Характеристичне рівняння. Коріння характеристичного рівняння. Постійний час. Час перехідного процесу. Характеристичне рівняння та власний вектор лінійного оператора Характеристичне рівняння визначення
Вільний режим схеми залежить від джерел енергії, визначається лише структурою схеми та параметрами її елементів. З цього випливає, що коріння характеристичного рівняння p1, p2, ... pn будуть однаковими для всіх змінних функцій (струмів і напруг).
Характеристичне рівняння можна скласти різними методами. Перший метод – класичний, коли характеристичне рівняння складається строго відповідно до диференціального за класичною схемою. При розрахунку перехідних процесів у складній схеміскладається система з “m” диференціальних рівнянь за законами Кірхгофа для схеми ланцюга після комутації. Оскільки коріння характеристичного рівняння є спільними всім змінних, то рішення системи диференціальних рівнянь виконується щодо будь-якої змінної (на вибір). В результаті рішення одержують неоднорідне диференціальне рівняння з однією змінною. Складають характеристичне рівняння відповідно до отриманого диференціального і визначають його коріння.
приклад. Скласти характеристичне рівняння та визначити його коріння для змінних у схемі рис. 59.1. Параметри елементів задані у загальному вигляді.
Система диференціальних рівнянь за законами Кірхгофа:
Розв'яжемо систему рівнянь щодо змінної i3, в результаті отримаємо неоднорідне диференціальне рівняння:
Другий спосіб складання характеристичного рівняння полягає у прирівнюванні нуля головного визначника системи рівнянь Кірхгофа для вільних складових змінних.
Нехай вільна складова довільного струму має вигляд iксв=Аkept, тоді:
Система рівнянь для вільних складових виходить із системи диференціальних рівнянь Кірхгофа шляхом заміни похідних від змінних на множник р, а інтегралів – на 1/р. Для прикладу, що розглядається, система рівнянь для вільних складових має вигляд:
Характеристичне рівняння та його корінь:
Третій спосіб складання характеристичного рівняння (інженерний) полягає в прирівнюванні нуля вхідного операторного опору схеми щодо її гілки.
Операторний опір елемента виходить з його комплексного опору шляхом простої заміни множника jω на р, отже
Для прикладу, що розглядається:
Третій спосіб є найбільш простим та економічним, тому він частіше за інших застосовується при розрахунку перехідних процесів в електричних ланцюгах.
Коріння характеристичного рівняння характеризує вільний перехідний процес у схемі без джерел енергії. Такий процес протікає із втратами енергії і тому згасає у часі.
З цього випливає, що коріння характеристичного рівняння має бути негативним або мати негативну речову частину. Узагальному випадку
порядок диференціального рівняння, яким описується перехідний процес у схемі, і, отже, ступінь характеристичного рівняння та кількість його коренів дорівнюють числу незалежних початкових умов, чи числу незалежних накопичувачів енергії (котушок L і конденсаторів C). Якщо в схемі ланцюга містяться паралельно включені конденсатори С1, С2, ... або послідовно включені котушки L1, L2, ..., то при розрахунку перехідних процесів вони повинні бути замінені одним еквівалентним елементом СЕ = С1 + С2 + ... або ЛЕ = L1 + L2 + ...Таким чином,
загальний вигляд
рішення для будь-якої змінної при розрахунку перехідного процесу може бути складений лише з аналізу схеми ланцюга, без складання та розв'язання системи диференціальних рівнянь.
Для прикладу, що розглядається вище. Характеристичне рівняння має вигляд:Для визначення виду вільної складової необхідно скласти і розв'язати характеристичне рівняння: z(p)=0.
опір, а опір
індуктивності і ємності прийняти відповідно рівним Pl і, далі необхідно розірвати будь-яку гілка даної схеми, записати її вихідний опір щодо точок розриву, прирівняти його нулю, вирішити і визначити коріння p, якщо коріння вийшло дійсним негативним, то вільна складова шуканої функції:
,де m-кількість коренів рівняння;
Коріння; -постійні інтегровані.
Якщо коріння характер.рівняння вийшло комплексно пов'язаним,то своб.сост. матиме вигляд:
де-Частота вільних коливань;
Час перехідного процесу залежить від коефіцієнта згасання. Величина, зворотна, називається постійною часу і є час, протягомзначення вільної складової перехідного процесу зменшиться в e=2,72 рази. Величина залежить від схеми і параметрів.
95% закінчення перехідного процес 3 .
Криві вільних складових перехідного процесу найпростіше побудувати, задаючи часу t значення 0, ,2 ….
Малюнок 1:
9.10, Перехідний процес у r, С – ланцюга при включенні на джерело постійної напруги. Аналіз зробити класичним способом; навести аналітичні вирази для U C (t); i C(t); графіки. (Класичний метод).
Рівняння стану rC-ланцюга після комутації наступне:
(1) ,або rC (2)
Його рішення: 
Ємність З після замикання ключа при t зарядиться до значення, що встановилося. Вільна складова
Оскільки початкові умови нульові, згідно із законом комутації 
при t=0,або 0=A ,звідки A=-E.
