխանցում բոլոր գործոններին հավասար − 1 , մինչև արտահայտության սկիզբը. Զույգ թվին հանած միավորների արտադրյալը հավասար է 1-ի, իսկ կենտ թիվը հավասար է − 1 , որը թույլ է տալիս օգտագործել մինուս նշանը։

Եթե ​​չօգտագործեինք կանոնը, ապա - 2 3: (- 2) 4: - 6 7 արտահայտությունում փակագծեր բացելու գործողությունների շղթան այսպիսի տեսք կունենար.

2 3: (- 2) 4: - 6 7 = - 2 3 - 1 2 4 - 7 6 = = (- 1) 2 3 (- 1) 1 2 4 (- 1 ) 7 6 = = (- 1) (- 1) (- 1) 2 3 1 2 4 7 6 = (- 1) 2 3 1 2 4 7 6 = = - 2 3 1 2 4 7 6

Վերոնշյալ կանոնը կարող է կիրառվել փակագծերը ընդլայնելիս այն արտահայտություններում, որոնք մինուս նշանով արտադրյալներ և քանորդներ են, որոնք գումարներ կամ տարբերություններ չեն: Օրինակ վերցրեք արտահայտությունը

x 2 (- x) : (- 1 x) x - 3: 2 .

Այն կարող է վերածվել արտահայտության առանց փակագծերի x 2 · x: 1 x · x - 3: 2:

Բացելով փակագծերը, որոնց նախորդում է + նշանը

Դիտարկենք մի կանոն, որը կարող է կիրառվել փակագծերը ընդլայնելու համար, որոնց նախորդում է գումարած նշանը, և այդ փակագծերի «բովանդակությունը» չի բազմապատկվում կամ բաժանվում որևէ թվի կամ արտահայտության:

Ըստ կանոնի՝ փակագծերը՝ դիմացի նշանի հետ միասին, բաց են թողնվում, մինչդեռ փակագծերում բոլոր տերմինների նշանները պահպանվում են։ Եթե ​​փակագծերում առաջին տերմինի դիմաց նշան չկա, ապա պետք է գումարած նշան դնել։

Օրինակ 3

Օրինակ՝ տալիս ենք արտահայտությունը (12 − 3 , 5) − 7 . Բաց թողնելով փակագծերը՝ տերմինների նշանները պահում ենք փակագծերում և առաջին տերմինի դիմաց դնում ենք գումարած նշան։ Մուտքը նման կլինի (12 − ​​3, 5) − 7 = + 12 − 3, 5 − 7։ Վերոնշյալ օրինակում պարտադիր չէ առաջին տերմինի դիմաց նշան դնել, քանի որ + 12 - 3, 5 - 7 = 12 - 3, 5 - 7:

Օրինակ 4

Դիտարկենք ևս մեկ օրինակ. Վերցրեք x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x արտահայտությունը և կատարեք գործողություններ դրա հետ x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x = = x + 2 a. - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x

Ահա ընդլայնվող փակագծերի մեկ այլ օրինակ.

Օրինակ 5

2 + x 2 + 1 x - x y z + 2 x - 1 + (- 1 + x - x 2) = = 2 + x 2 + 1 x - x y z + 2 x - 1 - 1 + x + x2

Ինչպես ընդլայնել փակագծերը, որոնց նախորդում է մինուս նշանը

Դիտարկենք այն դեպքերը, երբ փակագծերի առջև կա մինուս նշան, և որոնք չեն բազմապատկվում (կամ բաժանվում) որևէ թվով կամ արտահայտությամբ։ «-» նշանին նախորդող փակագծերի բացման կանոնի համաձայն՝ «-» նշանով փակագծերը բաց են թողնվում, իսկ փակագծերի ներսում գտնվող բոլոր տերմինների նշանները հակադարձվում են:

Օրինակ 6

Օրինակ՝

1 2 \u003d 1 2, - 1 x + 1 \u003d - 1 x + 1, - (- x 2) \u003d x 2

Փոփոխական արտահայտությունները կարող են փոխակերպվել՝ օգտագործելով նույն կանոնը.

X + x 3 - 3 - - 2 x 2 + 3 x 3 x + 1 x - 1 - x + 2,

մենք ստանում ենք x - x 3 - 3 + 2 x 2 - 3 x 3 x + 1 x - 1 - x + 2:

Թիվը փակագծով բազմապատկելիս փակագծեր բացելը, փակագծով արտահայտությունները.

