≡×ՄԵՆՈՒ

• Ինտերիեր
• Այգի
• Կահույք
• Շինանյութեր
• Տանիք

Ինչ է d-ն թվաբանական առաջընթացում: Հանրահաշիվ. թվաբանական և երկրաչափական առաջընթացներ

Առաջին մակարդակ

Թվաբանական առաջընթաց. Մանրամասն տեսություն օրինակներով (2019)

Թվային հաջորդականություն

Այսպիսով, եկեք նստենք և սկսենք գրել որոշ թվեր: Օրինակ:
Կարող եք գրել ցանկացած թվեր, և կարող են լինել այնքան, որքան ցանկանում եք (մեր դեպքում դրանք): Ինչքան էլ թվեր գրենք, միշտ կարող ենք ասել, թե դրանցից որն է առաջինը, որը երկրորդը, և այսպես մինչև վերջինը, այսինքն՝ կարող ենք համարակալել։ Սա թվերի հաջորդականության օրինակ է.

Թվային հաջորդականություն
Օրինակ, մեր հաջորդականության համար.

Նշանակված համարը հատուկ է միայն մեկ հաջորդական համարին: Այսինքն՝ հաջորդականության մեջ չկան երեք երկրորդ թվեր։ Երկրորդ թիվը (ինչպես --րդ թիվը) միշտ նույնն է։
Թիվ ունեցող թիվը կոչվում է հաջորդականության --րդ անդամ։

Մենք սովորաբար ամբողջ հաջորդականությունը անվանում ենք ինչ-որ տառ (օրինակ՝), և այս հաջորդականության յուրաքանչյուր անդամ՝ նույն տառը՝ այս անդամի թվին հավասար ինդեքսով.

Մեր դեպքում.

Ենթադրենք, մենք ունենք թվային հաջորդականություն, որտեղ հարակից թվերի տարբերությունը նույնն է և հավասար:
Օրինակ:

և այլն:
Նման թվային հաջորդականությունը կոչվում է թվաբանական պրոգրեսիա։
«Պրոգրեսիա» տերմինը ներկայացվել է հռոմեացի հեղինակ Բոեթիուսի կողմից դեռևս 6-րդ դարում և հասկացվել է ավելի շատ. լայն իմաստով, որպես անսահման թվային հաջորդականություն։ «Թվաբանություն» անվանումը փոխանցվել է շարունակական համամասնությունների տեսությունից, որով զբաղվում էին հին հույները։

Սա թվային հաջորդականություն է, որի յուրաքանչյուր անդամ հավասար է նախորդին՝ ավելացված նույն թվով։ Այս թիվը կոչվում է թվաբանական պրոգրեսիայի տարբերություն և նշվում։

Փորձեք որոշել, թե որ թվային հաջորդականություններն են թվաբանական առաջընթաց, որոնք՝ ոչ.

ա)
բ)
գ)
դ)

Հասկացա? Համեմատեք մեր պատասխանները.
Էթվաբանական պրոգրեսիա - բ, գ.
Չէթվաբանական պրոգրեսիա - ա, դ.

Վերադառնանք տրված առաջընթացին () և փորձենք գտնել դրա րդ անդամի արժեքը։ Գոյություն ունի երկուայն գտնելու միջոց:

1. Մեթոդ

Մենք կարող ենք ավելացնել առաջընթացի համարի նախորդ արժեքին, մինչև հասնենք պրոգրեսիայի երրորդ անդամին: Լավ է, որ մենք շատ բան չունենք ամփոփելու՝ ընդամենը երեք արժեք.

Այսպիսով, նկարագրված թվաբանական առաջընթացի --րդ անդամը հավասար է.

2. Մեթոդ

Ի՞նչ կլիներ, եթե մեզ անհրաժեշտ լիներ գտնել առաջընթացի եռամսյակի արժեքը: Գումարը մեզ մեկ ժամից ավելի կխներ, և փաստ չէ, որ թվերը գումարելիս սխալներ թույլ չէինք տա։
Իհարկե, մաթեմատիկոսները գտել են մի ձև, որով պետք չէ թվաբանական առաջընթացի տարբերությունը ավելացնել նախորդ արժեքին։ Ուշադիր նայեք գծված նկարին... Անշուշտ, դուք արդեն նկատել եք որոշակի օրինաչափություն, այն է՝

Օրինակ՝ տեսնենք, թե ինչն է կազմում այս թվաբանական առաջընթացի -րդ անդամի արժեքը.


Այլ կերպ ասած:

Փորձեք ինքնուրույն գտնել այս կերպ թվաբանական առաջընթացի անդամի արժեքը:

Հաշվարկվե՞լ է: Համեմատեք ձեր գրառումները պատասխանի հետ.

Ուշադրություն դարձրեք, որ դուք ստացել եք ճիշտ նույն թիվը, ինչ նախորդ մեթոդում, երբ մենք հաջորդաբար ավելացնում էինք թվաբանական առաջընթացի անդամները նախորդ արժեքին:
Փորձենք «ապանձնավորել» այս բանաձևը. մտցնենք այն ընդհանուր ձևև ստացիր.

Թվաբանական առաջընթացի հավասարում.

Թվաբանական առաջընթացները կա՛մ ավելանում են, կա՛մ նվազում:

Աճող- առաջընթացներ, որոնցում տերմինների յուրաքանչյուր հաջորդ արժեքն ավելի մեծ է, քան նախորդը:
Օրինակ:

Նվազող- առաջընթացներ, որոնցում տերմինների յուրաքանչյուր հաջորդ արժեքը նախորդից փոքր է:
Օրինակ:

Ստացված բանաձևը օգտագործվում է թվաբանական պրոգրեսիայի ինչպես աճող, այնպես էլ նվազող տերմինների հաշվարկման ժամանակ:
Եկեք ստուգենք դա գործնականում:
Մեզ տրվում է թվաբանական առաջընթաց, որը բաղկացած է հետևյալ թվերից.

Այդ ժամանակվանից:

Այսպիսով, մենք համոզվեցինք, որ բանաձևը գործում է ինչպես նվազման, այնպես էլ թվաբանական առաջընթացի մեծացման մեջ։
Փորձեք ինքնուրույն գտնել այս թվաբանական առաջընթացի -րդ և -րդ անդամները:

Եկեք համեմատենք արդյունքները.

Թվաբանական առաջընթացի հատկություն

Եկեք բարդացնենք առաջադրանքը. մենք ստանում ենք թվաբանական առաջընթացի հատկությունը:
Ենթադրենք մեզ տրված է հետևյալ պայմանը.
- թվաբանական առաջընթաց, գտեք արժեքը:
Հեշտ է, ասում ես, և սկսիր հաշվել արդեն իմացած բանաձևով.

Թող, a, ապա.

Բացարձակապես ճիշտ. Ստացվում է, որ մենք նախ գտնում ենք, հետո ավելացնում ենք առաջին թվին ու ստանում այն, ինչ փնտրում ենք։ Եթե ​​պրոգրեսիան ներկայացված է փոքր արժեքներով, ապա դրանում բարդ բան չկա, բայց ի՞նչ, եթե պայմանում մեզ թվեր տրվեն: Համաձայնեք՝ հաշվարկներում սխալվելու հավանականություն կա։
Հիմա մտածեք՝ հնարավո՞ր է այս խնդիրը մեկ քայլով լուծել՝ օգտագործելով որևէ բանաձև։ Իհարկե, այո, և մենք կփորձենք դա դուրս բերել հիմա։

Նշենք թվաբանական պրոգրեսիայի ցանկալի տերմինը, քանի որ մենք գիտենք այն գտնելու բանաձևը. սա նույն բանաձևն է, որը մենք սկզբում ստացանք.
, Ապա:

• Առաջընթացի նախորդ անդամն է.
• Առաջընթացի հաջորդ ժամկետն է.

Ամփոփենք առաջընթացի նախորդ և հաջորդ անդամները.

