Як вирішити приклад із неправильними дробами. Подання змішаного числа у вигляді неправильного дробу. Віднімання дробів з однаковими знаменниками
Коли учень переходить у старшу школу, математика поділяється на 2 предмети: алгебру та геометрію. Понять стає дедалі більше, завдання дедалі складніше. У деяких виникають труднощі із сприйняттям дробів. Пропустили перший урок з цієї теми і вуаля. дроби? Питання, яке мучитиме протягом усього шкільного життя.
Поняття алгебраїчного дробу
Почнемо з визначення. Під алгебраїчним дробомрозуміється вирази P/Q, де P є чисельником, а Q - знаменником. Під літерним записом може ховатися число, числове вираз, чисельно-літерний вираз.
Перш ніж ставити питання, як вирішувати алгебраїчні дроби, Спершу треба розуміти, що подібний вираз - частина цілого.
Як правило, ціле – це 1. Число у знаменнику показує, на скільки частин розділили одиницю. Чисельник необхідний у тому, щоб дізнатися, скільки елементів взято. Дробова характеристика відповідає знаку поділу. Допускається запис дробового виразу як математичну операцію «Поділ». У такому разі чисельник – ділене, знаменник – дільник.
Основне правило звичайних дробів
Коли учні проходять цю тему у шкільництві, їм дають приклади закріплення. Щоб правильно їх вирішувати і знаходити різні шляхи з складних ситуацій, Необхідно використовувати основну властивість дробів.
Воно звучить так: Якщо помножити і чисельник, і знаменник на те саме число чи вираз (відмінні від нуля), то значення звичайного дробу не зміниться. Приватним випадком від цього правила є поділ обох частин виразу на те саме число або многочлен. Подібні перетворення називаються тотожними рівностями.
Нижче буде розглянуто, як вирішувати додавання та віднімання алгебраїчних дробів, виробляти множення, розподіл і скорочення дробів.
Математичні операції з дробами
Розглянемо, як вирішувати, основна властивість дробу алгебри, як застосовувати його на практиці. Якщо потрібно перемножити два дроби, скласти їх, розділити один на інший або зробити віднімання, потрібно завжди дотримуватися правил.
Так, для операції додавання та віднімання слід знайти додатковий множник, щоб привести вирази до спільному знаменнику. Якщо спочатку дроби дано з однаковими виразами Q, потрібно опустити цей пункт. Коли загальний знаменник знайдено, як вирішувати дроби алгебри? Потрібно скласти чи відняти чисельники. Але! Потрібно пам'ятати, що за наявності знака "-" перед дробом усі знаки в чисельнику змінюються на протилежні. Іноді слід проводити будь-яких підстановок і математичних операцій. Достатньо поміняти знак перед дробом.
Часто використовується таке поняття, як скорочення дробів. Це означає наступне: якщо чисельник і знаменник розділити на відмінне від одиниці вираз (однакове обох частин), то виходить новий дріб. Подільне і дільник менше колишніх, але з основного правила дробів залишаються рівними первісному прикладу.
Метою цієї операції є отримання нового нескоротного виразу. Вирішити це завдання можна, якщо скоротити чисельник і знаменник на найбільший спільний дільник. Алгоритм операції складається з двох пунктів:
- Знаходження НОД для обох частин дробу.
- Розподіл чисельника та знаменника на знайдений вираз та отримання нескоротного дробу, що дорівнює попередньому.
Нижче показано таблицю, в якій розписані формули. Для зручності її можна роздрукувати та носити із собою у зошиті. Однак, щоб у майбутньому при вирішенні контрольної або іспиту не виникло труднощів у питанні, як вирішувати дроби алгебри, зазначені формули потрібно вивчити напам'ять.
Декілька прикладів з рішеннями
З теоретичного погляду розглянуто питання, як вирішувати алгебраїчні дроби. Приклади, наведені у статті, допоможуть краще засвоїти матеріал.
1. Перетворити дроби та привести їх до спільного знаменника.