Рішення рівняння (2) набуде вигляду:
Струм у ланцюзі i(t)=C
Малюнок 1.
Малюнок 2.
Графіки зміни напруги і струму i(t) наведені на малюнку 1 і 2. З малюнків видно, що напруга на конденсаторі збільшується за експоненційним законом від 0 до E, сила струму ж в момент комутації стрибком досягає значення E/r, а потім зменшується до нуля.
11.12.Перехідний процес у r, C – ланцюги при підключенні до джерела синусоїдальної напруги. Аналіз зробити класичним способом; навести аналітичні вирази для U C (t); i C(t); графіки. (Класичний метод).
Рівняння стану rC-ланцюга у перехідному режимі наступне
rC 
.
Розв'язання цього рівняння:
Вільна складова
де = rC
Так ланцюг лінійна, то при синусоїдальному впливі в режимі, що встановився, напруга на ємності також буде змінюватися за синусоїдальним законом з частотою вхідного впливу, Тому для визначення = скористаємося методом комплексних амплітуд:
; 
Враховуючи, що j = отримуємо:
Постійну інтегрування А вільної складової
Знайдемо з початкових умов ланцюга з урахуванням закону комутації:
.При t=0 останній вираз має вигляд
Звідки A=-
Склавши складові і отримаємо остаточний вираз для напруги на ємності в перехідному режимі:
= + = 
- (1)
Аналіз виразу (1) показує, що перехідний процес у rC-ланцюзі при синусоїдальній дії залежить від початкової фази ЕРС джерелав момент комутації та від постійного часу rC-ланцюга.
Якщо , то =0 й у ланцюга відразу після комутації настане встановлений режим, тобто.
При напругу =-, тобто. напруга на ємності відразу після комутації може досягати майже подвоєного значення позитивного знака, а потім поступово наближатися до =.
Різниця фаз приведе рівняння (1) до вигляду:
Відмінність даного режиму від попереднього у тому, що напруга на ємності відразу після комутації може досягти майже подвоєного значення негативного знака.
Для розглянутої Rc-ланцюга з джерелом синусоїдального струму в режимі, що встановився, початкова фаза вхідної напруги ніякої ролі не грає, але в перехідному процесі її вплив істотно.
13. Перехідний процес у r, L, C – ланцюги при підключенні до джерела постійної напруги. періодичний процес. Аналітичні вирази для i(t), графіки. (Класичний метод).
Коріння дійсне, негативне, різне.
I(t)=I вуст +A1e p 1 t +A2e p 2 t
Процес періодичний:
t=0 (i(0)=A1+A2; A1=-A2
{ 
t=0 i l (0)*r+L +Uc(0)=E A1=-A2= ()
i l (t) = ( 
)
14. Перехідний процес у r, L, C – ланцюги при підключенні до джерела постійної напруги. Критичний процес. Аналітичні вирази для i(t), графіки. (Класичний метод).
i l (t) = i вуст + (B1 + B2 * t) *
t=0: i l (0)=β1=0
Якщо коріння вийшло дійсне, негативне, рівне, значить процес критичний.
15. Перехідний процес у r, L, C – ланцюги при підключенні до джерела постійної напруги. Коливальний процес. Аналітичний вираз для i(t) графіки. (Класичний метод).
P t = -δ±j*ω св ω св=
Коріння негативне дійсне, частиною комплекснозв'язане.
i l (t)=i вуст A1e - δt *sin(ω св t+ψ)
i l (t) = i уст + (M * cos ω св t + N * sin ω св t) *
i l (t) = * 
= *
16. Перехідний процес у r, L, C – ланцюги при підключенні до джерела синусоїдальної напруги. Аперіодичний процес. Аналітичний вираз для i(t) графіки. (Класичний метод).
R(t)=E max *sin(ωt+ψ)
2. 
