≡×МЕНЮ

• Інтер'єр
• Вікна
• Стіни
• Проекти
• Будівлі

Числові та алгебраїчні вирази. Перетворення виразів. Числові та буквені вирази. Формула

Формула

Додавання, віднімання, множення, розподіл - арифметичні дії (або арифметичні операції). Цим арифметичним діям відповідають знаки арифметичних дій:

+ (читаємо " плюс") - знак операції складання,

- (читаємо " мінус") - знак операції віднімання,

∙ (читаємо " помножити") - знак операції множення,

: (читаємо " розділити") - Знак операції розподілу.

Запис, що складається з чисел, пов'язаних між собою знаками арифметичних дій, називається числовим виразом.У числовому виразі можуть бути також дужки Наприклад, запис 1290 : 2 - (3 + 20 ∙ 15) є числовим виразом.

Результат виконання дій над числами у числовому виразі називається значенням числового виразу. Виконання цих дій називається обчисленням значення числового виразу. Перед записом значення числового виразу ставлять знак рівності"=". У таблиці 1 наведено приклади числових виразів та його значень.

Запис, що складається з чисел та малих букв латинського алфавіту, пов'язаних між собою знаками арифметичних дій називається буквеним виразом. У цьому записі можуть бути дужки. Наприклад, запис a +b - 3 ∙cє буквеним виразом. Замість букв у буквене вираз можна підставляти різні числа. При цьому значення літер може змінюватися, тому літери в буквеному виразі називають ще змінними.

Підставивши в буквене вираз числа замість букв і обчисливши значення числового виразу, що вийшов, знаходять значення буквеного виразу при даних значеннях букв(При даних значеннях змінних). У таблиці 2 наведено приклади буквених виразів.

Літерний вираз може не мати значення, якщо при підстановці значень букв виходить числове вираззначення якого для натуральних чиселне може бути знайдено. Таке числове вираз називається некоректнимдля натуральних чисел. Говорять також, що значення такого виразу НЕ визначено"для натуральних чисел, а сам вираз "не має сенсу". Наприклад, буквене вираз a - bне має значення при a = 10 і b = 17. Дійсно, для натуральних чисел, що зменшується не може бути менше віднімається. Наприклад, маючи лише 10 яблук (a = 10), не можна віддати з них 17 (b = 17)!

У таблиці 2 (колонка 2) наведено приклад буквеного виразу. За аналогією заповніть таблицю повністю.

Для натуральних чисел вираз 10 -17 некоректно (не має сенсу), тобто. різниця 10 -17 може бути виражена натуральним числом. Інший приклад: на нуль ділити не можна, тому для будь-якого натурального числа b, приватне b: 0 НЕ визначено.

Математичні закони, властивості, деякі правила та співвідношення часто записують у буквеному вигляді (тобто у вигляді буквеного виразу). У цих випадках буквене вираз називають формулою. Наприклад, якщо сторони семикутника рівні a,b,c,d,e,f,g, то формула (літерний вираз) для обчислення його периметра pмає вигляд:

p =a +b +c +d +e+f +g

При a = 1, b = 2, c = 4, d = 5, e = 5, f = 7, g = 9, периметр семикутника p = a + b + c + d + e + f + g = 1 + 2 +4+5+5+7+9=33.

При a = 12, b = 5, c = 20, d = 35, e = 4, f = 40, g = 18, периметр іншого семикутника p = a + b + c + d + e + f + g = 12 + 5+20+35+4+40+18=134.

Блок 1. Словник

Складіть словник нових термінів та визначень із параграфа. Для цього в порожні клітини впишіть слова зі списку наведеного нижче. У таблиці (наприкінці блоку) вкажіть номери термінів відповідно до номерів рамок. Перед заповненням клітин словника рекомендується ще раз уважно переглянути параграф.

1. Операції: додавання, віднімання, множення, поділ.

2.Знаки «+» (плюс), «-» (мінус), «∙» (помножити, « : »(Поділити).

3. Запис, що складається з чисел, пов'язаних між собою знаками арифметичних дій і в яких можуть бути також дужки.