2. Перетворити дроби та привести їх до спільного знаменника.
Після вивчення теоретичної частини та розглянути практичної питаньбільше виникнути не повинно.
Множення та розподіл дробів.
Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали у розділі 555.
Для тих, хто сильно "не дуже..."
І для тих, хто "дуже навіть...")
Ця операція набагато приємніша за складання-віднімання! Бо простіше. Нагадую: щоб помножити дріб на дріб, потрібно перемножити чисельники (це буде чисельник результату) та знаменники (це буде знаменник). Тобто:
Наприклад:
Все дуже просто. І, будь ласка, не шукайте спільного знаменника! Не треба його тут…
Щоб розділити дріб на дріб, потрібно перевернути другу(це важливо!) дріб і їх перемножити, тобто:
Наприклад:
Якщо трапилося множення чи поділ із цілими числами та дробами – нічого страшного. Як і при додаванні, робимо з цілого числа дріб з одиницею в знаменнику – і вперед! Наприклад:
У старших класах часто доводиться мати справу з триповерховими (або навіть чотириповерховими!) дробами. Наприклад:
Як цей дріб привести до пристойного вигляду? Так, дуже просто! Використовувати поділ через дві точки:
Але не забувайте про порядок розподілу! На відміну від множення, це дуже важливо! Звичайно, 4:2, або 2:4, ми не сплутаємо. А ось у триповерховому дробі легко помилитись. Зверніть увагу, наприклад:
У першому випадку (вираз зліва):
У другому (вираз праворуч):
Відчуваєте різницю? 4 та 1/9!
А чим визначається порядок розподілу? Або дужками, або (як тут) довжиною горизонтальних рис. Розвивайте окомір. А якщо немає ні дужок, ні рисок, типу:
то ділимо-множимо по порядку, зліва направо!
І ще дуже простий та важливий прийом. У діях зі ступенями він вам ох як знадобиться! Поділимо одиницю на будь-який дріб, наприклад, на 13/15:
Дріб перекинувся! І так завжди буває. При розподілі 1 на будь-який дріб, в результаті отримуємо той же дріб, тільки перевернутий.
Ось і всі події з дробами. Річ досить проста, але помилок дає більш ніж достатньо. Візьміть до уваги практичні поради, і їх (помилок) буде менше!
Практичні поради:
1. Найголовніше при роботі з дробовими виразами – акуратність та уважність! Це не загальні слова, не добрі побажання! Це сувора потреба! Усі обчислення на ЄДІ робіть як повноцінне завдання, зосереджено та чітко. Краще написати два зайві рядки в чернетці, ніж накосячіть при розрахунку в умі.
2. У прикладах з різними видамидробів – переходимо до звичайних дробів.
3. Усі дроби скорочуємо до упору.
4. Багатоповерхові дробові вирази зводимо до звичайних, використовуючи розподіл через дві точки (стежимо за порядком розподілу!).
5. Одиницю на дріб ділимо в умі, просто перевертаючи дріб.
Ось вам завдання, які потрібно обов'язково вирішувати. Відповіді наведено після всіх завдань. Використовуйте матеріали цієї теми та практичні поради. Накиньте, скільки прикладів ви змогли вирішити правильно. З першого разу! Без калькулятора! І зробіть правильні висновки...
Пам'ятайте – правильна відповідь, отриманий з другого (тим більше – третього) разу – не рахується!Таке суворе життя.
Отже, вирішуємо в режимі іспиту ! Це вже підготовка до ЄДІ, між іншим. Вирішуємо приклад, перевіряємо, вирішуємо наступний. Вирішили все – перевірили знову з першого до останнього. І тільки потімдивимося відповіді.
Обчислити:
Вирішили?
Шукаємо відповіді, які збігаються із вашими. Я спеціально їх безладно записав, подалі від спокуси, так би мовити... Ось вони, відповіді, через крапку з комою записані.
0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.