Ստացվում է, որ առաջընթացի նախորդ և հաջորդ անդամների գումարը երկու անգամ մեծ է նրանց միջև գտնվող պրոգրեսիայի անդամի արժեքից։ Այլ կերպ ասած՝ հայտնի նախորդ և հաջորդական արժեքներով պրոգրեսիոն անդամի արժեքը գտնելու համար անհրաժեշտ է դրանք ավելացնել և բաժանել։

Ճիշտ է, մենք ստացել ենք նույն թիվը: Եկեք շտկենք նյութը: Ինքներդ հաշվարկեք առաջընթացի արժեքը, քանի որ դա ամենևին էլ դժվար չէ։

Լավ արեցիր։ Դուք գիտեք գրեթե ամեն ինչ առաջընթացի մասին: Մնում է պարզել միայն մեկ բանաձև, որը, ըստ լեգենդի, բոլոր ժամանակների մեծագույն մաթեմատիկոսներից մեկը՝ «մաթեմատիկոսների արքան»՝ Կառլ Գաուսը, հեշտությամբ եզրակացրեց իր համար…

Երբ Կարլ Գաուսը 9 տարեկան էր, ուսուցիչը, զբաղված լինելով այլ դասարանների աշակերտների աշխատանքը ստուգելով, դասի ժամանակ տվեց հետևյալ առաջադրանքը. «Հաշվե՛ք բոլորի գումարը. բնական թվերսկսած մինչև (ըստ այլ աղբյուրների մինչև) ներառյալ։ Ինչպիսի՞ն էր ուսուցչի զարմանքը, երբ իր աշակերտներից մեկը (դա Կառլ Գաուսն էր) մեկ րոպե անց ճիշտ պատասխան տվեց առաջադրանքին, մինչդեռ համարձակի դասընկերներից շատերը երկար հաշվարկներից հետո սխալ արդյունք ստացան ...

Երիտասարդ Կարլ Գաուսը նկատեց մի օրինաչափություն, որը դուք հեշտությամբ կարող եք նկատել:
Ենթադրենք, ունենք թվաբանական պրոգրեսիա՝ բաղկացած -ti անդամներից. Պետք է գտնել թվաբանական պրոգրեսիայի տրված անդամների գումարը։ Իհարկե, մենք կարող ենք ձեռքով գումարել բոլոր արժեքները, բայց ի՞նչ, եթե մեզ անհրաժեշտ լինի գտնել առաջադրանքի մեջ դրա տերմինների գումարը, ինչպես փնտրում էր Գաուսը:

Եկեք պատկերենք մեզ տրված առաջընթացը։ Ուշադիր նայեք ընդգծված թվերին և փորձեք դրանցով կատարել տարբեր մաթեմատիկական գործողություններ:


Փորձե՞լ եք: Ի՞նչ նկատեցիք։ Ճիշտ! Նրանց գումարները հավասար են

Հիմա պատասխանեք՝ մեզ տրված պրոգրեսիայում քանի՞ այդպիսի զույգ կլինի։ Իհարկե, բոլոր թվերի ուղիղ կեսը, այսինքն.
Ելնելով այն փաստից, որ թվաբանական պրոգրեսիայի երկու անդամների գումարը հավասար է, և նմանատիպ հավասար զույգերը, մենք ստանում ենք, որ ընդհանուր գումարը հավասար է.
.
Այսպիսով, ցանկացած թվաբանական առաջընթացի առաջին անդամների գումարի բանաձևը կլինի.

Որոշ խնդիրների դեպքում մենք չգիտենք երրորդ տերմինը, բայց գիտենք առաջընթացի տարբերությունը: Փորձեք գումարի բանաձևում փոխարինել րդ անդամի բանաձևը:
Ի՞նչ ստացաք:

Լավ արեցիր։ Հիմա վերադառնանք Կարլ Գաուսին տրված խնդրին. ինքներդ հաշվարկեք, թե ինչ է -րդ-ից սկսվող թվերի գումարը, իսկ -րդ-ից սկսվող թվերի գումարը։

Որքա՞ն եք ստացել:
Գաուսը պարզեց, որ տերմինների գումարը հավասար է, և անդամների գումարը։ Այդպե՞ս եք որոշել։

Իրականում, թվաբանական պրոգրեսիայի անդամների գումարի բանաձևը ապացուցվել է հին հույն գիտնական Դիոֆանտոսի կողմից դեռևս 3-րդ դարում, և այս ընթացքում սրամիտ մարդիկ օգտագործել են թվաբանական առաջընթացի հատկությունները հզոր և հիմնական:
Օրինակ, պատկերացրեք Հին Եգիպտոսև այն ժամանակվա ամենամեծ շինհրապարակը` բուրգի կառուցումը... Նկարում պատկերված է դրա մի կողմը:

Որտեղ է այստեղ առաջընթացը, դուք ասում եք: Ուշադիր նայեք և բուրգի պատի յուրաքանչյուր շարքում ավազի բլոկների քանակով օրինակ գտեք:


Ինչու՞ ոչ թվաբանական առաջընթաց: Հաշվեք, թե քանի բլոկ է անհրաժեշտ մեկ պատ կառուցելու համար, եթե հիմքը տեղադրված է բլոկ աղյուսներ. Հուսով եմ, որ մատը մոնիտորի վրայով շարժելով չեք հաշվի, հիշու՞մ եք վերջին բանաձևը և այն ամենը, ինչ մենք ասացինք թվաբանական առաջընթացի մասին:

Այս դեպքում առաջընթացը հետևյալն է.
Թվաբանական առաջընթացի տարբերություն.
Թվաբանական առաջընթացի անդամների թիվը:
Եկեք փոխարինենք մեր տվյալները վերջին բանաձևերով (մենք հաշվում ենք բլոկների քանակը 2 եղանակով):

Մեթոդ 1.

Մեթոդ 2.

Եվ հիմա կարող եք նաև հաշվարկել մոնիտորի վրա՝ համեմատեք ստացված արժեքները մեր բուրգում գտնվող բլոկների քանակի հետ։ Համաձայնվե՞լ է։ Լավ արեցիք, դուք յուրացրել եք թվաբանական առաջընթացի րդ անդամների գումարը:
Իհարկե, դուք չեք կարող բուրգ կառուցել հիմքի բլոկներից, բայց դրանից: Փորձեք հաշվել, թե քանի ավազի աղյուս է անհրաժեշտ այս պայմանով պատ կառուցելու համար։
Դուք հասցրե՞լ եք:
Ճիշտ պատասխանը բլոկներն են.

Ուսուցում

Առաջադրանքներ.

1. Մաշան ամառային մարզավիճակ է ձեռք բերում։ Ամեն օր նա ավելացնում է squats-ի քանակը: Քանի՞ անգամ է Մաշան կնճռոտվելու շաբաթների ընթացքում, եթե նա առաջին մարզման ժամանակ նվնվացներ:
2. Որքա՞ն է պարունակվող բոլոր կենտ թվերի գումարը:
3. Գերանները պահելիս փայտահատներն այնպես են շարում դրանք, որ յուրաքանչյուրը վերին շերտպարունակում է մեկ մատյան պակաս, քան նախորդը: Քանի գերան կա մեկ որմնադրությանը, եթե որմնադրության հիմքը գերաններ են։

Պատասխանները:

1. Սահմանենք թվաբանական առաջընթացի պարամետրերը։ Այս դեպքում
   (շաբաթներ = օրեր):

   Պատասխան.Երկու շաբաթվա ընթացքում Մաշան պետք է օրական մեկ անգամ կծկվի:

2. Առաջին կենտ թիվը, վերջին թիվը.
   Թվաբանական առաջընթացի տարբերություն.
   Կենտ թվերի թիվը կիսով չափ, այնուամենայնիվ, ստուգեք այս փաստը՝ օգտագործելով թվաբանական առաջընթացի -րդ անդամը գտնելու բանաձևը.

   Թվերը պարունակում են կենտ թվեր:
   Մենք հասանելի տվյալները փոխարինում ենք բանաձևով.

   Պատասխան.Ներառված բոլոր կենտ թվերի գումարը հավասար է.

3. Հիշեք բուրգերի խնդիրը: Մեր դեպքում, a, քանի որ յուրաքանչյուր վերին շերտը կրճատվում է մեկ գերանով, կան միայն մի փունջ շերտեր, այսինքն.
   Տվյալները փոխարինեք բանաձևով.