4.Результат виконання дій над числами у числовому вираженні.

5. Знак, що стоїть перед значенням числового виразу.

6. Запис, що складається з чисел та малих букв латинського алфавіту, пов'язаних між собою знаками арифметичних дій (можуть бути також дужки).

7. Загальна назвабукв у буквене позначення.

8. Значення числового виразу, яке виходить при підстановці змінних.

9. Числове вираз, значення якого для натуральних чисел не може бути знайдено.

10. Числове вираз, значення якого для натуральних чисел можна знайти.

11. Математичні закони, властивості, деякі правила та співвідношення, записані у буквеному вигляді.

12. Алфавіт, малі літери якого використовуються для запису літерних виразів.

Блок 2. Встановіть відповідність

Встановіть відповідність між завданням у лівій колонці та рішенням у правій. Відповідь запишіть у вигляді: 1а, 2г, 3б…

Блок 3. Фасетний тест. Числові та буквені вирази

Фасетні тести замінюють збірники завдань з математики, але вигідно відрізняються від них тим, що їх можна вирішувати на комп'ютері, перевіряти рішення та одразу дізнаватися про результат роботи. У цьому тесті міститься 70 завдань. Але вирішувати завдання можна на вибір, для цього є оцінна таблиця, де вказані прості завданнята складніше. Нижче наведено тест.

1. Даний трикутник зі сторонами c,d,m,вираженими в см
2. Дано чотирикутник зі сторонами b,c,d,m, вираженими в м
3. Швидкість автомобіля в км/год дорівнює b,час руху в годиннику дорівнює d
4. Відстань, яку подолав турист за mгодин, складає зкм
5. Відстань, яку подолав турист, рухаючись зі швидкістю mкм/год, складає bкм
6. Сума двох чисел більша за друге число на 15
7. Різниця менше зменшуваного на 7
8. Пасажирський лайнер має дві палуби з однаковою кількістю пасажирських місць. У кожному з рядів палуби mмісць, рядів на палубі на nбільше, ніж місць у ряду
9. Пете m років Маші n років, а Каті на k років менше, ніж Пете і Маші разом
10. m = 8, n = 10, k = 5
11. m = 6, n = 8, k = 15
12. t = 121, x = 1458

1. Значення цього виразу
2. Літерний вираз для периметра має вигляд
3. Периметр, виражений у сантиметрах
4. Формула шляху s, пройденого автомобілем
5. Формула швидкості v, руху туриста
6. Формула часу t, руху туриста
7. Шлях, пройдений автомобілем за кілометри
8. Швидкість туриста за кілометри на годину
9. Час руху туриста в годиннику
10. Перше число дорівнює…
11. Віднімається одно….
12. Вираз для найбільшої кількості пасажирів, яку може перевезти лайнер за kрейсів
13. Найбільша кількість пасажирів, яку може перевезти лайнер за kрейсів
14. Літерний вираз для віку Каті
15. Вік Каті
16. Координата точки, якщо координата точки С дорівнює t
17. Координата точки D, якщо координата точки С дорівнює t
18. Координата точки А, якщо координата точки С дорівнює t
19. Довжина відрізка BD на числовому промені
20. Довжина відрізка CА на числовому промені
21. Довжина відрізка DА на числовому промені

Числовий вираз– це будь-який запис із чисел, знаків арифметичних дій та дужок. Числове вираз може складатися і з одного числа. Нагадаємо, що основними арифметичними діями є «складання», «віднімання», «множення» та «розподіл». Цим діям відповідають знаки "+", "-", "∙", ":".

Звичайно ж, щоб у нас вийшло числове вираження, запис із чисел та арифметичних знаків має бути осмисленим. Так, наприклад, такий запис 5: + ∙ не можна назвати числовим виразом, тому що це випадковий набір символів, що не має сенсу. Навпаки, 5 + 8 ∙ 9 - вже справжнє числове вираз.

Значення числового виразу.

Відразу скажемо, що якщо ми виконаємо дії, вказані в числовому вираженні, то в результаті ми отримаємо число. Це число називається значенням числового виразу.