Այստեղ մենք կդիտարկենք այն դեպքերը, երբ անհրաժեշտ է բացել փակագծեր, որոնք բազմապատկվում կամ բաժանվում են որևէ թվով կամ արտահայտությամբ։ Այստեղ ձևի բանաձևեր (a 1 ± a 2 ± ... ± a n) b = (a 1 b ± a 2 b ± ... ± a n b) կամ b (a 1 ± a 2 ± … ± a n) = (b a 1 ± b a 2 ± … ± b a n), Որտեղ a 1, a 2, …, a nիսկ b-ն որոշ թվեր կամ արտահայտություններ են:

Օրինակ 7

Օրինակ՝ ընդլայնենք արտահայտության մեջ փակագծերը (3 − 7) 2. Ըստ կանոնի՝ կարող ենք կատարել հետևյալ փոխակերպումները՝ (3 − 7) 2 = (3 2 − 7 2) . Մենք ստանում ենք 3 · 2 − 7 · 2:

Ընդարձակելով փակագծերը 3 x 2 1 - x + 1 x + 2 արտահայտության մեջ, մենք ստանում ենք 3 x 2 1 - 3 x 2 x + 3 x 2 1 x + 2:

Բազմապատկեք փակագիծը փակագծով

Դիտարկենք ձևի երկու փակագծերի արտադրյալը (a 1 + a 2) · (b 1 + b 2) . Սա կօգնի մեզ ստանալ փակագծերի ընդլայնման կանոն՝ փակագծերը փակագծով բազմապատկելիս:

Վերոնշյալ օրինակը լուծելու համար մենք նշում ենք արտահայտությունը (b 1 + b 2)ինչպես բ. Սա թույլ կտա մեզ օգտագործել փակագծեր-արտահայտման բազմապատկման կանոնը։ Մենք ստանում ենք (a 1 + a 2) (b 1 + b 2) = (a 1 + a 2) b = (a 1 b + a 2 b) = a 1 b + a 2 b: Հակադարձ փոխարինում կատարելով բվրա (b 1 + b 2), կրկին կիրառեք արտահայտությունը փակագծով բազմապատկելու կանոնը. a 1 b + a 2 b = = a 1 (b 1 + b 2) + a 2 (b 1 + b 2) = = (a 1 b 1 + a 1 b 2) + (a 2 b 1 + a 2 b 2) = = a 1 b 1 + a 1 b 2 + a 2 b 1 + a 2 b 2

Մի շարք պարզ հնարքների շնորհիվ մենք կարող ենք հասնել առաջին փակագծի յուրաքանչյուր տերմինի արտադրյալների գումարին և երկրորդ փակագծի յուրաքանչյուր տերմինի: Կանոնը կարող է տարածվել փակագծերի ներսում գտնվող ցանկացած տերմինի վրա:

Ձևակերպենք փակագիծը փակագծով բազմապատկելու կանոնները. երկու գումար իրար մեջ բազմապատկելու համար անհրաժեշտ է առաջին գումարի յուրաքանչյուր անդամը բազմապատկել երկրորդ գումարի յուրաքանչյուր անդամով և ավելացնել արդյունքները։

Բանաձևը նման կլինի.

(a 1 + a 2 + . . . + a m) (b 1 + b 2 + . . . + b n) = = a 1 b 1 + a 1 b 2 + . . . + a 1 b n + + a 2 b 1 + a 2 b 2 + . . . + a 2 b n + + . . . + + a m b 1 + a m b 1 + . . . ա մ բ ն

Ընդարձակենք փակագծերը (1 + x) · (x 2 + x + 6) երկու գումարի արտադրյալ է։ Գրենք լուծումը՝ (1 + x) (x 2 + x + 6) = = (1 x 2 + 1 x + 1 6 + x x 2 + x x + x 6) = = 1 x 2 + 1 x + 1 6 + x x 2 + x x + x 6

Առանձին-առանձին արժե անդրադառնալ այն դեպքերին, երբ գումարած նշանների հետ մեկտեղ փակագծերում կա մինուս նշան: Օրինակ՝ վերցնենք (1 − x) · (3 · x · y − 2 · x · y 3) արտահայտությունը։

Նախ՝ փակագծերում դրված արտահայտությունները ներկայացնում ենք որպես գումար. (1 + (− x)) (3 x y + (− 2 x y 3)). Այժմ մենք կարող ենք կիրառել կանոնը՝ (1 + (− x)) (3 x y + (− 2 x y 3)) = = (1 3 x y + 1 (− 2 x y 3) + (− x) 3 x y + ( − x) (− 2 x y 3))

Ընդլայնենք փակագծերը՝ 1 3 x y − 1 2 x y 3 − x 3 x y + x 2 x y 3 :