   Պատասխան.Որմնադրությանը մեջ կան գերաններ։

Ամփոփելով

1. - թվային հաջորդականություն, որում հարակից թվերի տարբերությունը նույնն է և հավասարը: Աճում ու նվազում է։
2. Բանաձևի որոնումԹվաբանական պրոգրեսիայի երրորդ անդամը գրվում է բանաձևով, որտեղ է առաջընթացի թվերի թիվը:
3. Թվաբանական առաջընթացի անդամների հատկությունը- - որտեղ - առաջընթացի թվերի թիվը:
4. Թվաբանական առաջընթացի անդամների գումարըկարելի է գտնել երկու եղանակով.
   
   , որտեղ է արժեքների թիվը։

ԹՎԱԲԱՆԱԿԱՆ ԱՌԱՋԱԴՐՈՒԹՅՈՒՆ. ՄԻՋԻՆ ՄԱՐԴԱԿ

Թվային հաջորդականություն

Եկեք նստենք և սկսենք թվեր գրել։ Օրինակ:

Դուք կարող եք գրել ցանկացած թվեր, և կարող են լինել այնքան, որքան ցանկանում եք: Բայց դուք միշտ կարող եք ասել, թե դրանցից որն է առաջինը, որը երկրորդը և այլն, այսինքն՝ կարող ենք համարակալել։ Սա թվերի հաջորդականության օրինակ է։

Թվային հաջորդականությունթվերի հավաքածու է, որոնցից յուրաքանչյուրին կարելի է եզակի համար հատկացնել։

Այլ կերպ ասած, յուրաքանչյուր թիվ կարող է կապված լինել որոշակի բնական թվի հետ, այն էլ միայն մեկի հետ։ Եվ մենք այս համարը չենք վերագրի այս հավաքածուից որևէ այլ համարի:

Թիվ ունեցող թիվը կոչվում է հաջորդականության --րդ անդամ։

Մենք սովորաբար ամբողջ հաջորդականությունը անվանում ենք ինչ-որ տառ (օրինակ՝), և այս հաջորդականության յուրաքանչյուր անդամ՝ նույն տառը՝ այս անդամի թվին հավասար ինդեքսով.

Շատ հարմար է, եթե հաջորդականության --րդ անդամը կարելի է տալ ինչ-որ բանաձևով։ Օրինակ, բանաձեւը

սահմանում է հաջորդականությունը.

Իսկ բանաձևը հետևյալ հաջորդականությունն է.

Օրինակ՝ թվաբանական առաջընթացը հաջորդականություն է (այստեղ առաջին անդամը հավասար է, իսկ տարբերությունը)։ Կամ (, տարբերություն):

n-րդ կիսամյակի բանաձևը

Մենք կոչում ենք կրկնվող բանաձև, որի դեպքում --րդ տերմինը պարզելու համար անհրաժեշտ է իմանալ նախորդ կամ մի քանի նախորդները.

Նման բանաձևով, օրինակ, առաջընթացի տերմինը գտնելու համար պետք է հաշվենք նախորդ ինը: Օրինակ, թող. Ապա.

Դե, հիմա պարզ է, թե որն է բանաձեւը:

Յուրաքանչյուր տողում մենք ավելացնում ենք՝ բազմապատկելով ինչ-որ թվով: Ինչի համար? Շատ պարզ. սա ներկա անդամի թիվն է՝ հանած.

Հիմա շատ ավելի հարմարավետ, չէ՞: Մենք ստուգում ենք.

Ինքներդ որոշեք.

Թվաբանական առաջընթացում գտե՛ք n-րդ անդամի բանաձևը և գտե՛ք հարյուրերորդ անդամը:

Լուծում:

Առաջին անդամը հավասար է: Իսկ ո՞րն է տարբերությունը։ Եվ ահա թե ինչ.

(ի վերջո, դա կոչվում է տարբերություն, քանի որ այն հավասար է պրոգրեսիայի հաջորդական անդամների տարբերությանը):

Այսպիսով, բանաձևը հետևյալն է.

Այնուհետև հարյուրերորդ անդամը հետևյալն է.

Որքա՞ն է բոլոր բնական թվերի գումարը սկսած մինչև:

Ըստ լեգենդի, մեծ մաթեմատիկոսԿարլ Գաուսը, լինելով 9-ամյա տղա, մի քանի րոպեում հաշվարկել է այս գումարը։ Նա նկատեց, որ առաջին և վերջին թվերի գումարը հավասար է, երկրորդի և նախավերջինի գումարը նույնն է, երրորդի և վերջից 3-րդի գումարը նույնն է և այլն։ Քանի՞ այդպիսի զույգ կա: Ճիշտ է, բոլոր թվերի ուղիղ կեսը, այսինքն. Այսպիսով,

Ցանկացած թվաբանական առաջընթացի առաջին անդամների գումարի ընդհանուր բանաձևը կլինի.

Օրինակ:
Գտե՛ք բոլոր երկնիշ բազմապատիկների գումարը:

Լուծում:

Առաջին նման թիվը սա է. Յուրաքանչյուր հաջորդը ստացվում է նախորդին մի թիվ ավելացնելով: Այսպիսով, մեզ հետաքրքրող թվերը կազմում են թվաբանական առաջընթաց առաջին անդամի և տարբերության հետ:

Այս առաջընթացի տերմինի բանաձևը հետևյալն է.

Քանի՞ անդամ կա առաջընթացում, եթե դրանք բոլորը պետք է լինեն երկնիշ:

Շատ հեշտ: .

Առաջընթացի վերջին ժամկետը հավասար կլինի։ Այնուհետև գումարը.

Պատասխան.

Հիմա որոշեք ինքներդ.

1. Ամեն օր մարզիկը վազում է 1 մ-ով ավելի, քան նախորդ օրը։ Քանի՞ կիլոմետր նա կվազի շաբաթների ընթացքում, եթե առաջին օրը վազի կմ մ:
2. Հեծանվորդն ամեն օր ավելի շատ մղոն է քշում, քան նախորդը: Առաջին օրը նա անցել է կմ. Քանի՞ օր պետք է նա քշի մեկ կիլոմետր անցնելու համար: Քանի՞ կիլոմետր կանցնի նա ճանապարհորդության վերջին օրը:
3. Խանութում սառնարանի գինը ամեն տարի նույն չափով նվազում է։ Որոշեք, թե ամեն տարի որքանով է նվազել սառնարանի գինը, եթե ռուբլով վաճառքի հանվել, վեց տարի հետո այն վաճառվել է ռուբլով։

Պատասխանները:

1. Այստեղ ամենակարևորը թվաբանական պրոգրեսիան ճանաչելն ու դրա պարամետրերը որոշելն է։ Այս դեպքում (շաբաթներ = օրեր): Դուք պետք է որոշեք այս առաջընթացի առաջին անդամների գումարը.
   .
   Պատասխան.
2. Այստեղ տրված է., անհրաժեշտ է գտնել.
   Ակնհայտ է, որ դուք պետք է օգտագործեք նույն գումարի բանաձևը, ինչպես նախորդ խնդիրում.
   .
   Փոխարինեք արժեքները.

   Արմատն ակնհայտորեն չի տեղավորվում, ուստի պատասխանը.
   Հաշվենք վերջին օրվա ընթացքում անցած ճանապարհը՝ օգտագործելով -րդ անդամի բանաձևը.
   (կմ):
   Պատասխան.

3. Տրված է. Գտեք.
   Ավելի հեշտ չի դառնում.
   (ռուբ.):
   Պատասխան.

ԹՎԱԲԱՆԱԿԱՆ ԱՌԱՋԱԴՐՈՒԹՅՈՒՆ. ՀԱՄԱՌՈՏ ՀԻՄՆԱԿԱՆ ՄԱՍԻՆ

Սա թվային հաջորդականություն է, որտեղ հարակից թվերի տարբերությունը նույնն է և հավասար:

Թվաբանական առաջընթացը աճում է () և նվազում ():

Օրինակ:

Թվաբանական պրոգրեսիայի n-րդ անդամը գտնելու բանաձևը

գրվում է որպես բանաձև, որտեղ գտնվում է առաջընթացի թվերի թիվը:

Թվաբանական առաջընթացի անդամների հատկությունը

Այն հեշտացնում է առաջընթացի անդամ գտնելը, եթե հայտնի են նրա հարևան անդամները. որտեղ է առաջընթացի թվերի թիվը:

Թվաբանական առաջընթացի անդամների գումարը

Գումարը գտնելու երկու եղանակ կա.