А тепер робимо висновки. Якщо все вийшло – радий за вас! Елементарні обчислення з дробами – не ваша проблема! Можна зайнятися серйознішими речами. Якщо ні...
Значить у вас одна з двох проблем. Або обидві відразу.) Нестача знань та (або) неуважність. Але це розв'язувані проблеми.
Якщо Вам подобається цей сайт...
До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)
Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)
можна познайомитися з функціями та похідними.
Щоб висловити частину в частках цілого, частину потрібно розділити на ціле.
Завдання 1.У класі 30 учнів відсутні четверо. Яка частина учнів відсутня?
Рішення:
Відповідь:у класі немає учнів.
Знаходження дробу від числа
Для вирішення завдань, в яких потрібно знайти частину цілого, справедливо наступне правило:
Якщо частина цілого виражена дробом, те щоб знайти цю частину, можна поділити на знаменник дробу і результат помножити на її чисельник.
Завдання 1.Було 600 рублів, цю суму витратили. Скільки грошей витратили?
Рішення:щоб знайти від 600 рублів, треба цю суму розділити на 4 частини, тим самим ми дізнаємося, скільки грошей складає одна четверта частина:
600: 4 = 150 (р.)
Відповідь:витратили 150 рублів.
Завдання 2.Було 1000 рублів, цю суму витратили. Скільки грошей було витрачено?
Рішення:з умови завдання ми знаємо, що 1000 рублів складається із п'яти рівних частин. Спочатку знайдемо скільки рублів становить одна п'ята частина від 1000, а потім дізнаємось скільки рублів складають дві п'ятих:
1) 1000: 5 = 200 (р.) – одна п'ята частина.
2) 200 · 2 = 400 (р.) - Дві п'ятих частини.
Ці дві дії можна поєднати: 1000: 5 · 2 = 400 (р.).
Відповідь:було витрачено 400 рублів.
Другий спосіб знаходження частини цілого:
Щоб знайти частину цілого, можна помножити ціле на дріб, що виражає цю частину цілого.
Завдання 3.За статутом кооперативу, для правомочності звітних зборів у ньому має бути щонайменше членів організації. У кооперативі 120 членів. За якого складу можуть відбутися звітні збори?
Рішення: 
Відповідь:Звітні збори можуть відбутися за наявності 80 членів організації.
Знаходження числа з його дробу
Для вирішення завдань, в яких потрібно знайти ціле в його частині, справедливо таке правило:
Якщо частина цілого, що шукається, виражена дробом, то щоб знайти це ціле, можна цю частину розділити на чисельник дробу і результат помножити на її знаменник.
Завдання 1.Витратили 50 рублів, це становило від початкової суми. Знайдіть початкову суму.
Рішення:з опису завдання бачимо, що 50 рублів у 6 разів менше початкової суми, т. е. первісна сума у 6 разів більше, ніж 50 рублів. Щоб знайти цю суму, треба 50 помножити на 6:
50 · 6 = 300 (р.)
Відповідь:первісна сума – 300 рублів.
Завдання 2.Витратили 600 рублів, це становило від початкової суми грошей. Знайдіть початкову суму.
Рішення:будемо вважати, що число, що шукається, складається з трьох третіх часток. За умовою дві третини числа дорівнюють 600 рублів. Спочатку знайдемо одну третину від початкової суми, а потім скільки рублів становлять три треті (первісна сума):
1) 600: 2 · 3 = 900 (р.)
Відповідь:первісна сума – 900 рублів.
Другий спосіб знаходження цілого з його частини:
Щоб знайти ціле за величиною частину, що виражає його, можна розділити цю величину на дріб, що виражає цю частину.
Завдання 3.Відрізок AB, рівний 42 см, становить довжину відрізка CD. Знайти довжину відрізка CD.
Рішення: 
Відповідь:довжина відрізка CD 70 см.
Завдання 4.До магазину привезли кавуни. До обіду магазин продав, після обіду - привезених кавунів, і залишилося продати 80 кавунів. Скільки всього кавунів привезли до магазину?