Փակագծերի ընդլայնում մի քանի փակագծերի և արտահայտությունների արտադրանքներում

Եթե ​​արտահայտության մեջ կան երեք կամ ավելի արտահայտություններ փակագծերում, ապա անհրաժեշտ է հաջորդաբար ընդլայնել փակագծերը։ Փոխակերպումը պետք է սկսել նրանից, որ առաջին երկու գործոնները վերցված են փակագծերում։ Այս փակագծերի ներսում մենք կարող ենք փոխակերպումներ կատարել վերը քննարկված կանոնների համաձայն: Օրինակ՝ (2 + 4) 3 (5 + 7 8) արտահայտության փակագծերը։

Արտահայտությունը պարունակում է միանգամից երեք գործոն (2 + 4) , 3 և (5 + 7 8) . Մենք հաջորդաբար կընդլայնենք փակագծերը: Առաջին երկու գործոնները փակցնում ենք ևս մեկ փակագծերում, որոնք պարզության համար կարմիր կդարձնենք. (2 + 4) 3 (5 + 7 8) = ((2 + 4) 3) (5 + 7 8).

Փակագծը թվով բազմապատկելու կանոնի համաձայն՝ կարող ենք կատարել հետևյալ գործողությունները՝ ((2 + 4) 3) (5 + 7 8) = (2 3 + 4 3) (5 + 7 8) .

Բազմապատկել փակագիծը փակագծով՝ (2 3 + 4 3) (5 + 7 8) = 2 3 5 + 2 3 7 8 + 4 3 5 + 4 3 7 8:

Փակագծեր բնօրինակով

Մի քանի փակագծերի արտադրյալ կարելի է համարել աստիճանները, որոնց հիմքերը փակագծերում գրված որոշ արտահայտություններ են՝ բնական ցուցանիշներով։ Ընդ որում, ըստ նախորդ երկու պարբերությունների կանոնների, դրանք կարող են գրվել առանց այդ փակագծերի։

Դիտարկենք արտահայտությունը փոխակերպելու գործընթացը (a + b + c) 2. Այն կարելի է գրել որպես երկու փակագծերի արտադրյալ (ա + բ + գ) (ա + բ + գ). Բազմապատկում ենք փակագծով և ստանում a + a b + a c + b a + b b + b c + c a + c b + c c :

Բերենք ևս մեկ օրինակ.

Օրինակ 8

1 x + 2 3 = 1 x + 2 1 x + 2 1 x + 2 = = 1 x 1 x + 1 x 2 + 2 1 x + 2 2 1 x + 2 = = 1 x 1 x 1 x + 1 x 2 1 x + 2 1 x 1 x + 2 2 1 x + 1 x 1 x 2 + + 1 x 2 2 + 2 1 x 2 + 2 2 2

Փակագծը թվի և փակագիծը փակագծով բաժանելը

Փակագծերը թվի վրա բաժանելը հուշում է, որ պետք է թվի վրա բաժանել փակագծերում փակված բոլոր տերմինները: Օրինակ, (x 2 - x) : 4 = x 2: 4 - x: 4:

Նախկինում բաժանումը կարելի է փոխարինել բազմապատկմամբ, որից հետո կարող եք օգտագործել արտադրանքի մեջ փակագծեր բացելու համապատասխան կանոնը։ Նույն կանոնը կիրառվում է փակագիծը փակագծով բաժանելիս։

Օրինակ, մենք պետք է բացենք (x + 2) արտահայտության փակագծերը՝ 2 3: Դա անելու համար նախ փոխարինեք բաժանումը` բազմապատկելով (x + 2) փոխադարձով. 2 3 = (x + 2) · 2 3: Բազմապատկեք փակագիծը (x + 2) 2 3 = x 2 3 + 2 2 3 թվով:

Ահա փակագծերի բաժանման մեկ այլ օրինակ.

Օրինակ 9

1 x + x + 1: (x + 2) .

Բաժանումը փոխարինենք բազմապատկմամբ՝ 1 x + x + 1 1 x + 2 :

Կատարենք բազմապատկումը՝ 1 x + x + 1 1 x + 2 = 1 x 1 x + 2 + x 1 x + 2 + 1 1 x + 2:

Փակագծերի ընդլայնման կարգը

Այժմ հաշվի առեք արտահայտություններում վերը քննարկված կանոնների կիրառման կարգը ընդհանուր տեսարան, այսինքն. արտահայտություններում, որոնք պարունակում են տարբերություններով գումարներ, քանորդներով արտադրյալներ, տեսակի փակագծեր։

Գործողությունների հերթականությունը.