Որտեղ է արժեքների թիվը:

Որտեղ է արժեքների թիվը:

Թվաբանական և երկրաչափական առաջընթացներ

Տեսական տեղեկատվություն

Տեսական տեղեկատվություն

	Թվաբանական առաջընթաց	Երկրաչափական առաջընթաց
Սահմանում	Թվաբանական առաջընթաց a nկոչվում է հաջորդականություն, որի յուրաքանչյուր անդամ, սկսած երկրորդից, հավասար է նախորդ անդամին՝ գումարված նույն թվով. դ (դ- առաջընթացի տարբերություն)	երկրաչափական առաջընթաց b nկոչվում է ոչ զրոյական թվերի հաջորդականություն, որի յուրաքանչյուր անդամ, սկսած երկրորդից, հավասար է նախորդ անդամին բազմապատկած նույն թվով. ք (ք- առաջընթացի հայտարար)
Կրկնվող բանաձեւ	Ցանկացած բնականի համար n a n + 1 = a n + d	Ցանկացած բնականի համար n b n + 1 = b n ∙ q, b n ≠ 0
n-րդ տերմինի բանաձևը	a n = a 1 + d (n - 1)	b n \u003d b 1 ∙ q n - 1, b n ≠ 0
բնորոշ հատկություն
Առաջին n անդամների գումարը

Առաջադրանքների օրինակներ մեկնաբանություններով

Վարժություն 1

Թվաբանական առաջընթացով ( a n) ա 1 = -6, ա 2

n-րդ անդամի բանաձևի համաձայն.

ա 22 = ա 1+ d (22 - 1) = ա 1+ 21 դ

Ըստ պայմանի.

ա 1= -6, ուրեմն ա 22= -6 + 21դ.

Անհրաժեշտ է գտնել առաջընթացների տարբերությունը.

դ= ա 2 – ա 1 = -8 – (-6) = -2

ա 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

Պատասխան. ա 22 = -48.

Առաջադրանք 2

Գտե՛ք երկրաչափական պրոգրեսիայի հինգերորդ անդամը՝ -3; 6;....

1-ին ճանապարհ (n-term բանաձևի օգտագործմամբ)

Երկրաչափական պրոգրեսիայի n-րդ անդամի բանաձևի համաձայն.

b 5 \u003d b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.

Որովհետեւ բ 1 = -3,

2-րդ ճանապարհ (օգտագործելով ռեկուրսիվ բանաձև)

Քանի որ պրոգրեսիայի հայտարարը -2 է (q = -2), ապա.

բ 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

բ 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

բ 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

Պատասխան. բ 5 = -48.

Առաջադրանք 3

Թվաբանական առաջընթացով ( ա ժդ) 74 = 34; ա 76= 156. Գտե՛ք այս առաջընթացի յոթանասունհինգերորդ անդամը:

Թվաբանական առաջընթացի համար բնորոշ հատկությունն ունի ձևը .

Հետևաբար.

.

Տվյալները փոխարինեք բանաձևով.

Պատասխան՝ 95։

Առաջադրանք 4

Թվաբանական առաջընթացով ( a n ) a n= 3n - 4. Գտե՛ք առաջին տասնյոթ անդամների գումարը:

Թվաբանական պրոգրեսիայի առաջին n անդամների գումարը գտնելու համար օգտագործվում են երկու բանաձև.

.

Դրանցից ո՞րն է ավելի հարմար կիրառել այս դեպքում։

Ըստ պայմանի, հայտնի է սկզբնական առաջընթացի n-րդ անդամի բանաձևը ( a n) a n= 3n - 4. Կարելի է անմիջապես գտնել և ա 1, Եվ ա 16առանց գտնելու դ. Հետեւաբար, մենք օգտագործում ենք առաջին բանաձեւը.

Պատասխան՝ 368։

Առաջադրանք 5

Թվաբանական առաջընթացի մեջ a n) ա 1 = -6; ա 2= -8. Գտեք առաջընթացի քսաներկուերորդ անդամը:

n-րդ անդամի բանաձևի համաձայն.

ա 22 = ա 1 + դ (22 – 1) = ա 1+ 21 դ.

Պայմանով, եթե ա 1= -6, ապա ա 22= -6 + 21դ. Անհրաժեշտ է գտնել առաջընթացների տարբերությունը.

դ= ա 2 – ա 1 = -8 – (-6) = -2

ա 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

Պատասխան. ա 22 = -48.

Առաջադրանք 6

Գրանցվում են երկրաչափական պրոգրեսիայի մի քանի հաջորդական անդամներ.

Գտե՛ք պրոգրեսիայի տերմինը, որը նշվում է x տառով:

Լուծելիս օգտագործում ենք n-րդ անդամի բանաձևը b n \u003d b 1 ∙ q n - 1երկրաչափական առաջընթացների համար. Առաջընթացի առաջին անդամը. q պրոգրեսիայի հայտարարը գտնելու համար անհրաժեշտ է վերցնել պրոգրեսիայի այս անդամներից որևէ մեկը և բաժանել նախորդի վրա։ Մեր օրինակում կարող եք վերցնել և բաժանել: Մենք ստանում ենք, որ q \u003d 3. n-ի փոխարեն բանաձևում փոխարինում ենք 3-ը, քանի որ անհրաժեշտ է գտնել տվյալ երկրաչափական պրոգրեսիայի երրորդ անդամը:

Գտնված արժեքները բանաձևի մեջ փոխարինելով՝ մենք ստանում ենք.

.

Պատասխան.

Առաջադրանք 7

n-րդ անդամի բանաձևով տրված թվաբանական առաջընթացներից ընտրե՛ք այն մեկը, որի համար պայմանը բավարարված է. ա 27 > 9:

Քանի որ նշված պայմանը պետք է բավարարվի առաջընթացի 27-րդ անդամի համար, չորս առաջընթացներից յուրաքանչյուրում n-ի փոխարեն փոխարինում ենք 27-ը: 4-րդ առաջընթացում մենք ստանում ենք.

.

Պատասխան՝ 4.

Առաջադրանք 8

Թվաբանական առաջընթացի մեջ ա 1= 3, d = -1,5: Նշեք ամենաբարձր արժեքը n , որի համար անհավասարությունը a n > -6.

Առցանց հաշվիչ.
Թվաբանական առաջընթացի լուծում.
Տրված է՝ a n , d, n
Գտեք՝ a 1

Այս մաթեմատիկական ծրագիրը գտնում է \(a_1\) թվաբանական առաջընթացը, որը հիմնված է օգտագործողի կողմից նշված \(a_n, d \) և \(n \) թվերի վրա:
\(a_n\) և \(d \) թվերը կարելի է նշել ոչ միայն որպես ամբողջ թվեր, այլև որպես կոտորակներ։ Ավելին, կոտորակային թիվը կարող է մուտքագրվել տասնորդական կոտորակի տեսքով (\ (2.5 \)) և ձևով. ընդհանուր կոտորակ(\(-5\frac(2)(7) \)):

Ծրագիրը ոչ միայն տալիս է խնդրի պատասխանը, այլեւ ցուցադրում է լուծում գտնելու գործընթացը։

Այս առցանց հաշվիչը կարող է օգտակար լինել ավագ դպրոցի աշակերտների համար՝ նախապատրաստվելիս վերահսկողական աշխատանքև քննություններ, երբ քննությունից առաջ գիտելիքները ստուգելիս ծնողները վերահսկում են մաթեմատիկայի և հանրահաշվի բազմաթիվ խնդիրների լուծումը: Կամ գուցե ձեզ համար չափազանց թանկ է կրկնուսույց վարձելը կամ նոր դասագրքեր գնելը: Թե՞ պարզապես ցանկանում եք դա անել որքան հնարավոր է շուտ: Տնային աշխատանքմաթեմատիկա, թե հանրահաշիվ. Այս դեպքում դուք կարող եք նաև օգտագործել մեր ծրագրերը մանրամասն լուծումով:

Այսպիսով, դուք կարող եք անցկացնել ձեր սեփական ուսուցումը և/կամ ձեր կրտսեր եղբայրների կամ քույրերի վերապատրաստումը, մինչդեռ լուծվող խնդիրների ոլորտում կրթության մակարդակը բարձրանում է:

Եթե ​​ծանոթ չեք թվերի մուտքագրման կանոններին, խորհուրդ ենք տալիս ծանոթանալ դրանց։

Թվեր մուտքագրելու կանոններ

\(a_n\) և \(d \) թվերը կարելի է նշել ոչ միայն որպես ամբողջ թվեր, այլև որպես կոտորակներ։
\(n\) թիվը կարող է լինել միայն դրական ամբողջ թիվ:

Տասնորդական կոտորակների մուտքագրման կանոններ.
Տասնորդական կոտորակների ամբողջ և կոտորակային մասերը կարելի է բաժանել կամ կետով կամ ստորակետով:
Օրինակ, կարող եք մուտք գործել տասնորդականներայսպես 2,5 կամ այնքան 2,5

Սովորական կոտորակներ մուտքագրելու կանոններ.
Միայն ամբողջ թիվը կարող է լինել կոտորակի համարիչ, հայտարար և ամբողջ թիվ:

Հայտարարը չի կարող բացասական լինել:

Թվային կոտորակ մուտքագրելիս համարիչը հայտարարից բաժանվում է բաժանման նշանով. /
Մուտքագրում:
Արդյունք՝ \(-\frac(2)(3) \)

Ամբողջական մասը կոտորակից բաժանվում է ամպերսանդով. &
Մուտքագրում:
Արդյունք՝ \(-1\frac(2)(3) \)

Մուտքագրեք a n, d, n թվերը

Գտեք 1-ը

Պարզվել է, որ այս խնդիրը լուծելու համար անհրաժեշտ որոշ սցենարներ չեն բեռնվել, և ծրագիրը կարող է չաշխատել:
Հնարավոր է, որ դուք միացված եք AdBlock-ին:
Այս դեպքում անջատեք այն և թարմացրեք էջը։

Ձեր դիտարկիչում անջատված է JavaScript-ը:
JavaScript-ը պետք է միացված լինի, որպեսզի լուծումը հայտնվի:
Ահա հրահանգներ, թե ինչպես միացնել JavaScript-ը ձեր բրաուզերում:

Որովհետեւ Խնդիրը լուծել ցանկացողները շատ են, ձեր խնդրանքը հերթագրված է։
Մի քանի վայրկյան հետո լուծումը կհայտնվի ստորև։
Խնդրում ենք սպասել վրկ...

Եթե ​​դու լուծման մեջ սխալ է նկատել, ապա այդ մասին կարող եք գրել Հետադարձ կապի ձևաթղթում։
Չմոռանաս նշեք, թե որ առաջադրանքըդուք որոշեք ինչ մտնել դաշտերում.

Մեր խաղերը, հանելուկները, էմուլյատորները.

Մի քիչ տեսություն.

Թվային հաջորդականություն

Համարակալումը հաճախ օգտագործվում է ամենօրյա պրակտիկայում: տարբեր իրերնշելու իրենց կարգը։ Օրինակ՝ յուրաքանչյուր փողոցի տները համարակալված են։ Գրադարանում ընթերցողի բաժանորդագրությունները համարակալվում են, այնուհետև դասավորվում են հատուկ թղթապանակներում հատկացված համարների հերթականությամբ:

Խնայբանկում, ավանդատուի անձնական հաշվի համարով, հեշտությամբ կարող եք գտնել այս հաշիվը և տեսնել, թե ինչ ավանդ ունի այն։ Թող լինի ա1 ռուբլու ավանդ թիվ 1 հաշվին, ա2 ռուբլու դեպոզիտ թիվ 2 հաշվի վրա և այլն, ստացվում է. թվային հաջորդականություն
a 1, a 2, a 3, ..., a N
որտեղ N-ը բոլոր հաշիվների թիվն է: Այստեղ յուրաքանչյուր n բնական թվի 1-ից մինչև N վերագրվում է a n թիվ:

Սովորում է նաև մաթեմատիկան անսահման թվերի հաջորդականություններ.
a 1, a 2, a 3, ..., a n, ....
Ա 1 թիվը կոչվում է հաջորդականության առաջին անդամը, թիվ 2 - հաջորդականության երկրորդ անդամը, թիվ 3 - հաջորդականության երրորդ անդամըև այլն:
Կոչվում է a n թիվը հաջորդականության n-րդ (n-րդ) անդամ, իսկ n բնական թիվն այն է թիվ.

Օրինակ, 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2, (n + 1) բնական թվերի քառակուսիների հաջորդականության մեջ 2 , ... և 1 = 1 հաջորդականության առաջին անդամն է. իսկ n = n 2 է n-րդ անդամհաջորդականություններ; a n+1 = (n + 1) 2-ը հաջորդականության (n + 1)-րդ (en գումարած առաջին) անդամն է: Հաճախ հաջորդականությունը կարելի է ճշտել իր n-րդ անդամի բանաձևով։ Օրինակ, \(a_n=\frac(1)(n), \; n \in \mathbb(N) \) բանաձևը տալիս է \(1, \; \frac(1)(2) , \; \frac( 1)(3), \; \frac(1)(4) , \կետեր,\frac(1)(n) , \կետեր \)

Թվաբանական առաջընթաց

Տարվա տևողությունը մոտավորապես 365 օր է։ Ավելին ճշգրիտ արժեքհավասար է \(365\frac(1)(4) \) օրվա, այնպես որ չորս տարին մեկ մեկ օրվա սխալ է կուտակվում:

Այս սխալը հաշվի առնելու համար յուրաքանչյուր չորրորդ տարվան ավելացվում է մեկ օր, իսկ երկարացված տարին կոչվում է նահանջ տարի:

Օրինակ՝ երրորդ հազարամյակում նահանջ տարիներտարիներն են՝ 2004, 2008, 2012, 2016, ... .

Այս հաջորդականությամբ յուրաքանչյուր անդամ, սկսած երկրորդից, հավասար է նախորդին, ավելացված է նույն թվով 4: Նման հաջորդականությունները կոչվում են. թվաբանական առաջընթացներ.

Սահմանում.
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ... թվային հաջորդականությունը կոչվում է. թվաբանական առաջընթաց, եթե բոլորի համար բնական n հավասարությունը
\(a_(n+1) = a_n+d, \)
որտեղ d-ն ինչ-որ թիվ է:

Այս բանաձեւից հետեւում է, որ a n+1 - a n = d. d թիվը կոչվում է տարբերություն թվաբանական առաջընթաց.

Թվաբանական առաջընթացի սահմանմամբ մենք ունենք.
\(a_(n+1)=a_n+d, \quad a_(n-1)=a_n-d, \)
որտեղ
\(a_n= \frac(a_(n-1) +a_(n+1))(2) \), որտեղ \(n>1 \)

Այսպիսով, թվաբանական պրոգրեսիայի յուրաքանչյուր անդամ, սկսած երկրորդից, հավասար է իրեն կից երկու անդամների թվաբանական միջինին։ Սա բացատրում է «թվաբանական» առաջընթացի անվանումը։

Նկատի ունեցեք, որ եթե տրված են a 1 և d, ապա թվաբանական առաջընթացի մնացած անդամները կարող են հաշվարկվել a n+1 = a n + d ռեկուրսիվ բանաձևով: Այս կերպ դժվար չէ հաշվարկել առաջընթացի առաջին մի քանի անդամները, սակայն, օրինակ, 100-ի համար արդեն շատ հաշվարկներ կպահանջվեն։ Սովորաբար դրա համար օգտագործվում է n-րդ տերմինի բանաձևը։ Ըստ թվաբանական պրոգրեսիայի սահմանման
\(a_2=a_1+d, \)
\(a_3=a_2+d=a_1+2d, \)
\(a_4=a_3+d=a_1+3d\)
և այլն:
Ընդհանրապես,
\(a_n=a_1+(n-1)d, \)
որովհետեւ n-րդ կիսամյակթվաբանական պրոգրեսիան ստացվում է առաջին անդամից՝ ավելացնելով (n-1) d թիվը։
Այս բանաձեւը կոչվում է թվաբանական պրոգրեսիայի n-րդ անդամի բանաձևը.