Рішення:спочатку дізнаємося, яку частину від привезених кавунів становить число 80. Для цього приймемо за одиницю загальну кількість привезених кавунів та віднімемо з неї ту кількість кавунів, яку вдалося реалізувати (продати):
І так, ми дізналися, що 80 кавунів складає від загальної кількості кавунів. Тепер дізнаємось скільки кавунів від загальної кількості становить , а потім скільки кавунів складають (кількість привезених кавунів):
2) 80: 4 · 15 = 300 (кавунів)
Відповідь:Загалом у магазин привезли 300 кавунів.
Однією з найважливіших наук, застосування якої можна побачити таких дисциплінах, як хімія, фізика і навіть біологія, є математика. Вивчення цієї науки дозволяє розвинути деякі розумові якості, покращити та здатність концентруватися. Одна з тем, які заслуговують на окрему увагу в курсі «Математика» - складання та віднімання дробів. У багатьох учнів її вивчення спричиняє труднощі. Можливо, наша стаття допоможе краще зрозуміти цю тему.
Як відняти дроби, знаменники яких однакові
Дроби - це самі числа, з якими можна виробляти різні дії. Їхня відмінність від цілих чисел полягає в присутності знаменника. Саме тому при виконанні дій із дробами потрібно вивчити деякі їх особливості та правила. Найбільш простою нагодоює віднімання звичайних дробів, знаменники яких представлені у вигляді однакового числа Виконати цю дію не складе особливих труднощів, якщо знати просте правило:
- Для того щоб з одного дробу відняти другий, необхідно від чисельника дробу, що зменшується, відняти чисельник віднімається дробу. Це число записуємо в чисельник різниці, а знаменник залишаємо те саме: k/m - b/m = (k-b)/m.
Приклади віднімання дробів, знаменники яких однакові
7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.
Від чисельника дробу, що зменшується, «7» віднімаємо чисельник віднімається дробу «3», отримуємо «4». Це число записуємо в чисельник відповіді, а знаменник ставимо те саме число, що було у знаменниках першого і другого дробу - «19».
На малюнку нижче наведено ще кілька таких прикладів.
Розглянемо складніший приклад, де зроблено віднімання дробів з однаковими знаменниками:
29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.
Від чисельника дробу, що зменшується «29» відбиранням по черзі чисельники всіх наступних дробів - «3», «8», «2», «7». У результаті отримуємо результат «9», який записуємо в чисельник відповіді, а знаменник записуємо те число, що у знаменниках всіх цих дробів, - «47».
Додавання дробів, що мають однаковий знаменник
Додавання і віднімання звичайних дробів здійснюється за одним і тим же принципом.
- Щоб скласти дроби, знаменники яких однакові, необхідно чисельники скласти. Отримане число - чисельник суми, а знаменник залишиться тим самим: k/m + b/m = (k + b)/m.
Розглянемо, як це виглядає на прикладі:
1/4 + 2/4 = 3/4.
До чисельника першого доданку дробу - «1» - додаємо чисельник другого доданку дробу - «2». Результат - «3» - записуємо в чисельник суми, а знаменник залишаємо той самий, що був у дробах, - «4».
Дроби з різними знаменниками та їх віднімання
Дію з дробами, які мають однаковий знаменник, ми вже розглянули. Як бачимо, знаючи прості правила, Вирішити подібні приклади досить легко. Але що робити, якщо потрібно зробити дію з дробами, які мають різні знаменники? Багато учнів середніх шкіл утрудняються такі приклади. Але й тут, якщо знати принцип рішення, приклади вже не будуть для вас складнощами. Тут також існує правило, без якого розв'язання таких дробів просто неможливе.