Спробуємо вирахувати, що в нас вийде в результаті виконання дій нашого прикладу. Відповідно до порядку виконання арифметичних дій, спочатку виконаємо операцію множення. Помножимо 8 на 9. Отримаємо 72. Тепер складемо 72 та 5. Отримаємо 77.
Отже, 77 – значеннячислового виразу 5 + 8 ∙ 9.

Числова рівність.

Можна це записати так: 5 + 8 ∙ 9 = 77. Тут ми вперше використовували знак «=» («Рівне»). Такий запис, при якому два числові вирази розділені знаком «=», називається числовою рівністю. При цьому, якщо значення лівої та правої частини рівності збігаються, то рівність називають вірним. 5 + 8 ∙ 9 = 77 – правильна рівність.
Якщо ми напишемо 5 + 8 ∙ 9 = 100, це вже буде неправильна рівність, Оскільки значення лівої та правої частини даної рівності вже не збігаються.

Слід зазначити, що у числовому виразі ми можемо використовувати дужки. Дужки впливають на порядок виконання дій. Так, наприклад, видозмінимо наш приклад, додавши дужки: (5 + 8) ∙ 9. Тепер спочатку потрібно скласти 5 та 8. Отримаємо 13. А потім помножити 13 на 9. Отримаємо 117. Таким чином, (5 + 8) ∙ 9 = 117.
117 – значеннячислового виразу (5 + 8) ∙ 9.

Щоб правильно прочитати вираз, потрібно визначити, яка саме дія виконується останнім для обчислення значення даного числового виразу. Так, якщо остання дія віднімання, то вираз називають «різницею». Відповідно, якщо остання дія сума - "сумою", розподіл - "приватним", множення - "твором", зведення в ступінь - "ступенем".

Наприклад, числове вираз (1+5)(10-3) читається так: «добуток суми чисел 1 і 5 на різницю чисел 10 і 3».

Приклади числових виразів.

Наведемо приклад більш складного числового виразу:

\[\left(\frac(1)(4)+3,75 \right):\frac(1,25+3,47+4,75-1,47)(4\centerdot 0,5)\]

У цьому числовому вираженні використовуються прості числа, прості та десяткові дроби. Також використовуються знаки складання, віднімання, множення та поділу. Риса дробу також замінює знак розподілу. При складності, що здається, знайти значення даного числового виразу досить просто. Головне вміти виконувати операції з дробами, а також уважно та акуратно робити обчислення, дотримуючись порядку виконання дій.

У дужках у нас вираз $\frac(1)(4)+3,75$. Перетворюємо десятковий дріб 3,75 у звичайну.

$3,75=3\frac(75)(100)=3\frac(3)(4)$

Отже, $\frac(1)(4)+3,75=\frac(1)(4)+3\frac(3)(4)=4$

Далі, у чисельнику дробу \[\frac(1,25+3,47+4,75-1,47)(4\centerdot 0,5)\]у нас вираз 1,25 +3,47 +4,75-1,47. Для спрощення цього вислову застосуємо переміщувальний закон складання, який свідчить: «Від зміни місць доданків сума змінюється». Тобто, 1,25 +3,47 +4,75-1,47 = 1,25 +4,75 +3,47-1,47 = 6 +2 = 8.

У знаменнику дробу вираз $4\centerdot 0,5=4\centerdot \frac(1)(2)=4:2=2$

Отримуємо $\left(\frac(1)(4)+3,75 \right):\frac(1,25+3,47+4,75-1,47)(4\centerdot 0,5)=4: \frac(8)(2)=4:4=1$

Коли числові вирази немає сенсу?

Розглянемо ще один приклад. У знаменнику дробу $\frac(5+5)(3\centerdot 3-9)$значенням виразу $3\centerdot 3-9$ є 0. А, як ми знаємо, розподіл на нуль неможливий. Отже, у дробу $\frac(5+5)(3\centerdot 3-9)$ немає значення. Про числові вислови, які не мають значення, кажуть, що вони «не мають сенсу».