Թվաբանական պրոգրեսիայի առաջին n անդամների գումարը

Գտնենք 1-ից մինչև 100 բոլոր բնական թվերի գումարը։
Այս գումարը գրում ենք երկու եղանակով.
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1:
Մենք տերմին առ տերմին ավելացնում ենք այս հավասարությունները.
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101:
Այս գումարում կա 100 տերմին:
Հետեւաբար, 2S = 101 * 100, որտեղից S = 101 * 50 = 5050:

Այժմ դիտարկենք կամայական թվաբանական առաջընթացը
a 1, a 2, a 3, ..., a n, ...
Թող S n-ը լինի այս պրոգրեսիայի առաջին n անդամների գումարը.
S n \u003d a 1, a 2, a 3, ..., a n
Հետո թվաբանական պրոգրեսիայի առաջին n անդամների գումարն է
\(S_n = n \cdot \frac(a_1+a_n)(2) \)

Քանի որ \(a_n=a_1+(n-1)d \), ապա այս բանաձևում փոխարինելով n-ը, մենք ստանում ենք գտնելու մեկ այլ բանաձև թվաբանական պրոգրեսիայի առաջին n անդամների գումարները:
\(S_n = n \cdot \frac(2a_1+(n-1)d)(2) \)

Գրքեր (դասագրքեր) Միասնական պետական ​​քննության և OGE թեստերի ամփոփագրեր առցանց Խաղեր, հանելուկներ Գործառույթների գծապատկերների կառուցում Պատանեկան ժարգոնի ռուսաց լեզվի բառարանի ուղղագրական բառարան Ռուսական դպրոցների տեղեկատու Ռուսաստանի միջնակարգ դպրոցների կատալոգ Ռուսաստանի բուհերի կատալոգ Առաջադրանքների ցուցակ

Նախքան մենք սկսում ենք որոշել թվաբանական առաջընթացի խնդիրներ, հաշվի առեք, թե ինչ է թվային հաջորդականությունը, քանի որ թվաբանական առաջընթացը թվային հաջորդականության հատուկ դեպք է։

Թվային հաջորդականությունը թվային բազմություն է, որի յուրաքանչյուր տարր ունի իր սեփականը սերիական համար . Այս բազմության տարրերը կոչվում են հաջորդականության անդամներ։ Հերթական տարրի հերթական համարը նշվում է ինդեքսով.

Հերթականության առաջին տարրը;

Հերթականության հինգերորդ տարրը;

- հաջորդականության «n-րդ» տարրը, այսինքն. n համարի «հերթում կանգնած» տարրը։

Կա կախվածություն հաջորդականության տարրի արժեքի և նրա հերթական համարի միջև: Հետևաբար, հաջորդականությունը կարող ենք դիտարկել որպես ֆունկցիա, որի փաստարկը հաջորդականության տարրի հերթական թիվն է։ Այսինքն՝ կարելի է ասել հաջորդականությունը բնական փաստարկի ֆունկցիա է.

Հերթականությունը կարելի է սահմանել երեք եղանակով.

1 . Հերթականությունը կարելի է սահմանել աղյուսակի միջոցով:Այս դեպքում մենք պարզապես սահմանում ենք հաջորդականության յուրաքանչյուր անդամի արժեքը:

Օրինակ, ինչ-որ մեկը որոշել է անձնական ժամանակի կառավարում անել, և սկզբից հաշվարկել, թե շաբաթվա ընթացքում որքան ժամանակ է նա ծախսում VKontakte-ում: Ժամանակը աղյուսակում գրելով՝ նա կստանա յոթ տարրերից բաղկացած հաջորդականություն.

Աղյուսակի առաջին տողում նշվում է շաբաթվա օրվա համարը, երկրորդը` ժամը րոպեներով: Մենք տեսնում ենք, որ, այսինքն՝ երկուշաբթի, ինչ-որ մեկը VKontakte-ում ծախսել է 125 րոպե, այսինքն՝ հինգշաբթի օրը՝ 248 րոպե, իսկ, այսինքն՝ ուրբաթ օրը՝ ընդամենը 15։

2 . Հաջորդականությունը կարելի է ճշտել՝ օգտագործելով n-րդ անդամի բանաձևը:

Այս դեպքում հաջորդականության տարրի արժեքի կախվածությունը նրա թվից ուղղակիորեն արտահայտվում է որպես բանաձև։

Օրինակ, եթե, ապա

Տրված թվով հաջորդականության տարրի արժեքը գտնելու համար մենք տարրի համարը փոխարինում ենք n-րդ անդամի բանաձևով:

Մենք նույնն ենք անում, եթե մեզ անհրաժեշտ է գտնել ֆունկցիայի արժեքը, եթե արգումենտի արժեքը հայտնի է: Փոխարինում ենք արգումենտի արժեքը ֆունկցիայի հավասարման մեջ.

Եթե, օրինակ, , Դա

Եվս մեկ անգամ նշում եմ, որ հաջորդականության մեջ, ի տարբերություն կամայական թվային ֆունկցիայի, արգումենտ կարող է լինել միայն բնական թիվը։

3 . Հերթականությունը կարելի է ճշտել՝ օգտագործելով բանաձև, որն արտահայտում է n թվով հաջորդականության անդամի արժեքի կախվածությունը նախորդ անդամների արժեքից։ Այս դեպքում մեզ համար բավական չէ իմանալ միայն հաջորդական անդամի թիվը, որպեսզի գտնենք դրա արժեքը։ Մենք պետք է նշենք հաջորդականության առաջին անդամը կամ առաջին մի քանի անդամները:

Օրինակ, հաշվի առեք հաջորդականությունը ,

Մենք կարող ենք գտնել հաջորդականության անդամների արժեքները հաջորդականությամբ, սկսած երրորդից.

Այսինքն՝ ամեն անգամ հաջորդականության n-րդ անդամի արժեքը գտնելու համար մենք վերադառնում ենք նախորդ երկուսին։ Հերթականության այս եղանակը կոչվում է կրկնվող, լատիներեն բառից կրկնել- վերադարձիր:

Այժմ մենք կարող ենք սահմանել թվաբանական առաջընթաց: Թվաբանական առաջընթացը թվային հաջորդականության պարզ հատուկ դեպք է:

Թվաբանական առաջընթաց կոչվում է թվային հաջորդականություն, որի յուրաքանչյուր անդամ, սկսած երկրորդից, հավասար է նախորդին՝ գումարված նույն թվով։

Համարը կոչվում է թվաբանական առաջընթացի տարբերությունը. Թվաբանական առաջընթացի տարբերությունը կարող է լինել դրական, բացասական կամ զրո:

If title="d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} աճող.

Օրինակ, 2; 5; 8; տասնմեկ;...

Եթե ​​, ապա թվաբանական պրոգրեսիայի յուրաքանչյուր անդամ փոքր է նախորդից, իսկ առաջընթացը՝ թուլանալով.

Օրինակ, 2; -1; -4; -7;...

Եթե ​​, ապա պրոգրեսիայի բոլոր անդամները հավասար են նույն թվին, և պրոգրեսիան է ստացիոնար.

Օրինակ՝ 2;2;2;2;...

Թվաբանական առաջընթացի հիմնական հատկությունը.

Եկեք նայենք նկարին։

Մենք դա տեսնում ենք

, և միևնույն ժամանակ

Այս երկու հավասարությունները գումարելով՝ մենք ստանում ենք.

.

Հավասարման երկու կողմերը բաժանե՛ք 2-ի.

Այսպիսով, թվաբանական առաջընթացի յուրաքանչյուր անդամ, սկսած երկրորդից, հավասար է երկու հարևանների միջին թվաբանականին.

Ավելին, քանի որ

, և միևնույն ժամանակ

, Դա

, և հետևաբար

Թվաբանական առաջընթացի յուրաքանչյուր անդամ՝ սկսած title="k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

անդամի բանաձևը.