• առաջին քայլը փակագծերը բնական ուժի բարձրացումն է.
• երկրորդ փուլում փակագծերը բացվում են աշխատանքներում և մասնավորում.
• Վերջին քայլը գումարների և տարբերությունների մեջ փակագծերը բացելն է:

Դիտարկենք գործողությունների հերթականությունը՝ օգտագործելով (− 5) + 3 · (− 2) : (− 4) − 6 · (− 7) արտահայտության օրինակը։ Եկեք փոխակերպենք 3 (− 2) արտահայտություններից՝ (− 4) և 6 (− 7) , որոնք պետք է ստանան ձևը. (3 2:4)և (− 6 7) . Ստացված արդյունքները փոխարինելով սկզբնական արտահայտությամբ՝ ստանում ենք՝ (− 5) + 3 (− 2) : (− 4) − 6 (− 7) = (− 5) + (3 2: 4) − (− 6 7). ) Ընդարձակեք փակագծերը՝ − 5 + 3 2: 4 + 6 7:

Փակագծերում փակագծեր պարունակող արտահայտությունների հետ գործ ունենալիս հարմար է փոխակերպումներ կատարել ներսից դեպի դուրս։

Եթե ​​տեքստում սխալ եք նկատել, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter

A + (b + c) կարելի է գրել առանց փակագծերի՝ a + (b + c) \u003d a + b + c: Այս գործողությունը կոչվում է փակագծերի ընդլայնում:

Օրինակ 1Բացենք a + (- b + c) արտահայտության փակագծերը։

Լուծում. a + (-b + c) = a + ((-b) + c) = a + (-b) + c = a-b + c.

Եթե ​​փակագծերից առաջ կա «+» նշան, ապա կարող եք բաց թողնել փակագծերը և այս «+» նշանը՝ պահպանելով փակագծերում տերմինների նշանները։ Եթե ​​փակագծերում առաջին տերմինը գրված է առանց նշանի, ապա այն պետք է գրվի «+» նշանով։

Օրինակ 2Գտնենք -2,87+ (2,87-7,639) արտահայտության արժեքը։

Լուծում.Բացելով փակագծերը՝ ստանում ենք՝ 2.87 + (2.87 - 7.639) \u003d - - 2.87 + 2.87 - 7.639 \u003d 0 - 7.639 \u003d - 7.639:

- (- 9 + 5) արտահայտության արժեքը գտնելու համար անհրաժեշտ է ավելացնել թվեր-9 և 5 և գտե՛ք ստացված գումարին հակառակ թիվը՝ -(- 9 + 5)= -(- 4) = 4։

Նույն արժեքը կարելի է ստանալ այլ կերպ. նախ գրեք այս տերմիններին հակառակ թվերը (այսինքն՝ փոխեք դրանց նշանները), այնուհետև ավելացրեք՝ 9 + (- 5) = 4: Այսպիսով, - (- 9 + 5) = 9 - 5 = 4:

Մի քանի անդամների գումարին հակառակ գումարը գրելու համար անհրաժեշտ է փոխել այս տերմինների նշանները։

Այսպիսով, - (a + b) \u003d - a - b.

Օրինակ 3Գտե՛ք 16 - (10 -18 + 12) արտահայտության արժեքը։

Լուծում. 16-(10 -18 + 12) = 16 + (-(10 -18 + 12)) = = 16 + (-10 +18-12) = 16-10 +18-12 = 12.

«-» նշանին նախորդող փակագծերը բացելու համար այս նշանը պետք է փոխարինել «+»-ով՝ փակագծերում բոլոր տերմինների նշանները փոխելով հակառակի, այնուհետև բացել փակագծերը։

Օրինակ 4Գտնենք 9.36-(9.36 - 5.48) արտահայտության արժեքը։

Լուծում. 9.36 - (9.36 - 5.48) = 9.36 + (- 9.36 + 5.48) == 9.36 - 9.36 + 5.48 = 0 -f 5.48 = 5 .48:

Փակագծերի բացում և կոմուտատիվ և ասոցիատիվ հատկությունների օգտագործում լրացումներհեշտացնել հաշվարկները.

Օրինակ 5Գտե՛ք (-4-20)+(6+13)-(7-8)-5 արտահայտության արժեքը:

Լուծում.Նախ բացում ենք փակագծերը, այնուհետև առանձին-առանձին գտնում ենք բոլոր դրական և առանձին-առանձին բոլոր բացասական թվերի գումարը և վերջում ավելացնում ենք արդյունքները.

(- 4 - 20)+(6+ 13)-(7 - 8) - 5 = -4-20 + 6 + 13-7 + 8-5 = = (6 + 13 + 8)+(- 4 - 20 - 7 - 5)= 27-36=-9.