Якщо ми в числовому виразі крім чисел використовуватимемо літери, то в нас вийде вже

При вивченні теми числові, буквені вирази та вирази зі змінними необхідно приділити увагу поняття значення виразу. У цій статті ми відповімо на питання, що таке значення числового виразу, і що називають значенням літерного виразу та виразу зі змінними при вибраних значеннях змінних. Для роз'яснення цих термінів наведемо приклади.

Навігація на сторінці.

Що називають значенням числового виразу?

Знайомство з числовими висловлюваннями починається майже з перших уроків математики у шкільництві. Майже одночасно вводиться і поняття «значення числового виразу». Його відносять до виразів, складених із чисел, з'єднаних знаками арифметичних дій (+, −, ·, :). Дамо відповідне визначення.

Визначення.

Значення числового виразу- Це число, яке виходить після виконання всіх дій у вихідному числовому вираженні.

Наприклад розглянемо числове вираз 1+2. Виконавши, отримуємо число 3, воно і є значенням числового виразу 1+2.

Часто в словосполученні «значення числового виразу» слово «числового» опускають, і кажуть просто «значення виразу», оскільки все одно зрозуміло, про значення якого виразу йдеться.

Дане вище визначення значення виразу поширюється і на числові вирази. складного вигляду, які вивчаються у старших класах. Тут слід зауважити, що можна зіткнутися з числовими виразами, вказати значення яких немає можливості. Це з тим, що у деяких висловлюваннях неможливо виконати записані дії. Наприклад, тому ми можемо вказати значення виразу 3:(2−2) . Подібні числові вирази називають виразами, які не мають сенсу.

Часто на практиці інтерес представляє не так числове вираз, як його значення. Тобто постає завдання, що полягає у визначенні значення даного виразу. При цьому зазвичай кажуть, що потрібно знайти значення виразу. У зазначеній статті докладно розібрано процес знаходження значення числових виразів різного виду, та розглянуто масу прикладів з детальними описами рішень.

Значення буквеного виразу та виразу зі змінними

Крім числових виразів вивчають літерні вирази, тобто вирази, записи яких разом із числами присутні одна чи кілька букв. Літери в буквеному вираженні можуть позначати різні числа, і якщо букви замінити цими числами, то буквене вираз стане числовим.

Визначення.

Числа, якими замінюють літери в буквеному вираженні, називають значеннями цих букв, а значення отриманого при цьому числового виразу називають значенням буквеного виразу при даних значеннях букв.

Отже, для літерних виразів говорять не просто про значення літерного виразу, а про значення літерного виразу при даних (заданих, зазначених і т.п.) значення букв.

Наведемо приклад. Візьмемо буквене вираз 2 · a + b. Нехай задані значення літер a і b, наприклад, a=1 та b=6. Замінивши літери у вихідному виразі їх значеннями, отримаємо числове вираз виду 2 · 1 +6 його значення дорівнює 8 . Таким чином, число 8 є значенням літерного виразу 2·a+b при заданих значеннях букв a=1 і b=6 . Якби були дані інші значення букв, ми отримали значення буквенного висловлювання цих значень букв. Наприклад, при a=5 та b=1 маємо значення 2·5+1=11 .

У старших класах щодо алгебри буквам у буквених виразах дозволяють приймати різні значення, такі літери називають змінними, а літерні вирази – виразами зі змінними. Для цих виразів вводиться поняття значення виразу із змінними при вибраних значеннях змінних. Розберемося, що таке.

Визначення.

Значенням виразу зі змінними при вибраних значеннях зміннихназивається значення числового виразу, яке виходить після підстановки обраних значень змінних у вихідний вираз.

Пояснимо озвучене визначення з прикладу. Розглянемо вираз зі змінними x і y виду 3 · x · y + y. Візьмемо x=2 і y=4, підставимо ці значення змінних у вихідний вираз, отримуємо числове вираз 3·2·4+4. Обчислимо значення цього виразу: 3 · 2 · 4 + 4 = 24 + 4 = 28 . Знайдене значення 28 є значенням вихідного виразу зі змінними 3 x y + y при вибраних значеннях змінних x = 2 і y = 4 .