Մենք տեսնում ենք, որ թվաբանական պրոգրեսիայի անդամների համար գործում են հետևյալ հարաբերությունները.

եւ, վերջապես

Մենք ստացանք n-րդ կիսամյակի բանաձևը.

ԿԱՐԵՎՈՐ!Թվաբանական առաջընթացի ցանկացած անդամ կարող է արտահայտվել և . Իմանալով թվաբանական առաջընթացի առաջին անդամը և տարբերությունը՝ կարող եք գտնել դրա անդամներից որևէ մեկին։

Թվաբանական առաջընթացի n անդամների գումարը:

Թվաբանական կամայական առաջընթացի դեպքում ծայրահեղներից հավասարապես բաժանված տերմինների գումարները հավասար են միմյանց.

Դիտարկենք թվաբանական առաջընթաց n անդամով: Թող այս պրոգրեսիայի n անդամների գումարը հավասար լինի .

Առաջընթացի պայմանները դասավորե՛ք սկզբում թվերի աճման, իսկ հետո նվազման կարգով.

Եկեք զուգակցենք այն.

Յուրաքանչյուր փակագծում տրված գումարը , զույգերի թիվը n է:

Մենք ստանում ենք.

Այսպիսով, թվաբանական պրոգրեսիայի n անդամների գումարը կարելի է գտնել՝ օգտագործելով բանաձևերը.

Հաշվի առեք թվաբանական առաջընթացի խնդիրների լուծում.

1 . Հաջորդականությունը տրված է n-րդ անդամի բանաձևով. . Ապացուցեք, որ այս հաջորդականությունը թվաբանական առաջընթաց է:

Փաստենք, որ հաջորդականության երկու հարակից անդամների տարբերությունը հավասար է նույն թվին։

Մենք ստացել ենք, որ հաջորդականության երկու կից անդամների տարբերությունը կախված չէ նրանց թվից և հաստատուն է։ Հետևաբար, ըստ սահմանման, այս հաջորդականությունը թվաբանական պրոգրեսիա է։

2 . Հաշվի առնելով թվաբանական առաջընթացը -31; -27;...

ա) Գտե՛ք առաջընթացի 31 անդամները.

բ) Որոշեք, թե արդյոք 41 թիվը ներառված է այս առաջընթացի մեջ:

Ա)Մենք տեսնում ենք, որ;

Եկեք գրենք մեր առաջընթացի n-րդ անդամի բանաձևը:

Ընդհանուր առմամբ

Մեր դեպքում , Ահա թե ինչու

Օրինակ, հաջորդականությունը \(2\); \(5\); \(8\); \(տասնմեկ\); \(14\)… թվաբանական պրոգրեսիա է, քանի որ յուրաքանչյուր հաջորդ տարրը նախորդից տարբերվում է երեքով (կարելի է ստանալ նախորդից՝ ավելացնելով երեքը).

Այս առաջընթացում \(d\) տարբերությունը դրական է (հավասար է \(3\)-ին), և հետևաբար յուրաքանչյուր հաջորդ անդամ ավելի մեծ է, քան նախորդը: Նման առաջընթացները կոչվում են աճող.

Այնուամենայնիվ, \(d\)-ը նույնպես կարող է լինել բացասական թիվ. Օրինակ, թվաբանական առաջընթացում \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)… առաջընթացի տարբերությունը \(d\) հավասար է մինուս վեցի:

Եվ այս դեպքում յուրաքանչյուր հաջորդ տարրը ավելի քիչ կլինի, քան նախորդը: Այս առաջընթացները կոչվում են նվազում է.

Թվաբանական առաջընթացի նշում

Առաջընթացը նշվում է փոքր լատինատառով:

Այն թվերը, որոնք կազմում են պրոգրեսիա, կոչվում են այն անդամներ(կամ տարրեր):

Նրանք նշվում են նույն տառով, ինչ թվաբանական պրոգրեսիան, բայց թվային ինդեքսով, որը հավասար է տարրի թվին ըստ հերթականության։

Օրինակ, թվաբանական առաջընթացը \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) բաղկացած է տարրերից \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) և այլն:

Այլ կերպ ասած, առաջընթացի համար \(a_n = \ձախ\(2; 5; 8; 11; 14…\աջ\)\)

Խնդիրների լուծում թվաբանական առաջընթացով

Սկզբունքորեն, վերը նշված տեղեկատվությունը արդեն բավական է թվաբանական պրոգրեսիայի վերաբերյալ գրեթե ցանկացած խնդիր լուծելու համար (ներառյալ OGE-ում առաջարկվողները):

Օրինակ (OGE): Թվաբանական առաջընթացը տրվում է \(b_1=7; d=4\) պայմաններով: Գտեք \(b_5\):
Լուծում:

Պատասխան. \(b_5=23\)

Օրինակ (OGE): Տրված են թվաբանական առաջընթացի առաջին երեք անդամները՝ \(62; 49; 36…\) Գտե՛ք այս առաջընթացի առաջին բացասական անդամի արժեքը։
Լուծում:

	Մեզ տրված են հաջորդականության առաջին տարրերը և գիտենք, որ դա թվաբանական պրոգրեսիա է։ Այսինքն՝ յուրաքանչյուր տարր նույն թվով տարբերվում է հարեւանից։ Պարզի՛ր, թե որն է՝ հանելով նախորդը հաջորդ տարրից՝ \(d=49-62=-13\):
	Այժմ մենք կարող ենք վերականգնել մեր առաջընթացը դեպի ցանկալի (առաջին բացասական) տարրը:
	Պատրաստ. Դուք կարող եք գրել պատասխան.

Պատասխան. \(-3\)

Օրինակ (OGE): Տրված են թվաբանական պրոգրեսիայի մի քանի հաջորդական տարրեր՝ \(...5; x; 10; 12.5...\) Գտե՛ք \(x\) տառով նշանակված տարրի արժեքը։
Լուծում:

	\(x\) գտնելու համար մենք պետք է իմանանք, թե հաջորդ տարրը որքանով է տարբերվում նախորդից, այլ կերպ ասած՝ առաջընթացի տարբերությունը։ Գտնենք այն երկու հայտնի հարեւան տարրերից՝ \(d=12.5-10=2.5\):
	Եվ հիմա մենք առանց խնդիրների գտնում ենք այն, ինչ փնտրում ենք՝ \(x=5+2.5=7.5\):
	Պատրաստ. Դուք կարող եք գրել պատասխան.

Պատասխան. \(7,5\).

Օրինակ (OGE): Թվաբանական առաջընթացը տրվում է հետևյալ պայմաններով. \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Գտե՛ք այս պրոգրեսիայի առաջին վեց անդամների գումարը:
Լուծում:

	Մենք պետք է գտնենք առաջընթացի առաջին վեց անդամների գումարը: Բայց մենք չգիտենք դրանց իմաստները, մեզ տրված է միայն առաջին տարրը։ Հետևաբար, մենք նախ հաշվարկում ենք արժեքները՝ օգտագործելով մեզ տրվածը. \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) Եվ հաշվելով մեզ անհրաժեշտ վեց տարրերը՝ գտնում ենք դրանց գումարը։
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)	Պահանջվող գումարը գտնվել է.

Պատասխան. \(S_6=9\):

Օրինակ (OGE): Թվաբանական առաջընթացում \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\): Գտեք այս առաջընթացի տարբերությունը:
Լուծում:

Պատասխան. \(d=7\):

Կարևոր թվաբանական առաջընթացի բանաձևեր

Ինչպես տեսնում եք, թվաբանական առաջընթացի շատ խնդիրներ կարելի է լուծել՝ պարզապես հասկանալով հիմնականը, որ թվաբանական առաջընթացը թվերի շղթա է, և այս շղթայի յուրաքանչյուր հաջորդ տարրը ստացվում է նույն թիվը նախորդին ավելացնելով (տարբերությունը. առաջընթացի մասին):

Այնուամենայնիվ, երբեմն լինում են իրավիճակներ, երբ շատ անհարմար է լուծել «ճակատին»։ Օրինակ, պատկերացրեք, որ հենց առաջին օրինակում մենք պետք է գտնենք ոչ թե հինգերորդ տարրը \(b_5\), այլ երեք հարյուր ութսունվեցերորդ \(b_(386)\): Ի՞նչ է դա, մենք \ (385 \) անգամ ավելացնենք չորս: Կամ պատկերացրեք, որ նախավերջին օրինակում պետք է գտնել առաջին յոթանասուներեք տարրերի գումարը: Հաշվելը շփոթեցնող է...