- 2/3 - у знаменнику не вистачає однієї трійки та однієї двійки:
2/3 = (2 х 3 х 2)/(3 х 3 х 2) = 12/18. - 7/9 або 7/(3 х 3) - у знаменнику не вистачає двійки:
7/9 = (7 х 2)/(9 х 2) = 14/18. - 5/6 або 5/(2 х 3) - у знаменнику не вистачає трійки:
5/6 = (5 х 3)/(6 х 3) = 15/18. - Число 18 складається з 3 х 2 х 3.
- Число 15 складається з 5 х 3.
- Загальне кратне складатиметься з наступних множників 5 х 3 х 3 х 2 = 90.
- 90 поділити на 15. Отримане число "6" буде множником для 3/15.
- 90 поділити на 18. Отримане число "5" буде множником для 4/18.
- Усі дроби, що мають цілу частину, перевести у неправильні. Говорячи простими словамиприбрати цілу частину. Для цього число цілої частини множимо на знаменник дробу, отриманий твір додаємо до чисельника. Число, яке вийде після цих дій, - чисельник неправильного дробу. Знаменник залишається незмінним.
- Якщо дроби мають різні знаменники, слід привести їх до однакового.
- Зробити додавання або віднімання з однаковими знаменниками.
- При отриманні неправильного дробу виділити цілу частину.
Щоб зробити віднімання дробів з різними знаменниками, необхідно їх привести до однакового найменшого знаменника.
Про те, як це зробити, ми поговоримо докладніше.
Властивість дробу
Для того щоб кілька дробів привести до однакового знаменника, потрібно використовувати у рішенні головну властивість дробу: після розподілу чи множення чисельника та знаменника на однакове числовийде дріб, що дорівнює даній.
Так, наприклад, дріб 2/3 може мати такі знаменники, як "6", "9", "12" і т. д., тобто вона може мати вигляд будь-якого числа, яке кратно "3". Після того, як чисельник і знаменник ми помножимо на «2», вийде дріб 4/6. Після того, як чисельник і знаменник вихідного дробу ми помножимо на «3», отримаємо 6/9, а якщо аналогічну дію зробити з цифрою «4», отримаємо 8/12. Однією рівністю це можна записати так:
2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…
Як привести кілька дробів до одного і того ж знаменника
Розглянемо, як привести кілька дробів до того самого знаменника. Наприклад візьмемо дроби, наведені на малюнку нижче. Для початку необхідно визначити, яке число може стати знаменником для всіх їх. Для полегшення розкладемо знаменники на множники.
Знаменник дробу 1/2 та дробу 2/3 на множники розкласти не можна. Знаменник 7/9 має два множники 7/9 = 7/(3 х 3), знаменник дробу 5/6 = 5/(2 х 3). Тепер необхідно визначити, які множники будуть найменшими для всіх цих чотирьох дробів. Так як у першому дробі в знаменнику є число «2», значить, воно має бути присутнім у всіх знаменниках, у дробі 7/9 присутні дві трійки, значить, вони також обидві повинні бути присутніми у знаменнику. Враховуючи сказане вище, визначаємо, що знаменник складається з трьох множників: 3, 2, 3 і дорівнює 3 х 2 х 3 = 18.
Розглянемо перший дріб – 1/2. У її знаменнику є «2», але немає жодної цифри «3», а має бути дві. Для цього ми знаменник множимо на дві трійки, але, відповідно до властивості дробу, ми і чисельник маємо помножити на дві трійки:
1/2 = (1 х 3 х 3)/(2 х 3 х 3) = 9/18.
Аналогічно робимо дії з дробами, що залишилися.
Все разом це виглядає так:
Як відняти і скласти дроби, що мають різні знаменники
Як уже говорилося вище, для того щоб зробити додавання або віднімання дробів, що мають різні знаменники, їх необхідно привести до одного знаменника, а далі скористатися правилами віднімання дробів, що мають однаковий знаменник, про який вже розповідалося.
Розглянемо це з прикладу: 4/18 - 3/15.