Якщо вибрати інші значення змінних, наприклад, x=5 і y=0, то цим вибраним значенням змінних буде відповідати значення виразу зі змінними, що дорівнює 3·5·0+0=0 .

Можна відзначити, що іноді для різних вибраних змінних значень можуть виходити рівні значення виразу. Наприклад, для x=9 і y=1 значення виразу 3·x·y+y дорівнює 28 (оскільки 3·9·1+1=27+1=28 ), а вище ми показали, що таке ж значення це вираз зі змінними має при x=2 та y=4 .

Значення змінних можна вибирати з відповідних їм областей допустимих значень . В іншому випадку при підстановці у вихідний вираз значень цих змінних вийде числове вираження, що не має сенсу. Наприклад, якщо вибрати x=0 , і підставити це значення вираз 1/x , то вийде числове вираз 1/0 , яке немає сенсу, оскільки розподіл на нуль не визначено.

Залишається лише додати, що є висловлювання зі змінними, значення яких залежить від значень які входять у них змінних. Наприклад, значення виразу зі змінною x виду 2+x−x не залежить від значення цієї змінної, воно дорівнює 2 за будь-якого обраного значення змінної x з області її допустимих значень, яка в даному випадку є безліччю всіх дійсних чисел.

Список літератури.

• Математика: навч. для 5 кл. загальноосвіт. установ / Н. Я. Віленкін, В. І. Жохов, А. С. Чесноков, С. І. Шварцбурд. - 21-е вид., Стер. – К.: Мнемозіна, 2007. – 280 с.: іл. ISBN 5-346-00699-0.
• Алгебра:навч. для 7 кл. загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 17-те вид. – М.: Просвітництво, 2008. – 240 с. : іл. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Алгебра:навч. для 8 кл. загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 16-те вид. – М.: Просвітництво, 2008. – 271 с. : іл. - ISBN 978-5-09-019243-9.

Вираз – це найширший математичний термін. Фактично, у цій науці їх складається все, і всі операції проводяться також з них. Інше питання, що в залежності від конкретного виду застосовуються абсолютно різноманітні методи та прийоми. Так, робота з тригонометрією, дробами чи логарифмами – це три різних дії. Вираз, що не має сенсу, може відноситься до одного з двох видів: числового або алгебраїчного. А ось що означає це поняття, як виглядає його приклад та інші моменти будуть розглянуті далі.

Числові вирази

Якщо вираз складається з чисел, дужок, плюсів-мінусів та інших символів арифметичних процесів, його можна назвати числовим. Що досить логічно: варто лише раз поглянути на перший названий його компонент.

Числовим виразом може бути будь-що: головне, щоб у ньому не було букв. А під "чим завгодно" в даному випадку розуміється все: від простої, що стоїть самотньо, самої по собі, цифри, до величезного їх переліку та знаків арифметичних дій, що вимагають подальшого обчислення кінцевого результату. Дроб - це теж числове вираз, якщо в ній немає всяких a, b, c, d і т.д., адже тоді це зовсім інший вид, про який буде розказано трохи пізніше.

Умови для вираження, яке не має сенсу

Коли завдання починається зі слова "обчислити", можна говорити про перетворення. Штука в тому, що ця дія не завжди доцільна: у ньому не те щоб сильно потребують, якщо на передній планвиходить вираз, що не має сенсу. Приклади нескінченно дивовижні: іноді, щоб зрозуміти, що воно нас і наздогнало, доводиться довго і нудно розкривати дужки і рахувати-рахувати-рахувати...

Головне, що треба запам'ятати: не має сенсу висловлювання, чий кінцевий результат зводиться до забороненої в математиці дії. Якщо вже зовсім по-чесному, то безглуздим стає саме перетворення, але для того, щоб це з'ясувати, доводиться його для початку виконати. Ось такий парадокс!

Найзнаменитіша, але від того не менш важлива заборонена математична дія - це поділ на нуль.

Тому ось, наприклад, вираз, що не має сенсу:

(17+11):(5+4-10+1).

Якщо за допомогою нехитрих обчислень звести другу дужку до однієї цифри, то вона буде нулем.