Օրինակ 6Գտեք արտահայտության արժեքը

Լուծում.Սկզբում յուրաքանչյուր անդամ ներկայացնում ենք որպես դրանց ամբողջական և կոտորակային մասերի գումար, ապա բացում ենք փակագծերը, ապա ավելացնում ամբողջը և առանձին կոտորակայինմասեր և վերջապես ամփոփել արդյունքները.

Ինչպե՞ս բացել փակագծերը, որոնց նախորդում է «+» նշանը: Ինչպե՞ս կարող եք գտնել արտահայտության արժեքը գումարի հակառակըմի քանի թվեր? Ինչպե՞ս բացել փակագծերը, որոնց նախորդում է «-» նշանը:

1218. Փակագծերն ընդարձակի՛ր.

ա) 3.4+ (2.6+ 8.3); գ) m+(n-k);

բ) 4,57+ (2,6 - 4,57); դ) c+(-a + b).

1219. Գտի՛ր արտահայտության արժեքը.

1220. Փակագծերն ընդարձակի՛ր.

ա) 85+ (7,8+ 98); դ) -(80-16) + 84; է) a-(b-k-n);
բ) (4.7 -17) + 7.5; ե) -a + (m-2.6); ը) - (a-b + c);
գ) 64-(90 + 100); ե) c+(-a-b); i) (m-n)-(p-k).

1221. Ընդարձակի՛ր փակագծերը և գտիր արտահայտության արժեքը.

1222. Պարզեցրե՛ք արտահայտությունը.

1223. Գրիր գումարըերկու արտահայտություն և պարզեցնել այն.

ա) - 4 - մ և մ + 6,4; դ) a + b և p - b
բ) 1.1+a և -26-a; ե) - m + n և -k - n;
գ) a + 13 և -13 + b; e)m - n և n - m.

1224. Գրի՛ր երկու արտահայտությունների տարբերությունը և պարզի՛ր.

1226. Խնդիրը լուծելու համար օգտագործե՛ք հավասարումը.

ա) Մի դարակում կա 42 գիրք, մյուսում՝ 34, երկրորդ դարակից հանվել են մի քանի գիրք, իսկ առաջինից՝ այնքան, որքան մնացել է երկրորդում։ Դրանից հետո առաջին դարակում մնաց 12 գիրք։ Քանի՞ գիրք է հանվել երկրորդ դարակից:

բ) Առաջին դասարանում սովորում է 42 աշակերտ, երկրորդում՝ 3 աշակերտ ավելի քիչ, քան երրորդում։ Քանի՞ աշակերտ է երրորդ դասարանում, եթե այս երեք դասարաններում սովորում է 125 աշակերտ:

1227. Գտի՛ր արտահայտության արժեքը.

1228. Հաշվի՛ր բանավոր.

1229. Գտի՛ր ամենաբարձր արժեքըարտահայտությունները:

1230. Մուտքագրեք 4 հաջորդական ամբողջ թիվ, եթե.

ա) դրանցից փոքրը հավասար է -12-ի. գ) դրանցից փոքրը հավասար է n-ի.
բ) դրանցից մեծը հավասար է -18-ի. դ) դրանցից մեծը հավասար է k-ի:

Դասի բովանդակությունը դասի ամփոփումաջակցություն շրջանակային դասի ներկայացման արագացուցիչ մեթոդներ ինտերակտիվ տեխնոլոգիաներ Պրակտիկա առաջադրանքներ և վարժություններ ինքնաքննության սեմինարներ, թրեյնինգներ, դեպքեր, որոնումներ տնային առաջադրանքների քննարկման հարցեր հռետորական հարցեր ուսանողներից Նկարազարդումներ աուդիո, տեսահոլովակներ և մուլտիմեդիալուսանկարներ, նկարներ գրաֆիկա, աղյուսակներ, սխեմաներ հումոր, անեկդոտներ, կատակներ, կոմիքսներ առակներ, ասացվածքներ, խաչբառեր, մեջբերումներ Հավելումներ վերացականներհոդվածներ չիպսեր հետաքրքրասեր խաբեբա թերթիկների համար դասագրքեր հիմնական և լրացուցիչ տերմինների բառարան այլ Դասագրքերի և դասերի կատարելագործումուղղել դասագրքի սխալներըԴասագրքի նորարարության տարրերի թարմացում դասագրքում՝ հնացած գիտելիքները նորերով փոխարինելով Միայն ուսուցիչների համար կատարյալ դասեր օրացուցային պլանմեկ տարով ուղեցույցներքննարկման ծրագրեր Ինտեգրված դասեր