Знаходимо кратне чисел 18 і 15:
Після того, як знаменник буде знайдений, необхідно обчислити множник, який буде відмінним для кожного дробу, тобто число, на яке необхідно буде помножити не тільки знаменник, але і чисельник. Для цього число, яке ми знайшли (загальне кратне), ділимо на знаменник того дробу, у якого потрібно визначити додаткові множники.
Наступний етап нашого рішення – приведення кожного дробу до знаменника «90».
Як це робиться, ми вже говорили. Розглянемо, як це записується у прикладі:
(4 х 5)/(18 х 5) - (3 х 6)/(15 х 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45.
Якщо дроби з невеликими числами, можна загальний знаменник визначити, як у прикладі, наведеному на малюнку нижче.
Аналогічно виробляється і мають різні знаменники.
Віднімання та мають цілі частини
Віднімання дробів та їх складання ми вже детально розібрали. Але як зробити віднімання, якщо у дробу є ціла частина? Знову ж таки, скористаємося кількома правилами:
Є й інший спосіб, за допомогою якого можна здійснити додавання та віднімання дробів з цілими частинами. Для цього проводяться окремо дії з цілими частинами, та окремо дії з дробами, а результати записуються разом.
Наведений приклад складається з дробів, які мають однаковий знаменник. У тому випадку, коли знаменники різні, їх необхідно призвести до однакового, а далі виконати дії, як показано на прикладі.
Віднімання дробів з цілого числа
Ще одним з різновидів дій з дробами є той випадок, коли дріб необхідно відібрати на перший погляд. подібний прикладздається важко вирішуваним. Однак тут усе досить просто. Для його вирішення необхідно перевести ціле число в дріб, причому з таким знаменником, який є в дробі, що віднімається. Далі робимо віднімання, аналогічне віднімання з однаковими знаменниками. На прикладі це виглядає так:
7 – 4/9 = (7 х 9)/9 – 4/9 = 53/9 – 4/9 = 49/9.
Наведене в цій статті віднімання дробів (6 клас) є основою для вирішення більш складних прикладів, що розглядаються в наступних класах. Знання цієї теми використовуються згодом на вирішення функцій, похідних тощо. Тому дуже важливо розібратися і зрозуміти дії з дробами, що розглядаються вище.
Інструкція
Прийнято розділяти звичайні та десяткові дроби, Ознайомлення з якими починається ще в середній школі. В даний час немає такої галузі знань, де не застосовувалося б це . Навіть у нас говоримо перша 17 століття, і всі відразу , що маються на увазі 1600-1625 роки. Також часто доводиться стикатися з елементарними діями над , а також їх перетворенням з одного виду на інший.
Приведення дробів до спільного знаменника є, мабуть, найважливішою дією над . Це основа проведення всіх обчислень. Отже, припустимо, є дві дроби a/b та c/d. Тоді, щоб привести їх до спільного знаменника, потрібно знайти найменше загальне кратне (М) чисел b і d, і далі помножити чисельник першої дробина (М/b), а чисельник другий (M/d).
Порівняння дробів, ще одне важливе завдання. Для того, щоб це зробити, наведіть задані прості дробидо спільного знаменника і потім порівняйте чисельники, чий чисельник виявиться більшим, той дріб і більше.
Для того щоб виконати додавання або віднімання звичайних дробів, потрібно привести їх до спільного знаменника, а потім зробити необхідне математичне з цих дробів. Знаменник залишається без зміни. Допустимо потрібно від a/b відняти c/d. Для цього потрібно знайти найменше загальне кратне M чисел b і d, і після відняти з одного чисельника інший, не змінюючи при цьому знаменник: (a*(M/b)-(c*(M/d))/M
Достатньо просто помножити один дріб на інший, для цього слід просто перемножити їх чисельники та знаменники:
(a/b)*(c/d)=(a*c)/(b*d)Щоб поділити один дріб на інший, потрібно дріб поділеного помножити на дріб зворотний дільник. (a/b)/(c/d)=(a*d)/(b*c)
Для того щоб отримати зворотний дріб, необхідно чисельник і знаменник поміняти місцями.