У класичному Число рівнянь у цьому випадку дорівнює числу гілок схеми
Методі знаходиться рішення у вигляді суми загального та приватного рішення. Розрахунки перехідний процес описується системою звичайних дифф.уравнений, складених однією з методів розрахунку миттєвих значень функцій часу. Рішення кожної змінної цієї системи перебуває у вигляді суми загального і приватного рішення. Для складання рівняння можна використовувати: метод, заснований на застосуванні законів Кірхгофа, метод вузлових потенціалів, метод контурних струмів тощо. Наприклад, система диференціальних рівнянь, складена після комутації згідно з першим і другим законами Кірхгофа, має вигляд:
Наприклад,
Число рівнянь у цьому випадку дорівнює числу гілок схеми. Нехай потрібно знайти струм i k у галузі з номером К. Виключаючи послідовно струми гілок, в результаті отримаємо струм i k та його похідні до порядку n:
Порядок дифф.рівняння n визначається кількістю незалежних реактивних елементів схеми (m). Зазвичай n=m, але залежно від способу з'єднання може бути так, що n Послідовно включені ємнісні елементи можна замінити одним елементом, як і парал включені індуктивні елементи можна замінити одним еквівалентним. На малюнку 9.5 показано заміну 2х послідовно включених ємностей однієї еквівалентної. У загальному випадку порядок диф.рівняння n дорівнює: n=n lc -n ce -n lj , де n lc -кількість реактивних елементів (L і C) у схемі, n ce - кількість ємнісних контурів, n lj -кількість індуктивних вузлів або перерізів. Під ємнісним розуміється контур, що складаються з ємнісних елементів або ємнісних елементів та ідеальних джерел ЕРС, рис. 9.6.а. перетинають лише індуктивні гілки або індуктивні гілки та джерела струму. Зазначимо, що етап складання диф.рівняння не явл-ся обов'язковим і перехідний струм або напруга можуть бути знайдені без складання ур-ня. Як було зазначено, у класичному методі розрахунку перехідних процесів розв'язання рівнянь Приватне рішення визначає режим, який називається вимушеним. Рішення однорідного рівняння (права частина дорівнює нулю) описує процес за відсутності зовнішніх ЕРС та джерел струму і називається вільним. Відповідно розглядаються вільні та вимушені струми, напруги, заряди. Таким чином, струм у галузі з номером К подається у вигляді суми . ) А = ||a ik||n 1 відніманням величини з діагональних елементів. Цей визначник є багаточленом відносно Х - характеристичний багаточлен. У розкритому вигляді Х. в. записується так: де S 1 = a 11 + a 22 +...
a nn- Т.зв. слід матриці, S 2- сума всіх головних мінорів 2-го порядку, тобто мінорів виду i k) і т.д., а S n- Визначник матриці А. Коріння Х. в. λ 1 , λ 2 ,..., λ nназиваються власними значеннями матриці А. У дійсної симетричної матриці, а також у ермітової матриці все kдійсні, у дійсної кососиметричної матриці всі λ kчисто уявні числа; у разі дійсної ортогональної матриці, а також унітарної матриці все | k| = 1. Х. в. зустрічаються у найрізноманітніших галузях математики, механіки, фізики, техніки. В астрономії щодо вікових обурень планет також приходять до Х. у.; звідси і друга назва для Х. в. - вікове рівняння. 2) Х. в. лінійного диференціального рівняння із постійними коефіцієнтами a 0λ y (n) + a 1 y (n-1) +... + a n-1 y" + a n y = 0 Алгебраїчне рівняння, що виходить із даного диференціального рівняння після заміни функції ута її похідних відповідними ступенями величини λ, тобто рівняння a 0λ n + a 1λ n-1 +
... +
a n-1 y" + a n y = 0. До цього рівняння приходять при відшуканні приватного рішення виду у = се λ хдля цього диференціального рівняння. Для системи лінійних диференціальних рівнянь Х. в. записується за допомогою визначника Х. в. матриці A = Велика Радянська Енциклопедія. - М: Радянська енциклопедія.
1969-1978
.
У багатьох випадках фізичні процеси, що відбуваються в системах, описуються системою звичайних лінійних диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами, яка в загальному випадку може бути зведена до диференціального рівняння. Енциклопедія техніки Алгебраїчне рівняння виду Визначник у цій формулі виходить з визначника матриці відніманням величини x з діагональних елементів; він є багаточленом щодо x і називається характеристичним багаточленом … Великий Енциклопедичний словник характеристичне рівняння- - [В.А.Семенов. Англо-російський словник з релейного захисту] Тематики релейний захист EN characteristic equation … Довідник технічного перекладача Алгебраїчне рівняння виду. Визначник у цій формулі виходить із визначника матриці х із діагональних елементів; він є многочлен щодо х і називається характеристичним многочленом. * * * ХАРАКТЕРИСТИЧНЕ… … Енциклопедичний словник характеристичне рівняння- būdingoji lygtis statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. characteristic equation; performance equation vok. характеризує Gleichung, f; Stammgleichung, f rus. характеристичний рівняння, n pranc. équation caractéristique, f … Automatikos terminų žodynas характеристичне рівняння- būdingoji lygtis statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. characteristic equation; performance equation vok. характеризує Gleichung, f rus. характеристичний рівняння, n pranc. équation caractéristique, f … Fizikos terminų žodynas характеристичне рівняння Енциклопедія «Авіація» характеристичне рівняння- Характеристичне рівняння. У багатьох випадках фізичні процеси, що відбуваються в системах, описуються системою звичайних лінійних диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами, яка у загальному випадку може бути зведена … Енциклопедія «Авіація» Вікове рівняння, див. ст. Характеристичний багаточлен. Математична енциклопедія Характеристичний многочлен це багаточлен, що визначає власні значення матриці. Інше значення: Характеристичний багаточлен лінійної рекуренти це багаточлен. Зміст 1 Визначення … Вікіпедія
представляється у вигляді суми загального та приватного рішення.
Дивитись що таке "Характеристичне рівняння" в інших словниках:
Книги