За таким самим принципом "почесне звання" дається і цьому виразу:

(5-18):(19-4-20+5).

Алгебраїчні вирази

Це те саме числове вираз, якщо до нього додати заборонені літери. Тоді воно і стає повноцінним алгебраїчним. Воно також може бути всіх розмірів та форм. Алгебраїчне вираз - поняття ширше, що включає попереднє. Але був сенс починати розмову не з неї, а з числової, щоб було зрозуміліше і розібратися було легше. Адже чи має сенс алгебраїчне вираз - питання не те щоб дуже складне, але має більше уточнень.

Чому так?

Букве вираз, або вираз зі змінними - це синоніми. Перший термін пояснити просто: адже воно, зрештою, містить у собі букви! Другий теж не загадка століття: замість букв можна підставляти різні числа, внаслідок чого значення виразу змінюватиметься. Неважко здогадатися, що літери в цьому випадку і є змінними. За аналогією, числа – це постійні.

І тут ми повертаємося до основної тематики: що таке вираз, що не має сенсу?

Приклади алгебраїчних виразів, які не мають сенсу

Умова для безглуздості алгебраїчного висловлювання - аналогічна, як і для числового, з одним лише винятком, а якщо бути точніше, доповненням. При перетворенні та обчисленні кінцевого результату доводиться враховувати змінні, тому питання ставиться не як "який вираз не має сенсу?", а "при якому значенні змінної цей вираз не матиме сенсу?" і "чи є таке значення змінної, у якому вираз втратить сенс?"

Наприклад, (18-3): (a+11-9).

Наведене вище вираз не має сенсу при a рівному -2.

А ось щодо (a+3):(12-4-8) можна сміливо сказати, що це вираз, що не має сенсу за будь-яких a.

Так само, яке b не підставиш у вираз (b - 11):(12+1), воно, як і раніше, матиме сенс.

Типові завдання на тему "Вираз, що не має сенсу"

7 клас вивчає цю тему з математики серед інших, і завдання по ній зустрічаються нерідко як безпосередньо після відповідного заняття, так і як питання "з підступом" на модулях та іспитах.

Ось чому варто розглянути типові завдання та методи їх вирішення.

приклад 1.

Чи має сенс вираз:

(23+11):(43-17+24-11-39)?

Необхідно зробити все обчислення в дужках і навести вираз до вигляду:

Кінцевий результат містить розподіл на нуль, отже, вираз немає сенсу.

приклад 2.

Які висловлювання немає сенсу?

1) (9+3)/(4+5+3-12);

2) 44/(12-19+7);

3) (6+45)/(12+55-73).

Слід обчислити кінцеве значення кожного з висловів.

Відповідь: 1; 2.

приклад 3.

Знайти область допустимих значень для наступних виразів:

1) (11-4)/(b+17);

2) 12/(14-b+11).

Область допустимих значень (ОДЗ) - це ті числа, при підставленні яких замість змінних вираз матиме сенс.

Тобто завдання звучить як: знайти значення, за яких не буде поділу на нуль.

1) b є (-∞;-17) & (-17; + ∞), або b>-17 & b<-17, или b≠-17, что значит - выражение имеет смысл при всех b, кроме -17.

2) b є (-∞;25) & (25; + ∞), або b>25 & b<25, или b≠25, что значит - выражение имеет смысл при всех b кроме 25.

приклад 4.

При яких значеннях наведений нижче вираз не матиме сенсу?

Друга дужка дорівнює нулю при рівному гріку -3.

Відповідь: y=-3

приклад 4.

Які з виразів не мають сенсу лише за x = -14?

1) 14: (х - 14);

2) (3+8х): (14+х);

3) (х/(14+х)):(7/8)).

2 і 3, тому що в першому випадку, якщо підставити замість х = -14, то друга дужка дорівнює -28, а не нулю, як звучить у визначенні не має сенсу виразу.

Приклад 5.

Придумайте і запишіть вираз, що не має сенсу.

18/(2-46+17-33+45+15).

Алгебраїчні вирази з двома змінними

Незважаючи на те, що у всіх виразів, які не мають сенсу, одна суть, існують різні рівні їх складності. Так, можна сказати, що числові – це приклади прості, адже вони легші, ніж алгебраїчні. Проблеми на вирішення додає і кількість змінних в останніх. Але і вони не повинні спантеличувати своїм виглядом: головне - пам'ятати загальний принцип рішення і застосовувати його незалежно від того, чи схожий приклад на типове завдання чи має якісь невідомі доповнення.

Наприклад, може виникнути питання, як вирішити таке завдання.

Знайти та записати пару чисел, які є неприпустимими для виразу:

(x 3 - x 2 y 3 + 13x - 38y) / (12x 2 - y).

Варіанти відповідей:

Але насправді воно тільки виглядає страшним і громіздким, тому що насправді містить у собі те, що вже давно відомо: зведення чисел у квадрат і куб, деякі арифметичні дії, такі як поділ, множення, віднімання та додавання. Для зручності, між іншим, можна привести завдання до дрібного вигляду.

Чисельник у дробу, що вийшов, не радує: (x 3 - x 2 y 3 + 13x - 38y). Це факт. Зате є інший привід для щастя: його для вирішення завдання чіпати навіть не знадобиться! Згідно з визначенням, розглянутим раніше, ділити не можна на нуль, а що саме на нього ділитися, зовсім неважливо. Тому залишаємо цей вираз у постійному вигляді і підставляємо пари чисел з цих варіантів у знаменник. Вже третій пункт ідеально вписується, перетворюючи невелику дужку на нуль. Але зупинятися на цьому – погана рекомендація, адже підійти може ще щось. І справді: п'ятий пункт теж непогано вписується і підходить умові.

Записуємо відповідь: 3 та 5.

На закінчення

Як видно, ця тема дуже цікава і не дуже складна. Розібратися в ній не важко. Але все-таки відпрацювати кілька прикладів ніколи не завадить!

I. Вирази, в яких поряд з літерами можуть бути використані числа, знаки арифметичних дій та дужки, називаються виразами алгебри.

Приклади виразів алгебри:

2m-n; 3 · (2a + b); 0,24x; 0,3a -b · (4a + 2b); a 2 - 2ab;

Так як букву в алгебраїчному вираженні можна замінити якимись різними числами, то букву називають змінною, а саме вираз алгебри — виразом зі змінною.

ІІ. Якщо в алгебраїчному виразі літери (змінні) замінити їх значеннями та виконати зазначені дії, то отримане в результаті число називається значенням виразу алгебри.

приклади.

Знайти значення виразу:

1) a + 2b -c при a = -2; b = 10; c = -3,5.

2) | + | y ​​| -|z| при x = -8; y = -5; z = 6..

Рішення

— 2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.

1) a + 2b -c при a = -2; b = 10; c = -3,5. Замість змінних підставимо їх значення. Отримаємо:

|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.

2) | + | y ​​| -|z| при x = -8; y = -5; z = 6. Підставляємо вказані значення. Пам'ятаємо, що модуль від'ємного числа дорівнює протилежному йому числу, а модуль позитивного числа дорівнює самому цьому числу. Отримуємо:ІІІ.

Значення літери (змінної), у яких алгебраїчне вираз має сенс, називають допустимими значеннями літери (змінної).

приклади.При яких значеннях змінної вираз немає сенсу?

Рішення.

Ми знаємо, що на нуль ділити не можна, тому кожен з цих виразів не матиме сенсу при тому значенні літери (змінної), яка звертає знаменник дробу в нуль!

У прикладі 1) це значення а = 0. Справді, якщо замість а підставити 0, потрібно буде число 6 ділити на 0, а цього робити не можна. Відповідь: вираз 1) немає сенсу при а = 0.

У прикладі 2) знаменник х - 4 = 0 при х = 4, отже, це значення х = 4 і не можна брати. Відповідь: вираз 2) немає сенсу при х = 4.
У прикладі 3) знаменник х + 2 = 0 за х = -2. Відповідь: вираз 3) немає сенсу при х = -2. У прикладі 4) знаменник 5-|x| = 0 за |x| = 5. Оскільки |5| = 5 та |-5| = 5, то не можна брати х = 5 та х = -5. Відповідь: вираз 4) немає сенсу при х = -5 і за х = 5.

IV.

Тотожність – це рівність, справедливе за всіх допустимих значеннях змінних, що входять до нього. Прикладами вже відомих вам тотожностей є, наприклад, властивості додавання та множення, розподільна властивість.

Заміну одного виразу іншим, тотожно рівним йому виразом, називають тотожним перетворенням або просто перетворенням виразу. Тотожні перетворення виразів зі змінними виконуються з урахуванням властивостей дій над числами.

приклади.

a)перетворіть вираз у тотожно рівне, використовуючи розподільну властивість множення:

1) 10 · (1,2 х + 2,3 у); 2) 1,5 · (a -2b + 4c); 3) a · (6m -2n + k).

2) | + | y ​​| -|z| при x = -8; y = -5; z = 6.. Згадаймо розподільну властивість (закон) множення:

(a+b)·c=a·c+b·c(розподільний закон множення щодо додавання: щоб суму двох чисел помножити на третє число, можна кожне доданок помножити на це число та отримані результати скласти).
(а-b)·c=a·с-b·c(розподільний закон множення щодо віднімання: щоб різницю двох чисел помножити на третє число, можна помножити на це число, що зменшується і віднімається окремо і з першого результату відняти другий).

1) 10 · (1,2 х + 2,3у) = 10 · 1,2 х + 10 · 2,3у = 12х + 23у.

2) 1,5 · (a -2b + 4c) = 1,5а -3b + 6c.

3) a · (6m -2n + k) = 6am -2an + ak.

б)перетворіть вираз у тотожно рівну, використовуючи переміщувальну та поєднувальну властивості (закони) складання:

4) х+4,5+2х+6,5; 5) (3а + 2,1) + 7,8; 6) 5,4 с -3 -2,5 -2,3 с.

приклади.Застосуємо закони (властивості) складання:

a+b=b+a(переміщувальний: від перестановки доданків сума не змінюється).
(a+b)+c=a+(b+c)(Сполучний: щоб до суми двох доданків додати третє число, можна до першого числа додати суму другого та третього).

4) х + 4,5 +2х + 6,5 = (х + 2х) + (4,5 + 6,5) = 3х + 11.

5) (3а + 2,1) + 7,8 = 3а + (2,1 + 7,8) = 3а + 9,9.

6) 6) 5,4 с -3 -2,5 -2,3 с = (5,4 с -2,3 с) + (-3 -2,5) = 3,1 с -5,5.

в)перетворіть вираз у тотожно рівне, використовуючи переміщувальну та поєднувальну властивості (закони) множення:

7) 4 · х · (-2,5); 8) -3,5 · 2у · (-1); 9) 3а · (-3) · 2с.

приклади.Застосуємо закони (властивості) множення:

a b = b a(переміщувальний: від перестановки множників твір не змінюється).
(a·b)·c=a·(b·c)(Сполучний: щоб добуток двох чисел помножити на третє число, можна перше число помножити на твір другого та третього).

7) 4 · х · (-2,5) = -4 · 2,5 · х = -10х.

8) -3,5 · 2у · (-1) = 7у.

9) 3а · (-3) · 2с = -18ас.

Якщо алгебраїчне вираз дано як скоротливої ​​дробу, то користуючись правилом скорочення дробу його можна спростити, тобто. замінити тотожно рівним йому простішим виразом.

приклади.

приклади.Спростіть за допомогою скорочення дробів. Скоротити дріб - це означає розділити її чисельник і знаменник на те саме число (вираз), відмінне від нуля. Дроб 10) скоротимо на 3b ; дріб 11) скоротимо наа і дріб 12) скоротимо на 7n

. Отримуємо:

Алгебраїчні вирази застосовують для складання формул.Формула – це вираз алгебри, записаний у вигляді рівності і виражає залежність між двома або декількома змінними. Приклад: відома вам формула шляху s=v·t

(s - пройдений шлях, v - швидкість, t - час). Згадайте, які формули ви знаєте.