Հետևաբար, նման դեպքերում նրանք ոչ թե լուծում են «ճակատի վրա», այլ օգտագործում են թվաբանական առաջընթացի համար ստացված հատուկ բանաձևեր։ Իսկ հիմնականներն են առաջընթացի n-րդ անդամի և առաջին անդամների \(n\) գումարի բանաձևը։

\(n\)-րդ անդամի բանաձևը՝ \(a_n=a_1+(n-1)d\), որտեղ \(a_1\) պրոգրեսիայի առաջին անդամն է;
\(n\) – պահանջվող տարրի համարը;
\(a_n\) պրոգրեսիայի անդամ է \(n\) թվով:

Այս բանաձևը թույլ է տալիս արագ գտնել առնվազն երեք հարյուրերորդ, նույնիսկ միլիոներորդ տարրը՝ իմանալով միայն առաջինի և առաջընթացի տարբերությունը։

Օրինակ. Թվաբանական առաջընթացը տրվում է հետևյալ պայմաններով՝ \(b_1=-159\); \(d=8,2\): Գտեք \(b_(246)\):
Լուծում:

Պատասխան. \(b_(246)=1850\):

Առաջին n տերմինների գումարի բանաձևը հետևյալն է. \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), որտեղ

\(a_n\) վերջին ամփոփված անդամն է.

Օրինակ (OGE): Թվաբանական առաջընթացը տրվում է \(a_n=3.4n-0.6\) պայմաններով։ Գտեք այս առաջընթացի առաջին \(25\) անդամների գումարը:
Լուծում:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25\)		Առաջին քսանհինգ տարրերի գումարը հաշվարկելու համար մենք պետք է իմանանք առաջին և քսանհինգերորդ անդամի արժեքը։ Մեր առաջընթացը տրվում է n-րդ անդամի բանաձևով՝ կախված նրա թվից (տես մանրամասները)։ Եկեք հաշվարկենք առաջին տարրը՝ \(n\)-ը փոխարինելով մեկով:
\(n=1;\) \(a_1=3.4 1-0.6=2.8\)		Հիմա եկեք գտնենք քսանհինգերորդ անդամը՝ փոխարինելով քսանհինգը՝ \(n\) փոխարեն։
\(n=25;\) \(a_(25)=3.4 25-0.6=84.4\)		Դե, հիմա մենք առանց խնդիրների հաշվում ենք պահանջվող գումարը։
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2,8+84,4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		Պատասխանը պատրաստ է.

Պատասխան. \(S_(25)=1090\):

Առաջին անդամների \(n\) գումարի համար կարող եք ստանալ մեկ այլ բանաձև. պարզապես անհրաժեշտ է \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) \(a_n\)-ի փոխարեն փոխարինեք դրա բանաձևը \(a_n=a_1+(n-1)d\): Մենք ստանում ենք.

Առաջին n տերմինների գումարի բանաձևը հետևյալն է. \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), որտեղ

\(S_n\) – առաջին տարրերի պահանջվող գումարը \(n\);
\(a_1\) առաջին անդամն է, որը պետք է ամփոփվի;
\(d\) - առաջընթացի տարբերություն;
\(n\) - գումարի տարրերի քանակը:

Օրինակ. Գտե՛ք թվաբանական պրոգրեսիայի առաջին \(33\)-նախ անդամների գումարը՝ \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Լուծում:

Պատասխան. \(S_(33)=-231\):

Ավելի բարդ թվաբանական առաջընթացի խնդիրներ

Այժմ դուք ունեք բոլորը անհրաժեշտ տեղեկատվությունթվաբանական պրոգրեսիայի վրա գրեթե ցանկացած խնդիր լուծելու համար: Եկեք ավարտենք թեման՝ դիտարկելով խնդիրներ, որոնցում անհրաժեշտ է ոչ միայն կիրառել բանաձևեր, այլև մի փոքր մտածել (մաթեմատիկայի մեջ դա կարող է օգտակար լինել ☺)

Օրինակ (OGE): Գտեք առաջընթացի բոլոր բացասական անդամների գումարը. \(-19.3\); \(-19\); \(-18.7\)…
Լուծում:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		Առաջադրանքը շատ նման է նախորդին. Մենք սկսում ենք լուծել նույն կերպ՝ նախ գտնում ենք \(d\):
\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\)		Այժմ գումարի բանաձևում փոխարինելու համար \ (d \) և այստեղ այն հայտնվում է փոքրիկ նրբերանգ- մենք չգիտենք \(n\): Այսինքն՝ մենք չգիտենք, թե քանի տերմին պետք կլինի ավելացնել։ Ինչպե՞ս պարզել: Եկեք մտածենք. Մենք կդադարենք ավելացնել տարրերը, երբ հասնենք առաջին դրական տարրին: Այսինքն, դուք պետք է պարզեք այս տարրի թիվը: Ինչպե՞ս: Եկեք գրենք թվաբանական պրոգրեսիայի ցանկացած տարրի հաշվարկման բանաձևը՝ \(a_n=a_1+(n-1)d\) մեր դեպքի համար։
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19.3+(n-1) 0.3\)		Մեզ անհրաժեշտ է, որ \(a_n\) լինի զրոյից մեծ: Եկեք պարզենք, թե ինչի համար \(n\) կլինի սա:
\(-19.3+(n-1) 0.3>0\)
\((n-1) 0.3>19.3\) \(|:0.3\)		Անհավասարության երկու կողմերը բաժանում ենք \(0,3\):
\(n-1>\)\(\frac(19,3)(0,3)\)		Մենք փոխանցում ենք մինուս մեկ՝ չմոռանալով փոխել նշանները
\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\)		Հաշվողական...
\(n>65,333…\)		…և ստացվում է, որ առաջին դրական տարրը կունենա \(66\) թիվը։ Համապատասխանաբար, վերջին բացասականն ունի \(n=65\): Ամեն դեպքում, եկեք ստուգենք այն:
\(n=65;\) \(a_(65)=-19.3+(65-1) 0.3=-0.1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19.3+(66-1) 0.3=0.2\)		Այսպիսով, մենք պետք է ավելացնենք առաջին \(65\) տարրերը:
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38.6+19.2)(2)\)\(\cdot 65=-630.5\)		Պատասխանը պատրաստ է.

Պատասխան. \(S_(65)=-630.5\):

Օրինակ (OGE): Թվաբանական առաջընթացը տրվում է հետևյալ պայմաններով՝ \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\): Գտեք \(26\)րդից \(42\) տարրի գումարը ներառյալ:
Լուծում:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	Այս խնդրի մեջ պետք է գտնել նաև տարրերի գումարը, բայց սկսած ոչ թե առաջինից, այլ \(26\)րդից։ Մենք դրա համար բանաձեւ չունենք. Ինչպե՞ս որոշել: Հեշտ - \(26\)-րդից մինչև \(42\)-րդ գումարը ստանալու համար նախ պետք է գտնել \(1\)-րդից մինչև \(42\)-րդ գումարը, այնուհետև դրանից հանել գումարը: առաջինը մինչև \ (25 \) րդ (տես նկարը):
	Մեր \(a_1=-33\) առաջընթացի և \(d=4\) տարբերության համար (ի վերջո, մենք ավելացնում ենք չորսը նախորդ տարրին՝ հաջորդը գտնելու համար): Իմանալով սա՝ մենք գտնում ենք առաջին \(42\)-uh տարրերի գումարը:
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Այժմ առաջին \(25\)-րդ տարրերի գումարը:
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	Եվ վերջապես, մենք հաշվարկում ենք պատասխանը.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Պատասխան. \(S=1683\):

Թվաբանական առաջընթացի համար կան ևս մի քանի բանաձևեր, որոնք մենք չենք դիտարկել այս հոդվածում իրենց ցածր գործնական օգտակարության պատճառով: Այնուամենայնիվ, դուք հեշտությամբ կարող եք գտնել դրանք: